Задачи с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений с опережением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Акбари Фаллахи Арезу

• Акбари Фаллахи Арезу
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Акбари Фаллахи Арезу

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ (ДРУ)

ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

1.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережением

и запаздыванием

1.2. Дифференциально-разностное уравнение с опережением

без запаздывания

1.3 Предельный переход при стремлении к нулю отклонений аргумента

Глава 2. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ (ДРУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1. Дифференциально-разностное уравнение с опережением

и запаздыванием

2.2. Предельный переход при стремлении к нулю величин отклонения аргумента

2.3. Дифференциально-разностного уравнения без запаздывания

Глава 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЕНИЕМ ВРЕМЕННОГО

АРГУМЕНТА.

3.1. Постановка задачи с начальными условиями в пространстве

Соболева с экспоненциальным весом

3.2. Достаточные условия корректной разрешимости

3.3. Необходимые условия корректной разрешимости

3.4. Предельный переход при стремлении к нулю величин отклонения аргумента

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

4.1. Заключение

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений с опережением»

Актуальность темы исследования.

Дифференциально-разностные и функционально- дифференциальные уравнения возникают в ряде задач математической физики и в задачах теории управления (см. работы А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца [24], Дж. Уиллера, Р. Фейнмана [36], А.Г. Каменского, А.Л. Скуба-чевского [19]). Весьма актуальным является вопрос о выборе функционального пространства для решения и вопрос о выборе совокупности условий на поведение решения на границе области определения, при которых решение дифференциально-разносного уравнения (далее ДРУ) существует, единственно и непрерывно зависит от параметров задачи и параметров начально-краевых условий (см.[11] , [19]).

В первых систематических исследованиях линейных ДРУ с откло-нящимся аргументом была предложена классификация ДРУ на запаздывающие, нейтральные и опрежающие. Важным вопросом, затрагиваемым в работах (см.[10, 13, 19, 16]), является изучение зависимости условий, накладываемых на искомую функцию, удовлетворяющую ДРУ, и позволяющих выделить среди таких функций единственную, от типа ДРУ и параметров задачи. Задачей с начальными условиями для ДРУ на полуоси называется задача определения такой функции на промежутке, содержащем рассматриваемую полуось, которая удовлетворяет ДРУ почти всюду на рассматриваемой полуоси и, помимо того, удовлетворяет некоторым дополнительным условиям - таким, как:

1) функция (и, быть может, некоторые ее производные) имеет заданное предельное значение в конечной граничной точке полуоси,

2) функция принимает заданные значения на промежутке, содержа-

щем конечную граничную точку полуоси и зависящем от параметров отклонения аргументов,

3) асимптотическое поведение функции при приближении к бесконечности по полуоси имеет ограничение на рост типа принадлежности весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом.

Эти условия, накладываемые на поведение неизвестной функции в окрестности конечной граничной точки полуоси, будем называть начальными. Условием на решение ДРУ, затрагивающим его поведение на правой границе полупрямой, состоит в принадлежности решения весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом (см. [7, 10, 11]). В зависимости от типа рассматриваемого ДРУ начальные условия для искомой функции могут быть выбраны выбраны различными способами (см. [13], [19], [16]) в виде условий 1) или 2).

Поиск условий на рост искомой функции, выделяющих единстве-ное решение среди функций, удовлетворяющих дифференциальному или дифференциально-разностному уравнению, является, начиная с работ А.Н. Тихонова (см. [35]), одной из основных проблем современной теории краевых задач. Поиск корректной постановки задачи для нелинейного ОДУ с условиями на асимптотику роста решения на границе области определения проведен в работах Л.Д. Куд-рявцева.(см. [20]) Применительно к линейным ДРУ запаздывающего и нейтрального типов эффективным средством описания таких условий является условие принадлежности решения к весовому пространству Соболева с экспоненциальным весом (см. [10]). Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений с запаздыванием временного аргумента систематически исследована в работах (см. [13], [24], [31], [10]. В работах [8],[7]) исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом

нейтрального типа, а в статье (см.[11]) исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временным аргументом. В монографии А.Л. Скубачевского (см. [29]) исследовано нарушение гладкости решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений за счет влияния сдвигов пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу (см. также обзор [25]). Подобный эффект нарушения гладкости решения параболического дифференциально-разностнаго уравнения исследован в работе (см.[17]). В работе (см. [18]) изучаются свойства эллиптических дифференциально-разностных операторов со сжатями пространственных аргументов в ограниченных областях, а в работе [23] изучаются свойства эллиптических дифференциально-разностных операторов на плоскости.

