Альбедный сдвиг: новый метод расчета полей излучения в рассеивающих атмосферах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.02, кандидат физико-математических наук Касауров, Андрей Михайлович

• Касауров, Андрей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Касауров, Андрей Михайлович

Введение

Общая характеристика работы

Суть метода альбедного сдвига.

Цель работы.

План диссертации.

1 Монохроматическое рассеяние: основные уравнения

1.1 Уравнение переноса излучения

1.2 Функция источников.

1.3 Граничные значения функции источников.

1.4 Функция Грина и связанные с ней функции

2 Метод альбедного сдвига: полубесконечные атмосферы

2.1 Я-функция.

2.2 Численные свойства уравнения для функции Н(ц)

2.3 Функция источников.

2.4 Численные результаты.

2.5 Функция Грина.

2.6 Ядерная функция.

2.7 Интенсивность.

2.8 Разложение Л-оператора и связь с методом Саппоп'а.

3 Метод альбедного сдвига: среда конечной оптической толщины

3.1 Х~ и У-функции

3.2 Функция источников.

3.3 Результаты численных расчетов.

4 Альбедный сдвиг: анизотропное рассеяние

4.1 Псевдоальбедо.

4.2 Л"-функция.

4.3 Х- и У функции

4.4 Функция источников.

4.5 Случай, когда характеристическое уравнение имеет несколько корней

5 Другие применения метода альбедного сдвига

5.1 Рассеяние в линии с полным перераспределением по частотам

5.1.1 Основные уравнения.

5.1.2 Приближение ядерной функции суммой экспонент

5.1.3 Альбедный сдвиг

5.2 Рэлеевское рассеяние

5.2.1 Основные уравнения.

5.2.2 Альбедный сдвиг

5.3 Интегральные уравнения с ядрами, не представимыми в виде суперпозиции экспонент.

5.3.1 Общие обозначения.

5.3.2 Теоремы эквивалентности

5.3.3 Частный случай: ядро вида е-т.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Альбедный сдвиг: новый метод расчета полей излучения в рассеивающих атмосферах»

Общая характеристика работы

Теория многократного рассеяния света зародилась в конце прошлого века и связана с работами двух ученых, О.Д. Хвольсона [1] и Э. Ломмеля [2] (см. историческое исследование В.В.Иванова [3]). Однако эти работы были забыты, и в начале нашего века теория переноса излучения возрождается заново в работах Л.В.Кинга [4], К.Шварцшильда [5], а также позднее в работах Э. Милна [6], А. Эддингтона [7], М.П. Бронштейна [8], Э. Хопфа [9], [10] и других ученых. В это же время начинаются важные математические исследования как в области теории переноса излучения, так и вообще интегральных уравнений того типа, которые встречаются в теории переноса (см., например, [11] — [13]). К середине века С. Чандрасекар публикует фундаментальную монографию "Radiative Transfer" [14], а чуть позднее В.В.Соболев издает книгу [15]. Появляются книги по теории переноса и других авторов (см. [16] — [20]). Тот факт, что при переносе нейтронов возникают точно такие же уравнения, как и при переносе излучения, сыграл важную роль в развитии теории переноса. Она испытывает в это время бурный подъем в связи с развитием как ядерной энергетики, так и в первую очередь ядерного вооружения. И наконец книга В.В. Соболева [21] подводит своеобразный итог развитию классической аналитической теории переноса излучения. Конечно, и после этого появляются важные и большие работы по теории переноса (см. [22] — [28]). Однако, с появлением компьютеров все большее место занимают численные методы. И фактически дальнейшее развитие теории переноса носит скорее численный, чем аналитический характер. Это связано еще и с тем, что на передний край выдвигаются такие задачи как перенос излучения в линии с частичным перераспределением по частотам и учетом сразу большого числа переходов, перенос поляризованного излучения в магнитном поле, перенос излучения в средах сложной геометрии. Все эти задачи порождают сложные системы уравнений, получение аналитических решений которых невозможно.

