Высокопроизводительные клеточные автоматы с реконфигурируемым шаблоном и их применение для моделирования неоднородных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мамзин, Евгений Анатольевич

• Мамзин, Евгений Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мамзин, Евгений Анатольевич

Введение.

1. Анализ методов моделирования неоднородных динамических систем.

1.1. Аналитический подход, применяемый для решения задач математической физики.

1.2. Разностные схемы для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа на'примёре волнового уравнения

1.3. Моделирование динамических систем с использованием клеточных автоматов.

1.4. Анализ известных методов параллельных вычислений.

2. Клеточные автоматы с реконфигурируемым шаблоном и их применение в задачах моделирования неоднородных динамических систем.

2.1. Подход к созданию клеточных автоматов на регулярных решетках с реконфигурируемым шаблоном.

2.2. Вычислительные схемы- для разработанных клеточных автоматов в задачах моделирования неоднородных динамических систем.

3. Моделирование колебательных процессов на поверхности вязкой жидкости.

3.1. Сравнительный анализ эффективности разработанных клеточных автоматов.

3.2. Результаты моделирования колебательных процессов на поверхности вязкой жидкости высокопроизводительным клеточным автоматом на гексагональной решетке.

4. Применение метода высокопроизводительных клеточных автоматов для моделирования процессов формообразования неравновесных малых металлических частиц.

4.1. Физическая модель формообразования неравновесных малых металлических частиц.

4.2. Дискретная математическая модель детерминированного клеточного автомата для моделирования формообразования неравновесных малых частиц с осями симметрии пятого порядка.

4.3. Применение модели клеточного автомата с реконфигурируемым шаблоном для повышения производительности-системы.

5. Результаты моделирования формо- и порообразования неравновесных малых частиц высокопроизводительными клеточными автоматами.

5.1 Моделирование эволюции частиц с заданным начальным однородным распределением вакансий.

5.2 Моделирование эволюции частиц с учетом влияния неоднородного поля напряжений.

5.3 Моделирование процессов порообразования в неравновесных малых частицах.

5.4 Моделирование формообразования частиц с учетом тепловых флуктуаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Высокопроизводительные клеточные автоматы с реконфигурируемым шаблоном и их применение для моделирования неоднородных динамических систем»

г

В диссертационной работе рассматриваются задачи численного моделирования неоднородных динамических систем. Эти задачи являются актуальными, так как позволяют прослеживать эволюционные закономерности подобных систем. Вычисления на базе аналитических решений дифференциальных уравнений, описывающих поведение таких систем, занимают продолжительное время, что делает их непригодными для моделирования динамических систем в реальных задачах. Математическое моделирование является мощным инструментом исследования сложных динамических систем, которые выступают в качестве моделей реальных физических процессов. Эффективное решение задач моделирования неоднородных динамических систем требует применения* высокопроизводительных средств вычислений и развития численных методов.

Одним из таких численных методов является метод клеточных автоматов. Наиболее эффективно клеточные автоматы используются для описания различных фазовых и бифуркационных переходов, где коллективное поведение системы определяется локальным поведением составляющих элементов. Например, они с успехом применяются в таких задачах как движение ансамблей живых организмов, моделирование различных физических явлений, начиная с элементарных явлений диффузии вещества и тепловых процессов и заканчивая явлениями, описываемыми уравнениями Навье-Стокса и Кортевега де Фриза, для расчета напряженности материалов, моделирования разрывов, деформаций и электрических явлений.

В настоящее время наибольшее применение клеточные автоматы нашли в задачах моделирования гидро- и газодинамических, эволюционных, поведенческих, колебательных и различных вероятностных процессов, что обусловлено сравнительной простотой их реализации, предрасположенностью к. распараллеливанию и большими перспективами дальнейшего использования. Вопросам применения клеточных автоматов посвящены исследования многих отечественных и зарубежных учёных. Среди них Винер Н., Розенблют А., Малинецкий Г.Г., Шакаева М.С., Лобанов А.И., Биндера К., von Neumann J., Martin О., Toffoli T., Margolus N., Wolfram- S.v Moore F., Gipra, В., Gacs P., Gardner M^, Gutowitz H. и др.

