Численная аппроксимация поля в задаче взаимодействия дипольных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Вяткин, Александр Владимирович

• Вяткин, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вяткин, Александр Владимирович

Введение

1 Обзор

1.1 Исторический обзор.

1.2 Модель дипольной частицы и упрощения.

1.2.1 Диполь и поле диполя.

1.2.2 Однодоменная частица и её поле.

1.2.3 Модель движения частиц.

1.2.4 Примеры объектов моделирования.

1.3 Численные методы интегрирования.

2 Математическая модель

2.1 Постановка задачи.

2.2 Поле частиц и уравнения движения.

2.2.1 Поле дипольных частиц.

2.2.2 Энергия.

2.2.3 Уравнения поступательного движения.

2.2.4 Уравнения вращательного движения.

2.2.5 Уравнения движения частиц с вращением.

2.2.6 Уравнения движения частиц в самосогласованном поле

2.3 Начальные данные.

2.3.1 Электрическая дипольная частица.

2.3.2 Магнитная дипольная частица.

2.4 Обезразмеривание.

2.4.1 Задача взаимодействия электрических частиц

2.4.2 Задача магнитного взаимодействия

3 Вычислительные методы

3.1 Метод ячеек.

3.2 Метод приближенного вычисления поля.

3.3 Методы быстрого вычисления

4 Численные методы интегрирования

4.1 Основные определения.

4.2 Схема второго порядка точности.

4.3 Схема четвертого порядка точности.

4.4 Схема восьмого порядка точности.

4.5 Реализация и использование методов

5 Комплекс программ

5.1 Структура комплекса.

5.1.1 Описание модулей.

5.1.2 Алгоритм моделирования.

6 Результаты и обсуждение

6.1 Диполи в плоскости.

6.2 Диполи на поверхности.

6.3 Аппроксимация поля многих диполей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численная аппроксимация поля в задаче взаимодействия дипольных частиц»

Актуальность исследований. Задачи моделирования поведения частиц, обладающих электрическим или магнитным дипольным моментом, возникают в разных разделах науки и технологии в последнее время все чаще. Это вызвано несколькими причинами. Одна из них связана с тем, что многие, даже простые несимметричные двухатомные молекулы за счет ионного смещения обладают электрическим дипольным моментом. Важнейшей из таких молекул является трехатомная молекула воды Н2О. Изучение многих эффектов в ряде случаев неминуемо натыкается на проявление взаимодействующих дипольных частиц. Причем круг таких задач с алгоритмической точки зрения довольно разнообразен. Например, в задачах для кристаллических структур у диполей можно пренебречь перемещениями, но необходимо учитывать вращательные степени свободы. В разреженной среде с крупными дипольными частицами перемещения играют не менее важную роль, чем вращения. Аналитических решений у подобных задач найдено немного. Это приводит к актуальной задаче создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования поведения частиц, обладающих электрическими или дипольными моментами, в результате их взаимодействия с учетом внешнего поля. Трудности создания таких алгоритмов и программ связаны с реализацией трехмерных нестационарных задач, а также с огромным числом участвующих частиц.

Объектами исследования являются частицы, обладающие магнитным или электрическим дипольным моментом, а также математические модели их взаимодействия между собой и с внешним полем. Математическая модель частицы представляет собой абсолютно твердое тело с заданной массой и вращательными моментами инерции. Направление дипольно-го момента в частице жестко закреплено. В каждой из рассматриваемых задач участвуют либо только электрические диполи, либо только магнитные. Не рассматриваются задачи, в которых одновременно участвуют оба типа диполей.

Цель диссертационной работы — моделирование взаимодействия большого числа (102 — 105) электрических или магнитных дипольных частиц между собой и с внешним полем. Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи: описание физико-математической модели дипольной частицы; формулирование физических законов в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие таких частиц между собой и с внешним полем; выполнение обезразмеривания и оценка пределов изменения участвующих переменных величин; описание метода приближенного вычисления электрического или магнитного поля совокупности частиц и оценка точности такого приближения; разработка экономичного алгоритма приближенного вычисления сил, действующих на частицы; описание явных методов типа Рунге-Кутты с контролем точности и устойчивости; тестирование явных методов типа Рунге-Кутты на предмет применимости в задаче интегрирования уравнений движения частиц; создание программного комплекса моделирования взаимодействия ди-польных частиц с разными начальными условиями и ограничениями; тестирование программного комплекса и проведение вычислительных экспериментов.

