Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шишкова, Елена Владимировна

• Шишкова, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шишкова, Елена Владимировна

Введение

1 Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами

1.1 Операторы с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций вместе с производными

1.2 Решение задачи Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах.

1.3 Построение расширенных операторов.

2 Применение интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами в теории некорректно поставленных задач

2.1 Задача восстановления функции вместе с производными

2.2 Обратная задача для линейного дифференциального уравнения п—го порядка.

2.3 Регуляризация уравнения Абеля в пространстве С1 [0,1]

2.4 Регуляризация одного класса уравнений Вольтерра I рода в пространстве Сч[0,1].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах»

Диссертационная работа посвящена исследованию одного семейства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами, построению на базе этих операторов методов решения некорректно поставленных задач и нахождению оценок погрешностей полученных решений.

В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия (условия корректности по Адамару), которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию.

Определение 0.0.1. Математическая задача называется корректно поставленной (корректной) , если её решение 1) существует, 2) единственно и 3) непрерывно зависит от начальных данных.

Последнее требование, естественно, предполагает, что исходные данные задачи и ее решение являются элементами некоторых метрических пространств. В то время, как первое и второе требования корректности характеризуют математическую определенность задачи, третье требование обусловлено тем, что в реальных задачах математической физики исходные данные получаются в результате измерений и поэтому всегда бывают заданы приближенно.

Поскольку при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности исходных данных могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении, было высказано мнение, нашедшее широкое применение в литературе (см., например,[1], [36]), что задачи, не удовлетворяющие условиям 1) - 3) и называемые некорректно поставленными задачами, практически не интересны, физически бессодержательны и в принципе не могут быть решены. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений ( см.[26], [44], [21]) в геофизике, гидродинамике, гидромеханике, астрономии, спектроскопии. Методам решения некорректных задач посвящены основополагающие работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [43], [26], [27], [19], [21]), а также исследования В.Я. Арсенина, В.А. Морозова и многих других авторов (см. обзор [34], [45]).

В дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori.

Изложим базовые определения, результаты и методы теории некорректно поставленных задач, используемые в диссертационной работе.

Приведем общую постановку задачи приближенного решения уравнения первого рода.

Пусть Xi, X<i - банаховы пространства. Рассмотрим уравнение

Au = f, (0.1) где А - линейный ограниченный оператор, действующий из Х\ в Х2, и такой, что А~1 существует, но неограничен.

Обозначим через и - точное решение, через / - точную правую часть уравнения (0.1). Пусть правая часть / задана ее ¿-приближениями fs в метрике пространства Х2'. \\fs — /||х2 ^ Требуется построить по fs последовательность элементов us такую, что — u\\Xi —» 0 при £ —> 0.

К такой задаче сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи.

Определение 0.0.2. Методы решения уравнений I рода называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов:

1) построения семейства линейных операторов Яа, зависящих от параметра а, действующих из пространства X2 в пространство Х\ и обладающих свойствами: а) каждый из операторов Яа определен на всем пространстве Х2, б) Ц-КаЦхз-^Хх < 00 ПРИ каждом значении а, в) для любого и £ X1

RaAu - и\\Х1 ->>0 при а 0; (0.2)

2) согласования параметра а с погрешностью <5 (а = ск(<5)) такого, что

5 0 при <5-+0. (0.3)

Определение 0.0.3. Семейство линейных операторов Иа (о; - положительный параметр), удовлетворяющее условиям а), б), в), называется регу-ляризирующим семейством для уравнения (0.1); параметр а называется параметром регуляризации; оператор при фиксированном значении а называется регуляризирующим оператором.

Определение 0.0.4. Если соотношение (0.2) выполняется не на всем пространстве Х\, а для и € М С Хь где М - некоторый класс элементов из Х\, то семейство Яа называется регуляризирующим на классе М.

Определение 0.0.5. Если стремление к пределу в (0.2) равномерно относительно и £ М, то семейство называется регуляризирующим равномерно на классе М; сам класс М называется классом равномерной регуляризации.

Существование регуляризирующего семейства является условием, достаточным для разрешимости задачи приближенного решения уравнения (0.1). Действительно, из оценки

Rafs - '"Их! ^ & Н^аИхг-ьГ! + IIПаАи - и\\Х1, (0.4) следует, что параметр а можно так согласовать с погрешностью исходных данных £ (а = а:(<$)), что будет выполняться (0.3), а отсюда следует стремление к нулю правой части (0.4) при а = а(5) <5 —0.

Таким образом, метод регуляризации (или метод Яа(5)) ~ это метод приближенного решения уравнения (0.1) с помощью регуляризирующего семейства Яа при согласовании а = а(5), обеспечивающем предельные соотношения (0.3). Условия же (0.2) и (0.3) являются достаточными для сходимости приближенного решения Яа(5)1б к точному.

На данный момент теория некорректно поставленных задач сильно развита, и существует довольно много методов регуляризации в гильбертовых пространствах, но в банаховых пространствах их достаточно ограниченное количество. Поэтому актуальным является построение новых методов регуляризации именно для банаховых пространств.

Г.В. Хромовой был предложен общий метод построения семейства регуляризирующих операторов для уравнения (0.1) в банаховых пространствах в случае, когда известен вид обратного оператора.

Этот метод заключается в следующем [58]:

Пусть для уравнения (0.1) известен обратный оператор А~1 и имеется семейство операторов Та такое, что ||Таи — и\\Х1 0 при а —> 0, тогда семейство операторов Яа = ТаА~1 будет регуляризирующим для исходного уравнения в случае, если Яа является ограниченным оператором, действующим из Хч в Х\.

