Использование принципа парциальных потоков для расчета и анализа характеристик световых полей в реальных случайных средах и средах с полинаправленными индикатрисами рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Тишин, Игорь Васильевич

• Тишин, Игорь Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тишин, Игорь Васильевич

Введение.

Глава I. Исследование распространения светового излучения в случайно-неоднородных средах с двух-направленной индикатрисой рассеяния.

1.1. Распространение стационарного светового излучения в полубесконечной гомогенной среде. Функция Грина при двух-нап-равленной индикатрисе рассеяния.

1.2. Одномерное стационарное блуждание фотона в полубесконечной гомогенной среде.

1.3. Нестационарное одномерное блуждание фотона в случайной среде.

1.4. Основные результаты.

Глава 2. Распространение светового излучения в случайно- неоднородных двумерных средах с полинаправленньши индикатрисами рассеяния.

2.1. Уравнение переноса светового излучения и индикатрисы рассеяния в Ю- среде.

2.2 Распространение стационарного светового излучения в полубесконечной гомогенной 20- среде при нормальном падении излучения на её поверхность.

2.3. Расчет временных характеристик отраженного излучения при облучении 20- среды с 4-х направленным законом рассеяния широким световым потоком.

2.4. Основные результаты.

Глава 3. Применение метода разделенных потоков и принципа инвариантности в линейной теории распространения скалярного светового излучения в неупорядоченных средах.

3.1. Постановка задачи. Метод разделенных потоков.

3.2. Вывод уравнений для парциальных функций отражения.

3.3. Вычисление полной и парциальных функций отражения и коэффициентов отражения при двухнаправленной индикатрисе рассеяния.

3.4. Метод угловых функций Грина в альбедных задачах линейной теории переноса светового излучения.

3.5. Квази-направленные индикатрисы рассеяия.

3.6. Вычисление угловых спектров отраженного излучения в приближении "обратных столкновений".^.

3.7. Основные результаты.

Глава 4. Отражение нестационарного пучка света от поглощающей среды с крупномасштабными расссеивающими центрами при скользящем падении излучения на её поверхность.

4.1. Постановка задачи. Нестационарная функция Грина в проблеме малоуглового отражения фотонов.

4.2. Отражение 5 -импульсного светового сигнала.

4.3. Исследование переходного режима.

4.4. Расчет временной зависимости обратно-рассеянного излучения при облучении поверхности модулированным световым сигналом.

4.5,Основные результаты.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование принципа парциальных потоков для расчета и анализа характеристик световых полей в реальных случайных средах и средах с полинаправленными индикатрисами рассеяния»

Большинство природных сред или сред искусственного происхождения (атмосфера Земли или других планет, межзвездная пыль, космическая плазма, воды морей, Мирового океана и речных бассейнов, биологические ткани, фотографические материалы, жидкие кристаллы и. т.д.) содержат хаотические неоднородности различных размеров и формы, рассеивающие в той или иной степени проходящее через них электромагнитное излучение. Проходящее и отраженное от таких случайных сред световое излучение в различных частях спектра содержит важную информацию о свойствах таких сред. Этот факт способствует неуклонному возрастанию количества теоретических и экспериментальных научных исследований, посвященных анализу процесса распространения светового излучения в случайно-неоднородных средах. Так, например, электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в океанографических исследованиях [1-3], при разработке систем подводного оптического наблюдения [ 3, 4-6 ], при исследовании оптических свойств атмосферы Земли [ 6-9 ], для мониторинга экологии водных бассейнов и атмосферы [6,10], в астрофизике [9,11,12]. Лазерное излучение, а так же излучение в ближнем ИК диапазоне, позволяет использовать оптические методы для контроля и диагностики внутренних органов и биологических тканей животных и человека[ 13-16]. Безусловно актуальны работы по транспорту светового излучения в вопросах оптической связи , дистанционного зондирования и обнаружения различных природных и искусственных образований [2,5,6,15,]. Оптические методы исследований достаточно универсальны, обладают высокой точностью. Их важной особенностью является неразрушающее воздействие на предмет исследования [17].

Для вычисления световых полей как внутри среды, так и вышедшего из неё излучения, необходимо решить транспортное уравнение Больцмана с соответствующими граничными условиями. (Кинетическое уравнение Больцмана было сформулировано в 1872г.) Однако, данная теория возникла примерно столетие назад , ещё до Больцмана, в основном благодаря трудам Хвольсона (1852-1934) [18,19] и независимо Ломмеля (1837- 1899) [20]. В их работах было впервые сформулировано интегральное уравнение с А -оператором (т.е. с разностным ядром на полубесконечном интервале) для определения плотности световой энергии в плоском слое конечной толщины при изотропном законе однократного рассеяния, т.е. одно из основных уравнений астрофизики и нейтронной физики. В современных обозначениях уравнение Хвольсона записывается так:

Здесь В(х) = /гсор(т) - плотность энергии светового поля; т - оптическая глубина; р(т) - плотность фотонов на глубине х; А - вероятность выживания кванта; ^(т)- интегральная показательная функция; 90 - угол падения широкого светового пучка на поверхность слоя вещества с оптической толщи ной т0. А

В.1)

Не имея в то время в своем распоряжении методов решения такого рода уравнений, Хвольсон и Ломмель решали (В.1) методом иттераций по А, т.е. по числу актов рассеяния. Выражение для интенсивности однократно рассеянного света от плоской среды, наз. законом Ломмеля-Зеелигера . Однако, в отличие от Ломмеля, Хвольсон не ограничивается изучением вклада в поле излучения рассеяний первых двух порядков, но и обсуждает асимптотическое поведение решения в глубоких слоях, т.е. впервые исследует глубинный режим [2,6,21,22], когда В(т) = Лехр(-кт), где к- глубинный показатель ослабления. В те годы в физике безраздельно господствовали дифференциальные уравнения. Основополагающие работы Вольтера (1896), Фредгольма (1903), атак же Шмидта (1907) и Гильберта (1912) по интегральным уравнениям были ещё впереди - а Хвольсон не только использует интегральное уравнение для решения физической задачи, которое в принципе не^южет быть сведено к дифференциальному уравнению, но и изучает вопрос об асимптотическом поведении решения! Уже тогда им было сформулировано уравнение для определения глубинного показателя ослабления которое имеет первостепенное значение не только в теории распространения светового излучения, но и в нейтронной физике [23]. В частности, впервые в истории теории переноса им было показано, что асимптотика решения уравнения (В.1) для слоя вещества конечной толщины вдали от границ определяется решением однородного уравнения для полного пространства (-со < т < +оо):

Однако работы Хвольсона и Ломмеля прошли почти незамеченными. Интегральные уравнения с А-оператором вновь появились спустя четверть века в связи с задачами о переносе светового излучения в атмосферах Земли и Солнца. Вторым рождением (1914г.) они обязаны Карлу Шварцшильду [24] - выдающемуся астрофизику - теоретику, (в 1916г. им было найдено точное решение уравнений тяготения Эйнштейна для сферически-симметричного случая - отсюда гравитационный, или шварцшильдский радиус). О работах Хвольсона и Ломмеля Шварцшильд, не знал. Он указал более простой способ вывода уравнения с А-оператором, основанный на формальном решении интегро-дифференциального уравнения переноса Больцмана. Поэтому его работа [24] на долгое время стала стандартной ссылкой. Милн, в связи с изучением солнечной атмосферы, в 1921г. ввел и затем исследовал ( ссылки см. в [25]) однородное интегральное уравнение (В.1) для непоглощающей (А = 1) полубесконечной среды. Поэтому неоднородное интегральное уравнение (В.1) с А-оператором для полубесконечной среды, обычно наз. уравнением Шварцшильда-Милна. Решение уравнения

ЗД = А|Дт-т')^')^', где К{%) = К(-т); /К(т)г/т = 1, (В.З) когда 0 < Л < 1, составляет обобщенную задачу Милна. В зависимости от вида ядерной функции К{т) её решение может существовать либо при Л

В.2) всех значениях (0 < Л < 1), либо в консервативном случае (Л = 1), либо не существовать вовсе. Решение проблемы Милна { т.е. фактически уравнения Хвольсона (В. 1)) было получено лишь спустя полвека методом Виннера-Хопфа [26,27,28]. Однако, современные серьезные исследователи не предали забвению работы Хвольсона. Так, в известнейшей многотомной монографии Ван де Хюльста [29], которая является настольным пособием многих исследователей, имеется конкретная ссылка [29, vl, part 2, p. 150] на работу Хвольсона , касающаяся вопроса об определении глубинного показателя затухания.

В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для света [ 30-33 ], или уравнения Шредингера для заряженных частиц [34,35] линейная теория переноса светового излучения [2,6-9,11, 21,22, 36 ] оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией эл. м. волн. Эффекты дифракции и интерференции учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения отдельными рассеивающими центрами [ 2, 37- 40 ].

Если специально не интересоваться поляризационными эффектами, т.е. рассматривать распространение скалярного светового излучения, то оптические свойства среды определяются следующими величинами: коэффициентом поглощения 36 , коэффициентом рассеяния а и законом однократного рассеяния , т.е. индикатрисой рассеяния x(cosy). (у-угол однократного рассеяния). Транспортное уравнение является линеаризованным кинетичечским уравнением Больцмана [35], т.е. интегро-дифференциаль-ным уравнением, ядром которого как раз и является %(cosy). Основные трудности аналитического изучения транспорта скалярного светового излучения в основном определяются следующими факторами:

1. Исключительно ограниченными возможностями получения его общего решения при произвольном виде закона однократного рассеяния x(C0SY) •

2. Выделение из общего, только того единственного, которое удовлетворяет соответствующим граничным условиям рассматриваемой задачи.

3. Мерностью среды.

4. Геометрией рассеивающей среды и падающего на неё излучения.

Что касается последнего пункта, то в настоящей работе исследуется транспорт светового излучения только в наиболее распространенных средах с плоской геометрией.

Реальные индикатрисы рассеяния имеют самый причудливый вид [2,6]. В подавляющем большинстве случаев их явное аналитическое выражение определяется экспериментально при натурных измерениях. Ситуация осложняется ещё и тем, что реальная геометрическая форма рассеивающих центров может быть самой причудливой и не иметь ничего общего с шарообразной, а их внутренняя структура может быть неоднородной ( например, взвешенные частицы в морской воде, планктон, кристаллики льда в облаках и т.д.). Строгой теории рассеяния света на таких частицах не существует. Поэтому при вычислении x(cosy), приходится делать целый ряд радикальных допущений, заменяя реальную среду более простой физической моделью.

ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ СРЕД [6]

1- Естественные среды:

АТМОСФЕРА

Оптические Безоблачная Облачная МОРЕ параметры Видимая область Видимая область ик область % *0.5 1-10 1-100 оО

А = ° с + к 0.5-1.0 0.98-1.0 0.3 - 0.8 0.5 - 0.9 cosy) 0.67 - 0.83 0.8 - 0.97 -0.83 0.73 - 0.97 у2) (0.66) - 0.34 (0.4) - 0.06 — (0.54) - 0.06

2. Искусственные среды:

Оптические параметры Фотографический материал Модельная среда непроявленный проявленный молоко латекс т0=(ст + k)L0 1- ОО 0.1 -10 0 -оо 0 -°о

А = * сг + к 0.1 - 0.9 0.95-1.0 0-1.0 0-1.0 cosy) 0.33 - 0.97 0.67 - 0.93 0.83 - 0.9 0.17-0.9

V) (1.34) - 0.06 (0.66) - 0.14 0.34 - 0.2 (1.63)-0.2

Обозначения: т0- оптическая толщина слоя; А - вероятность выживания кванта; (cosy) - средний косинус угла однократного рассеяния; у2)« 2(1 - cosy) - средний квадрат угла однократного рассеяния.

Большинство авторов используют одну из самых распространенных моделей - модель эквивалентных сфер, когда среда предполагается монодисперсной. В монодисперсной среде рассеивающие свет частицы считаются однородными сферами одинакового радиуса а. Если заданы диэлектрическая и магнитная проницаемость, то амплитуда рассеянных парциальных волн на таких сферических частицах зависит от двух параметров - относительного показателя преломления пы и дифракционного параметра р = 2ла/Х ( Х- длина световой волны). Задача о рассеянии световой монохроматической волны на таких рассеивателях была решена аналитически в начале века независимо А. Ляхом (1899) и Ми (1908). Формулы Ми [ 41] имеют сложный вид рядов по присоединенным полиномам Лежандра и функциям Ганкеля ЯДр) и #Дряе/). Определить конкретный вид индикатрисы рассеяния по э«рим формулам можно только с помощью ЭВМ. Анализ формул Ми показывает [ 2, 38 ] , что если Х»а, то рассеяние практически изотропно. Ситуация значительно усложняется, когда длина световой волны существенно меньше характерных размеров рассеивате-лей, так, что р = а/ Х»\. т.е. при распространении света в различных естественных и искусственных средах : капельки воды в облаках, дымы, туман, аэрозоли, планктон и различные взвеси в морской и речной воде и т. д. В этом случае эффективный угол однократного рассеяния уе/~Х/а«1 и рассеяние имеет резко выраженный анизотропный характер: (1 - cosy)«1 .

В точные формулы Ми для поля рассеянной волны входит бесконечное число парциальных волн. Однако, как показал Дебай [ 42] если р »1, то при разложении такой индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра

00 2/ +1 " x(cosy) = ]T—x^(cosy); 2rcix(cosy)siny^ ->Х0=1, (В. 4) ыо 47t о можно ограничиться только первыми 0 < / < /тм = 1.2р »1 слагаемыми. Волны с / > /ти имеют хмалые амплитуды и ими можно пренебречь. Расчеты рассеянных полей по формулам Ми достаточно сложны, т.к. при больших значениях р»1, необходимо учитывать много парциальных рассеянных волн, причем каждую с высокой точностью [2]. Например, для типичной биологической частицы в воде а» 10 мкм при X»0.546мкм. дифракционный параметр р «115 ив сумме (В.4) нужно удержать 140 членов ряда!

Но даже когда с приемлемой правдоподобностью рассеиватели можно считать сферическими, ситуация резко осложняется тем, что реальные среды являются полидисперснъши [ 2,6 ]. Имеется значительный разброс размеров рассеивателей в достаточно широких пределах от а < X до а » X. Это существенно влияет на реальную картину рассеяния физически бесконечно малым объемом среды. Например, в то время как при а» X (т.е. р»1), индикатрисы рассеяния на отдельных сферических рассеивающих центрах имеют целый ряд максимумов и минимумов [ 2,4,6 ], в реальных полидисперсных средах из-за разбросов по размерам происходит сглаживание интерференционных лепестков. Поэтому, реально наблюдаемые индикатрисы рассеяния становятся гладкими функциями у. ( см. рис. В. 1С,4).

Чем рассеивающие частицы меньше и оптически мягче ( ! nre, -1 ! << 1 ), тем более плавными оказываются усредненные индикатрисы рассеяния. Если известна функция распределения сферических частиц по размерам /(а) , то величины а (а), x(cosy;a) необходимо усреднить по размерам частиц: ч \<3{y\a)f(a)da

М = "Г = ¡.ШШа ' УСЛ0ВИе

Результаты расчета усредненных индикатрис рассеяния представлены в подробных таблицах [39]. Вид x(cosy) конечно зависит от выбора функции распределения по размерам частиц f(a). Например, большое распространение получили обобщенное и простое (В.6) Гамма- распределение [2,6.]:

Да) = ^"'i-TexpU + 1)4 ат = <а' (В.6) аГ(с, +1) \aJ [ a J q +1

Здесь ат - мода Г- распределения, т.е. точка его максимума; а - средний радиус рассеивателей. Ширина Г- распределения зависит от параметра <;. Т.о. Г- распределение имеет два свободных параметра а и q. Важная особенность Г- распределения - его асимметричность: при а» ат имеется длинный спадающий "хвост", определяющий концентрацию аномально больших частиц. Такая форма распределения гораздо лучше соответствует фактическим данным, чем простейшее симметричное гауссово распределение. Г- распределение широко используются для расчета оптических характеристик полидисперсных систем как в атмосферной оптике, так и в оптике Океана [2,6]. Уже в 1930 г. И.Рокар [2] использовал (В.6) с параметром q=2 при расчете атмосферных индикатрис. Помимо Г - распределения используются и многие другие: нормальное, распределение Кэптейна, степенное, распределение Юнге и т.д. [2]. Из-за недостаточной информации о распределении по размерам рассеивателей /(а), возникает большая степень произвола конкретного вида закона рассеяния x(cos у). На рис. B.la.b представлены индикатрисы рассеяния морской взвеси для различных значений дифракционного параметра р= 0.3; 1.2; 10 и для различных значений относительного показателя преломления {пге1 -т- 1.02 и т= 1.15) в монодисперсной среде. На рис. B.lc,d изображены усредненные индикатрисы в полидисперсной среде для тех же значений пм-т. Из рисунков видно, что после усреднения исчезли интерференционные максимумы и минимумы - кривые x(cosy)стали монотонными (за исключением "горба" в радугах) [2].

Поскольку x(cosу) является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения в первую очередь определяется видом именно индикатрисы рассеяния. Представляется очевидным, что ни в настоящее время, ни в обозримом будущем не удастся аналитически решить уравнение переноса при произвольном законе однократного рассеяния x(cosy).

Г f{a)da = 1. (В. 5)

Рис. B.la-B.ld

Самым простым является изотропный закон рассеяния: в 3D- среде X""(cosy) = 1/4 тс; в 2D- среде x""(cosy J= 1 / 2п . В этом случае, , используя метод Виннера-Хопфа, удается рассчитать угловой спектр отраженного излучения от полубесконечной гомогенной среды без каких либо ограничений на углы падения (0 < 0О < я / 2) и рассеяния (0 < 6 < п). Для решения этой задачи можно так же использовать метод сингулярных собственных функций, предложенный Кейзом [22]. Вычисление распространения излучения в изотропно рассеивающей среде в теории переноса играет такую же фундаментальную роль, как расчет атома водорода в квантовой механике.

Но, в большинстве задач по переносу светового излучения в естественных и искусственных средах рассеяние на отдельных центрах не является изотропным. В этом случае не удается найти точного аналитического решения уравнения переноса. Поэтому используют самые разнообразные приближенные Методы, число которых исключительно велико. Только в самом простом случае, стандартного малоуглового приближения (СМП), когда не учитываются флуктуации длин путей фотонов из-за многократного рассеяния, удается получить аналитическое выражение для интенсивности света при произвольном виде x(cosy) ( функция распределения Мольер

2, 6,21, 35.]. В обзоре [43] исследована функция распределения Мольер для различных индикатрис в ЗО-среде: гауссовской, экспоненциальной, Хеньи-Гринстайна, дифракционной, резерфордовской и двухпараметрической индикатрисы обобщенно-степенного вида. Там же приведен обширный список литературы. В [44] исследуется та же проблема в 2D- средах.

Значительно более широкий круг задач решен в приближении Фокке-ра- Планка по угловым переменным ( диффузионное приближение в пространстве углов) [2,6,21,35]. В приближении Ф-П процесс рассеяния определяется некоторой средней величиной - коэффициентом угловой диффузии D. В 3D- среде D = а{1 - cosy) / 2 . В 20-средах D = ст(1 - cosy х) [44].

Рассчитаны не только интенсивность излучения в стандартном малоугловом диффузионном приближении (СМДП) в слабо поглощающих средах (99 < D)) когда не учитывается флюктуации длин путей фотонов [6, 35], но и пространственно - угловые спектры проходящего излучения в условиях сильного поглощения (ВС >D)b малоугловом диффузионном приближении (МДП). В МДП учитывается взаимное влияние процессов многократного рассеяния и поглощения света друг на друга. Определена интенсивность излучения внутри среды при нормальном падении пучка на поверхность вещества, как при облучении вещества стационарным, так и импульсным световым потоком [2,6,45-48]. Целый цикл работ посвящен проблеме распространения света в сильно поглощающей среде при наклонном падении (0<90<1) широких световых пучков (стационарных и импульсных), когда угол отклонения от наиболее вероятного направления движения фотонов( 0<9тД:г)<90 ) на глубине z является малым. При наклонном падении возникает эффект "поворота тела яркости": на большой глубине "выживают" только те фотоны, которые движутся вглубь среды преимущественно под малым углом к направлению нормали (вдоль оси z) независимо от начального угла паления 90: 9 (г-» со)->0[49-53]. Существенно, что во всех этих работах предполагалось, что отраженное излучение полностью отсутствует.

В приближении Ф-П удалось решить так же значительно более сложную проблему малоуглового отражения. Аналитически рассчитаны угловые спектры обратно- рассеянного излучения как света ( так и быстрых заряженных частиц и ионов средних энергий) при скользящих углах падения (л/2-9ц<<1) излучения на поверхность полубесконечного (0<г<со) рассеивателя, когда фотоны или частицы вылетают из вещества тоже под скользящими углами ( к / 2 - 9 «1), так, что полный угол рассеяния оказывается малым: (9 - 90)2 + ср" «1 [54- 57]. Была решена ещё значительно более сложная задача о малоугловом отражении и прохождении широкого светового пучка через консервативный слой вещества конечной толщины ( 0 < ъ < Ь) [58,59,60]. Показано [60 ], что из-за сильной корреляции между отраженным и прошедшим световым потоком, возникает явление "поворота тела яркости" даже в отсутствие поглощения в веществе. В [61] рассчитано малоугловое распределение упруго-отраженных фотонов при скользящем падении излучения на плоский слой конечной толщины при наличии отражающей нижней границы. Однако, во всех перечисленных выше работах, соответствующие аналитические расчеты угловых спектров обратно- рассеянного излучения были выполнены только для стационарного облучения поверхности. В настоящем исследовании этот пробел восполнен - проведены расчеты временной зависимости отраженного излучения, при скользящем падении на поверхность нестационарного светового потока. Т.о. в приближении Ф-П достаточно полно исследована проблема как малоуглового прохождения, так и малоуглового отражения света.

