Задачи оптимизации в непрерывных моделях эксплуатируемых популяций с возрастной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ильин, Олег Игоревич

• Ильин, Олег Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильин, Олег Игоревич

Введение

1. Оптимизация в моделях биологических систем

1.1 Модели популяций и сообществ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимизации в непрерывных моделях эксплуатируемых популяций с возрастной структурой»

Актуальность темы. Исследование любой экосистемы в настоящее время невозможно без учета воздействия на пес человека. Анализ антропогенного воздействия разумно проводить с использованием математического моделирования, так как это не требует больших материальных затрат и дополнительного вторжения в природную среду Одной из основных проблем экологии является проблема рационального использования биологических ресурсов. Настоящая работа посвящена моделированию популяций и сообществ морских промысловых рыб как объектов, непосредственно связанных с деятельностью человека.

Задачи рационального использования биологических популяций и сообществ приводят к задачам оптимального управления. Оптимальное управление предусматривает выбор такого воздействия на объект управления (биологическую популяцию), которое доставляло бы максимум некоторому функционалу, выражающему пользу для человека — в простейшем случае это может быть суммарный вылов рыбы (или доход от пего) за заданный промежуток времени.

Промысел, обладая определенной избирательной способностью, вызывает не только количественные, но и качественные изменения в эксплуатируемой популяции. Кроме того, особи разного возраста обладают различными характеристиками размножения и гибели и вносят различный вклад в пополнение популяции. Наконец, многие экономические характеристики особей, такие, как масса рыбы и т.д., в большой степени зависят от их возраста. В этой связи особи разного возраста могут вносить различный вклад в оптимизируемый функционал. Для понимания механизмов функционирования и решения вопросов рационального использования биологических популяций необходимо построение адекватной математической модели, позволяющей получить детальное описание динамики возрастного состава изучаемого вида. Такой моделью может служить непрерывная модель динамики возрастной структуры биологической популяции. Традиционно при решении задач оптимальной эксплуатации (оптимального сбора урожая) в моделях такого типа ограничиваются исследованием задачи оптимизации равновесного улова. Однако, нужды практики требуют решения задач оптимальной эксплуатации в динамике, в том числе при условии сохранения популяции на достаточно высоком уровне продуктивности и поддержания её на этом уровне в течение всего периода эксплуатации. Исследование указанных задач актуально не только с практической, но и с теоретической точек зрения.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является исследование задач оптимального управления биологическими ресурсами в рамках модели эксплуатируемой популяции с непрерывными временем и возрастом.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи.

1. Выяснение условий существования и единственности решения системы уравнений модели биологической популяции с непрерывными временем и возрастом.

2. Установление необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления.

3. Построение алгоритмов численного решения систем уравнений моделей и задач оптимизации.

4. Реализация полученных результатов на примерах запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая.

Научная новизна, полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

1. Выяснены условия однозначной разрешимости системы уравнений непрерывной модели биологической популяции с возрастной структурой.

2. Установлены необходимые условия оптимальности управления в задачах оптимальной эксплуатации биологических популяций с возрастной структурой и их сообществ.

3. Осуществлено построение алгоритмов численного решения систем уравнений и задач оптимизации в непрерывных моделях биологических популяций и сообществ с возрастной структурой.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносится:

1. Для серии задач оптимального управления в непрерывных моделях популяций с возрастной структурой установлены необходимые условия оптимальности управления, построены вычислительные алгоритмы и проведено численное исследование на примерах с данными по популяциям дальневосточных рыб.

Практическая значимость. Результаты проведенного исследования могут служить основой при оценивании состояния запасов и прогнозировании оптимальной величины изъятия морских промысловых организмов.

Достоверность научных положений и выводов, полученных в работе, является следствием использования классических математических методов построения моделей и их анализа: методов оптимизации, оптимального управления; методов численного анализа.