Другой актуальной задачей в теории уравнений I рода является задача получения оценок погрешностей приближенных решений, при исследовании которой рассматриваются величины:

А(5, Да, «) = вир {\\Rafs - и\\Х1 1 II/* ~ /Их2 ^ 5) ' характеризующая погрешность приближения решения уравнения (0.1) при неточном задании правой части; а если и принадлежит некоторому классу

М С Х1} то

A{6,Ra,M) = sup{\\Rafs-u\\Xi: «еМ, \\f5 - /||Хг < 5} , характеризующая погрешность приближения решения уравнения (0.1) на классе М при неточном задании правой части, и

Ai{RaA, М) = sup {\\RaAu - tt||Xi : и € M} , характеризующая скорость аппроксимации функции и(х) функциями Raf на классе М.

Определение 0.0.6. Будем называть величину Д(<5, Ra(s), и) погрешностью метода Ra($) 6 точке; величину А(5, Ra^, М) - погрешностью метода Ra(s) на классе равномерной регуляризации М С Х\.

Определение 0.0.7. Метод будем называть оптимальным по порядку и обозначать R°-p\ если существует константа к, не зависящая от S, такая, что при 0 ^ 6 < ¿о

A (S, Rop\ inf {A (¿, R,M) : Rep}, где р - множество всех операторов из Хч в Х\.

Наиболее законченными в теории оценок погрешностей приближенных решений в методах регуляризации являются результаты, полученные для компактных классов М, которые задаются с помощью вполне непрерывного оператора В Е (Х$ —> Х{), где - некоторое дополнительное пространство, и шара в этом пространстве:

М={иеХ 1 : и = Bv, \\у\\Хя ^ R} .

Для этих классов были получены (см. [21]) оценки для величины А(<5, RaiM) сверху и снизу через модуль непрерывности обратного оператора и сделан вывод об оптимальности по порядку, в частности, метода регуляризации Тихонова [43] при а = С52. к 8

Этот метод [43] является одним из наиболее известных методов регуляризации. В нем рассмотрен случай, когда А - интегральный оператор с непрерывным ядром, Х\ = Сг-1[а, Ь], Х2 = ^[а, Ь], а решение удовлетворяет некоторым дополнительным условиям гладкости: и е И^ [а, Ъ] (г -натуральное), где И^[а, Ъ) - одномерное пространство Соболева с нормой:

1М1*№Л = (/ (5>М("В(*))2) к{(х) - непрерывны. В этом методе в качестве операторов Яа выступают операторы агдЫМа[и,/], и где

М«[и,/] = \\Аи-Д\12 + а\\и\\2щ.

Теорема 0.0.1. (Тихонова). Если в уравнении (0.1) А - интегральный оператор с непрерывным ядром, = агд'па£ Ма[и,а 71 и 72 - кони станты, не зависящие от а и 5, такие, что то

7152 ^ а < 72<52, (0.5)

Яа(б)1б - м||С(г-1) 0 пРи 6-+0

Согласование (0.5) или согласование а = С52, называют тихоновским согласованием, а сам метод, определяемый теоремой 0.0.1, называется методом регуляризации (г — 1 )-го порядка гладкости, поскольку он дает приближение к точному решению вместе с производными до (г — 1)-го включительно.

В 1974 году Франклин [46] исследовал метод на предмет получения неулучшаемых по порядку оценок погрешности на классах:

М — М1[а,Ъ] = |гг(ж) € И^[а, 6] : \\и\\щ ^ 1, г — натуральное|, которые являются наиболее естественными для метода регуляризации Тихонова, так как сходимость приближенных решений в этом методе получается за счет их принадлежности, вместе с точным решением, некоторому шару в И^[а, Ъ]. Указанные оценки были получены на базе аппарата рядов Фурье для частных случаев интегральных уравнений, но в метрике 1^2[а, Ь], а в метрике Сг1[а, Ь] наименьшие точные по порядку оценки погрешностей для нескольких типов уравнений первого рода с указанием величины порядков получены Г.В. Хромовой [56, 59].

Исследованию методов, оптимальных по порядку, посвящено довольно много работ ([6], [11], [21], [41], [42] и др.), тем не менее, при исследовании оценок погрешностей для того или иного метода регуляризации, как правило, указывается величина порядка по 6 в оценке сверху (см., например, [15],[16],[29],[39]). Что касается исследований по величине оптимального порядка, то они известны лишь в немногих случаях для гильбертовых пространств ([7], [6], [22]). Для нескольких типов уравнений I рода в случае метрики пространств Сг-1[а, Ъ] и классов М^а, Ь] получены величины оптимальных порядков [56, 59].

Приведем две теоремы, являющиеся классическими в теории уравнений первого рода:

Теорема 0.0.2. (см., например, в ¡21]) Для того, чтобы А(5,11а,и) —> О при 5 —У 0 необходимо и достаточно выполнение условий (0.2) и (0.3).

Теорема 0.0.3. При любых а > 0 и 8 > 0 имеет место следующая двусторонняя оценка [8, 20]:

Да, М) ^ А(5, Да, М) ^ <р(6, Да, М), (0.6) где р(6, Да, М) = 5 ||ДаИх^Х, + ДЦДаА М).

Двусторонняя оценка (0.6) является источником получения точных по порядку оценок погрешностей приближенных решений. При этом получение таких оценок требует специального исследования для каждого конкретного класса решений.

В [56, 59] Г. В. Хромовой было предложено связать задачу получения двусторонних оценок для Д(<5, Ra, M) с задачей Колмогорова-Никольского.

Определение 0.0.8. Если Та - семейство операторов, для которого ||Тагг — liU^ —> 0 при а —> 0 равномерно на некотором классе М, то задачей Колмогорова-Никольского [59] называется задача получения для величин Ai (Та, M) асимптотических представлений вида:

А1{Та,М) = <р1{а) + ф1(а), (0-7) ф\{а) = о((р\{а)) при а —> 0, где <fi(a) - вполне определенная функция.

