Исследование биений в фазовых системах: генерация, синхронизация, приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Мищенко, Михаил Андреевич

• Мищенко, Михаил Андреевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мищенко, Михаил Андреевич

Содержание

Введение

Глава 1. Анализ биений в системе фазовой автоподстройки частоты

1.1. Введение. Режим биений в системе фазовой автоподстройки частоты

1.2. Анализ биений в системе ФАП с идеализированным фильтром

1.3. Анализ биений в системе ФАП с фильтром первого порядка

1.4. Анализ биений в системе ФАП с фильтром второго порядка

1.5. Выводы к первой главе

Глава 2. Генерация нейроноподобных колебаний в системе фазовой автоподстройки частоты

2.1. Введение. Динамические модели нейронов

2.2. Система ФАП как модель нейрона

2.3. Динамика нейроноподобного элемента на основе системы ФАП с фильтром верхних частот

2.3.1. Генерация нейроноподобных колебаний и их классификация

2.3.2. Разбиение пространства параметров на области, соответствующие различным типам нейроноподобных движений

2.4. Выводы ко второй главе

Глава 3. Синхронизация биений двух связанных систем фазовой автоподстройки частоты

3.1. Введение

3.2. Синхронизация биений двух соединённых систем ФАП первого порядка

3.3. Синхронизация биений двух соединённых систем ФАП второго порядка

3.3.1. Связь через сигналы фазовых рассогласований

3.3.2. Связь через сигналы частотных рассогласований

3.4. Выводы к третьей главе

Глава 4. Синхронизация связанных нейроноподобных элементов

4.1. Введение. Синхронизация в нейронных ансамблях

4.2. Синхронизация биений двух соединённых систем ФАП с фильтром верхних частот

4.3. Концептуальная модель фокуса внимания на основе систем ФАП

с фильтром верхних частот

4.4. Выводы к четвертой главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование биений в фазовых системах: генерация, синхронизация, приложения»

Введение

Актуальность темы исследования. Нелинейные системы фазовой синхронизации (системы фазовой автоподстройки частоты) широко применяются в радиофизике, радиосвязи, радиоизмерениях, радиолокации и т.д. для решения проблем стабилизации частоты, управления частотой и фазой колебаний. Построение теории систем фазовой синхронизации в основном базируется на изучении синхронных режимов в таких системах, поскольку именно эти режимы являются рабочими в прикладных задачах. Динамические свойства таких систем и, в частности, режим синхронизации интенсивно изучались в последние несколько десятилетий как отечественными, так и зарубежными исследователями (М.В. Капранов, В.В. Шахгильдян, JI.H. Белюстина, Б.И. Шахтарин, Г.А. Леонов, Г.И. Тузов, В.И. Тихонов, В. Линдсей, Т. Эндо, М.И. Жодзиш-ский, H.H. Удалов, В.Н. Кулешов, Ю.Н. Бакаев, В.Н. Белых, В.П. Понома-ренко, В.Д. Шалфеев, В.И. Некоркин, В.В. Матросов и др.). Интерес к этим исследованиям и сегодня остаётся постоянно высоким в связи с появлением новых актуальных приложений (задачи когерентного сложения мощностей и фазирования колебаний мощных СВЧ генераторов, оптоволоконных лазеров и др.). Что касается нерабочих асинхронных режимов биений, то они остаются слабоизученными. Однако в последнее десятилетие интерес к асинхронным режимам существенно возрос, по крайней мере, в связи с двумя обстоятельствами. Одно из них — перспектива использования хаотических колебаний (в том числе хаотических биений), генерируемых системой фазовой автоподстройки, в широкополосных системах связи (A.C. Дмитриев, М.В. Капранов, М. Кеннеди, В.Д. Шалфеев, В.В. Матросов и др.). Другое — перспектива использования систем фазовой автоподстройки для решения модельных задач нейроди-намики. Хотя эта идея крайне привлекательна в силу высокой актуальности исследования проблем нейродинамики, она является труднореализуемой из-за сложности поведения такого объекта моделирования, каким является нейрон

(М.И. Рабинович, Г. Абарбанель, Е. Ижикевич, Ф. Хоппенстадт, Н.Ф. Рульков, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов и др.). Одни из первых попыток моделирования динамики нейрона на основе системы фазовой автоподстройки частоты были сделаны в работах Ф. Хоппенстадта, P.M. Борисюка, В.И. Крюкова, однако здесь авторы ограничились рассмотрением только наиболее простых периодических колебаний нейрона.

Исходя из вышесказанного сформулируем цели и задачи настоящего исследования.

Цель диссертационной работы: проанализировать многообразие режимов биений в типовых системах фазовой автоподстройки частоты и на этой основе исследовать возможность построения элемента с нейроноподобной динамикой на базе системы ФАП.

Для достижения заявленной цели были поставлены следующие задачи.

• для типовых систем фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого и второго порядков исследовать режимы биений и провести их классификацию;

• провести вычисление областей существования различных типов биений в пространстве параметров;

• определить основные бифуркационные механизмы смены режимов биений;

• исследовать возможность построения нейроноподобного элемента на базе системы фазовой автоподстройки частоты в режиме биений;

• исследовать возможность синхронизации связанных нейроноподобных элементов для различных вариантов связей.

Научная новизна работы:

1. Проведено компьютерное моделирование различных режимов биений в типовой системе ФАП с фильтрами первого и второго порядка в цепи управления и проведена их классификация в зависимости от сложности. В пространстве параметров выделены области существования различных видов биений.

2. Рассмотрен специальный случай системы ФАП с фильтрами нижних и верхних частот в цепи управления. Изучены режимы биений, существующие в этой системе. Произведено разбиение пространства параметров на области существования различных режимов биений.

3. Предложена возможность использования системы ФАП с фильтрами верхних и нижних частот в режиме биений в качестве нейроноподобного элемента.

