Восстановление граничных условий в обратной нелинейной задаче теплопроводности методом параметрической идентификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Колодийчук Павел Андреевич

• Колодийчук Павел Андреевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Колодийчук Павел Андреевич

Реферат

Synopsis

Введение

ГЛАВА 1. Методы решения обратных задач теплопроводности

1.1 Постановка задачи идентификации процессов теплообмена

1.2 Принципы и методы решения обратных задач теплопроводности

1.3 Классификация обратных задач теплопроводности

1.4 Проблематика решения нелинейных обратных задач теплопроводности

Выводы по главе

ГЛАВА 2. Параметрическая идентификация нелинейных дифференциально-разностных моделей

2.1 Недостатки классического фильтра Калмана в методе параметрической идентификации

2.2 Нелинейная дифференциально-разностная модель теплопереноса

2.3 Unscented Kalman filter

2.4 Интерпретация температурного отклика нелинейной динамической системы на тепловое воздействие

2.5 Восстановление плотности теплового потока при решении нелинейной обратной задачи теплопроводности методом параметрической идентификации

2.6 Дополнительные методы достижения сходимости при решении нелинейной

ОЗТ

Выводы по главе

ГЛАВА 3. Обратная задача теплопроводности при теплообмене погружного измерительного комплекса с водой

3.1 Измерение скорости звука в области гидроакустики

3.2 Оценка коэффициента теплоотдачи на поверхности погружного измерительного комплекса

3.3 Дифференциально-разностная модель погружного измерительного комплекса

3.4 Восстановление плотности теплового потока на поверхности чувствительного элемента погружного измерительного комплекса

3.5 Оценка неопределенности восстановления теплового потока

Выводы по главе

ГЛАВА 4. Восстановление температуры воды на основе решения обратной задачи теплопроводности

Заключение

Список литературы

Приложение А Тексты публикации

201

Реферат

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проблема фундаментального и всестороннего исследования и освоения Мирового океана выдвигает задачу получения оперативной и достоверной измерительной информации о параметрах водной среды и гидрофизических процессах.

Задача получения такой информации в настоящее время весьма актуальна и объясняется необходимостью:

• дальнейшей разработки и совершенствования фундаментальных и прикладных аспектов физики моря и активно взаимодействующей с ним атмосферы;

• рациональной организации экономически выгодных и безопасных международных и внутренних путей сообщения;

• увеличения оборонительной способности страны в море;

• оптимального выбора места строительства морских инженерно-технических сооружений;

• решения многих других научно-технических и прикладных вопросов, связанных с океаном.

Важную роль в успешном решении указанной задачи призваны сыграть гидрологические средства измерения, представляющие собой интенсивно развивающуюся и перспективную ветвь отечественного научного приборостроения, и созданные на их основе океанологические информационно -измерительные комплексы. Уменьшение неопределённости таких приборов является залогом успеха изучения мирового океана является знание неопределённости полученных результатов с помощью таких комплексов. Это, в частности, относится к измерителям скорости звука (ИСЗ).

Использующиеся в настоящее время мобильные ИСЗ проводят вычисления на основе анализа давления, солености и температуры воды. Последняя уже несколько десятилетий измеряется с помощью терморезисторов, находящихся в контакте с водой. Это приводит к высокой неопределенности измерения температуры из-за тепловой инерции измерительного комплекса, находящегося в контакте с чувствительным элементом. Такая ошибка приводит к увеличению неопределенности вычисляемого расстояния до объекта методом эхолокации вплоть до 25 м на дистанции 10 км, что не позволяет в достаточной мере достичь целей получения оперативной и достоверной измерительной информации для изучения Мирового океана.

Решение проблемы неопределенности контактного метода измерения температуры воды в отечественной практике на данный момент предлагается двумя методами. Первый заключается в введении модификаций в конструкцию прибора, которые уменьшают тепловую связь между чувствительным элементом и корпусом, что ведет к уменьшению тепловой инерции, например, добавление изоляционной прокладки. Второй - в интенсификации теплообмена между водной средой и чувствительным элементом путем добавления в его устройство радиатора. Однако такие способы имеют ограничения, предписываемые необходимостью высокой надежности измерений: риск отрыва чувствительного элемента под действием течения, его загрязнение из-за выступающих границ радиатора и, следовательно, увеличение неопределённости, низкая эффективность изоляционных прокладок и т.д.

Сведений о модификации методов измерения температуры в мобильных ИСЗ в отечественной практике не обнаружено. Имеющиеся решения по учету тепловой инерции основываются на сложных итеративных расчетах на основе истории изменения температуры чувствительного элемента, которые невозможно провести в процессе погружения ИСЗ «на ходу».

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление граничных условий в обратной нелинейной задаче теплопроводности методом параметрической идентификации»

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка метода уменьшения неопределенности измерения температуры воды при погружении измерительного комплекса путем решения обратной задачи теплопроводности методом параметрической идентификации. Особенности такого подхода на основе имеющегося вычислительного комплекса позволяют учитывать разницу между температурой чувствительного элемента и окружающей среды, проводя корректировку расчетного значения. В таком случае неопределенность измерения скорости звука сводится только к несовершенству чувствительного элемента в части измерения температуры без влияния тепловой инерции.

Задачи работы

1) Разработать алгоритм решения нестационарной нелинейной задачи теплопроводности методом параметрической идентификации с использованием фильтра Калмана;

2) Рассчитать температуру воды при восстановлении нестационарного теплового пока на поверхности чувствительного элемента ИСЗ;

3) Определить динамику неопределенности рассчитанного значения для различных скоростей погружения и профилей температуры по глубине.

Научная новизна работы

• Предложен метод решения обратной нестационарной нелинейной задачи теплопроводности методом параметрической идентификации, заключающаяся в применении Unscented Kalman filter вместо классического фильтра Калмана;

• предложен новый метод определения нестационарной температуры воды контактным методом с учетом тепловой инерции оборудования;

• выявлены закономерности, связывающие скорость изменения температуры воды при погружении и неопределенность измерений температуры чувствительного элемента при различных конфигурациях ИСЗ и условий течения.

Теоретическая и практическая значимость работы

Снижение неопределенности температурных измерений является актуальным на сегодняшний день вопросом, который возникает при проектировании измерительной аппаратуры. В рассмотренной сфере гидроакустики её снижение представляет практический интерес, так как она вносит наибольшую ошибку при расчете скорости звука. Предложенный метод параметрической идентификации позволяет существенно снизить неопределенность температуры и скорости распространения звука. Расчет показал, что доверительный интервал измерения температуры воды в условиях наибольшего её градиента по направлению погружения снизился с 0.55 К до 0.05 К при доверительной вероятности 95% за счёт учета методической погрешности методом параметрической идентификации.

Отмечено, что разработанный метод решения обратной нелинейной задачи теплопроводности так же полезен в других областях термометрии, где необходимо определять быстро изменяющуюся температуру окружающей среды.

Положения, выносимые на защиту

• Модифицированный метод параметрической идентификации с использованием Unscented Kalman filter позволяет решать нестационарные нелинейный обратные задачи теплопроводности.

• Решение обратной нелинейной задачи теплопроводности методом параметрической идентификации позволяет существенно снизить неопределенность измерения температуры воды погружным комплексом.

• Полученные зависимости, связывающие скорость и длительность погружения с доверительными интервалами измерительного оборудования, позволяют корректно оценить неопределенность измерения температуры воды погружным комплексом в различных условиях эксплуатации.

Апробация работы

• XIII Конгресс молодых ученых ИТМО (КМУ 2024)

• Конференция ППС 2024

• VIII конференция молодых ученых и специалистов «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (МАГ-2023)

• XII КМУ 2023

• XIII Международная научно-техническая конференция "Техника и технология нефтехимического и нефтегазового производства"

• LII научная и учебно-методическая конференция ППС Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

• XI Конгресс молодых ученых 2022 года

• Техника и технология нефтехимического и нефтегазового производства: материалы 12-й Междунар. науч.-техн. конф.

• Пятьдесят первая научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО

Достоверность научных достижений

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в ходе выполнения научно-исследовательской работы, основана на строгом математическом описании и проверенных применяемых численных алгоритмах, которые неоднократно были верифицированы на данных физического

эксперимента и других численных тестовых задачах, выполненных другими авторами.

Внедрение результатов работы

Результаты работы внедрены при выполнении НИР-ПРИКЛ ИТМО «Повышение эффективности энергетических систем путем использования аккумуляторов тепловой энергии», рук.: Захарова В. Ю. 1.09.2020-30.06.2023 и НИР «Экологически безопасные технологии энергосбережения и повышения эффективности низкотемпературных систем и преобразователей энергии», рук.: Малинина О. С. 1.09.2022-30.06.2025. Также численные методы расчета обратных нелинейных нестационарных задач теплопроводности использованы в лекционном материале дисциплины «Расчет температурных полей системы тел» образовательной программы магистратуры «Информационные технологии в теплофизике» по направлению подготовки 16.04.03 - Холодильная, криогенная техника и системы жизнеобеспечения.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 публикациях. Из них 3 опубликованы в изданиях, индексируемых в базе цитирования Scopus и Web of Science, 1 издана в журнале, рекомендованном ВАК, 10 в иных изданиях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы из 121 наименования. Основная часть работы изложена на 240 страницах, включает 27 рисунков и 4 таблицы.

Содержание работы

Введение

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, научные положения диссертации, выносимые на защиту, практическая ценность работы. Изложена структура диссертации и краткая характеристика ее основных разделов.

Глава 1

Первая глава посвящена систематизации принципов постановки задач инженерного проектирования. Рассматриваются базовые подходы к формулировке прямых и обратных задач теплопроводности, а также из роль в изучении и контроле тепловых процессов. Особое внимание уделено методам решения ОЗТ, охватывающим аналитические, численные и гибридные подходы, их достоинствам и ограничениям. Анализируется проблематика нелинейных задач теплопроводности, связанная с зависимостью теплофизических свойств веществ, граничных и геометрических условий от времени и температуры.

Технические проекты в большинстве своем являются задачами инженерного проектирования, которые представляют собой исследование, обоснование и поиск путей решения поставленных междисциплинарных задач, а также создание, испытание и серийное производство опытных образцов. Постоянное следование пути усложнения, усовершенствования производства в угоду выполнения поставленных технических условий, зачастую предполагающих технический рывок, предъявляют повышенные требования к устойчивости, надежности и точности работы оборудования [1-4].

При системном подходе к проектированию рассматривается весь жизненный цикл объекта - от проектирования до выпуска серийной продукции. В целях уменьшения финансовых издержек и трудозатрат требуется оценивать

характеристики продукции ещё до ее производства. Однако вносимые изменения и усовершенствования делают опытные образцы более комплексными в производстве и сложными в части анализа технических характеристик. Для этого требуются опытные инженеры, вооруженные совершенными технологиями и математическими инструментами, позволяющие прогнозировать характеристики изготавливаемой продукции с минимальным количеством прохождения цикла проект - изготовление прототипа - испытания - внесение изменений.