Определение 0.0.9. Задачей типа Колмогорова-Никольского [59] называется задача нахождения точных по порядку а при а —> 0 оценок величин Ai (Та> М) вида: + ф[{а) ^ Ai (Та| M) ^ <£i(a) + Vi (а), (0.8) ф'^а) = о((рi(a)), фг(а) = o(^i(a)) при а 0.

Задача Колмогорова-Никольского является обобщением известной задачи нахождения асимптотически точных верхних граней отклонений периодических функций из некоторого класса от их приближений, полученных с помощью операторов из теории рядов Фурье (работы А. Лебега, А.Н. Колмогорова, С.М. Никольского, Б. Надя, С.Б. Стечкина, С.А. Теля-ковского, Ф.М. Ефимова, Н.П. Корнейчука и др.). Краткий обзор результатов по этому направлению см. в [18].

Г.В. Хромова рассмотрела [56, 59] обобщение задачи Колмогорова-Никольского на непрерывные не обязательно периодические функции и на их производные. Ею получено интегральное представление функций из одномерного пространства Соболева И^а, Ь] с нормой: Ь \ !/2 и

Ж,' йь и на базе этих интегральных представлений - формулы для величин

А? (Та, Щ) = зир

Т*и - и®

С[а,Ъ] и(х) е Щ[а,Ь] > , г = 1,2,., р = 0,г - 1,

Та - интегральный оператор с непрерывно дифференцируемым по х ядром

Та(ж,*) такой, что ||ТРи-иЮ\\с[аЬ]-> 0 {р = 0,.,г - 1) при а О, дрТа(х

- интегральный оператор с ядром ——) характеризующих скорость аппроксимации и^(х) с помощью операторов на классе Ь] (см. стр. 8):

Теорема 0.0.4. [59] Справедливы представления: ь

А^ (Та, Щ) = зир [ дРТа(х,£)&>д(х,£,а) дхР дхР д2Рд(х,£,а)

ЭхЩР

1/2

0.9) где о I Т^х^С^^-С^х),

0.10)

- функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением гу = (-1)У (*) + !/(<)

0.11) и краевыми условиями: рЮ(а) = у({)(Ь) = 0, г = г,., 2г - 1. (0.12)

Лемма 0.0.1. [59]Для функции Грина дифференциального оператора (0.11) - (0.12) справедливо представление: 2г / 2г \ ч) = ^ Е л<е~А" + Е<еАт* ' (°лз)

Т 1=1 \ 771=1 / где Л/ = 1)г+1, Сш / — некоторые константы, зависящие от краевых условий; знак „+" соответствует £ < 77; знак „-" - £ > г).

Теорема 0.0.4 дает базу для решения задачи Колмогорова-Никольского на классах М^а, Ь] в метрике пространства Х\ = Сг-1[а, Ь].

Вернемся к задаче получения точных по порядку оценок для величины А(6,Яа,М). На основе (0.6) в [56, 59] предложен общий метод получения таких оценок, а также" выбора согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных 6, который заключается в следующем:

Пусть для уравнения (0.1) мы имеем регуляризующее семейство Яа и класс М равномерной регуляризации, которому принадлежит точное решение. Тогда для величины А(5, Ла, М) при каждом фиксированном а справедлива двусторонняя оценка (0.6).

Пусть для оператора Н,аА и класса М решена задача Колмогорова-Никольского или типа Колмогорова-Никольского. Тогда в первом случае мы имеем для Ах(11аА,М) представление (0.7), а во втором - двустороннюю оценку (0.8).

Пусть, далее, для нормы В,а тоже получены либо представление вида:

0.14) ф2(а) = о(</?2(а)) ПРИ а 0, либо асимптотическая по а при а —>• 0 оценка:

РгМ + < Ша\\х2^х1 < ^г(а) + ^(а), (0.15) ф'2(а) = о((р2(а)), = о(у?2(а)) при а 0.

Пусть существует о; = а(<5) такая, что а(6) = а^т£(</?1(а) + (<*)), (0.16) а тогда справедлива

Теорема 0.0.5. Если существует зависимость а = ск(<5) такая, что метод На(б) является оптимальным по порядку, то метод Ящ) также будет оптимальным по порядку.

Таким образом, результатом выбора условия согласования а = а(5) из (0.16), подстановки его и представлений (0.7) и (0.14) (либо оценок (0.8) и (0.15)) в двустороннюю оценку (0.6), будут точные по порядку 5 оценки погрешностей задачи решения уравнения первого рода, имеющие тот же порядок, что и величины т£ Д (<5, Яа, М). а

Этот метод был реализован для нескольких классов некорректно поставленных задач: задачи восстановления функции (см., например, [50, 51, 57]), задач для интегральных уравнений I рода с ядром Грина [52, 59| и разрывным ядром [56], задачи восстановления решения уравнения Абеля [60, 59].

Данная работа представляет собой развитие изложенных методов для построения регуляризирующих операторов, выбора согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных и получения двусторонних оценок погрешностей полученных решений в пространствах гладких функций применительно к нескольким некорректно поставленным задачам.

Перейдем теперь к освещению структуры и содержания основной части рукописи. Диссертационная работа состоит из двух глав, разделенных на 7 параграфов.

В первой главе исследуются аппроксимативные свойства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций с их производными в равномерной метрике во внутренних точках отрезка; решается задача Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах; на базе операторов с полиномиальными финитными ядрами строятся расширенные операторы, приближающие функцию вместе с производными на всем отрезке.

Во второй главе рассматривается применение рассмотренных в главе 1 операторов при построении методов решения некорректно поставленных задач: задачи восстановления функции вместе с ее производными в случае, когда функция задана приближенно; обратной задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения п-го порядка; задачи нахождения приближений решения и производной от решения уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью; задачи нахождения приближений к решению вместе с производными для одного класса интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Указываются условия согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных и находятся точные по порядку оценки погрешностей решений этих задач с указанием величины этого порядка.