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель взаимодействия частиц, обладающих диполь-ными моментами, и метод приближенного вычисления создаваемого ими векторного поля; оценка относительной погрешности такого приближения для ряда случаев.

2. Метод приближенного вычисления сил взаимодействия между диполями, реализованный с помощью экономичных процедур многократного применения быстрого преобразования Фурье.

Научная новизна работы состоит в том, что для используемого метода аппроксимации поля дипольных частиц для ряда случаев впервые представлена оценка относительной погрешности аппроксимации. Кроме того, в соответствии с используемым методом аппроксимации поля ди-польных частиц впервые предложен алгоритм приближенного вычисления сил, действующих на частицы, основанный на применении быстрого преобразования Фурье. Этот алгоритм позволяет снизить число арифметических операций при вычислении сил, действующих на частицы.

Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых и экспериментально проверенных подходов к математическому моделированию поля дипольных частиц и их взаимодействию между собой и с внешним полем; проверкой и обоснованием точности использованных численных методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; например, результат моделирования действия слабого внешнего поля на тонкий бесконечный плоский слой равномерно расположенных дипольных частиц соответствует экспериментальным данным; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для ряда тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость Разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать состояния больших (102 — 105 частиц) коллективов дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях. Вместе с тем, разработан метод аппроксимации поля дипольных частиц, позволяющий существенно уменьшать затраты на вычисление напряженности поля по всему объему, что может быть эффективно использовано в подобных вычислительных задачах большой размерности. На основании этого метода реализован программный комплекс для решения задач моделирования поведения дипольных частиц, обладающих возможностью перемещения и вращения или только вращения при различных начальных условиях. Получены численные результаты, которые могут быть использованы для сравнения с другими подходами.

По теме диссертации опубликовано 8 статей, из них 4 работы - в журналах, рекомендуемых ВАК для защиты кандидатских диссертаций.

1. Вяткин A.B., Киреев И.В. Параллельная численная схема решения краевой задачи для одномерного эллиптического уравнения // Вестник Красноярского государственного университета. Сер. "Физико-математические науки". - 2006. - №1. - С. 119-124.

2. Вяткин A.B. Исследование поведения явных методов типа Рунге-Кутты в точке особенности задачи двух тел // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 3(33). - С. 7-10.

3. Вяткин A.B. Тестирование явных численных методов типа Рунге-Кутты в точке особенности задачи двух тел // Вестник КрасГАУ. - 2008. - № 5(26). - С. 50-55.

4. Вяткин A.B., Шайдуров В.В., Щепановская Г.И. Численное сферически-симметричное моделирование глубинной геодинамики // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009 - T.XII, №1(37) -С. 40-48.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

8 конференциях всесибирского, всероссийского и международного уровней. В целом диссертация была доложена на совместном семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры информационно-вычислительных технологий Института математики Сибирского федерального университета.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 132 страницы. Список литературы включает 104 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Вяткин, Александр Владимирович

Заключение

В рамках работы создан программный комплекс для моделирования взаимодействия большого числа (102 — 105) электрических или магнитных дипольных частиц между собой и с внешним полем. Вместе с тем, описана физико-математической модель дипольной частицы и сформулированы физические законы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие взаимодействие дипольных частиц между собой и с внешним полем; представлен метод приближенного вычисления векторного поля совокупности частиц, позволяющий существенно уменьшать вычислительные затраты на вычисление напряженности поля по всему объему; впервые для ряда случаев представлена оценка относительной погрешности такого приближения. предложен оригинальный алгоритм приближенного вычисления сил, действующих на частицы, основанный на многократном использовании быстрого преобразования Фурье; этот алгоритм позволяет снизить число арифметических операций и может быть эффективно использован в вычислительных задачах большой размерности; описаны явные методы типа Рунге-Кутты с контролем точности и устойчивости второго, четвертого и восьмого порядков точности; проведено сравнение полученных результатов с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; получены численные результаты, которые могут быть использованы для сравнения с другими подходами.