С другой стороны, создается впечатление, что в классической теории (перенос монохроматического излучения в плоскопараллельной среде) к концу 70-х годов все основные результаты уже получены. Кроме того, наряду с хорошим пониманием аналитики и асимптотик, начинает развиваться огромное множество численных методов широкого поля действия, для которых численное решение задач классической теории переноса не представляет особого труда (см. [29] — [40]).

Тем не менее, даже в такой изведанной области как классическая теория переноса недавно удалось отыскать интересный и неожиданный результат. В 1991 году В.В.Ивановым (см. [41]) был сформулирован новый численно-аналитический метод решения уравнений переноса излучения — метод альбедного сдвига. Основными чертами этого метода являются быстрая сходимость и использование аналитических особенностей уравнений. Численных методов к данному моменту появилось уже много и, хотя метод альбедного сдвига отличается очень высокой скоростью сходимости, но при современных быстрых компьютерах это не сильно бы выделило его из плеяды остальных численных методов. Однако важной чертой рассматриваемого метода является привязка к аналитическим свойствам уравнений переноса. Этот факт может быть важен для понимания некоторых особенностей уравнений, о которых либо не знали ранее, либо не обращали на них внимания. Аналитическая сущность метода альбедного сдвига позволяет перенести его с простых модельных задач на более сложные и в то же время использовать специфические свойства конкретных уравнений.

Суть метода альбедного сдвига

В основе метода альбедного сдвига лежит следующий неожиданный факт: наряду с обычным уравнением переноса (как в интегральной, так и в дифференциальной формах) может быть написано вспомогательное уравнение той же общей структуры, что и исходное. При этом вспомогательное уравнение легко строится по исходному. Это вспомогательное уравнение конструируется таким образом, что у нас появляется свободный параметр, т.е. фактически мы имеем не одно уравнение, а целое семейство уравнений. Важно заметить, что исходное уравнение является членом этого семейства (вспомогательное уравнение переходит в исходное при определенном значении свободного параметра). Таким образом, вместо одного исходного уравнения мы получаем однопараметрическое семейство уравнений, причем — и это главное — решение любого члена этого семейства может быть легко выражено через решение любого другого члена семейства. Исходное же уравнение переноса выступает как частный член данного семейства.

Наличие свободного параметра играет важную роль — вспомогательное уравнение устроено таким образом, что изменение свободного параметра коренным образом изменяет численные характеристики уравнения. Фактически, свободный параметр ответственен за перераспределение вклада в решение интегрального члена уравнения, учитывающего вклад многократных рассеяний, и свободного члена, описывающего первичные источники. Можно добиться такой ситуации, когда вклад интегрального члена будет мал по сравнению со свободным членом (происходит как бы сдвиг по альбедо — отсюда возникло и название метода). В этом случае даже простая итеративная схема будет обеспечивать очень быструю сходимость. Численные эксперименты показывают, что скорость сходимости можно сделать такой, что каждая итерация дает улучшение точности на порядок.

Таким образом, общая схема использования метода альбедного сдвига такова. По исходному уравнению строится вспомогательное. Подбирается такое значение свободного параметра, при котором вспомогательное уравнение обладает хорошими численными свойствами, т.е. быстро решается методом простых итераций (даже в том случае, когда решение исходного уравнения невозможно получить методом простых итераций). Решается вспомогательное уравнение, и затем по нему по простым формулам восстанавливается исходное решение.