Объект исследования.

Диссертационная работа посвящена исследованию задач с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений на полупрямой или на полупространстве (для комплекснозначных функций и для векторнозначных функций со значениями в гильбертовом пространстве). Рассматриваются линейные дифференциально-разностные уравнения на полупрямой для функции одной переменной, связывающие значения ее производной первого (или порядка к) в произвольной точке £ полупрямой со значениями искомой функции (или ее младших производных) в конечной совокупности точек полупрямой, полученных из точки £ с помощью операций сдвига на фиксированную вещественную величину (отклонение аргумента).

с1к

—ки(£) = аи(£) + ви(£ - Н) + си(£ + т) = /(£), £ > 0. (0.0.1)

Здесь т, Н - положительные числа, и : [—Н, ^ Е - искомое отображение полуоси [—Н, в некоторое гильбертово пространство

Е, / : [0, ^ Е - заданное отображение, А, В, С - заданные линейные оператоы в пространстве Е (возможно, неограниченные). В зависимости от знака отклонения аргумента подразделяются, согласно предложенной в работах (см.[13], [24]) на запаздывания (значения отклонений аргумента отрицательны) и опережения (значения отклонений аргумента положительны). Соответственно, дифференциально разностные уравнения для функции одной переменной на полуоси подразделяются на ДРУ порядка к и на уравнения запаздывающего, опережающего и опережающе-запаздывающего типов. ДРУ нейтрального типа называют такие уравнения, которые связывают значения старших производных неизвестной функции в различных точках рассматриваемой полуоси, но такие уравнения в диссертации исследоваться не будут.

Цель диссертационной работы.

Ставится задача найти набор условий на отображение и : [—Ь, ^ Е, при выполнении которых найдется единственное отображение и : [—Ь, ^ Е, удовлетворяющии в определенном смысле ДРУ (0.0.1). Следуя подходу работ В.В. Власова (см. [7, 10, 11]) в диссертации рассматриваются отображения и из класса Соболева ^^^([-Ь, +ж),Е) с экспоненциальным весом е7* при некотором 7 € Я. Принадлежность отображения к указанному классу Соболева накладывает условия на его гладкость и на его асимптотическое поведение при £ ^ то есть накладывает условие на бесконечно

удаленной границе области определения искомого отображения. Для ДРУ (0.0.1) в правой ^-полуокрестности граничной точки —Ь области определения искомого отображения при некотором 6 > 0 ставится граничное условие вида

и\[—к, — Н+5] = ^

(0.0.2)

где ^ - заданное отображение [—Н, —Н + 6] ^ Е.

Степень разработанности исследования.

Ранее в работах (см.[13],[19]) рассматривалась постановка задачи (0.0.1)-(0.0.2) при 6 = Н + т и было выявлено счетное множество условий согласования для разрешимости такой задачи, а в работах (см.[7], [16] ) рассматривалась постановка задачи (0.0.1)-(0.0.2) при 6 = Н и было определено условие на параметри 7 веса пространства Соболева, при выполнении которого задача (0.0.1)-(0.0.2) является корректной. Основы теория функционально-дифференциальных уравнений были во многом сформированы в работах (см. [13, 24]), в которых была предложена классификация таких уравнений на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Теория функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов в дальнейшем получила развитие с привлечением методов спектральной теории оператором и функциональных пространств в работах (см. [10], [19], [24], [27]).