Таким образом, разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать состояния больших коллективов дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях. Этот инструмент может явиться предварительным и вспомогательным средством исследования влияния дипольных свойств частиц или молекул на свойства составляемого ими вещества или среды.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вяткин, Александр Владимирович, 2010 год

1. Агошков, В.И. Методы решения задач математической физики:

2. Учеб. пособие. / В.И. Агошков, П.Б. Дубовский, В.П. Шутяев, Г.И.Марчук М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

3. Алешкевич, В.А. Механика сплошных сред. Лекции. / В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев М.: Изд-во физ. фак. МГУ, 1998. -92 с.

4. Акулов, Н.С. Ферромагнетизм / Н.С. Акулов М.: Гостехиздат, 1939.

5. Артемьев, С.С. Алгоритм переменного порядка и шага для численногорешения жестких задач систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / С.С. Артемьев, Г.В. Демидов ДАН СССР, 1978 -Т.238 - с. 214 - 220.

6. Арушанян, О.Б. О тестировании программ решения обыкновенныхдифференциальных уравнений / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин, А.Ю. Захаров, H.H. Калиткин М.: Препр. ИПМ АН СССР № 139, 1983.

7. Архангельский, М.М. Курс физики. Механика / М.М. Архангельский.- 2-е изд., исправ. и доп. М.: Просвещение, 1965. - 448 с.

8. Афремов, Л.Л. Остаточная намагниченность ультрадисперсных магнетиков / Л.Л. Афремов, A.B. Панов. Владивосток.: Изд-во Даль-невост. ун-та, 2004. - 192 с.

9. Бабичев, А.П. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев,

10. H.A. Бабушкина, A.M. Братковский и др. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

11. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задачматематической физики / под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979.- 295 с.

12. Барьяхтар, В.Г. Магнетизм. Что это? / В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов -Киев: Наукова думка, 1981.

13. Барьяхтар, В.Г. В мире магнитных доменов / В.Г. Барьяхтар, Б.А.

14. Иванов Киев: Наукова думка, 1986.

15. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1975.

16. Белов, К.П. Упругие, тепловые и электрические явления в ферромагнетиках / К.П. Белов — М.: Ростехиздат, 1957.

17. Белов, К.П. Магнитные превращения / К.П. Белов М.: Физматгиз,1959.

18. Белов, К.П. Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики. / К.П.

19. Белов, Белянчикова М.А., Левитин Р.З., Никитин С.А. М.: Физматгиз, 1965.

20. Белоцерковский, О.М. Статистический метод "частиц-в-ячейках,,длярешения задач динамики разреженного-газа. T.I. Основы построен ния метода / О.М. Белоцерковский; В.Е. Янинский // Журн. выч. мат. и матем. физ. 1975. - Т.15 - № 5. - С. 1195-1208.

21. Белоцерковский, О.М. Методы крупных частиц в газовой динамике /

22. О.М. Белоцерковский. М.: Наука, 1982. - 392 с.

23. Березкин, E.H. Курс теоретической механики / E.H. Березкин. 2-еизд., исправ. и доп. М.: Изд. Московского, ун-та, 1974. - 646-с.

24. Бобков, В.В. Новые явные А-устойчивые методы численного решениядифференциальных уравнений / В.В. Бобков. // Дифференц. уравнения 1978. - № 12 - С. 2249-2252.

25. Бобков, В.В. Начала теории вычислительных методов / В.В. Бобков, В.И. Крылов, П.И*. Монастырский // Дифференц. уравнения -Минск: Наука и техника, 1982.

26. Боднарчук, П.И. Одношаговые итерационные численные методы дляисследования жестких задач / П.И. Боднарчук // Численное решения ОДЕ М.: ИПМ АН СССР, 1988 - С. 111-123.

27. Бозорт, Р. Ферромагнетизм / Р. Бозорт М.: Изд-во иностр. литер.,1965.

28. Бор, Н. О строении атомов и молекул / Н. Бор // Избранные труды1. М.: Наука, 1970.