4. Исследованы различные варианты соединения предложенных систем для синхронизации биений. Показана возможность синхронизации биений и построены области существования режима синхронизации в пространстве параметров.

5. Проанализирована возможность использования рассматриваемого нейроноподобного элемента на базе системы ФАП в режиме биений для решения задачи формирования фокуса внимания.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость результатов, изложенных в диссертации, заключается в получении новых сведений о работе системы фазовой автоподстройки частоты за пределами полосы синхронизации и исследовании бифуркационных механизмов переходов между ними. В диссертации рассмотрено многообразие режимов биений в системах ФАП и установлены условия синхронизации биений в связанных системах. Практическая значимость состоит в возможности использования системы ФАП в режиме биений в качестве генератора сложных автомодуляционных колебаний, а также в качестве элемента с нейроноподобной динамикой. Была показана возможность синхронизации двух связанных нейроноподобных элементов.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении научно-исследовательских работ по контрактам №14.740.11.0075, №02.740.11.0839 ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013гг. JY5ll.519.il.1003 ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технического комплекса России» на 2007 - 2013

годы. Полученные в работе результаты используются в учебном процессе в рамках спецкурсов на радиофизическом факультете ННГУ.

Положения, выносимые на защиту:

1. В системах фазовой автоподстройки частоты вне области синхронизации реализуется широкий набор биений от простых квазигармонических до хаотических. Установлено существование биений, качественно похожих на колебательную активность нейронов, что позволяет использовать их для моделирования нейроноподобной динамики.

2. Характеристики биений, наблюдаемых в системе ФАП, существенно зависят от параметров инерционности фильтров и параметра частотной расстройки.

3. Использование принципа автоподстройки позволяет осуществить устойчивую синхронизацию биений двух связанных ФАП, то есть синхронизацию колебаний двух нейроноподобных элементов на базе ФАП.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность научных выводов диссертационной работы обеспечивается использованием методов теории колебаний и теории бифуркаций в сочетании с хорошо зарекомендовавшими себя методами компьютерного моделирования, подтверждается соответствием результатов качественного анализа и численного моделирования, совпадением с известными результатами других авторов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Всероссийская конференция "Нелинейная динамика в когнитивных исследованиях - 2011 "(Нижний Новгород, 2011г.), 15-я, 16-я и 17-я Научные конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 2011г., 2012г., 2013г.), 16-я и 17-я Нижегородские сессии молодых учёных (Нижний Новгород, 2011г., 2012г.), Всероссийская школа с международным участием "На пути к нейроморфному интеллекту: эксперименты, модели, технологии"(Нижний Новгород, 2011г.), 10-я Международная школа-конференция «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2013г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 13 печатных работ, из них 4 статьи в рецензируемых журналах «Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского» (2011,2013), «Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика» (2012), «The European Physical Journal Special Topics» (2013), 1 глава в монографии (2013), 8 работ в сборниках трудов и тезисов докладов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Автором были самостоятельно выполнены аналитические исследования, проведены численные исследования, а также сделана обработка данных расчётов. Постановка задачи и обсуждение полученных результатов проводилось совместно с научным руководителем. Обсуждение методов и алгоритмов численного моделирования проходило совместно с Матросовым В.В.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объём диссертации 104 страницы, включая 45 рисунков. Библиография включает 131 наименование на 15 страницах.

Глава 1

Анализ биений в системе фазовой автоподстройки частоты

В данной главе рассматривается динамика систем фазовой автоподстройки частоты за пределами полосы синхронизации. Исследуются различные варианты фильтров в кольце управления и влияние их параметров на динамические режимы системы. Раздел 1.1 «Введение» содержит общие сведения о системах фазовой автоподстройки частоты и существовании режима биений. В разделе 1.2 рассматривается система фазовой автоподстройки с идеализированным фильтром, приводятся основные динамические режимы и области их существования. В разделе 1.3 обсуждается система с фильтром первого порядка и исследуется влияние параметров на области существования динамических режимов. В разделе 1.4 исследуется один из возможных вариантов системы с фильтром второго порядка и некоторые из множества его динамических режимов. Раздел 1.5 содержит выводы к первой главе.

1.1. Введение. Режим биений в системе фазовой автоподстройки частоты

Синхронизация колебаний — фундаментальная задача. Явление синхронизации встречается не только в механике, радиоэлектронике, системах связи, но и в биологических системах, экономике и других областях науки и техники и заключается в совпадении или кратном совпадении частот и постоянстве или ограниченности разности фаз колебаний двух связанных систем. Для синхронизации колебательных процессов различной природы используются различные механизмы связей. В радиотехнике, электронике и системах связи очень широкое распространение получили системы фазовой синхронизации, также называ-

емые в отечественной литературе системами фазовой автоподстройки частоты (ФАП). Эти системы выполняют задачи синхронизации, стабилизации и управления частотой и фазой колебаний, фильтрации, демодуляции и многие другие [1, 2]. Основной идеей функционирования таких устройств является организация управления частотой подстраиваемого генератора сигналом на основе разности фаз подстраиваемого и опорного сигналов. Структурная схема системы фазовой автоподстройки представлена на рис.1.1. Основными элементами си-

Рис. 1.1. Структурная схема системы фазовой автоподстройки [3]

стемы являются: подстраиваемый автогенератор (Г), фазовый дискриминатор (ФД), фильтр (Ф) и управляющий элемент (У). Схема функционирует по следующему принципу. Периодический сигнал с выхода генератора Г с текущим значением фазы сравнивается на фазовом дискриминаторе с колебаниями опорного сигнала с текущей фазой во, в результате чего на выходе ФД формируется сигнал, зависящий от разности фаз (р = во — в\. Далее сигнал с выхода ФД проходит через фильтр, устраняющий из сигнала высокочастотные компоненты, и поступает на управляющий элемент, который изменяет частоту подстраиваемого генератора, приводя её в соответствие с частотой опорного сигнала. Математическая модель такой системы ФАП может быть представлена следующим уравнением [2, 3]:

^ + (1.1)

где р = (1/(И — оператор дифференцирования, Г2 — максимальная расстройка по частоте, которую может скомпенсировать цепь управления, 7=Г2Н/Г2, ~

начальная частотная расстройка колебаний, К(р) — коэффициент передачи фильтра в операторной форме, F(ip) — нормированная характеристика фазового дискриминатора. Для любого конкретного фильтра с коэффициентом передачи К(р) от символической записи модели (1.1) можно перейти к ФАП в форме конкретного дифференциального уравнения, порядок которого определяется типом фильтра К(р).