Одним из обязательных этапов проектирования является математическое моделирование объекта создаваемого объекта и условий его функционирования [5]. Под этим может подразумеваться несколько междисциплинарных анализов, в том числе прочностной, гидро- и газодинамический, схемотехнический, предпроектный. Во многих ответственных областях, в том числе авиация, ракетостроение, металлургии, нефтепереработке, большую роль также играет тепловой анализ или тепловое проектирование [3, 4]. Под тепловым проектированием подразумевается исследование процессов теплообмена, прогнозирование температурного состояния при работе в штатном и аварийном режиме, выбор проектных решений системы охлаждения [6].

Постановка задачи теплового проектирования заключается в определении условий и параметров, необходимых для обеспечения эффективного управления тепловыми процессами в системе или устройстве. Причем сухой ответ в виде численного решения поставленной задачи и выдаче значения максимальной температуры конструкции зачастую недостаточен в реальном производстве [7]. Целью в таком случае является создание решения, которое при заданных эксплуатационных и, в частности, тепловых нагрузках обеспечит стабильную работу прибора и предотвратит термические повреждения.

Привлечение компьютеров для проведения численных расчетов обусловлено способностью обработки сложных, нелинейных, многомерных задач, которые практически невозможно решить вручную в виду их вычислительной сложности и большого количества переменных, которые необходимо держать в памяти. В целом

главным преимуществом компьютера является его феноменальная по сравнению с человеком возможность безошибочно проводить итеративные расчеты.

Однако ключевая роль человека сохраняется в интерпретации получаемых результатов, постановке задач и выборе математических и физических моделей, где интуиция и опыт дополняют «сырую» мощь вычислений.

Задачи определения тепловых и температурных параметров объекта в области теплофизики называются задачами теплопроводностями. В этом смысле их рассматривают как совокупность причина-следствие, взаимосвязь которых характеризует состояние тела [6]. По этой причине задачи, в которых на основании причинного воздействия, например известного теплового потока, прогнозируется следствие - температурное поле - называются прямыми задачами теплопроводности (ПЗТ). Наоборот, когда на основании следствия рассчитывается причинное воздействие, - обратная задача теплопроводности (ОЗТ).

Корректной с физической точки зрения является лишь ПЗТ, так ей в подтверждение можно поставить соответствующий физический эксперимент [13]. Однако ОЗТ нарушают последовательность причинно-следственных связей и подразумевают изменение температуры и расчет тепловых потоков, которые привели к таким изменениям. С математической точки зрения такой подход приводит к неустойчивости получаемого решения и некорректности всей ОЗТ.

Инженер должен понимать, что решение ОЗТ не является точным и представляет собой лишь приближенный прогноз интересующей величины. По этой причине целью расчета является не расчет или измерение теплового потока, а его восстановление, так как это слово означает попытку реконструировать утраченные данные, используя неполную и зашумленную информацию. Такой подход принципиально отличается от прямого моделирования, где входные параметры известны заранее и в достаточной мере, и требует особые математические методы, компенсирующие некорректность задачи. Такие методы называются методами регуляризации [16-18].

Одним из основных подходом к регуляризации ОЗТ является итеративный расчет каждого шага вычислений. В работах [16-20] более подробно описываются

методы регуляризации и решения ОЗТ.

Рассмотрены особенности методов возмущения уравнений, начальных условий, которые переводят задачу из некорректного типа в условно корректный.

Наряду с рассмотренными методами существует так называемая диагностика в экстремальной постановке [15]. В этом подходе ОЗТ формулируется как задача оптимизации. Вместо единственного решения уравнения теплопроводности ищутся неизвестные интересующие параметры, которые минимизируют отклонение между расчетными данными и экспериментальными измерениями. При этом возможны два случая:

• решение ищется в пространстве параметров [29-31];

• задача решается в функциональном пространстве [32, 33].

В данной работе рассматривается первый случай, который так же называется параметрической оптимизацией. В нем на каждом шаге итеративного расчета определяется функционал ошибки, выражающий среднеквадратичную невязку исследуемого параметра [6]:

/ ^ (^расч Щксп) (1т + ССр

^расч ^эксп) ^^ + (1)

где ирасч - параметр решения ПЗТ на основе оптимизированного значения параметра, иэксп - экспериментальное значение парамегра, а^ - регуляризирующий член.

Задача параметрической оптимизации сводится к поиску параметров, которые минимизируют функционал ошибки J. Для преодоления ограничений, связанных с некорректностью ОЗТ, так же может быть полезен подход, который используется в итерационном решении ретроспективной задачи - разбиение искомой функции на множество параметров [6]:

ад-ОО, (2)

где р; - значение искомого параметра на ¿-ом временном интервале, <ру (т) - система базисных функций.

Тогда формально данную задачу функциональной оптимизации можно свести к параметрической и рассматривать нестационарную ОЗТ. Исходя из невязок температуры, тепловой поток корректируется в предполагаемом направлении уменьшения невязки, что соответствует градиентному принципу решения ОЗТ [42, 43]. Однако предварительный анализ теплофизических свойств позволяет существенно сократить этот метод расчета [44, 45]. Для этого перед расчетом рассматривается ПЗТ, в рамках которой исследуемое тело подвергается воздействию теплового потока разной интенсивности. Результаты расчета обрабатываются и выражается функция чувствительности, характеризующая изменение температуры тела при единичном приращении теплового потока [6, 41, 46, 47]:

и AQ ' (3)

где Q - воздействующий на тело тепловой поток, у (О) - результат решения ПЗТ на основе потока Q.

Функции чувствительности и играют большую роль при решении ОЗТ методом параметрической идентификации. Они позволяют эффективно учитывать изменение температурного состояния объекта от варьирования входных параметров в обход сложностей градиентных методов оптимизации. Более того, функции чувствительности подытоживают градиентный метод, заранее давая информацию о направлении минимизации функционала ошибки.

В работах [41, 46-50] рассматривается способ регуляризации ОЗТ, основанный на использовании классического фильтра Калмана (КФК). В начале работы КФК анализирует параметры чувствительного элемента или модели измерений и строит ковариационную матрицу оценок искомого параметра. На

основании матрицы КФК оценивает, насколько большой приоритет стоит отдавать новому возмущению температурного поля и не является ли оно шумом. Этот подход имеет сходство с методом взвешенного среднего, при этом температура в узких окрестностях сглаживается на основании весовых коэффициентов, которые вычисляются КФК.

Анализ динамических моделей с помощью КФК требует приведения этой модели к виду разностной схемы, которая была разработана Д. Крайком и Ф. Николсоном [51], а затем оптимизирована под нужды задач теплофизики математиками А.Н. Тихоновым и А.А. Самарским [16, 19, 20, 35, 36, 52, 53]. Её дальнейшей оптимизацией для КФК является дифференциально-разностная модель теплопереноса (ДРМ) [48, 54]. Принцип её построения будет рассмотрен в дальнейшем. Комбинация перечисленных методов позволяет решать ОЗТ, представляя их в виде условно корректных задач математической физики [55].

В работе приведена классификация ОЗТ по искомому параметру: коэффициентная, геометрическая, граничная и ретроспективная. Несмотря на различия, все типы ОЗТ объединяет общий принцип: сочетание математического моделирования с экспериментальными данными для восстановления утраченной или неизвестной информации на основании измеряемой температуры в одной или нескольких точках.

При исследовании высокотемпературных процессов в конструкциях особое значение приобретают нелинейные ОЗТ, когда свойства материалов, граничные условия или геометрия существенно зависят от температуры, создавая обратную связь между итоговыми и промежуточными значениями искомых параметров. В ряде задач требования к точности настолько велики, что существенным изменением свойства анализируемого тела может быть и небольшой на первый взгляд его прирост. В таком случае требуется дополнительный анализ, рассматривающий необходимость перехода от линейной ОЗТ к нелинейной постановке [56-59]. Такие меры актуальны для множества реальных задач: лазерный нагрев с нелинейной абсорбцией, анализ композитных материалов с

нелинейной теплопроводностью, вынужденная конвекция в переменных условиях и другие.

В то же время неслучайно многие задачи выгодно сначала рассматривать, как линейные и анализировать возможные невязки. Нелинейность кардинально усложняет процесс восстановления данных, приводя к многозначности решений, экспоненциальному росту вычислительных затрат и крайней чувствительности к шумам, которые сопровождают измерения. Традиционные методы решения, эффективные для линейных ОЗТ, здесь часто терпят неудачу, требуя разработки адаптивных алгоритмов, сочетающих регуляризацию, линеаризацию и минимизацию невязок [17, 60, 61]. В таких задачах неизвестные параметры влияют на решение, которое, в свою очередь, снова меняют это решение. Это создает неразрывную петлю зависимости, требующую итерационной подстройки регуляризации на каждом шаге [18, 35]. Кроме того, в нелинейных ОЗТ нарушается принцип суперпозиции, позволяющий представить решение как сумму откликов на отдельные взаимодействия [62].

Из-за нелинейности целевой функционал ошибки может иметь множество локальных минимумов - точек перегиба [63]. Такой эффект называется многомодальностью решения и создает препятствия для стандартных принципов расчета ОЗТ градиентным методом [64, 65]. Приближаясь к минимуму функционала ошибки, алгоритм решения задачи останавливает расчет и прекращает дальнейший анализ.

Одним из, казалось бы, препятствием является то, что в нелинейных ОЗТ функция чувствительности теряет актуальность при её выражении как константы [60]. Однако в этом случае альтернативный подход может стать ключом к решению таких задач. Рассмотрение функций чувствительности как функциональных зависимостей позволяет существенно улучшить регуляризацию нелинейных ОЗТ, учитывая локальные и динамические особенности системы.

Глава 2

Вторая глава анализирует современный подход к решению ОЗТ методом параметрической идентификации с помощью классического фильтра Калмана (КФК). Рассматриваются ключевые ограничения этого метода и чувствительность к ошибкам линеаризации. В качестве альтернативы исследуется использование модификации фильтра Калмана -Unscented Kalman filter (UKF), позволяющей обрабатывать нелинейные динамические системы.

Уделено внимание практической реализации алгоритма: представлен программный код в среде MatLab, позволяющей восстанавливать плотность теплового потока или иного искомого параметра и удобно визуализировать его. Рассмотрены дополнительные методы регуляризации ОЗТ-регулировка жесткости UKF и сглаживание методом скользящего среднего. Проанализирована эффективность приведенных подходов.

