Оценка погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Хромова, Галина Владимировна

• Хромова, Галина Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хромова, Галина Владимировна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Задача восстановления функций

§ 1. Метод регуляризации Тихонова

§2. Линейные методы суммирования рядов Фурье в задаче

восстановления периодических функций

§3. Методы восстановления функций и их производных на базе

оператора Стеклова

§4. Получение точных по порядку оценок погрешности на

классах Mr2[a,b]

Глава II. Точные по порядку оценки погрешности приближенных решений интегральных уравнений I рода

§1. Сведения из теории линейных дифференциальных

операторов

§2. Метод регуляризации Тихонова для интегральных

уравнений с ядром Грина

§3. Метод регуляризации Тихонова для интегральных

уравнений с разрывными ядрами

Глава III. Приближающие свойства резольвент линейных дифференциальных операторов

§1. Приближение непрерывных функций и их производных с

помощью резольвент линейных дифференциальных операторов

§2. Решение обратной задачи для обыкновенного

дифференциального уравнения

§3. О верхних гранях норм функций и их производных

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике»

Введение.

В данной работе рассматривается задача приближённого решения уравнения I рода. Эта задача относится к области некорректно поставленных задач, на которые впервые обратил внимание Адамар.

Определение 0.1. Математическая задача называется поставленной корректно, если решение её существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных.

Из определения следует, что задача будет являться некорректно поставленной, если не выполняется хотя бы одно из сформулированных требований. Но при решении практических задач особенно важное значение приобретает последнее требование, поскольку исходные данные в этих задачах получаются в результате измерений и никогда не бывают известны точно, а существование и единственность решений таких задач вытекает из их физической сущности. Поэтому в дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori.

Приведём общую постановку задачи приближённого решения уравнения I рода.

Пусть Х{,Х2 — банаховы пространства, Рассмотрим уравнение

Au = f, (0.1)

где А — линейный ограниченный оператор, действующий из Хх в Х2 и такой, что А"1 существует, но неограничен.

Обозначим через Л — точное решение, через /— точную правую часть уравнения (О.Х). Пусть правая часть / задана её ¿^-приближениями / в пространстве X,: /д. - / < 8. Задача приближённого решения

уравнения (0.1) состоит в построении по последовательности

элементов и6, такой, что

и8 - и

х.

—> 0 при 8 -> 0. К такой задаче

сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи: обратные задачи геофизики и астрономии, задачи спектроскопии и другие.

Основополагающими работами в области некорректно поставленных задач являются работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [51], [29], [30], [19], [20]).

В них было положено начало теории методов решения уравнений I рода. Эти методы называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов:

*I

1) построение семейства линейных операторов Та, зависящих от параметра а, действующих из пространства Х2 в пространство Хх и обладающих свойствами: а) каждый из операторов Та определён на всем пространстве Х2,

б)

71

^ 00 ПРИ кажД°м значении а, в) для любого и е Хх

\ТаАи-и\ ->0 при <*-»0; (0.3)

2) согласование параметра а с погрешностью 8 а = а{8) такое, что

8

Т

а{8)

—>0 при 8 -» 0

(0.4)

Определение 0.2. Семейство линейных операторов Та, а> 0 — параметр, удовлетворяющее условиям а), б), в), называется регуляризирующим семейством для уравнения (0.2); параметр а называется параметром регуляризации.

Если соотношение (0.3) выполняется не на всем пространстве Хх, а для и е М а Х{, где М — некоторый класс элементов из Хх, то семейство {Г„} называется регуляризирующим на классе М; оператор Та при фиксированном значении а называется регуляризирующим оператором.

Если стремление к пределу в (0.3) равномерно относительно и е М, то семейство {Та} называется регуляризирующим равномерно на классе М , сам класс М называется классом равномерной регуляризации.

Существование регуляризирующего семейства является условием, достаточным для разрешимости задачи приближённого решения уравнения (0.2). Действительно из оценки:

Г/.-м <дТ

5 Х\ а

+

ТА и —и

х.

(0.5)

следует, 'гго параметр а можно так согласовать с погрешностью 3{а = а(д')), что будет выполняться (0.4), а отсюда следует стремление к нулю правой части (0.5) при а = а{5), 8 —> 0.

Таким образом, метод регуляризации (или метод Гв(<У)) — это метод

приближённого решения уравнения (0.2) с помощью регуляризирующего семейства {Та} при согласовании а = а(<5), обеспечивающем предельные соотношения (0.4). Условия же (0.3), (0.4) являются достаточными для сходимости приближённого решения Та^/5 к точному. Рассмотрим величины:

тТа,й) = зир^Та/,-Щх : \fs~fl <д),

I Л 2

тТа,М) = 5ир$ТЖ-и\х : иеМ, \/6~Аи\х <6}, (0.6)

Ьх(ТаА,М) = &лх${ТаАи-и х\ и е М).

Определение 0.3. Погрешностью метода Та{3) в точке будем называть величину А(8,Та^,и); погрешностью метода Та{8) на классе равномерной регуляризации М а Хх будем называть величину А(8,Та{3),М). Метод Т-а(ё) будем называть оптимальным на классе М и обозначать Тош, если

А(3,Т-(6),М) = ттТ,МУ- ТеЩ,

для любого 8, где Ш — множество всех операторов из Х2 в Хх.

