Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Правдин, Константин Владимирович

• Правдин, Константин Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Правдин, Константин Владимирович

Оглавление

Введение

1 Функция Грина для слоистой ГЧ1М-системы

1.1 Сведение модели к одномерному представлению

1.1.1 Уравнения Максвелла

1.1.2 Слоистая №М-система

1.1.3 Скалярная функция Грина

1.1.4 Краевые условия

1.1.5 Краевые условия для случая /»-поляризации

1.1.6 Краевые условия для случая ¿-поляризации

1.1.7 Функция Грина системы (случай р-поляризации)

1.1.8 Функция Грина системы (случай ¿-поляризации)

1.2 Рекуррентные соотношения

1.2.1 Решение рекуррентных соотношений

1.2.2 Метод производящих функций в общем случае

1.2.3 ММ-ситуация

1.2.4 Метод производящих функций в условиях №М-ситуации

1.2.5 Асимптотики решений

1.3 Функция Грина в условиях №М-ситуации

1.3.1 Случай /^-поляризации

1.3.2 Случай ¿-поляризации

1.3.3 Электрическая функция Грина

1.4 Выводы

2 Частные случаи слоистой ММ-системы 46 2.1 №М-слой в вакууме

2.1.1 Модель

2.1.2 Функция Грина (случай /7-поляризации)

2.1.3 Функция Грина (случай ¿-поляризации)

2.1.4 NIM-ситуация

2.2 Слоистая NIM-система с внешним источником

2.3 Выводы

3 Зонная структура спектра слоистой системы

3.1 Модель одномерного фотонного кристалла

3.1.1 Уравнения Максвелла

3.1.2 Одномерный фотонный кристалл

3.1.3 ТЕ и ТМ случаи поляризации

3.1.4 Краевые условия

3.1.5 Условия периодичности

3.1.6 Решения

3.2 Зонная структура спектра фотонного кристалла

3.2.1 Сравнение зонной структуры спектра для NIM- и Р1М-системы

3.2.2 Изменение параметров электрической и магнитной проницаемостей

3.2.3 Изменение параметров слоев

3.3 Выводы

Заключение

Благодарности

Список сокращений и условных обозначений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах»

Введение

В последнее время в оптике эффект отрицательного преломления привлекает большое внимание, в основном за счет возможности его применения при создании идеальной линзы (или суперлинзы) [1]. Считается, что идеальная линза способна фокусировать все Фурье-компоненты двумерного изображения (как распространяющиеся, так и исчезающие) без потерь энергии и ухудшения детализации. Несмотря на то, что с практической и физической точек зрения до сих пор не была доказана возможность создания суперлинзы, в электромагнетизме и других междисциплинарных областях возник большой интерес к исследованиям суперлинзы с точки зрения фундаментальной физики и материаловедения [2-4]. Эффект отрицательного преломления имеет намного большую сферу применения, чем создание суперлинзы. Отрицательное преломление может быть достигнуто разными способами, основывающимися на разных областях физики, и может найти применение в различных технологических сферах [5-9].

Концепция отрицательного преломления обсуждается, начиная с опубликования в 1904 году книги А. Шустера [10]. Он установил, что отрицательная дисперсия показателя преломления п по отношению к длине волны X (с1п/с1Л<0) может привести к отрицательному преломлению в ситуации, когда свет проникает в вещество из вакуума, а групповая скорость направлена противоположно фазовой скорости vp. Хотя на тот момент были известны среды с с1п!с1Л< 0 (например, натриевый пар), Шустер полагал, что во всех оптических средах, в которых направление дисперсии отрицательно, должно наблюдаться сильное поглощение, и поэтому следует использовать только такие среды, толщина которых меньше, чем длина проходящего света. Согласно Шустеру перспективы применения отрицательного преломления должны быть весьма ограничены. Однако благодаря успехам в области материаловедения сейчас

ученые более оптимистичны, чем 100 лет назад. Сейчас основное направление в исследованиях суперлинзы связано с использованием тонких пленок с толщиной порядка (и даже долей) длины волны света [2]. Однако, с точки зрения физики преломления, в линзах такой толщины прохождение света сквозь них не всегда сопряжено с преломлением из-за различных трудностей (например, из-за неясности при определении параметров слоя [11] и оптического туннельного эффекта [12]).

Для электромагнитной волны распространение энергии определяется, строго говоря, вектором Пойнтинга S. Групповая скорость vg(iy,k) = dcojdXi часто

используется для описания направления и скорости распространения волны. В некоторых экстремальных ситуациях направления \g и S могут быть

противоположными [13]. Тем не менее, для квазимонохроматических волновых пакетов в среде без внешних источников и при минимальном поглощении и деформациях, направление S совпадает с направлением vg [14]. На основании

этого можно ввести следующее разграничение: если угол между к и vg острый

(к-vg >0), то говорят, что среда «правая» (right-handed medium, RHM); если же

угол между к и v тупой (к• v„ < 0), то говорят, что среда «левая» (left-handed

о о

medium, LHM) [15, 16]. Волна с k-vg <0 также известна как обратная волна (с

отрицательной групповой скоростью), в которой направление потока энергии противоположно направлению, которое задается вектором к [17, 18]. Механическое устройство, которое могло бы демонстрировать волны с отрицательной групповой скоростью (предположительно) первым предложил Г. Дамб [19]. Примеры экспериментов с обратными волнами могут быть найдены в статьях [4, 20]. Ожидалось, что LHM будут демонстрировать необычные свойства как сами по себе (отрицательная групповая скорость и обратный эффект Допплера), так и в сочетании с RHM (отрицательный показатель преломления, возникающий на границе между RHM и LHM) [15]. Эффект отрицательного

преломления на границе RHM с LHM, который возникает из-за свойства к • vg < О

в LHM, привлек к себе впоследствии большое внимание.

Углубление в понимании сущности отрицательного преломления произвел в 1940-х годах основатель московской физической школы Л.И. Мандельштам [2123]. Он показал, что эффект отрицательного преломления является общим феноменом для волн с отрицательной групповой скоростью.

Существует несколько способов добиться эффекта отрицательного преломления [4]. Большинство из них основано на LH-свойстве среды, однако последнее оказывается не необходимым и даже не достаточным условием отрицательного преломления. Примером среды с отрицательным показателем преломления (negative index material, NIM) может быть схема с пространственной дисперсией, которая вызывает LH-свойство и, следовательно, отрицательный показатель преломления [14, 24-26].

