Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Миколайчук, Михаил Александрович

• Миколайчук, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Миколайчук, Михаил Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1. ДИФФУЗИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ.

1.1. Законы Фика.

1.2. Атомная теория диффузии.

1.3. Механизмы влияния напряжений на диффузию

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.1. Уравнения механики сплошной среды.

2.2. Определяющие соотношения.

2.3. Изотермические условия.

2.4. Бинарная система.

2.5. Коэффициенты концентрационного расширения.

3. ЗАДАЧА О НАСЫЩЕНИИ ПРИМЕСЬЮ ПЛАСТИНЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В УСЛОВИЯХ ОДНООСНОГО НАГРУЖЕНИЯ

3.1. Постановка эксперимента.

3.2. Результаты эксперимента.

3.3. Общая постановка задачи.

3.4. Плоское напряженное состояние в теории упругости.

3.5. Плоское напряженное состояние пластины с диффузией

3.6. Задача о равновесии пластины с диффузией.

3.7. Диффузионная задача.

3.8. Безразмерные переменные.

3.9. Численное решение.

3.10. Результаты тестирования.

3.11. Результаты численного решения.

3.12. Выводы.

4. СОПРЯЖЁННАЯ ЗАДАЧА.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Задача о равновесии пластины с покрытием.

4.3. Диффузионная задача.

4.4. Численное решение.

4.5. Проверка на сходимость

4.6. Результаты расчётов.

4.7. Выводы.

5. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ.

5.1. Физическая постановка.

5.2. Задача о равновесии.

5.3. Диффузионная задача.

5.4. Результаты численного решения.

5.5. Проверка на сходимость

5.6. Влияние геометрии системы.

5.7. Учёт неоднородной структуры материала.

5.8. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины»

Актуальность работы. Исследование взаимного влияния напряжений и диффузии (как теоретическими, так и экспериментальными методами) имеет богатую историю. В настоящий момент наблюдается очередной всплеск интереса как отечественных, так и зарубежных исследователей к этому вопросу. Это объясняется тем, что диффузионные процессы являются, с одной стороны, определяющими и зачастую лимитирующими в большом количестве наблюдаемых явлений, а с другой стороны сам массообмен подвержен влиянию различных физических полей, включая температурные, электромагнитные поля, либо поля механических напряжений. Влияние последних активно изучают в связи с разработкой и исследованием различных технологических процессов. С диффузионными явлениями связаны многие процессы механического поведения материалов под нагрузкой. Однако экспериментальные исследования в этой области осложнены тем фактом, что диффузия - процесс медленный, и даже при достаточно высоких температурах эксперименты могут быть довольно продолжительными по времени, что исключает возможность широкого варьирования параметров эксперимента. Это приводит к необходимости построения математических моделей связанных процессов и разработки методов их анализа. Большинство имеющихся моделей сводит влияние напряжений к изменению эффективных коэффициентов диффузии или к оценке полей напряжений по данным об изменении полей концентраций. В связи с этим построение строгой связанной модели совместно протекающих процессов деформирования и массопереноса и её последующая численная реализация для конкретных систем является актуальной задачей.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании взаимного влияния процессов диффузии и формирования напряжений с помощью моделей, построенных на основе аппарата механики сплошных сред. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать возможные пути влияния напряжений на диффузию в условиях квазистатического нагружения и способы их описания в рамках механики сплошной среды.

2. На основе общего подхода предложить варианты описания напряжённо-деформированного состояния пластины, изготовленной из материала с эффективными свойствами и находящейся в условиях одноосного нагружения, сопровождаемого диффузией. Проанализировать характер возникающих при этом полей напряжений и деформаций.

3. Обобщить модель для структурно-неоднородной среды, учитывая различие в скоростях диффузии по границам и в объёме зерен поликристаллического материала.

4. Изучить влияние внешней нагрузки на характер проникновения примеси в основной материал из покрытия или из окружающей среды, а также особенности напряженно-деформированного состояния в рамках выделенных моделей.