В параграфе 1.1 вводится в рассмотрение семейство интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами [49]:

Ь х+а

Таки = /Шит = ак ! ((£ - х)2 - а2)к к = 1,2,., а х—а где а > 0 - параметр, выбираются из условия: Так1 = 1 и имеют вид:

Через Т^к (р = 0, к) обозначается интегральный оператор, ядро которого есть р—я производная по х от ядра оператора Так, то есть т„ Г дрТак(х,1) / Л7 дхР

0.17) тпки = Таки, а через Се[а, Ь] - пространство непрерывных функций на отрезке [а+£, Ь—е], е > а.

Главными результатами параграфа 1.1. являются:

Теорема 1.1.1. Если функция и(х) 6 Ск[а,Ь], то р)

ТРаки - гг с£

0 (р = 0, к) при а —0.

Теорема 1.1.2. Справедливы равенства:

2р-1 где

Ккк-1=

-1)*А* £(2/с - 2)! +

Ккк = у/(-1)к(2к)\Ак, 1/2 -1 V

Л + 1 ^ 2(/с-*) + 3

Ккр — г, Е1 \ 1/2 п=0 в=0 4 п) + 2(к - в) - 2р+ 1 р = 0,к-2.

Параграф 1.2. посвящен решению задачи Колмогорова-Никольского для операторов и классов М|+1[а, Ъ). Для величин

- „М а доказана

Теорема 1.2.2. Имеют место асимптотические по а при а —> О представления

1.

Ах (Та*, М|+1) = РккаV2 + 0(с7/2), (Гак, = Р*,!а3/2 + 0(а5/2),

А?-2) (Та*, М*+1) = Р, + 0(а3),

ГаЬ М2*+1) = Ркра2 + 0(а4), р = 0, * - 3, где М] * Г-^С-С»

Р - 0(и\1л2 ( л\зГзПк V 1>) °&04&-2п+2

Ркк " 1(ГПУ " 2(Ы) ^ (-1) 4*-2п-2в + 3 4 7 5=0 п=0 X X

2&+1 (2к + 1 — г")!г!(2(& - п) + г + 1) и

1/2

Ркк-1 =

2((* в=0

2(& — й) + 3

12(А; + 1)(/г 4- 2) к{к + 1)2 к~к21] к (л\п+кгтгчк-\

5=0 п—0 X

2 А; 4-1 (2Л + 1-г)!г!(2(А; - п) + г + 1)

1)г

4к - 2п - 2в + 5 1/2

Рк р —

-1)^24 (-1 ус8кср2(к

9(Ь — О- Ч " " 4 X

1/2 р = 0,к — 2,

1Всюду далее константы в выражениях, обозначенных через 0(.), зависят от е функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением

Ркр (р = 0, к) - отличны от нуля.

Следует отметить, что доказательство теоремы 1.2.2 начавшись в параграфе 1.2, продолжается и заканчивается в параграфе 2.1 главы 2, поскольку оно опирается на теорию некорректно поставленных задач.

Операторы определены лишь во внутренних точках отрезка [а, 6], поэтому параграф 1.3 имеет целью построение на базе операторов Т%к расширенных операторов дающих приближение к функции и производным на всем отрезке [а, 6]. Вид этих операторов дается теоремами 1.3.1 и и краевыми условиями: у(0(а) = у(0(ь) = о, * = к + 1,2к + 1.

1.3.3.

Теорема 1.3.1. Операторы ъ а где при х Е [а, а + а] :

Аак{х,Ь) + Сак(х,Ь), г Е [а, 2а - х + а] Так(х,г) = ак • t е[2а-х + а,х + а]

О, г Е[х + а, Ь] при х Е [а + а, Ь — а]:

Сак{х,1), t € [х — а,х + а] О, £ Е [а, х — а] и [х + а, Ь]

Таъ{х,г) = ак ■ < при х е \Ь — а, Ь]: г

О, £ € [а, х — а] Сак(х^), Ь £ [х — а, 2Ъ — х — а] Вак(х,Ь) + Сак(х,1), Ь е [26 - х - а, 6]

Аак{х,г) = ({2а - * - я)2 - ск2)\

Вак(х^) = ((2Ъ-г-х)2-а2)к,

Сак(х^) = (^-х)2-а2)к, дают, равномерное приближение к любой непрерывной функции и{х) на всем отрезке [а, Ь].

Теорема 1.3.2. Справедливо равенство:

2к)\(2к + 1)\

Та к ь^с (к\)2у/(4к + 1)! а 2.

Теорема 1.3.3.Пусть функция и(х) Е Ск[а,Ь]. Тогда операторы о (-1 г I ^¿^ит, ?=м, где Так(х,{) - ядра операторов Так из теоремы 1.3.1 , а > 0 - параметр, дают равномерное приближение кр-ой производной функции и(х) на всем отрезке [а, Ъ] и ««

С[а,Ь]

О при а ->0), если и^~1\а) = и^-1\Ъ) = и^~ъ\а) = (Ь) = . = и(а) = и(Ь) = 0 при р нечетном и = и^~1\Ъ) = р-3)(а) = = . = ■и'(а) = и'(Ъ) = 0 при р четном.

Теорема 1.3.4. Справедливы двусторонние оценки: у/2Кк Р 4 грР а к

-2р-1 Ккр а 2 , р = 0,к где [*-§] [*-!] (Ккр)1 + 2(р\)>А1 £ £ С^(к8)С^кп)х

3=0 71=0

Ккр =

1/2 Е

2(к-п)-р су2{к-п)-р-1Ы х у^ 2(к—п)—р о 2(Л-в)-р + /+1

Х^р определены в теореме 1.1.2.