Еще одним примером NIM может служить фотонный кристалл. Так, при некоторых условиях на границе воздуха и фотонного кристалла возникает эффект отрицательного преломления [4, 27-43].

Из-за необычности отрицательного преломления может сложиться впечатление, что данный эффект не встречается в природе [44-45]. Однако это верно лишь для изотропных сред [4, 46, 47]. Простейшим примером является случай отрицательного преломления на границе воздуха и анизотропного кристалла, у которого отсутствуют отрицательные компоненты е и ¡л [47-51]. Хотя анизотропные схемы с отрицательным преломлением имеют важные применения, они не проявляют LH-свойство, поэтому не могут быть использованы при создании плоских линз, в отличие от предложенной В.Г. Веселаго схемы с одновременно отрицательными е и ¡х [15].

С математической точки зрения простейшим случаем LHM является среда, в которой электрическая е и магнитная ц проницаемости одновременно отрицательны (г<0и ц<0) [52, 53]. Показатель преломления п в этом случае

также оказывается отрицательным (n = -Js{i) [15]. Реализация такой ситуации

является трудной задачей из-за несовпадения частотных диапазонов, для которых s < 0 и /и < 0. Однако в последние годы исследования в области метаматериалов позволили решить эту задачу [44, 54, 55]. Метаматериалы представляют собой искусственно созданные среды с внедренной периодической решеткой [44, 56, 57]. Константа решетки в метаматериалах много меньше рабочей длины волны. Данная решетка состоит из периодически расположенных кольцевых резонаторов и металлических проволок. Первые вызывают отрицательное значение е, вторые -отрицательное значение /л. Таким образом, метаматериалы являются средами с одновременно отрицательными гир, следовательно, демонстрируют эффект отрицательного преломления. Несмотря на то, что поиск природных сред с ¡л Ф1 для оптического диапазона (или выше) является фундаментальной проблемой ввиду некоторых трудностей [26, 58], на сегодняшний день уже были продемонстрированы метаматериалы с ¡лф 1 и даже /л<0 , а также с отрицательным п [59-63].

Хотя идею создания плоских линз из веществ с одновременно отрицательными е и ju впервые предложил В.Г. Веселаго [15], модель идеальной линзы, изготовленной из NIM с одновременно отрицательными ей ¡л, была впервые описана Джоном Пендри [1]. Однако ввиду некоторых физических ограничений как для NIM с одновременно отрицательными ей//, так и для других схем с отрицательным преломлением, идея создания идеальной линзы до сих пор остается недостигнутой целью [16]. В задаче превзойти дифракционный предел [64] альтернативу суперлинзам составляют иммерсионные линзы [65-72]. Однако они оказываются эффективными лишь в ближнем поле.

Модель суперлинзы представляет собой слой NIM в вакууме и является частным случаем слоистых систем, содержащих NIM (NIM-систем). Наиболее полное исследование такой модели (трехслойная система) можно найти в [73], а также в [7-9,74]. Простейший случай слоистой системы (двухслойная NIM-система) был рассмотрен в работах [75, 76]. Исследования многослойных NIM-систем (т.е. систем с числом слоев, большим трех) можно найти в работах [77-80].

Ряд исследований NIM посвящен нахождению функции Грина, т.е. функции, описывающей электромагнитное поле, создаваемое точечным источником. Имея формулу для функции Грина, легко вычислить значение электромагнитного поля в любой точке системы, а также получить его аналитическое описание. Например, в [75] подобным образом рассмотрена двухслойная NIM-система, состоящая из однородных изотропных полупространств, заполненных, соответственно, NIM и вакуумом. В условиях NIM-ситуации были получены формулы для электрических s- и /^-поляризованных составляющих скалярной функции Грина. В работе [74] изучена трехслойная изотропная NIM-система. Однако на сегодняшний момент нет соответствующих результатов для многослойных NIM-систем [81].

Слоистая NIM-система может рассматриваться также как модель одномерного фотонного кристалла (one-dimensional photonic crystal, 1DPC) с NIM. Фотонный кристалл (photonic crystal, PC) представляет собой структуру с показателем преломления, периодически зависящим от пространственных координат. Фотонные кристаллы встречаются в природе уже миллионы лет. Биологические системы использовали нанометровые структуры, являющиеся природными фотонными кристаллами, и демонстрировали необычные оптические эффекты [82]. Интенсивное изучение фотонных кристаллов началось с работ [83, 84].

Распространение электромагнитной волны в PC зависит от ее частоты и может быть запрещено. Запрещенные частоты образуют интервалы, называемые запрещенными зонами (лакунами). Соответственно, интервалы разрешенных частот называют разрешенными зонами [85, 86]. Запрещенные и разрешенные зоны в совокупности определяют зонную структуру спектра PC. Благодаря спектральной зонной структуре фотонные кристаллы находят широкое применение в идеальных диэлектрических зеркалах [87], нелинейных эффектах [88], резонансных ямах [89], оптоволокне [90], волноводах [91] и других фотонных устройствах [92].

1DPC является простейшей моделью фотонного кристалла, представляющего собой систему чередующихся слоев с различным показателем преломления. Использование NIM в одномерных фотонных кристаллах приводит к таким

необычным эффектам, как побочные колебания с комплексными частотами, дискретные моды и моды фотонного туннельного эффекта [93]. Ряд недавних исследований посвящен изучению 1DPC, состоящих из слоев с отрицательным и положительным показателем преломления (positive index material, PIM) [94-100]. Однако большинство из этих исследований рассматривают недиспергирующие системы, то есть системы без частотной дисперсии электрической и магнитной проницаемостей и, следовательно, показателя преломления.

Целью данной диссертационной работы является исследование многослойной NIM-системы, состоящей из параллельных слоев. Слои заполнены NIM и вакуумом и расположены в порядке чередования. Как показал В.Г. Веселаго, одновременно отрицательные ей ¡л могут наблюдаться лишь при наличии частотной дисперсии [15], поэтому ей ц определяются на основе модели Лоренца [75].