Апробация результатов работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени Е.В. Золотова (Владивосток, 2007), на семинарах «Математическое моделирование и информационные технологии в исследованиях биоресурсов Мирового океана» (Владивосток, ТИНРО-центр, 2003, 2007), на отчётных сессиях КамчатНИРО (Петропавловск-Камчатский, 2006, 2008) и ТИНРО-центра (Владивосток, ТИНРО-центр, 2005).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ильин, Олег Игоревич

Основные результаты проведенных исследований:

1. Установлены необходимые условия оптимальности управления в задачах оптимальной эксплуатации популяций с возрастной структурой и их сообществ.

2. Осуществлено построение алгоритмов численного решения систем уравнений и задач оптимизации в непрерывных моделях популяций с возрастной структурой и их сообществ.

3. На основе непрерывной модели динамики возрастной структуры найдены оптимальные стратегии изъятия для запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая.

Заключение

В диссертационной работе исследованы следующие задачи.

1. Задача оптимальной эксплуатации в непрерывной модели популяции с возрастной структурой, в том числе в стационарном состоянии и с учетом функциональных ограничений.

2. Задача оптимальной эксплуатации в непрерывной модели сообщества биологических популяций с возрастной структурой.

Выяснены условия однозначной разрешимости системы уравнений непрерывной модели популяции с возрастной структурой. Предложена непрерывная модель сообщества биологических популяций с возрастной структурой, учитывающая внутри- и межвидовые конкурентные взаимоотношения и отношения «хищник-жертва». На примере запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая показана принципиальная возможность использования непрерывной модели динамики возрастной структуры популяции для моделирования различных оптимальных режимов эксплуатации морских промысловых видов рыб дальневосточных морей. В приведенных расчетах проявляются магистральные свойства оптимальных решений, аналогичные таковым свойствам в моделях динамики однородных популяций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильин, Олег Игоревич, 2009 год

1. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Гл. редакция физ.-мат. лит-ры изд-ва «Наука», 1978. 352 с.

2. Malthus Т. R. An Essay on the Principle of Population, Johnson, London, 1798. (Русский перевод: Мальтус Т. Опыт закона о народонаселении. СПб., 1908).

3. Verhulst P. F. Recherches mathematiques sur la loi d'accroissement de la population, Nuov. Mem. Acad. Roy. Bruxelles. Vol. 18. P. 3—38.

4. Hutchinson G.E. Circular causal systems in Ecology. — Ann. N.Y. Acad. Sci., 1948. V.50. P. 221-246.

5. Недорезов Л. В., Утюппн Ю. В. Об одной модели системы «хищник — жертва» с запаздыванием // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 6. № 4 (16). 2003. С. 67-75.

6. Бабский В. Г., Мышкис А. Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // Марри Дж. Нелппсйные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

7. Cushing J. М. Time delays in single species growth models // J. Math. Biol. 1977 V.4. № 3. P. 257-264.

8. Рикер У. E. Методы оценки и интерпретация биологических показателей популяций рыб. М., Пищевая промышленность, 1979. 408 с.

9. May R. М. Biological populations obeying difference equations: Stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biol. 1975. V. 51. P. 511-524.

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

11. Kostitzin V.A. La Biologie mathematiquc, A. Colin, Paris. 1937.

12. Kostitzin V.A. Evolution de l'atmosphere, Hermann efc C, Paris. 1935.

13. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.

14. Lotka A.J. Elements of mathematical biology. N.Y.: Dower, 1956. 345 p.

15. Колмогоров A. H. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики, вып. 25, М.: Наука, 1972. с.100-106.

16. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем // Пробл. космич. биологии. М.: Наука, 1972. Т. 20. 160 с.

17. Шапиро А. П. Моделирование биологических сообществ. Владивосток. 1975. 170 с.

18. Шапиро А. П. Математические модели конкуренции // Управление и информация. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1974. Вып. 10. с.5-75.

19. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

20. Уатт К.Е. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971. 498 с.

21. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. JL: Наука, 1971. 196 с.

22. May R. М. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: Univ. press, 1974.

23. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативиые структуры и катастрофы в экологиии. — М.: Наука. Гл. редакция физ.-мат. лит., 1987. 368 с.

24. Тузинкевич А.В. К вопросу о возникновении пятнистости в пространственном распределении двух конкурирующих видов // Мат. физика и мат. моделирование в экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С. 64-76.

25. Суханов В.В. Об автоколебаниях и волнах в структуре древостоев тем-нохвойных лесов // Мат. физика и мат. моделирование в экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С. 47-64.

26. Хаделер К.П. Перенос, реакция и запаздывание в математической биологии и обратная задача для бегущих фронтов // Современная математика. Фундаментальные направления., 2006. Т. 17(2006). С. 57-77.

27. Тютюнов Ю.В., Сапухина Н.Ю., Моргулис А.Б., Говорухин В.Н. Математическая модель активных миграций как стратегии питания в трофических сообществах // Журн. общ. биологии. Т. 62. №3. 2001, С. 253 -262.

28. Тютюнов Ю.В., Сапухина Н.Ю., Сенина И.Н., Ардити Р. Явная модель поискового поведения хищника // Журн. общ. биологии, Т.63. №2. 2002. С. 137-148.

29. Гурли С.А., Дж. В.-Х. Coy, Дж. X. By Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т.1 С. 84-120.

30. Cai-Lin X., Zi-Zhen L. Effect of diffusion and spatially varying predation risk on the dynamics and equilibrium density of a predator-prey system // J. Theor. Biol., 2002. V. 219. p. 73 82.

31. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Полиномиальные модели популяций с автотаксисом: решения «бегущие волны» // Математическое моделирование. 2000. Т.12. т. С. 78-93.

32. Базыкин А. Д., Хибник А.И. Билокальная модель диссипативной структуры // Биофизика, 1982. Т. 27. Вып. 1. с. 132-136.

33. Разжевайкин В. Н. О возникновении диссипативных структур в системе типа «хищиик-жертва» // Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький, 1981. С. 243-249.

34. Абакумов А.И. Математическое моделирование популяционной динамики с учетом адаптивного поведения особей // Журнал общей биологии. Т.34. № 3. 2000. С. 145-156.

35. Абакумов А.И. Казакова М. Г. Пространственная модель сообщества видов // Дальневосточный математический журнал. Т.З. №.1. 2003. С. 102107.

36. Ильичев В. Г. Механизмы адаптации параметров в моделях экологии // Матем. моделирование, Т. 16. № 2. 2004. С. 54-68.

37. Kendal D. Stochastic process and population growth // J.Roy. Statist. Soc. 1949. №11. P.230-264.

38. Карев Г.П. Об интегральном представлении параметров стохастических моделей популяций // Кибернетические модели в биологии. Новосибирск. 1974.

39. Пичугин Б. Ю. Стохастическая модель изолированной популяции с сезонным размножением и самолимитированием // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 6. № 4 (16). 2003. С. 75-81.

40. Клоков С.А., Топчий В.А. Оценки среднего времени фиксации в популяциях постоянного объема // Сибирский математический журнал. Т.47. № 6. 2006. С. 1275-1288.

41. Алексеев В.В., Костин И.К. Устойчивость простейших биоценозов к случайным внешним воздействиям // Биологические системы в земледелии и лесоводстве. М.: Наука. 1974. С.41-48.

42. Сидорин А.П., Свирежев Ю.М. Динамика системы «хищник-жертва» в условиях случайных возмущений // Изв. АН СССР. Сер. биол. 1980. № 4. С. 573-579.

43. Levins R. The effect of random variations of different types on population growth // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1969. V.64. №4. P. 1061-1065.

44. Абакумов А.И. Неопределенность данных в математической экологии // Дальневосточный математический журнал. 2000. Т. 1. № 1. С. 38-42.

45. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р. А. Полу-эктова. М.: Наука, 1974. 456 с.

46. Leslie Р.Н. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. 1945. V. 33 № 3. P. 184-212.

47. Скалецкая E. И., Фрисман E. Я., Шапиро А. П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М. Наука., 1979. 165 с.

48. Логофет Д.О., Клочкова И.Н. Математика модели Лефкови-ча:репродуктивный потенциал и ассимптотические циклы // Математическое моделирование. Т. 14. №10. 2002. С. 116-126.

49. Логофет Д.О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами // Математическое моделирование. Т.14, №12. 2002. С.11-22.

50. Von Foerster Н. Some remarks on changing populations // The Kinetics of cellular proliferation. N.Y., 1959. P.382-407.

51. Sinko J.W., Streifer W. A new model for age-sized structure for population // Ecology. 1967. V.48, P.910-918.

52. Голубятников В. П., Лихошвай В. А. Одномерная модель развития популяции земноводных // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 5. № 2 (10). 2002. С. 53-60.

53. Городилова Л.И., Пак Т.В. Качественное исследование некоторых частных случаев математической модели динамики нерестовой популяции. Тезисы докладов математической школы-семинара имени акдемика Е.В.Золотова. — Владивосток, 2007, с.60-61.

54. Banks Н.Т., Kappel F., Wang С. Weak solutions and differentiability for size-structured population models // Int. Ser. Numer. Math. 1991. V.100. P.35-50.

55. Lotka A.J., Sharpe F. R. A problem of age distribution // Philosophical Magazine, 1911. V.21. P.435-438.

56. Gyori I. Some mathematical aspects of modelling cell population dynamics // Comput. Math. Appl. 1990. V.20. №4-6. P.127-138.

57. Перцев H.B. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций // Вестник Омского университета. 1996. №1. с. 24-26.

58. Пичугина А. Н. Поведение решений нелинейной модели Шарпа-Лотки // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.4. № 3(11). 2002. С.146-154.

59. Пичугина А. Н. Иптегродиффереициальная модель популяции, подверженной воздействию вредных веществ // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 7. № 4(20). 2004. С. 130-140.

60. Тарасов И.А., Перцев Н.В. Анализ решений интегро-дифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций // Вестник Омского университета. 2003. Вып. 2. с. 13-15.

61. Абакумов А.И., Кольев Н.В., Максименко В.П., Горр С.В Матричный метод оценки запаса и прогнозирования вылова популяций морских организмов // Вопросы ихтиологии. 1994. Т.34. №3. с.400-407.

62. Абакумов А.И. Обобщение математических методов оценки запаса для промысловых популяций. Препринт / Интститут прикладной математики ДВО АН СССР. Владивосток. 1991. 11 с.

63. Перцев Н.В. Исследование решений интегральной модели Лотки-Вольтерра // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.2. № 2(4). 1999. С. 153-167.

64. Перцев Н.В., Пичугина А.Н., Пичугин Б.Ю. Поведение решений дисси-пативной интегральной модели Лотки-Вольтерра // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.6. № 2(14). 2003. С. 95-106.

65. Математические модели водных экосистем / Под ред. Ю.М. Свирежева. М.: ВЦ АН СССР, 1984. 148 с.

66. Меншуткин В.В. Об оптимальной стратегии рыболовства // Вопр. ихтиологии. 1966. Т. 6, Вып. I. С. 3-13.

67. Крогиус Ф.В., Крохин Б.М., Меншуткин В.В. Сообщество пелагических рыб озера Дальнего. Опыт кибернетического моделирования. Ленинград: Наука, 1969. 86 с.

68. Кучер А.И. Математическое моделирование рыбопродуктивности водных экосистем на примере озера Ханка: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: Ин-т биофизики СО АН СССР, 1991. 21 с.

69. Засосов А. В. Динамика численности промысловых рыб. М., Пищевая промышленность, 1976. 311 с.