Метод Т5{5) будем называть оптимальным по порядку и обозначать

Г°п , если существует константа К, не зависящая от 8, такая, что

А{8,Т5{д),М)<КА{8,Тот,М)

при 0 < 8 < 80.

Из теории уравнений I рода известны следующие теоремы. Теорема 0.1. Условия (0.3) и (0.4) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы А{8,Та^,и) —»0 при ¿> 0. Доказательство см., например, в [20].

Теорема 0.2. При любых а > 0 и 8 > 0 имеет место следующая двусторонняя оценка:

1 ср (б,Та,М) < А(8,Та,М)<<Р(8,Та,М), (0.7)

где

ср{8,Та,М) = 8\Та\Х2^ +ШМ).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 в [48].

Одним из наиболее известных методов регуляризации является регуляризация Тихонова ([51]). Им рассмотрен случай когда А —

интегральный оператор с непрерывным ядром, Хх = С(г 1}[а,6], Х2 = Ь2[а,Ь], а решение удовлетворяет некоторым дополнительным

условиям гладкости: й е [а, Ь], г > 1 — целое, где ¡¥2[а,Ь] — одномерное пространство Соболева с нормой:

\

с1х

Уг

/

к^х) >0 — непрерывны. В этом методе в качестве операторов Та выступают операторы

Та/ЕЯа/ = ^ЫМа[ы,/];

" „2 „ „2 (0'8)

Теорема. 0.3 (Тихонова). Если в уравнении (0.2) А— интегральный оператор с непрерывным ядром, Яа/6 = а^птТМ"[и,], а ух, у2 —

и

константы, не зависящие от а и 8, такие, что

у{52 <а< у252, (0.9)

то

Ка{8)15-и "Г" 80.

Согласование (0.9) или согласование а-С82, называют тихоновским согласованием, а сам метод, определяемый теоремой 0.3, называется методом регуляризации (г - 1)-го порядка гладкости, поскольку он даёт приближение к точному решению вместе с производными до (г -1 )-ой включительно.

В работах А. Б. Бакушинского, В. В. Васина, В. А. Морозова и многих других авторов метод Тихонова был развит и обобщён на операторные уравнения в различных пространствах, главным образом, гильбертовых (см., например [5], [20], [36], [37], [49]). Целое направление возникло по методам выбора согласования а = а(8), поскольку у

Тихонова этот выбор является неопределённым и непригодным для решения практических задач ([5], [20], [37]).

Наконец, была создана теория оценок погрешностей приближённых решений в методах регуляризации. Наиболее законченными результатами в этой области являются результаты, полученные для компактных классов М, которые задаются с помощью вполне непрерывного оператора В е (Хъ -» X,) ( где Х3 — некоторое дополнительное пространств^ и шара

в этом пространстве: М = {и <еХх\ и — Ву,

Для этих классов были получены оценки для величины А(3,Яа,М)

сверху и снизу через модуль непрерывности обратного оператора и сделан вывод об оптимальности по порядку, в частности, для метода Тихонова в нашей постановке при а = Сд2 ([20]).

Нужно сказать, что исследованию методов, оптимальных по порядку, посвящено довольно много работ ([6], [9], [20], [48], [49] и др.). Это связано с тем, что нахождение оптимальных методов является весьма трудной Задачей, и даже если такой метод будет найден, он может оказаться трудно реализуемым при решении практических задач. Поэтому представляет интерес исследовать уже известные методы на оптимальность по порядку.

При исследовании оценки погрешности для того или иного метода регуляризации, возникает естественный вопрос: какова величина порядка по 3 в этой оценке? Как правило, при ответе на этот вопрос указывается величина порядка в оценке сверху (см., например, [15], [16], [31], [46]). Что касается исследований по величине оптимального порядка, то они известны лишь в немногих случаях для гильбертовых пространств. ([5], [6], [34], [48]).

В 1974 году Франклин [53] исследовал метод Яа(ё) на предмет получения неулучшаемых по порядку оценок погрешности на классах:

v

<Л}

М = Мг2 [а, b] = {и(х) е W2 [a, b] : \ \ u\ \ < 1, r > 1 - целое}(0.10) Данные классы являются наиболее естественными для метода Ra(S), так

как сходимость приближённых решений в этом методе получается за счёт их принадлежности, вместе с точным решением, некоторому шару в W2[a,b]. Указанные оценки были получены для частных случаев интегральных уравнений, но в метрике L2[a,b] (на базе аппарата рядов Фурье).

Получение неулучшаемых по порядку оценок погрешности в равномерной метрике с указанием величины порядка по 8 основывается на двусторонней оценке (0.7) и требует специального исследования для каждого конкретного класса решений.

Основные вопросы, рассматриваемые в данной работе, следующие:

1) нахождение оценок:

C\<P(ß) < ¡nf А(S,Ta, М) < C2<p(ö),

а

где (р(б) — некоторые известные функции, такие, что <p(S) -> 0 при S -» 0, 8 <е(0Д], Cj > 0, С2> 0 зависят только от 80;

2) нахождение конкретных формул согласования а = а(8), таких, что

Cl(p(8)<A(8,TaiS),M)<C2<p(8), где СХ,С2,<р(8) — те же, что и в п.1);

3) выяснение вопроса оптимальности метода Ta(S).