Из приведённого уравнения (1.1) следует, что опорный и подстраиваемый генераторы будут работать синхронно, если ip = const. В этом режиме частоты опорного и подстраиваемого генераторов равны, а медленные изменения параметров, определяющих эти частоты, практически полностью компенсируются действием системы автоподстройки. В фазовом пространстве математической модели режиму синхронизации соответствует устойчивое состояние равновесие.

Иногда в системах ФАП реализуется режим, при котором имеется периодическая модуляция частоты подстраиваемого генератора около стабилизированной по опорному сигналу средней частоты. Будем называть такой режим режимом квазисинхронизации. В фазовом пространстве этому режиму отвечают колебательные (ограниченные по координате ср) аттракторы системы. Колебательные движения могут быть как регулярными, так и хаотическими, поэтому квазисинхронные режимы делятся на регулярные и хаотические.

Также в фазовом пространстве моделей могут существовать аттракторы, у которых амплитуда по координате (р превышает 2тт, но при этом число набегов по координате <р на 2п компенсируется числом набегов на — 27г. В силу ограниченности фазовых траекторий по координате <р такие аттракторы являются колебательными аттракторами с проворотом, а соответствующие им режимы ФАП — квазисинхронными режимами с проворотом фазы.

В случае, когда разность фаз опорного и подстраиваемого сигналов неограниченно нарастает, говорят о режиме биений. Этому режиму в фазовом пространстве соответствуют вращательные или колебательно-вращательные аттракторы. Вращательные и колебательно-вращательные аттракторы отличаются

друг от друга тем, что на вращательных аттракторах координата ц> нарастает непрерывно, а на колебательно-вращательных процесс нарастания содержит колебательные стадии. Аналогично квазисинхронным режимам, режимы биений могут быть разделены на регулярные и хаотические.

С понятием режимов работы системы ФАП непосредственно связано понятие области синхронизации. Под областью синхронизации обычно понимают область в пространстве параметров, в которой реализуется режим синхронизации между опорным и подстраиваемым генераторами, то есть фазовом пространстве существует устойчивое состояние равновесия. По аналогии можно определить область квазисинхронизации, в которой реализуется режим квазисинхронизации.

Области за пределами областей синхронизации и квазисинхронизации отвечают режимам биений. В традиционной области применения систем ФАП основным считался режим синхронизации [1, 2, 4]. Однако в последние десятилетия появился интерес к режиму биений, поскольку в этом режиме могут наблюдаться автомодуляционные колебания различной сложности, в том числе хаотические [3, 5-7].

Вопросу исследования нелинейной динамики систем ФАП за пределами полосы синхронизации стали уделять внимание в конце 1980-х - 1990-х годах. В работах Т. Endo и соавторов [8-10], а также других авторов [11, 12] конце 1980-х - 1990-х годах были приведены результаты по исследованию нелинейных динамических режимов, в том числе хаотических, за пределами полосы синхронизации системы ФАП. Основные итоги этих исследований были подведены в обзоре 1994 года [10]. Полученные результаты показывали многообразие динамических режимов биений, однако в силу ограниченности вычислительных мощностей исследование было неполным и недостаточно детализированным. В частности, не были представлены разбиения пространства параметров на области существования найденных динамических режимов и выделены бифуркационные переходы между областями.

В 2000х годах задача изучения поведения систем ФАП в режиме биений вновь получила внимание исследователей, в основном в качестве системы генерации сложных хаотических колебаний. Результаты подобных исследований встречаются в публикациях [13-18], а также в книге [19].

В представленной работе приведены результаты математического моделирования и анализа динамики систем ФАП за пределами полосы синхронизации. Представлены разбиения пространства параметров на области существования динамических режимов и исследованы бифуркационные механизмы, соответствующие переходам между найденными режимами.

Для исследования и анализа рассматриваемых динамически систем использовался программный комплекс "ДНС - Динамика нелинейных систем "[20]. Данный программный комплекс, разработанный проф. Матросовым В.В., предназначен для исследования динамики моделей, представляемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Основой для нелокального исследования моделей в виде систем ОДУ являются способы и алгоритмы, основанные на методах теории колебаний [21] и качественной теории нелинейных динамических систем [22-24]. Основное внимание при исследовании нелинейных систем уделяется изучению установившихся движений. В фазовом пространстве этим движениям соответствуют аттракторы (притягивающие множества): состояния равновесия, определяющие режимы стационарных состояний; предельные циклы и инвариантные торы, определяющие соответственно режимы одночастотных и двухчастотных колебаний; странные аттракторы, определяющие режимы хаотических колебаний; ограниченные особые траектории, определяющие стационарные синхронные режимы неавтономных систем. В качестве характеристик движений моделей используются временные реализации решений, фазовые портреты и проекции фазовых портретов аттракторов, картины точечного отображения, однопараметрические бифуркационные диаграммы, мультипликаторы периодических движений, ляпуновские показатели, спектры мощности и автокорреляционные функции. Реализации процессов дают