Функционально-дифференциальные уравнения опережающего типа изучены в значительно меньшей мере, чем функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего и нейтрального типов (см. [10], [24]). Во многом это связано с некорректностью постановки задачи с начальным условием на промежутке отклонения аргумента в таких уравнениях, требующей от начального условия и правой части уравнения выполнения бесконечного множества условий согласования (см. [19]). Как было показано в работе [15], для корректности постановки задачи с начальными данными следует задать начальные условия лишь на части промежутка отклонения аргумена - на промежутке запаздывания аргумента (—Н, 0). В работе [15] получены условия на коэффициенты уравнения (0.0.1) и параметры весового пространства Со- 7-

болева, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями в такой модифицированной постановке. В работе [16] было установлено, что ДРУ опережающего типа допускают корректную постановку задачи с начальными уловиями. В настоящей диссертационной работе, являющейся продолжением исследований [7]-[9] и [16], получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (0.0.1)-(0.0.2) - указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (0.0.1)-(0.0.2) имеет единственное решение в весовом пространстве, причем норма решения допускает оценку через норму неоднородного слагаемого / уравнения (0.0.1) и норму начального условия ^ из (0.0.2).

В работе [16] показано, к каким нарушениям корректности задачи (0.0.1)-(0.0.2) приводит нарушение условия на вес. В терминах спектра оператора задачи показано, что в случае весовых пространств Соболева со слишком быстро убывающим весом задача (0.0.1)-(0.0.2) имеет в пространстве Соболева более одного решения. Наоборот, если весовая функция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтись решения задачи (0.0.1)-(0.0.2).

В этом полученный результат аналогичен результату работы А.Н. Тихонова (см. [35]), в которой для шкалы функциональных пространств найдена граница корректной разрешимости задачи Коши для уравнения теплопроводности и установлено нарушение единственности решения задачи Коши в более широких пространствах шкалы. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Определить условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков

опережающего типа.

2. В терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, определить условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.

3. Определить зависимость пространства начальных данных задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа без запаздывания, допускающей корректную разрешимость в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от расположения корней характеристического многочлена.

4. Доказать сходимость решений корректных задач с начальными условиями для ДРУ с переменными отклонениями аргумента на величины Н (запаздывание) и т (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

Научная новизна:

Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее значимые из них:

1. Получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и функциональное пространство Соболева с экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков опережающего типа.

2. Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.

3. Установлены условия на ДРУ с опережением и на показатель ве-

са пространства Соболева, при которых задача с начальным условием для ДРУ с опережением эквивалентна задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (две задачи называются эквивалентными, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот).

4. Для некоторых специальных постановок задачи с начальными условиями для ДРУ второго порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальных данных, при которых задача имеет единственное решение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.

5. Доказана сходимость решений корректных задач с начальными условиями для ДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргумента на величины Ь (запаздывание) и т (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации развивают теорию линейных дифференциально-разностных уравнений и могут быть применены в исследованиях задач оптимального управления.

Методы диссертационного исследования.

В диссертации используются методы теории линейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, методы спектрального анализа линейных операторов, методы теории однопарамет-рических полугрупп линейных операторов.

На защиту выносятся следующие положения диссертации:

1. Получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и функциональное пространство Соболева

с экспоненциальным весом, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ первого и второго порядков опережающего типа, а также для ДРУ гиперболического типа.

2. Определены условия на показатель экспоненциального веса пространства Соболева, выраженные в терминах корней характеристического многочлена, соответствующего дифференциально-разностному оператору, необходимые для корректной разрешимости задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа.

3. Установлены условия на ДРУ с опережением и на показатель веса пространства Соболева, при которых задача с начальным условием для ДРУ с опережением эквивалентна задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения порядка, зависящего от ДРУ и показателя веса.

4. Для некоторых специальных постановок задачи с начальными условиями для ДРУ второго порядка опережающего типа без запаздывания установлена зависимость размерности пространства начальных данных, при которых задача имеет единственное решение в пространстве Соболева с экспоненциальным весом, от величины коэффициентов при слагаемом с опережающим аргументом.

5. Доказана сходимость решений корректных задач с начальными условиями для ДРУ с фиксированной начальной функцией и переменными отклонениями аргумента на величины Н (запаздывание) и т (опережение) к решению задачи Коши для ОДУ при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

Достоверность.

полученных результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами. Результаты находятся в русле современных исследований, проводимых другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научных семинарах:

• На семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского, 17 мая 2016 года (РУДН).

• На семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН, профессора В. А. Садовничего, 16 ноября 2016 года (МГУ).