Однако известные программы на базе моделей клеточных автоматов, не обладают достаточным, быстродействием для моделирования неоднородных динамических систем задач в больших масштабах и на подробных сетках. Поэтому совершенствование данного класса моделей является весьма перспективным.

Работы по теме диссертации, выполнялись в рамках реализации аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» по мероприятию 1 (№ темы 1.2.09).

Целью работы является повышение эффективности вычислений-на основе клеточных автоматов за счет применения реконфигурируемых шаблонов и их использование для моделирования- сложных динамических систем.

Основные задачи исследования:

1. Разработка высокопроизводительных клеточных автоматов с реконфигурируемым шаблоном на регулярных решетках.

2. Разработка дискретной математической модели и ее программной реализации поперечных колебаний поверхности^ вязкой жидкости без учета близости дна на основе моделей клеточных автоматов.

3. Разработка моделей формо- и порообразования в неравновесных малых металлических частицах на основе высокопроизводительного клеточного автомата.

4. Разработка комплексов программ, реализующих указанные модели неоднородных динамических систем на основе метода высокопроизводительных клеточных автоматов с реконфигурируемым шаблоном.

5. Проведение вычислительных экспериментов на основе разработанных моделей неоднородных динамических систем.

В качестве объектов исследования «выбрано несколько конкретных-задач моделирования неоднородных динамических систем:

1. Моделирование колебательных процессов на поверхности вязкой жидкости без учета близости дна.

2. Моделирование процессов формообразования пентагональных малых частиц, получаемых методом электролитической диссоциации.

3. Моделирование порообразования в неравновесных малых металлических частицах.

Предметом исследования являются клеточные автоматы с реконфигурируемым шаблоном на регулярных решетках, возможность и эффективность применения реконфигурируемых шаблонов в методе клеточных автоматов в задачах • < ■ моделирования неоднородных динамических систем.

В качестве аппарата исследований применялись методы вычислительной математики-и математической физики, использовались методы численного анализа, математическое и компьютерное моделирование.

Научная новизна:

1. Предложен численный метод высокопроизводительных клеточных автоматов с реконфигурируемым шаблоном.

2. Разработана дискретная математическая модель поперечных колебаний поверхности вязкой жидкости без* учета близости дна с использованием предложенного метода.

3. Разработаны модели формо- и порообразования неравновесных малых металлических, частиц с диффузионным механизмом релаксации, с учетом влияния неоднородного ноля напряжений и тепловых флуктуаций на основе предложенного клеточного автомата.

4. Разработаны комплексы программ, реализующие модели неоднородных динамических систем с использованием метода ' высокопроизводительных; клеточных автоматов * с реконфигурируемым шаблоном.-.

5: Проведены вычислительные: эксперименты на основе разработанных моделей неоднородных динамических систем.

Практическая значимость исследования:

1. Разработанный метод высокопроизводительных клеточных автоматов с реконфигурируемым шаблоном позволяет повысить эффективность вычислений^ в задачах моделирования неоднородных динамических систем.

2. На примере разработанных комплексов программ продемонстрирована принципиальная возможность-моделирования динамических систем:, описываемых неоднородными гиперболическими и параболическими уравнениями, на базе предложенного метода численного моделирования клеточными автоматами с реконфигурируемым шаблоном.

3. Получены закономерности изменения пространственной конфигурации частицы с учетом влияния неоднородного поля напряжений и тепловых флуктуации.

Достоверность результатов исследования эффективности моделей клеточных автоматов с реконфигурируемым шаблоном подтверждается1 данными, полученными на основе вычислительного эксперимента для задачи моделирования, поперечных колебаний поверхности вязкой жидкости.

Адекватность моделей формо- и порообразования неравновесных малых металлических частиц, а также результаты вычислительных экспериментов, проведенных на их основе, подтверждаются данными экспериментальных исследований, представленных в отечественных и-зарубежных литературных источниках. Результаты исследований обсуждались на Российских и международных научных конференциях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модели клеточных автоматов на реконфигурируемых шаблонах.

2. Результаты исследования эффективности клеточных автоматов на примере дискретной математической модели поперечных колебаний поверхности вязкой жидкости без учета близости дна.