70. Hilborn R., Walters C. J. Quantitative Fisheries Stock Assessment: Choice, Dynamics Sz Uncertainty // Chapman and Hall, New York. 1992. 570 p.

71. Максименко В. П., Антонов Н. П. Количественные методы оценки рыбных запасов / КамчатНИРО. Петропавловск-Камчатский. 2003. 256 с.

72. Баранов Ф.И. К вопросу о биологических основаниях рыбного хозяйства // Изв. отдела рыбоводства и научи.-промысл. исслед. Т.1. Вып.1. С.84 -128.

73. Бивертон Р., Холт С. Динамика численности промысловых рыб. М., Пищевая промышленность, 1969. 248 с.

74. Gulland J. A. Manual of methods for fish assessment. Pt.l // Fish population analysis. FAO. Nan., Fish.Sci. 1969. №4. P. 1-154.

75. Pope J. G., Shepherd J. G. A Comparison of the performance of various methods for tuning VPA's using effort data // J. Cons. Intern. Explor. Mer. 1985. v.42. p. 129 151.

76. Pope J. G., Shepherd J. G. A simple method for consistent interpretation of catch-at-age data // J. Cons. Int. Explor. Mer. 1982. V.40. p. 176 -184.

77. Deriso R.B., P.R.Neal, and T.J. Quinn II. 1985. Catch-age analysis with auxiliary information // Can. J. Fish. Aquat. Sci. 42: 815 824.

78. Methot R. D. Synthesis model: an adaptable framework for analysis of diverse stock assessment data // International North Pacific Fisheries commission. Bui. №50. Vancouver, Canada, 1990. p.259-277.

79. Применение математических методов и моделей для оценки запасов рыб: Метод, рекомендации / Сост. В.К. Бабаян и др. М.: ВНИРО, 1984. 155 с.

80. Schnute J. A general fishery model for a size-structured fish population models // Can. J. Fish. Aquat. Sci. 1987.44:p.924-940.

81. Максименко В. П., Антонов Н. П. Оценка естественной смертности у морских промысловых популяций рыб камчатского шельфа // Вопросы рыболовства. 2002. Т. 3(11). С. 450-462.

82. Bertalanffy, L. von A Quantitative Theory Of Organic Growth // Human Biology. 1938. V. 10. №1. P.181-213.

83. Бабаян В.К. Предосторожный подход к оценке общего допустимого улова (ОДУ). Анализ и рекомендации по применению.М.: Издательство ВНИ-РО. 2000. 190 с.

84. Thompson, W. F. and F.H. Bell Biological statistics of the Pacific halibut fishery.2. Effect of changes in intensity upon total yield and yield per unit of gear // Rep. Int. Fish.(Pacific Halibut) Comm. 1934., p. 8 49.

85. Sissenwine M. P., Shepherd J. G. An alternative perspective on recruitment overfishing and biological reference points // Can. J. Fish. Aquat. Sci. 1987. V. 44: p. 913 918.

86. Левасту Т., Ларкинз Г. Морская промысловая экоситема М.: Агропром-издат, 1987. 165 с.

87. Модели миоговидового управления / Пер. с англ. М.: Изд-во ВНИРО, 2002. 274 с.

88. Бобырев А. Е., Криксунов Е. А., Куга Т. И. Оптимизация многовидового рыбного промысла на основе трофодинамической модели продукционных процессов // Вопросы ихтиологии. Т.45. №.6. М.: Наука, 2005. С. 820-826.

89. Pope J. G., Harris О.С. The South African pilchard and anchovy stock complex — an example of the effects of biological interactions between species on management strategy. ICNAF Res. Doc. 1975. 75/1X/133.

90. Hepgason Т., Gislason H. VPA analysis with species interactions due to predation // ICES CM/1979/G.1979. 52 p.

91. Lleonart J., Salat J., Macpherson E. CVPA, an expanded VPA with cannibalism. Application to a hake population // Fish Res. 1985. V.3. P.61-79.