• На научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ "МЭИ"под руководством профессора А.А. Амосова и профессора Ю. А. Дубинского, 7 декабря 2016 года.

• На семинаре квантовой математической физики под руководством чл.-корр. РАН профессора И. В. Воловича, 25 марта 2015 (МИАН им .В. А. Стеклова).

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в семи печатных работах, из которых три [A1-A3] в журналах, рекомендованных ВАК.

1. Акбари Фаллахи. А, Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Корректность задачи с начальными условиями для гиперболических дифференциально- разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Дифференциальные уравнения, 2016. Т. 52, № 3, С. 352-365.

2. Акбари Фаллахи. А. О стремлении к нулю величины отклонения аргумента в дифференциально-разностных уравнениях с опережением ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 8, № 1, С. 109-114.

3. Акбари Фаллахи. А Дифференциально-разностных уравнений второго порядка с опережением в весовых пространствах Соболева. ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 1, № 1, С. 109-120.

Личный вклад.

Работа [А1] опубликована в соавторстве. Результаты этой работы, вошедшие в диссертацию, получены лично автором. Также автором опубликованы статьи [А2-А3].

Структура диссертации:

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 127 страниц. Список литературы содержит 34 наименования.

Содержание работы

Первая глава "Задача с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения(ДРУ) первого порядка".

В первом разделе первой главы изучаются Дифференциально-разностного уравнения с опережением и запаздывания вида

иДг) = аи(г) + Ьи(г - Н) + си(г + т) + /(г), г> 0, (0.0.3)

в котором а, Ь, с - вещественные постоянные, положительные постоянные т, Н являются отклонениями аргумента (опережением и запаздыванием соответственно), а / - заданная на полуоси Я+ = (0, непрерывная числовая функция. Требуется определить неизвестную числовую функцию и : (—Н, ^ Л, удовлетворяющую уравнению (0.0.3) и удовлетворяющих начальному условию

и(г) = ф(г), г е (-Н, 0) (0.0.4)

с заданной начальной функцией ф.

Для каждого числа 7 > 0 через Ь2,7обозначим пространство классов эквивалентности измеримых отображений и : Я+ ^ С, для которых выполняется условие е-^и € Ь2 (^+), наделенное нормой

||и|к,7 (Д+) = Ие-7*и1к(й).

Через 7(а,Ь) при каждом I € N обозначим пространство числовых функций на интервале (а, Ь) со значениями в комплексной плоскости С таких, что

и* (£) € ¿2,7 (а,Ь), 3 = 0,1, I = 1, 2,...;

с нормой

II и \\ж12л(а,Ь) = (У и(1) У12,7(а,Ь) + II и У|2,7(а,Ь))1/2, 7 > 0.

Определение. Решением задачи Коши (0.0.3)-(0.0.4) будем называть функцию и € (—Н, которая удовлетворяет уравнению (0.0.3) почти всюду на интервале (0, и начальному условию (0.0.4) тождественно на интервале (—Н, 0).

В диссертации получены достаточные и необходимые условия корректной разрешимости задачи (0.0.3)- (0.0.4). Исследовано влияние нарушения необходимых условий на нарушение существования и нарушение единственности решения. Исследовано предельное поведение при (Н,т) ^ (0,0) решений задачи (0.0.3)- (0.0.4).

Поэтому всюду далее если Ь = 0, то в условии (1.1.3) полагается Н = 0. В диссертации продолжено исследование статей [9], [15], получены достаточные условия корректной разрешимости задачи (1.1.1) -(1.1.3) - указаны условия на весовую функцию шкалы весовых пространств Соболева, при которых задача (1.1.1) - (1.1.3) имеет единственное решение в весовом пространстве, причем норма решения

допускает оценку через норму неоднородного слагаемого уравнения (1.1.1) и норму начального условия (1.1.3). Исследовано, к каким нарушениям корректности задачи (1.1.1) - (1.1.3) приводит нарушение условия на вес.

решения. Наоборот, если весовая функция убывает слишком медленно, то в соответствующем пространстве Соболева может не найтись решения задачи (1.1.1) - (1.1.3).

Положим

О С

¡(7) = е-^-^ + , 7 > а.