Как было указано ранее, в решении обратных граничных задач теплопроводности методом параметрической идентификации искомая величина -плотность теплового потока - рассматривается как кусочная сплайн функция. При этом целью решения задачи с математической точки зрения является вычисление приближенных параметров этих сплайнов так, чтобы невязка теплового потока была минимальна.

В процессе решения на каждом шаге вычислений дискретное значение теплового потока, ориентируясь на функцию чувствительности и изменение температуры чувствительного элемента, вычисляется и корректируется фильтром Калмана. Его задача так же состоит в том, чтобы определять, является ли очередное возмущение показаний термистора случайным шумом [70-72].

Использование классического фильтра Калмана, который налагает некоторые ограничения на работу алгоритма. В частности, описываемая фильтром Калмана динамическая система должна быть дискретной и линейной [72].

Для решения линейных ОЗТ такого математического аппарата достаточно, особенно в малых пределах изменения температур. Однако следующие условия задачи не могут быть реализованы в текущей реализации метода параметрической идентификации:

• лучистый теплообмен;

• изменение теплофизических свойств используемых материалов;

• изменение геометрических параметров исследуемого тела;

• изменение коэффициента теплоотдачи при конвективном теплообмене.

Связано это с тем, что учет таких условий задачи ведет к преобразованию системы дифференциальных уравнений от линейных к нелинейным.

Линейная ДРМ теплопереноса представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, общий вид которых приведен ниже [47]:

d - л

-Т (т) = = Г(т) = Г7-(т) + С£/(т).

(4)

где векторы состояния 7(т) и управления £/(т), матрицы обратных связей F и управления £ имеют следующий вид:

7(т) =

(ПХ1)

1( ) ¿пОО

F

(пхп)

2 а 0

£/(т) (2Х1) = £ = (пх2) 00

0 2й

2Ь 2 Ь 0 • 0 0 0

Ь -2Ь Ь • 0 0 0

0 0 0 • Ь -2 Ь Ь

0 0 0 •0 2 Ь -2 Ь

(5)

и Я А 1

где Ь = —- и а = —.

срЛ2 срЛ

Переход к нелинейной постановке с точки зрения математического выражения заключается в том, что различные коэффициенты приобретают

зависимость от времени и температуры. В работе приведен ход построения ДРМ для простого случая. Из полученных при этом уравнений теплового баланса слагаемое около каждого записывается в матрицу обратных связей F, одну из составляющих ДРМ и описывающую температурные связи между расчетными элементами [75, 76].

При инициализации задачи классический фильтр Калмана анализирует параметры исследуемой динамической системы и рассчитывает ковариационную матрицу ошибок чувствительного элемента. Так как значения ковариационной матрицы зависят от текущего состояния объекта, использование классического фильтра Калмана для задач, в которых свойства материалов претерпевают существенные изменения, приводит к неустойчивому решению.

Отметим, что возникающие невязки могут быть снижены путем уменьшения шага решения, однако полностью избавится от них невозможно [67-69]. В целом такой подход имеет общие признаки с явным решением нелинейных задач, больше подходящих для рассмотрения быстрых процессов, длительность которых меньше одной секунды. Кроме того, классический фильтр Калмана при вычислении ковариационной матрицы предполагает, что возникающие шумы чувствительного элемента подчиняются стандартному отклонению, что для линейных задач неверно

[79].

ЦКБ позволяет, в отличие от классического фильтра Калмана, использовать ДРМ матрицы с функциональными зависимостями в качестве входных данных

[80]. При этом решение ковариационной матрицы проводится на каждом шаге вычислений с учетом изменения свойств материалов в окрестности температуры в рассчитываемом моменте времени.

Как классический фильтр Калмана, так и ЦКБ оказывают влияние на восстанавливаемую величину по одинаковому принципу - корректировка рассчитываемых значений плотности теплового потока на основании возмущений измеряемой температуры. Такое влияние в работе называется жесткостью.

Разработанный ранее метод параметрической идентификации с помощью классического фильтра Калмана подразумевал его использование без регулировки

жесткости. В большинстве случаев это приводило к замедленной сходимости рассчитываемой плотности теплового потока к действительному значению на первых шагах решения или запаздыванию рассчитываемого значения от действительного. Такой эффект изображен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Пример запаздывания восстановления искомых параметров в ходе

решения ОЗТ.

В работе подробно рассмотрено влияние различных значении жесткости Ц^ на восстанавливаемый параметр.

Отмечено, что увеличение значения жесткости до некоторого уровня приводит к успешной минимизации невязки плотности теплового потока. После чего решение начинает лавинообразно расходиться. Критическое значение жесткости преодолевать при решении недопустимо, однако каким является это значение наперед неизвестно.

Так как одним из факторов, который приводит к снижению оптимального значения жесткости, является случайное шумовое воздействие на модель измерений, перспективным способом минимизации невязки является сглаживание входных данных методом скользящего среднего. Его принцип основан на получении сглаженного значения в окрестностях каждой точки измерения на основе весовых коэффициентов [40].

Рассмотрен подход, заключающийся в одновременной регулировки жесткости Ц^ и сглаживании методом скользящего среднего. Отмечено, что использование метода скользящего среднего не привело к увеличению

оптимального значения жесткости фильтра Калмана, но расширило диапазон, в котором значение жесткости остается приемлемым для точности расчета. Так же снизился общий уровень невязки теплового потока для задач, где была достигнута сходимость решения задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колодийчук Павел Андреевич, 2025 год

Литература

1. Татаренко Е.И., Балашов Д. А. Автономное роботизированное судно для океанологических исследований // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки. 2009. №2 (24). С. 90 - 98.

2. Коваленко A.A. Проблема распространения звука в воде // Проблемы науки. 2020. №1 (49). С. 29-31.

3. Бреховских JI.M. Акустика неоднородных сред / JI.M. Бреховских, O.A. Годин //Т.1: Основы теории отражения и распространения звука. - 2012. - 442 с.

4. Milne Р. Н. Underwater Acoustic Positioning Systems. Gulf Publishing Company, 1983, p. 284.

5. Бабий В. И. Проблемы и перспективы измерения скорости звука в океане. - Севастополь: НПЦ «ЭКОСИ - Гидрофизика». 2009. - 142 с.

6. Каменев Г.А. РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ // Материалы VI Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум». 2014.-С. 90- 108.

7. Бренев Е. В., Кащеев А. И., Румянцев Д. П., Фороща Е. С. Измеритель скорости звука в морской воде // Геодезия и картография. 1986. - № 8. - С. 54 - 56.

8. Бутырский Е.Ю. Теоретические основы гидроакустики и акустика океана: учебное пособие. - СПб.: Стратегия будущего, 2022. - 738 с.

9. Вильфанд P.M., Зеленько A.A., Реснянский Ю.Д., Струков Б.С., Цырульников М.Д. Усвоение океанографических данных как одна из ключевых задач оперативной

океанологии // Научно-технический сборник «Гидроакустика». СПб: АО «Концерн «Океанприбор». 2023. Т. 53. С. 107 - 117

10. Греков А.Н., Греков Н.А., Шишкин Ю.Е. Исследование характеристик профилографа скорости звука и коррекция результатов измерения // Системы контроля окружающей среды. Севастополь: ИПТС. 2017. Вып. 10 (30). С. 24 - 30.

11. ГОСТ 19807-91. Титан и сплавы титановые деформируемые. Марки. М., 1991. 9с.

12. ГОСТ 1050-2013. Металлопродукция из нелегированных конструкционных качественных и специальных сталей. Общие технические условия. М., 2014. 36с.

13. Павловский В.А., Никущенко Д.В. Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2018. — 368 с.

14. Деменок С. Л. Гидродинамика и теплообмен в шаровых укладках: монография / Деменок С. Л., Медведев В. В., Сивуха С. М. СПб.: Страта, 2012. 192 с.

15. Захарова В.Ю., Файзуллин P.O., Бараненко А.В., Кузнецов П.А. Методика расчета аккумуляторов холода с веществами с фазовым переходом // Вестник Международной академии холода -2021. - № 2(79). - С. 13-20.

16. «ЗОНД СКОРОСТИ ЗВУКА И ТЕМПЕРАТУРЫ В ВОДЕ ИСЗ-1» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://xn-hlaogd.xn~plai/ru/2023/04/18/isz-l/

17. Измеритель скорости звука в морской воде РЭ ИСЗ. Методика проверки. ТГИЮ.416243.004ДЗ.

18. Wilson W. D. Equation for the speed of sound in sea water.- J. Acoust. Soc. Amer., 1960, vol.32, N 10, p. 1357

19. Pilipenko N.V., Zarichnyak Yu.P., Ivanov V.A., Khalyavin A.M. Parametric identification of differencial-difference models of heat transfer in one-dimensional bodies based on Kalman filter algorithms. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2020, vol. 20, no. 4, pp. 584-588. doi: 10.17586/2226-1494-2020-20-4-584-588

20. Пилипенко H.B., Кириллов K.B. Алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности при использовании дифференциально-разностных моделей // Научно-технический вестник СПб ГУ ИТМО -2010. - № 5. - С. 106-110

21. Пилипенко Н.В. Неопределенность восстановления нестационарного теплового потока путем параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017 Т. 60 № 7 С. 664-671. https://doi.org/10.17586/0021-3454-2017-60-7-664-671

22. Pilipenko N.V., Kolodiychuk Р.А., Zarichnyak Yu.P. Differential-difference model of heat transfer in solids using the method of parametric identification. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanicsand Optics, 2022, vol. 22, no. 6, pp. 12371240. doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240

23. Пилипенко H.B., Колодийчук П.А., Заричняк Ю.П. Дифференциально-разностная модель теплопереноса в твердых телах с использованием метода параметрической идентификации // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2022. Т. 22, № 6. С. 1237-1240. doi:10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240

24. Пилипенко Н.В., Колодийчук П.А., Захарова В.Ю., Файзуллин P.O. Восстановление нестационарного теплового потока от аккумулятора тепловой энергии путем решения обратной задачи теплопроводности // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2024. Т. 24, № 3. С. 505-512. doi: ЮЛ7586/2226-1494-2024-24-3-505-512

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ "ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

I/ÎTMO

ноябрь-декабрь 2022

Том 22 № 6

http://ntv.ifmo.ru/

SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

November-December 2022

Vol. 22 No 6

http://ntv.ifmo.ru/en/ ISSN 2500-0373 (online)

ISSN 2226-1494 (print)

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

BRIEF PAPERS

doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240 УДК 536.6

Дифференциально-разностная модель теплопереноса в твердых телах с использованием метода параметрической идентификации Николай Васильевич Пилипеико1, Павел Андреевич Колодийчук2^, Юрий Петрович Заричняк3