При этом мы рассматриваем случай, когда А е(С{1)[а,Ъ]—> L2[a,h\) а основными классами являются классы М2 [а, Ь] (см. (0.10)), либо М2[а, Ь] (отличаются от М2 [а, Ь] наличием тех или иных краевых условий на функцию и(х)). От методов регуляризации в общем случае требуется

лишь, чтобы оператор ТаА был интегральным. Основное внимание

уделяется методу регуляризации Тихонова.

В главе I рассматривается уравнение (0.2) с оператором вложения из С(/)[0,1] в 12[°Д] ([59]). Задача приближённого решения такого уравнения представляет собой задачу восстановления непрерывной при / = 0 или непрерывно дифференцируемой / раз при 1 * 0 функции, заданной её среднеквадратичными с>-приближениями. Это — некорректная задача из теории приближения функций. Она является частным случаем задачи восстановления элементов абстрактных пространств, впервые рассмотренной В. А. Морозовым ([35]). Задача восстановления функций и близкие ей задачи рассматривались и другими авторами (см., например, [2], [3], [7], [9], [13], [14], [24], [25]).

Поскольку задача восстановления функций представляет самостоятельный интерес, ей удаляется достаточно большое внимание. Здесь рассматриваются различные методы регуляризации: построенные на базе известных методов из теории приближения функций с естественными параметрами регуляризации; известные из теории уравнений 1-го рода, а также строятся новые методы, позволяющие расширить круг решаемых задач. Отметим следующее:

1) Под известными методами из теории приближений понимаются в основном линейные методы суммирования рядов Фурье для периодических функций. При выборе параметра регуляризации и оценке погрешности мы пользуемся известными оценками для уклонений точных функций от их приближений. Эти оценки на протяжении многих лет улучшались и уточнялись различными авторами (см. библиографию в книгах [18], [27], [28], [50]). Мы здесь ограничиваемся давно известными классическими оценками, приведенными в [39]. При необходимости

уточнения константы в оценке погрешности приближенного решения задачи восстановления можно использовать улучшенные оценки.

2) При исследовании метода регуляризации Тихонова в некорректных задачах возможны два пути:

а) использовать подходы, разработанные для решения некорректных экстремальных задач. ( Так, Ф. П. Васильев разработанный им подход к получению оценок погрешности в указанных задачах применил к уравнениям 1-го рода в гильбертовых пространствах ([11], [12]));

б) перейти к уравнению Эйлера.

Мы здесь используем второй путь, благодаря чему метод регуляризации рассматривается как один из интегральных методов решения задачи восстановления функции. В результате во всех рассмотренных в главе I случаях Та имеет интегральный вид; все методы рассматриваются в единой системе, как методы решения уравнения (0.2) с оператором вложения. Для всех них получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы &{5,Та(6), и) —» 0 при ¿>—>0, и

исследован вопрос об оценке погрешности на классах.

Отметим, что полученное в §1 необходимое и достаточное условие согласования а = а(3) в методе регуляризации Тихонова (см. [61]) было обобщено на дробные производные и многомерный случай Савеловой Т. И. [43].

К излагаемому здесь материалу близки работы Э. В. Колпаковой и В. И. Колпакова [23]—[26], поскольку они являются прямым продолжением исследований автора данной работы. В указанных работах рассматривается та же самая задача восстановления функций в равномерной метрике, но исходные данные берутся в более общих пространствах (Ьр[а, Ь]). Метод, построенный Э. Колпаковой в [25]

является модификацией метода из [55]; в [24] исследуется вопрос о конечномерной аппроксимации операторов, приведенных в §§2,3.

В. И. Колпаков использовал нашу интерпретацию задачи восстановления как задачу решения уравнения 1 рода с оператором вложения; построил операторы равномерного приближения к функции и ее производным на базе оператора Стеклова, отправляясь от нашей идеи, изложенной в §3. На этом пути он построил оптимальный оператор восстановления непрерывной функции. Оба автора получали оценки погрешности на классах равномерной регуляризации, задаваемых ограничением на норму производной г-го порядка в пространстве Ьр[а, Ь].

С другой стороны, задача восстановления функций как задача решения простейшего уравнения 1-го рода служит модельной задачей, на которой выявляются трудности, намечается перспектива и отрабатывается методика исследования вопроса о получении точных по порядку оценок погрешности приближённых решений уравнений 1-го рода с указанием величины порядка по 5 и на классах Мг2 [а, Ъ].

При исследовании некорректных задач теории приближения функций естественной является связь этих задач с соответствующими классическими задачами теории приближения функций. Так, задача о наилучшем восстановлении значений неограниченного оператора на элементах, заданных с погрешностью, связывается с задачей Стечкина о наилучшем приближении линейных неограниченных операторов ограниченными (см. работы В. В. Арестова [2], [3]).

В нашем случае получение точных по порядку оценок погрешности тесно увязывается с другой известной задачей — задачей Колмогорова-Никольского (задачей К-Н). Дадим определение задачи К-Н в соответствии с нашими обозначениями.