5. Исследовать влияние геометрических факторов, физических и механических свойств и диффузии на напряжённо-деформированное состояние пластины в условиях изотермического отжига под нагрузкой и без неё.

Научная новизна работы: В диссертационной работе впервые

1. На основе связанной теории массоупругости сформулированы и исследованы задачи о равновесии пластины находящейся в условиях одноосного растяжения (сжатия), учитывающие диффузионные напряжения и различные пути влияния напряжений на диффузию.

2. Выявлены условия для проявления разных механизмов воздействия механических напряжений на диффузйю. Установлено что интенсивность влияния нагрузки на диффузию а так же характер Напряжённо-деформированного состояния зависят от начальной конфигурации нанесения покрытия на образец.

3. Предложена модель диффузии в деформируемом поликристаллическом материале с явным учётом зернограничной структуры, позволившая описать дискретные распределения концентраций и неоднородные поля напряжений в пластине под нагрузкой и без неё.

Теоретическая и практическая значимость работы: Представленные в работе теоретические исследования могут служить основой для оптимизации технологических процессов, явление диффузии в которых играет главенствующую роль. Разработанные модели и методы их исследования можно использовать для прогнозирования напряжённо-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в агрессивных средах. Описанный подход к учёту структуры и различных механизмов взаимодействия диффузии и напряжений может послужить толчком для новых исследований в этой области. В работе получены новые знания о характере влияния внешней нагрузки на диффузию.

Достоверность научных результатов и обоснованность выводов обеспечивается корректной постановкой решаемых в диссертационной работе задач; использованием современных моделей механики и физических представлений, математических и вычислительных методов, тщательным тестированием программ; непротиворечивостью полученных результатов и их соответствием в предельных случаях теоретическим результатам, известным из литературы, а также имеющимся экспериментальным данным.

Личный вклад автора заключается в анализе литературных данных, написании и отладке программного кода, численном исследовании сформулированных задач, обсуждении полученных результатов, формулировании основных научных положений и выводов. Все работы, опубликованные в соавторстве, выполнены при личном участии автора. На защиту выносятся:

1. Математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние пластины процесса перераспределения примеси в пластине, находящейся в условиях одноосного нагружения, учитывающая связанность диффузионных процессов и процесса деформирования.

2. Аналитические решения частных задач о механическом равновесии использованные далее в решении диффузионных задач и анализе сопутствующих полей напряжений и деформаций.

3. Результаты подробного численного исследования частных задач, заключающиеся

3.1 В неоднозначном влиянии знака внешней нагрузки и механических свойств подложки на процессы массопереноса и характер напряжённо-деформированного состояния.

3.2 В зависимости увеличения среднего содержания диффузанта в подложке при отжиге под нагрузкой от относительной толщины покрытия.

3.3 В зависимости интенсивности и качественного характера воздействия внешней нагрузки на диффузию и напряжённо-деформированное состояние от начальной конфигурации нанесения покрытия.

4. Модель диффузии с сопутствующими диффузионными напряжениями в структурно-неоднородной среде и результаты её исследования.

Апробация работы:

Результаты диссертационной работы были представлены на 3 Российских и 8 Международных конференциях:

1. Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (г. Томск, 2009, 2011);

2. XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2009);

3. II Международная школа-конференция молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (г. Томск, 2009);

4. XXXVIII International Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (г. Санкт-Петербург, 2010);

5. VII Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (г. Новосибирск, 2010);

6. IV Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (г. Бийск, 2011);

7. XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011);

8. XVII зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2011);

9. Международная конференция «Современные проблемы прикладной механики: теория, эксперимент и практика» (г. Новосибирск, 2011);

10. Международная молодежная научная конференция «XXXVII Гагарин-ские чтения» (г. Москва, 2011) Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения и списка литературы из 122 наименований, содержит 58 рисунков и одно приложение. Общий объем диссертации 130 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Миколайчук, Михаил Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В результате выполнения работы, в соответствии с поставленной целью, теоретически исследовано взаимовлияние процессов диффузии и деформирования в условиях одноосного нагружения пластины на основе аппарата механики сплошных сред. Описаны условия, налагаемые на поле концентраций, приводящие к одномерной и двумерной формулировкам задач о равновесии. Реализованы численные алгоритмы, позволившие провести обширное параметрическое исследование. Адекватность моделей подтверждена сравнением с экспериментальными данными.