3. Модели формо- и порообразования в неравновесных малых металлических частицах с учетом и влияния неоднородного поля напряжений и тепловых флуктуаций, разработанные на основе метода высокопроизводительных клеточных автоматов с реконфигурируемым шаблоном.

4. Результат работы программ, реализующих модели неоднородных динамических систем на основе предложенного метода.

5. Закономерности изменения пространственной конфигурации частицы с учетом влияния неоднородного поля упругих напряжений и тепловых флуктуаций.

Материалы, отражающие содержание диссертационной работы опубликованы. Результаты обсуждены и одобрены специалистами на следующих научных конференциях: V Всесибирском конгрессе женщин-математиков (в день рождения С.В.Ковалевской) (Красноярск,

2008), Международной междисциплинарной научной конференции «Четвертые Курдюмовские юбилейные чтения: «Синергетика в естественных науках» (Тверь, 2008),< XVII Международной конференции «Физика прочности и пластичности материалов» (Самара: СамГТУ, 2009), Всероссийской конференции «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях» (Москва,

2009), Научно-практической конференции «Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий» (Сочи, 2008, 2009), IV Международной школе «Физическое материаловедение» (Тольятти, 2009), Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010), Второй Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, 2011).

По теме диссертации опубликовано 14 работ, из них 4 — в изданиях, рекомендованных ВАК.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мамзин, Евгений Анатольевич

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 5

1. Проведены вычислительные эксперименты на основе разработанных моделей формо- и порообразования. Показано, что средства вычислительного эксперимента позволяют детально исследовать механизмы формо-, фазо- и порообразования в малых металлических частицах.

2. Проведенное на основе вычислительного эксперимента исследование дало возможность получить для областей моделирования наноразмерного диапазона: а. эволюционные зависимости изменения размеров частицы в процессе релаксации; б. эволюционные зависимости изменения радиуса поры в процессе релаксации.

3. Разработанные модели и результаты вычислительных экспериментов соответствуют кристаллографическим исследованиям, что говорит об адекватности разработанных моделей и полученных зависимостей.

Заключение

1. Предложен численный метод высокопроизводительных клеточных автоматов, основанный . на использовании реконфигурируемых шаблонов.

2. Разработаны клеточные автоматы с реконфигурируемым шаблоном на треугольной, квадратной и гексагональной решетках.

3. Разработана дискретная математическая модель поперечных колебаний-поверхности вязкой жидкости без учета близости дна и ее программная реализация для клеточных автоматов на треугольной, квадратной и гексагональной решетках с использованием реконфигурируемых шаблонов.

4. На основе проведенного < вычислительного эксперимента исследована эффективность. - ■ разработанных клеточных автоматов для всех .типов, реконфигурируемых шаблонов. Выявлено, что при использовании клеточного автомата на гексагональной решетке с двухтактным реконфигурируемым. шаблоном эффективность вычислений повышается на 23%.

5. Разработаны модели формо- и порообразования неравновесных малых металлических 1 частиц на основе высокопроизводительного клеточного автомата на гексагональной решетке с применением двухтактного реконфигурируемого шаблона: а. модель, учитывающая диффузионно-деформационный механизм формообразования;б. модели с диффузионным, механизмом перераспределения вакансий, с учетом влияния неоднородного поля напряжений в материале, а также с учетом влияния тепловых флуктуаций.

6. Разработан комплекс программ, реализующий рассмотренные варианты моделей формо- и порообразования в неравновесных малых металлических частиц. Применительно к данным моделям использование клеточных автоматов на гексагональной решетке с двухтактным реконфигурируемым шаблоном позволило увеличить эффективность вычислений на 49%.

7. Проведены вычислительные эксперименты на основе разработанных моделей формо- и порообразования. Получены зависимости изменения площади сечения и радиуса поры частицы от количества итераций в результате моделирования роста частицы. Разработанные модели и результаты вычислительных экспериментов подтверждаются кристаллографическими исследованиями, что говорит об адекватности разработанных моделей и полученных зависимостей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мамзин, Евгений Анатольевич, 2011 год

1. Андриевский Р: А., Рагуля А;В. Наноструктурныё материалы. -М.: Академия, 2005. 192 с.