Нас интересует, как с данной системой взаимодействует электрическое поле точечного источника, помещенного в один из слоев. Для этого мы используем подход функции Грина. Мы рассматриваем электрическую функцию Грина и далее для краткости вместо «электрическая функция Грина» говорим просто «функция Грина». Результаты для магнитного поля точечного источника без труда могут быть получены путем, аналогичным описанному для электрической функция Грина. Для учета краевых условий на границах слоев при построении функции Грина используется подход рекуррентных соотношений. Он легок в использовании, а также удобен для анализа и сравнения получающихся решений. Ввиду наличия частотной дисперсии для е и /л в рассматриваемой системе особенный интерес вызывает случай (NIM-ситуация), когда для некоторой частоты (NIM-частоты) е и ¡л равны -1 (в противоположность их значениям в вакууме, где они равны +1).

Настоящая работа организована следующим образом. Глава 1 содержит исследование общего случая слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа чередующихся слоев NIM и вакуума. Из уравнений Максвелла и стандартных краевых условий для рассматриваемой системы выводится

аналитическая формула функции Грина. В Главе 2 рассматриваются частные случаи слоистой NIM-системы. Первый представляет собой систему, состоящую из одного NIM-слоя, помещенного в вакуум (модель суперлинзы). Второй -многослойную систему с источником, расположенным в вакууме за пределами слоев системы. Для них также ищутся аналитические формулы для функции Грина. Глава 3 посвящена изучению зонной структуры спектра периодической слоистой NIM-системы, которая является одномерным фотонным кристаллом, содержащим NIM. Используется численный подход. В заключении перечислены основные результаты работы.

Таким образом, тема диссертационной работы отвечает современным проблемам рассматриваемой области науки и поэтому является актуальной.

В настоящей работе для обозначения NIM мы также используем термин метаматериал, так как рассматриваемая модель при некоторых условиях имеет одновременно отрицательные s и /л. При этом в Главе 3 термин NIM используется в смысле среды, демонстрирующей эффект отрицательного преломления, а термин метаматериал - как среда, которая при некоторых условиях может быть NIM. Эта условность была принята лишь для удобства описания результатов исследований. Дело в том, что ввиду большого количества исследований в области NIM разными авторами по всему миру, нет единого строгого различия между понятиями NIM как среды с отрицательным показателем преломления и NIM как среды с возможным при некоторых условиях отрицательным показателем преломления. Эта неточность объясняется тем, что в некоторых исследованиях ей// фиксируются как константы, в других же работах для них вводится частотная дисперсия. В последнем случае эффект отрицательного преломления может наблюдаться лишь для определенного интервала частот. Для метаматериала же (как реальной и практически реализуемой среды) частотная дисперсия подразумевается автоматически. Поэтому принятое в Главе 3 различие между терминами NIM и метаматериал не является некорректным.

Степень разработанности темы невелика. Возможно, такая ситуация наблюдается из-за трудностей, связанных с получением в явном виде аналитических формул для сложных систем, подобных рассматриваемой. Научная новизна результатов, полученных в работе:

1. Явно решена задача поиска электрической функции Грина для слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа параллельных чередующихся слоев NIM и вакуума. Для произвольной частоты был описан способ нахождения аналитической формулы для электрической функции Грина. В NIM-ситуации были впервые получены выражения для Фурье образа электрической Функции Грина. Было сделано наблюдение об отсутствии отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.

2. Явно решена задача поиска электрической функции Грина для частных случаев слоистой NIM-системы, рассмотренной в Главе 1. Для системы, состоящей из NIM-слоя, помещенного в вакуум, с источником, расположенным вне NIM-слоя, при произвольной частоте были получены выражения для s- и /^-поляризованных составляющих электрической функции Грина. В NIM-ситуации были впервые получены точные выражения и асимптотики s- и /»-поляризованных составляющих электрической функции Грина. Было сделано наблюдение, что при некоторых условиях в рассматриваемой системе отсутствует отражение. Для системы, подобной уже рассмотренной в Главе 1, с точечным источником, находящимся вне системы - в вакууме, впервые были получены выражения для Фурье образа электрической функции Грина в NIM-ситуации. Также было сделано наблюдение об отсутствии отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.

3. Впервые численно решена задача построения зонной структуры спектра для бесконечной системы, подобной рассмотренной в Главе 1, с равными электрической и магнитной проницаемостями в виде единичного вклада Лоренца [75]. Также впервые численно изучена зависимость зонной структуры спектра от параметров системы. Для этого написан комплекс программ в

пакете MathCAD. Подтвержден эффект отсутствия отражения в системе для NIM-частоты. Сделаны наблюдения об исчезновении данного эффекта при изменении параметров системы.

Теоретическая значимость результатов данной работы связана с разработкой методов расчета слоистых NIM-систем и реализацией их для конкретных ситуаций. При этом большое количество результатов получено аналитически.

Практическая значимость результатов подтверждается возможностью их применения при создании реальных объектов: от системы суперлинз до многослойных NIM-покрытий.

Методы исследования, используемые в данной работе, можно разделить на две группы - аналитические и численные. К аналитическим методам относятся такие методы, как подход функции Грина, преобразования Лапласа и Фурье, методы решения дифференциальных уравнений, алгебраических систем и рекуррентных соотношений, метод производящих функций, методы асимптотических разложений и асимптотических приближений. К численным методам относятся методы и приемы написания программ в пакете MathCAD, отображение результатов в виде графиков, а также их интерпретация. Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическая формула электрической функции Грина в NIM-ситуации для слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа параллельных чередующихся слоев NIM и вакуума.

2. Аналитические формулы для s- и /»-поляризованных составляющих электрической функции Грина при произвольной частоте в случае одного NIM слоя, помещенного в вакуум.

3. Описание зонной структуры спектра для бесконечной периодической NIM-системы. Зависимость зонной структуры спектра от параметров системы. Достоверность результатов обеспечивается надежностью используемых

теоретических методов, воспроизводимостью полученных результатов, использованием современного вычислительного оборудования, хорошим

согласием с теоретическими расчетами других авторов и многократной апробацией результатов на научных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: международной конференции «20th Central European Workshop on Quantum Optics» (Стокгольм, Швеция, 2013 г.), VII международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2012 г.), международных конференциях «Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems» (Санкт-Петербург, 2013 г. и 2014 г.), HI Всероссийском конгрессе молодых ученых (Санкт-Петербург, 2014 г.), XLI научной и учебно-методической конференции НИУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2012 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных работах, из них 3 в журналах из Перечня ВАК.

1. Pravdin K.V. Model of the interaction of point source electromagnetic fields with metamaterials / K.V. Pravdin, I.Yu. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2013. - № 4. - P. 570-576 (входит в Перечень ВАК).