возможность получить информацию о характере и изменениях фазовых координат с течением времени, определить время выхода на стационарный процесс. Фазовые портреты и их проекции дают наглядное представление о поведении траекторий в пространстве состояний модели, они позволяют изучать и обнаруживать бифуркации периодических и хаотических движений. Отображения Пуанкаре на секущей поверхности являются наглядной иллюстрацией характера решений исследуемых моделей. Они весьма информативны при изучении периодических и автостохастических движений. Устойчивость периодического движения характеризуют его мультипликаторы. Выход одного из мультипликаторов на единичную окружность является строгим критерием бифуркации цикла. Построение бифуркационных кривых позволяет выделять в пространстве параметров модели области с различным динамическим поведением, выявлять и объяснять режимы мультистабильного поведения систем и гистерезис-ные явления при вариациях параметров. Спектр мощности процесса - одна из основных характеристик периодических и хаотических колебаний в динамических системах, позволяющая идентифицировать сложные режимы и переход к хаотической динамике при вариации параметров. Ляпуновские характеристические показатели являются одними из важнейших характеристик аттракторов в фазовом пространстве. Наличие положительных показателей в спектре ляпу-новских характеристических показателей служит строгим критерием странного аттрактора. Отличительной особенностью комплекса ДНС от существующих программных средств является способность изучать фазовые траектории динамических систем, определенных в цилиндрических и тороидальных фазовых пространствах.

Перейдем к анализу биений в системах ФАП с различными типами фильтров. Будем рассматривать системы с синусоидальной характеристикой фазового дискриминатора, то есть F(ip) = sin ip, хотя результаты могут быть обобщены на другие типы характеристик.

1.2. Анализ биений в системе ФАП с идеализированным фильтром

Начнём рассмотрение с простейшего случая, когда К{р) = 1. При этом уравнение (1.1) имеет первый порядок [2]:

d(f . /, г,\

— + sm<^ = 7 (1.2)

ат

где т = Ш. Такую систему называют системой первого порядка [2]. Она близка к реальной системе ФАП с очень широкой полосой пропускания фильтра. Фазовым пространством такой системы является окружность.

Из анализа уравнения (1.2) можно увидеть, что в системе при у < 1 существует пара состояний равновесия — устойчивое и неустойчивое. Устойчивое состояние равновесия в системе ФАП соответствует режиму синхронизации опорного и подстраиваемого генераторов. При 7 > 1 состояния равновесия исчезают, и в системе реализуется режим биений. Режиму биений соответствует изменение частоты подстраиваемого генератора около начальной частоты 7.

Теоретический анализ такой системы был проведен в работе [2].

С помощью пакета программ "Динамика нелинейных систем "получены ос-циллогаммы, демонстрирующие изменение переменных <р{т) и ф(т) вне области синхронизации. Они представлены на рис.1.2. Из осциллограмм видно, что разность фаз опорного и подстраиваемого генераторов <р непрерывно нарастает во времени, а разность частот ф(т) совершает колебания около некоторого среднего значения, близкого к 7.

При 7 > 1 в системе (1.2) существуют периодические колебания. Исследуем зависимость частоты колебаний от параметра 7. Посчитанная методом численного моделирования зависимость частоты колебаний v от 7 изображена на рис.1.3. Так как колебаниям в системе (1.2) в фазовом пространстве соответствует движение по окружности, то частота колебаний может быть вычислена по формуле: v = lim ^г. Как можно увидеть из рис.1.3 параметр 7 позволяет

т—оо Z7rr

т

Рис. 1.2. Осциллограммы (пунктирная линия) и (¿>(т) (сплошная линия) системы (1.2) при 7 = 1.6

плавно менять частоту колебаний на выходе системы.

1.3. Анализ биений в системе ФАП с фильтром первого порядка

Рассмотрим систему ФАП с пропорционально-интегрирующим фильтром К(р) = (1 + пТр)/( 1 + Тр), где Т — постоянная времени фильтра, параметр О < п < 1. Уравнение (1.1) для такого фильтра может быть записано в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

dip ^ =

dy

е— = 7 — sin ^ — (1 + n COS (p)y, (1.3)

ar

где r = Ш — безразмерное время, e = ОТ и n — безразмерные параметры фильтра нижних частот. Данная система определена на фазовом цилиндре (ip(mod27r),y). На рис.1.4а представлены приведенные в [3] графики разбиения плоскости параметров (7, е) при п = const на области Di, D2, D3, D4, соответствующие различным режимам работы. Расположение фазовых траекторий на фазовой поверхности для значений параметров, удовлетворяющих областям D\, D2, D3 и Z>4, представлено на рис.1.4б-г.

Как можно увидеть из рис.1.46, в области Di существует устойчивое состояние равновесия Oi и состояние равновесия типа седло О2; в области D<2 кроме двух указанных выше состояний равновесия, существует устойчивый вращательный предельный цикл L, которому соответствует режим биений с периодической колебательной динамикой (рис.1.4в). Граница между областями Z^i и D2 соответствует бифуркационной кривой петли сепаратрис второго рода. В области D3 также существует неустойчивый предельный цикл Г, который сливается с предельным циклом L на границе между областями и D\ и влипает в петлю сепаратрис седла О2 на границе областей D3 и ZV При переходе через прямую 7 = 1 происходит слияние состояний равновесия 0\ и О2 через

(а)

Рис. 1.4. Разбиение плоскости параметров (7, е) модели (1.3) на области с различным динамическим поведением(а); фазовые портреты (б) и развертки фазовых цилиндров (в) для областей £>1, Дг, £>з; развертки фазовых цилиндров для бифуркационных значений параметров (г) [3]

1о

бифуркацию седло-узла, поэтому в области Д4 существует только устойчивый предельный цикл второго рода Ь (рис.1.4г).