Однако, следует иметь ввиду, что приближение Ф- П может быть использовано только в тех задачах, где индикатриса рассеяния спадает с увеличением угла однократного рассеяния у быстрее чем резерфордовская, т.е. быстрее чем у"4 в ЗО-среде [ 43, 62-64] и быстрее чем |ух| 3 в 2Э-среде [ 44].

В реальных средах из за их полидисперности индикатрисы убывают с увеличением угла рассеяния как правило медленнее чем резерфордовская. Но самое главное состоит в том, что из-за непреодолимых математических трудностей, аналитическое решение уравнения переноса при произвольных углах рассеяния даже в приближении Ф - П до сих пор не получено.

Естественное желание выйти за рамки малоуглового приближения породило много приближенных методов расчета интенсивности светового излучения, как внутри среды, так и отраженного от неё излучения. Например, различные многопараметрические модификации хорошо известного ещё с начала века двухпотокового приближения Шварцильда-Шустера, которые позволяют вычислять только интегральные характеристики излучения [6,11,29]. Однако, уравнения для световых потоков /4(т),/1.(х) не могут быть получены регулярным образом из уравнения переноса. Приходится вводить априорно неизвестные коэффициенты, значения которых определяются эмпирически, в основном из условия совпадения расчетных величин с данными экспериментальных наблюдений или результатами компьютерного моделирования. Следует отметить, что поскольку этот простейший подход к решению задач теории переноса развивался десятилетия с участием многочисленных исследователей, его можно считать достаточно законченным, а искусство подбора соответствующих коэффициентов достигло виртуозного мастерства [6].

Значительное место в ряду различных приближенных методов решения задач о транспорте излучения в случайно-неоднородных средах занимает хорошо известное /^-приближение [ 2,6,21,23]. Это приближение основано на предположении, что при определенных условиях интенсивность /(г,9,) является "плавной" функцией 0. Поэтому, при разложении её в ряд по полиномам Лежандра можно сохранить лишь первые две гармоники:

1(-;9) = /,00/?(cose) - -/-[/„(г) + 37,(2)0050] (В.7) о 4 л 4л1 J

После столь радикальных упрощений получается уравнение пространственной диффузии для плотности излучения р(г) = /Дг)(йсос)чна глубине z:

- 52р(т) = 0, где т = (a и 52 = 3(1 - A)[l - A(cosy)] (В.8)

Естественно, что Р{ - приближение весьма заманчиво: с одной стороны, не приходится вводить какие-либо ограничения на углы рассеяния фотонов; с другой стороны, решение уравнения пространственной диффузии (В.8) хорошо известно. Однако, Рх - приближение обладает одним очень серьезным недостатком: оставив в бесконечном разложении (В.7) только первые два слагаемых, полностью исключается возможность точно удовлетворить граничным условиям. Разными авторами был предложен целый "арсенал" способов приближенного удовлетворения граничных условий ( граничное условие Маршака, и т.д.). Однако, ни один из известных подходов [6,23,65] не может претендовать на совершенство. Поэтому, точность расчета во многом зависит от выбора того или иного из них.

Чтобы обойти эти трудности используют, например, так наз. "транспортное приближение". Это приближение очень часто применяют для расчета радиационных полей излучения света (и заряженных частиц) в средах с резко выраженным анизотропным законом рассеяния [6, 66-67]. В основе этого приближения лежит предположение о том, что свет, "рассеянный вперед", по своим свойствам не отличается от нерассеянного излучения. Поэтому можно часть острого "пика вперед" реальной, сильно вытянутой индикатрисы рассеяния отнести к нерассеянной компоненте, [6]: g * x(cosy) = (1-g) x*(cosy) +—5(1 - cosy); 2л j x*(cosY)sinY^Y = 1 (Д7) z7c о

Здесь g- доля света, рассеянного под очень малыми углами. Индикатриса x*(cosy) аппроксимирует реальную индикатрису x(cosy) при немалых значениях у . Важно, что x*(cosy) значительно более плавная функция, нежели x(cosy). Точность расчетов во многом зависит от выбора параметра.g [6].

В простейшем варианте этого приближения полагают x(cosy) = 1 / 4тт . Тогда g = (cosy) - среднее значение истинного косинуса угла однократного рассеяния. Именно так решается задача в транспортном приближении, разработанном первоначально в теории переноса нейтронов [67]. В таком приближении в уравнение переноса вместо а будет входить величина а!г =а(1 - cosy) - транспортный показатель рассеяния среды, а вместо вероятности выживания кванта Л будет входить величина

В дальнейшем характеристики световых полей находятся по формулам для изотропного рассеяния [2,6-8,21,36] с заменой А->АеГ. Цель столь радикального упрощения истинной индикатрисы рассеяния состоит только в том, чтобы свести реальную задачу переноса излучения в средах с резко анизотропным рассеянием ((1 - cosy)«1) к более простой и хорошо изученной задаче о распространении излучения в среде с изотропным рассеянием, когда известно точное аналитическое решение, точно удовлетворяющее граничному условию на поверхности полубесконечной среды. Однако, транспортное приближение имеет весьма ограниченную область применимости. Его рекомендуется применять для вычисления только интегральных по угловым переменным характеристик поля. Для расчета угловых зависимостей эта методика менее пригодна [6, с. 103]. Кроме того, используя это приближение не удается с той же простотой, что для полубесконечной среды, решить проблему об отражении и прохождении излучения через плоский слой конечной толщины ( эта задача не решается аналитически даже при изотропном рассеянии).

Как отмечалось выше, сложность получения аналитического решения уравнения переноса в немалой степени зависит и от мерности среды. В обычной ЗЭ-среде направление распространения излучения Q определяется двумя углами: полярным 9и азимутальным ф, так, что Qt=sin9cosq>;

Qy = sin 0 sin ф; Qz =cos9 (ось z перпендикулярна поверхности вещества и направлена в глубь среды). За счет этого оказывается достаточно сложным выражение для косинуса угла рассеяния у из состояния Q' —> Q cosy - cos9 • cos9' + -уД1 - cos2) - (1 - cos2 9') x cos((p - ф'), от которого зависит индикатриса рассеяния x(Q'-»Q)= x(C0SY) > являющаяся ядром интеграла столкновений. Более того, зависимость интенсивности 1(г;0,ф) от ф вносит серьезные трудности даже тогда, когда расчет световых полей осуществляется в приближении Фоккера- Планка, хотя в этом приближении индикатриса x(cosy) вообще не входит в уравнение переноса. Наглядным примером трудностей, связанных с наличием азимутального угла ф могут служить упомянутые выше задачи о малоугловом отражении света при скользящих углах падения. Так, для вычисления в приближении Ф-П углового распределения обратно-рассеянного излучения от полубесконечной среды безотносительно к азимуту (1(г = 0;9>я/2,ф) = It(z = 0;9), доста

В.9) точно использовать известный метол решения интегральных уравнений с однородным ядром с помощью преобразования Меллина ( О.Б. Фирсов 1966г. [68,35]). Решение той же задачи в полном объеме, т.е. вычисление зависимости спектра обратно-рассеянного излучения по обоим углам 0,ф, потребовало использования более тонких математических методов ( решение интегрального уравнения с использованием разложения по полиномам Гегенбауэра) и было получено значительно позже ( 1980г. [54,57]). Ещё более сложной оказалась проблема малоуглового отражения от консервативного слоя конечной толщины: 0<~<L [58,59]. Достаточно сказать, что до сих пор не удалось в этом случае вычислить зависимость отраженного и прошедшего излучения от азимутального угла ср. Это не позволило решить ту же задачу для поглощающей среды (А <1), т.к. вычисление азимутальной зависимости и учет поглощения в приближении Ф-П по сути одна и та же математическая проблема [54-57].

Поэтому значительный интерес представляет изучение распространения светового излучения в более простых 2D- средах, где при некоторых условиях зависимость от ф отсутствует. Как отмечалось выше, во многих природных и искусственных оптических средах форма рассеивающих центров может быть далека от шарообразной. Изучение оптических свойств анизотропных сред, содержащих частично или полностью ориентированные несферические частицы - важная часть многих задач атмосферной оптики и астрофизики. Поскольку рассчитать характеристики электромагнитного излучения, рассеянного на несферических частицах произвольной формы и ориентации практически невозможно, определенное значение приобретает аппроксимация этих частиц простейшей несферической частицей, для которой задача рассеяния решена точно- бесконечным цилиндром кругового сечения [69-71]. Разумеется такая аппроксимация достаточно грубая, однако в природе встречаются частицы сильно вытянутой формы, для которых это приближение дает хорошие результаты. Такими, например, являются ледяные иглы в земных кристаллических облаках, достигающие в длину Змм при диаметре до 150 мкм [69]. Приближение бесконечных цилиндров часто используется при изучении оптических свойств межзвездных пылинок, имеющих в основном несферическую форму и частично ориентированных, о чем свидетельствует факт межзвездной поляризации света [72,73]. В облаках межзвездной пыли и атмосферах некоторых планет отмечается ориентация несферических частиц. При изучении оптических свойств таких сред часто используется модель бесконечных цилиндров, ориентированных либо в некоторой плоскости [69,70,72], либо полностью ориентированных вдоль некоторого выделенного направления [70]. Кроме того, двухмерное рассеяние имеет место при прохождении света через искусственные среды с мононаправленными нитевидными искусственными оптическими волокнами. Бесконечные цилиндры произвольного сечения обладают тем свойством, что при падении плоской электромагнитной волны перпендикулярно их оси, рассеянная волна на больших расстояниях является цилиндрической, плоскость рассеяния - перпендикулярной оси цилиндра. Поэтому задача становится двумерной по геометрии. В этом случае имеется зависимость характеристик рассеянного излучения только от двух координат в плоскости перпендикулярной осям цилиндров( х,у) , а направление распространения фотонов определяется всего одним углом 9^ - л < 0х < к ), причем Пх =5ш9х; =9; =со59х . Угол 9х одновременно определяет отклонение фотонов от плоскости YOZ ( цилиндры расположены вдоль оси О У ) (см. рис. В2. ). Т.о., в дальнейшем под Ю- средой понимается среда, рассеяние в которой происходит в одной плоскости, перпендикулярной бесконечно вытянутым, ориентированным параллельно друг-другу хаотически распределенным нитевидным рассеивателям. За счет более простой геометрии рассеяния в 20-средах возможность получения аналитических результатов, описывающих двухмерное блуждание фотона, значительно шире чем в ЗЭ-средах. Так, в последнее время удалось получить аналитическое решение проблемы малоуглового распространения света в сильно поглощающей 20-среде с учетом флуктуации длин путей фотонов, когда однократное рассеяние подчиняется закону Хеньи-Гринстайна

I I

74] (спадает с увеличением угла рассеяния по закону т.е. медленнее, чем индикатриса резерфордовского типа в 20-среде х*и£А(|у «I» Уг/) ^(у.х! а так же для индикатрисы вида [75] у2е/+у\ 4у2е/ + у2* которая спадает по закону со|ух| 4, т.е. быстрее чем %я"Л(ух). Принципиально новым является то обстоятельство, что обе эти задачи удалось решить аналитически без использования приближения Ф-П., с интегралом столкновений типа свертки. Аналогов решения такого рода задач в ЗВ-средах не существует. В работе [76] получены новые результаты исследования глубинного режима в сильно поглощающих 20-средах с двухпараметрической индикатрисой обобщенно-степенного вида: х>[у2*/+у2*р+я> (В.11) v = 1 / 2 - индикатриса Хеньи-Гринстайна; у = 1- резерфордовская индикатриса в 2В-среде). В [77] проведен сравнительный анализ процесса распространения света в сильно поглощающих 2Б и ЗЭ- средах с учетом флюктуаций длин путей фотонов при многократном рассеянии, включая "поворот тела яркости" при наклонном падении излучения на поверхность 2Э- среды. В работах [78-81] исследуется проблема переноса поляризованного излучения в средах, состоящих из полностью ориентированных сильно вытянутых частиц.