По результатам исследований сформулированы следующие выводы:

1. В рамках модели массоупругости для двухкомпонентной среды проанализированы и обоснованы с помощью термодинамики необратимых процессов механизмы влияния напряжений на диффузию и способы их описания. Первый механизм сводится к изменению активационного объёма вследствие совершения механической работы, второй механизм непосредственно связан с переносом примеси под действием градиента напряжений. Третий механизм обусловлен течением вещества с эффективной скоростью, зависящей от времени и от структурных и геометрических особенностей образца.

2. Предложены варианты описания напряжённо-деформированного состояния пластины с диффузией в условиях одноосного нагружения. Показано, что существуют распределения концентраций, обеспечивающие плоское напряжённое состояние пластины. Среди них: одномерное распределение концентрации примеси, поступающей из окружающей среды или из покрытия, нанесённого на одну или две плоскости пластины, перпендикулярные направлению растяжения (сжатия); двумерное распределение при условии нанесения покрытия на 2, 3 или 4 поверхности пластины. Для формулировки задач о механическом равновесии применима гипотеза плоских сечений Бернулли-Эйлера.

3. Предложено обобщение модели массоупругости для структурно-неоднородной среды в которой учтено различие в скорости диффузии по границам и в объёме зёрен поликристаллического материала. Проиллюстрировано, что дискретные распределения концентраций вызывают существенно неоднородное поле напряжений в пластине как с нагрузкой, так и без неё.

4. Изучены особенности напряжённо-деформированного состояния пластины в рамках выделенных моделей и влияния внешней нагрзуки на характер проникновения примеси в основной материал. На основе численных расчётов, согласующихся с результатами эксперимента для системы №(Си), установлено, что растягивающая внешняя нагрузка способствует проникновению меди в никель.

5. Установлено, что геометрические характеристики пластины с диффузией оказывают значительное влияние на её механическое поведение вследствие связанности процессов диффузии и деформирования. Показано, что отношение толщины нанесённого покрытия к толщине основы неоднозначно влияет на распределение полей концентраций, напряжений и деформаций.

Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Князевой А.Г. за постоянное внимание к работе, плодотворное и своевременное обсуждение результатов, помощь в организации доступа к кластеру ТПУ. За грамотную постановку и проведение эксперимента, а также обсуждение его результатов выражаю признательность Грабовецкой Г.П. Благодарю Найдёнкина Е.В. за предоставленную EBSD-карту микроструктуры образца никеля.

Отдельные слова благодарности за моральную поддержку коллективу лаборатории компьютерного конструирования материалов ИФПМ СО РАН, и нашей рабочей группе в лице Назаренко H.H., Чумакова Ю.А., Крюковой О.Н., Шанина С.А.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №10-01-00034-а и в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт № 16.740.11.0122.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Миколайчук, Михаил Александрович, 2012 год

1. Горский В. С. Исследование упругого последействия в сплаве Си-Au с упорядоченной решеткой // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1936. —Т. 6, № 3. —С. 272-276.

2. Гегузин Я. Е. Диффузионная зона. —М.: Наука, 1979. —343 С.

3. Любов Б. Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. —М.: Наука, 1981. —295 С.

4. Еремеев В. С. Диффузия и напряжения. —М.: Энергоатомиздат, 1984. — 180 С.

5. Еремеев В. С. О влиянии концентрационных напряжений на диффузию в случае упругой изотропной матрицы // Диффузионные процессы в металлах. —ТПИ, 1977. —Pp. 35^0.

6. Ostrovsky A. S., Bokstein В. S. Grain boundary diffusion in thin films under stress fields // Applied Surface Science. —2001. —Vol. 175-176, no. 3. — Pp. 312-318.