Таким образом, интересующие нас режимы биений имеют место в областях А4, £>2 и Б3. Проанализируем биения в наиболее характерной области £>4. На рис. 1.5 представлена зависимость частоты периодических колебаний в области

Рис. 1.5. Зависимость частоты колебаний в системе (1.3) от 7 для трёх значений е = 0.1 (сплошная линия), е = 1 (пунктирная линия), е = 10 (штрихпунктирная линия)

Д4 от параметра 7 при трёх различных значениях параметра е. Качественно она аналогична зависимостям, полученным для системы первого порядка, изображенной на рис.1.3. Однако при 7=1 частота колебаний ненулевая, поскольку предельный цикл, соответствующий режиму колебаний в фазовом пространстве, образуется при пересечении бифуркационной кривой петли сепаратрисы седла (граница областей и £>2) при 7 < 1.

Таким образом, видно, что в системах ФАП первого и второго порядков биения являются достаточно простыми, изменение частоты при биениях является периодическим, и частота биений и связана с величиной параметра 7 -чем больше 7, тем больше частота биений V. А появления более сложных биений следует ожидать в системах ФАП третьего порядка и выше. К их анализу и перейдем далее.

1.4. Анализ биений в системе ФАП с фильтром второго порядка

На практике для улучшения фильтрующих свойств системы ФАП, например при использовании в приемниках модулированных сигналов, применяются фильтры более высоких порядков [1, 2, 25-27]. Однако, поскольку при повышении порядка фильтра повышается порядок дифференциального уравнения и, как следствие, размерность фазового пространства, то в таких системах может наблюдаться большое многообразие динамических режимов, в том числе хаотических.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мищенко, Михаил Андреевич, 2013 год

Литература

1. Акимов В. Н., Белюстина JI. Н., Белых В. Н. и др. Системы фазовой синхронизации / Под ред. В. В. Шахгильдян, Л. Н. Белюстина. Москва: «Радио и связь», 1982. С. 288.

2. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. 2-е изд. изд. Москва: «СВЯЗЬ», 1972. С. 497.

3. Матросов В. В., Шалфеев В. Д. Динамический хаос в фазовых системах. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2009. ISBN: 978-5-91326-210-3.

4. Афраймович В. С., Некоркин В. И., Осипов Г. В., Шалфеев В. Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации / Под ред. А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович. Нижний Новгород: Институт прикладной физики РАН, 1989.

5. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи. Москва: Физматлит, 2002.

6. Иванченко М. В. Генерация и синхронизация колебаний в системах с «многомасштабны» хаосом. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. госун-та, 2007.

7. Мишагин К. Г., Шалфеев В. Д., Пономаренко В. П. Нелинейная динамика систем фазирования в антенных решетках. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2007.

8. Endo Т., Chua L. Chaos from phase-locked loops // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1988. Vol. 35, no. 8. P. 987-1003.

9. Endo T., Chua L., Narita T. Chaos from phase-locked loops. High-dissipation case // Circuits and Systems, IEEE .... 1989. Vol. 35, no. 2. P. 255-263.

10. Endo T. A review of chaos and nonlinear dynamics in phase-locked loops // Journal of the Franklin Institute. 1994. Vol. 32, no. 95. P. 859-902.

11. Chu Y., Chou J., Chang S. Chaos from third-order phase-locked loops with a slowly varying parameter // Circuits and Systems, IEEE .... 1990. Vol. 31, no. 9. P. 1104-1115.

12. Bernstein G. M., Lieberman M. A., Lichtenberg A. J. Nonlinear dynamics of a digital phase locked loop // IEEE Transactions on communications. 1989. Vol. 37, no. 10. P. 1062-1070.

13. Wang P.-y. Chaos In Phase Locked Loop // 2006 International Symposium on VLSI Design, Automation and Test. 2006. Vol. 1. P. 1-2.

14. Sarkar B., Chakraborty S. Chaotic Dynamics of a Third Order PLL with Resonant Low Pass Filter in Face of CW and FM Input Signals // Aceee International Journal .... 2012. Vol. 03, no. 01. P. 3-7.

15. Banerjee T., Sarkar B. C. Chaos and bifurcation in a third-order digital phase-locked loop // AEU - International Journal of Electronics and Communications. 2008. Vol. 62, no. 2. P. 86-91.

16. Monteiro L., a.C. Lisboa, Eisencraft M. Route to chaos in a third-order phase-locked loop network // Signal Processing. 2009. Vol. 89, no. 8. P. 1678-1682.

17. Harb A. M., Harb B. A. Chaos control of third-order phase-locked loops using backstepping nonlinear controller // Chaos, Solitons & Fractals. 2004. Vol. 20, no. 4. P. 719-723.

18. Harb B. a., Harb A. Chaos and bifurcation in a third-order phase locked loop // Chaos, Solitons k Fractals. 2004. Vol. 19, no. 3. P. 667-672.

19. Best R. E. Phase-Locked Loops: Design, Simulation, and Applications. 5th edition. New York: McGraw-Hill, 2003. ISBN: 0-07-141201-8.

20. Матросов В. В. Динамика Нелинейных Систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем. Нижний Новгород: Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2002.

21. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2е изд. Москва: Наука, 1981.

22. Андронов А. А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. Москва: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1967.

23. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. Москва: «Наука», Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1988.

24. Шильников Л., Шильников А., Тураев Д., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

25. Lindsey W. С. Synchronization systems in communication and control. Prentice Hall, 1972.

26. Lindsey W. C., Simon M. K. Telecommunication systems engineering. Courier Dover Publications, 1973.

27. Lindsey W. C., Simon M. K. Phase-locked loops and their application. IEEE Press, 1978.

28. Матросов В. В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 3. С. 267-278.

29. Матросов В. В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 4. С. 357-368.

30. Сафонов В. М. Фазовая автоподстройка частоты с фильтрами второго порядка // Научные доклады высшей школы.—Радиотехника и электроника. 1958. № 4. С. 114-128.

31. Бакаев Ю. Н. Синхронизирующие свойства фазовой системы автоматической подстройки частоты третьего порядка // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10, № 6. С. 1083-1087.

32. Белюстина Л. Н., Быков В. В. О бифуркациях и некоторых качественных характеристиках системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Труды симпозиума по прикладной математике и кибернети-ке.-М.: Наука. 1973. С. 28-32.