Т.о., в 2ТУ- средах круг задач, допускающих аналитическое решение шире, чем в ЗЭ-средах. Однако и в 2Э-средах число их очень не велико, и в основном ограничивается лишь теми случаями, когда можно использовать малоугловое приближение. Практически не существует индикатрис, кроме изотропной и линейной [ 28,82 ], когда удается получить решение без каких либо ограничений на величину угла рассеяния. Но при изотропном рассеяX

2П)

2у2 е/

71 нии (cosy) = 0, а для линейной индикатрисы 0 < (cosy) < 1/3 в ЗО-среде, и

0<(cosyx)< 1/2 в 2Э-среде [44]. Поэтому, особое значение приобретают те редкие, но важные случаи, когда аналитические методы позволяют решить задачу до конца при произвольном значении (cosy) и А без каких-либо ограничений на углы рассеяния.

3D ь / / / /// © / / / / & а х 1---——> V-. : х о » j « Л ^ © \ . . у ® у. '"'••Зс9 ••■■"""

0 о & © . N .TiJjk Ф ^ ( z Z 0 ^ • ® •

Рис.В.2 Схематическое изображение распространения фотонов в 3D и 2D - средах.

К сожалению, в 3D- среде не существует каких-либо других, кроме простейшей 2х-направленной индикатрисы, когда уравнение переноса допускало бы точное решение, при точном выполнении граничных условий. Ряд авторов использовали фактически 2х-направленной закон рассеяния для исследования распространения излучения в диссипативных средах с резко-анизотропным рассеянием, например для определения показателя вертикального ослабления и коэффициента диффузного отражения моря [7,83,84]. Однако, полученные ими результаты относятся только к полубесконечной среде при стационарном облучении её поверхности широким световым потоком. uOne-dimensional model" использовалась в том числе и для расчета угловых и энергетических спектров Оже электронов и фотоэлектронов при их эмиссии из полубесконечной среды, облучаемой пучками гамма квантов [85,86].

Более широкий круг задач теории переноса можно решить в 2D- средах, используя значительно большее чем в 3D- среде количество модельных полинаправленных индикатрис рассеяния: кроме 2-х направленной, так же 3-х и 4-х направленные индикатрисы (см. рис. В.З) В этом случае удается проанализировать не только проблему одномерного, но и проблему дискретного двухмерного блуждания фотона в случайно-неоднорой 20-среде.

Использование модельных полинаправленных индикатрис рассеяния позволяет сравнительно просто аналитически рассчитать все характеристики излучения как внутри среды, так и отраженного и прошедшего излучения при произвольных углах рассеяния и при точном выполнении всех граничных условий. Практическая значимость полученных решений при упрощающих предположениях о законе однократного рассеяния состоит в том, что с одной стороны, они в той или иной степени могут быть применимы на практике, а с другой стороны - являются предельным случаем строго поставленных более общих задач и могут использоваться при проверке численных и приближенных методов. Они позволяют лучше понять физику процесса распространения излучения в веществе, а, так же, протестировать новые методы расчета световых полей в реальных средах.

Однако, использование достаточно простых полинаправленных индикатрис рассеяния для описания распространения светового излучения в 2D и 3D- средах, несмотря на свою привлекательность и простоту не может во многих случаях обеспечить достаточной для практики точности расчетов и пригодно, в основном, только для воссоздания качественной картины и получения оценок некоторых интегральных характеристик световых полей.

Непомерная трудность решения уравнения переноса с реальными индикатрисами рассеяния и при самой разной геометрии среды приводит к необходимости использовать различные численные методы расчетов радиационных полей, начиная от метода Монте-Карло, метода дискретных координат и кончая тонкими разностными и асимптотическими методами [ 87-90]. Отдавая должное численным методам, представляется очевидным, что и по настоящее время актуальным является разработка и реализация принципиально новых, не традиционных аналитических методов расчета радиационных полей в реальных средах, которые сочетали бы в себе универсальность и относительную простоту с достаточной для практики точностью при максимальном удобстве для пользователя. Многолетний опыт решения практических задач показывает, как нужны приближенные методы решения уравнения переноса в самых различных областях физики, включая такие традиционные, как передача изображения, теория подводного видения, альбедные задачи атмосферной оптики и оптики океана и т.д.[2,5,6,21.] рн

2-х направленная индикатриса ( в ЗЭ и 20 - среде)

Рц+Рп = 1

РА 3-х направленная индикатриса в Ю - среде)

Ри + 2РХ = 1 и

Рх

Рх И

4-х направленная индикатриса (в 2П - среде) ри+2р + рп =1

Рис. ВЗ. Схематическое изображение некоторых полинаправленных индикатрис рассеяния:

В последние годы разработан новый метод расчета скалярных радиационных полей, основанный на принципе разделения потоков [65,91,92]. Поток излучения на глубине г внутри вещества представляется в виде нисходящего излучения, распространяющегося вглубь среды (ц = со50>0;

О<0<я/2) и восходящего излучения ( ц = -||и|<0; 7г/2<0<тс), распространяющегося в сторону верхней границы вещества: ц, ф) = {г\ ц > 0, ф) + 1т (г; ц = -|ц|, ф) (В. 12)

Используя метод пространственно- угловых функций Грина удалось получить замкнутые линейные интегральные уравнения, как для нисходящего I > 0, ф), так и для восходящего = -¡ц|,ф) излучения. Полученные уравнения позволили разделить проблемы расчета проходящего через вещество и отраженного от него излучения, рассматривая эти задачи совершенно независимо друг от друга [65,91 ]. Использование замкнутых уравнений для I (г;11>0,ф) и =-|]а|,ф), позволило сделать следующий, принципиально важный шаг. Оказалось возможным представить восходящее и нисходящее излучение в виде суммы парциальных потоков ц > 0;.), и

Г:^!,(-;ц = -|ц|<0;.) как результат некоторой иттерационной процедуры см. §1 гл. 3). Существенно, что эта процедура осуществляется не традиционным способом, т.е. не по числу отдельных актов однократного рассеяния, число которых может быть исключительно большим даже в сравнительно тонких слоях вещества. (Именно это обуславливает низкую эффективность такой стандартной иттерационной процедуры и приводит к неоправданно большим затратам времени при численных расчетах, особенно в условиях резко-анизотропного рассеяния). Суть метода разделения потоков на парциальные части состоит в том, что используется иттерационная процедура по числу событий, в каждом из которых частица или фотон изменяет знак проекции своей скорости с. на направление нормали к поверхности, т.е. переходит из состояния движения вглубь вещества (ц = соб9 >0; 0<9<71/2) в состояние движения в сторону верхней границы ( ц = -¡м]<0; я/2<Э<71), или наоборот. Частота таких событий, особенно в средах с крупномасштабными рассеивающими центрами, когда (1 — созу)«1, на порядки меньше частоты отдельных столкновений. Между двумя такими событиями может происходить очень большое число отдельных элементарных актов взаимодействия излучения с рассеивающими центрами. В результате, как нисходящее, так и восходящее излучение можно представить в виде:

1Дг;ц>0,.) = 21(;к)(-,а>0;.); 1т(;;ц = -|ц|;.) = = -|и|;.) (В.13) к=0 к=0

Индекс 2к или (2к+1) показывает, сколько раз фотон, оказавшись на глубине 2, изменил знак проекции своей скорости с.

Разделение излучения на парциальные потоки дает возможность проанализировать зависимость каждого из них от оптических характеристик среды и параметров падающего излучения, оценить вклад каждого парциального потока в общее поле световой радиации и понять какими из них и при каких условиях можно пренебречь. Кроме того, физически очевидно, что парциальные потоки высокой кратности ( практически для к > 1), являются значительно более "плавными" функциями угловых переменных, чем парциальные потоки низкой кратности (к = 0,1). Поэтому для вычисления потоков разной кратности в реальных средах можно использовать совершенно разные подходы, что расширяет разнообразие приближенных методов их расчета. Поскольку метод парциальных потоков для расчета световых полей создан сравнительно недавно, большое значение приобретает апробация этой новой технологии в тех случаях, когда зная точное выражение для интенсивности светового излучения, можно реализовать точную процедуру разложения её на парциальные потоки. Именно такая возможность представляется при изучении распространения света в средах с полинаправлеиными индикатрисами, когда как раз известно точное решение уравнения переноса и оказывается возможным указать и реализовать разложение интенсивности излучения на парциальные потоки.

Совершенно особое значение имеет проблема изучения угловых спектров обратно-рассеянного излучения, являющаяся важнейшим самостоятельным разделом общей линейной теории переноса. Особая важность этой проблемы связана с тем, что во многих случаях, практически единственно доступным способом получать информацию о среде, является измерение параметров только отраженного от неё излучения. Наглядным примером может служить изучение свойств Мирового Океана и других водных бассейнов с помощью оптических приборов, установленных на различных летающих объектах - самолетах или ИСЗ. То же можно сказать и о разнообразных исследованиях атмосферы Земли с помощью оптических лидаров в различных частях спектра. Сказанное относится, конечно, и к дистанционному исследованию атмосфер планет Солнечной системы [2,5,69,11,21,28,36,40,57-59,61,82,84,93-95]. (Не меньшее значение подобного рода исследования имеют при изучении свойств поверхности методами ионной, электронной и Оже- электронной спектроскопии [54,56,63,67,86,96] ). В силу особой значимости такого круга задач, их обычно выделяют в отдельный раздел под названием альбедные задачи теории переноса.