2. Правдин К.В. Точечный источник в слоистой среде с метаматериалами: подход рекуррентных соотношений / К.В. Правдин, ИЛО. Попов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2014. - Вып. 91. - № 3. - С. 11-17 (входит в Перечень ВАК).

3. Pravdin K.V. Photonic crystal with negative index material layers / K.V. Pravdin, I.Yu. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2014. - Vol. 5. -№ 5. - P. 628-645 (входит в Перечень ВАК).

4. Правдин К.В. Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах / К.В. Правдин // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. Сборник статей. -2011. -№ 1.-С. 67-71.

5. Правдин К.В. Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах / К.В. Правдин // Научные работы участников конкурса «Молодые ученые НИУ ИТМО» 2012 года. - 2013. - С. 191-197.

6. Правдин К.В. Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах / К.В.Прав дин // Научные работы участников конкурса «Молодые ученые НИУ ИТМО»2013 года.-2014.-С. 156-161.

7. Правдин К.В. Модель точечных возмущений для метаматериалов / К.В. Правдин, И.Ю. Попов // Сборник трудов VII Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2012», Санкт-Петербург, НИУ ИТМО. -2012.-С. 227-229

8. Pravdin K.V. Model of point perturbation for metamaterials / K.V. Pravdin // CEWQO 2013: Book of Abstracts, Stockholm, KTH. - 2013. - P. 77.

9. Правдин К.В. Модель точечного возмущения для метаматериалов / К.В. Правдин // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых, Выпуск 2, Санкт-Петербург, НИУ ИТМО. - 2014. - С. 283-284.

10.Pravdin K.V. Model of point sources electromagnetic field interaction with metamaterials. / K.V. Pravdin // MCQTN 2013: Book of Abstracts, Saint Petersburg, University ITMO. - 2013. - P. 20.

11.Pravdin K.V. Photonic crystal with negative index material layers / K.V. Pravdin // MCQTN 2014: Book of Abstracts, Saint Petersburg, ITMO University. - 2014. - P. 17.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 108 страниц с 52 рисунками. Список литературы содержит 111 наименований.

Глава 1

Функция Грина для слоистой NIM-системы

В данной Главе мы рассматриваем слоистую NIM-систему, состоящую, из произвольного конечного числа параллельных слоев. Слои состоят из NIM и вакуума и чередуются между собой. Мы ставим задачу получить выражения для электрической функции Грина. Для учета краевых условий на границах слоев мы используем подход рекуррентных соотношений. Он легок в использовании благодаря зависимости решений в соседних слоях друг от друга, а также удобен для анализа и сравнения получающихся решений.

1.1 Сведение модели к одномерному представлению

1.1.1 Уравнения Максвелла

Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла. В дифференциальной форме при отсутствии поляризации и намагниченности среды они записываются следующим образом (для удобства вычислений мы положили

*о=М>=1 [751):

~7~(х>0 = V х Н(х,?), (1.1)

ш

¿/В

—(х,0 = ^хЕ(х,0, (1.2)

ш

У-Б(х,0 = 0, (1.3)

У-В(х,0 = 0, (1.4)

где вектор х лежит в базисе {е15е2,е3} ДПСК, V - оператор Гамильтона, х -

символ векторного произведения, • - символ скалярного произведения (а также матричного произведения). Реакция среды на электромагнитное поле описывается материальными уравнениями, представленными в следующей форме:

D(x,0 = E(x,0 + P(x,í), Р(х,0= fxe(x,i-5)-E(x,5)i&, (1.5)

В(х,0 = Н(х,0 + М(х,0, М(х,0= f %m(x,t-s)-U(x,s)ds, (1.6)

«о

где хе(х>0 ? Xm(x, 0 ~~ тензоры электрической и магнитной восприимчивостей среды. Согласно условию причинности

хДх,о=зи(х,0=о при t < to' (L7)

начальное время t0 может быть выбрано любым. С точки зрения преобразования Лапласа

f(z)=[ei:'f(t)dt, f{t) = ±-le-*f{z)dz, (1.8)

где z = ú) + ia , а->0 , а> 0 , и Г - прямая, расположенная параллельно действительной оси на расстоянии а, удобно считать t > 0. Положим t0 = 0.

Наложим условие пассивности [75]. Это означает, что электромагнитная энергия

= \ ЛЕ2(Х'0 + Н2(х,0]^х (1.9)

является невозрастающей функцией времени. В этих условиях при помощи формализма вспомогательного поля (auxiliary field formalism, AFF) можно показать [75], что система имеет правильную эволюцию. Если функция, описывающая начальное распределение поля, интегрируема с квадратом, то с течением времени она сохраняет это свойство.

Прежде чем ввести функцию Грина, применим преобразование Лапласа (1.8) к уравнениям (1.1)-(1.4) [75]. Тогда получим

-/zD(x, z) - D(x, 0) = VxH(x,z), (1.10)

-/zB(x, z) - B(x, 0) = - V x E(x, z), (1.11)

D(x,z) = £(x,z)-E(x,z), (1.12)

B(x,z) = n(x,z)-H(x,z), (1.13)

где

£(x,z) = l + xe(x,z), (1.14)

H(x,z) = l + xw(x,z). (1.15) Согласовывая уравнения (1.5)-(1.6) с условием причинности (1.7), получаем

D(x, 0) = Е(х,0), (1.16)

В(х,0) = Н(х,0). (1.17) Тогда уравнения (l.lO)-(l.ll) приобретают следующий вид

-/ze(x, z) • ё(х, z) - Е(х, 0) = V х Н(х, z), (1.18)

-/zn(x, z) • Н(х, z) - Н(х, 0) = - V х Ё(х, z). (1.19)

А

Выразим величину H(x,z) из уравнения (1.19) и подставим в (1.18). Получим Le(x,z)-E(x,z) = ge(x,z), (1.20)

где

V (х, z) • Ё(х, z) = z2e(x, z)e(x, z) - V x |V' (x, z) • V x e(x, z)], (1.21)

ge(x, z) = /zE(x,0) - V x [^(x,z). H(x,0)], (1.22)

Lf(z) - электрический оператор Гельмгольца, ge(x,z) - функция, характеризующая распределение электрического поля в начальный момент времени. Введем электрическую функцию Грина Ge(x,y,z) [75] при помощи следующего равенства:

Lf (х, z) • Ge (х, у, z) = S{x - y)U, (1.23)

где S(x-y) - дельта-функция, U - единичная матрица [3x3]. Тогда Е(х,/)

может быть получено обратным преобразованием Лапласа (1.8) из соответствующего образа

Ё(х,z) = jGe(х,у,z) • ge(у,z)<iy . (1.24)

Заметим, что магнитная функция Грина С"(х,у,г) (и, как следствие, магнитное поле Н(х,/)) может быть получена аналогичным путем [75]. Поэтому остановимся на рассмотрении лишь электрической функции Грина. Далее мы будем опускать верхний индекс е для упрощения записи, а также вместо словосочетания «электрическая функция Грина» будем использовать словосочетание «функция Грина».