29. Боровик, Е.С. Лекции по магнетизму / Е.С. Боровик, В.В. Еременко,

30. A.C. Мильнер. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -512 с.

31. Боровик-Романов, A.C. Антиферромагнетизм. Итоги науки. / A.C.

32. Боровик-Романов М.: Изд-во АН СССР, 1962.

33. Боровик-Романов, A.C. Лекции по низкотемпературному магнетизму. Магнитная симметрия антиферромагнетиков / A.C. Боровик-Романов Новосибирск: Изд. Новосибирского ун-та, 1976.

34. Боровков, A.A. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез / A.A. Боровков. М.: Наука, 1984. - 472 с.

35. Боровков, A.A. Теория вероятностей: Учеб. пособие для вузов. / A.A.

36. Боровков. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1986. - 432 с.

37. Браун, У.Ф. Микромагнетизм / У.Ф. Браун М.: Наука, 1979.

38. Брук, Э.Т. "Еж"в стакане. Магнитные материалы / Э.Т. Брук, В.Б.

39. Фертман Минск: Вышэйшая школа, 1983.

40. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М.:1. Мир, 1973. 757 с.

41. Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

42. Нежесткие задачи. / Г. Ваннер, С. Нерсетт, Э. Хайрер М.: Мир, 1990.

43. Вейн, X. Ферриты / X. Вейн, Я. Смит М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

44. Вервер, Я. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. / Я. Вервер, К. Деккер М.: Мир, 1988.

45. Воеводин, В.В. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами

46. В.В. Воеводин, Е.Е. Тыртышников М.: Наука, 1978.

47. Волощук, В.М. Процессы коагуляции в дисперсных системах / В.М.

48. Волощук. JL: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

49. Вольфарт, Э. Магнито-твердые материалы. Постоянные • магниты.

50. Справочник. / Э. Вольфарт М.: Госэнергоиздат, 1963:

51. Магнитная структура ферромагнетиков. Сборник / под ред: C.B. Вонсовского. М.: Из-во иностр. лит., 1959.

52. Вонсовский, C.B. Магнетизм / C.B. Вонсовский. М.: Из-во Физ.-мат.лит., 1971. 1032 с.

53. Динамические и кинетические свойства магнетиков / под ред. C.B.

54. Вонсовского, Е.А. Турова- М.: Наука, 1986.

55. Гардин, A.B. Постоянные магниты / A.B. Гардин, А.Г. Сливинский1. М.: Энергия, 1965.

56. Годунов, C.K. Разностные схемы (введение в теорию) / С.К. Годунов,

57. C.B. Рябенький. М.: Наука, 1973. - 400 с.

58. Дорфман, Я.Г. Магнитные свойства атомного ядра / Я.Г. Дорфман —1. M.-JL: Гостехиздат, 1948.

59. Дорфман, Я.Г. Магнитные свойства и строение вещества / Я.Г. Дорфман М.: Гостехиздат, 1955.

60. Демидов, Г.В. Экономичный алгоритм интегрирования нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений /Г.В. Демидов, Б.А. Новиков // Числ. методы мат. физики Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. - С. 69-83.

61. Демидов, Г.В. Оценка ошибки одношаговых методов интегрированияобыкновенных дифференциальных уравнений / Г.В. Демидов, Е.А. Новиков // Числ. методы механики сплош. среды Новосибирск, 1985. - Т. 16, № 1. - С. 27-39.

62. Еременко, В.В. Магнитооптика и спектроскопия антиферромагнетиков

63. В.В. Еременко, Ю.Г. Литвиненко, В.М. Науменко, Н.Ф. Харченко- Киев: Наукова думка, 1989.

64. Захаров А.Ю. Некоторые результаты сравнений эффективности методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Препринт № 125. / А.Ю. Захаров. М.: Изд. ИПМ АН СССР, 1979.- 25 с.

65. Захаров А.Ю. О программах, комплексах и пакетах программ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Ю. Захаров, H.A. Кальянова, В.О. Капуста, Т.П. Шульмина М.: Препр. ИПМ АН СССР, № 160, 1979.

66. Зиненко, В.И. Основы физики твердого тела / В.И. Зиненко, Б.П. Сорокин, П.П. Тургин. М.: Из-во Физ.-мат. лит., 2001. - 336 с.