7 — а 7 — а

Теорема 1.1. Пусть ¡¿>(7) < 1 на интервале (а, в) С Я. Тогда если ^ Е ([—т, 0]) и / Е (Я+) при некотором 7 Е (а, в), то задача с начальным условием (0.0.3)-(0.0.4) имеет единственное решение и в пространстве ((—т, +ж)), причем норма решения допускает оценку

(М!^((-г,+ТО)) < С[У/ 11ь2,7(Д+) + НИ^а-т.о]}], (0.0.5)

с постоянной С, не зависящей от выбора / Е Ь2,7(Я+) и ^ Е Ж21([—т, 0]).

Пусть £ - множество решений характеристического уравнения Л = а + 6е—^Л + сетЛ, которое является счетным (см. [6]). Определим числа

а = йир{ЯеЛ : Л Е ЯеЛ < а},

О = т/{ЯеЛ : Л Е ЯеЛ > в}.

Теорема 1.2. Пусть ¡(7) < 1 на интервале (а, в) С Я. Тогда если 7 > О, то однородная задача (0.0.3)-(0.0.4) имеет нетривиальное решение и Е (—т, Если 7 < а, то не при всех начальных

данных ф Е ([—0]), однородное уравнение иг = аи(£) + Ои(£ — + си(£ + т), £ > 0 имеет решение из пространства (—

Во втором разделе первой главы мы исследуем дифференциально-разностные уравнения вида (0.0.3) с опережением без запаздывания -при условии Ь = 0.

В этом случае начальные условия задаются в точке г0 = 0. В работе [15] были исследованы, в частности, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения вида

иДг) = аи(г) + си (г + т) + /(г), г> 0, (0.0.6)

где

и(+0) = ио. (0.0.7)

Здесь т > 0, / - заданная непрерывная числовая функция на области (0, а и - неизвестная числовая функция, областью определения которой является множество (0,

Определение. Решением задачи Коши (0.0.6)-(0.0.7) будем называть функцию и € ^2(0, которая удовлетворяет уравнению (0.0.6) на интервале (0, и начальному условию (0.0.7).

Теорема 1.6. Пусть существует 7 > а такое, что выполнено условие |с|еТ7 <7 — а. Тогда задача (0.0.6)-(0.0.7) в пространстве Соболева W\1 (0, эквивалентна задаче Коши с начальным условием (0.0.7) для ОДУ

щ(г) = Ж1и(£) + /(г), г > 0, (0.0.8)

где х1 - корень характеристического уравнения Л = а + сеЛт с наименьшей вещественной частью.

Здесь эквивалентность двух задач означает, что если начальные данные и неоднородные слагаемые этих задач совпадают, то совпадают и их решения.

Установлен следующий результат о предельном переходе для семейства решений ДРУ (0.0.6) к решению обыкновенного дифференциального уравнения при стремлении к нулю параметров отклонения аргумента.

Через uo обозначим решение обыкновенного дифференциального уравнения

ut(t) = (a + b + c)u(t), t> 0, удовлетворяющее начальным условиям Коши

u(+0) = <^(—0).

Теорема 1.7. Пусть существует такое y0 > а, что < 1-

Тогда существует такое е > 0, что

w(Y) = —-u-< ö < 1

Y — a

для любых (h,r) G 0e(0,0) и y G Oe(y0).

При этом для любого y G O£(y0) выполняется равенство:

lim sup ||uh,T(t)|R+ — uoWIIwi = 0.

(h,T)^(0,0) tG[0,T]

Замечание 1.5 характеризует зависимость размерности пространства начальных данных, при которых ДРУ (0.0.6) имеет хотя бы одно решение, от пасположения корней характеристического квазимногочлена и весового параметра пространства Соболева.

Вторая глава "Задача с начальными условиями для дифференциально-разностного уравнения(ДРУ) второго порядка."