7. Ascoli A., Bollani В., Guarini G., Kustudic D. Diffusion of Gold in Lead under Hydrostatic Pressure // Phys. Rev. — 1966. — Vol. 141, no. 2. — Pp. 732-738.

8. Georges M., Lazarus D., Mitchell J. Pressure Dependence of Self-Diffusion of Na22 in NaCl // Phys. Rev. B. —1973. —Vol. 8, no. 4. —Pp. 1726-1731.

9. Werner M., Mehrer H., Hochheimer H. D. Effect of hydrostatic pressure, temperature, and doping on self-diffusion in germanium // Phys. Rev. B. — 1985. —Vol. 32, no. 6. —Pp. 3930-3937.

10. Erdélyi G., Erdélyi Z., Веке D. L., Bernardini J., Lexcellent C. Pressure dependence of Ni self-diffusion in NiTi // Phys. Rev. В. —2000. — Vol. 62, no. 17. —Pp. 11284-11287.

11. Zhao Y., Aziz M. J., Gossmann H. J., Mitha S., Schiferl D. Activation volume for boron diffusion in silicon and implications for strained films // Applied Physics Letters. —1999. — Vol. 74, no. 1. —Pp. 31-33.

12. Nygren E., Aziz M. J., Turnbull D., Poate J. M., Jacobson D. C., Hull R. Pressure dependence of arsenic diffusivity in silicon // Applied Physics Letters. —1985. — Vol. 47, no. 2. —Pp. 105-107.

13. Decker D. L., Ross R. A., Evenson W. E., Vanfleet H. B. Pressure effects on the diffusion and solubility of Zn in Pb // Phys. Rev. B. — 1977. — Vol. 15, no. 2. —Pp. 507-513.

14. Candland C. T., Vanfleet H. B. Effect of Pressure on the Interstitial Diffusion of Nickel in Lead to 50 kbar // Phys. Rev. B. — 1973. — Vol. 7, no. 2. — Pp. 575-580.

15. Druyvesteyn M.J., Berghout C.W. Influence of an Elastic Strain on the Self-Diffusion of Copper at Low Temperatures // Physycal Review. — 1956. — Vol. 102, no. 6. —P. 1686.

16. Bejina F., Jaoul O., Liberman L. C. Diffusion in minerals at high pressure: a review // Physics of the Earth and Planetary Interiors. —2003. —no. 139. — Pp. 3-20.

17. Cowern N. E. B., Zalm P. C., van der Sluis P., Gravesteijn D. J., de Boer W. B. Diffusion in strained Si(Ge) // Phys. Rev. Lett. —1994. — Vol. 72, no. 16. — Pp. 2585-2588.

18. Moriya N., Feldman L.C., Luftman H.S., King C.A., Bevk J., Freer B. Boron diffusion in Strained Si\-xGex Epitaxial Layers // Physical review letters. — 1993. —Vol. 71, no. 6. —Pp. 883-886.

19. Kringhnoj P., Larsen N., Shirayev S. Yu. Diffusion of Sb in Strained and Relaxed Si and SiGe // Physical Review Letters. —1996. — Vol. 76, no. 18. —Pp. 3372-3375.

20. Bal J. K., Hazra S. Atmospheric pressure induced atomic diffusion into solid crystal // Phys. Rev. B. —2009. —Vol. 79, no. 15. —P. 155405.

21. Lin L., Kirichenko T., Sahu B. R., Hwang G. S., Banerjee S. K. Theoretical study of B diffusion with charged defects in strained Si // Phys. Rev. B. — 2005. —nov. —Vol. 72, no. 20. —P. 205206.

22. Ganster P., Tréglia G., Saúl A. Strain effect on self-diffusion in silicon: Numerical study // Phys. Rev. B. —2009. — Vol. 79, no. 11. —P. 115205.