Глава 2 посвящена построению методов решения некорректно поставленных задач на базе введенных в главе 1 операторов.

В параграфе 2.1 рассматривается задача восстановления функции вместе с ее производными (такая задача возникает, в частности, при обработке исходных данных физических задач). Это некорректная задача из теории приближений, постановка которой в общем виде впервые была дана В. А. Морозовым [31]. Задача восстановления функций и близкие ей задачи рассматривались и другими авторами (см., например,[4], [5], [9], [11], [13], [14], [24], [25]). Наиболее близкими к нашим результатам являются работы Г. В. Хромовой [50, 51, 57, 62], В. В. Васина [11, 10], В. И. Колпакова [23].

В данной работе рассматривается следующая постановка задачи: к раз непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, 6] функция и(х) задана своим приближением в среднеквадратичной метрике, требуется по щ(х) и 5 построить последовательности функций щр —> и^ при 6 —> 0 в равномерной метрике (р — 0,к).

Отметим, что данную задачу можно рассматривать как частный случай уравнения первого рода с оператором вложения из Ск[а, Ь] в Ь2[а, Ь]

48].

Доказана

Теорема 2.1.1. Если и(х) е Ск [а,Ь], тогда для того, чтобы А(5,Т%к,и) = 8ир{ Тракщ-и^ : - и\\Ь2 ^ 6} 0 при 6 0

Се р = м), необходимо и достаточно выбрать согласование а с S из условий: а(5) —> 0 и 5 • —> 0 при 5 0.

На основании теорем 1.1.2 и 1.2.2, в данной работе получены точные по порядку двусторонние оценки погрешности решения задачи восстановления функции и(х) G М|+1[а, Ъ] вместе с ее производными до к-го порядка включительно. Более того, показано, что оценки погрешностей при восстановлении к-ой и (к — 1)-ой производных являются оптимальными по порядку.

Для величин

Д (й, 2* , JWf+1) = sup { Т'акщ -„&»:„£ Mt1 [а, Ь], о£ us-u\\l2 ^ р = характеризующих погрешность приближения к (ж) при неточном задании функции и(х), доказана

Теорема 2.1.2 Справедливы следующие двусторонние оценки: i (ckp + Qp) < А (<5, Tpa(s)k, M|+1) < ckp б*' + вр, p = ОД, где a(S)=(ckpyP6»r,

Ckk — Ckh, Cfcfc-1 — Ckp — P — 0j k — 2, V

1 2 fc + l'^" 2p + 5:

0P-1

Vk = ffc-i - 7TT)"p = o . r) p = 0,A; — 2,

Ckp = (PkP + y/RkpCk^j (pkp^j , p = 0, fc, eP = o(^),

I з

Pk = £Pk-i = 2ик~ъ = 2Up> p = к ~ 2'

7к = 2^» = 7A;-2 = Ъ ~ 4z/P> p = 0,k-3,

Ккр, Ркр (Р = о, к) определены в теоремах 1.2.1 и 1.1.2.

При этом оценки А (д, и А (б, являются оптимальными по порядку.

Полученные в параграфе 2.1 результаты, используются в параграфе 2.2 при решении обратной задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения. Такая задача возникает при решении различных задач математической физики [17]. Наиболее близкими к нашим исследованиям являются работы [61, 55], в которых используется метод регуляризации Тихонова или его обобщение.

В данной работе рассматривается следующая постановка задачи: построить равномерное приближение к правой части /(х) линейного дифференциальное уравнения п-го порядка:

1{у) ЕЕ уМ(х) +р2(х)у{п-2)(х) + .+рп(х)у(х) = /(®), х е [а, 6] где Pi(x) £ С[а, 6] (г = 2, п) - вещественны) по заданным коэффициентам

Pi(x) (г = 2,п) и известным приближениям ys(x) к точному решению у(х) в среднеквадратичной метрике.

Эта задача сводится к задаче восстановления функции вместе с производными до n-го порядка включительно по ее приближению в метрике пространства Li- На основании теорем 1.1.1 и 1.1.2 доказана

Теорема 2.2.1. Для того, чтобы имела место сходимость sup {||Z(Ten ys) - f\\Ce[a,b] II Уб ~ У\\l2 0 при 5-+О необходимо и достаточно выбрать согласование а = a(J) из условий:

1) а(5) ->• 0 при <5 0;

2п-1

2) 5 —> 0 при <5 -» 0.

Во многих областях естественных наук, таких как астрофизика [3], металлургия, биология, микроскопия, сейсмология [2], возникают задачи (например, нахождение характеристик в диагностике электрической дуги, импульсных разрядов, потоков газов и плазмы ([37]), решение которых сводится к построению приближенных и устойчивых к малым изменениям правой части решений уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью. Решению этого уравнения посвящен параграф 2.3 данной работы. В ряде работ уравнение Абеля решается с помощью привлечения полиномиальных разложений (см., например, обзор в [37]) , сплайнов (см., например, [12]), аппроксимации решений данного уравнения решениями уравнений второго рода (см., например, [30], [40]), конечномерной аппроксимации (см., например, [35]).

В данной работе рассматривается следующая постановка задачи: Известно, что при точно заданной правой части уравнения (2.8) существует непрерывно дифференцируемая на отрезке [0,1] функция и(х), являющаяся решением уравнения. При этом, вместо точной правой части задана функция fs(x) такая, что ||/ — /¿Ц^ ^ Требуется по /¿(ж) построить метод нахождения приближений к решению уравнения Абеля и производной от решения.

Для и е С[0,1] в [60, 59] Г.В. Хромовой был построен метод регуляризации уравнения Абеля при 0 < ¡3 < - на отрезке [0,1], где в качестве л операторов, приближающих функцию, выступали операторы Стеклова и расширенные операторы Стеклова.