История возникновения метода альбедного сдвига, по-видимому, начинается с работы В.В.Иванова [42], где рассмотрен частный случай альбедного сдвига (при одном выделенном значении параметра), но вместе с тем в этой работе приведен целый ряд способов построения вспомогательного уравнения из них в данный момент широко используется только один). Толчком же к построению самого метода послужила работа X. Домке [43] (в ней построено вспомогательное уравнение для Н-функции). В итоге В.В. Ивановым был разработан метод альбедного сдвига. Начальные исследования в этой области были отражены в [41]. Результатом обобщения и дальнейшего развития явилась совместная работа В.В.Иванова, G.B.Rybicki и автора [44], где был впервые в достаточно общей форме сформулирован метод альбедного сдвига и применен к случаю полубесконечной среды как для функции источников, так и для интенсивности (точнее для псевдо-интенсивности), а также рассмотрена связь метода альбедного сдвига и метода Cannon'a. Позднее эти результаты в более общем виде были представлены в [45]. Дальнейшим развитием метода было сделанное Д.И. Нагирнером обобщение его на случай среды конечной оптической толщины [46]. В серии работ [47] — [50], посвященной решению уравнения переноса с учетом поляризации, также был использован метод альбедного сдвига. Некоторые математические исследования метода были сделаны Н.Б. Енгибаряном и Б.Н. Енгибаряном [51], [52]. Дальнейшие разработки проводятся для случая среды конечной оптической толщины и анизотропного рассеяния (В.В.Иванов и A.M.Касауров [53] — функции X и У, [54] — функция источников).

В настоящий момент метод альбедного сдвига применен и успешно работает в плоско-параллельной геометрии как для полубесконечных атмосфер, так и для атмосфер конечной оптической толщины, при этом рассеяние считается анизотропным. Рассмотрены задачи нахождения функции источников, ее граничных значений (Н-, X- и У-функций) и псевдо-интенсивности. Показана возможность применения метода альбедного сдвига в общем случае для уравнений типа Винера - Хопфа с ядром, не представимым в виде суперпозиции экспонент. Отдельно рассмотрен случай сильно вытянутых индикатрис рассеяния (когда характеристическое уравнение имеет более одной пары корней). При этом возникает дополнительная возможность сдвига сразу по нескольким корням. Имеется также опыт применения метода альбедного сдвига в случае переноса поляризованного излучения (однако здесь еще остается ряд нерешенных вопросов). Наконец, показана возможность использования этого метода в задачах о переносе излучения в частотах линии.

Цель работы

Данная диссертация посвящена изучению и развитию метода аль-бедного сдвига. Показаны пути применения метода в различных задачах теории переноса излучения (полубесконечные атмосферы и атмосферы конечной оптической толщины, изотропное и анизотропное рассеяние, перенос излучения в линии с полным перераспределением по частотам). Был проведен большой ряд численных экспериментов по получению решений различных уравнений теории переноса излучения. Эти эксперименты подтвердили правильность аналитических выкладок и показали высокую численную эффективность метода альбедного сдвига при решении рассмотренных задач.

На защиту выносятся:

1. Систематическое развитие метода альбедного сдвига с целью расширения области его применимости и изучение особенностей реализации метода в различных случаях. В частности,

• обнаружены существенные упрощения при применении метода к уравнению для функции источников с экспоненциальным свободным членом в случае полубесконечных атмосфер и особенно атмосфер конечной оптической толщины;

• развит математический аппарат, позволяющий применять метод для рассмотрения консервативного рассеяния;

• установлена применимость метода в случае анизотропного рассеяния, в том числе и при сильно вытянутых индикатрисах, когда характеристическое уравнение имеет более одной пары корней;

• указан путь, позволяющий практически использовать метод в задачах о переносе излучения в линии с полным перераспределением по частотам, когда характеристическое уравнение не имеет корней (и формально метод неприменим);

• установлена применимость метода к решению некоторых задач о переносе поляризованного излучения (в случае рэлеевского и молекулярного рассеяния);

• построены примеры, показывающие применимость метода для решения интегральных уравнений Винера - Хопфа с ядрами, не являющимися суперпозицией экспонент.

2. Численная реализация метода альбедного сдвига и установление на основе проведенных численных экспериментов высокой эффективности метода при решении различных уравнений теории переноса излучения, дающих как интенсивности излучения, выходящего из конечных и полубесконечных атмосфер, так и внутреннее поле излучения в них.

Результаты диссертации представлены в следующих работах:

1. V. V. Ivanov, G.В. Rybicki, A.M. Kasaurov, Albedo shifting: a new facet of classical radiative transfer, Harvard - Smithsonian Center for Astrophysics Preprint Series N3478, 1992.