23. Jang J.W., Kwon J., Lee B.J. Effect of stress on self-diffusion in bcc Fe: An atomistic simulation study // Scripta Materialia. —2010. —Vol. 63, no. 1. — Pp. 39-42.

24. Vollenweider K., Sahli В., Fichtner W. Ab initio calculations of arsenic in silicon: Diffusion mechanism and strain dependence // Physycal Review B. — 2010. —Vol. 81, no. 174119. —Pp. 174119-1-174119-6.

25. Haftbaradaran H., Song J., Curtin W. A., Gao H. Continuum and atomistic models of strongly coupled diffusion, stress, and solute concentration // Journal of Power Sources. —2011. —no. 196. —Pp. 361-370.

26. Laudon M., Carlson N. N., Masquelier M. P., Daw M. S., Windl W. Multiscale modeling of stress-mediated diffusion in silicon: Ab initio to continuum // Applied Physics Letters. —2001. — Vol. 78, no. 2. —Pp. 201-203.

27. Cowern N. E. B. Diffusion in a Single Crystal within a Stressed Environment // Phys. Rev. Lett. —2007. —Vol. 99, no. 15. —P. 155903.

28. Aziz M. J. Thermodynamics of diffusion under pressure and stress: Relation to point defect mechanisms // Appl. Phys. Lett. —1997. —Vol. 70, no. 21. — Pp. 2810-2812.

29. Yang F. Interaction between diffusion and chemical stresses // Materials Science and Engineering: A. —2005. —Vol. 409, no. 1-2. —Pp. 153-159.

30. Shao S.S., Xuan F. Z., Wang Z., Tu S. T. Stress in film/substrate system due to diffusion and thermal misfit effects // Journal of Physics D: Applied Physics. —2009. —Vol. 42, no. 17. —P. 175413.

31. Князева А. Г. Введение в локально-равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах. —Томский госуниверситет, 1996.

32. Князева А. Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике // Математическое моделирование систем и процессов: сб. науч. труд. —2005. —№ 1. —С. 45-60.

33. Князева А. Г. О моделировании необратимых процессов в материалах с большим числом внутренних поверхностей // Физическая мезомеханика. —2003. —№ 5. —С. 11-27.

34. Князева А. Г. Перекрестные эффекты в твердых средах с диффузией // ПМТФ. —2003. —Т. 44, № 3. —С. 85-99.

35. Paukshto М. V. Diffusion-induced stresses in solids // International Journal of Fracture. —1999. — Vol. 97. —Pp. 227-236.

36. Денисюк E. Я., Терешатов B.B. Теория механодиффузионных процессов переноса многокомпонентных жидкостей в сшитых эластомерах // ПМТФ. —1997. —Т. 38, № 6. —С. 113-129.

37. Bekrenev А. N. Mass transport in metals under intensive impulse reactions // Journal of physics and Chemistry of Solids. — 2002. — Vol. 63, no. 6. — Pp. 1627-1631.

38. Svistkov A. L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deformable media // Int. J. of Eng. Sci. —2001. —Vol. 39. —Pp. 1509-1532.

39. Gurtiss C. F., Bird R. B. Multicomponent Diffusion (review) // Ind. Eng. Chem. Res. —1999. — Vol. 38. —Pp. 2515-2522.

40. Svoboda J., Fisher F. D., Pratzl P., Kroupa A. Diffusion in multi-component systems with no or dense sources and sinks for vacancies // Acta Materialia. —2002. —Vol. 50. —Pp. 1381-1396.

41. Nowacki W. Dynamical problems of thermoelastic diffusion in Solids, I // Bull Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Tech. —1974. — Vol. 22. —Pp. 55-64.

42. Подстригач Я. С. Диффузионная теория неупругости металлов // ПМТФ. — 1965. —№ 2. —С. 67-72.

43. Aouadi M. Generalized theory of thermoelastic diffusion for anisotropic media I I J. of Thermal Stresses. —2008. — Vol. 31. —Pp. 270-285.