2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Самарский A.A., Малинецкий Г.Г. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

3. Ахромеева Т.С., Бункин Ф:В1, Кириченко H.A., Курдюмов С.П., Малинецкий F.F., Самарский A.A. Периодические колебания и диффузионный хаос при нагреве; металлов излучением; Известия АН СССР. Сер. физ. 1987, т.51, N6, с. 1154-1161.

4. Базаров И.П. Термодинамика. М:: Высшая школа, 1991. -483 с.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е. изд., перераб. и.доп. М:: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 632 с.

6. Биндера К. Методы Монте-Карло; в статистической физике. -, М.: Мир, 1982 -485 с.

7. Богачев К.Ю. Основы параллельного программирования, М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

8. Брауэр В. Введение в теорию конечных' автоматов. М.: Радио и связь, 1987; .

9. Ванаг В К, Вирченко А Ю, Ванаг К В Изв. вузов Прикладная нелинейная/динамика 4 (3) 97, 1996.

10. Викарчук A.A., Волснко А.П. и др. Кластерно-дисклинационный механизм , образования пентагональных кристаллов, дендритов и сферолитов при электрокристаллизации меди на индифферентных подложках /

11. Вестник Тамбовского университета. 2003. - Т. 8. - Вып. 4. -С. 531 -534.

12. П.Викарчук A.A., Воленко А.П. и др. Дисклинационная модель формирования кристаллов с пятерной симметрией при электроосаждении ГЦК-металлов / // Машиностроитель. -2003.-№7. -С. 30-34.

13. Викарчук A.A., Воленко А.П. и др. О дисклинационной природе пентагональных кристаллов, формирующихся при электрокристаллизации меди / // Электрохимия. — 2004. Т. 40, №2.-С. 207-214.

14. Викарчук A.A., Ясников И.С., Счастливцев В.М. и др. Перспективные материалы: Структура и методы исследования. Учеб. пособие / Под ред. Мерсона Д.Л. М.: МИСиС; Тольятти: ТГУ, 2006. - 324 с.

15. Викарчук A.A., Ясников И.С. Структурообразование в наночастицах и микрокристаллах с пентагональной симметрией, формирующихся при электрокристаллизации металлов. Тольятти: ТГУ, 2006. - 206 с.

16. Воеводин В.В. Модели и методы в параллельных процессах, М.: Наука, 1986.

17. Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений, М.: МГУ, 1991.

18. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления, СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

19. Воробьев Г. Н., Данилова А. Н. "Практикум по численным методам." М.:"Высш. шк.", 2007 г. -184 с.

20. Гергель В.П., Стронгин Л.Г., Стронгин Р.Г. Метод окрестностей в задачах распознавания, Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. №4. С.14-22.

21. Гергель В.П., Стронгин Р.Г. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем, Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001.

22. Глушков В М Синтез цифровых автоматов (М.: Физматгиз, 1962

23. Глушков В М Введение в теорию самосовершенствующихся систем Киев: КВИРТУ, 1962.

24. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2т. учеб. пособ. М.: Высш. шк., 2008. 3. Исаков В.Н. Элементы численных методов: учеб. пособ. -М.: Академия, 2008.

25. Климонтович Ю JI Турбулентное движение и структура хаоса -М.: Наука, 1990.

26. Князева А.Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике // Математическое моделирование систем и процессов. М., 2005. - № 13. - С. 45-60.

27. Князева E.H., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994.

28. Кобринский Н.Е., Трахтенберг Б.А. Введение в теорию конечных автоматов М.: Физматгиз, 1962.

29. Колдаев В.Д. Численные методы.в программировании, 2008.

30. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ, М.: МЦНТО, 1999.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). 4-е изд. - М.: Наука, 1978;

32. Корнеев В.В. Параллельные вычислительные системы, М.: Нолидж, 1999;

33. Корнеев В.В. Параллельное программирование в; MPI, M. -Ижевск: Институт компьютерных исследований; 2003.

34. Курдюмов С.П: Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее горения, Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. M. : Наука, 1982, с.217-243.