Угловое распределение отраженных фотонов описывается функцией отражения ( ФО ). ФО связана с восходящим излучением на поверхности вещества обычным соотношением:

5(|ц|, ф|р0) = |р|1т (г = О, ц = -|ц|; ф|р0) (В. 14)

Существует несколько традиционных подходов к проблеме вычисления угловых спектров обратно- рассеянного излучения. Один из них основан на вычислении интенсивности излучения 1(г,ц,ф) непосредственно из гранспортного уравнения Больцмана с последующим определением ФО ротонов от поверхности среды [7,9,36,.]. Широко используется так же метод собственных функций [22,57,63,68,96]. Возможно получить линейное штегральное уравнение для ФО от полубесконечной среды, используя ре-пение значительно более простой родственной физической задачи о рас-фостранении излучения в бесконечной гомогенной среде 1л(1;р,ф) с нахо-дещимся в ней плоским мононаправленным источником, который эквива-[ентен падающему на поверхность полубесконечной среды излучению 57,63,97]. Однако, при таком подходе то же приходится сначала искать решение уравнения переноса во всей области глубин. Это не является обяза-ельным , т.к. величина 1(г;р,ф) содержит, вообще говоря, избыточную ин-юрмацию в альбедных задачах теории переноса.

В последнее время для расчета световых полей был предложен упомя-утый выше метод парциальных потоков. Этот подход можно использо-ать и для вычисления угловых спектров отраженного излучения. При этом необходимо сначала вычислить пространственно-угловую функцию Грина (/(г - ц';ф - срг) на произвольных глубинах 0<г,г'<со внутри рассеивающей среды, т.е. найти решение далеко не простого интегро-дифференциального уравнения. Только после этого можно определить значение восходящего излучения на поверхности вещества, чтобы по формуле (В. 14) определить ФО. В работе [93] описана регулярная процедура вычисления пространственно-угловой функции Грина для случая, когда разложение индикатрисы по полиномам Лежандра (В.4) содержит конечное число слагаемых. Чем больше членов разложения необходимо учитывать, тем сложнее вычислить функцию Грина. В [93,94] получены явные выражения для пространственно-угловой функции Грина, но только при изотропном и линейном законе рассеяния.

Метод парциальных потоков позволяет представить полную ФО в виде ряда по парциальным функциям отражения (ПФО) {98]:

5(Н,ФК)= +5<3) +5,5Ч.(В. 15) т-0

В [93,94] рассчитаны ПФО 5и)(|ц|,ф|Цо)пеРвого порядка при изотропном и линейном законе рассеяния методом пространственно-угловых функций Грина, которые описывают "анизотропную часть" отраженного излучения. В [95] проанализирован процесс формирования и" плавной" ламбертовской добавки в спектре отраженного излучения, подчиняющейся хорошо известному "закону косинуса".

Существует и альтернативный подход к вычислению ФО от полубесконечного слоя вещества, основанный на принципе инвариантности Ам-барцумяна [99-101]. При таком подходе сразу формулируется уравнение для ФО, которое имеет вид нелинейного интегрального уравнения. В простейшем случае изотропного рассеяния удается получить точное аналитическое выражение для ФО при любых углах падения и отражения фотонов, которое выражается через функции Чандрасекара [7,9,36]. При более сложном законе однократного рассеяния получить аналитического решения уравнения Амбарцумяна не удается. В этом случае численными методами решаются системы нелинейных интегральных уравнений для ряда вспомогательных функций, через которые выражается ФО. Число этих уравнений, а следовательно, и сложность их решения, быстро возрастает по мере увеличения степени анизотропии индикатрисы рассеяния. Так, если в разложении индикатрисы (В.4) в ряд по полиномам Лежандра сохранить 0 < / < N гармоник, необходимо решить (Ы + 1)(А^ + 2) / 2 нелинейных интегральных уравнений для вспомогательных функций (|ц|), через которые выражается искомая ФО 5(|ц|,ф|м-0).

В настоящей работе, следуя основной идее изложенной в [98], принцип инвариантности Амбарцумяна впервые объединен с методом разделенных потоков. Это позволяет, не вычисляя парциальные потоки на произвольных глубинах внутри среды, сразу сформулировать уравнения непосредственно для всех ПФО. Оказалось, что в отличие от уравнения Амбарцумяна для полной ФО , уравнения для ПФО 5(2и,+и(М»'ФЦ0) являются линейными интегральными уравнениями. Более того, все эти уравнения однотипны и отличаются друг от друга только своей неоднородностью. Линейность полученных уравнений позволяет использовать для их решения метод угловых функций Грина, которые зависят только от угловых переменных и, в отличие от пространственно-угловой ФГ [93,94], не зависят от пространственной переменной ъ. Для тестирования различных методов расчета коэффициентов отражения и доказательства тождественности получаемых при этом результатов, оказалось просто и удобно использовать модель среды с 2-х направленной индикатрисой рассеяния, когда полный и все парциальные коэффициенты отражения могут быть рассчитаны различными методами точно, без использования дополнительных приближений.

В ЗО- средах с крупномасштабными рассеивающими центрами (а»Х) предложен метод "обратных столкновений" для определения угловая функция Грина. Указана и реализована регулярная процедура расчета первой ПФО, которая описывает вклад в отраженное излучение тех фотонов, которые только один раз изменили знак проекции своей скорости от момента их влета в среду до вылета из неё. Такой подход к расчету угловых спектров обратно-рассеянных фотонов дает неплохие результаты при изучении отражения света от мутных, сильно поглощающих сред [ 2,102-105 ]. Особо следует отметить, что объединение метода парциальных потоков с принципом инвариантности Амбарцумяна, оказался результативным при решении альбедных задач не только светового излучения. Такой подход является перспективным и при решении более сложных неодноскоростных задач, как для быстрых заряженных частиц, так и для ионов средних энергий. В этих задачах необходимо учитывать систематическую деградацию энергии частиц в среде из-за неупругих столкновений, а так же корреляцию между углом рассеяния иона на отдельных атомах вещества и теряемую им при этом энергию, передаваемую ионом атому отдачи, т.е. потерю энергии ионами при упругом рассеянии [ 106].

Диссертация состоит из четырех глав и одного приложения. Каждой главе предшествует небольшое введение, а в конце каждой из глав приводятся основные полученные результаты и методы. Поэтому здесь мы в краткой форме изложим только основные вопросы, содержащиеся в каждой из них.

Первая глава посвящена теоретическому изучению проблемы распространения скалярного светового излучения при двух-направленном законе однократного рассеяния. Используя найденное в §1 точное выражение для функции Грина, аналитически рассчитана интенсивность светового поля на любых глубинах полубесконечного слоя вещества при облучении его как стационарным так и 5 - импульсным световым потоком. Т.о. фактически полностью решена проблема одномерного блуждания (стационарного и нестационарного) фотонов в случайно-неоднородных средах. Получены аналитические выражения для парциальных потоков любого порядка для нисходящего I (z;/) и восходящего I:(r;i) излучения на любых глубинах и для произвольного момента времени. Обнаружено появление временного локального максимума как в восходящем, так и в нисходящем излучении. Особенно подробно изучен процесс отражения. Рассчитаны как полный коэффициент отражения, так и все парциальные коэффициенты отражения. Проанализирован вклад каждого из них в полный коэффициент отражения в зависимости от рассеивающих и поглощающих свойств среды. Исследована их временная зависимость. Установлено, что в начальный момент отраженный сигнал определяется только первым парциальным коэффициентом отражения. Показано, что при "изотропном" двух-направленном законе рассеяния, все парциальные коэффициенты отражения в точности совпадают с парциальными коэффициентами отражения в ламбертовской части спектра отражения от реальной 30-среды.

Вторая глава диссертации целиком посвящена проблеме дискретного двумерного блуждания фотонов в случайных 2D - средах с полинаправленными индикатрисами рассеяния. Указан и реализован алгоритм перехода от реальных индикатрисе рассеяния в 2D- средах к модельной 4-х направленной индикатрисе рассеяния. Рассчитана интенсивность излучения при падении на вещество узкого пучка. Получены простые аналитические выражения для дисперсии поперечного смещения и для яркости поверхности, когда 4-х направленная индикатриса рассеяния моделирует индикатрису Хеньи-Гринстайна при различных значениях (cosy) и А. Найдена простая формула для полного коэффициента отражения и первого парциального коэффициента отражения при нормальном падении широкого стационарного светового пучка. Рассчитано их значения при "изотропном" рассеянии в зависимости от А. Обнаружено, что при расчете полного коэффициента отражения с использованием 4-х направленной индикатрисы его величина оказывается заниженной, а при использовании 2-х направленной индикатрисы получается завышенное значение при любых значениях А. Точность расчета в обоих случаях увеличивается с увеличением А. Показано, что при 3-х направленной индикатрисе рассеяния, величина коэффициента отражения зависит всего от одного параметра -"эффективной" вероятности выживания кванта, т.е. проявляется свойство автомодельности. Получено разложение по парциальным коэффициентам и рассчитаны их значения любой кратности. Установленно, что при отражении от консервативной среды, когда полный коэффициент отражения равен единице , величина первого парциального коэффициента отражения имеет наибольшее значение, равное 1/2, при двух-направленном законе однократного рассеяния (когда отсутствует рассеяние в боковых направлениях). Его наименьшее значение, равное 1/4, имеет место при трех-направленной индикатрисе рассеяния (когда отсутствует рассеяние в обратном направлении) независимо от соотношения между вероятностями бокового рассеяния и рассеяния вперед. При "изотропном" упругом рассеянии в среде с четырех -направленной индикатрисой рассеяния, значение первого парциального коэффициента отражения равно 5/18.

В § 4 исследован процесс распространения нестационарного светового излучения при облучении поверхности вещества 5- импульсным световым потоком. Исследованы особенности временной зависимости полного коэффициента отражения для различных значений параметров 4-х направленной индикатрисы рассеяния. Установлено появление локального максимума, положение которого сдвигается в область больших времен с уменьшением отношения вероятности обратного рассеяния к вероятности рассеяния в боковом направлении. Для 3-х направленной индикатрисы рассеяния получено представление интенсивности в виде суммы парциальных потоков и найдены простые аналитические выражения для парциальных потоков любой кратности. Удалось получить простые формулы для коэффициентов отражения при 3-х направленной и 4-х направленной индикатрисы рассеяния ( когда вероятность однократного рассеяния назад и в боковом направлении одна и та же: рч = р± ). Значения приведенных коэффициентов отражения для указанных индикатрис зависят от единственного параметра - "эффективной" вероятности выживания кванта Ле/.