67. Ильин, В.А. Математический анализ / В.А. Ильин, В.А. Садовничий,

68. Бл.Х. Сендов. М.: Наука, 1979. - 720 с.

69. Иствуд, Дж. Численное моделирование методом частиц / Дж. Иствуд,

70. Р. Хокни. М.: Мир, 1987. - 638 с.

71. Карасик, В.Р. Физика и техника сильных магнитных полей / В.Р. Карасик М.: Наука, 1964.

72. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учеб. пособие /

73. В.Г. Карманов. 5-е изд., стереотип. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -264 с.

74. Кац, M. Несколько вероятностных задач физики и математики / М.

75. Кац. М.: Наука, 1967 - 176 с.

76. Кейт Г. Использование Visual С++ 5. Специальное издание.: Пер с анг.

77. Г. Кейт. К.: Диалектика, 1997 - 816 с.

78. Кибель, И.А. Теоретическая гидромеханика. 4.1 / И.А. Кибель, Н.Е.

79. Кочин, Н.В. Розе М: ФМ, 1963. - 583 с.

80. Кибель, И.А. Теоретическая гидромеханика. 4.2 / И.А. Кибель, Н.Е.

81. Кочин, Н.В. Розе М: ФМ, 1963. - 727 с.

82. Киржниц Д.А. Лекции по физике / Д.А. Киржниц. М.: Наука, 2006.- 244 с.

83. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Киттель Ч. 791 с.

84. Кифер, И.И. Испытания ферромагнитный материалов / И.И. Кифер- М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962.

85. Коган, М.Н. Введение в динамику разреженного газа. / М.Н. Коган1. М: Наука, 1967. 440 с.

86. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин М: Наука, 1976. - 543 с.

87. Копферман, Г. Ядерные моменты / Г. Копферман М.: Изд-во иностр.лит., 1969.

88. Куреленко, О.Д. Краткий справочник по химии / под ред. член-корр.

89. АН СССР О.Д. Куриленко. 4-е изд., исправл. и доп. - Киев: Нау-кова думка, 1974. - 992 с.

90. Лабутин, A.A. Краткие сведения о международной системе единиц измерений (СИ) / A.A. Лабутин. Киев: Вища школа, 1975. - 88 с.

91. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Кн.1: Механика. Электродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1969. - 272 с.

92. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Т.1: Механика / Л.Д. Ландау,

93. Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1973. - 208 с.

94. Лебедев, В.И. Явные разностные схемы с переменным шагами по времени для решения жестких систем уравнений / В.И. Лебедев М.: Препр. ОВМ АН СССР, № 177, 1987.

95. Лисовский, Ф.В. Физика цилиндрических магнитных доменов / Ф.В.

96. Лисовский М.: Сов. Радио, 1979.

97. Лейтон, Р.' Фейнмановские лекции по физике: Т.5 Электричество имагнетизм / Р. Лейтон, М. Сэндс, Р. Фейнман. 2-е изд. - М.: МИР, 1977. - 304 с.

98. Марчук, Г.И. Повышение точности решений разностных схем / Г.И.

99. Марчук, В.В. Шайдуров М.: Наука, 1979:

100. Маттис, Д. Теория магнетизма / Д. Маттис М.: Мир, 1967.

101. Меськин, B.C. Ферромагнитные сплавы /B.C. Меськин ОНТИ, 1937.

102. Михайлов, А.П. Математическое моделирование: Идеи: Методы. Примеры/ А.П. Михайлов, A.A. Самарский. 2-е изд., испр: - М.: Физ-матлит, 2001. - 320 с.

103. Новиков В.А. Контроль устойчивости явных однощаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений' / В.А. . Новиков, Е.А. Новиков // ДАН СССР 1984. - Т.277 - № 5. - С. 1958-1062:

104. Новиков. В.А. Повышение эффективности алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчивости / В.А. Новиков, Е.А. Новиков // ЖВМ и МФ, 1985 -Т. 25, № 7. -- С. 1023-1030.

105. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. / Е.А. Новиков.