44. Simon A. M., Grzywna Z. J. On the Larche-Cahn theory for stress-induced diffusion // Acta Metallurgica et Materialia. — 1992. — Vol. 40, no. 12. — Pp. 3465 3473.

45. Архангельская E. А., Лепов В. В, Ларионов В. П. Связная модель замедленного разрушения повреждаемой среды // Физическая мезомеханика. —2001. —Т. 4, № 5. —С. 81-87.

46. Larche F. С., Cahn J. W. A linear theory of thermochemical equilibrium of solids under stress // Acta Metallurgica. —1973. —Vol. 21, no. 8. —Pp. 10511063.

47. Cahn J. W., Larche F. C. Surface stress and the chemical equilibrium of small crystals —II. Solid particles embedded in a solid matrix // Acta Metallurgica.1982. — Vol. 30, no. 1. —Pp. 51-56.

48. Larche F. C., Cahn J. W. The effect of self-stress on diffusion in solids // Acta Metallurgica. —1982. — Vol. 30, no. 10. —Pp. 1835-1845.

49. Larche F. C., Cahn J. W. The Interactions of Composition and Stress in Crystalline Solids // Journal of Research of the National Buerau of Standarts.1984. — Vol. 89, no. 6. —Pp. 467-500.

50. Larche F. C., Cahn J. W. Overview no. 41 The interactions of composition and stress in crystalline solids // Acta Metallurgica. —1985. —Vol. 33, no. 3. —Pp. 331-357.

51. Larche F. C., Cahn J. W. Phase changes in a thin plate with non-local self-stress effects // Acta Metallurgica et Materialia. —1992. —Vol. 40, no. 5. — Pp. 947-955.

52. Stephenson G.B. Deformation during interdiffusion // Acta Metallurgica. — 1988. —Vol. 36, no. 10. —Pp. 2663-2683.

53. Aifantis E. С. On the problem of diffusion in solids // Acta Mechanica. — 1980. —Vol. 37. —Pp. 265-296.

54. Kattis M. A. On the uncoupled problem of stress-assisted diffusion through a linear elastic solid // Acta Mechanica. —1993. —Vol. 96. —Pp. 37-46.

55. Mehrer H. Diffusion in Solids. — Springer, 2007. — Vol. 155 of Springer Series in Solid-State Sciences.

56. Crank J. The Meathematics of Diffusion. —Clarendo Press, Oxford, 1975. — 418 P.

57. Старк Дж. П. Диффузия в твердых телах. —М.: Энергия, 1980. —239 С.

58. Ghez R. Diffusion Phenomena. — Kulwer Academic / Plenum Publishers, New York, 2001. —328 P.

59. Бокштейн B.C., Ярославцев А.Б. Диффузия атомов и ионов в твердых кристаллах. —М.:МИСИС, 2005. —362 Р.

60. Erdelyi Z., Parditka В., Веке D. L. Stress effects on the kinetics of nanoscale diffusion processes // Scripta Materialia. — 2011. — Vol. 64, no. 10. — Pp. 938-941.

61. Маннинг Дж. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. —М.:Мир, 1971. —277 С.

62. Vineyard G. Н. Frequency factors and isotope effects in solid state rate processes // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 1957. —Vol. 3, no. 1-2. —Pp. 121-127.

63. Wert C. A. Diffusion Coefficient of С in a-Iron // Phys. Rev. — 1950. — Vol. 79. —Pp. 601-605.

64. Глесстон С., Лейдер К., Эйринг Г. Теория абсолютных скоростей реакций. —М.:Изд-во иностранной литературы, 1948. —583 С.

65. Бокштейн Б. С. Диффузия в металлах. —М.:Металлургия, 1978. —246 С.

66. Страумал Б. Б., Клингер Л. М., Швиндлерман Л. С. Диффузия индия по одиночным межфазным границам олово-германий при высоких давлениях // Физика твердого тела. —1983. —Т. 25, № 7. —С. 2085-2089.