1.1.2 Слоистая ШМ-система

Мы исследуем Ы1М-систему, состоящую из (п+т+1) параллельных слоев, где п,т> 3 - натуральные нечетные числа (Рисунок 1.1).

№ -2 № -1 Слой ХэО № 1 №2 NIM №3 вакуум №4

0 У x

т слоев Дг Да п слоев

\ 1..................................

Рисунок 1.1 - NIM-система, состоящая из (п+т+1) параллельных чередующихся NIM-слоев шириной Д] (серого цвета) и слоев вакуума шириной Аг (белого цвета). Точечный источник располагается в точке с координатой^ в нулевом NIM-слое.

Векторы е, , е2 задают плоскость границ слоев. В плоскости слоев предполагается трансляционная инвариантность. Ось х направлена по нормали к границам слоев и совпадает с направлением вектора е3. Обозначим координату левой границы к-го слоя как хь , нулевого - как х0 = 0. Справа от нулевого слоя располагается п слоев, слева - т слоев. Таким образом, к = -т,...0,...п. Слои расположены в порядке чередования: все четные слои (NIM), включая нулевой слой, имеют ширину Аь все нечетные слои (вакуум) имеют ширину Д2. Крайний левый слой (номер -т) и крайний правый слой (номер п) неограничены вдоль оси х (х_т =-оо, хи+1 =+оо) и представляют собой полупространства вакуума. Таким образом, данную систему можно рассматривать как систему, состоящую из (п+т-

1) параллельных слоев, помещенную в пространство с вакуумом. Точечный источник поля находится в нулевом слое в точке с координатой у (х0 < у < х1 или 0<у< А,).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Правдин, Константин Владимирович, 2014 год

Литература

1. Pendry, J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens / J.B. Pendiy // Phys. Rev. Lett. - 2000. - № 85. - P. 3966-3969.

2. Pendry, J.B. Metamaterials and negative refractive index / D.R. Smith, J.B. Pendry, M.C.K. Wiltshire // Science. - 2004. - V. 305. - P. 788-792.

3. Pendry, J.B. Reversing light with negative refraction / J.B. Pendry, D.R. Smith // Phys. Today. - 2004. - V. 57. - P. 37-43.

4. Zhang, Y. Total and negative refraction of electromagnetic waves / Y. Zhang, A. Mascarenhas // Mod. Phys. Lett. B. - 2005. - V. 19. - P. 21-33.

5. Дубинов, A.E. Маскировка материальных тел методом обтекания / А.Е. Дубинов, Л.А. Мытарева // УФН. - 2010. - Т. 180. - № 5. - С. 475-501.

6. Розанов, Н.Н. Невидимость: за и против / Н.Н. Розанов // Природа. - 2008. -№6.-С. 3-10.

7. Ozbay, Е. Super-resolution imaging by one-dimensional microwave left-handed metamaterials with an effective negative index / E. Ozbay, Z. Li, K. Aydin // J. Phys.: Condens. Matt. - 2008. - V. 20. - P. 304216-304223.

8. Iyer, A.K. Free-space imaging beyond the diffraction limit using a Veselago-Pendry transmission-line metamaterial superlens / A.K. Iyer, G.V. Eleftheriades // IEEE. Trans. Antennas Propag. - 2009. - V. 57. - P. 1720-1727.

9. Casse, B.D.F. Super-resolution imaging using a three-dimensional metamaterials nanolens / B.D.F. Casse, W.T. Lu, Y.J. Huang, E. Gultepe, L. Menon, S. Sridhar // Appl. Phys. Lett. - 2010. - V. 96. - N 2. - P. 023114.

10. Schuster, A. An Introduction to the Theory of Optics / A. Schuster. - London: Edward Arnold, 1904. - 394 p.

11. Rashba, E.I. Effective boundary conditions in optics of thin surface overlayers / E.I. Rashba // J. Appl. Phys. - 1996. - V. 79. - P. 4306-4311.

12. Klingshirn, C.F. Semiconductor Optics / C.F. Klingshirn. - New York: SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 1995. - 837 p.

13. Dolling, G. Simultaneous negative phase and group velocity of light in a metamaterial / G. Dolling, C. Enkrich, M. Wegener, C.M. Soukoulis, S. Linden // Science. - 2006. - V. 312. - P. 892-894.

14. Agranovich, V.M. Spatial Dispersion in Crystal Optics and the Theory of Excitons / V.M. Agranovich, V. L. Ginzburg. - London: Wiley, 1966. - 315 p.

15. Веселаго, В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ц // УФН. - 1967. - Т. 92. - № 3. - С. 517-526.

16. Krowne, C.M. Physics of Negative Refraction and Negative Index Materials / C.M. Krowne, Y. Zhang (Eds.). - New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.-380 p.

17. Викторов, И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Релея и Лэмба в технике / И.А. Викторов. - М.: Наука, 1966. - 287 с.

18. Бурлий, П.В. Обратные упругие волны в пластинах / П.В. Бурлий, И.Я. Кучеров // Письма в ЖЭТФ. - 1977. - Т. 26. - № 9. - С. 644-647.

19. Lamb, Н. On group-velocity / Н. Lamb // Proc. London Math. Soc. Sec. II. -1904.-V. l.-P. 473-479.

20. Krowne, C.M. Encyclopedia of RF and Microwave Engineering, vol. 3 / C.M. Krowne. - New York: Wiley, 2005 - 2303 p.

21. Мандельштам, Л.И. Полное собрание трудов, Т. 5 / Л.И. Мандельштам. -М.: Изд-во АН СССР, 1950. - 470 с.

22. Mandelstam, L.I. Group velocity in a crystal lattice / L.I. Mandelstam // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1945.-V. 15.-P. 475.