92. Andersen K.R., Ursin E.A. Multispecies extension to the Beverton and Holt theory of fishing with account of phophorus circulation and primary production // Meddr. Danm. Fisk. og Havunders, N. S. 1977. V.7. P. 317435.

93. Филин А.А. Промышленное рыболовство: моделирование межвидовых отношений промысловых гидробноптов в Баренцевом море с целью оптимизации управления многовидовым промыслом // Вопросы рыболовства, 2004, Т. 5. № 2(18). с. 294-297.

94. Филин А.А. Реализация экосистемного подхода к управлению биоресурсами Баренцева моря // Известия ТИНРО. Т. 137. 2004. С. 67-76.

95. Алексеев В. И., Гинзбург JI.P. О регулировании численности популяции биологическими способами // Журнал общей биологии. 1969. №5.

96. Свирежев Ю.М., Тимофеев Н.Н. О регулировании численности популяции с возрастной структурой // Журн. общ. биологии. 1980. Т. 41. № 2. С. 200-209.

97. Зубер И.Е., Колкер Ю. И., Полуэктов Р. А. Об управлении численностью и возрастным составом популяций // Проблемы кибернетики, Вып. 25. М.: Наука. 1972.

98. Оптимальное управление прпродно-экономическими системами. М.: Наука, 1980. 295 с.

99. Экологические системы. Адаптивная оценка и управление / Под ред. К.С. Холлинга. М.: Мир, 1981. 397 с.

100. Hamalainen R.P., Kaitala V., Haurie A. Bargaining on whales: A differential game model with Pareto optimal equilibria. Oper. Res. Letters, 1984. V. 3. № 1. p. 5-11.

101. Захаров В.В., Петросян А.А. Теоретико-игровой подход к проблеме окружающей среды //Вестник Ленингр. ун-та, Вып. 1. №1. 1981. с.26-32.

102. Реттиева А.Н. Методы динамических игр в задаче управления биоресурсами: подход с введением заповедной зоны: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск: Ин-т прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, 2004. 23 с.

103. Абакумов А.И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. Владивосток: Дальнаука, 1993. 129 с.

104. Беллман Р. Динамическое программирование. М. ИЛ, 1960. 400 с.

105. Абакумов А.И. Магистральные свойства решений дискретной задачи оптимального сбора урожая для биологических систем // Мат. моделирование экол. свойств популяций. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980. С. 47-50.

106. Абакумов А.И. Максимизация дохода при эксплуатации морских биосистем // Методы хоз. освоения ресурсов Океана. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980. С. 51-57.

107. Абакумов А.И. Применение динамического программирования в задачах оптимального сбора урожая для биосистем / Оптимизация и устойчивость. М.: ВЦ АН СССР, 1980. С. 3-10.

108. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 391 с.

109. Ащепков Л.Т., Величенко Б.В. Оптимальное управление. Владивосток: ДВГУ, 1989. 116 с.

110. Clark C.W. Bioeconomic modelling and fisheries management. N. Y.: Wiley Intersc. Pub., 1985. 295 p.

111. Абакумов А.И. Задача оптимального сбора урожая для однородной популяции // Теория и приложения функц.-дифференц. уравнений: Тез докл. всесоюз. конф. Душанбе: ТГУ, 1987. Ч. I. С. 3-4.

112. Абакумов А.И. Разнообразие режимов оптимального сбора урожая в модели однородной популяции // Анализ данных и моделирование природных процессов. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 85-94.

113. Абакумов А.И., Кучер А.И. Об оптимальной эксплуатации ихтиоценоза // Гидробиол. журнал. 1994. Т. 30. Вып. 4. С. 82-90.

114. Гиричева Е.Е. Задача оптимизации рыбного промысла. Тезисы докладов математической школы-семинара имени акдемика Е.В.Золотова. — Владивосток. 2007. С.114-115.

115. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1971.

116. Домбровский Ю.А. Оптимальный сбор урожая в модели популяции с перекрывающимися поколениями // Вопросы кибернетики. М. 1979. Вып. 52. С. 48-59.

117. Rorres С., Fair W. Optimal harvesting policy for an age specific population // Math. Biosci. 1975. V.24 1/2. P. 31-47.

118. Абакумов А.И. Задачи оптимального сбора урожая в популяции с возрастной структурой // Вопр. кибернетики. М.: ВЦ АН СССР, 1979. Вып. 52. С. 27-48.

119. Абакумов А.И. Задачи оптимального сбора урожая в матричных моделях популяций // Мат. исслед. в популяц. экологии. Владивосток: ДВО АН СССР, 1988. С. 19-32.

120. Абакумов А.И. Модельный анализ оптимальных режимов эксплуатации популяций // Управление и оптимизация. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 3-16.

121. Абакумов А.И., Процепко Т. А. Алгоритм поиска оптимального режима эксплуатации популяции с возрастной структурой // Мат. физика и мат. моделирование в экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С. 76-83.

122. Ильин О. И. Об оптимальной эксплуатации популяции несколькими типами орудий лова // Сб. науч. тр. Камчат. НИИ рыб. хоз-ва и океанографии. Вып. 9. 2007. С.258-260.

123. Ильин О.И. Об оптимальной эксплуатации популяции рыб с возрастной структурой // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.10. № 3(31). 2007. С.43-57.

124. Ильин О. И. О численном решении задачи оптимальной эксплуатации промысловой популяции биологических объектов. Тезисы докладов математической школы-семинара имени академика Е.В.Золотова. — Владивосток. 2007. С.70-71.

125. Ильин О.И. Об одной задаче оптимального управления биологическим сообществом // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.9. № 4(28). 2006. С.75-81.

126. Абакумов А.И. Оптимальное управление в распределенных моделях для биосистем. Тезисы докладов математической школы-семинара имени ак-демика Е.В.Золотова. — Владивосток. 2007. С.111-112.

127. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966.

128. Макеев А.С. Методы решения обратных задач для модели популяции // Вести. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 2005. №3. С. 3-16.

129. Денисов А.И., Макеев А.С. Численный метод решения обратной задачи для модели популяции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т.46. №3. С. 490-500.

130. Дегтярев Г. Л., Сиразетдипов Т. К. Об одной задаче оптимального управления системами с распределенными параметрами // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. № 1. 1967.

131. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. Об оптимальном управлении одномерными процессами с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика, Т. XXVIII. № 11, 1967.

132. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1965. Т.29. № 6. С.1205-1260.

133. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

134. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

135. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

136. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1977. 480 с.

137. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. лит., 1975. 568 с.

138. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 400 с.

139. Аргучинцсв А.В. Оптимальное управление гиперболическими системами. М.:Физматлит, 2007. 168 с.

140. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 6. С. 11321139.

141. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления основанного на принципе максимума // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21. № 6. С. 1376-1384.

142. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических систем, основанные на принципе максимума // Вопросы кибернетики. М.:Наука, 1991. С. 17-38.

143. Аргучинцев А.В., Васильев О.В Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 6. С. 797-803.

144. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.:Физматлит, 2000. 160 с.

145. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 552 с.

146. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 296 с.

147. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272с.

148. Ивлев B.C. Экспериментальная экология питания рыб. Киев: Наукова думка. 1977. 272 с.

149. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 299 с. .

150. Габасов Р.,Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. — М.: Наука, 1973. 256 с.

151. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.:Мир, 1974.

152. Федоренко Р.Ф. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

153. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т.1 — М: Высш.шк., 1988. 712 с.

154. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М.: «Высшая школа», 1987. 232 с.

155. Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

156. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Наука, 1980. 616 с.

157. Самарский А.А., Николаев С.Е. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.