1>2>3 Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация

1 [e-mail], https://orcid.org/0000-0001-9328-3166

2 [e-mail], https://orcid.oig/0000-0002-9984-1613

3 [e-mail], https://orcid.org/0000-0001-8713-3583

Аннотация

Рассмотрена задача параметрической идентификации дифференциально-разностной модели процесса теплопереноса в сферическом теле. При разработке модели использован оригинальный расширенный фильтр Калмана, который позволяет учесть зависимость теплофизических свойств исследуемого объекта от температуры. Постановка задачи и полученное решение дают возможность учитывать различный характер внешнего теплового воздействия и процессы, происходящие внутри тел, в особенности при фазовых переходах в системах тел. Продемонстрировано хорошее совпадение результатов параметрической идентификации и численного моделирования с использованием программного пакета «Ansys». Показано, что предложенный в работе метод позволяет определять не только температуру в разных точках объекта, но и восстанавливать нестационарный тепловой поток на границе объекта, а также уточнять его теплофизические свойства. Рассмотренный метод параметрической идентификации дифференциально-разностной модели теплопереноса может найти применение при определении эффективности аккумуляторов тепловой энергии. Ключевые слова

дифференциально-разностная модель, сферическое тело, сферическая симметрия, фильтр Калмана, параметрическая идентификация, теплометрия

Ссылка для цитирования: Пилипенко Н.В., Колодийчук П.А., Заричняк Ю.П. Дифференциально-разностная модель теплопереноса в твердых телах с использованием метода параметрической идентификации // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2022. Т. 22, № 6. С. 1237-1240. doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240

Differential-difference model of heat transfer in solids using the method of parametric identification Nikolai V. Pilipenko1, Pavel A. Kolodiychuk2EI, Yuri P. Zarichnyak3

1,2,3 itmO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation

1 [e-mail], https://orcid.org/0000-0001-9328-3166

2 [e-mail], https://orcid.org/0000-0002-9984-1613

3 [e-mail], https://orcid.org/0000-0001-8713-3583

Abstract

The paper considers the problem of parametric identification of a differential-difference model of the heat transfer process in a spherical body. When developing the model, the original extended Kalman filter is used which allows taking into account the dependence of the thermophysical properties of the object under study on temperature. This formulation and the obtained solution of the problem make it possible to take into account the different nature of the external thermal effect and the processes occurring inside the bodies, in particular, during phase transitions in systems of bodies. The research results obtained using parametric identification and Ansys software are in good agreement. However, the method

О Пилипенко H.B., Колодийчук П.А., Заричняк Ю.П., 2022

we have considered, in contrast to the Ansys software, allows not only to determine the temperature at different points of the object, but also to restore the non-stationary heat flow at the object boundary as well as to refine its thermophysical properties. The considered method of parametric identification of the differential-difference model of heat transfer can be successfully used in determining the efficiency of heat energy storage devices. Keywords

differential-difference model, spherical body, spherical symmetry, Kalman filter, parametric identification, heat measurement

For citation: Pilipenko N.V., Kolodiychuk P. A., Zarichnyak Yu.P. Differential-difference model of heat transfer in solids using the method of parametric identification. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2022, vol. 22, no. 6, pp. 1237-1240 (in Russian), doi: 10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240

В настоящее время актуальным является решение прямых и обратных задач теплопроводности при известных граничных условиях, в особенности если внутри тела или системы тел происходят фазовые переходы. Существуют различные методы восстановления нестационарной температуры при решении прямых задач теплопроводности и нестационарного теплового потока обратных задач теплопроводности. В работе [1] приведено описание метода параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей тепло-переноса на основе рекуррентных алгоритмов фильтра Калмана, который позволил решить ряд сложных нестационарных задач [2-8]. Алгоритмы программ для решения ряда прямых и обратных задач теплопроводности при использовании дифференциально-разностных моделей и неопределенности, полученные при решении различных задач, приведены в работах [2-8].

Представляет интерес использование подхода [2-8] в аккумуляторах тепловой энергии [9,10] с целью увеличения эффективности действующего объекта. В отличие от рассмотренных в [2-8] задач, где выполнен анализ тела или системы тел в виде плоских стенок с расположенными на их поверхностях преобразователями теплового потока, в работах [9, 10] аккумулятор имеет сферическую форму со специфическими процессами теплопереноса.

Отметим, что в настоящей работе использован оригинальный расширенный фильтр Калмана, который позволяет учесть нелинейность задачи, а именно зависимость теплофизических свойств от температуры.

Цель работы — получение дифференциально-разностной модели теплопереноса сферического тела и определение адекватности разработанной модели реальному процессу теплообмена в процессе решения прямой задачи теплопроводности с использованием расширенного фильтра Калмана и с помощью программного обеспечения (ПО) «Ашув».

В качестве физической модели выбран стальной шарик диаметром 30 мм, находящийся в текучей среде, температура которой меняется по гармоническому закону 1ср = 1008т(5т). Гидродинамические параметры среды таковы, что коэффициент теплоотдачи к поверхности шарика постоянен и равен а = 100 Вт/(м2-К). Требуется установить динамику температуры центральной части исследуемого тела.

Решение задач выполнено на основании алгоритма, рассмотренного в работах [1,3]: объект условно разбит на и блоков (например п = 20), и для каждого составлено уравнение теплового баланса.

После проведения ряда преобразований составлена дифференциально-разностная модель процесса теплопереноса от первого до последнего блока с указанием граничного условия на первом блоке.

В общем случае дифференциально-разностная модель имеет вид [1]

^Т(т) = Р(т)Т(т) + С(т)и(т), А

где Р(т) и С(т) — матрицы обратных связей и управления; и(т) и Т(т) — вектора управления и состояния; т — время.

Приведем выражения для расчета скоростей изменения температуры на первом (внешнем), втором, девятнадцатом и двадцатом (центральном) блоках исследуемого тела в связи с наличием ряда особенностей при их выводе. Выражения для скоростей изменения температуры блоков 3-19 идентичны второму, поэтому выражения 3-18 не приводятся.

dt^ _ Зд(т)Б _ЗаБ^2_

А 4сря(Д23-.К13) (R1-1-R2-1)(R23-Ris) ЗаУ.г,_

dt1 За^

А "(Дг'-Дг'ХД,3-«23)"

-Г—^—-—^—-^-,

и^-'-Яз-1) (Дг1-^-1)/ (Я^-Яг-Ж'-Яг3)

d1 ~ (Д19-' - ДдГ'ХДи)3 - ^193) "

-( | Зд% +

\ (Д19 1 - Я20 ') (Л,8 1 - ') /

_3 «^18^18_

(Rlt-1-R19-')(R2ol-R19>),

¿^20 _ _Зд£19?20__

А "(Д^-^УЛо3-^,3) +-----,

(Л191-R201)(Д203 - R19,)

где д(т) — поступающий на поверхность тела нестаци-

А,

онарный тепловой поток; х — время; а = — — темпе-

ПО «Ansys»

Фильтр

Калмана

Рисунок. Результаты решения прямой задачи теплопроводности Figure. The results of solving the direct problem of heat conduction

ратуропроводностъ; г — номер блока; гг- — температура г-го блока; Щ — внешний радиус г-го блока; с — удельная теплоемкость; р — плотность; X — теплопроводность; 51,- — площадь внешней поверхности г-го блока.

На рисунке представлены результаты расчета температуры центра модельного шара при выбранном законе изменения температуры окружающей среды. Расчеты выполнены с использованием метода параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей процесса теплопереноса и численного метода ПО «АшуБ».

Результаты, полученные с помощью метода параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей процесса теплопереноса и ПО «Апвув», совпадают при решении прямой задачи, что говорит об адекватности выбранной модели теплопереноса. Отметим, что рассмотренный метод параметрической идентификации, в отличие о численного ПО, позволил не только определить температуру в разных точках объекта, но и восстановить значение нестационарного теплового потока на границе объекта и уточнить его теплофизические свойства.

Литература

1. Пилипенко Н.В., Заричняк Ю.П., Иванов В.А., Халявин А.М. Параметрическая идентификация дифференциально-разностных моделей теплопереноса в одномерных телах на основе алгоритмов фильтра Калмана // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2020. Т. 20. № 4. С. 584-588. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2020-20-4-584-588

2. Кириллов КВ., Пилипенко Н.В. Алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности при использовании дифференциально-разностных моделей // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. №5(69). С. 106-110.

3. Пилипенко Н.В. Неопределенность восстановления нестационарного теплового потока путем параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017. Т. 60. № 7. С. 664-671. https://doi.org/10.17586/0021-3454-2017-60-7-664-671

4. Pilipenko N.V., Gladskih D.A. Détermination of the heat losses of buildings and structures by solving inverse heat conduction problème // Measurement Techniques. 2014. V. 57. N 2. P. 181-186. https://doi. org/10.1007/s11018-014-0427-y

5. Сиваков И.А., Пилипенко H.B. Применение фильтра Калмана при восстановлении плотности теплового потока на поверхности объекта исследования в импульсной аэродинамической трубе // Сборник докладов IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии в науке, образовании и экономике». 2012. С. 55-58.

6. Пилипенко Н.В. Динамические характеристики различных типов приемников тепловых потоков на основе дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2009. № 3(61). С. 52-58.