В третьей главе диссертации теоретически изучена проблема отражения светового излучения от реальных ЗЭ-сред с разномасштабными рассеивающими центрами. Предложен принципиально новый подход к проблеме вычисления угловых спектров обратно - рассеянного излучения, основанный на объединении принципов инвариантности Амбарцумяна и разделения потоков. Доказано, что полную ФО 5(|ц|,ф|;ц0) всегда можно представить в виде суммы ряда по ПФО 5(2<:+1)(^|,ф|;ц0). Впервые получена система линейных интегральных уравнений для ПФО любого порядка. Показано, что ядрами этих уравнений является только та часть индикатрисы, которая описывает процесс однократного рассеяния без изменения знака проекции скорости фотона на направление внутренней нормали к поверхности вещества. Другая часть индикатрисы, описывающая "переворот" импульса фотона из нижней полусферы в верхнюю или наоборот, входит только в выражения для "эффективных источников" в каждом из этих однотипных уравнений. Для опробации различных методов расчета коэффициентов отражения в § 3 рассмотрена модель рассеивающей среды с двухнаправленной индикатрисой рассеяния. Различными методами аналитически рассчитаны ПФО любого порядка от таких сред. Показана тождественность получаемых при этом результатов. В § 4 впервые сформулировано уравнение для угловой функции Грина (УФГ) в альбедных задачах теории переноса светового излучения. Это позволило использовать единый алгоритм для расчета ПФО любого порядка. Получены рекурентные соотношения, связывающие ПФО более высокого порядка с ПФО более низких порядков. Изучена проблема отражения светового излучения от сильно поглощающих сред при резко анизотропном законе однократного рассеяния, когда ядра интегрального уравнения для УФГ имеют резко выраженный максимум в направлении вперед. Предложена аппроксимация реальной сильно вытянутой вперед индикатрисы рассеяния более простой "квази- направленной "индикатрисой. Это позволило развить приближенный метод "обратных столкновений" для вычисления УФГ в средах с сильной анизотропией рассеяния. Показано, что полученное в этом приближении выражение для УФГ существенно зависит от величины вероятности "переворота" импульса фотона из одной в другую полусферу после одного акта рассеяния. Оказалось, что величина вероятности" переворота" в средах с резко анизотропным законом рассеяния не всегда является "плавной" функцией угла начального направления движения фотона. Для некоторых степенных индикатрис получены простые формулы для вероятности "переворота" импульса из одной полусферы в другую при произвольном направлении первоначального распространения фотона. Регулярным способом с использованием метода УФГ в приближении "обратных столкновении' найдено простое аналитическое выражение для первой ПФО. Частным случаем полученного результата является ФО Гордона. Получено выражение для третьей ПФО и проведена её оценка.

В четвертой главе аналитически впервые рассчитан и подробно проанализирован процесс малоуглового отражения нестационарных световых импульсов от полубесконечной гомогенной среды в приближении Фоккера-Планка при скользящих углах падения. Получено аналитическое выражение для временной функции отражения £(/) при произвольной временной форме падающего излучения 1,(2 = 0;/). Определена временная зависимость отраженного сигнала при облучении поверхности вещества как 5- импульсным, так и ступенчатым сигналом. Получены простые аналитические формулы для фронта отраженного сигнала и его дальней, "хвостовой" части (асимптотики), а так же рассчитан переходной режим. Показано, что быстрота установления установившегося режима определяется отношением двух времен: времени поглощения фотона и и времени отражения 18С, значение которого определяется не только оптическими параметрами среды, но и углом скольжения . Произведено подробное сравнение полученных результатов с аналогичными результатами при распространении импульсного сигнала в бесконечной гомогенной среде. Установлены области их совпадения и различия и дана физическая интерпретация полученных результатов. Тем самым установлены критерии, когда расчет ФО от полу бесконечной среды может быть заменен решением родственной, но значительно более простой задачи в бесконечной среде. Рассчитана временная форма отраженного сигнала в зависимости от угла скольжения оптических свойств среды и временных параметров падающего излучения при облучении поверхности периодической последовательностью прямоугольных импульсов различной скважности. Исследован практически важный вопрос об отражении гармонически модулированного сигнала. Получены простые аналитические выражения для глубины модуляции и сдвига фаз в отраженном сигнале при различных соотношениях между временными параметрами задачи. Результаты всех аналитических и компьютерных расчетов проиллюстрированы большим количеством графического материала.

В Приложении 1 рассчитана глубинно- временная зависимость нисходящего излучения в 20- среде с 3-х направленной индикатрисой рассеяния и определены все парциальные потоки ^(г;/).

На защиту выносятся следующие, содержащие новизну, основные положения:

1. Расчет пространственных и временных характеристик проходящего и отраженного излучения в гомогенной, диссипативной среде при двух-направленном законе однократного рассеяния. Вычисление и анализ глубинных и временных парциальных потоков и парциальных коэффициентов отражения произвольного порядка.

2. Аналитическое решение проблемы дискретного стационарного и нестационарного блуждания фотонов в случайных двумерных средах с полинаправленными индикатрисами рассеяния при различной геометрии падающего излучения; вычисление нисходящего и восходящего излучения, а так же полных и парциальных коэффициентов отражения при стационарном и импульсном облучении поверхности.

3. Теория отражения светового излучения, основанная на объединении принципа инвариантности Амбарцумяна и метода парциальных потоков: формулировка линейных интегральных уравнений для парциальных функций отражения произвольного порядка и разработка алгоритма их решения с помощью метода угловых функций Грина. Определение в рамках этого метода парциальных функций отражения от поглощающих сред с резко-анизотропным законом однократного рассеяния в приближении "обратных столкновений".

4. Аналитическое вычисление временных характеристик отраженного сигнала при облучении вещества нестационарным световым потоком, падающим на поверхность под скользящими углами. Расчет переходного режима, глубины модуляции, сдвига фаз и временного профиля отраженного сигнала в зависимости от рассеивающих и поглощающих свойств среды , угла скольжения и временной зависимости падающего излучения.

Результаты материалов диссертации докладывались на Московской научной конференции "Студенческая осень - 94"( Москва, МИФИ, 1994г.); на XIII - ой Международной конференции " Взаимодействие ионов с поверхностью " Москва - Звенигород, 1997г.; на конференции "Научная сессия МИФИ- 98." Работа была поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований ( РФФИ), грант № 96 - 02 - 17518.

По результатам диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Тишин, Игорь Васильевич

Выводы

В диссертации изучен широкий круг вопросов распространения (прохождения и отражения) скалярного светового излучения в неупорядоченных средах. Ключевыми моментами является использование метода парциальных потоков для анализа структуры световых полей в Ю и ЗЭ-средах с полинаправленными законами однократного рассеяния и синтез метода парциальных потоков и принципа инвариантности Амбарцумяна применительно к альбедным задачам теории переноса в реальных ЗБ-средах. Основные результаты состоят в следующем:

1.Аналитически рассчитана интенсивность светового поля в полубесконечной случайной среде при двух-направленном законе однократного рассеяния при облучении её поверхности как стационарным так и 5 - импульсным световым потоком, т.е. полностью решена проблема одномерного стационарного и нестационарного блуждания фотонов в 2Э и ЗО -средах. Рассчитаны парциальные потоки всех порядков на любых глубинах и для произвольного момента временни, а так же все парциальные коэффициенты отражения. Проанализирован вклад каждого из них в зависимости от оптических свойств среды. Исследована их временная зависимость.

2. Решена проблема транспорта излучения в случайной 2Б - среде с полинаправленными индикатрисами рассеяния при падении светового потока различной геометрии (бесконечно узкий и широкий) на её поверхность. Указан и реализован алгоритм перехода от реальных индикатрисе рассеяния в средах к модельной 4-х направленной индикатрисе рассеяния. Найдена простая формула для полного и первого парциального коэффициента отражения при нормальном падении широкого стационарного светового пучка при произвольном 4-х направленном законе рассеяния. В ряде случаев получено разложение интенсивности и коэффициентов отражения по парциальным компонентам и рассчитаны их значения любой кратности.

3. Изучен процесс распространения нестационарного светового излучения при облучении поверхности 2Б- среды 5 - импульсным световым потоком. Исследованы особенности временной зависимости полного коэффициента отражения для различных значений параметров 4-х направленной индикатрисы рассеяния. Для 3-х направленной индикатрисы рассеяния получено представление интенсивности в виде суммы временных парциальных потоков. Рассчитаны временные параметры коэффициентов отражения при 2-х направленной, 3-х направленной и 4-х направленной индикатрисы рассеяния ( когда вероятность однократного рассеяния назад и в боковом направлении одна и та же). Показано, что значения приведенных коэффициентов отражения для этих индикатрис зависят от единственного параметра-"эффективной" вероятности выживания кванта Ае/.

4. Предложен принципиально новый подход к проблеме вычисления угловых спектров обратно-рассеянного излучения от реальных ЗО-сред с разномасштабными рассеивающими центрами, основанный на объединении принципов инвариантности Амбарцумяна и разделения потоков. Доказано, что полную ФО всегда можно представить в виде суммы ряда по парциальным функциям отражения (ПФО ). Впервые получена система линейных интегральных уравнений для ПФО любого порядка. Показано, что ядрами этих уравнений является только та часть индикатрисы, которая описывает процесс однократного рассеяния без изменения знака проекции скорости фотона на направление внутренней нормали к поверхности вещества. Различными методами аналитически рассчитаны ПФО любого порядка от сред с двухнаправленной индикатрисой рассеяния. Показана тождественность получаемых при этом результатов.

5. Впервые сформулировано уравнение для угловой функции Грина в аль-бедных задачах теории переноса светового излучения. Это позволило использовать единый алгоритм для расчета ПФО любого порядка. Получены рекурентные соотношения, связывающие ПФО более высокого порядка с ПФО более низких порядков.

6. В сильно-поглощающих средах при резко анизотропном законе однократного рассеяния предложена аппроксимация реальной сильно вытянутой вперед индикатрисы рассеяния более простой "квази- направленной " модельной индикатрисой. Для степенных индикатрис рассеяния, получены простые аналитические выражения для вероятности "переворота" импульса фотона из одной полусферы в другую при любой степени анизотропии однократного рассеяния.

7. Предложен приближенный метод "обратных столкновений" для вычисления УФГ в средах с сильной анизотропией рассеяния. Показано, что выражение для УФГ зависит от величины вероятности распространения фотона в одной и той же полусфере. Регулярным способом с использованием метода УФГ в приближении "обратных столкновений" найдено простое аналитическое выражение для первой ПФО. Проведена оценка третьей ПФО.

8. Аналитически рассчитан и подробно проанализирован процесс отражения нестационарных световых импульсов от полубесконечной гомогенной среды в приближении Фоккера-Планка при скользящих углах падения. Определена временная зависимость отраженного сигнала при облучении поверхности вещества как б - импульсным, так и ступенчатым сигналом. Получены простые формулы для фронта отраженного сигнала и его дальней, "хвостовой" части. Рассчитан переходной режим.

9. Рассчитана временная форма отраженного сигнала в зависимости от угла скольжения, оптических свойств среды и временных параметров падающего излучения при облучении поверхности периодической последовательностью прямоугольных импульсов различной скважности и гармонически модулированным сигналом. Получены простые аналитические выражения для глубины модуляции и сдвига фаз в отраженном сигнале при различных соотношениях между временными параметрами задачи.