2. V.V. Ivanov, A.M. Kasaurov, V.MLoskutov, and T. Viik, Generalized Raleigh scattering. II. Matrix source functions, A&A, 303, 621, 1995.

3. V. V. Ivanov, A.M. Kasaurov, and V.M Loskutov, Generalized Raleigh scattering. IV. Emergent radiation, A&A, 307, 332, 1996.

4. B.B. Иванов, A.M. Касауров, Альбедный сдвиг: новый метод классической теории переноса излучения, в сборнике тезисов докладов международной зимней школы - конференции "Физика космоса", Коу-ровка, Екатеринбург, 29 января — 2 февраля 1996.

5. В.В. Иванов, A.M. Касауров, Метод альбедного сдвига в задаче об анизотропном рассеянии света в плоских атмосферах, Астрофизика, 41, 623, 1998.

6. В.В. Иванов, A.M. Касауров, Метод альбедного сдвига: функция источников в плоских атмосферах, Астрофизика, 44, 528, 1999.

7. В.В. Иванов, A.M. Касауров, Д.И. Нагирнер, Альбедный сдвиг: новый метод в теории переноса излучения, стр. 16, в сборнике тезисов докладов международного симпозиума стран СНГ "Атмосферная радиация", С.-Петербург, 12 — 15 июля 1999.

8. В.М. Лоскутов, В.В. Иванов, A.M. Касауров, Многократное рэлеев-ское рассеяние: новые результаты в старых поляризационных задачах, стр. 27, в сборнике тезисов докладов международного симпозиума стран СНГ "Атмосферная радиация", С.-Петербург, 12 — 15 июля 1999.

В работах /1/ и /4/ диссертанту принадлежит численная реализация метода альбедного сдвига, в работах /2/ и /3/ — вывод формул и расчеты Н- матрицы и матричных функций источников по методу альбедного сдвига для консервативного и биконсервативного случаев, в работе /5/ — разработка и реализация численного алгоритма, в работе /6/ — вывод формул для консервативного случая и все расчеты (формулы для неконсервативного случая получены обоими авторами совместно). Доклады /7/ — /8/ содержат материал из статей /1/ — /6/.

План диссертации

Диссертация состоит из пяти глав, Введения, Заключения и Приложений. В ней имеется 29 рисунков и одна таблица. Список литературы содержит 79 наименования.

Во Введении дается общая характеристика метода альбедного сдвига, краткая история его развития, а также приводится общее описание задач и проблем, рассмотренных в диссертации.

В Главе 1, имеющей вводный характер, приводится используемый в дальнейшем обычный аппарат теории переноса излучения.

Глава 2 посвящена применению метода альбедного сдвига к задаче о монохроматическом рассеянии света в плоских полубесконечных атмосферах. В ней подробно исследовано применение метода к различным уравнениям теории переноса, а именно, рассмотрены уравнения для следующих функций: Н- функции, функции источников, функции Грина, интенсивности. Относительная простота рассматриваемого случая позволяет хорошо почувствовать особенности метода (как аналитические, так и численные). Следует упомянуть такой интересный результат, как наличие двух альтернативных формул восстановления для функции источников. В последнем разделе обсуждается связь между методом альбедного сдвига и методом Саппоп'а.

В Главе 3 исследуется случай атмосфер конечной оптической толщины. Соответствующие формулы существенно более громоздки, причем случай консервативного рассеяния требует специального рассмотрения. Метод альбедного сдвига применен к уравнениям для X- и У-функций, а также к уравнению для функции источников с экспоненциальным свободным членом. Приведена схема численных расчетов и проведен подробный анализ полученных данных.

В Главе 4 более детально рассмотрено анизотропное рассеяние. В частности, изучены возможности метода альбедного сдвига в случае, когда характеристическое уравнение имеет более одной пары корней. В качестве модельной индикатрисы рассеяния используется индикатриса Хеньи - Гринстейна.

В Главе 5 представлены другие задачи, к которым был применен метод альбедного сдвига.