67. Jeffery R. N., Lazarus D. Calculating Activation Volumes and Activation Energies from Diffusion Measurements I I J. Appl. Phys. —1970. —Vol. 41, no. 3186. —Pp. 3186-3187.

68. Aziz M. J., Sabin P. C., Lu G. The activation strain tensor: Nonhydrostatic stress effects on crystal-growth kinetics // Phys. Rev. B. — 1991. —Vol. 44. —Pp. 9812-9816.

69. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Статистическая физика. —М.:Наука, 1976. —Т. 5. —548 С.

70. Aziz М. J. Dopant diffusion under pressure and stress // IEEE International Conference on Simulation of Semiconductor Processes and Devices SISPAD 2003. —Piscataway, N.J.: IEEE., 2003. —Pp. 137-142.

71. Конобеевский С. Т. К теории фазовых превращений. II. Диффузия в твердых растворах под влиянием распределенных напряжений // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1943. —Vol. 13, по. 6.

72. Любов Б. Я., Фастов Н. С. Влияние концентрационных напряжений на процессы диффузии в твердых растворах // ДАН СССР. — 1952. — Vol. 84, по. 5.

73. Shewmon P. Diffusion in Solids. —Second edition. —The Minerals, 1989. — 245 P.

74. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. —М.:Мир, 1974. —304 С.

75. Трусов П. В., Келлер И. Э. Теория определяющих соотношений. Курс лекций. —Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. —98 С.

76. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. —М.: Наука, 1977. —399 С.

77. Гуров К. П., Карташкин В. А., Угасте Ю. А. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах. —М.: Наука, 1981. —350 С.

78. Onsager L. The Collected Works of Lars Onsager (with commentary) / Ed. by P.C. Hemmer, H. Holden, Ratkje S. Kjelstrup. —World Scientific Publishing, 1996. —Vol. 17 of World Scientific Series in 20th Century Physics. —764 P.

79. Гуров К. П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. —Наука, 1978. —128 С.

80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоритическая физика: Теория упругости. —М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. —264 С.

81. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. — М.:Высш. шк, 1961. —537 С.

82. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.:Наука, 1975. — 576 С.

83. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. — М.:Мир, 1964.—510 С.

84. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. —Киев:Наукова думка, 1970. — 308 Р.

85. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Основные положения и общие методы. —М.: Мир, 1991. —Т. 1. —504 С.

86. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Влияние напряжений и деформаций на перераспределение примеси в пластине в условиях одноосного нагруже-ния // Прикладная механика и техническая физика. —2010. —Т. 51, № 3. —С. 147-157.

87. Mikolaychuk М.А., Knyazeva A.G. Influence mechanisms of strains and stresses to diffusion in loaded plate // Proceedings of XXXVIII International Summer School-Conference АРМ 2010. —2010. —Pp. 464-469.

88. Князева А. Г., Миколайчук M. А. Насыщение пластины примесью из окружающей среды в условиях механического нагружения // Изв. РАН. МТТ. —2011. —№ 5. —С. 43-57.

89. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.:Наука, 1987. —254 С.

90. Волков Е. А. Численные методы. —М.:Наука, 1982. —254 С.

91. Самарский А. А. Теория разностных схем. —Наука, 1989. —616 С.

92. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. —М.: Мир, 1979. —392 С.

93. Hutton D. V. Fundamentals of Finite Element Analysis. —The McGraw-Hill Companies, 2004. —494 P.

94. Самарский А. А., Вабищевич П. H. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. —Едиториал УРСС, 2004. —248 С.

95. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. —М.: Энергоатомиздат, 1984. —152 С.

96. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. —784 С.

97. Калиткин Н.Н. Численные методы. —М.:Наука, 1978. —512 С.

98. Alves W. J., Genuchten М. Th. Analytical solutions of the one-dimensional convective-dispersive solute transport equation. —U.S. Dept. of Agriculture, 1982. —151 P.

99. Бабичев А. П., Бабушкина H. А., Братковский A. M. Физические величины. —Энергоатомиздат, 1991. —1232 С.