Благодаря использованию вместо оператора Стеклова операторов, построенных в параграфе 1.3, автором данной работы построен метод регуX 0 ляризации уравнения Абеля, снимающий ограничение сверху на параметр /3 для отрезка [0,1-е]. Более того, для 0 < (3 < — построен метод нахождения приближений к производной от решения на отрезке [е, 1-е]. Вид регуляризирующих операторов дается теоремой 2.3.1.

Если = Т^А-1 (р = 0,1), где определены в теоремах 1.3.1 и 1.3.3, то справедлива

Теорема 2.3.1. Операторы Щ\ = Т^А-1 (р = 0,1) имеют вид: 3 = 2аЗГ(3 -р-р)^' где при х Е [0, о;]: а—х х+а

I (КР1(х,г) + К^2(х,т))Цт)с1т+ I Д^2(*,т)/(т)<гт;

О а—х при х Е [а, 1 — а]: х—а х+а Й5/= I (К103(х,т) + Крар2(х,т))кт)с1т+ I о при х Е [1 — а?, 1] ; х—а х—а

Ш= / {КцЪ{х,г) + К%1{х,г) + К11>5(х,т)){{г)д,т+ о

2—х—а х—а. 2-х—а

Кр х(®» -г) = (а(1 -0-р) + т + х)(а-х-т)1"^, Кв2(*> т) = («(1 -Р-р) + т-х){х-т + х—а I

I т) + г)) Цт)<1т + I Я^5(*,т)/(тМт; ьар 2 т) = (2 + а(1-(3-р)-т-х)(2-х-т- а С1 "Р)(1 " «(2 " Я " (1 - *)2) С1 " ^ " 2(! "

Каждый из операторов (р = 0,1) при О < /3 < - является линейным ограниченным действующим из ,1] в С[0,1] интегральным оператором.

При этом, если вместо С[О,1] рассматривать С[0,1 — е] (е > а), то Е?а линеен и ограничен при О < (3 < 1.

Для норм указанных операторов получены точные по порядку а оценки: где

Теорема 2.3.2. При 0 < (3 < - справедливы двусторонние оценки: к

3 • 25-0 к? = 6 2

2->С[0,1] ( 4 а-(^), р = 0,1,

2-/3)

1 Г(3 - (3) - 2/3 3 — 2/3

2\ 1/2

-2 + уО 3 Л1 ~ ~ Г1 | п2—20 ■ о г1—2/3\ I 2Г(3 — /3) \ Г^Я {1 + 2 +2 5 } + 8(1-/3)(2-/3) ^ + 2З2^ + 4 + ^4—2/3 + 54-2^| + 3 2 /3

1 + 5 ■ 24"2^ + З5"2^ + 3 ■ 55"2^} +

5 — 2/3 4(32~2^)2 {222/3 + 33-0 + 53~2^1/2 ,

1 2Г(2 - (3) \Ъ - 2/3

- 2 р +

1-2/6

Г(2

3 / (1 - /3)2/3216 .31-^ (1 - /З)2 - ^ 2П

4 • З1-^1"^ + 2+ ^^ {б22/? + 2~2/?} - 3

1/2

3-2/3

3-2/?,

Если при построении регуляризирующих операторов вместо рассматривать операторы Т^ = Т^А-1), то непосредственным следствием теоремы 2.3.2 является

Теорема 2.3.3. В случаях а) р = 0, 0<(3<1иЬ)р=1, 0 < /3 < ^ Л справедливы двусторонние оценки: где о /Г об—2/? о 3—2/3 к5-20 щ^У (2 + + <2" + Ь^ " сЗ-2/9 ^ оБ-2/? оЗ—2/9

2 - } + - 24"2" + (2 - /?Г

3 — 2/3 J 5-2/3 " 3 — 2/3

100(2 — /?)2(1 — /3)2/32„-12Й\ + 1 + 2/3 d J ' sfpbj (ioo(l - +- 22"+

12 (s2-2" + 2 • s1-^-" + il^V2") + il-^gV2") 2,

Кi w i^i - определены в теореме 2.3.2.

Далее, в предположении, что точное решение и{х) £ М|[0,1], найдены условия согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных 5, и получены точные по порядку (с указанием величины порядка) оценки погрешностей приближения решения уравнения Абеля и производной решения:

Теорема 2.3.4. Для величин

Mi) = sup ^\\Rpafs-u^\\c : \\f5 - Au\\L2 ^ 6, u(x) £ Mf[0, l]j , р = 0,1) справедливы точные по порядку двусторонние оценки: где с = а(5) = (с6)2+0 , Щ(2р + 2/3+1) Р1р(3 - 2р) п = 0,1 п 1 п

2р+20+1

1 /зз

2 V 70'

К1, .К"®, ^ определены в теоремах 2.3.3 и 2.3.2 соответственно.

В параграфе 2.4 строится метод регуляризации в пространстве гладких функций для уравнения Вольтерра I рода в случае, когда правая часть уравнения заданна своим ¿-приближением в среднеквадратичной метрике. Следует отметить, что исследованию уравнения Вольтерра I рода посвящено большое число работ (см., например, [15],[29],[39]). Использовались аппроксимация решений уравнения I рода решениями уравнений II рода, методы квадратурных сумм, сплайны и др.

В данной работе рассматривается уравнение: где А(х, ¿) удовлетворяет условиям: существуют и непрерывны производные Ахг(х,{) (г = 1 ,.,п) ^Ахг(х,^ = АхЧг(х,1) (г = 1

Ах*(х, х) = 0 (г = 0,п — 2), Ахп-1(х, х) = 1,

Ахпр(х, х) = 0 (г = 0, .,п — 1), а А- линейный ограниченный оператор, действующий из Сд[ 0,1] в ^[0,1]. При п = 1, д = 0 это уравнение рассматривалось в [63]. X 0

Сначала теорема 1.2.1 распространяется на случай, когда в исходной постановке задачи требуется найти приближение к р-ой производной д раз непрерывно дифференцируемой функции при р = 0, д, д = 0, к, а в качестве приближающих операторов должны выступать операторы .