Определение 0.4. Если Ка — семейство операторов, для которого | Каи - и | —» 0 при а —» 0 равномерно на некотором классе М, то задачей

К-Н называется задача нахождения асимптотических значений для величины Ах(Ка, М), т.е. задача представления ее в виде:

Ах(Ка,М)=Сх(рх(а) + ц/х(а) (0.11)

где <рх(а) — вполне определённая функция; у/х{а) - о{(рх{а)). Эта задача является весьма трудной задачей (см. [18]). Решение её требует специального подхода, зависящего от класса М и семейства операторов Та. Наряду с этой задачей мы будем рассматривать другую, близкую к задаче К-Н — задачу нахождения точных по порядку а при а —» О оценок величин Ах(Ка, М), т.е. оценок вида:

С[(рх{а)+у/[{а) < Ах(Ка, М) < Схсрх{а)+уух{а) (0.12)

где С,, С,' — постоянные, не зависящие от а, а у/х(а),у/[{а) имеют порядок о{(рх{а)).

Для краткости изложения будем называть эту задачу задачей типа К-Н.

Пусть Та — семейство операторов, для которых при а -> 0, где

Таи-и

->0

v

= тах

( 0 <р<1

,(р)

Обозначим

Аи(Ка,М)= sup{|| м||(Ч/): и g М} А\р)(Ка, M) = sup{I (Kaufp) - и(р) ||с: и е М} Очевидно имеем:

A\j(Ka, M) = maxA\p (Ka, M)

(0.13)

(0.14) (0.15)

(0.16)

Определение 0.5. Задачу представления величин Ах1(Ка,М) в виде

(0.11) (или получения для них оценок вида (0.12)) будем называть задачей К-Н (типа К-Н) в пространстве С{1)[а,Ь].

Задача Колмогорова-Никольского имеет богатую историю, связанную с именами крупных специалистов в области приближения

функций (Б. Надь, С. Б. Стечкин, С. А. Теляковский, Ф. В. Ефимов, Н. П. Корнейчук и др. Краткий обзор результатов по этому направлению см. в [18]). Основные результаты здесь получены для различных классов периодических функций при использовании в качестве аппарата приближения линейных методов суммирования рядов Фурье. Приведём результаты А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского, которые будут использованы в дальнейшем.

Пусть и{х) — 2/г- периодическая непрерывная функция; —

операторы, соответствующие суммам Фурье и Фейера; КИ/Г—класс

функций, у которых и(г 1}(.х) абсолютно непрерывна, и(г>(х) < К п.в.;

Ыр/З, 0 < (5 < 1 — класс Липшица с показателем ¡3;

Ырк Д 0 < ¡3 < 1 — класс Липшица с показателем (5 и константой К ;

1¥гЫр/3, ¡¥'Ырк/3 — классы функций у которых м(г_1)(х) абсолютно

непрерывна, а и{г)(х) еЫр/З либо и{г\х) еЫркР\ Г(/?) — гамма функция.

Теорема 0.4 (А. Н. Колмогорова) ([22]). При /7 -» оо справедливы соотношения:

4 К 1п п

») = ~ + 0(п'г), г = 1, 2,... .

71 П

Теорема 0.5 (С. М. Никольского) ([41]). При «-»оо справедливы соотношения:

71 п * (ил Ч

0</?<1, г = 1,2,...

Теорема 0.6 (С. М. Никольского) ([41]).При п -» оо справедливы соотношения:

А К \пп _

+ 0(0, Р= 1

^^ ГО 1 ю

лг(1 - 0)пр

Отметим, что для классов М'2[а, Ъ], о которых в основном идёт речь в данной работе, задача Колмогорова—Никольского, насколько нам известно, не решалась.

Приведем еще один известный результат, близкий к полученному в §4 главы I. Пусть М[ - класс функций, отличающийся от К\¥г заменой

условия

и (г)(х) < К на || и(г) || < К . Тогда имеет место соотношение:

\У2

= - ¿717 (см. [50], с. 195)

Для решения задачи К-Н (или типа К-Н) на классах М[ [а, Ь] мы в данной работе пользуемся известным из теории приближений методом интегральных представлений. С этой целью в §4 главы I получено новое интегральное представление функций из пространства [а, Ь].

Нужно отметить, что представление функций одного переменного через интегралы от этих функций и их производных предлагались разными авторами для решения различных задач. Из наиболее близких к данному материалу можно указать:

интегральное представление периодических функций через функции Бернулли ([27], с. 94), с помощью которого решается задача К-Н для оператора, соответствующего частным суммам ряда Фурье, и дифференцируемых периодических функций на классах, задаваемых ограничениями на норму г-той производной;

интегральные представления, из которых вытекают оценки норм производных через нормы функции и её старших производных [8];

интегральные представления функций в Ь] в обратных задачах

для дифференциальных уравнений, учитывающих априорную информацию о функции (задание её значений или значений её производных) ([1]).

Интегральные представления, полученные в данной работе, отличаются от всех известных тем, что в них реализуется теорема о представлении функционала (в качестве которого берётся значение функции в точке отрезка [а, 6]) в УУ2[а, Ь].

На базе указанных интегральных представлений в теоремах 4.2 и 4.3 получаются формулы для величин Д(,р) (Ка, М2), р = 0,1,..., г -1, которые дают возможность исследовать асимптотическое поведение этих величин при а —> 0. Эти формулы являются универсальными: они справедливы для любого метода приближения непрерывных функций, представимого в интегральном виде. Теоремы 4.2 и 4.3 дают нам базу для решения задачи К-Н на классах М2[а, Ь] в метрике пространства Си)[а, Ь]. С их помощью

в §4 указанная задача решается для методов приближения функций, рассмотренных ранее, и получаются оценки погрешности задачи восстановления, точные и оптимальные по порядку. При этом используются результаты, полученные в предыдущих параграфах.