7. Пилипенко Н.В. Неопределенность измерения нестационарной температуры поверхности массивных тел // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2016. Т. 59. № 9. С. 767772. https://doi.org/10.17586/0021-3454-2016-59-9-767-772

8. Пилипенко Н.В. Использование расширенного фильтра Калмана в нестационарной теплометрии при решении обратных задач

References

1. Pilipenko N.V., Zarichnyak Yu.P., Ivanov V.A., Khalyavin A.M. Parametric identification of differencial-difference models of heat transfer in one-dimensional bodies based on Kalman filter algorithms. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2020, vol. 20, no. 4, pp. 584—588. (in Russain). https://doi.oig/10.17586/2226-1494-2020-20-4-584-588

2. Kirillov K., Pilipenko N. Solution algorithms for direct and backward heat conductivity problems by means of differential-difference models. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2010, no. 5(69), pp. 106-110. (in Russian)

3. Pilipenko N.V. Uncertainty of non-stationary heat flux recovery by parametric identification of differential-difference model of heat transmission. Journal of Instrument Engineering, 2017, vol. 60, no. 7, pp. 664-671. (in Russian), https://doi.oig/10.17586/0021-3454-2017-60-7-664-671

4. Pilipenko N.V., Gladskih D.A. Determination of the heat losses of buildings and structures by solving inverse heat conduction problems. Measurement Techniques, 2014, vol. 57, no. 2, pp. 181-186. https:// doi.org/10.1007/sll018-014-0427-y

5. Sivakov I.A., Pilipenko N.V. Kalman filter application when restoringheat flux density on study object surface in pulsed wind tunnel. Proc. IVAll-Russian Scientific-Practical Conference with International Participation "Information Technologies in Science, Education and Economy", 2012, pp. 55-58. (in Russian)

6. Pilipenko N. Dynamic characteristics for different types of heat flow receivers based on differential-difference models of heat transfer. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2009, no. 3(61), pp. 52-58. (in Russian)

7. Pilipenko N.V. The uncertainty of measuring unsteady surface temperature of massive bodies. Journal of Instrument Engineering, 2016, vol. 59, no. 9, pp. 767-772. (in Russian). https://doi. org/10.17586/0021-3454-2016-59-9-767-772

8. Pilipenko N.V. Using the extended Kalman filter in nonstationary thermal measurement when solving inverse heat transfer problems. Journal of Instrument Engineering, 2019, vol. 62, no. 3, pp. 212-217. (in Russian), https://doi.org/10.17586/0021-3454-2019-62-3-212-217

9. Bosholm F., L6pez-Navarro A., Gamarra M., Corberan J.M., Pay& J. Reproducibility of solidification and melting processes in a latent heat thermal storage tank. International Journal of Refrigeration, 2016, vol. 62, pp. 85-96. https://doi.Org/10.1016/j.ijrefiig.2015.10.016

теплопроводности // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2019. Т. 62. № 3. С. 212-217. https://doi. org/10.17586/0021-3454-2019-62-3-212-217

9. Bosholm F., L6pez-Navarro A., Gamarra M., Corberan J.M., Paya J. Reproducibility of solidification and melting processes in a latent heat thermal storage tank // International Journal of Refrigeration. 2016. V. 62. P. 85-96. https://doi.Org/10.1016/j.ijrefiig.2015.10.016

10. Sharma A., Tyagi V.V., Chen C.R., Buddhi D. Review on thermal energy storage with phase change materials and applications // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2009. V. 13. N 2. P. 318-345. https://doi.Org/10.1016/j.rser.2007.10.005

10. Sharma A., Tyagi V.V., Chen C.R., Buddhi D. Review on thermal energy storage with phase change materials and applications. Renewable and Sustainable Energy Reviews, 2009, vol. 13, no. 2, pp. 318-345. https://doi.Org/10.1016/j.rser.2007.10.005

Авторы

Пилипенко Николай Васильевич — доктор технических наук, профессор, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [0 7006938207, https://orcid.org/0000-0001-9328-3166, [e-mail]

Колодийчук Павел Андреевич — аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Ьйрв://оп^. о^0000-0002-9984-1613, [e-mail] Заричняк Юрий Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ЕЗ 6701513411, https://orcid.org/0000-0001-8713-3583, [e-mail]

Authors

Nikolai V. Pilipenko — D. Sc., Professor, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, E3 7006938207, https://orcid.org/0000-0001-9328-3166, [e-mail]

Pavel A. Kolodiychuk — PhD Student, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, https://orcid.org/0000-0002-9984-1613, [e-mail]

Yuri P. Zarichnyak — D. Sc. (Physics & Mathematics), Professor, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, □ 6701513411, https://orcid.org/0000-0001-8713-3583, [e-mail]

Статья поступила в редакцию 16.07.2022 Одобрена после рецензирования 25.10.2022 Принята к печати 16.11.2022

Received 16.07.2022

Approved afier reviewing 25.10.2022

Accepted 16.11.2022

Работа доступна по лицензии Creative Commons «Attribution-Noncommercial»

l/ITMO

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ "ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ май-июнь 2024 Том 24 №3 http://ntv.ifmo.nj/

SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS May-June 2024 Vol. 24 No 3 http://ntv.lfmo.ru/en/

ISSN 2226-1494 (print) ISSN 2500-0373 (online)

doi: 10.17586/2226-1494-2024-24-3-505-512 УДК 536.6

Восстановление нестационарного теплового потока от аккумулятора тепловой энергии путем решения обратной задачи теплопроводности Николай Васильевич Пилипеико1, Павел Андреевич Колодийчук2^, Виктория Юрьевна Захарова3, Рафаэль Олегович Файзуллин4

1,2,3,4 Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация

1 [e-mail], https://orcid.org/0000-0001-9328-3166

2 [e-mail], https://orcid.oig/0000-0002-9984-1613

3 [e-mail], https://orcid.org/0000-0002-8554-3260

4 [e-mail], https://orcid.org/0000-0002-3045-4447

Аннотация

Введение. Рассмотрена задача восстановления нестационарного теплового потока от хладоносителя к теплоаккумулирующему веществу отдельного элемента теплового аккумулятора. Решение задачи позволяет избежать ошибок, связанных с усреднением теплового потока по всем аккумуляторным элементам, и предоставляет возможность находить оптимальные размеры и состав наполнителя для каждого элемента аккумулятора. Задача особенно актуальна для каскадных аккумуляторов, где одновременно применяются элементы с различными наполнителями. Метод. Проведено сравнение двух методов решения задачи. Первый метод основан на численном моделировании процесса разрядки аккумулятора тепловой энергии с использованием программного пакета Computational Fluid Dynamics. Второй метод, представленный в настоящей работе, основан на параметрической идентификации дифференциально-разностной модели переноса тепла с решением обратной задачи теплопроводности совместно со сквозным счетом. Предлагаемый метод позволяет сглаживать скачкообразно изменяющиеся теплофизические характеристики и учитывать подвижную границу раздела фаз вещества. Основные результаты. Метод решения обратной задачи теплопроводности дает возможность существенно уменьшить время восстановления нестационарных граничных условий теплообмена для всего аккумулятора. В результате снижаются требования к вычислительным ресурсам при проектировании и оптимизации аккумулятора за счет облегчения экспериментального перебора. Впервые рассмотрено и предложено применение метода параметрической идентификации и сквозного счета при решении задачи Стефана. Обсуждение. Полученные результаты могут быть использованы для вычисления теплового потока от отдельного элемента аккумулятора тепловой энергии. Ключевые слова

аккумулирование тепловой энергии, математическое моделирование, восстановление теплового потока, обратная

задача теплопроводности, нелинейный фильтр Калмана

Благодарности

Исследование выполнено при поддержке Университета ИТМО в рамках проекта «Повышение эффективности энергетических систем путем использования аккумуляторов тепловой энергии» (№ 620150).

Ссылка для цитирования: Пилипенко Н.В., Колодийчук П.А., Захарова В.Ю., Файзуллин P.O. Восстановление нестационарного теплового потока от аккумулятора тепловой энергии путем решения обратной задачи теплопроводности // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2024. Т. 24, № 3. С. 505-512. doi: 10.17586/2226-1494-2024-24-3-505-512

) Пилипенко Н.В., Колодийчук П.А., Захарова В.Ю., Файзуллин P.O., 2024

Restoration of unsteady heat flow from a thermal energy accumulator by solving the inverse heat conduction problem

Nikolai V. Pilipenko1, Pavel A. Kolodiychuk2^, Victoria Yu. Zakharova3, Rafael O. Faizullin4

1,2,3,4 itmO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation

1 [e-mail], https://orcid.org/0000-0001-9328-3166

2 [e-mail], https://orcid.org/0000-0002-9984-1613

3 [e-mail], https://orcid.org/0000-0002-8554-3260

4 [e-mail], https://orcid.org/0000-0002-3045-4447

Abstract

This paper considers the problem restoring a non-stationary heat flow from a coolant to a heat-storing substance of a separate element of a thermal accumulator. Solving the problem allows avoiding errors associated with averaging the heat flow over all battery cells, and provides the opportunity to find the optimal sizes and composition of the filler for each battery cell. The problem is especially relevant for cascade batteries where cells with different fillers are simultaneously used. A comparison is made of two methods for solving the problem. The first method is based on numerical simulation of the thermal energy storage discharge process using the Computational Fluid Dynamics software package. The second approach proposed by the authors is based on the parametric identification of a differential-difference model of heat transfer with the solution of the inverse problem of heat conduction together with coefficient smoothing calculation. The proposed method makes it possible to smooth out abruptly changing thermophysical characteristics and take into account the moving phase boundary of a substance. The method for solving the inverse heat conduction problem can significantly reduce the recovery time of non-stationary boundary conditions of heat transfer for the entire battery and, thus, reduce the requirements for computing resources when designing and optimizing the battery by facilitating experimental search. For the first time, the use of the method of parametric identification and calculation of smoothing coefficients for solving the Stefan problem was considered and proposed. The results obtained can be used to calculate the heat flow from an individual element of a thermal energy accumulator. Keywords

thermal energy accumulation, mathematical modeling, heat flow restoration, inverse heat conduction problem, Kalman filter

Acknowledgements

This study was supported by ITMO University as part of the project "Increasing the efficiency of energy systems through the use of thermal energy batteries" (No. 620150).

For citation: Pilipenko N.V., Kolodiychuk P.A., Zakharova V.Yu., Faizullin R.O. Restoration of unsteady heat flow from a thermal energy accumulator by solving the inverse heat conduction problem. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2024, vol. 24, no. 3, pp. 505-512 (in Russian), doi: 10.17586/2226-1494-2024-24-3-505-512

Введение

Увеличение спроса в мире на электроэнергию и истощение ископаемых природных ресурсов являются ключевыми факторами развития энергоэффективных технологий [1].

Солнечные, приливные и ветряные электростанции не обладают постоянством генерирующих мощностей [2] и без использования дополнительного оборудования не гарантируют стабильность передачи электроэнергии потребителю. Для бесперебойного снабжения электроэнергией применяются различные системы накопления тепловой энергии, которые могут размещаться как на стороне клиента, так и на стороне поставщика. Эксплуатация аккумуляторов пользователем снижает пиковые нагрузки на инфраструктуру поставщика и обеспечивает защищенность от кратковременных сбоев работы сети [3].

Аналогичный характер использования имеют системы вентиляции и охлаждения: в дневное время наблюдается пик потребления, а ночью активность уменьшается [4]. Применение накопителей холода является перспективной формой аккумулирования энергии [5-7]. В работах [8-12] описаны результаты экспериментальных исследований, в которых отсутствуют значения теплового потока от аккумуляторного элемента к те-

плоносителю. При этом были зафиксированы температуры хладоносителя на входе и выходе из резервуара аккумулятора, с использованием которых проводился расчет теплового потока. Значения теплового потока, полученные подобным образом, являются приблизительными, поскольку включают в себя теплопритоки от окружающей среды через внешние стенки резервуара. В случае распределения элементов в виде засыпки с упорядоченной структурой (рис. 1) [13], выполненные расчеты характеризуют усредненный тепловой поток после прохождения слоя засыпки, не описывая тепловой поток от отдельных элементов. В эксперименте, приведенном в работе [9], наблюдается неравномерность скорости плавления в слое засыпки, что указывает на отклонения значений теплового потока отдельных элементов. В результате снижается эффективность работы аккумулятора тепловой энергии, поскольку максимальная энергоемкость приходится на теплоту фазового перехода, а часть аккумулятора уже прошла через фазовый переход и находится в нерабочем режиме, в отличии от оставшегося массива аккумулятора.