33. Белых В. Н., Некоркин В. И. Качественные исследования системы трех дифференциальных уравнений теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39, № 4. С. 642-649.

34. Леонов Г. А. Устойчивость и колебания фазовых систем // Сибирский математический журнал. 1975. Т. 16, № 5. С. 1031-1052.

35. Белых В. Н., Некоркин В. И. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего порядка // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42, № 5. С. 808-819.

36. Белюстина Л. Н., Кивелева К. Г., Фрайман Л. А. Качественно-численный метод в исследовании трехмерных нелинейных СФС // Системы фазовой синхронизации/Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л.Н., М: Радио и связь. 1982. С. 21-38.

37. Матросов В. В. Регулярные и хаотические колебания в фазовой системе // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, № 23. С. 4-8.

38. Мищенко М. А. Нейроноподобная модель на основе системы фазовой автоподстройки частоты // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. 2011. Т. 5, № 3. С. 279-282.

39. Мищенко М. А., Шалфеев В. Д., Матросов В. В. Нейроноподобная динамика в системе фазовой синхронизации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, № 4. С. 122-130.

40. Мищенко М. А., Шалфеев В. Д. Система фазовой синхронизации как модель нейрона // Труды 15-й Научной конференции по радиофизике, посвященной 110-й годовщине со дня рождения A.A. Андронова. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2011. С. 91-92.

41. Мищенко М. А., Шалфеев В. Д. Нейроноподобная модель на основе фазового осциллятора // Труды 16-й Нижегородской сессии молодых учёных. Нижний Новгород: ИП Гладкова О.В., 2011. С. 52-54.

42. Мищенко М. А., Шалфеев В. Д. Нейроноподобный элемент на основе системы фазовой синхронизации // Труды всероссийской конференции «Нелинейная динамика в когнитивных исследованиях». Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2011. С. 143.

43. Мищенко М. А., Шалфеев В. Д. Система фазовой автоподстройки частоты как модель нейрона // Сборник докладов международной научной конференции и молодежной школы « На пути к нейроморфному интеллекту: эксперименты, модели и технологии». Нижний Новгород: 2011. С. 24-25.

44. Абарбанель Г. Д. И., Рабинович М. И., Селверстон А. и др. Синхронизация в нейронных ансамблях // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, № 4. С. 363-390.

45. Izhikevich E. M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting (Computational Neuroscience). 1 edition. The MIT Press, 2007. ISBN: 0262090430.

46. Hodgkin A. L., Huxley A. F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // The Journal of Physiology. 1952. Vol. 117, no. 4. P. 500-544.

47. Rabinovich M., Varona P., Selverston A., Abarbanel H. Dynamical principles in neuroscience // Reviews of Modern Physics. 2006. Vol. 78, no. 4. P. 1213-1265.

48. Chay T. Electrical bursting and intracellular Ca2+ oscillations in excitable cell models // Biological Cybernetics. 1990. Vol. 63, no. 1. P. 15-23.

49. Buchholtz F., Golowasch J., Epstein I., Marder E. Mathematical model of an identified stomatogastric ganglion neuron // Journal of Neurophysiology. 1992. Vol. 67. P. 332-340.

50. Golomb D., Guckenheimer J., Gueron S. Reduction of a channel-based model for a stomatogastric ganglion LP neuron // Biological Cybernetics. 1993. Vol. 69, no. 2. P. 129-137.

51. FitzHugh R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane // Biophysical Journal. 1961. Vol. 1, no. 6. P. 445-466.

52. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon // Proceedings of the IRE. 1962. Vol. 50, no. 10. P. 2061-2070.

53. Morris C., Lecar H. Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber. // Biophysical journal. 1981. Vol. 35, no. 1. P. 193-213.

54. Hindmarsh J. L., Rose R. M. A Model of Neuronal Bursting Using Three Coupled First Order Differential Equations // Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences. 1984. Vol. 221, no. 1222. P. 87-102.

55. Chay Т. R. Chaos in a three-variable model of an excitable cell // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. Vol. 16, no. 2. P. 233-242.

56. Борисюк Г. H., Борисюк Р. М., Казанович Я. Б. и др. Осцилляторные нейронные сети. Математические результаты и приложения // Математическое моделирование. 1992. Т. 4, № 1. С. 3-43.

57. Izhikevich Е. М., Ermentrout В. Phase model // Scholarpedia. 2008. Vol. 3, no. 10. P. 1487.

58. Cohen A., Holmes P., Rand R. The nature of the coupling between segmental oscillators of the Lamprey spinal generator for locomotion: a mathematical model // Journal of mathematical biology. 1982. Vol. 13. P. 345-369.

59. Hoppensteadt F. C., Izhikevich E. M. Pattern recognition via synchronization in phase-locked loop neural networks. // IEEE transactions on neural networks / a publication of the IEEE Neural Networks Council. 2000. Vol. 11, no. 3. P. 734-8.

60. Ermentrout B. Ermentrout-Kopell canonical model // Scholarpedia. 2008. Vol. 3, no. 3. P. 1398.

61. Ermentrout G., Kopell N. Frequency Plateaus in a Chain of Weakly Coupled Oscillators, I. // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1984. Vol. 15, no. 2. P. 215-237.

62. Hoppensteadt F. Voltage-controlled oscillations in neurons // Scholarpedia. 2006. Vol. 1, no. 11. P. 1599.

63. Flaherty J. E., Hoppensteadt F. Frequency entrainment of a forced van der Pol oscillator // Interim Report Rensselaer Polytechnic Inst., Troy, NY. Dept. of Mathematical Sciences. 1977. Vol. 1.

64. Hoppensteadt F. Biologically Inspired Circuits: Coalition Formation in Aggre-

gates // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2006. Vol. 16, no. 11. P. 3349-3355.