106. Н.: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997- 195 с.79.? Поляхов, H.H. Теоретическая механика / Н.Н; Поляхов^- С.А. Зёгжда) •

107. M.II. Юшков; под ред. проф. H.H. Поляхова. Л.: Изд-во Ленигр. ун-та, 1985. - 536 с.

108. Преображенский, A.A. Магнитные материалы, / A.A. Преображенский- М.: Изд-во высшая школа, 1965.81. .Ракитский, Е.В. Численные методы решения жестких систем / Е.М:

109. Ракитский, С.М.,Устинов, И.Г. Черноруцкий М.: Наука, 1979:.,

110. Радо, Д. Ферромагнитный резонанс. Сборник /. Д. Радо, Р. Рапт, В.

111. Эмерсон М.: Изд-во иностр. лит. , 1952:

112. Раев, В.К. Цилиндрические магнитные домены в элементах вычислительной техники / Р.В. Раев, Г.Е. Ходенков— М.: Энергоиздат,, 1981.

113. Самарский, A.A. Введение в теорию разностных схем / A.A. Самарский М.: Наука, 1971.

114. Сато, X. Ферриты / X. Сато, Ю. Ситидзе М.: Мир, 1964.

115. Селвуд, П. Магнетохимия / П. Селвуд М.: Изд-во иностр. лит.у1958.

116. Слоневскии, Р.В. -Новые дробно-рациональные: численные методы решения жестких систем / Р.В. Слоневский // Численное решения: ОДЕ. М.: ИПМ АН СССР, 1988. - С. 124-138.

117. Смайт, В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт. М.: Изд.иностранной лит., 1954. 606 с.

118. Тиморева A.B. Курс общей физики: Т.2 Электрические и электромагнитные. явления / A.B. Тиморева, С.Э., Фриш. 9-е изд., исправ. и доп. - М.: Из-во Физ.-мат. лит., 1962: - 516 с.90.' Туров Е. В. Физические свойства магнетоупорядоченных кристаллов > /

119. Е.В. Туров М.: Изд-во АН СССР, 1969:

120. Ферриты /' Под ред. Такэси Такэ М.: Металлургия, 1964.

121. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений! / под ред: Дж. Уатта: и Дж., Холла М.: Мир;

122. Фарадей, М. Избранные работы- по электричеству / М. Фарадей.

123. Перевод под ред: З.А. Цейтлина. М.: Гос. объед. научн.-техн. из-во, 1939. - 306 с.

124. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: Т.1 / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Лань, 2001. - 448 с.

125. Харлоу, Ф.Х. Численный метод "частиц в; ячейках "для задач гидродинамики/ Ф.Х. Харлоу. под ред. С.С. Григоряна, Ю.Д. Шмыглев-ского. - М.: Мир, 1967. - 383 с.

126. Чернавский, П.А. Новое; в магнитных методах исследования металлнанесенных катализаторов / П.А. Чернавский // Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва. им Д.И. Менделеева). 2002. - Т. XLVI. - № 3. -С. 19-30. .

127. Ширапов Д.Ш. Численные методы линейной- алгебры: Учеб; пособие: \ / Д.Ш. Ширанов Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2003. - 96 с.

128. Штетер X. Анализ: метода дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. / X. Штетер-М.: Мир, 1978.

129. Яковлев, В;И. Классическая электродинамика: 4.1 Электричество имагнетизм.: Учеб: пособие / В:И. Яковлев. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2003. - 267 с.

130. Bettis, D.G. Runge-Kutta algorithms for oscillatory problems / D.G.

131. Bettis // Z. Angew. Math. Phys. 1979: - № 30: - P. 699-704.

132. Dormand, J.R. High order embedded Runge-Kutta formulae / J.R.

133. Dormand, P.J. Prince // J. Comp. Appl. Math. 1981. - 7. - P. 67-75.

134. England, R. Error estimates for Runge-Kutta type solution to system of

135. ODE's / R. England // Comput. J., 1969. №12 - P. 166-169.

136. Enright, W.H. Comparing numerical methods for the solutions of systemsof ODE's / W.H. Enright, T.E. Hull // BIT. 1975. - № 15. - P. 10-48.

137. Shampine, L.M. Implementation of Rosenbrock methods / L.M. Shampine

138. ACM Transaction on Mathematical Software. 1982. - V.8 - № 5. - P.93-113.