35. Лиманова Н.И., Мамзин Е.А. Дискретное моделирование; процесса диффузии • в, --полупроводниках // Материалы Всероссийской научно-техническотконференции «Актуальные проблемы радиоэлектроники и телекоммуникаций». — Самара: СГАУ, 2008: С. 89-92.

36. Лиманова Н.И., Мамзин Е.А. Дискретное моделирование волновых процессов,; // Материалы научно-практической конференции «Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных, технологий». — М.: МГИЭМ, 2008: с. 133-135.

37. Лиманова Н.И., Мамзин Е.А. Дискретная математическая модель детерминированного клеточного автомата и ее программная реализация // Информационные технологии, 2010. № 2. — С. 34-38.

38. Лиманова Н.И. Распределенные параллельные вычисления в задачах математического моделирования // Материалы Международной научной конференции «Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения)» 20 22 мая 2008 г. -СПб.: СПбГУ, 2008. - С. 211-215.

39. Лиманова Н.И., Жаренов Е.А., Ворона М.М., Шишкин П.А. Параллельные вычисления в задачах моделирования сложных систем // В мире научных открытий, 2010. Ч. 9, №4(10). - С. 133-135.

40. Лиманова Н.И., Мамзин Е.А., Талалова Е.А., Викарчук A.A. Моделирование формообразования полостей в пентагональных малых частицах электролитического происхождения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер: физ:-мат. науки, 2009. — №2(19). С. 209-216.

41. Лобанов А.И. Введение в численные методы решения квазилинейных уравнений параболического типа, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2011.

42. Лобанов А.И. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике, БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2006.

43. Лобанов А.И. Основы вычислительной математики, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2010.

44. Лобанов А.И. Численные методы решения уравнений в частных производных, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2010.

45. Лоскутов А Ю, Михайлов А С. Введение в синергетику М.: Наука, 1990.

46. Малинецкий Г.Г., Кащенко С.А., Потапов А.Б., Ахромеева Т.С., Митин H.A., Шакаева М.С. Математическое моделирование системы . образования. Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1995,.NliXb .

47. Наумов Л.А. Разработка среды и библиотеки CAME&L для решения задач с использованием клеточных автоматов, Санкт-Петербург, 2003

48. Немнюгин С., Стесик О. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем, СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

49. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М. , "Мир", 1971, 381с.

50. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979, 512с.

51. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособ. М.: Гелиос АРВ, 2009.

52. Романовский Ю М, Степанова Н В, Чернавский Д С Математическое моделирование в биофизике М.: Наука, 1975 с. 224.

53. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы, М.: Наука, 1989.

54. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

55. Самарский A.A., Соболь. И.М. Примеры численного расчета температурных волн. ЖВМ и-МФ^т.З, N4(1963), с.703-719.

56. Страуструп Б. Язык программирования С++. 3-е изд. — СПб: «Невский диалект», 1999;

57. Тихонов А.Н., Самарский. A.A. Уравнения математической физики М.: Наука, 1977. 735с.

58. Трухан С.Н. Моделирование диффузии методом Монте-Карло // Научно-практический журнал «Exponenta Pro. Математика в приложениях», 2004. №2. - С. 15-30.69:Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. М.: Мир, 1991.-280 с.

59. Трой В Колебания и бегущие, волны в химических системах -Под ред. Р Филда, М Бургера, М.: Мир, 1988 с. 167.

60. Хеерман Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. М.: Наука, 1990. - 385 с.

61. Холодов А. С. Нелинейные вычислительные процессы, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2011.

62. Цетлин М JI Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем М.: Наука, 1969.

63. Ясников И .С., Викарчук А.А., Денисова Д.А., Грызунова Н.Н., Цыбускина И.И. Получение наноструктурных объектов с пентагональной симметрией методом электроосаждения // ЖТФ, 2007. Т. 77, № 10. - С. 81-84.

64. Ясников И.С., Викарчук А.А. Эволюция образования и роста полости в пентагональных кристаллах электролитического происхождения // ФТТ. 2006. - Т. 48, вып. 8. - С. 1352-1357.