Указанные теоремы и полученные на их базе теоремы 4.5-4.9 представляют основные результаты главы I.

Исследования простейшего уравнения I рода с оператором вложения выявили возможности проведения аналогичных исследований для более сложных уравнений 1 рода.

В главе II методика, разработанная в главе I, применяется для получения точных по порядку оценок погрешностей приближённых

решений интегральных уравнений I рода. При этом общие положения указанной методики формулируются для такого интегрального уравнения и такого метода регуляризации Ta(S), что оператор ТаА является

интегральным. От ядра Ka(x,t) этого оператора достаточно потребовать,

чтобы существовал конечный max К(х,•) ; мы для простоты изложения

a<x<b Li

будем считать ядро непрерывным.

Затем рассматривается метод регуляризации Тихонова R S) и

интегральное уравнение, ядром которого является функция Грина линейного обыкновенного дифференциального оператора общего вида. Для этого уравнения решается задача получения точных по порядку и оптимальных по порядку оценок погрешности с указанием величины порядка по §.

Поскольку оператор RaA является интегральным с ядром

— G(x,t-—), где G(x,t,- —) — ядро резольвенты некоторого а а а

дифференциального оператора, то к решению указанной задачи привлекается теория линейных дифференциальных операторов: структура резольвенты, свойства функции Грина (известные и вновь получаемые), необходимые для выявления нужных асимптотик. Проводится достаточно громоздкая работа по выделению главных членов асимптотик в выражениях для ||Лв|| с и Д,(Лв, М[). Полученный результат обобщается

на оценки погрешностей для производных от решений — здесь вместо величин Д,(Яа,М2г) рассматриваются величины A\p)(Rap, М[),

соответствующие операторам приближения производных, и для них проводится аналогичная работа.

Наконец, в данной главе результаты, полученные для интегральных уравнений с ядром Грина, обобщаются на интегральные уравнения с

ядрами, разрывными на диагонали t = х. В этой части работы получение нужных асимптотик оказалось возможным благодаря исследованиям А. П. Хромова, В. С. Рыхлова, А. М. Минкина (см. [32], [54]) и др. по обращению интегральных операторов с ядрами, (т- 1)-я производная которых терпит разрыв на диагонали. В [54] показано, что при некоторых дополнительных предположениях о гладкости ядра интегрального оператора при t < х и t > х обратным для него является некоторый интегро-дифференциальный оператор. При этом известна структура резольвенты этого обратного оператора. Таким образом появляется возможность продолжить исследование указанной резольвенты, выяснить её поведение на некоторых лучах в комплексной р-плоскости и на основании этого получить оценку погрешности приближённого решения интегрального уравнения в методе регуляризации Тихонова.

Основной результат главы II — теоремы 2.4, 2.5 и 3.5.

Анализ метода регуляризации Тихонова, проведенный в главах I и II,

щ

позволил выявить те глубинные свойства резольвент соответствующих дифференциальных операторов, которые обеспечили сходимость приближенных решений к точному. На основании этого в главе III как обобщение этих результатов исследуются приближающие свойства резольвент линейных дифференциальных операторов общего вида. Именно, рассматривается резольвента такого оператора с регулярными краевыми условиями и оператор вида - ÄR(Ä) (Л - спектральный

параметр). Отметим, что в функциональном анализе известны приближающие свойства такого вида операторов. Именно, если R(Ä) = (В- АЕ)"', где В - эрмитов или полуэрмитов оператор в унитарном пространстве с всюду плотной областью определения DB, и при этом | Im Л\> у > 0, то на DB - ÄR(A)u-> и при Я -> оо ([42] с. 392).

Мы же устанавливаем этот факт для резольвенты дифференциального оператора и равномерной метрике при стремлении X —>■ оо по некоторым лучам в комплексной Л-плоскости. При этом сходимость обеспечивается на замыкании области определения.

В § 1 даётся ответ на вопрос:

какова должна быть непрерывная функция и по какому направлению Х—> со, чтобы для данного дифференциального оператора выполнялась сходимость:

\\- ХЯ(Х)и- м||с-> 0 при А —>■ со ?

Аналогично рассматривается вопрос о сходимости:

-» О, X -> оо.

др дри

дхр дхр

В случае, когда функция задана с погрешностью, строятся методы, являющиеся обобщениями метода регуляризации Тихонова, и получаются оценки погрешности.

В §2 результаты, полученные в §1, применяются для построения метода решения обратной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения: по решению краевой задачи, известному с погрешностью в метрике Ь2[а, Ь], либо С[а, Ь], получить приближение к правой части уравнения в равномерной метрике. Такие задачи возникают при решении задач математической физики (например, задача определения плотности тепловых источников при стационарном распределении в тонком стержне, на концах которого поддерживается нулевая температура). Постановка такой задачи дана в [17]. Мы здесь рассматриваем более общую, чем в [17], постановку: краевые условия дифференциального оператора мы берем произвольные, не обязательно регулярные, от дифференциального оператора требуем только его обратимость.