Теорема 2.4.1. Имеют место асимптотические по а при а —У О представления:

А{?\та м^1) = Рк рат + 0(а% р = М, <7 = М, Л = 1,2,., где

1 7 7 т = ~, 1 = - при р = д,

3 / 5 1 т = 2' 2 Р = ^ ~ т = 2, 1 = 3 при р = д — 2, ш = 2, / = 4 при р < д — 2,

Ль<,=

-им* И]

5—О х

V ^ °2А;-2п+2д+2

2д+1

2-^1 АЬ — От — 9с 4- я

-1)*

1/2 п=0

Рк д-1 =

4& - 2п - + 3 ^ (2# + 1 - г)Н!(2(к - п) + г + 1)

-1)*+1Ль

12(Л + 1)(А; + 2) д(д + 1)(* + 1) 2(к - в) + 3 1

2(к-з) в=0

1/2 в=0 п=0 X

2?+1 (2д + 1-г)!г!(2(А; - п) + г + 1) х (~1)р+д+12А1 (-1)'^^) Л (—1)пС] о^ с^ .4- я р+1)(р + 2)^ 2(А;-Й) + 3 ^2(А;-п) + 3 х X тоге.)

1/2 Р < Я ~ 1, а '

Р+2) К

П) ~ функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением

1у = (-1У+1у2{д+1)Ю + у^ и краевыми условиями: у®(а)=у®(Ь) = 0, г = + 2д + 1.

Ркр (р = 0, я) ~ отличны от нуля.

Затем, для операторов В.? = Т^ ¿-А-1, Р = 0, д + п ^ к доказаны следующие теоремы:

Теорема 2.4.2. Операторы имеют вид:

Д£/ = Д£о/ + Д£лг/> где

Х7Тд"((т-хУ -а')к

О х—а х+ах+а л х-а t /

N - интегральный оператор с ядом имеющий вид:

А^п - интегральный оператор с ядром Ахп{х^).

Теорема 2.4.3. Справедливы асимптотические по а при а —> О представления:

К\\^с, = Кн + О (а""), где К к р+п определены в теореме 1.1.2.

Далее, в предположении, что точное решение и{рс) £ М|+1[0,1], найдены условия согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных 6, и получены точные по порядку оценки погрешностей с указанием величины порядков:

Теорема 2.4.4. Для величин

А{5, Е?а, М|+1) = вир |||Я£/* - : «6^^0,1], и ~ Пьм < *} > справедлива двусторонняя оценка, асимптотическая по 5 при 5 —> 0;

1 / т \ Л т

2 [Скр + п) < А№ Кр{5у м!+) < СИР п^^ + 0ртп, где

Хт 7сР + п + 1)Ккр^\ р п V ^ Р

-р-п-2

Тр п — Рк р п) + Кк р+п (рТр п) 1 \ I т+п+?, п = О ((5т+р+п+2 1+0 (5т+р+п+2 т, I, К к р+п и Рк р определены в теоремах 1.1.2. и 2.4-1.

Результаты, приведенные в диссертационной работе, являются новыми. Они опубликованы в 9 работах [65] - [73] и докладывались на семинаре кафедры математической физики и вычислительной математики СГУ, на ежегодных научных конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ (2002-2006), на 12-й (2004) и 13-й (2006) Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функции и их приложения", на Седьмой международной Казанской летней научной школ е-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопро-сы"(2005).

Работа над диссертацией проходила при поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1).

Автор выражает самую искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Хромовой Галине Владимировне за ценные советы и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шишкова, Елена Владимировна, 2006 год

1. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris. 1932.

2. Anderssen R.S. Application and numerical solution of Abel-type integral equation. University of Wisconsin-Madison, Mathematics Research Center, September. 1977. - (Technical Summary Report; 1787).

3. Antokhin I.I., Cherepashchuk A.M., Yagola A.G. Velocity law in the extended photosphere of the WN5 star in the eclipsing binary V444 Cygni// Astrophysics and Spase Science. 1997. - Vol. 354. - R 111-131.

4. Арестов В.В. Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи// Труды МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 29-42.

5. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора//Матем. заметки. 1977. Т. 22. №2. С. 231-43.

6. Бакушинский А.Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризирующими алгоритмами// Изв. вузов. Математика. 1978. № 11. С. 6-10.

7. Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1989. 127 с.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: МГУ. 1989. 200 с.

9. Бердышев В.И. Устойчивость элемента наилучшего приближения// Теория функций и приближений. Труды Сарат. зим. школы. 1983. Ч. I. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. С. 120-126.

10. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования// Математические записки. Свердловск: изд-во УрГу. 1969. Т. 7. № 2. С. 29-32.

11. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С(—оо,оо)// Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1973. Т. 13. № 6. С. 1383-1389.

12. Воскобойников Ю.Е. Регуляризующий алгоритм обращения уравнения Абеля// Инженерно-физический журнал. 1980. T.XXXIX. № 2. С. 270274.

13. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Ux, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций,определенных с ошибкой// Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. Т. 145. С. 63-78.

14. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1983. 208 с.

15. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода// Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1975. Т. 15. № 4. С. 1053-1056.

16. Денисов A.M., Коровин С. В. Об интегральном уравнении I рода типа Вольтерра// Вестн. Моск. ун-та. Серия 15. 1992. №3. С. 22-28.

17. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач М.: МГУ. 1994.

18. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций. М.: Наука. 1977. 508 с.

19. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач// Сиб. мат. журн. 1966. Т. 7. № 3. С. 546-558.