Во второй главе исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного дифференциально-разностного уравнения второго порядка вида

ий(г) = ^и(г) + /(г), г> 0, (0.0.9)

где

^и(£) = —а2и(£) + Ои(£ — й) + си(£ + т), £ Е (0, (0.0.10)

Здесь коэффициенты О, с - вещественные числа, а, й, т - положительные постоянные, / - заданная числовая функция на интервале (0, а и - неизвестная числовая функция, областью определения которой является промежуток (—й, Областью определения оператора ^, действующего в гильбертовом пространстве Ь2;7((—й, +то)), является гильбертово пространство ) = Ж22((—й, +го)) (см. [7],[11]), на котором оператор ^ определен согласно формуле (0.0.10). Ставится задача определить функцию и : (—й, ^ Я, которая в области (0, удовлетворяет уравнению (0.0.9) почти всюду, а на отрезке [—й, 0] удовлетворяет начальному условию

и |—,о]= <£, (0.0.11)

где ^>(£) - начальное значение функции и, заданное на множестве [—й, 0]. При этом предполагается, что функция ^ удовлетворяет условию Е Ж22((—й,0)).

Определение. Функцию и Е (—й, назовем решением задачи (0.0.9)-(0.0.10)-(0.0.11) в весовом пространстве Соболева, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению (0.0.9) в пространстве Ь2 ,7(0, и начальному условию (0.0.11) тождественно на интервале [—й, 0].

Теорема 2.1 устанавливает эквивалентность задачи с начальными условиями (0.0.9)-(0.0.11) интегральному уравнению второго рода.

Положим

¡(7) = (|О|е—7^ + |с|е7Т), 7 Е (0, +ю). (0.0.12)

72 + а2

Теорема 2.2. Пусть ш(7) < 1 на интервале (а, в) С (0, Пусть функции ^ Е Ж|([-0]). Тогда если / Е Ь2,7(Я+) при некотором 7 Е (а, в), то задача с начальным условием (0.0.9) —(0.0.11) имеет единственное решение и в пространстве ((^, при-

чем норма решения допускает оценку

((Н,< с[/Ць^(Д+) + НИ^Ц-М])^ (0.0.13)

с постоянной с не зависящей от выбора / Е Ь2 ,7(Я+) , ^ Е

Ж?([-Л,0]) .

Определим числа

а = зир{ЯеА : Л Е ЯеА < а},

Ь = т/{ЯеА : А Е ЯеА > в},

где 2 С С - множество корней характеристического уравнения А2 + а2 = Ье-ЛН + сеЛт, а числа а, в определены условием ш(7) < 1 на интервале (а, в) С Я.

Теорема 2.3 Пусть ш(7) < 1 на интервале (а, в) С Я. Тогда если 7 > Ь, то однородная задача (0.0.9)- (0.0.11) имеет нетривиальное решение и Е (0, Если 7 < а, то не при всех начальных

данных (ф, "ф) Е С2, однородное уравнение ии = Ми(£),£ > 0, имеет решение из пространство Ж22 7(0,

Фиксировав некоторое > 0 предположим, что на отрезке [—0] задана некоторая функция ф0 Е Ж|([-0]). Тогда при произвольных (^,т) Е Я+ х таких, что ^ Е (^0,0), рассматривается задача (0.0.9) - (0.0.11) с начальным условием фН = ф0 |[-Н ,0].

Через и0 обозначим решение обыкновенного дифференциального уравнения

и#(£) = (-а2 + Ь + с)и(£), £> 0, - 19 -

удовлетворяющее начальным условиям Коши

и(+0) = 0), и (+0) = 0).

Теорема 2.4. Пусть существует такое 70 > а, что ш(70) < 1. Тогда существует такое е > 0, что ш(7) < 6 < 1 для любых (Н,т) € 0е(0,0) и 7 € Ое(70). При этом для любого 7 € Ое(70) выполняется равенство:

„ (г)|Д+ — ио(г)У^227(0,+^) =

(Н,г)^(0,0) ,7

Во втором разделе второй главы рассматривается модифицированное упрощенное ДРУ (0.0.9), в котором дифференциально-разностный оператор (0.0.10) является оператором опережиющего типа и не содержит запаздываний. Исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного дифференциально-разностного уравнения второго порядка с опережением без запаздывания, т.е. для ДРУ вида

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Акбари Фаллахи Арезу, 2017 год

Список литературы

[1] А. Акбари Фаллахи, А. Йаакбариех, В.Ж. Сакбаев. Корректность задачи с начальными условиями для гиперболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Дифференциальные уравнения, 2016. Т 52, № 3, С. 352-365.