По сути решение интегрального уравнения 1 рода с ядром Грина, которое рассматривалось в главе И, дает решение обратной задачи в случае, когда известна функция Грина, а коэффициенты дифференциального уравнения обладают достаточной гладкостью. Метод данного параграфа может быть применен тогда, когда указанные условия не имеют места. Он сводится к построению приближений к функции вместе с ее производными, причем приближающие функции принадлежат области определения DL исходного дифференциального оператора, и

основывается на интегральном представлении функций из DL,

аналогичном полученному в §4 главы I.

Отметим, что для дифференциально-операторных уравнений в абстрактных пространствах исследование некоторых методов регуляризации, использующее свойства резольвенты, было проведено И. В. Мельниковой в работе [34].

Наконец, в §3 речь идет о подсчете верхних граней норм функций и их производных на классах М'2[а, Ь] или М2[а, Ъ]. Для этих граней получены формулы, вытекающие из интегральных представлений, используемых в данной работе. Указанные формулы могут служить для априорных оценок точных решений уравнений I рода или краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Как следствие из этих формул приводится подсчет точных значений норм операторов вложения из W2[a, b] в С{г~Х)[а, Ь\.

Основными теоремами в главе III являются теоремы 1.1, 2.3 и 3.1.

Как уже отмечалось, операторы Та в главе I, RaA - в главе II, а также приближающие операторы в главе III все имеют интегральный вид.

Для подсчета норм этих операторов нам потребуется легко получаемая

Лемма 0.1. Если К - интегральный оператор с множеством значений из пространства С[а, Ь] и ядром К(х, Г) таким, что существует

о

тах \\К2{х,1)\^

а<х<Ь J

< оо,

то

ь \1А

К||^с = тах \\Кг(х,1)\с11

(0.19)

Следствие.

где || Кр определяется по формуле (0.19).

Резюмируя вышесказанное, отметим еще раз принципиальные моменты проведенных в данной работе исследований.

1. Метод получения точных по порядку оценок погрешности отрабатывается на простейшей некорректной задаче — задаче восстановления функций, заданных с погрешностью.

2. Указанная задача рассматривается, с одной стороны, как задача решения уравнения 1 рода с оператором вложения, а с другой стороны, увязывается с известной задачей теории приближения функций - задачей Колмогорова-Никольского.

3. При исследовании метода регуляризации Тихонова в задаче восстановления функций мы переходим к уравнению Эйлера, благодаря чему этот, метод рассматривается как один из интегральных методов решения указанной задачи.

4. Методика получения точных по порядку оценок погрешности в задаче восстановления функций переносится на интегральные уравнения 1 рода.

5. Получение конкретных оценок с указанием величины порядка по 6 при рассмотрении интегральных уравнений 1 рода становится возможным благодаря тому, что оператор ЯаА выражается через резольвенту некоторого дифференциального или интегро-дифференциального оператора, структура которой известна.

6. Можно проследить следующую взаимосвязь теории приближения функций и теории некорректных задач: с одной стороны, некорректные задачи решаются с помощью методов теории приближений, а с другой стороны, методы регуляризации и их обобщения рассматриваются с точки зрения использования их в теории приближений для приближения непрерывных функций и их производных в равномерной метрике.

Основные результаты данной работы опубликованы в [57]—[91 ].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хромова, Галина Владимировна, 1998 год

Список литературы

1. Алифанов О. М. Об одном способе учета априорной информации при решении некорректных обратных задач.// Инж.-физич. Журнал. 1985. Т. Х1ЛХ. № 6. С. 925-932.

2. Арестов В. В. Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи // Труды МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 29-42.

3. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 2. С. 231-243.

4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука. 1965. 408 с.

5. Бакушинский А. В., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1989. 127 с.

6. Бакушинский А..Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризирующими алгоритмами // Изв. вузов. Математика. 1978. № 11. С. 6-10.

7. Бердышев В. И. Устойчивость элемента наилучшего приближения // Теория функций и приближений. Труды Сарат. зим. школы. 1983. Ч. I. Саратов: Изд-во Сараг. ун-та. С. 120-126.

8. Буренков В. И. О точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале // Труды МИАН СССР. 1980. Т. 156 .С. 22-29.

9. Васин В. В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С(-со,оо) // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1973. Т. 13. № 6. С. 1383-1389.

10. Васин В. В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Математические записки. Свердловск: изд-во УрГу. 1969. Т. 7. № 2. С. 29-32.

11. Васильев Ф. П. Оценка скорости сходимости метода регуляризации А.Н. Тихонова для неустойчивых задач минимизации // Доклады АН СССР. 1988. Т. 299. № 4. С. 792-796.

12. Васильев Ф. Г1. Оценка скорости сходимости метода регуляризации неустойчивых задач минимизации // Сб. "Прямые и обратные задачи матем. физики". М: Изд-во Моск. ун-та. 1991. С. 84-92.

13. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Ux, если л: задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определенных с ошибкой // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. Т. 145. С. 63-78.

14. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1983. 208 с.

15. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1975. Т. 15. № 4. С. 1053-1056.

16. Денисов А. М., Коровин С. В. Об интегральном уравнении I рода типа Вольтерра // Вестн. Моск. ун-та. Серия 15. 1992. №3. С. 22-28.

17. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994. 206 с.

18. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций. М.: Наука. 1977. 508 с.

19. Иванов В. К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сиб. мат. журн. 1966. Т. 7. № 3. С. 546-558.

20. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978. 206 с.

21. Кодингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958. 474 с.

22. Колмогоров А. Н. Zur Grossenordnung des Restgliedes Fouriersher Reihen differenzierbarer Funktionnen // Annals of Mathematics. 1935. V. 36. №2. С. 521-526.

23. Колпаков В. И. Приближенные методы восстановления в равномерной метрике функции вместе с ее производными по ее 8-приближению в Lp[a, Ь]. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Саратов. 1986. 118 с.

24. Колпакова Э. В. Численное решение задачи восстановления функций // Вычисл. методы и программирование. Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1977. Вып. 1. С. 20-29.

25. Колпакова Э. В., Колпаков В. И. Об одном регуляризирующем алгоритме восстановления функции и производной // Сарат. ун-т. Саратов. 1980. Деп. в ВИНИТИ. № 3953-80. 29 с.

26. Колпакова Э. В. Регуляризация задач нахождения равномерных приближений функции, заданной с погрешностью в Lp[0,1], и ее производной. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Саратов. 1983. 121 с.

27. Корнейчук П. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука. 1987.423 с.

28. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.:

1

Наука. 1976.320 с.

29. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. СО АН СССР. 1962. 92 с.

30. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 286 с.

31. Магницкий Н. А. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1975. Т. 15. № 5. С. 1317-1323.

32. Минкин А. М. Регулярность самосопряженных краевых условий // Математические заметки. 1977. Т. 22. № 6. С. 835-846.

33. Минкин А. М. Теорема равносходимости для нормального интегрального оператора с ядром типа функции Грина // Вычисл. методы и про-

граммирование. Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1977. Вып. 1. С. 181-190.

34. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука. 1995. 176 с.

35. Морозов В. А. О восстановлении функций методом регуляризации // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1967. Т. 7. № 4. С. 874-879.

36. Морозов В. А. Методы решения неустойчивых задач. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1987. 216 с.

37. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987. 240 с.

38. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 526 с.

39. Натансон И. 11. Конструктивная теория функций. М. - Л.: ГИТТЛ. 1949. 688 с.

40. Натансон И. П. Приложения интеграла Валле-Пуссена в теории рядов Фурье // ДАН СССР. 1945. Т. 49. № 6. С. 402-404.

41. Никольский С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4. № 6. С. 501-508.

42. Плеснер А. И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука. 1965.624 с.

43. Савелова Т. И. Об устойчивом дифференцировании функций // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1980. Т. 20. № 2. С. 501-505.

44. Salaff S. Regular boundary conditions for ordinary differential operators. Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 134. № 2. P. 355-373.

45. Сендов Б. X. Модифицированная функция Стеклова // Докл. Болг. Академии Наук. 1983. Т. 36. № 3. С. 315-317.

46. Сергеев В. О. Регуляризация уравнений Вольтерра I рода // ДАН СССР. 1971. Т. 197. № 3. С. 531-534.

2 ъг

47. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова Думка. 19 st. 268 с.

48. Страхов В. Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач // Дифференц. Уравнения. 1973. Т. IX. № 10. С. 1862-1874.

49. Ганана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука. 1981. 156 с.

50. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближения. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1976. 304 с.

51. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

52. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 285 с.

53. By Joel N. Franklin. On Tikhonov's method for Ill-Posed Problems // Mathematics of Computation. 1974. V. 28. № 128. P. 889-907.

54. Хромов А. П. Георемы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Математич. сборник. 1981. Т. 114(156). № 3. С. 378-405.

55. Хромова Г. В. О задаче восстановления производной // В сб. "Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов". Труды симпозиума. Киев. 1969. Вып. 5. С. 146-153.

56. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина // Изв. вузов. Математика. 1972. Т. 8 (123). С. 94104.

57. Хромова Г. В. Об одном способе нахождения приближенных решений операторных уравнений I рода // Дифференц. уравнения и вычисл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1973. Вып. 3. С. 53-79.

58. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций // Дифференц. уравнения и вычисл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. унта. 1975. Вып. 5. Ч. II. С. 60-76.

59. Хромова Г. В. Задача восстановления и уравнения I рода // Дифференц. уравнения и вычисл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1976. Вып. 6. Ч. I. С. 83-87.

60. Гурьянов В.М., Хромова Г. В. О влиянии погрешности исходных данных на сглаживание годографов сейсмических волн // Дифференц. уравнения и вычисл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1976. Вып. 6. Ч. I. С. 76-83.

61. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1977. Т. 17. № 5. С. 11611171.

62. Хромова Г. В. Об оценке погрешности задачи восстановления непрерывных функций // Методы решения некорректных задач и их приложения. Труды всесоюзной школы-семинара. Новосибирск. 1982. С. 265-266.

63. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференц. уравнения и вычисл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1984. Вып. 6. С. 53-58.

64. Хромова Г. В. Об оценке погрешности при сглаживании функций с помощью интегральных операторов с 8-образными ядрами // Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Труды Всесоюзной школы-семинара по некорректно поставленным задачам (23-30 июня 1985 г.) Саратов. 1985. С. 146-147.

65. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью // Теория функций и приближений. Труды 2-ой Сарат. зим. школы (24 янв. - 5 февр. 1984 г.) Межвуз. науч. сб.: изд-во Сарат. унта. 1986. Ч.З. С. 129-131.