В первом разделе этой главы описан подход, при помощи которого метод можно применять при изучении переноса излучения в линии с полным перераспределением по частотам. Хотя напрямую в этих задачах метод и неприменим, рассматриваемый подход позволяет получить довольно хорошие результаты и в этом случае.

Во втором разделе рассматривается перенос поляризованного излучения. Метод частично обобщен на случай матричных уравнений переноса излучения.

Последний раздел посвящен одной области применения метода альбедного сдвига, которая выходит за рамки теории переноса излучения. Это интегральные уравнения с ядрами, не представимыми как суперпозиция экспонент. Показано, что и в этом случае метод также эффективно работает.

В методе альбедного сдвига есть еще целый ряд нерешенных вопросов. Они указывают направления будущих исследований и перечисляются в Заключении.

В Приложения вынесены некоторые сравнительно громоздкие аналитические выкладки.

Заключение диссертации по теме «Астрофизика, радиоастрономия», Касауров, Андрей Михайлович

Заключение

Перечислим основные полученные результаты.

• На основании большого ряда численных экспериментов показана высокая эффективность метода альбедного сдвига в различных задачах теории переноса излучения: как в случае полубесконечных, так и в случае конечных атмосфер, при изотропном и анизотропном рассеянии, при переносе излучения в частотах линий с полным перераспределением по частотам, в задачах с поляризацией и даже для интегральных уравнений с ядрами, не представимыми в виде суперпозиции экспонент. Созданы программы для расчета ряда стандартных функций теории переноса (Н(ц), Х(/л), -з(г, //)) в рассмотренных случаях.

• Получен ряд аналитических результатов в задачах о монохроматическом рассеянии. Именно, детально исследован метод альбедного сдвига в применении к уравнению для функции источников с экспоненциальным свободным членом (как в случае полубесконечных атмосфер, так и в случае атмосфер конечной оптической толщины). Доказана тождественность двух формул восстановления функции источников при экспоненциальном свободном члене. Развит аппарат, позволяющий использовать альбедный сдвиг в предельном случае консервативного рассеяния. Проведены начальные исследования адаптации метода альбедного сдвига к случаю, когда характеристическое уравнение имеет более одной пары корней (сдвиг по нескольким корням).

• Дано применение метода альбедного сдвига к ряду других задач.

Во-первых, исследована возможность применения метода для расчета переноса излучения в линии с полным перераспределением по частотам.

Хотя напрямую метод альбедного сдвига в данном случае не действует (необходимо наличие корней у характеристического уравнения), указан способ, как эту трудность можно обойти.

Во-вторых, альбедный сдвиг приложен к задаче о переносе поляризованного излучения. Метод частично обобщен на случай матричных уравнений переноса излучения.

В-третьих, метод альбедного сдвига применен к интегральным уравнениям с ядрами, не представимыми в виде суперпозиции экспонент. Показано, что здесь метод успешно работает. Подробно рассмотрен случай

-г2 ядра вида е .

Можно указать несколько направлений будущих исследований.

• Ео-первых, изучение вопросов применимости метода к переносу излучения в частотах линии и к переносу поляризованного излучения.

• Во-вторых, детальное исследование случая, когда характеристическое уравнение имеет более одной пары корней и появляется возможность сдвига по нескольким корням.

• В-третьих, рассмотрение возможности применения метода при анизотропном рассеянии непосредственно к физическим уравнениям переноса, а не к чандрасекаровским "псевдо-уравнениям".

• В-четвертых, исследование других способов построения вспомогательного уравнения (например, на основе подхода работы [42]) и возможностей, которые это открывает.

• И наконец последнее — поиск возможности обойти основное ограничение метода — требование наличия корня у характеристического уравнения.

В заключение хочу выразить чувство огромной признательности моему научному руководителю Всеволоду Владимировичу Иванову за многие часы, проведенные в совместном обсуждении данной работы, и внесшему в нее неоценимый вклад.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Касауров, Андрей Михайлович, 2000 год

1. O.D. Chwolson, Melanges pliys. et cliim. tires du Bull, de l'Acad. 1.p. de Sei. de St.-Petersb., XIII, Livr. 3, 83, 1889.