100. Erdelyi Z., Веке D. L. Stress effects on diffusional interface sharpening in ideal binary alloys // Phys. Rev. B. —2003. —Vol. 68. —P. 092102.

101. Ильюшин А .А. Пластичность. Часть 1. Упруго-пластические деформации. —М.: Логос, 2004. —388 С.

102. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Диффузия в кристаллическом теле в условиях нагружения// Изв. вузов. Физика. —2010. —№ 11/3. —С. 5457.

103. Anand M. S., Murarka S. P., Agarwala R. P. Diffusion of Copper in Nickel and Aluminum // Journal of Applied Physics. — 1965. —Vol. 36, no. 12. — Pp. 3860-3862.

104. Kawanami Y, Nakano M, Kajihara M, Mori T. Growth Rate of Fine Grains Formed by Diffusion Induced Recrystallization in Ni Layer of Cu/Ni/Cu Diffusion Couples // Materials Transactions. — 1998. — Vol. 39, no. 1. — Pp. 218-224.

105. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. —М.: Наука, 1989. — 608 С.

106. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. —М.: Гидрометеоиздат, 1974. —303 С.

107. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — Наука, 1989. — 429 С.

108. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии ОрепМР: Учебное пособие. —МГУ, 2009. —77 С.

109. Xinmin Т., Aart В., Milind G. Intel® ОрепМР C++/Fortran Compiler for Hyper-Threading Technology: Implementation and Performance // Intel Technology Journal. —2002. — Vol. 6, no. 1. —Pp. 36-45.

110. Бокштейн B.C., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. —М.: Металлургия, 1986. —224 С.

111. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зёрен и фаз. — М.: Машиностроение, 1991. —447 С.

112. Popov V. V. Modem Models of Grain Boundary Diffusion // Defect and Diffusion Forum. —2011. —no. 312 315. —Pp. 1116-1125.

113. Belova I. V., Murch G. E. Diffusion in nanocrystalline materials // Journal of Physics and Chemistry of Solids. —2003. —Vol. 64, no. 5. —Pp. 873 878.

114. Mishin Yu. M., Yurovitskii I. V. A generalized model of grain boundary diffusion // Philosophical Magazine A. —1991. —Vol. 64, no. 6. —Pp. 12391249.

115. Sommer J., Herzig Chr. Direct determination of grain-boundary and dislocation self-diffusion coefficients in silver from experiments in type-C kinetics // Journal of Applied Physics. —1992. —Vol. 72, no. 7. —Pp. 27582766.

116. Кесарев А.Г., Кондратьев B.B. О влиянии внутренних напряжений на диффузию в наноструктурных сплавах // Физика металлов и металловедение. —2007. — Vol. 6, no. 1. —Pp. 5-11.

117. Kolobov Yu. R, Grabovetskaya G. P, Ivanov M. B, Zhilyaev A. P, Valiev R. Z. Grain boundary diffusion characteristics of nanostructured nickel // Scripta Materialia. —2001. — Vol. 44, no. 6. —Pp. 873 878.

118. Миколайчук M. А., Князева А. Г. Моделирование формирования кристаллической структуры покрытия при магнетронном напылении // Изв. вузов. Физика. —2009. —№ 12/2. —С. 89-91.

119. Балохонов Р. Р., Романова В. А. Моделирование деформации и разрушения материалов с покрытиями различной толщины // Физическая мезо-механика. —2009. —№ 12. —С. 45-55.

120. Christopher S. A., Kumar M., King W. E. Analysis of grain boundary networks and their evolution during grain boundary engineering // Acta Materialia. —2003. —Vol. 51, no. 3. —Pp. 687 700.

121. Панин В. E., Макаров П. В., Псахье С.Г. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В. Е. Панина. — Новосибирск: Наука, 1995. —Т. 2. —320 С.

122. Князева А. Г., Миколайчук М. А. Об одной задаче диффузии в трехком-понентной системе с двумя временами релаксации // Изв. вузов. Физика. —2011. —№ 11/3. —С. 34-38.