65. Buonocore A., Di Crescenzo A., Diekmann О. et al. Heuristics for the Hodgkin-Huxley system // Mathematical Biosciences. 2013. Vol. 245, no. 1. P. 56-60.

66. Hoppensteadt F., Izhikevich E. M. Weakly connected neural networks / Ed. by J. Marsden, L. Sirovich. New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN: 0-387-94948-8.

67. Шалфеев В. Д. Исследование динамики системы фазовой автоподстройки частоты с разделительным конденсатором в цепи управления // Известия вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11, № 3. С. 397-406.

68. Шалфеев В. Д. Система ФАП с разделительной емкостью // Радиотехника. 1970. Т. 10. С. 63-65.

69. Матросов В. В., Шмелев А. В. Нелинейная динамика ансамбля из двух фазоуправляемых генераторов с кольцевым типом объединения // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 4. С. 67-80.

70. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. Москва: Наука, 1987.

71. Мищенко М. А., Матросов В. В., Шалфеев В. Д. Синхронизация биений двух связанных систем фазовой автоподстройки частоты // Материалы X Международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур» / Под ред. Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, Ю. Левин, А. Е. Храмов. Саратов: Издательский центр «Наука», 2013. С. 121.

72. Шалфеев В. Д., Матросов В. В., Мищенко М. А. Приложения коллективной динамики фазовых систем - нейронная сеть // Нелинейная динамика систем

фазовой синхронзации. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2013. С. 324-341. ISBN: 978-5-91326-201-1.

73. Lindsey W. С., Chie С. М. A survey of digital phase-locked loops // Proceedings of the IEEE. 1981. Vol. 69, no. 4. P. 410-431.

74. Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. Москва: Сов. радио, 1977.

75. Журавлев В. И. Поиск и синхронизация в широкополосных системах. Москва: Радио и связь, 1986.

76. Yuen J. A double-loop tracking system // Communications, IEEE Transactions on. 1972. Vol. 20, no. 6. P. 1142-1150.

77. Ohlson J. Polarization tracking of a partially coherent signal using a double loop // Communications, IEEE Transactions on. 1975. Vol. 23, no. 9. P. 859-866.

78. Шебшаевич В., Дмитриев П., Иванцевич Н. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. Москва: Радио и связь, 1993.

79. Короновский А., Москаленко О., Храмов А. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // Успехи физических наук. 2009. Т. 179, № 12. С. 1281-1310.

80. Osipov G., Pikovsky A., Kurths J. Phase Synchronization of Chaotic Rotators // Physical Review Letters. 2002. Vol. 88, no. 5. P. 054102.

81. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. et al. Locking-Based Frequency Measurement and Synchronization of Chaotic Oscillators with Complex Dynamics // Physical Review Letters. 2002. Vol. 89, no. 26. P. 264102.

82. Endo Т., Chua L. Synchronization of chaos in phase-locked loops // Circuits and Systems, IEEE Transactions on. 1991. Vol. 38, no. 12. P. 1580-1588.

83. Endo Т., Chua L. Synchronizing chaos from electronic phase-locked loops // Circuits and Systems, 1992. ISCAS'92..... 1992. P. 3-6.

84. Hasegawa A., Komuro M., Endo Т., Igarashi R. A new type of intermittency from a ring of four coupled phase-locked loops // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 1998. Vol. 45, no. 6. P. 623-633.

85. Ivanchenko M., Osipov G., Shalfeev V., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2004. Vol. 189, no. 1-2. P. 8-30.

86. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. Москва: Главная редакция физико-математической литературы, издательство «Наука», 1971.

87. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. Москва: Наука, Гл. ред. физико-матем. лит-ры, 1981.

88. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. Москва: Техносфера М., 2003.

89. Матросов В. В. Динамика двух фазоуправляемых, связанных через нелинейный элемент генераторов с малоинерционными цепями управления // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 3. С. 15-32.

90. Matrosov V. V., Mishchenko М. A., Shalfeev V. D. Neuron-like dynamics of a phase-locked loop // The European Physical Journal Special Topics. 2013. Vol. 222, no. 10. P. 2399-2405.

91. Мищенко M. А., Матросов В. В., Шалфеев В. Д. Синхронизация биений в ансамбле связанных фазоуправляемых генераторов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. Т. 3, № 1. С. 71-74.

92. Матросов В. В., Мищенко М. А., Шалфеев В. Д. Синхронизация биений в связанных фазоуправляемых генераторах // Труды 17-й научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения B.C. Троицкого. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2013.

93. Казанович Я. В., Борисюк Р. М. Синхронизация в нейронной сети фазовых осцилляторов с центральным элементом // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 8. С. 45-60.

94. Brunei N., Hakim V. Fast global oscillations in networks of integrate-and-fire neurons with low firing rates. // Neural computation. 1999. Vol. 11, no. 7. P. 1621-1671.

95. Kazantsev V., Pimashkin A. Forced phase-locked states and information retrieval in a two-layer network of oscillatory neurons with directional connectivity // Physical Review E. 2007. Vol. 76, no. 3.

96. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

97. Nowotny Т., Huerta R., Rabinovich M. I. Neuronal synchrony: peculiarity and generality. // Chaos (Woodbury, N.Y.). 2008. Vol. 18, no. 3. P. 037119.

98. Brunei N., Hakim V. Sparsely synchronized neuronal oscillations. // Chaos (Woodbury, N.Y.). 2008. Vol. 18, no. 1. P. 015113.

99. Simonov A., Kastalskiy I., Kazantsev V. Pattern retrieval in a three-layer oscillatory network with a context dependent synaptic connectivity. // Neural networks

: the official journal of the International Neural Network Society. 2012. Vol. 33. P. 67-75.

100. Newman S. D., Just M. A., Carpenter P. a. The synchronization of the human cortical working memory network. // Neurolmage. 2002. Vol. 15, no. 4. P. 810-22.