2. E. Lommel, Sitzber. Acad. Wissenscli. München, 17, 95, 1887.

3. В.В.Иванов, Труды Астрон. обе. ЛГУ, XLIV, 6, 1994.

4. L.W.King, Phil. Trans. Roy. Soc., A. 212, 375, 1913.

5. К. Schwarzchild, Sitzber. Akad. Wissensch. Berlin, 1183, 1914.

6. E.A.Milne, MNRAS, 81, 361, 1921.

7. A.S. Eddington, The Internal Constitution of the Stars, Cambridge, 1926.

8. M.P. Bronstein, Zs. für Phys., 59, 144, 1929.

9. E.Hopf, MNRAS, 90, 287, 1930.

10. E. Hopf, Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge, 1934.

11. E. Reissner, J. Math. Pliys., 20, 219, 1941.

12. B.A. Фок, Матем. сб., 14(56), 3, 1944.

13. И.М.Рапопорт, Докл. АН СССР, 59, вып. 8, 1403, 1948.

14. S. Chandrasekhar, Radiative Transfer, Clarendon Press, Oxford, 1950.

15. B.B. Соболев, Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, Гостехиздат, М., 1956.

16. V. Kourganoff, Basic Metods in Transfer Problems, Oxford, 1952.

17. K.M. Case, F. de Hoffman, G. Placzek, Introduction to the Theory of Neutron Diffusion, Vol. 1, Washington, 1953.

18. I. W. Busbridge, The Mathematics of Radiative Transfer, Cambridge, 1960.

19. Б. Девисон, Теория переноса нейтронов, М., 1960.

20. В.А. Амбарцумян, Научные труды, Т. 1, Ереван, 1960.

21. В.В. Соболев, Рассеяние света в атмосферах планет, Физматгиз, М., 1972.

22. K.M. Case, Р. Zweifel, Linear Transpot Theory, Addison-Wesley, Readding, Mass, 1967.

23. B.B. Иванов, Перенос излучения и спектры небесных тел, М., 1969.

24. V. V. Ivanov, Transfer of Radiation in Spectral Lines, NBS SP N385, 1973.

25. D. Mihalas, Sellar Atmospheres, 2nd Edn, Freeman, San Francisco, 1978.

26. H.C. van de Hülst, Multiple Light Scattering, vols. I and II, Academic Press, New York, 1980.

27. И.Н. Минин, Теория переноса излучения в атмосферах планет, М., 1988.

28. Э.Г. Яновицкий, Рассеяние света в неоднородных атмосферах, Изд. ГАО HAH Украины, Киев, 1995.

29. C.J. Cannon, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 13, 627, 1973.

30. C.J. Cannon, Ар. J., 185, 621, 1973.

31. W.-R. Hamann, A.kA., 93, 353, 1981.

32. D.J.Bond, Journ. Comp. Pliys., 55, 369, 1984.

33. G.B. Rybicki, in Methods in Radiative Transfer, ed. W. Kalkofen, Cambridge University Press, Cambridge, 21, 1984.

34. K. Werner, A.&A., 161, 177, 1986.

35. L.H.Auer, in Numerical Radiative Transfer, ed. WKalkofen, Cambridge University Press, Cambridge, 101, 1987.

36. W.-R. Hamann, in Numerical Radiative Transfer, ed. W Kalkofen, Cambridge University Press, Cambridge, 35, 1987.

37. W. Kalkofen, in Numerical Radiative Transfer, ed. W Kalkofen, Cambridge University Press, Cambridge, 23, 1987.

38. L. Auer, in Stellar Atmospheres: Beyond Classical Models, ed. L. Crivellari at al., Kluwer Academic Publishers, printed in Netherlands, 9, 1991.

39. B.B. Иванов, Неопубликованный отчет, Астрономическая обсерватория ЛГУ, 1991.

40. В.В.Иванов, Астрофизика, 13, 505, 1977.

41. H.Domke, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 39, 283, 1988.

42. V.V. Ivanov, G.B. Rybicki, A.M. Kasaurov, Harvard Smithsonian Center for Astrophysics Preprint Series N3478, 1992.

43. В.В.Иванов, Астрон. ж., 75, 102, 1998.

44. Д.И. Нагирнер, Доклады Академии Наук, 343, 191, 1995.

45. V. V. Ivanov, А&А, 303, 609, 1995.

46. V.V. Ivanov, A.M. Kasaurov, V.MLoskutov, and T.Viik, A&A, 303, 621, 1995.

47. V. V. Ivanov, A&A, 307, 319, 1996.

48. V.V. Ivanov, A.M. Kasaurov, and V.MLoskutov, A&A, 307, 332, 1996.

49. Н.Б. Енгибарян, Б.Н. Енгибарян, Астрофизика, 38, 417, 1995.

50. Б.Н. Енгибарян, Жур. вычислит, матем. иматем. физ., 37, N 4, 447, 1997.

51. В.В. Иванов, A.M. Касауров, Астрофизика, 41, 623, 1998.

52. В.В.Иванов, A.M. Касауров, Астрофизика, 42, 485, 1999.

53. Э.Г. Яновицкий, Астрон. ж., 53, 1063, 1976.

54. I.Kuscer, J. Math. Pliys., 34, 256, 1956.

55. T.W.Mullikin, Ар.J., 139, 379, 1964.

56. Э.Г. Яновицкий, Астрон. ж., 41, 898, 1964.

57. T.W.Mullikin, Ар. J., 136, 627, 1962.

58. А.К.Колесов, Труды Астрон. обе. ЛГУ, XXVIII, 3, 1971.

59. E.H. Avrett, D.G.Hummer, MNRAS, 130, 295, 1965.

60. В.В.Иванов, В.М. Сербии, Астрон. ж., 61, 900, 1984.

61. Т.Вийк, Р.Рыым, А.Хейнло, Метод аппроксимации резольвентной функции в теории переноса излучения, Тарту, Изд-во АН ЭССР, 1984.

62. V.V.Ivanov, А&А, 286, 328, 1994.

63. D.F.Mayers, MNRAS, 123, N 5, 471, 1962.

64. V.V.Ivanov, S.I. Grachev, and V.MLoskutov, A&A, 318, 315, 1997.

65. V.V.Ivanov, S.I. Grachev, and V.MLoskutov, A&A, 321, 968, 1997.

66. B.B. Иванов, A.M. Касауров, Д.И. Нагирнер, Альбедный сдвиг: новый метод в теории переноса излучения, стр. 16, в сборнике тезисов докладов международного симпозиума стран СНГ "Атмосферная радиация", С.-Петербург, 12 — 15 июля 1999.

67. В.В. Иванов, A.M. Касауров, Альбедный сдвиг: новый метод классической теории переноса излучения, в сборнике тезисов докладов международной зимней школы конференции "Физика космоса", Коуровка, Екатеринбург, 29 января — 2 февраля 1996.

68. Т. Вийк, Рэлеевское рассеяние в однородной плоскопараллельной атмосфере, Таллин, "Валгус", 1989.

69. Т. Vnk, Ap.J.Supl.Ser., 178, 133, 1991.

70. D.ERees and G. Geers, Solar Pliys., 164, 103, 1996.

71. В.П. Гринин, X. Домке, Астрофизика, 7, 211, 1971.

72. J. Т. Kriese, C.E.Siewert, Ар. J., 164, 389, 1971.

73. J.Т. Kriese, T.S.Chang, C.E.Siewert, Int. J. Engng. Sci., 12, 441, 1974.

74. К. Черчинъянщ Теория и приложения уравнения Больцмана, Москва, "Мир", 1978.

75. М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, М., 1979.

76. Ю.А.Брычков, О.И.Маричев, А.П. Прудников, Таблицы неопределенных интегралов, М., 1986.