23. Мандельштам, Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / Л.И. Мандельштам. - М.: Наука, 1972. - 471 с.

24. Neufeld, J. Passage of Charged Particles through Plasma / J. Neufeld, R.H. Ritchie // Phys. Rev. - 1955. - V. 98. - P. 1632.

25. Ginzburg, V.L. Electromagnetic waves in isotropic and crystalline media characterized by dielectric permittivity with spatial dispersion / V.L. Ginzburg // JETP.- 1958.-V. 34.-P. 1096-1103.

26. Agranovich, V.M. Linear and nonlinear wave propagation in negative refraction metamaterials / V.M. Agranovich, Y.R. Shen, R.H. Baughman, A.A. Zakhidov // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 69. - P. 165112.

27. Notomi, M. Theory of light propagation in strongly modulated photonic crystals: Refractionlike behavior in the vicinity of the photonic band gap / M. Notomi // Phys. Rev. B. - 2000. - V. 62. - P. 10696.

28. Parimi, P.V. Photonic crystals: Imaging by flat lens using negative refraction / P.V. Parimi, W.T.T. Lu, P. Vodo, S. Sridhar // Nature. - 2003. - V. 426. - P. 404.

29. Joannopoulos, J.D. All-angle negative refraction without negative effective index/ C. Luo, S.G. Johnson, J.D. Joannopoulos, J.B. Pendry // Phys. Rev. B. - 2002. -V. 65.-P. 201104.

30. Cubukcu, E. Electromagnetic waves: Negative refraction by photonic crystals / E. Cubukcu, K. Aydin, E. Ozbay, S. Foteinopoulou, C.M. Soukoulis // Nature. -2003.-V. 423.-P. 604-605.

31. Ozbay, E. Double-Etch Geometry for millimeter-wave photonic band gap crystals / E. Ozbay, G. Tuttle, R. Biswas, K.M. Ho, J. Bostak, D.M. Bloom // Appl. Phys. Lett. - 1994.-V. 65.-P. 1617.

32. Ozbay, E. Reflection properties and defect formation in photonic crystal / E. Ozbay, B. Temelkuran // Appl. Phys. Lett. - 1996. - V. 69. - P. 743.

33. Mekis, A. High transmission through sharp bends in photonic crystal waveguides / A. Mekis, J.C. Chen, I. Kurland, S. Fan, P.R. Villeneuve, and J.D. Joannapoulos // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 77. - P. 3787-3790.

34. Villeneuve, P.R. Single-mode waveguide microcavity for fast optical switching / P.R. Villeneuve, D.S. Abrams, S. Fan, J.D. Joannopoulos // Opt. Lett. - 1996. -V.21.-P. 2017-2019.

35. Temelkuran, B. Resonant cavity enhanced detectors embedded in photonic crystals / B. Temelkuran, E. Ozbay, J.P. Kavanaugh, G. Tuttle, K.M. Ho // Appl. Phys. Lett. - 1988. - V. 72. - P. 2376.

36. Kosaka, H. Photonic crystals for micro lightwave circuits using wavelength dependent angular beam steering / H. Kosaka, T. Kawashima, A. Tomita, M.

Notomi, T. Tamamura, T. Sato, S. Kawakamib // Appl. Phys. Lett. - 1999. - V. 74.-P. 1370-1372.

37. Bayindir, M. Heavy photons at coupled-cavity waveguide band edges in a three-dimensional photonic crystal / M. Bayindir, E. Ozbay // Phys Rev. B. - 2000. -V. 62. - P. 2247.

38. Loncar, M. Waveguiding in planar photonic crystals / M. Loncar, D. Nedeljkovic, T. Doll, J. Vuckovic, A. Scherer, T.P. Pearsall // Appl. Phys. Lett. - 2000. - V. 77.-P. 1937-1939.

39. Noda, S. Polarization mode control of two-dimensional photonic crystal laser by unit cell structure design / S. Noda, M. Yokoyama, M. Imada, A. Chutinan, M. Mochizuki // Science. - 2001. - V. 293. - P. 1123-1125.

40. Bayindir M. Propagation of light through localized coupled-cavity modes in one-dimensional photonic band-gap structures / M. Bayindir, S. Tanriseven, E. Ozbay // Appl. Phys. A-Mater. Sci. Process. - 2001. - V. 72. - P. 117-119.

41. Ozbay, E. Investigation of localized coupled-cavity modes in two- dimensional photonic bandgap structures / E. Ozbay, M. Bayindir, I. Bulu, E. Cubukcu // IEEE J. Quantum Electron. - 2002. - V. 38. - P. 837-843.

42. Enoch, S. Enhanced emission with angular confinement from photonic crystals / S. Enoch, B. Gralak, G. Tayeb // Appl. Phys. Lett. - 2002. - V. 81. - P. 15881590.

43. Yanik, M.F. Stopping light all-optically / M.F. Yanik, S. Fan // Phys. Rev. Lett. -2004.-V. 92.-P. 083901.

44. Shelby, R.A. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction / R.A. Shelby, D.R. Smith, S. Schultz // Science. - 2001. - V. 292. - P. 77-79.

45. Pendry, J.B. A Chiral Route to Negative Refraction / J.B. Pendry // Science. -2004. - V. 306. - P. 1353-1355.

46. Zhang, Y. Total Negative Refraction Refraction in Real Crystals for Ballistic Electrons and Light / Y. Zhang, B. Fluegel, A. Mascarenhas // Phys. Rev. Lett. -2003.-V. 91.-P. 157404.

47. Zhang, Y. Negative Refraction of Electromagnetic and Electronic Waves in Uniform Media / Y. Zhang, A. Mascarenhas // Mat. Res. Soc. Symp. Proc., Boston, 2003. - 2003. - V. 794. - P. T10.1

48. Perez, L.I. Isotropic-uniaxial crystal interfaces: Negative refraction and backward wave phenomena / L.I. Perez, M.T. Garea, R.M. Echarri // Opt. Commun. - 2005. -V. 254.-P. 10-18.

49. Chen, X.L. Negative refraction: An intrinsic property of uniaxial crystals / X.L. Chen, H. Ming, D. YinXiao, W.Y. Wang, D.F. Zhang // Phys. Rev. В. - V. 72. -P. 113111.

50. Du, Y.X. Uniaxial Crystal Slabs as Amphoteric-Reflecting Media / Y.X. Du, M. He, X.L. Chen, W.Y. Wang, D.F. Zhang // Phys. Rev. В. - V. 73. - P. 245110.