2 3 Ц

66. Хромова Г. В. Оптимальные по порядку методы восстановления функций // В сб. "Численный анализ: методы и алгоритмы". Москва: изд-во Моск. ун-та. 1986. С. 94-99.

67. Хромова Г. В. Сглаживание функций и интегральны^ уравнений I рода // Теория функций и приближений. Труды 3-ей Сарат. зимней школы (27 янв. - 7 февр. 1986 г.) Межвуз. науч. сб.: изд-во Сарат. ун-та. 1988.'4.3. С. 77-78.

68. Хромова Г. В. О приближении непрерывных периодических функций с помощью интегральных операторов // Теория функций и приближений. Труды 4-ой Сарат. зимней школы. Межвуз. науч. сб.: изд-во Сарат. ун-та. 1990. Ч.З. С. 109-111.

69. Хромова Г. В. Об одном интегральном представлении функций // Математика и ее приложения. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1991. Вып. 2. С. 69-70.

70. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближенных решений интегральных уравнений I рода // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1990. №2. С. 19-23.

71. Хромова Г. В., Пономарева Е. Н. О приближениях линейными методами суммирования рядов Фурье на некотором классе функций // Дифференц. уравнения и теория функций. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1991. Вып. 9. С. 46-49.

72. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1992. № 4. С. 22-27.

73. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1993. № 1. С. 13-18.

74. Хромова Г. В. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений

1-го рода // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1994. № 4. С. 3-10.

75. Kromova G. V. On the estimation of error of approximate solution in regularization methods. // Труды международного конгресса ассоциации "Женщины математики" (Москва-Пущино, 30 мая-3 июня 1994). Изд. Нижегородского ун-та. 1994. Вып. 1 С.66-68.

76. Хромова Г. В. О приближающих свойствах резольвент линейных дифференциальных операторов. // Теория функций и приближений. Труды 7-ой Саратовской зимней школы 30 янв. - 4 февр. 1994 г. ). Межвуз. Науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та. 1995. ч.2., С. 68-71.

77. Хромова Г. В. Приближающие свойства резольвент дифференциальных операторов в задаче приближения функций и их производных. // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1998. Т. 38 № 7. С. 1036-1043.

78. Хромова Г. В. О верхних гранях норм функций и их производных. // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1998. № 2. С. 45-47.

79. Хромова Г. В. Об обратной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения. //Фундаментальная и прикладная математика.

1998*. Т. ВнпЛ. С. 70Э-К6.

80. Хромова Г. В. О восстановлении непрерывных периодических функций. // Сб. "Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций" . Тезисы докладов. Уфа. 1987. С. 172-173.

81. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближённых решений интегральных уравнений 1-го рода. // Сб. "Условно корректные задачи математической физики " . Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Алма-Ата. 1989. С. 93.

82. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближённых решений в методах регуляризации// Сб. "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" . Тезисы докладов международной конференции. Москва, 19-25 авг. 1991 г. изд-во ИПМ им. М. В. Келдыша АНСССР. 1991. С. 270.

83. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближений периодических функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций. // Сб. "Теория функций. Дифференц. уравнения в матем. моделировании." Тезисы докладов Воронежской зимней школы. Изд-во Воронеж, ун-та. 1993. С. 68-71.

84. Хромова Г. В. Об оценках в равномерной метрике погрешностей приближённых решений уравнений 1-го рода. // Тезисы докл. конференций российской ассоциации "Жш^ины-математики". Москва-Суздаль 1993. М. 1993 С. 54.

85. Хромова Г. В О приближениях к непрерывным функциям и методе регуляризации. // Сб. "Обратные и некорректно поставленные задачи". Тезисы докл. конфер. Москва. 1995. С. 54.

86. Хромова Г. В. О скорости сходимости приближенных решений уравнений 1-го рода и приближающих свойствах резольвент линейных дифференциальных операторов. // Сб. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ." Тезисы докл. Между-народ4. конф., поев. 90-летию С. М. Никольского. Москва. 1995. С.191.

87. Хромова Г. В. Приближающие свойств резольвент дифференциального оператора и некорректные задачи. // Сб. "Современные проблемы теории функций и их приложения." Тезисы докл. 8-ой Саратовск. зимней школы. Саратов. 1996. С. 119.

88. Хромова Г. В. О приближении функций и их производных с помощью резольвент линейных дифференциальных операторов. Сб. "Математика, Моделирование. Экология". Тезисы докл. IV межд. конфер. хенщин-математиков .Волгоград. 1996. С. 130-131.

89. Kromova G. V. The resolvent of linear differential operator and ill-posed problems. Сб. "Обратные и некорректно поставленные задачи". Тезисы докл. межд. конфер. Москва. 1996. С. 95.

90. Хромова Г. В. О приближениях к решениям краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Сб. "Современные проблемы теории функций и их приложения." Тезисы докл. 9-ой Сара-товск. зимней школы. 26 янв.-1февр. 1998 г. Изд-во Сарат. ун-та. 1997. С. 163.

91. Хромова Г. В. О методе регуляризации Тихонова для интегрального уравнения с разрывным ядром. // Сб. «Обратные и некорректные задачи». Тезисы докл. конференции. 1998г. Москва. Изд-во Моск. ун-та. С. 87.