101. Nowotny T., Rabinovich M. Dynamical Origin of Independent Spiking and Bursting Activity in Neural Microcircuits // Physical Review Letters. 2007. Vol. 98, no. 12. P. 128106-.

102. Rabinovich M., Huerta R., Varona P. Heteroclinic Synchronization: Ultrasub-harmonic Locking // Physical Review Letters. 2006. Vol. 96, no. 1. P. 014101.

103. Rabinovich M., Huerta R., Laurent G. Neuroscience. Transient dynamics for neural processing. // Science (New York, N.Y.). 2008. Vol. 321, no. 5885. P. 48-50.

104. Curtis C. E., Lee D. Beyond working memory: the role of persistent activity in decision making. // Trends in cognitive sciences. 2010. Vol. 14, no. 5. P. 216-22.

105. Butera R. J., Rinzel J., Smith J. C. Models of Respiratory Rhythm Generation in the Pre-Bôtzinger Complex . II. Populations of Coupled Pacemaker Neurons // Journal of Neurophysiology. 1999. Vol. 82. P. 398-415.

106. Baluch F., Itti L. Mechanisms of top-down attention. // Trends in neurosciences. 2011. Vol. 34, no. 4. P. 210-24.

107. Ban S.-W., Lee I., Lee M. Dynamic visual selective attention model // Neurocomputing. 2008. Vol. 71, no. 4-6. P. 853-856.

108. Carrasco M. Visual attention: the past 25 years. // Vision research. 2011. Vol. 51, no. 13. P. 1484-525.

109. Corchs S., Deco G. A neurodynamical model for selective visual attention using oscillators. // Neural networks : the official journal of the International Neural Network Society. 2001. Vol. 14, no. 8. P. 981-90.

110. Gazzaley A., Nobre A. C. Top-down modulation: bridging selective attention and working memory. // Trends in cognitive sciences. 2012. Vol. 16, no. 2. P. 129-35.

111. Itti L., Koch C. Computational modelling of visual attention. // Nature Reviews Neuroscience. 2001. Vol. 2, no. 3. P. 194-203.

112. Mayer J. S., Bittner R. A., Nikolic D. et al. Common neural substrates for visual working memory and attention. // Neurolmage. 2007. Vol. 36, no. 2. P. 441-53.

113. Mira J., Delgado A. E., Lopez M. T. et al. A conceptual frame with two neural mechanisms to model selective visual attention processes // Neurocomputing. 2008. Vol. 71, no. 4-6. P. 704-720.

114. Rollenhagen J. E., Olson C. R. Low-frequency oscillations arising from competitive interactions between visual stimuli in macaque inferotemporal cortex. // Journal of neurophysiology. 2005. Vol. 94, no. 5. P. 3368-87.

115. Shipp S. The brain circuitry of attention. // Trends in cognitive sciences. 2004. Vol. 8, no. 5. P. 223-30.

116. Song J.-H., Jiang Y. Visual working memory for simple and complex features: an fMRI study. // Neurolmage. 2006. Vol. 30, no. 3. P. 963-72.

117. Summerfield C., Egner T. Expectation (and attention) in visual cognition. // Trends in cognitive sciences. 2009. Vol. 13, no. 9. P. 403-9.

118. Thut G., Miniussi C., Gross J. The Functional Importance of Rhythmic Activity in the Brain // Current Biology. 2012. Vol. 22, no. 16. P. R658-R663.

119. Walther D. B., Koch C. Attention in hierarchical models of object recognition. // Progress in brain research. 2007. Vol. 165, no. 06. P. 57-78.

120. Treisman A. Feature binding, attention and object perception. //Philosophical transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological sciences. 1998. Vol. 353, no. 1373. P. 1295-306.

121. Hubel D. H. Eye, brain, and vision. Scientific American Library/Scientific American Books, 1995.

122. Starzyk J. A., Prasad D. K. A computational model of machine consciousness // International Journal of Machine Consciousness. 2011. Vol. 03, no. 02. P. 255-281.

123. López M. Т., Fernández M. a., Fernández-Caballero A. et al. Dynamic visual attention model in image sequences // Image and Vision Computing. 2007. Vol. 25, no. 5. P. 597-613.

124. Chik D., Borisyuk R., Kazanovich Y. Selective attention model with spiking elements. // Neural networks : the official journal of the International Neural Network Society. 2009. Vol. 22, no. 7. P. 890-900.

125. Kryukov V. I. An attention model based on the principle of dominanta // Neurocomputers and attention I. Neurobiology, synchronization and chaos. 1991.

126. Kazanovich Y., Burylko O., Borisyuk R. Competition for synchronization in a phase oscillator system // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2013. Vol. 261. P. 114-124.

127. Борисюк Г. H., Борисюк Р. М., Казанович Я. Б., Иваницкий Г. Р. Модели динамики нейронной активности при обработке информации мозгом - итоги «десятилетия» // Успехи физических наук. 2002. Т. 172, № 10. С. 1189-1214.

128. Kazanovich Y. В., Borisyuk R. М. Dynamics of neural networks with a central element. // Neural networks : the official journal of the International Neural Network Society. 1999. Vol. 12, no. 3. P. 441-454.

129. Borisyuk R. M., Kazanovich Y. B. Oscillatory neural network model of attention focus formation and control // Biosystems. 2003. Vol. 71, no. 1-2. P. 29-38.

130. Borisyuk R. M., Kazanovich Y. B. Oscillatory model of attention-guided object selection and novelty detection. // Neural networks : the official journal of the International Neural Network Society. 2004. Vol. 17, no. 7. P. 899-915.

131. Borisyuk R., Kazanovich Y., Chik D. et al. A neural model of selective attention and object segmentation in the visual scene: an approach based on partial synchronization and star-like architecture of connections. // Neural networks : the official journal of the International Neural Network Society. 2009. Vol. 22, no. 5-6. P. 707-19.