51. Lu, Y. Negative refraction at the interface of uniaxial anisotropic media / Y. Lu, P. Wang, P. Yao, J. Xie, H. Ming // Opt. Commun. - 2005. - V. 246. - P. 429.

52. Pafomov, V.E. On transition radiation and the Vavilov-Cherenkov radiation / V.E. Pafomov // Sov. Phys. JETP. - 1959. - V. 36. - P. 1321.

53. Сивухин, Д.В. Об энергии электромагнитного поля в диспергирующих средах / Д.В. Сивухин // Оптика и спектроскопия. - 1957. - Т. 3. - С. 308312.

54. Grigorenko, A.N. Nanofabricated media with negative permeability at visible frequencies / A.N. Grigorenko, A.K. Geim, H.F. Gleeson, Y. Zhang, A.A. Firsov, I.Y. Khrushchev, J. Petrovic // Nature. - 2005. - V. 438. - P. 355-338.

55. Shalaev, V.M. Negative index of refraction in optical metamaterials / V.M. Shalaev, W. Cai, U. Chettiar, H.K. Yuan, A.K. Sarychev, V.P. Drachev, V. Klldishev // Opt. Lett. - 2005. - V. 30. - P. 3356-3358.

56. Parazzoli, C.G. Experimental Verification and Simulation of Negative Index of Refraction Using Snell's Law / C.G. Parazzoli, R.B. Greegor, K. Li, B.E.C. Koltenbah, M. Tanielian // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V. 90. - P. 107401.

57. Houck, A.A. Experimental observations of a left-handed material that obeys Snell's Law / A.A. Houck, J.B. Brock, I.L. Chuang // Phys. Rev. Lett. - 2003. -V. 90.-P. 137401.

58. Landau, L.D. Electrodynamics of Continuous Media / L.D. Landau, E.M. Lifshitz, L.P. Pitaevskii // Oxford: Butterworth-Heinemann, 1984. - 460 p.

59. Enkrich, C. Magnetic Metamaterials at Telecommunication and Visible Frequencies / C. Enkrich, M. Wegener, S. Linden, S. Burger, L. Zschiedrich, F. Schmidt, J.F. Zhou, T. Koschny, C.M. Soukoulis // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95.-P. 204901.

60. Grigorenko, A.N. Nanofabricated media with negative permeability at visible frequencies / A.N. Grigorenko, A.K. Geim, H.F. Gleeson, Y. Zhang, A.A. Firsov, I.Y. Khrushchev, J. Petrovic // Nature. - 2005. - V. 438. - P. 335-338.

61. Zhang, S. Experimental demonstration of near-infrared negative-index metamaterials / S. Zhang, W.J. Fan, N.C. Panoiu, K.J. Malloy, R.M. Osgood, S.RJ. Brueck // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95. - P. 137404.

62. Linden, S. Magnetic response of metamaterials at 100 terahertz / S. Linden, C. Enkrich, M. Wegener, J.F. Zhou, T. Koschny, C.M. Soukoulis // Science. - 2004. -V. 306.-P. 1351-1353.

63. Shalaev, V.M. Negative index of refraction in optical metamaterials / V.M. Shalaev, W.S. Cai, U.K. Chettiar, H.K. Yuan, A.K. Sarychev, V.P. Drachev, A.V. Kildishev // Opt. Lett. -V. 30. - P. 3356-3358.

64. Smith, D.R. Limitations on Sub-Diffraction Imaging with a Negative Refractive Index Slab / D.R. Smith, D. Schurig, M. Rosenbluth, S. Schultz, S.A. Ramakrishna, J.B. Pendry // Appl. Phys. Lett. - 2003. - V. 82. - P. 1506.

65. Ichimura, I. High-density optical recording using a solid immersion lens / I. Ichimura, S. Hayashi, G.S. Kino // Appl. Opt. - 1997. - V. 36. - P. 4339-4348.

66. The latest Lithography updates from the global semiconductor industry. - URL: http://www.semiconductor-technology.com/features/section290/

67. Mansfield, S.M. Solid immersion microscope / S.M. Mansfield, G.S. Kino // Appl. Phys. Lett. - 1990. -V. 57. - P. 2615.

68. Smolyaninov, I. Far-Field Optical Microscopy with a Nanometer-Scale Resolution Based on the In-Plane Image Magnification by Surface Plasmon

Polaritons /1. Smolyaninov, J. Elliott, A.V. Zayats, C.C. Davis // Phys. Rev. Lett. -2005.-V. 94.-P. 057401.

69. Feng, Z.F. Negative refraction and imaging using 12-fold-symmetry quasicrystals / Z.F. Feng, X.D. Zhang, Y.Q. Wang, Z.Y. Li, B.Y. Cheng, D.Z. Zhang // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 94. - P. 247402.

70. Lu, Z. Three-dimensional subwavelength imaging by a photonic-crystal flat lens using negative refraction at microwave frequencies / Z. Lu, J.A. Murakowski, C.A. Schuetz, S. Shi, G.J. Schneider, D.W. Prather // Phys. Rev. Lett. - 2005. -V. 95.-P. 153901.

71. Fang, N. Sub-diffraction-limited optical imaging with a silver superlens / N. Fang, H. Lee, C. Sun, X. Zhang // Science. - 2005. - V. 308. - P. 534-537.

72. Melville, D.O.S. Super-resolution imaging through a planar silver layer / D.O.S. Melville, R.J. Blaikie // Opt. Express. - 2005. - V. 13. - P. 2127-2134.

73. Collin, R.E. Frequency dispersion limits resolution in Veselago lens / R.E. Collin //PIERB.-2010.-V. 19.-P. 233-261.

74. Pravdin, K.V. Model of the interaction of point source electromagnetic fields with metamaterials / K.V. Pravdin, I.Yu. Popov // Nanosystems: Phys., Chem., Math. - 2013. - V. 4. - N 4. - P. 570-576.

75. Tip, A. Macroscopic Maxwell's equations and negative index materials / B. Gralak, A. Tip // J. Math. Phys. - 2010. - V. 51. - N 5. - P. 052902-28.

76. Gralak, B. Negative index materials and time-harmonic electromagnetic field / B. Gralak, D. Maystre // C. R. Acad. Sci. - 2012. - V. 13. - P. 786-799.