В связи с этим становится важным определение нестационарного теплового потока между хладоноси-телем и отдельным элементом в засыпке. Это позволит не только избежать ошибок, связанных с усреднением теплового потока по всем аккумуляторным элементам,

Тепловой поток теплоносителя

Стеклянная колба

Муравьиная кислота (жидкость)

Муравьиная кислота (твердое тело)

Граница раздела фаз

Охлажденный теплоноситель

Аккумуляторные элементы

Горячий теплоноситель на входе

Рис. 1. Модель теплового аккумулятора: тепловая модель аккумуляторного элемента — капсулы (а); размещение капсул

в аккумуляторе ф)

Fig. 1. Thermal accumulator model: thermal model of the battery element — capsule (a); placement of capsules in the battery (b)

но также предоставит возможность находить оптимальные размеры и состав наполнителя для каждого элемента в процессе эксперимента. Решение данной задачи особенно актуально для каскадных аккумуляторов, где одновременно применяются элементы с различными диаметрами капсул и их наполнителями [14, 15].

Постановка задачи и цель исследований

Необходимо восстановить нестационарный тепловой поток от хладоносителя (воды) к теплоаккумулиру-ющему веществу (муравьиной кислоте) для отдельного элемента аккумулятора тепловой энергии через его стенку (стекло). Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

— выполнить моделирование процесса разрядки аккумулятора тепловой энергии в пакете Computational Fluid Dynamics (CFD) для получения значений нестационарного теплового потока и температуры на внешней стенке элемента аккумулятора;

— на основе расчетных температур осуществить восстановление теплового потока с помощью решения обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) методом параметрической идентификации;

— выполнить сравнение результатов определения теплового потока, полученных в результате CFD-моделирования, и с помощью решения ОЗТ методом параметрической идентификации.

Для определения нестационарного теплового потока и температур на внешней стенке элемента осуществим моделирование процесса плавления муравьиной кислоты, используя CFD-моделирование в программе Ansys Fluent 2021 Rl.

С целью оптимизации скорости расчета в ходе CFD-моделирования процессов теплообмена в аккумуляторе тепловой энергии введем следующие допущения: осе-симметричная постановка задачи; поверхность эле-

мента представляет собой идеальную сферу; для описания конвективных потоков применено приближение Буссинеска [16].

В программе Ansys Fluent 2021 Rl поведение однофазной неизотермической жидкости опишем уравнениями сохранения движения, массы и энергии. Для сжимаемой жидкости уравнение сохранения массы примет следующий вид [17]:

-у + V(pv) = 0, (1)

ах

где р — плотность; т — время; v — скорость. Запишем уравнение количества движения:

—(pv) + V(pv2) = -V» + Vc + pg + F, (2) dt

где р — давление; о — тензор напряжений; g — ускорение свободного падения; F — внешние силы.

Уравнение сохранения энергии представляет собой закон сохранения тепла для элементарной ячейки:

—(pi<) + v(v(p£+;?)) =

ат

(3)

= Ч(Хе/7Т- 1М + (а^)) +

у

р V2

где Е = к- — н— — полная энергия ячейки; к = +

т р 2

+ | срс1Т— удельная энтальпия ячейки за счет теплоемкости; — эффективная теплопроводность среды с учетом турбулентных эффектов для жидкой фазы; ^ — скорость диффузионного потока; — тензор вязких напряжений; £— источник теплоты, в том числе теплоты плавления; А,- и Т— начальные значения энтальпии и среднеобъемной температуры ячейки; ср — удельная

теп тто емкг> гтт.

Уравнения (1)-(3) образуют систему уравнений Навье-Стокса. Для описания конвективных эффектов используется приближение Буссинеска, особенностью которого является замена функциональной зависимости плотности от температуры в уравнениях сохранения импульса, массы и энергии на постоянную плотность, за исключением члена, отвечающего за плавучесть в уравнении импульса:

где р0 и Т0 — начальные значения плотности и температуры; р — коэффициент теплового расширения. Это приближение является точным, пока изменения плотности несущественны.

Энтальпия материала для каждой ячейки вычисляется как сумма теплоты фазового перехода Н и теплоты А, полученной за счет теплоемкости:

Н=к+Н.

Теплоту фазового перехода в ячейке можно описать как произведение теплоты фазового перехода вещества Ь и объемной доли жидкости у:

Н=уЬ.

Для задач фазового перехода уравнение энергии запишем в виде:

4(рЯ)+?(руЯ) = 7(^/77)+ (4)

ах

В результате значение температуры является следствием итерационного расчета уравнений (1), (2) и (4). Рассчитаем плотность теплового потока от теплоносителя к поверхности аккумуляторного элемента по закону Ньютона-Рихмана [18]:

д = а(Та-Тх),

где а =-— коэффициент теплоотдачи от теппоно-

И

сителя к поверхности аккумуляторного элемента; № = 0,825Ке°>62; Яе = /)|у|/|х; О — наружный диаметр аккумуляторного элемента; ц — кинематическая вязкость; |у| — модуль вектора скорости; Та и Т8 — температуры теплоносителя и внешней поверхности стеклянной колбы.

Для ромбической засыпки капсул теплоаккуму-лирующих веществ уравнение Нуссельта применимо при значениях критерия Рейнольдса от 2-102 до 2-104. Формулы Нуссельта для других типов засыпок приведены в работе [18].

Аккумулятор тепловой энергии, состоящий из нескольких элементов с известным начальным равномерным распределением температуры, в начальный момент времени помещается в резервуар с текущим теплоносителем постоянной температуры Та. Начальные и граничные условия приведены в [15]. На внешней поверхности элемента задается граничное условие 3-го рода. Температура теплоносителя на входе резервуара равна 298,15 К, а коэффициент теплоотдачи от поверх-

ности элемента к теплоносителю — 390 Вт/(м2-К), значение которого для данных параметров конструкции и расхода рассчитано в работе [19]. Начальная температура аккумуляторного элемента равна 275,15 К. Теплофизические свойства стекла и муравьиной кислоты приведены в [20].

Настройки алгоритма

Для решения поставленной задачи применим алгоритм SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations) [21]. Для описания фазового перехода твердое тело-жидкость используем энтальпийно-пористый подход [22], при этом константа пористой зоны равна 107. Пространственную оценку градиентов вычисляемых величин опишем схемой Green-Gauss Cell Based, а градиент давления — PRESTO [21]. Для уравнений импульса и энергии зададим 2-й порядок аппроксимации. Также для поля скоростей применим невязки Ю-5, для энергии 10~6. Шаг по времени составит 0,1 с. Расчет выполним на рабочей станции с двумя процессорами Intel® Xeon® Е5-2680 v3 и 64 ГБ оперативной памяти, используя 38 потоков. Получим итоговое время расчета 9 ч 27 мин.

Увеличение скорости расчета можно получить за счет использования структурированной расчетной сетки, размер и качество которой являются параметрами, значительно влияющими на точность и скорость расчета. В качестве элементов были выбраны выпуклые четырехугольники. С целью определения оптимальной пространственной сетки проведен ряд расчетов, в которых размер ее шага уменьшается до тех пор, пока не перестанет изменяться значение теплового потока от теплоносителя к элементу и объемной доли жидкой фазы муравьиной кислоты.

Результаты CFD-моделирования

Результаты, полученные с помощью компьютерного моделирования, хорошо соотносятся с эмпирическими данными [20]. Экспериментальное время полной разрядки аккумулятора составило 33 мин, в случаях с сетками размерами 16 тыс. и 20 тыс. элементов время разрядки — 31 мин. Данные, полученные с применением расчетных сеток размером в 16 тыс. и 20 тыс. элементов, практически соответствуют друг другу. Это говорит о том, что значение в 16 тыс. элементов является оптимальным и достигает точность, сравнимую с сеткой большего размера. При этом сокращаются время расчета и объем используемой оперативной памяти.

Отметим, что приведенный в разделе «Постановка задачи и цель исследований» численный метод решения задачи позволяет подробно моделировать температурные поля внутри объекта, но его использование требует большой вычислительной мощности и, соответственно, ведет к повышению времени выполнения расчета.

Рассмотренный в работе [23] метод параметрической идентификации, позволяет существенно упростить решение в части размерности и учета гидродинамических потоков, получить решение не только прямых, но и обратных задач теплопроводности, причем не

прибегая к одношаговым итерационным методам минимизации невязки исследуемой величины. Приведенная задача теплопроводности аккумулятора тепловой энергии представляет собой задачу Стефана, описывающую изменение фазового состояния вещества с подвижной границей раздела фаз, что делает постановку задачи нелинейной. Подобного рода задачи ранее считались методом параметрической идентификации либо с постепенным изменением начальных условий для учета движения границы раздела твердого тела и текучей среды, что вызывало разбиение автоматического этапа вычислений на множество промежуточных шагов, либо с введением источника или стока тепловой энергии на крайних элементах математической модели для учета изменения внутренней энергии при фазовом переходе.

Перечисленные особенности могут быть устранены введением метода сквозного счета [24], который является перспективным направлением дальнейшего развития метода параметрической идентификации и позволяет решать задачи Стефана более эффективно с точки зрения занимаемого времени и автоматизации расчета.

Параметрическая идентификация

В общем случае решение ОЗТ методом параметрической идентификации имеет следующую особенность — минимизация функции невязки проводится итерационным одношаговым методом, требующим рассмотрение большого массива данных. Для ускорения расчетов был выбран рекуррентный фильтр Калмана, позволяющий проводить многошаговое решение. При этом тепловой поток q представляется в виде обобщенного полинома, неизвестные коэффициенты которого определяются с помощью математической модели и результатов измерений [25]:

г

= Ез/р/т),

м

где фу(т) — система базисных функций; qj — неизвестные коэффициенты, составляющие вектор искомых параметров; г — количество разбиений временной шкалы.

В Университете ИТМО разработана программа «Heat Identification» [26], позволяющая решать ОЗТ методом параметрической идентификации с помощью классического фильтра Калмана. Решение начинается с построения дифференциально-разностной модели, которая состоит из системы однородных дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями, описывающими процессы теплоперено-са в исследуемом теле. Такой модели достаточно для восстановления нестационарного теплового потока в исследуемом объекте [23,27].