[2] А. Акбари Фаллахи. О стремлении к нулю величины отклонения аргумента в дифференциально-разностных уравнениях с опере-жением.ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 8, № 1, С. 109-114.

[3] А. Акбари Фаллахи. Дифференциально-разностных уравнений второго порядка с опережением в весовых пространствах Соболева. ТРУДЫ МФТИ, 2016. Т. 1, № 1, С. 109-120.

[4] В.И. Богачев, О.Г. Смоляное, Действительный и йунециональ-ный анализ, М. 2009.

[5] М.А. Воронцов, Ю.Д. Думаревский, Д.В. Пруидзе, В.И. Шмаль-гаузен. Изв. АН СССР. Физика. 1988. Т. 52, № 2. С. 374-376.

[6] В. В. Власов, Дж. Ву, Г. Р. Кабирова, Корректная разрешимость и спектральные свойства абстрактных гиперболических уравнений с последействием, СМФН, 2010, том 35, 44-59.

[7] В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 9. С. 1194-1202.

[8] В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости векторных дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева. Математические заметки. Т. 68, № 6. С. 939-942.

[9] В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опережающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 1997. С. 72-823.

[10] В.В. Власов, ДА. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30,С. 3-173.

[11] В.В. Власов, К.И. Шматов. Корректная разрешимость уравнений гиперболического типа с последействием в гильбертовом пространстов.труды математического института им. В.А.Стеклова, 2003. т.243, с. 127-137.

[12] Д.А. Декерт, Д. Дюр, Н. Фона, Уравнения с запаздывающим аргументом типа Уилера-Фейнмана, СМФН, 2013, том 47, 46-59.

[13] А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. № 2ю С. 77-164.

[14] A. Йаакбариех. О полугруппах, порождаемых задачей Коши для гиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных переменных. // ТРУДЫ МФТИ, 2014. Т. 6, № 2, С. 38-43.

[15] A. Йаакбариех, В.Ж. Сакбаев. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.

[16] A. Йаакбариех, В.Ж. Сакбаев. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

[17] А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский. "Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения", Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 2007, 324-347.

[18] Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах. Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26 (2007), 39-57.

[19] Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

[20] Л.Д. Кудрявцев. О лагранжевой асимптотике решений неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Матем. сб., 2006, том 197, № 9, С. 91-102.

[21] Ж.Л. Лионс, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с фр. М.мир, 1971.

[22] А.Б. Муравник. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений. Математические заметки. 2003. Т. 74. № 4. С. 538-548.

[23] А.Б. Муравник. Асимптотические свойства решений задачи Дирихле в полуплоскости для некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений. Матем. заметки, 2016. Т. 100б № 4. С. 566-576.

[24] А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН. 1967. Т. 22. № 2(134). С. 21-57

[25] Л. Е. Россовский, А. Л. Скубачевский. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 66 (1999), 114-192.

[26] В.С. Рабинович. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве. Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № 11. С. 2030-2038.

[27] В.С. Рабинович. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами. Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. № 6. С. 1032-1038.

[28] А.Л. Скубачевский. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Труды ММО. 1997. Т. 59. С. 240-285.

[29] A.L. Skubachevskii. Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, 1997.

[30] А.Л. Скубачевский. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений. УМН. 1996. Т. 51, № 1. С. 169-170.

[31] А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин. Смешанная задача для параболического дифференциально-разностноо уравнения. Математические заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 145-153.

[32] V. Sakbaev, A. Yaakbarieh. Feynman Formulas Representation of Semigroups Generated by Parabolic Difference. Differential Equations. 2012. V.2, № 4, С. 295-301.

[33] O.G.Smolyanov, A.G.Tokarev, A.Truman. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula J.Math.Phys. 43:10, (2002), 5161-5171.

[34] Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in the highest-order derivatives. J. Math. Anal. and Appl. 1984. V. 102, N 1. P. 38-57.

[35] A. Tichonoff. Theoremes d'unicite pour l'equation de la chaleur. Мат. Сборник. 1935. Т. 42, № 2. С. 199-216.

[36] Wheeler J.A., Feynman R.P. Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action. Rev. Mod. Phys. 1949. V. 21. № 3. P. 425-433.