65. Ясников И.С., Викарчук А.А. К вопросу о существовании полостей в- икосаэдрических малых металлических частицах электролитического происхождения // Письма в ЖЭТФ. — 2006. -Т. 83, № 1.-С. 46-49:

66. Baras F, Nicolis G Microscopic Simulation of Complex Flows Ed. M Mareschal, New York: Plenum, 1990.

67. Cipra, B. "Cellular Automata Offer New Outlook on Life, the Universe, and Everything." In. ■ What's Happening in the Mathematical Sciences, 1995-1996, Vol. 3. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 70-81, 1996.

68. Dewdney, A. K. The Armchair Universe: An Exploration of Computer Worlds. New York: W. H. Freeman, 1988.

69. Gardner, M. "The Game of Life, Parts I-III." Chs. 20-22 in Wheels, Life, and other Mathematical .Amusements. New York: W. H. Freeman, 1983.

70. Gutowitz H Cellular Automata and Cooperative Phenomena Eds E Goles, N Boccara, New York: Kluwer, 1993.

71. Hedlung G. A. Endomorphism and Automorphism of the Shift Dynamic System I I Math. Syst. Theory. 1969. - №3. - pp. 51-59;

72. Hofmeister H. Habit and internal structure of multiply twinned gold particles on silver bromide films // Thin Solid Films. 1984. - Vol. I16.-Iss. 1-3.-P. 151-162.

73. Holland J. Universal Spaces: A Basis for Studies in Adaptation // Automata Theory. Academic Press. - 1966. - pp. 218-230.

74. Hopcroft, J. E. and Ullman, J. D. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Reading, MA: Addison Wesley, 1979. .

75. Hopcroft J. E. "An nlogn Algorithm for Minimizing the States in a Finite Automaton." In The Theory of Machines and Computations (Ed. Z. Kohavi.) New York: Academic Press, pp. 189-196, 1971.

76. Levy, S. Artificial Life: A Report from the Frontier Where Computers Meet Biology. New York: Vintage, 1993.

77. Margolus N. CAM-8: a computer architecture based on cellular-automata. In: Pattern Formation and Lattice-Gas Automata. -Addison-Wesley. 1996:

78. Marks L.D., J. Cryst. Growth 61, 556 (193).

79. Martin, O.; Odlyzko, A.; and Wolfram, S. "Algebraic Aspects of Cellular Automata." Communications in Mathematical Physics 93, 219-258, 1984.

80. Nicolis G, Prigogine I Self-Organization in Nonequilibrium Systems New York: Wiley, 1977.' N' 1 '

81. Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. Figure M2497 in The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.

82. Toffoli, T. and Margolus, N. Cellular Automata Machines: A New Environment for Modeling. Cambridge, MA: MIT Press, 1987.

83. Toffoli T. Cellular Automata Mechanics // Tech. Rep. 208. -Comp. Comm. Sci. Dept., The Univ. of Michigan. 1977;

84. Ulam S. Random Processes and Transformations // Procedings Int. Congr. Mathem. 1952. - №2. - pp. 264-275;96.von Neumann J. Theory of Self-Reproducing Automata Urbana: University of Illinois Press, 1966.

85. Wolfram, S. "Statistical Mechanics of Cellular Automata." Rev. Mod. Phys. 55, 601-644, 1983.

86. Wolfram, S. "Twenty Problems in the Theory of Cellular Automata." Physica Scripta T9, 170-183, 1985.

87. Wolfram, S. (Ed.). Theory and Application of Cellular Automata. Reading, MA: Addison-Wesley, 1986.

88. Wolfram, S. Cellular Automata and Complexity: Collected Papers. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

89. Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, 2002.

90. Wuensche, A. and Lesser,'M. The Global Dynamics of Cellular Automata: An Atlas of Basin of Attraction Fields of One-Dimensional Cellular Automata. Reading, MA: Addison-Wesley, 1992.

91. Yasnikov I.S. On Habit Modification in Pentagonal Small Particles // ISSN 1063-7850, Technical Physics Letters, 2008, Vol. 34, No. 11, pp. 944-945.

92. Zuse K. Calculating Space: Translated from German. -Tech. Transl. AZT-70-64-GEMIT. MIT Project MAC, 1970;