20. Иванов В.К., Бушманова M.B. Оценки устойчивости при решении операторных уравнений первого рода методом регуляризации// Изв. вузов. Математика. 1976. № 1(164). С. 48-54.

21. Иванов В.К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978. 206 с.

22. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука. 1995. 176 с.

23. Колпаков В. И. Восстановление функции и ее производных в условиях задания функции с погрешностью// Докл. Рос. Акад. естеств. наук. 1999. №1. Саратов: Изд-во Сарат. гос. технич. ун-та. С. 100-123.

24. Колпакова Э.В. Численное решение задачи восстановления функций// Вычисл. методы и программирование. Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1977. Вып. 1. С. 20-29.

25. Колпакова Э.В., Колпаков В.И. Об одном регуляризирующем алгоритме восстановления функции и производной// Сарат. ун-т. Саратов. 1980. Деп. в ВИНИТИ. № 3953-80. 29 с.

26. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. СО АН СССР. 1962. 92 с.

27. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 286 с.

28. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1965. 556 с.

29. Магницкий H.A. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. No 5. С. 13171323.

30. Магницкий H.A., Магницкий С.А. О регуляризации уравнения Абеля// Тр. конф. молодых ученых. Фак. вычисл. мат. и кибернет. Выв. 3. М., Моск. ун-т. 1976. С.3-6.

31. Морозов В.А. О восстановлении функций методом регуляризации// Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1967. Т. 7. № 4. С. 874-879.

32. Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1987. 216 с.

33. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987.240 с.

34. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи// Итоги наука и техники. Матем. анализ. №11. М.: Изд-во ВИНИТИ. 1973.

35. Николаева H.H. Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций// Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2003. - Т. 6. - № 2. - С. 171-180.

36. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Физматгиз. 1953.

37. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука., 1982. с.

38. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск: Наука и техника,1987, С. 38.

39. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода// ДАН СССР. 1971. Т. 197. №3- С. 531-534.

40. Сражидинов A.B. О регуляризации интегральных уравнений типа Абеля// Сб. тр.: Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Изд-во ИЛИМ. 1981. Вып. 14. С. 246-256.

41. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач// Дифференц. уравнения. 1973. Т. IX. № 10. С. 1862-1874.

42. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М: Наука. 1981. 156 с.

43. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// ДАН СССР. 1963. Т.53, №1.С. 49-52.

44. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.285 с.

45. Тихонов А.Н., Морозов В.А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач/ Вычислительные методы и программирование. 1981. Вып. 35. С. 1-40.

46. Joel N. Franklin. On Tikhonov's method for Ill-Posed Problems// Mathematics of Computation. 1974. V. 28. № 128. P. 889-907.

47. Хромова Г.В. О задаче восстановления функции//Дифференц. уравнения и вычисл. матем.: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та. 1975. Вып. 5. Ч. 2. С. 60-76.

48. Хромова Г.В. Задача восстановления и уравнения I рода//Дифференц. уравнения и вычисл. матем.: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та 1976. Вып. 6. 4.1. С. 83-87.

49. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью//Дифференц. уравнения и вычисл. матем.: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та 1984. Вып. 6. С. 53-58.

50. Хромова Г.В. Оптимальные по порядку методы восстановления функций// В сб. "Численный анализ: методы и алгоритмы". М.: изд-во Моск. ун-та. 1986. С. 94-99.

51. Хромова Г.В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций// Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1993. № 1. С. 13-18.

52. Хромова Г.В. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений 1-го рода// Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1994. №4. С. 3-10.

53. Хромова Г.В. О верхних гранях норм функций и их производных// Вестн. МГУ. Сер. 15. 1998. N 2. С. 45-47.

54. Хромова Г.В О методе регуляризации Тихонова для интегрального уравнения с разрывным ядром// Обратные и некорректно поставленные задачи. Тезисы докл. конференции. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1998.С. 87.'

55. Хромова Г.В. Об обратной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения// Фундаментальная и прикладная математика. М.: Изд-во „Открытые системы". 1998. Т.4. №2. С.709-716.

56. Хромова Г.В. Оценки погрешностей приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике/ Диссертация на соискание уч. степени д.ф.-м.н. Екатеринбург.1998.

57. Хромова Г.В. Приближающие свойства резольвент дифференциальных операторов в задаче приближения функций и их производных// Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1998. Т. 38 № 7. С. 1036-1043.

58. Хромова Г.В. Об одном способе построения методов регуляризацииуравнений первого рода// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. N0 7. С. 907-1002.

59. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода// Докл. Акад. Наук. 2001. Т. 378. №5. С. 605-609.

60. Хромова Г.В. О приближенных решениях уравнения Абеля// Вестн. МГУ. 2001. Сер. 15. N0 3. С. 5-9.

61. Хромова Г.В. О тихоновской регуляризации в пространствах дифференцируемых функций// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. N0 4. С. 581-585.

62. Хромова Г.В. О точных порядках скоростей сходимости приближений к функции и ее производным// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Гос. УНЦ „Колледж". 2004. С.193.

63. Хромова Г.В. О регуляризации одного класса интегральных уравнений первого рода// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 10. С. 1810-1817.

64. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. Т.1. М.-Л. 1946. С.433.

65. Шишкова Е.В. О погрешности в задаче восстановления функции вместе с ее производной// Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Гос. УНЦ „Колледж". 2004. С.211-212.

66. Шишкова Е.В. Решение задачи Колмогорова Никольского для интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. Вып. б. С. 149-152.

67. Шишкова Е.В. Регуляризация уравнения Абеля в пространстве Сх0,1.// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2005. Вып. 7. С. 141-143.

68. Шишкова Е.В. Точные порядки погрешностей аппроксимации гладких функций// Известия Саратовского университета. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2006. Вып. 2.