В заключение я хочу выразить благодарность своему научному руководителю Ремизовичу Валерию Стефановичу за многочисленные обсуждения, ценные советы, внимание и постоянную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тишин, Игорь Васильевич, 1999 год

1. Иванов А.П. Физические основы гидрооптики// Минск: Наука и техника, 1975.

2. Оптика океана. Т1. Физическая оптика океана// Отв. ред. Монин А.С. -М: Наука, 1983, 371с.

3. Иванов А.А. Введение в океанографию// Пер. с франц.- М.: Мир, 1978, 574с.

4. Соколов О.А. Видимость под водой//Л.: Гидроиетеоиздат, 1974, 232 с.

5. Долин Л.С., Левин И.М. Справочник по теории подводного видения// Л. : Гидроиетеоиздат, 1991, 230 с.

6. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в рассей -вающей среде. // Минск : Наука и техника, 1989, 327с.

7. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и пла-нет//М.: Гостехиздат, 1956, 391с.

8. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет//М.: Наука, 1972, 335с.

9. Минин И. Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет// М.: Наука, 1988, 264с.

10. Рассеяние и поглощение света в природных и искуственных дисперсных средах// под ред. Б.И.Степанова, Минск, Институт физики АН БССР им. Б.И. Степанова, 1991, 430с.

11. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики// М.: Наука, 1985, 502с.

12. Гинсбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика// М.: Наука, 1975, 416с.

13. Karagiannes J.I., Zhang Z., Grosswiner В., Grosswiner L.I. Applications of the 1-D diffusion approximation to the optics of tissue photons// Appl. Opt.-1989- v.28, № 12, pp. 2311-2317

14. Marchesini R., Bertoni A., Andreola S., Sichirollo A.E. Extinction and absorbtion coefficients and scattering phase function of human tissues in vitro// Appl. Opt.- 1989 v.28, № 12, pp. 2318-2324

15. Parsa Т., Jacques S.L., Nishioka N.S. Optical propagation of rat liver between 350 and 2200 nm// Appl. Opt.-1989 v. 28, № 12, pp. 2325-2330

16. Shimizu K., Kitama M., Nakai J., Yamamoto K. Suppression of diffuse scattering for imaging through dense random media// Proceedings of the 1992 International Symposium on Antennas and Propagation. September 22-25, 1992. Sapporo, 1992 - v.3, pp. 949-952

17. Patterson M. S., Chance В., Wilson B.C. Time resolved reflectance and transmittance for the noninvasive measurement of tissue optical properties// Appl. Opt.-1989 v. 28, № 12, pp. 2331-2336

18. Хвольсон О.Д. Основы математической теории внутренней диффузии света (реферат)// Журн. Русск. Физ.-Хим. общ. 1890. Т. 18. Отд.2. с.93-101

19. Хвольсон О.Д. Основы математической теории внутренней диффузии света // Журн. Русск. Физ.-Хим. общ. 1890. Т.22. Отд.2. с. 1

20. Lommel Е. Фотометрия диффузного отражения// Annalen Phys. and Chem. 1889, Bd.36. S. 473

21. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах: В 2-х т.// Пер. с англ. - М.: Мир, 1981

22. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса// Пер. с англ. М.: Мир 1972, 384с.

23. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов// Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1960,520с.

24. Schwarshild К. // Sitsber. Acad. Wissench. Berlin. 1914, S. 1183

25. Miln E.A. Handbuch der Astrophysik. Bd. 3/1. Berlin: Springer Verlag, 1930, P. 473

26. Hopf E. Matematical problems of Radiative Equilibrium. Cambridge: Univ. Press. 1934, P. 105

27. Свешников А.Г., Тихонов A.H. Теория функций комплексного переменного // М.: Наука, 1974, с.

28. Городничев Е.Е., Дударев С.Л., Рогозкин Д.Б. Когерентное усиление обратного рассеяния в условиях слабой локализацииволн в неупорядоченных трехмерных и двумерных средах // ЖЭТФ, 1989, т.96, в , с.847 864

29. Van de Hülst H.G. Multiple Light Scattering: Tables, Formulas, @ Applications// New Yopk, Academic Press. 1980, (в четырех томах).

30. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения: Статистические и волновые аспекты// М.: Наука, 1983, 216с.

31. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородных средах// УФН.- 1970, т. 102, вып. 1, с. 3-42

32. Барабаненков Ю.Н. Электродинамическое обоснование теории переноса// УФН, 1975, т. 117, № 1, с. 53-58

33. Калашников Н.П., Рязанов М.И. Многократное рассеяние электромагнитных волн в неоднородной среде// ЖЭТФ, 1966, т.50, №2, с. 459-471

34. Калашников Н.П., Рязанов М.И. Квантовая теория рассеяния в веществе без использования кинетического уравнения// ЖЭТФ, 1964, т.47, №.3, с. 1055-1064

35. Калашников Н.П., Ремизович B.C., Рязанов М.И. Столкновение быстрых заряженных частиц в твердых телах. // М.: Атомиздат, 1980.

36. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии// Пер. с англ.- М.: ИЛ, 1953, 431с.

37. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц// Пер. с англ. М.: Мир, 1969

38. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. // М.: Л.: Онти : 1951.

39. Шифрин К.С., Солганик И.Н. Рассеяние света модельными индикатрисами морской воды. // В кн. : Таблицы по светорассеянию. Л. : Гидроме-теоиздат, 1973, т. V.

40. Шифрин К.С., Копелевич О.В., Козлянинов М.В. и др. Оптика океана.-В кн. Физика океана// М.: Наука, 1978

41. Mie G.Beitrage sur Optik trüber Medium. // Ann. Phys., 1908, Bd. 25, S. 377-425.

42. Debya P. Lichdruck auf Kugeln, Ann. Phys., Bd. 30, №57,1909, S. 57-1361.S

43. A.I. Kuzovlev and V.S.Remizovich "Angular Distributions of Multiply Scattered Laser Radiation in Weakly Absorbing Media with Large-Scale Scattering Centers" (Review), Laser Physics, , 1994, v.4, №4, pp.788-815.

44. V.S. Remizovich and S.N.Volkov "Comparative Analysis of the Propagation of Light Radiation in 2D and 3D Media: 1. Transmission of Light Radiation through Weakly Absorbing Media with Large-Scale Scattereres" , Laser Physics, 1998,v.8, №2, pp.412-438.

45. Долин Л.С. Автомодельное приближение в теории сильно анизотропного рассеяния света. //ДАН СССР, 1981, т. 260, №6 , с. 1344-1347.

46. Ремизович B.C., Рогозкин Д.Б., Рязанов М.И. Распространение узкого модулировнного пучка света в рассеивающей среде с учетом флуктуаций длин путей при многократном рассеянии. //Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1982, т. 25, №8 , с. 891 898

47. Ремизович B.C., Рогозкин Д.Б., Рязанов М.И. Распространение импульсного светового сигнала в мутной среде. // Изв. АН СССР , ФАО, 1983, т. 19, № 10, с. 1053 1061

48. Зеге Э.П., Полонский и.н., Чайковская Л.И. Особенности рапростра-нения излучения при наклонном освещении поглощающей, анизотропно-рассеивающей среды. // Изв. АН СССР ,ФАО, 1987, т. 23, № 5, с. 486-492.

49. Remizovich V.S. , Shekhmametyev Sh. A., The propagation of Laser Radiation in a Stratified Turbied Medium in the Case of Obligue Incidence of the Broad Stationary Beam // Laser Physics, 1991, Vol. 1, № 2, p. 172-179.

50. Ремизович B.C., Рогозкин Д.Б., Шехмаметьев Ш. А. Рачет характеристик светового рас-сеяного излучения в самосогласованном диффузионном приближении // Изв. АН СССР, ФАО, 1991, т. 27, № 3, с. 286-296.

51. V.S. Remizovich and Sh.A. Shekhmametyev. Propagation of a Laser Pulse in a Turbid Medium in the Case of Oblique Incidence of the Broad Beam// Laser Physics, 1992, v.2, №3, pp.252-261.

52. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин И.С. Энергетическое и угловое распределение отраженных частиц при падении пучка ионов под малым углом к поверхности вещества// ЖЭТФ, 1980, т.79, в. 2 (8), с. 448- 458

53. Ремизович B.C., Рязанов М.И., Тилинин И.С. Диффузное отражение узкого пучка света от полубесконечной среды с сильной анизотропией рассеяния// Изв. АН СССР ,ФАО, 1981, т. 17, № 8, с. 880-883

54. E.S. Mashkova, V.S. Remizovich, M.I. Ryazanov, V.A. Snisar and I.S. Tilinin. Small-angle Particles Reflection from Random Solids: Theory @ Experiblent// Rad. Effects 1983, V.70, pp. 85-105

55. V.S. Remizovich. Reflection of Laser Radiation from the Absorbing Medium with Large-Scale Scattering Centers in the Case of Grazing Incidence// Laser Physics, 1992 v.2, №1, pp.40-57.

56. Кузовлев А.И., Ремизович B.C. Диффузное отражение света от мутной консервативной среды конечной толщины при скользящем падении пучка на поверхность рассеивателя // Изв. АН СССР, ФАО, 1984, т. 20, № 10, с.929- 938

57. АЛ. Kuzovlev and V.S. Remizovich. Radiation Reflection and Transmission in the Case of Grazing Incidence of a Laser Beam upon a Flat Bounded Medium with Large-Scale Scattering Centers// Laser Physics, 1992, v.2, №3, pp.262-287

58. Кузовлев А.И., Ремизович B.C. Поворот тела яркости при прохождении излучения через плоощй консервативный рассеиватель конечной толщины// Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1990, т. 33, № 9 , с. 1060- 1067

59. Кузовлев А.И. Малоугловое отражение и прохождение излучения при падении пучка на плоскую ограниченную среду с крупномасштабными рассеивающими центрами// Дисс. на соиск. уч. ст. к. ф.-м.н.: Москва, 1987, МИФИ.

60. Малеев С.В., Топерверг Б.П. О малоугловом многократном рассеянии на статистических неоднородностях// ЖЭТФ, 1980, т. 78, №1, с. 315 330.

61. Ремизович В. С. Теория упругого отражения частиц (фотонов) при скользящих углах падения без использования диффузионного приближения//ЖЭТФ, 1984, т. 87, в. 2 (28), с. 506 -522.

62. Ремизович B.C., Рогозкин Д.Б., Шехмаметьев Ш. А. Рачет характеристик светового рас-сеяного излучения в самосогласованном диффузионном приближении.// Изв. АН СССР, ФАО, 1991, т. 27, № 3, с. 286-296.

63. Remizovich V.S. Method of Separation of Fluxes in the Theory of Light Propagation in Disodered Media// Laser Physics, 1995, v.5, №4, pp.751-786.

64. Аспелунд О. Новый метод решения уравнеия Больцмана в транспортном приближении// В кн. : Физика ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1959, с.433 442.