Метод сквозного счета

Решение задачи Стефана методом сквозного счета заключается в том, что скачкообразно изменяющиеся теплофизические характеристики исследуемого вещества сглаживаются, что облегчает решение задачи ценой потери информации о точном нахождении границы

фазового перехода [24]. При этом решение ОЗТ в одномерных координатах сводится к решению обобщенного уравнения теплопроводности [28]:

с/Г й ( йТ

(с{Т)+ш(т- г.»-=- т—

м ах\ ах

с(Т)-

ЦТ)-

с\, Т< T«, с2, Т> Т»,

хь т< г., h ,т> Г.,

где Т — температура исследуемого тела; Г» — температура фазового перехода вещества; с,- — удельная теплоемкость; 5 — толщина исследуемого тела; \ — теплопроводность вещества; г — фаза вещества (индексы: 1 — твердое тело, 2 — жидкость).

При переходе к численному решению методом сквозного счета разрывные функции сглаживаются, а функция теплоемкости содержит теплоту плавления. Тогда уравнение теплопроводности преобразуем к виду:

йТ й ( йТ с(ТЛ)— = —\ЧТЛ)—

ш ах\ ах

с(Т, Д) = .

ЦТ, A)=J

сьТ<Т,- А,

Ci + С2 H

-- + —,Т*-А<Т<Т*+А,

2 2А

_съТ>Т,+А,

т< т,

-А,

Г,-Д<Г<Г, +А,

<Х2,Т>Т,+ А,

где А — половина интервала сглаживания.

Отметим, что скачок значения теплоемкости стремится к бесконечности, так как теплота плавления выделяется или поглощается без изменения температуры. Применение метода сквозного счета позволило ограничить значение теплоемкости путем расширения скачка на короткий интервал изменения температуры. В работе [29] теплота фазового перехода равномерно прибавлялась к теплоемкости теплоаккумулирующего материала в некотором интервале температур. Такой подход позволял описывать линейную математическую модель, однако приводил к тяжело оцениваемым неопределенностям. Интервал температур заранее неизвестен и его необходимо было рассчитывать заново для каждой новой постановки задачи. Края этого интервала должны соответствовать экстремумам значений температуры в течение эксперимента, которые заранее неизвестны. В свою очередь, предложенный метод позволяет решать задачу Стефана с коротким интервалом сглаживания скачкообразных изменений свойств исследуемого вещества.

Подчеркнем, что решение методом сквозного счета не позволяет точно определить границу раздела фаз. Если температура в определенной точке удовлетворяет условию Г < Т*, то тело имеет твердое агрегатное состояние, если Т> Т* — то жидкое. Таким образом, для

рассматриваемой задачи критерием завершения процесса разморозки является условие, что в любой точке исследуемого тела, где находится муравьиная кислота, соблюдается неравенство Т>Т*.

Так как физическая модель имеет шаровую симметрию, решение выполнено в одномерных координатах, где х = 0 — центр элемента, а х = 33 мм — его внешняя поверхность. Разобьем модель на сферические блоки толщиной 2 мм для муравьиной кислоты и 0,5 мм для стекла. Пограничные блоки имеют толщину, равную половине от толщины соседнего блока, описывающего аналогичное вещество.

Принцип построения системы дифференциальных уравнений, описывающих теплоперенос в объекте с геометрической симметрией, представлен в работе [27]. Изменение температуры поверхности элемента во времени, которое было получено из решения CFD-моделирования, подаются на вход программы «Heat Identification». Итоговое время расчета данным методом составляет 14 мин.

В условиях реального эксперимента значения температуры принимаются по показаниям преобразователя температуры, прикрепленного на поверхность исследуемого объекта.

Результаты решения

На рис. 2 представлены результаты решения ОЗТ — восстановления нестационарного теплового потока методом параметрической идентификации и сопоставлены с решением, полученным при СЕЮ-моделировании. Вследствие резких перепадов температур в начальный момент времени результаты определения теплового потока методом параметрической идентификации подвержены значительным колебаниям, для борьбы с которыми выходные данные были аппроксимированы В-сплайнами 1-го порядка с шириной аппроксимации 30 с.

Заключение

Рассмотрены два метода восстановления нестационарного теплового потока от хладоносителя к тепло-аккумулирующему веществу для отдельного элемента

4000

н Я

g зооо

2000

юоо

Метод параметрической идентификации CFD

-——

10 20 Время, мин

30

Рис. 2. Плотность нестационарного теплового потока на поверхности аккумуляторного элемента тепловой энергии Fig. 2. Non-stationary heat flux on the surface of a thermal energy battery element

аккумулятора тепловой энергии. Первый метод — с помощью численного моделирования процесса разрядки с использованием Computational fluid dynamics пакета. Второй — путем параметрической идентификации дифференциально-разностной модели теплоперено-са при решении обратной задачи теплопроводности совместно со сквозным счетом, который позволяет сглаживать скачкообразно изменяющиеся теплофизиче-ские характеристики и учитывать подвижную границу раздела фаз вещества. Предложенный метод решения обратной задачи теплопроводности значительно сокращает время восстановления граничных условий теплообмена для элемента аккумулятора с 9 ч 27 мин до 14 мин и, таким образом, существенно ускоряет процесс перебора оптимизационных параметров при проектировании и снижает требования к вычислительным мощностям. Такого результата удалось добиться благодаря тому, что метод параметрической идентификации восстанавливает тепловой поток напрямую, в отличие от других пакетов программ, которые делают это методом параметрической оптимизации. К недостаткам можно отнести работу исключительно с одномерными телами, в том числе с симметрией.

Литература

Sorrell S. Reducing energy demand: A review of issues, challenges and approaches // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2015. V. 47. P. 74-82. https://doi.Org/10.1016/j.rser.2015.03.002 Rahman A., Farrok O., Haque M.M. Environmental impact of renewable energy source based electrical power plants: Solar, wind, hydroelectric, biomass, geothermal, tidal, ocean, and osmotic // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2022. V. 161. P. 112279. https://doi.Org/10.1016/j.rser.2022.112279

Cirocco L., Pudney P., Riahi S., Liddle R., Semsarilar H., Hudson J., Bruno F. Thermal energy storage for industrial thermal loads and electricity demand side management // Energy Conversion and Management. 2022. V. 270. P. 116190. https://doi.Org/10.1016/j. enconman.2022.116190

Vakilaltojjar S.M., Saman W. Analysis and modelling of a phase change storage system for air conditioning applications // Applied

References

Sorrell S. Reducing energy demand: A review of issues, challenges and approaches. Renewable and Sustainable Energy Reviews, 2015, no. 47, pp. 74-82. https://doi.Org/10.1016/j.rser.2015.03.002 Rahman A., Farrok O., Haque M.M. Environmental impact of renewable energy source based electrical power plants: Solar, wind, hydroelectric, biomass, geothermal, tidal, ocean, and osmotic. Renewable and Sustainable Energy Reviews, 2022, vol. 161, pp. 112279. https://doi.0rg/lO.lOl6/j.rser.2O22.li2279 Cirocco L., Pudney P., Riahi S., Liddle R., Semsarilar H., Hudson J., Bruno F. Thermal energy storage for industrial thermal loads and electricity demand side management. Energy Conversion and Management, 2022, vol. 270, pp. 116190. https://doi.0rg/lO.lOl6/j. enconman.2022.116190

Vakilaltojjar S.M., Saman W. Analysis and modelling of a phase change storage system for air conditioning applications. Applied

Thermal Engineering. 2001. V. 21. N 3. P. 249-263. https://doi. org/10.1016/S1359-4311(00)00037-5

5. DNV GL. Energy Transition Outlook 2020 (A global and regional forecast to 2050). DNV GLAS Publications, 2020. P. 44-46.

6. Nada S., Alshaer W., Saleh R. Experimental investigation of PCM transient performance in free cooling of the fresh air of air conditioning systems // Journal of Building Engineering. 2020. V. 29. P. 101153. https://doi.Org/10.1016/j.jobe.2019.101153

7. Jin X., Wu F., Xu Т., Huang G., Wu H., Zhou X., Wang D., Liu Y., Lai A.C. Experimental investigation of the novel melting point modified Phase-Change material for heat pump latent heat thermal energy storage application// Energy. 2021. V. 216. P. 119191. https:// doi.org/10.1016/j.energy.2020.119191

8. Kasibhatla R.R., Briiggemann D. Coupled conjugate heat transfer model for melting of PCM in cylindrical capsules // Applied Thermal Engineering. 2021. V. 184. P. 116301. https://doi.Org/10.1016/j. applthermaleng.2020.116301

9. Arkar C., Medved S. Influence of accuracy of thermal property data of a phase change material on the result of a numerical model of a packed bed latent heat storage with spheres // Thermochimica Acta. 2005. V. 438. N 1-2. P. 192-201. https://doi.Org/10.1016/j. tca.2005.08.032

10. Cho K., Choi S.H. Thermal characteristics of paraffin in a spherical capsule during freezing and melting processes // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2000. V. 43. N 17. P. 3183-3196. https:// doi.org/10.1016/S0017-9310(99)00329-4

11. Benmansour A., Hamdan M.A., Bengeuddach A. Experimental and numerical investigation of solid particles thermal energy storage unit // Applied Thermal Engineering. 2006. V. 26. N 5-6. P. 513-518. https://doi.Org/10.1016/j.applthermaleng.2005.07.014

12. Bedecarrats J.P., Strub F., Falcon В., Dumas J.P. Phase-change thermal energy storage using spherical capsules: performance of a test plant // International Journal of Refrigeration. 1996. V. 19. N 3. P. 187-196. https://doi.org/10.1016/0140-7007(95)00080-1

13. Захарова В.Ю., Файзуллин P.O., Бараненко A.B., Кузнецов П.А. Методика расчета аккумуляторов холода с веществами с фазовым переходом // Вестник Международной академии холода. 2021. №2(79). С. 13-20. https://doi.org/10.17586/1606-4313-2021-20-2-13-20

14. Мао Q., Сао W. Effect of variable capsule size on energy storage performances in a high-temperature three-layered packed bed system // Energy. 2023. V. 273. P. 127166. https://doi.Org/10.1016/j. energy.2023.127166

15. Gao L., Dong L., Liu Z., Gegentana, Che D., Sun B. Thermal performance analysis and multi-objective optimization of thermal energy storage unit with cascaded packed bed in a solar heating system //Applied Thermal Engineering. 2023. V. 219. P. 119416. https://d0i.0rg/l 0.1016/j .applthermaleng.2022.119416

16. Батурин О.В., Морозов И.И., Рабкесов И.В. Изучение гидрогазодинамических течений с помощью универсального программного комплекса Fluent: учебное пособие. Самара: СГАУ, 2007.128 с.

17. Павловский В.А., Никущенко Д.В. Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы: учебное пособие. СПб.: Издательство «Лань», 2018. 368 с.