77. Liu, Y. A route to all frequency homogenization of periodic structures / Y. Liu, S. Guenneau, B. Gralak//2012.-arXiv:1210.6171.

78. Lequime, M. Negative Index Materials: The Key to «White» Multilayer Fabry-Perot / M. Lequime, B. Gralak, S. Guenneau, M. Zerrad, C. Amra // arXiv:1312.6281.

79. Lai, K.L. Spatial domain Green's functions for planar multilayered structures microwave and optical technology letters / K.L. Lai, L. Tsang, C.C. Huang // Micro. Opt. Tech. Lett. - 2005. - V. 44. - P. 86-91.

80. Maksimovic, M. Thermal radiation antennas made of multilayer structures containing negative index metamaterials / M. Maksimovic, M. Hammer, Z. Jaksic // Proceedings of SPIE. - 2008. - V. 6896. - P. 689605-11.

81. Правдин, K.B. Точечный источник в слоистой среде с метаматериалами: подход рекуррентных соотношений / К.В. Правдин, И.Ю. Попов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. -2014.-Т. 91.-№ З.-С. 11-17.

82. Vukusic, P. Photonic structures in biology / P. Vukusic, J.R. Sambles // Nature. -2003.-V. 424.-P. 852-855.

83. Yablonovitch, E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics / E. Yablonovitch // Phys. Rev. Lett., - 1987. - V. 58. - P. 20592062.

84. John, S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices / S. John // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 58. - P. 2486-2489.

85. Joannopoulos, J.D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light / J.D. Joannopoulos, S.G. Johnson, J.N. Winn, R.D. Meade. - Second edition. -Princeton: Princeton University Press, 2008. - 286 p.

86. Sakuda, K. Optical Properties of Photonic Crystals / K. Sakuda. - Second edition. - New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. - 253 p.

87. Fink, Y. A dielectric omnidirectional reflector / Y. Fink, J.N. Winn, S. Fan, J. Michel, C. Chen, J.D. Joannopoulos, E.L. Thomas // Science. - 1988. - V. 282. -P. 1679-1682.

88. Dudley, J.M. Ten years of nonlinear optics in photonic crystal fibre / J.M. Dudley, J.R. Taylor // Nat. Phot. - 2009. - V. 3. - P. 85-90.

89. Rosenberg, J. Painter Design of plasmonic photonic crystal resonant cavities for polarization sensitive infrared photodetectors / J. Rosenberg, R.V. Shenoi, S. Krishna, O. Painter // Opt. Exp. - 2010. - V.l 8. - P. 3672-3686.

90. Pinto, A.M.R. Photonic Crystal Fibers for Sensing Applications / A.M.R. Pinto, M. Lopez-Amo // Journal of Sensors. -2012. -V. 2012. - P. 598178-21.

91. Liapis, A.C. Optimizing photonic crystal waveguides for on-chip spectroscopic applications / A.C. Liapis, Z. Shi, R.W. Boyd // Opt. Exp. - 2013. - V. 21. - P. 10160-10165.

92. Altug, H. Physics and applications of photonic crystal nanocavities : PhD Dissertation / Altug Hatice. - Stanford, Stanford University, 2006. - 120 p.

93. Wu, L. Band structure for a one-dimensional photonic crystal containing left handed materials / L. Wu, S. He, L. Shen // Phys. Rev. B. - 2003. - V. 67. - P. 235103-10.

94. Jiang, H. Properties of one dimensional photonic crystals containing singlenegative materials / H. Jiang, H. Chen, H. Li, Y. Zhang, J. Zi, S. Zhu // Phys. Rev. E. - 2004. - V. 69. - P. 066607-10.

95. Bria, D. Band structure and omni directional photonic band gaps in lamellar structure with left handed materials / D. Bria, B. Djafari-Rouhani, A. Akjouj, L. Dobrzynski, J.P. Vigneron, E.H. El Boudouti, A. Nougaoui // Phys. Rev. E. -

2005. - V. 69. - P. 066613-12.

96. Singh, S. K. Structural parameters in the formation of omnidirectional high reflectors / S. K. Singh, J.P. Pandey, K.B. Thapa, S.P. Ojha // PIER. - 2007. - V. 70.-P. 53-78.

97. Nicolae, C. Zero-n bandgap in photonic crystal superlattices / C. Nicolae, R.M. Osgood, Jr.S. Zhang, S.R.T. Brueck // J. Opt. Soc. Am. B. - 2006. - V. 23. - P. 506-512.

98. Jiang, H. Localized gap-edge fields of one-dimensional photonic crystals with an ^-negative and a /¿-negative defect / H. Jiang, H. Chen, S. Zhu // Phys. Rev. E. -

2006. - V. 79. - P. 0466601-8.

99. Pandey, G.N. Band structures and abnormal behavior of one dimensional photonic crystal containing negative index materials / G.N. Pandey, K.B. Thapa, S.K. Srivastava, S.P. Ojha // PIER M. - 2008. - V. 2. - P. 15-36.

100. Feng, X. Enlargement of the omnidirectional reflectance gap in one-dimensional photonic crystal heterostructure containing double negative index material / X. Feng, H. Li // Eur. Phys. J. D. - 2013. - V. 67. - P. 40157-7.

101. Tip, A. Linear dispersive dielectrics as limits of Drude-Lorentz systems / A. Tip // Phys. Rev. E. - 2004. - V. 69. - P. 016610.

102. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

103. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. - 9-ое изд. - М.: Айрис-пресс, 2009. - 608 с.

104. Duffy, D.G. Green's functions with applications / D.G. Duffy. - Florida: Chapman & Hall/CRC, 2001. - 404 p.

105. Воронин, С. Метод производящих функций / С. Воронин, А. Кулагин // Квант.-1984.-№5.-С. 11-15.

106. Тер-Крикоров, A.M. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов / A.M. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин- 3-е изд., исправл. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. - 672 с.

107. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. - T. II. - М.: ФМЛ, 1970. - 800 с. ^

108. Floquet, G. Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques / G. Floquet // Ann. Ecole Norm. Sup. - 1883. - V. 12. - P. 47-88.

109. Bloch, F. Ûber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern / F. Bloch // Z. Phys. - 1929. - V. 52. - P. 555-600.

110. Novotny, L. Principles of Nano-Optics / L. Novotny, B. Hecht. - New York: Cambridge University Press, 2006. - 539 p.

111. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. - 4-ое изд. - М.: Наука, 1974. - 331 с.