65. Рязанов М.И., Тилинин И.С. Исследование поверхности по обратному рассеянию//М.: Энергоатомиздат, 1985, 152с.

66. Фирсов О.Б. Отражение быстрых ионов от плотной среды под скользящими углами//ДАН СССР, 1966, т. 169, с. 1311-1313.

67. Волковицкий О.А., Павлова А.Н., Петрушин А.С. Оптические свойства кристалличес-ких облаков. //Л.: Гидрометеоиздат, 1984, 199 с.

68. Гринберг М. Межзвездная пыль. // М.: Мир, 1970, 200с.

69. Liuo K.N.Electromagnetic scattering by arbitrary oriented ice cylinders// Appl. Opt., 1972, V. 11, № 3, p. 667-674.

70. Вощинников H.B., Ильин A.E., Ильин В.Б. Расчет кривых межзвездного поглощения, межзвездной линейной и круговой поляризации. // Вести. Ленинград, ун-та. Серия математи-ка, механика, астрономия. 1985, № 15, с. 67-74.1. У/Т

71. Долгинов А.З., Гнедин Ю.Н., Силантьев Н.А. Распространение и поляризация излуче-ния в космической среде. // М.: Наука, 1979, 424 с.

72. M.D. Alexandrov, V.S. Remizovich, D.B. Rogozkin. Multiple Light Scattering in Two-dimen-sional Medium with Large Scatterers. // JOSA, A 10, 1993, p. 2602-2610.

73. D.B.Bolgov, V.S.Remizovich, D.B.Rogozkin. Multiple Scattering of lightin a 2D- medium with large-scale inhomogeneities: an exactly solvable model and approximate methods of calculations // Laser Physics, 1998, v.8, №2, pp.463-472

74. M.D.Alexandrov, V.S.Remizovich Depth mode characteristics of light propogation in real turbid media and media with two-dimensional scattering // J.Opt.Soc.Am.A, 1995, v. 12, №12, pp.2726- 2735

75. S.N.Volkov,V.S.Remizovich Comparative Analys of the Propogation of Light Radiation in 2D and 3D Nedia: II. Transmission of Light Radiation through Strongly Absorbing Media with Large-Scale Scatterers// Laser Physics, 1998, v. 8,.No 6, pp. 1140-1162

76. Мищенко М.И. Перенос поляризованного излучения в среде, состоящей из полностью ориентированных сильно вытянутых частиц // Киев: Кинематика и физика небесных тел//1987, т. 3, № 1, с. 48-55

77. Мищенко М.И. Перенос поляризованного излучения в среде, состоящей из полностью ориентированных сильно вытянутых частиц: Общая теория. "Релеевское"рассеяние// Киев: Кинематика и физика небесных тел// 1987, т. 4, № 1, с. 19-29

78. Mishchenko M.I. Light scattering by randomly oriented axially symmetric particles//J.Opt.Soc.Am.A, 1991, v.8, №6, pp. 871-882

79. Ozrin, Exat solution for coherent backscattering from a semi-infinite random medium of anisotropic scatterers // Phys. Letters A., 1992, v. 162, №4, pp. 341-345

80. Гамбурцев А.Г., К вопросу о цветности моря// ж. русск. физ.-хим. об-ва, 1924, 56, в. 2-3.

81. Козляников В.М., Пелевин В.Н. Об использовании одномерного приближения при исследовании распространения оптического излучения в море// Труды Ин-та Океанологии АН СССР, 1965, т.77, с.73-79

82. Dwyer V.M., Mathew A.D. // Surf, sci.,1984, 143, p.57

83. Borodyansky S. Effect of Elastic Scattering on Energy Spectra of Emitted and Backscattered Electrons// Surfase and Interface Analysis, 1993, v.20, pp. 811814

84. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике// Под ред. Марчука Г.И. --Новосибирск: Наука, 1976, 100с.

85. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов// М.: Атбмиздат, 1981

86. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса// М.: Наука, 1986, 272с.

87. Карлсон Б. Латроп К. Теория переноса, метод дискретных координат// В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов. М.: Атомиздат, 1972, с. 102-157

88. Ремизович B.C. Метод разделенных потоков в теории переноса излучения в неупорядоченных средах// препринт МИФИ 002-90. М. 1990.

89. Радкевич А.В., Ремизович B.C. Применение метода разделенных потоков для аналитических расчетов угловых и энергетических спектров ионов в аморфных телах // Изв. А.Н.,серия физическая, 1996, т.60, №4, стр. 195-203

90. Remizovich V.S. and A.V. Radkevich Application of the Method of Separation of Fluxes to the Reflection of Light: Calculation of the Partial Reflection Function// Laser Physics, 1996, v.6, №6, pp. 1180-1 187.

91. Remizovich V.S. and A.V. Radkevich Application of the Method of the Separation of Fluxes to the Reflection of Light: Calculation of the Partial Reflection Function for a Linear Scattering Phase Function// Laser Physics, 1997,v.7, №4, pp.952-966.

92. RemizovichV.S. and A.V. Radkevich Analytical Calculation of the Lambertian Part of the Spectrum of Optical Radiation Reflected from a SemiInfinite Disorded Medium// Laser Physics, 1998, v.8, №5, pp 974-984.

93. Тилини И.С. Аналитическая теория вторичной эмиссии электронов и атомных частиц из неупорядоченных твердых тел под действием ионизирующих излучений//Дисс. насоиск. уч.стп. д. ф-м.н. М.: МИФИ. 1993, 322с

94. Ремизович B.C. Проблема линейной теории отражения излучения от поверхности полубесконечного рассеивателя и её связь с задачей о распространении излучения в бесконечной гомоген ной среде// Поверхность. Фи-зика,химия,механика, 1987, т.1, с.5-12

95. Remizovich V.S. and Tishin I.V., Application of the Method of Separated Fluxes and the Ambartsumyan Invariance Principle in Aldedo Problems of the Linear Theory of Radiation Transfer in Disorded Media // Laser Physics, 1997, v.7, Nq4, pp. 1014-1020

96. Амбарцумян В. А. О рассеянии света атмосферами планет // Астрон. журн., 1942, т. 19, Nq 5, с. 30-41

97. Амбарцумян В. А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // Докл. АН СССР, 1943, т. 38, № 8, с.257-260.

98. Амбарцумян В. А. К задаче о диффузном отражении света // ЖЭТФ, 1943, т.13, в. 9/10, с. 721-732.

99. Голубицкий Б.М., Левин И.М. Пропускание и отражение слоя среды с сильно анизотропным рассеянием // Изв. АН СССР, ФАО, 1980, т. 16,10, с. 798-801.

100. Gordon Н. R., Brown О.В., Irradiance reflectivity of a flat as a function of its optical properties// Appl. Opt., 1973, v. 12, №7, pp. 1549-1551.

101. Gordon H. R. Simple calculation of the diffuse reflectance of the ocean// Appl. Opt., 1973, v. 12, № 12, pp. 2803-2804.

102. Gordon H. R., Brown O.B., Jacobs M. M., Computed relationship between the inherent and apparent optical properties of a flat homogeneoces ocean// Appl. Opt., 1975, v. 14, №2, pp. 417-427.

103. Ремизович B.C., Тишин И.В. Использование принципа инвариантности Амбарцумяна в проблеме отражения легких ионов// Изв. А.Н.,серия физическая, 1998, т.62, №4, с.770-777.

104. Remizovich V.S. and A.V. Radkevich A.V., Analysis of the Structure of Light Fields in Disodered Media with a Model Bidirectional Scattering Phase Functions Using the Method of Separation of Fluxes // Laser Physics, 1996, v.6, №1, pp. 1-9.

105. Remizovich V.S., Radkevich A.V. and Tishin I.V., Application of the Method of Angular Green's Functions and the Invariance Principle in the Linear Theory of Reflection of Optical Radiation // Laser Physics, 1998, v.8, №5,pp. 985-1003.

106. Lightman A.P. and Rybicki .1980, Astrophys.J., 236, pp. 928

107. Remizovich V.S. and Radkevich A.V., Calculation of Light Fields Using the Modified 2Po Approximation in the Framework of the Method of Separation of Fluxes // Laser Physics, 1996, v.6, №4 pp. 679-694.

108. Минин И.Н. Теория нестационарного излучения. в кн.: Теоретические и прикладные проблемы рассеяния света // Мн.: Наука и техника, 1971,с. 59-73

109. Бейтмен Г., Эрдейи А., Таблицы интегральных преобразований т. 1 ( пер. с англ.) // М.: Наука, 1969, 343с.

110. Gradstein I.S. and Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Sums, Series and Products // Moscow: Fizmatgiz (in Russia).

111. Романова Л. M.,Нестационарное световое поле в глубине мутной Среды, освещаемой узким пучком // Изв. АН СССР. ФАОЮ, 1969. т.5,5, с. 461

112. Remizovich V.S., Marinyuk V.V. and Tishin I.V., Reflection of Light from a Plane-Parallel Medium with a Two-Directional Scattering Phase Function in the Presence of a Reflecting Lower Boundary // Laser Physics, 1998,v.8, №4, pp.868-879.

113. Фирсов О.Б. // ЖЭТФ, 1958 , т.34, с. 447-452

114. Фирсов О.Б., Отражение частиц, падающих на поверхность тела под скользящими углами, когда потенциалл взаимодействия их с атомами тела обратно пропорционален квадрату расстояния // ЖТФ, 1970, т.40, с. 83-89

115. Курнаев В.А., Машкова Е.С., Молчанов В.А., Отражение легких ионов от поверхности твердого тела // М.: Энергоатомиздат, 1985 , 192с.

116. ФлюггеЗ., Задачи по квантовой механике// М.: Мир, 1974, т.т. 1,2

117. Галицкий В.М., Капнаков Б.М., Коган В.И., Задачи по квантовой механике// М.: Наука, 1981, 648 с.

118. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. // М.: Наука, Глав. ред. физико-матем. литературы, 1986, 800 е.

119. Abramowiitz М. and Stegun I., Eds. . Handbook of Mathematical Functions. // Nat. Bur. Stand. Appl. Math. Ser. 55.,1965,( Washigton, D.C. : U.S. GPO).

120. Box,M.A. and Deepak, A., 1981, J. Opt. Soc.Am., 71, 1534

121. Ермаков Б.В., Ильинский Ю.А., О распространении световых импульсов в рассеивающей среде// Изв. вузов. Радиофизика, 1969, т. 12, № 5, стр. 327.

122. Remizovich V.S., Application of the Eigen Functions Method and Ambartsumyan Invariants Principle to the Problem of Small-Angle Light Reflection from Media with Large-Scale Scattering Centers // 1995, Laser Physics, v.5, №1, pp.97-117.

123. Pontecorvo В., Remizovich V.S., and Tishin I.V., Reflection of a non-stationary beam of light from an absorbing medium in the case of grazing incidence// J.Opt.Soc.Am. A 1995, v. 12, №8, pp. 1730-1739.