18. Деменок С.Л., Медведев В.В., Сивуха С.М. Гидродинамика и теплообмен в шаровых укладках: монография. СПб.: Страта, 2012. 192 с.

19. Кузнецов П.А. Повышение эффективности систем кондиционирования воздуха на основе аккумулирования низкотемпературной энергии: диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПб.: Университет ИТМО, 2021 [Электронный ресурс]. URL: https://dissovet.itmo.ru/dissertation/?number=461692, свободный. Яз. рус. (дата обращения: 17.02.2024).

20. Захарова В.Ю., Файзуллин P.O., Бараненко А.В., Калимжанов Д. Численные и экспериментальные исследования фазовых переходов муравьиной кислоты как теплоаккумулирующего вещества // X Международная научно-техническая конференция «Низкотемпературные и пищевые технологии в XXI веке» (Санкт-Петербург, 27-29 октября 2021 г.): материалы конференции. 2021. С. 176-181.

21. Patanka S. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Washington, DC: CRC Press, 1980. 214 p. https://doi.org/10.1201/9781482234213

22. Priyanshu G., Dutta A., Verma V., Thangamani I. Enthalpy porosity method for CFD simulation of natural convection phenomenon for phase change problems in the molten pool and its importance during

Thermal Engineering, 2001, vol. 21, no. 3, pp. 249-263. https://doi. org/10.1016/S1359-4311(00)00037-5

5. DNV GL. Energy Transition Outlook 2020 (A global and regional forecast to 2050). DNV GLAS Publications, 2020, pp. 44-46.

6. Nada S., Alshaer W., Saleh R. Experimental investigation of PCM transient performance in free cooling of the fresh air of air conditioning systems. Journal of Building Engineering, 2020, vol. 29, pp. 101153. https://doi.Org/10.1016/j.jobe.2019.101153

7. Jin X., Wu F., Xu T., Huang G., Wu H., Zhou X., Wang D., Liu Y., Lai A.C. Experimental investigation of the novel melting point modified Phase-Change material for heat pump latent heat thermal energy storage application. Energy, 2021, vol. 216, pp. 119191. https://doi.org/10.1016/j.energy.2020.119191

8. Kasibhatla R.R., Briiggemann D. Coupled conjugate heat transfer model for melting of PCM in cylindrical capsules. Applied Thermal Engineering, 2021, vol. 184, pp. 116301. https://doi.Org/10.1016/j. applthermaleng.2020.116301

9. Arkar C., Medved S. Influence of accuracy of thermal property data of a phase change material on the result of a numerical model of a packed bed latent heat storage with spheres. Thermochimica Acta, 2005, vol. 438, no. 1-2, pp. 192-201. https://doi.Org/10.1016/j. tca.2005.08.032

10. Cho K., Choi S.H. Thermal characteristics of paraffin in a spherical capsule during freezing and melting processes. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2000, vol. 43, no. 17, pp. 3183-3196. https://d0i.0rg/l 0.1016/S0017-9310(99)00329-4

11. Benmansour A., Hamdan M.A., Bengeuddach A. Experimental and numerical investigation of solid particles thermal energy storage unit. Applied Thermal Engineering, 2006, vol. 26, no. 5-6, pp. 513-518. https://doi.Org/10.1016/j.applthermaleng.2005.07.014

12. Bedecarrats J.P., Strub F., Falcon B., Dumas J.P. Phase-change thermal energy storage using spherical capsules: performance of a test plant. International Journal of Refrigeration, 1996, vol. 19, no. 3, pp. 187-196. https://doi.org/10.1016/0140-7007(95)00080-1

13. Zakharova V.Y., Faizullin R.O., Baranenko A.V., Kuznetsov P.A. Method for calculating latent heat thermal energy storage. Journal of International Academy of Refrigeration, 2021, no. 2(79), pp. 13—20. (in Russian), https://doi.org/10.17586/16064313-2021-20-2-13-20

14. Mao Q., Cao W. Effect of variable capsule size on energy storage performances in a high-temperature three-layered packed bed system. Energy, 2023, vol. 273, pp. 127166. https://doi.Org/10.1016/j. energy.2023.127166

15. Gao L., Dong L., Liu Z., Gegentana, Che D., Sun B. Thermal performance analysis and multi-objective optimization of thermal energy storage unit with cascaded packed bed in a solar heating system. Applied Thermal Engineering, 2023, vol. 219, pp. 119416. https://doi.Org/10.1016/j.applthermaleng.2022.119416

16. Baturin O.V., Morozov I.I., Rabkesov I.V. Studying Hydrogasdynamic Flows Using the Universal Software Package Fluent. Samara, Samara University, 2007,128 p. (in Russian)

17. Pavlovskii V.A., Nikushchenko D.V. Computational hydrodynamics. Theoretical foundations. St. Petersburg, Lan' Publ., 2018, 368 p. (in Russian)

18. Demenok S.L., Medvedev V.V., Sivukha S.M. Hydrodynamics and Heat Transfer in Spherical Packings. St. Petersburg, Strata Publ., 2012,192 p. (in Russian)

19. Kuznetcov P.A. Increasing the efficiency of air conditioning systems based on low-temperature energy storage. Dissertation for the degree of candidate of technical sciences. St. Petersburg, ITMO University, 2021. Available at: https://dissovet.itmo.ru/ dissertation/?numbej=461692 (accessed: 17.02.2024). (in Russian)

20. Zakharova V.Iu., Faizullin R.O., Baranenko A.V., Kalimzhanov D. Numerical and experimental studies of formic acid phase transitions as a heat-accumulating substance. Proc. of the X International Scientific and Technical Conference "Low-Temperature and food Technologies in the 21st Century", 2021, pp. 176-181. (in Russian)

21. Patanka S. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Washington, DC: CRC Press, 1980.214 p. https://doi.org/10.1201/9781482234213

22. Priyanshu G., Dutta A., Verma V., Thangamani I. Enthalpy porosity method for CFD simulation of natural convection phenomenon for phase change problems in the molten pool and its importance during melting of solids. Proc. of the COMSOL Conference in Bangalore, 2013.

23. Pilipenko N.V. Uncertainty of non-stationary heat flux recovery by parametric identification of differential-difference model of heat transmission. Journal of Instrument Engineering, 2017, vol. 60, no. 7,

melting of solids // Ргос. of the COMSOL Conference in Bangalore, 2013.

23. Пилипенко H.B. Неопределенность восстановления нестационарного теплового потока путем параметрической идентификации дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017. Т. 60. № 7. С. 664-671. https://doi.org/10.17586/0021-3454-2017-60-7-664-671

24. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 5. С. 816-827.

25. Пилипенко Н.В., Заричняк Ю.П., Иванов В.А., Халявин A.M. Параметрическая идентификация дифференциально-разностных моделей теплопереноса в одномерных телах на основе алгоритмов фильтра Калмана // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2020. Т. 20. № 4. С. 584-588. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2020-20-4-584-588

26. Кириллов К.В., Пилипенко Н.В. Алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности при использовании дифференциально-разностных моделей // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. № 5(69). С. 106-109.

27. Пилипенко Н.В., Колодийчук П.А., Заричняк Ю.П. Дифференциально-разностная модель теплопереноса в твердых телах с использованием метода параметрической идентификации // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2022. Т. 22. № 6. С. 1237-1240. https://doi. org/10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240

28. Курбатова Г.И. О расчете оледенения поверхностей в морской воде // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14. № 3. С. 186-199. https://doi.oig/10.21638/11702/spbul0.2018.301

29. Дружинин П.В., Коричев A.A., Косенков И.А., Юрчик Е.Ю. Математическая модель процесса разрядки теплового аккумулятора фазового перехода // Технико-технологические проблемы сервиса. 2009. № 4(10). С. 17-22.

pp. 664-671. (in Russian), https://doi.org/10.17586/0021-3454-2017-60-7-664-671

24. Samarskii A.A., Moiseyenko B.D. An economic continuous calculation scheme for the Stefan multidimensional problem. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1965, vol. 5, no. 5, pp. 43-58. https://d0i.0rg/l0.1016/0041 -5553(65)90004-2

25. Pilipenko N.V., Zarichnyak Yu.P., Ivanov V.A., Khalyavin A.M. Parametric identification of differencial-difference models of heat transfer in one-dimensional bodies based on Kalman filter algorithms. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2020, vol. 20, no. 4, pp. 584-588. (in Russian), https://doi.org/10.17586/2226-1494-2020-20-4-584-588

26. Kirillov K., Pilipenko N. Solution algorithms for direct and backward heat conductivity problems by means of differential-difference models. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2010, no. 5(69), pp. 106-109. (in Russian)

27. Pilipenko N.V., Kolodiychuk P.A., Zarichnyak Yu.P. Differential-difference model of heat transfer in solids using the method of parametric identification. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2022, vol. 22, no. 6, pp. 1237-1240. (in Russian), https://doi.org/10.17586/2226-1494-2022-22-6-1237-1240

28. Kurbatova G.I. On the calculation of surfaces glaciation in seawater. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2018, vol. 14, no. 3, pp. 186— 199. (in Russian), https://doi.org/10.21638/11702/spbul0.2018.301

29. Druzhinin P.V., Korichev A.A., Kosenkov I.A., Iurchik E.Iu. Mathematical model of the process of discharging a phase transition thermal accumulator. Tehniko-tehnologicheskie problemy servisa, 2009, no. 4(10), pp. 17-22. (in Russian)

Авторы

Пилипенко Николай Васильевич — доктор технических наук, профессор, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, вс 7006938207, https://orcid.org/0000-0001-9328-3166, [e-mail]

Колодийчук Павел Андреевич — ассистент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ее 58038475100, https://orcid.Org/0000-0002-9984-1613, [e-mail] Захарова Виктория Юрьевна — кандидат технических наук, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ее 57216971647, https://orcid.org/0000-0002-8554-3260, [e-mail]

Файзуллин Рафаэль Олегович — аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ас 57216968372, https://orcid.org/0000-0002-3045-4447, [e-mail]

Authors

Nikolai V. Pilipenko — D.Sc, Professor, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 7006938207, https://orcid.oig/0000-0001-9328-3166, [e-mail]

Pavel A. Kolodiychuk — Asistant, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 58038475100, https://orcid.org/0000-0002-9984-1613, [e-mail]

Victoria Yu. Zakharova — PhD, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 57216971647, https:// orcid.org/0000-0002-8554-3260, [e-mail]

Rafael O. Faizullin — PhD Student, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 57216968372, https://orcid.org/0000-0002-3045-4447, [e-mail]

Статья поступила в редакцию 19.01.2024 Одобрена после рецензирования 01.04.2024 Принята к печати 16.05.2024

Received 19.01.2024

Approved after reviewing 01.04.2024

Accepted 16.05.2024

Работа доступна по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial»