Математическое моделирование эффективных упругих характеристик композиционных материалов с условиями мягкого неидеального контакта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Щетинин Виталий Николаевич

• Щетинин Виталий Николаевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Щетинин Виталий Николаевич

Введение

Глава 1. Обзор современных методов, алгоритмов и программных пакетов для моделирования характеристик композиционных материалов с учетом

неидеального контакта между фазами

1.1 Многомасштабное моделирование

1.2 Постановка задачи гомогенизации упругих свойств композиционного материала

1.3 Методы решения задачи гомогенизации

1.3.1 Аналитические методы гомогенизации

1.3.2 Принцип энергетической эквивалентности Хилла-Менделя

1.3.3 Метод асимптотического осреднения

1.4 Вычислительные методы задачи гомогенизации

1.5 Моделирование адгезии в задаче гомогенизации

1.5.1 Подходы к моделированию адгезии

1.5.2 Трехфазная модель композиционного материала

1.5.3 Модели неидеального контакта, полученные с помощью разложения в ряд Тейлора на границе фаз

1.5.4 Классификация моделей неидеального контакта

1.5.5 Модели неидеального контакта, полученные с помощью асимптотических разложений

1.6 Обратная задача гомогенизации

1.6.1 Постановка прямой и обратной задач гомогенизации с условиями неидеального контакта

1.6.2 Методы решения обратной задачи гомогенизации

1.7 Метод конечных элементов для решения задачи гомогенизации

с условиями неидеального контакта

1.8 Современные программные пакеты для расчета эффективных свойств

1.9 Выводы к первой главе

Глава 2. Математическая модель эффективных упругих характеристик композиционных материалов с условиями мягкого неидеального контакта

2.1 Задача статики неоднородной среды с тонким упругим межфазным слоем

2.2 Метод асимптотического осреднения для неоднородной среды с межфазным слоем

2.2.1 Локальная задача для ячейки периодичности с межфазным слоем

2.2.2 Локальная задача для 1/8 ячейки периодичности с межфазным слоем

2.2.3 Эффективные упругие характеристики композиционного материала с межфазным слоем

2.3 Локальная задача с условиями мягкого неидеального контакта

2.4 Процедура осреднения для задачи с условиями мягкого неидеального контакта

2.5 Задача идентификации коэффициентов неидеального контакта

2.6 Выводы ко второй главе

Глава 3. Численный метод решения локальных задач с

условиями мягкого неидеального контакта

3.1 Вариационная формулировка локальной задачи с условиями

мягкого неидеального контакта

3.2 Метод конечных элементов для решения локальной задачи с условиями мягкого неидеального контакта

3.3 Пружинный конечный элемент для моделирования скачка перемещений на границе фаз композиционного материала .... 55 3.3.1 Преимущества и недостатки пружинного конечного

элемента

3.4 Поверхностный конечный элемент для моделирования скачка перемещений на границе фаз композиционного материала

3.4.1 Условия неидеального контакта в конечно-элементном виде

3.4.2 Локальная матрица жесткости поверхностного конечного элемента

3.4.3 Численный метод расчета эффективных упругих характеристик

3.4.4 Алгоритм добавления интерфейсных конечных

элементов в конечно-элементную модель

3.5 Программный комплекс

3.5.1 Общая структура программного комплекса

3.5.2 Библиотека классов для решения задачи гомогенизации

3.5.3 Библиотека классов для решения краевых задач методом конечных элементов

3.5.4 Программный интерфейс пользователя

3.5.5 Методы и алгоритмы для решения прямой и обратной задач гомогенизации с условиями мягкого неидеального контакта

3.5.6 Параллельные вычисления для решения прямых и обратных задач гомогенизации

3.6 Выводы к третьей главе

Глава 4. Вычислительные эксперименты

4.1 Дисперсно-армированный композит

4.1.1 Сравнение результатов расчета эффективных упругих характеристик с условиями идеального контакта и экспериментальных данных

4.1.2 Идентификация параметров межфазного слоя трехфазной модели по экспериментальным данным

4.1.3 Численное сравнение трехфазной модели и модели с условиями мягкого неидеального контакта

4.1.4 Численная идентификация коэффициентов мягкого неидеального контакта для дисперсно-армированного композиционного материала

4.2 Однонаправленный композит

4.2.1 Сравнение результатов расчета эффективных упругих характеристик с условиями идеального контакта и экспериментальных данных

4.2.2 Численное сравнение трехфазной модели и модели с условиями мягкого неидеального контакта

4.2.3 Идентификация коэффициентов неидеального контакта по экспериментальным данным для транстропного композита

4.3 Выводы к четвертой главе

Общие выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование эффективных упругих характеристик композиционных материалов с условиями мягкого неидеального контакта»

Введение

На сегодняшний день к точности математических моделей композиционных материалов (КМ) предъявляются все более высокие требования. Одним из перспективных направлений развития является разработка моделей КМ с учетом адгезии между матрицей и армирующим. Адгезией принято называть поверхностное явление установления механической связи между телами. Экспериментально установлено, что в результате сложных физико-химических явлений на поверхности контакта фаз, протекающих в процессе технологического производства КМ, между матрицей и армирующим возникает тонкий межфазный (адгезионный) слой, обладающий отличными от них механическими свойствами.

Как правило, при моделировании КМ используют теорию эффективных сред - теорию гомогенизации. Задачей таких теорий является построение процедуры перехода от структурно-неоднородных сред к однородным с осред-ненными (эффективными) свойствами. В классических подходах к расчету эффективных свойств для связи полей перемещений и напряжений в матрице и наполнителе используют условия идеального контакта. Данные условия постулируют неразрывность перемещений и нормальных напряжений при переходе через границу фаз. При расчете упругих осредненных свойств учет того, что фазы взаимодействуют через тонкую упругую пленку, необходим для правильной оценки вклада свойств армирующей фазы в свойства КМ в целом.

Существует два подхода к моделированию адгезии. В первом отталкиваются от детального моделирования физико-химических процессов установления механической связи. Во втором подходе, использованном в диссертации, отталкиваются не от причин появления адгезии, а от макро-эффекта, который вносит адгезия в напряженно-деформированное состояние КМ. В рамках данного подхода разработаны параметризованные модели контакта между телами, а параметры идентифицируют по макро-характеристикам КМ.

В ранних работах R.M. Christensen, Y. Mikata, N.J. Pagano, G.P. Tandon, K.H. Lo по данному направлению для моделирования упругого контакта между фазами вводили дополнительную фазу - тонкую объемную пленку, покрывающую наполнитель. Такой подход получил название трехфазного моделирования (three-phase-material theory). Он обладает набором существенных недостатков: толщина межфазного слоя неизвестна и трудноизмерима; масштаб толщины на порядки меньше масштаба включений КМ, что приводит к дополнительным трудностям в численном анализе.

Альтернативным подходом является исключение межфазного слоя из геометрического описания структуры материала в связи с малостью его толщины. При этом учет адгезии производится с помощью соотношений неидеального контакта на границах матрицы и армирующего. Построению перехода между трехфазной моделью и моделью с условиями неидеального контакта посвящены работы M. Goland, E. Reissner, Y. Benveniste, Z. Hashin, T. Miloh, P. Bovik, D. Caillerie, A. Klarbring, Б.А. Мовчан, G. Geymonat, R. Rodriguez-Ramos, F. Lebon, S. Dumont, R. Rizzoni. Согласно работам Z. Hashin и Y. Benveniste, жесткость адгезионного слоя, образованного естественным путем, меньше, чем жесткости фаз КМ. Это позволяет использовать так называемые условия мягкого неидеального контакта, допускающие только разрыв поля перемещений. На базе данного подхода построено множество методов расчета КМ для частных схем армирования.

В последнее время широко используются методы численной гомогенизации, построенные на базе вариационного подхода и метода асимптотического осреднения (МАО). Вариационный подход получил развитие в работах Z. Hashin, S. Shtrikman, R. Hill, J. Mendel, В.С. Зарубина, Г.Н. Кувыркина. МАО разработан Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко для осреднения дифференциальных уравнений в частных производных, применен Б.Е. Победрей для решения задач гомогенизации свойств КМ и развит Ю.И. Димитриенко для численного анализа свойств КМ пространственной схемы армирования. Процедура осреднения в МАО построена на решении локальных задач на ячейке периодич-

ности материала, представляющих собой набор дифференциальных уравнений с периодическими условиями.

В работах Ю.И. Димитриенко, А.И. Кашкарова и А.П. Соколова представлена численная реализация метода Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко и Б.Е. Победри, основанная на сведении задач на ячейке периодичности к задачам "классического типа". Однако, данная реализация не учитывала адгезионных эффектов.

Задачей настоящей работы являлась дальнейшая разработка МАО и его численной реализации для учета влияния адгезионных эффектов на эффективные упругие свойства с помощью условий мягкого неидеального контакта.

Цель работы - разработка комплексного подхода для моделирования упругих характеристик композиционных материалов с учетом упругости межфазного слоя.

Для достижения поставленной цели решены следующие основные задачи:

1. Разработана математическая модель упругих свойств пространственно-армированных КМ, учитывающая упругость межфазного слоя.

2. Разработан вычислительный метод расчета эффективных характеристик КМ, учитывающий условия мягкого неидеального контакта между фазами.

3. Разработан программный комплекс для расчета эффективных характеристик КМ с моделью мягкого неидеального контакта.

Методы исследования. Для решения задач, поставленных в диссертационной работе, использованы следующие методы исследования: метод асимптотического осреднения Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко и Б.Е. Победри, метод конечных элементов (МКЭ) для решения задач численной гомогенизации упругих свойств КМ и метод последовательного квадратичного программирования для решения задач идентификации коэффициентов моделей. Результаты численных расчетов сравнивались с экспериментальными данными из открытых источников.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. На базе метода асимптотического осреднения разработана математическая модель эффективных упругих характеристик КМ пространственной схемы армирования с учетом условий мягкого неидеального контакта.

2. Разработан конечно-элементный метод решения линейно-упругих задач на 1/8 ячейке периодичности с учетом условий мягкого неидеального контакта.

3. Разработан программный комплекс для решения задачи гомогенизации упругих характеристик КМ с учетом условий мягкого неидеального контакта.

Практическая значимость. Разработанный в диссертационной работе метод вносит вклад в семейство численных методов гомогенизации, построенных на базе метода асимптотического осреднения. Метод позволяет более точно прогнозировать упругие свойства КМ с высоким отношением площади поверхности контакта фаз к объему.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель эффективных упругих характеристик КМ пространственной схемы армирования с условиями мягкого неидеального контакта.

2. Конечно-элементный метод расчета упругих эффективных характеристик КМ широкого класса армирования, позволяющий учитывать вклад упругости мягкого межфазного слоя без введения такового в геометрическое описание материала.

3. Программный комплекс для численного решения задач гомогенизации КМ с моделью неидеального контакта между фазами.

4. Результаты сравнительных исследований эффективных упругих характеристик КМ, полученных с помощью расчетов с условиями идеального контакта, неидеального контакта, трехфазной модели и натурных экспериментов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждена сравнением с экспериментальными данными из открытых источников.

Результаты, представленные в диссертации, хорошо согласуются с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных мероприятиях: International Conference on Mechanics of Composites (Stony Brook, USA, 2014); IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 201б); XX Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2017); Всероссийская научная конференция "Обратные краевые задачи и их приложения" (Казань, 2014); Международная конференция "Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы" (Москва, 2017); Московский ежемесячный семинар Молодых Ученых и Студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2017); 9th International Conference on Material and Manufacturing Technology (Moscow, 2019); 10th International Conference on Material and Manufacturing Technology (Kuala Lumpur, Malaysia, 2019).

Личный вклад соискателя. Все исследования в диссертационной работе проведены лично соискателем в процессе научной деятельности под руководством научного руководителя. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в 3 статьях в журналах, входящих в Перечень российских рецензируемых научных изданий, ив 3 научных публикациях и изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus [1-9].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, общих выводов, заключения и списка литературы. Работа представлена на 127 страницах, содержит 28 иллюстраций, 2 таблицы. Список литературы включает 159 наименований.

Глава 1. Обзор современных методов, алгоритмов и программных пакетов для моделирования характеристик композиционных материалов с учетом неидеального контакта между фазами

1.1 Многомасштабное моделирование

Практически все материалы обладают неоднородной структурой на некотором масштабе длины. Механическое поведение композиционных материалов в значительной степени зависит от их микроструктурных характеристик: объемной доли, формы, ориентации и распределения армирующей фазы. Проведение натурных экспериментов на большом количестве материалов с различными геометрическими и физическими характеристиками не представляется целесообразным. Кроме того, выполнение прямого численного моделирования для всей макроструктуры со всеми неоднородностями будет включать в себя огромное количество переменных, что чрезвычайно сложно, если не невозможно.

Для решения данной проблемы были разработаны многомасштабные методы, в которых задача на домене неоднородной среды разбивается на задачи на макроскопическом и микроскопическом масштабах. Целью последних является определение осредненного отклика гетерогенной среды.

Многомасштабные методы подразделяются на связанные (сопсиггеп^ методы и методы гомогенизации [10]. В связанных методах [11-14] задачи на микроскопическом и макроскопическом масштабах решаются одновременно. Это необходимо в случае сильной связи задач на разных масштабах. В методах гомогенизации [15-18] микро- и макрозадачи решаются раздельно.

Для использования методов гомогенизации должны выполняться следующие допущения. Масштабы длин I микро- и Ь макрозадач должны сильно отличаться: I ^ Ь. Необходима энергетическая эквивалентность между двумя масштабами, также известная как условие Хилла-Менделя [19; 20].

1.2 Постановка задачи гомогенизации упругих свойств композиционного материала

Композиционный материал является неоднородной средой с определяющими соотношениями вида:

где ¥ — оператор определяющих соотношений; х - декартовы координаты точки неоднородной среды; а и е - тензоры напряжений и деформации соответственно. Для случая упругой неоднородной среды определяющие соотношения могут быть записаны в виде обобщенного закона Гука:

где а^ - компоненты тензора напряжений; "к/ - компоненты тензора деформации; Сцы - компоненты тензора модулей упругости, зависящие от координат х точки неоднородной среды и в более общем случае называемые материальными функциями.

Для композиционных материалов функции С^к/ (х) являются разрывными (при переходе через границу фаз скачком изменяются упругие свойства среды), быстро осциллирующими зависимостями [21]. Численное моделирование сред с такими материальными функциями, на основе использования, к примеру, метода конечных элементов, является вычислительно сложной задачей, а зачастую и вовсе невозможно.

Для инженерных расчетов неоднородную среду заменяют на однородную с некоторыми новыми эффективными свойствами. Такой подход получил название метода гомогенизации. В основе всех методов гомогенизации лежит замена определяющих соотношений композиционного материала, включающих зависящие от координат материальные функции, на осреднённые определяющие

а = ¥ (е, х),

(1.1)

а^ = сцы (x)еk/,

(1.2)

соотношения, зависящие от средних (эффективных) параметров некоторой однородной среды:

(ау) = ("к/), (1.3)

где (Uij) и ("к/) - компоненты осредненных тензоров напряжений и деформации соответственно; - компоненты эффективного (осредненного) тензора модулей упругости.

Эффективный тензор модулей упругости часто называют просто тензором модулей упругости композиционного материала, а полученные с его помощью упругие технические константы Ёц, р,у и С^ - эффективными модулями Юнга, коэффициентами Пуассона и модулями сдвига композиционного материала соответственно.

Таким образом, задачу гомогенизации Н можно поставить как отображение вида:

Н : С, С\С2,...СМ ! С, (1.4)

где С - геометрическое описание материала: концентрации фаз, ячейка периодичности, представительный объем; Са - тензор модулей упругости фазы а; N - количество фаз.

1.3 Методы решения задачи гомогенизации

Существует множество методов гомогенизации. Представляется возможным разделить их на три принципиально отличающихся друг от друга семейства: аналитические методы гомогенизации; методы на базе принципа энергетической эквивалентности Хилла-Менделя и методы на базе метода асимптотического осреднения. Последние два семейства методов позволяют

строить численные реализации для произвольной пространственной схемы армирования.

1.3.1 Аналитические методы гомогенизации

Аналитические методы гомогенизации идеализируют геометрию рассматриваемого материала, заменяя армирующую фазу на включения канонической формы (чаще всего эллипсоиды) и рассматривают только простые схемы армирования.

Аналитические методы часто используют подход Эшелби к задаче об одном эллиптическом включении, погруженном в матрицу бесконечных размеров [22]. К таким методам можно отнести метод Мори-Танака [23] и метод самосогласования (или самосогласованного поля) [24].

Известными методами гомогенизации, которые идеализируют исследуемый материал, являются метод Фойгта (1988 г.) и Рейсса (1929 г.) и метод Хашина-Штрикмана [25], позволяющие построить "вилку", в которой должны находиться эффективные свойства. Широкий обзор аналитических методов гомогенизации можно найти в работе [26].

1.3.2 Принцип энергетической эквивалентности Хилла-Менделя

В альтернативном подходе к определению эффективных свойств композиционного материала выделяют некоторый представительный объем (Representative Volume Element - RVE), необязательно периодический, ограниченный поверхностью Е. При решении задачи статики представительный объем V также находится в равновесии:

@ OVi

= 0, x 2 V, i = 1,2,3, (1.5)

OXj

где x - координаты точки представительного объема.

Чтобы многомасштабное моделирование было энергетически согласованным, энергия деформации на макроуровне должна быть равна осредненной по объему энергии деформации на микроуровне [19; 20]. Это означает, что в любом состоянии равновесия представительного объема будет выполняться условие:

(ау)("у ) = ("у )Сук/("к1) = \ "у^ (1.6)

получившее название принципа энергетической эквивалентности Хилла-Менде-ля. На базе данного принципа получают граничные условия для задачи (1.5).

В отсутствии объемных сил, данное условие можно переписать через работу сил на поверхности

1 J т щ(2 = 1 ! а у "ij (V, (1.7)

где тi - компоненты вектора нормальных напряжений на поверхности щ - компоненты вектора перемещений.

В результате осреднения тензоров напряжений и деформации по объему представительного элемента среды получим:

к-) = у1у а у (V; (1.8)

("у) = Ц "ij(V. (1.9)

Применяя теорему Гаусса и соотношения Коши к выражениям (1.8, 1.9), получают связь между осредненными тензорами напряжений и деформации и компонентами поля перемещений щ и нормальных напряжений т на поверхности представительного объема:

1 Г

(аij) = ту I тi

V ^ 1 г 1

V./Е 2

("ij) = 77 o(uinj + Щ П)((2,

(1.10) (1.11)

где щ - компоненты вектора нормали к поверхности Е.

Используя выражения (1.7, 1.10, 1.11), получаем последовательно:

1 I Tih"ik)xkdS = {"ik)1 I TxXkdS, (1.12)

t/ E t/ E

1J Ui{Gij)njdS = {Gij) 1J UiUjdS, (1.13)

1J nj{"ij){&ik)xkdS = {"ij){&ik) 1J njXkdS. (1.14)

Комбинируя полученные выражения и выражение (1.7), условие Хилла-Менделя можно переписать так:

1 L(Ti- {Gij )nj )(ui- {"ij )xj)dS=(1.15)

Полученное условие порождает три системы граничных условий для задачи (1.5):

— Граничные условия в перемещениях:

ui = {"ij)xj, x 2 S. (1.16)

— Граничные условия в нормальных напряжениях:

Ti = {Gj)nj, x 2 S. (1.17)

— Периодические граничные условия. Представим решение на представительном объеме в виде суммы:

u = ü + U, (1.18)

где ü - функция тренда поля перемещений, ü - флуктуация вокруг функции тренда. Тогда условию (1.15) будет также удовлетворять система периодических граничных условий на поля перемещений и нормальных напряжений на поверхности представительного объема [27]:

U] = °, x 2 S;

(1.19) [т] = °, x 2 S.

В русскоязычной литературе принцип энергетической эквивалентности получил название вариационного принципа гомогенизации. Значительный вклад в развитие данного принципа внесли В.С. Зарубин и Г.Н. Кувыркин [28-31]. В работах этих авторов получены двусторонние оценки свойств композиционных материалов различных схем армирования. Оценки построены на основе двойственной вариационной постановки задачи (1.6), состоящей из двух альтернативных функционалов: минимизируемого функционала Лагранжа и максимизируемого функционала Кастильяно.

Отметим, что метод энергетической эквивалентности удобен тем, что порождает граничные условия как для вариационных задач в перемещениях (вариационного функционала Лагранжа), так и для вариационных задач в напряжениях (вариационного функционала Кастильяно). Тем самым метод позволяет численно строить двусторонние оценки эффективных свойств, а значит и оценку погрешности.

1.3.3 Метод асимптотического осреднения

В 70-х годах Н.С. Бахвалов положил начало работам над методом асимптотического осреднения для решения дифференциальных уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами [32-34]. Другими пионерами данного направления являются E. Sanchez-Palencia [35], J.L. Lions, A. Bensoussan, G. Papanicolaou [36], О.А. Олейник [37], В.Л. Бердичевский [38] и I. Babuska [39]. Фундаментальным трудом по методу асимптотического осреднения, до сих пор не потерявшим своей актуальности, является книга Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко [40]. Более современной монографией по данному направлению является книга Г.П. Панасенко [41].

В 80-х годах Б.Е. Победря применил метод асимптотического осреднения для решения задачи гомогенизации свойств композиционных материалов [21]. В

рамках метода асимптотического осреднения предполагается, что модель схемы армирования композиционного материала обладает периодической структурой. В таком случае представительным объемом материала является ячейка периодичности (ЯП). Метод асимптотического осреднения позволяет вычислять эффективные свойства композиционных материалов с различными схемами армирования на основе решения специальных краевых задач на ЯП, называемых "локальными". Локальные задачи представляют собой дифференциальные уравнения с условиями периодичности.

Дальнейшее развитие метод асимптотического осреднения получил в работах Ю.И. Димитриенко [42-45]. Им и его учениками разработаны методы для численного анализа свойств композиционного материала пространственной схемы армирования в рамках механики прочности, задач долговечности и надежности, задач теплофизики и фильтрации.

Данная работа является развитием перечисленных подходов, поэтому подробно метод асимптотического осреднения будет представлен в следующих главах.

1.4 Вычислительные методы задачи гомогенизации

В последнее время широкое развитие получили методы численной гомогенизации [46-48]. Первой работой по данному направлению принято считать работу D. Adams и D. Doner [49] в 60-х годах, реализовавших расчет эффективных коэффициентов теплопроводности с помощью метода конечных разностей. Позднее появились работы по реализации вариационного метода гомогенизации с помощью МКЭ [50].

Идея применения МКЭ для решения задачи гомогенизации на базе метода асимптотического осреднения развита Ю.И. Димитриенко и А.П. Соколовым [51]. Для эффективной численной реализации локальные задачи на ячейке

периодичности с периодическими граничными условиями и интегральным условием нормировки сведены ими к набору задач с классическими граничными условиями.

В последнее время для решения задач гомогенизации набирает популярность так называемый расширенный МКЭ (Х-РЕМ) [52]. Поверхность раздела фаз в данном методе может проходить внутри конечного элемента, а изменение упругих характеристик учитывается при составлении функций формы элемента.

1.5 Моделирование адгезии в задаче гомогенизации

В классических подходах к расчету упругих эффективных свойств для связи полей перемещений и напряжений в матрице и наполнителе используют условия идеального контакта. Данные условия постулируют неразрывность перемещений и нормальных напряжений при переходе через границу фаз, исходя из гипотезы идеальной связи и условий локального равновесия соответственно.

По мере того как характерная длина гетерогенной структуры уменьшается (как, например, в нанокомпозитах), из-за большого отношения площади поверхности контакта фаз к объему материала влияние поверхности и энергии границы раздела на общий отклик материала становится значительным [53-61].

Таким образом, очень важно расширить метод гомогенизации, чтобы учесть механические эффекты, связанные с границей раздела между составляющими материала.

1.5.1 Подходы к моделированию адгезии

Существует два подхода к моделированию адгезии. В первом отталкиваются от детального моделирования физико-химических процессов установления механической связи [62; 63]. Например, в работе [64] упругие свойства адгезионного слоя оценивали с помощью методов молекулярной физики, основываясь на гипотезах о молекулярном строении межфазного слоя. Были получены аналитические зависимости упругих констант от молекулярных и структурных характеристик слоя. Во втором подходе отталкиваются не от причин появления адгезии, а от макро-эффекта, который вносит адгезия в напряженно-деформированное состояние композиционного материала. Разрабатывают параметризованные модели контакта между телами, а параметры идентифицируют по макро-характеристикам композиционного материала.

В рамках данного исследования использован второй подход. Ниже приведена небольшая историческая справка о его развитии.

1.5.2 Трехфазная модель композиционного материала

В ранних работах для моделирования упругого контакта между фазами вводили дополнительную виртуальную фазу - тонкую объемную пленку, покрывающую наполнитель. Такой подход получил название трехфазного моделирования (three-phase-material theory). Аналитические трехфазные модели рассмотрены в работах [65-68]. Контакты между матрицей, слоем и наполнителем считаются идеальными. Численные расчеты эффективных свойств с помощью трехфазной модели проводили в более современной работе [69]. Данный подход обладает набором существенных недостатков: толщина межфазного слоя неизвестна и трудноизмерима; масштаб толщины на порядки меньше

масштаба включений композиционного материала, что приводит к дополнительным трудностям в численном анализе.

1.5.3 Модели неидеального контакта, полученные с помощью разложения в ряд Тейлора на границе фаз

Альтернативным подходом является исключение межфазного слоя I из геометрического описания структуры материала в связи с малостью его толщины D. При этом учет адгезии производится с помощью соотношений неидеального контакта на границах матрицы m и армирующего f. Модели неидеального контакта допускают разрывы полей перемещений и напряжений.

Работу M. Goland и E. Reissner [70] принято считать первой публикацией в данном направлении. Авторы предположили, что взаимодействие двух твердых тел с адгезионной связью можно рассчитывать с помощью введения бесконечного количества пружин, соединяющих поверхности данных тел. Такой контакт, получивший название контакта пружинного типа (spring type), вводит в расчет скачок поля перемещений на границе тел, пропорциональный величине нормальных напряжений в контакте. Также в данной работе, исходя из физических соображений, было предложено считать поле нормальных напряжений на границе фаз непрерывным если отношение жесткости контакта к жесткости тел мало.

Работами, заложившими фундамент для дальнейших исследований по данному направлению, являются работы M.E. Gurtin и A.I. Murdoch по упругости оболочек [71; 72].

В приложении к расчетам эффективных свойств композиционных материалов такой подход был исследован в работах Y. Benveniste [67; 73] и Z. Hashin [74]. Работы Z. Hashin [74-78] направлены на решение проблемы невозможности измерить свойства межфазного слоя напрямую. Его основная идея

заключалась в том, что если контакт оказывает существенное влияние на упругие свойства композиционных материалов в целом, то его упругие свойства должны существенно отличаться от упругих свойств матрицы и армирующего, в частности, он должен быть существенно мягче. Такой тип контакта впоследствии назовут мягким контактом (soft interface). Используя гипотезу о мягком контакте, разложение в ряд Тейлора физических полей в области межфазного слоя и гипотезу об изотропности межфазного слоя, Z. Hashin вывел эффективные упругие свойства и коэффициенты теплового расширения для дисперсно-армированного и однонаправленного волокнистого композиционных материалов. Также в работе [76] Z. Hashin показал как свойства неидеального контакта связаны со свойствами объемного межфазного слоя и его толщиной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Щетинин Виталий Николаевич, 2020 год

Список литературы

1. Численное определение эффективных упруго-прочностных характеристик композитных заделок газоразделительных мембранных модулей /

B.Н. Щетинин [и др.] // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. 2016. С. 387-389.

2. Щетинин В.Н. Решение задачи идентификации упругих характеристик компонентов композитных материалов с помощью методов оптимизации и регуляризации А.Н. Тихонова // Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы. 2017. С. 133-136.

3. Соколов А.П., Щетинин В.Н., Сапелкин А.С. Параллельный алгоритм построения поверхности прочности КМ для архитектуры Intel MIC (Intel Many Integrated Core Architecture) // Программные системы: теория и приложения. 2016. Т. 7. № 5. С. 61-88.

4. Соколов А.П., Щетинин В.Н. Решение задачи идентификации упругих характеристик компонент изотропных композитных материалов // Материалы XX юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. 2017.

C. 665-666.

5. Sokolov A.P., Schetinin V.N. Modeling of phases adhesion in composite materials based on spring finite element with zero length. // Key Engineering Materials. 2018. V. 780. P. 3-9.

6. Sokolov A.P., Schetinin V.N., Kozlov M.Yu. Surface finite element for imperfect interface modeling in elastic properties homogenization. // Key Engineering Materials. 2019. V. 833. P. 101-106.

7. Prediction of the effective stress-strain curves of ductile polymer 1D-reinforced composites filled with hollow fibers using parameterized model based on Bezier curves. / V.N. Schetinin [et al.] // Key Engineering Materials. 2019. V. 833. P. 93-100.

8. Соколов А.П., Щетинин В.Н. Идентификация упругих свойств адгезионного слоя дисперно-армированных композитных материалов на основе экспериментальных данных // Механика композиционных материалов и конструкций. 2019. Т. 24. № 4. С. 555-581.

9. Соколов А.П., Щетинин В.Н., Козлов М.Ю. Моделирование упругих свойств композиционных материалов методом асимптотического осреднения с учетом неидеального интерфейса компонент // Математическое моделирование. 2020. Т. 32. № 8. С. 119-138.

10. Марченко В.А. Усредненные модели микронеоднородных сред. Наукова Думка. 2005. С. 549.

11. Oden J.T., Vemaganti K., Moes N. Hierarchical modeling of heterogeneous solids // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1999. V. 172. P. 3—25.

12. Concurrent coupling of length scales: Methodology and application / J.Q. Broughton [et al.] // Physical Review B. 1999. V. 60. P. 2391—2403.

13. Ghosh S., Bai J., Raghavan P. Concurrent multi-level model for damage evolution in microstructurally debonding composites // Mechanics of Materials. 2007. V. 39. P. 241—266.

14. Khoei A. R., Jahanbakhshi F., Aramoon A. A concurrent multi-scale technique in modeling heterogeneous FCC nano-crystalline structures // Mechanics of Materials. 2017. V. 83. P. 40—65.

15. Hill R. On Constitutive Macro-Variables for Heterogeneous Solids at Finite Strain // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1972. V. 326. P. 131—147.

16. Ogden R. W. On the overall moduli of non-linear elastic composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1974. V. 22. P. 1541—553.

17. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М: Наука. 1977. С. 400.

18. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. Мир. 1982. С. 336.

19. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: Some theoretical principles // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. V. 11. P. 357—372.

20. Mandel J. Contribution theorique a l'etude de l'ecrouissage et des lois de l'ecoulement plastique // Applied Mechanics. 1966. P. 502—509.

21. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. Москва: МГУ. 1984. С. 336.

22. Eshelby J. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems // Proc. R. Soc. Lond. 1957.

23. Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Metallurgica. 1973. V. 21. no. 5. P. 571—574.

24. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1965. V. 13. no. 4. P. 213—222.

25. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the elastic behavior of multiphase materials //J. Mech. Phys. Solids. 1965. V. 11. P. 127—140.

26. Nemat-Nasser S., Hori M. Micromechanics: Overall properties of heterogeneous materials // Applied Mathematics and Mechanics. 1999. V. 37.

27. Imposing periodic boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation / V.D. Nguyen [et al.] // Computational Materials Science. 2012. V. 55. P. 390—406.

28. Зарубин В.С., Родиков А.В. Математическое моделирование температурного состояния неоднородного тела // ТВТ. 2007. Т. 45. № 2. С. 277—288.

29. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Двусторонние оценки термического сопротивления неоднородного твердого тела // ТВТ. 2018. Т. 51. № 4. С. 578—585.

30. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Двусторонние оценки термоупругих характеристик композитов с диссперсными включениями // Наука и образование. МГТУ им. Баумана. 2015. Т. 9. С. 318—335.

31. Зарубин В.С., Новожилова О.В., Сергеева Е.С. Двусторонние оценки коэффициента теплопроводности каркаса пористого тела // Математика и математическое моделирование. 2018. Т. 3. С. 45—60.

32. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Осредненные характеристики тел с периодической сруктурой // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218. № 5. С. 1046—1048.

33. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225. № 2. С. 249—252.

34. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 516—519.

35. Sanchez-Palencia E. Nonhomogeneous Media and Vibration Theory. New York: Springer-Verlag. 1980. P. 367.

36. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. Amsterdam: North-Holland. 1978. P. 699.

37. Олейник О.А. О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов // Успехи математических наук. 1975. Т. 30. № 4. С. 257-258.

38. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур // Докл. АН СССР. 1975. Т. 222. № 3. С. 565-567.

39. Babuska I. Solutions of interface problems by homogenization // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1975. V. 7. no. 5. P. 603—634.

40. Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Homogenization: averaging processes in periodic media. Mathematical problems in mechanics of composite materials. Moskva: Nauka. 1984. P. 336.

41. Panasenko G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Springer. 2005. P. 398.

42. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И. Расчет эффективных характеристик композитов с периодической структурой методом конечных элементов // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Естественные науки. 2002. № 2. С. 95-108.

43. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Кашкаров А.И. Разработка конечно-элементного метода решения задач расчета эффективных характеристик композиционных материалов на многопроцессорных вычислительных системах. // В. Сб. Аэрокосмические технологии.-М.:Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2004. С. 113-114.

44. Димитриенко Ю.И., Юрин Ю.В. Многомасштабное моделирование многослойных тонких композитных пластин с уединенными дефектами // Математическое моделирование и численные методы. 2016. Т. 4. № 12. С. 47-66.

45. Димитриенко Ю.И., Богданов И.О. Конечно-элементный метод решения трехмерных задач теории устойчивости упругих конструкций // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6. С. 73—92.

46. Somnath G., Dennis D. Computational Methods for Microstructure-Property Relationships. Springer. 2011. P. 658.

47. Zohdi T., Wriggers P. An Introduction to Computational Micromechanics. 2005. P. 195.

48. Yvonnet J. Computational Homogenization of Heterogeneous Materials with Finite Elements. Springer. 2019. P. 223.

49. Adams D.F., Doner D.R. Transverse normal loading of a unidirectional composite //J Compos Mater. 1967. P. 152—164.

50. Suquet P. Elements of homogenization for inelastic solid mechanics // Sanchez-PalenziaE, Zaoui A (eds) Homogenization techniques for composite materials. Lecture notes in physics,. 1987. V. 272.

51. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Численное моделирование композиционных материалов с многоуровневой структурой // Известия РАН. Физическая серия. 2011. Т. 75. № 1. С. 1551—1556.

52. Bosco E., Kouznetsova V.G., Geers M.G.D. Multi-scale computational ho-mogenization-localization for propagating discontinuities using X-FEM // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2015. V. 102. no. 3—4. P. 496—527.

53. Broutman L., Agarwal B.A. Theoretical study of the effect of an interfacial layer on the properties of composites. // Polymer Engineering and Science. 1974. V. 14. no. 8. P. 581—588.

54. Mogilevskaya S.G., Crouch S.L., Stolarski H.K. Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008. V. 56. no. 6. P. 2298—2327.

55. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomo-geneities with interface stress. / H.L. Duan [et al.] // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2005. V. 53. P. 1574—1596.

56. Duan H.L., Karihaloo B.L. Effective thermal conductivities of heterogeneous media containing multiple imperfectly bonded inclusions // Physical Review B. 2007. V. 75. P. 164—206.

57. Duan H.L., Wang J., Karihaloo B.L. A unified scheme for prediction of effective moduli of multiphase composites with interface effects. Part I: Theoretical framework. // Mechanics of Materials. 2007. V. 39. P. 81—93.

58. Duan H.L., Wang J., Karihaloo B.L. Theory of Elasticity at the Nanoscale // Advances in Applied Mechanics. 2009. V. 42. P. 1—68.

59. Sharma P., Ganti S. Size-Dependent Eshelby's Tensor for Embedded Nano-In-clusions Incorporating Surface-Interface Energies // Journal of Applied Mechanics. 2004. V. 71. P. 663—671.

60. Sharma P. Size-dependent elastic fields of embedded inclusions in isotropic chiral solids // International Journal of Solids and Structures. 2004. V. 41. P. 6317—6333.

61. Sharma P. Size-Dependent Elastic State of Ellipsoidal Nano-Inclusions Incorporating Surface-Interface Tension. // Journal of Applied Mechanics. 2007. V. 74. P. 447—454.

62. Згаевский В.Э., Яновский Ю.Г. Механические характеристики слоя макромолекул вблизи поверхности наполнителя // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 1. С. 105—112.

63. Khalatur P.G. Computer simulation of thin polymer layers // Macromol. Chem., Macromol. Symp. 1991. V. 44. P. 22—32.

64. Структура и микромеханические свойства межфазных слоёв полимерных матричных композитов / В.Э. Згаевский [и др.] // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т. 5. № 2. С. 199—122.

65. Christensen R.M., Lo K.H. Solutions for effective shear properties in three phase sphere and cylinder models // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1979. V. 27. no. 4. P. 315—330.

66. Mikata Y., Taya M. Stress Field in a Coated Continuous Fiber Composite Subjected to ThermoMechanical Loadings // Journal of Composite Materials-J COMPOS MATER. 1985. V. 19. P. 554—578.

67. Benveniste Y., Dvorak G.J., Chen T. Stress fields in composites with coated inclusions // Mechanics of Materials. 1989. V. 7. no. 4. P. 305—317.

68. Pagano N.J., Tandon G.P. Elastic response of multi-directional coated-fiber composites // Composites Science and Technology. 1988. V. 31. no. 4. P. 273—293.

69. Connections between different models describing imperfect interfaces in periodic fiber-reinforced composites / I. Sevostianov [et al.] // International Journal of Solids and Structures. 2012. V. 49. no. 13. P. 1518—1525.

70. Goland M., Reissner E. The stresses in cemented joints //J. Appl. Mech. 1944. V. 11. P. 17—27.

71. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1975. V. 57. P. 291—323.

72. Gurtin M., Murdoch A. Surface stress in solids // International Journal of Solids and Structures. 1978.-01. V. 14. P. 431—440.

73. Benveniste Y. The effective mechanical behaviour of composite materials with imperfect contact between the constituents // Mechanics of Materials. 1985. V. 4. no. 2. P. 197—208.

74. Hashin Z. Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface // Mechanics of Materials. 1990. V. 8. no. 4. P. 333—348.

75. Hashin Z. The Spherical Inclusion With Imperfect Interface // Journal of Applied Mechanics. 1991. V. 58. no. 2. P. 444—449.

76. Hashin Z. Thermoelastic properties of particulate composites with imperfect interface // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1991. V. 39. no. 6. P. 745—762.

77. Hashin Z. Extremum principles for elastic heterogenous media with imperfect interfaces and their application to bounding of effective moduli // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1992. V. 40. no. 4. P. 767—781.

78. Hashin Z. Thin interphase/imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2002. V. 50. no. 12. P. 2509—2537.

79. Bovik P. On the modelling of thin interface layers in elastic and acoustic scattering problems // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics-QUART J MECH APPL MATH. 1994.-02. V. 47. P. 17—42.

80. Benveniste Y., Miloh T. Imperfect soft and stiff interfaces in two-dimensional elasticity // Mechanics of Materials. 2001. V. 33. no. 6. P. 309—323.

81. Caillerie D. Thin inclusion of high rigidity in an elastic body // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1980.-01. V. 2.

82. Benveniste Y. A general interface model for a three-dimensional curved thin anisotropic interphase between two anisotropic media // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. V. 54. no. 4. P. 708—734.

83. Gu S.T., He Q.C. Interfacial discontinuity relations for coupled multifield phenomena and their application to the modeling of thin interphases as imperfect interfaces // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2011. V. 59. no. 7. P. 1413—1426.

84. Gu S.T., Liu J.T., He Q.C. Size-dependent effective elastic moduli of particulate composites with interfacial displacement and traction discontinuities // International Journal of Solids and Structures. 2014. V. 51. P. 2283—2296.

85. Javili A., McBride A., Steinmann P. Micro-to-macro transitions for continua with surface structure at the microscale. // International Journal of Solids and Structures. 2013. V. 50. P. 2561—2572.

86. Thermomechanics of Solids With Lower-Dimensional Energetics: On the Importance of Surface, Interface, and Curve Structures at the Nanoscale. A Unifying Review. / A. Javili [et al.] // Applied Mechanics Reviews. 2013. V. 65. P. 010802.

87. Javili A., Steinmann P., Mosler J. Micro-to-macro transition accounting for general imperfect interfaces. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2017. V. 317. P. 274—317.

88. Javili A. Variational formulation of generalized interfaces for finite deformation elasticity//Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 23. P. 303—322.

89. Власов А.Н. Усреднение характеристик деформационных свойств структурно неоднородных сред с неидеальными условиями на контактах // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 2. С. 200-218.

90. Власов А.Н. Усреднение механических характеристик структурно-неоднородных природных материалов - скальных пород: дис. ... докт. техн. наук. М., 2010. 340 с.

91. Klarbring A. Derivation of a model of adhesively bonded joints by the asymptotic expansion method // International Journal of Engineering Science. 1991. V. 29. no. 4. P. 493—512.

92. Klarbring A., Movchan A.B. Asymptotic modelling of adhesive joints // Mechanics of Materials. 1998. V. 28. no. 1. P. 137—145.

93. Geymonat G., Krasucki F., Lenci S. Mathematical Analysis of a Bonded Joint with a Soft Thin Adhesive // Mathematics and Mechanics of Solids. 1999. V. 4. no. 2. P. 201—225.

94. Analysis of non-linear soft thin interfaces / F. Lebon [et al.]. V. 82. 2002.— 09. P. 155—156.

95. Lebon F., Ronel S. Asymptotic analysis of Mohr-Coulomb and Drucker-Prager soft thin layers // Steel and Composite Structures. 2004.— 04. V. 4.

96. Lebon F., Rizzoni R. Asymptotic behavior of a hard thin linear elastic interphase: an energy approach // International Journal of Solids and Structures. 2011. V. 48. no. 3—4. P. 441—449.

97. Higher order model for soft and hard elastic interfaces / R. Rizzoni [et al.] // International Journal of Solids and Structures. 2014. V. 51. no. 23. P. 4137—4148.

98. Cherkaev E. Inverse homogenization for evaluation of effective properties of a mixture. // Inverse Problems. 2001. V. 17. no. 4. P. 1203.

99. Jamaian S., Mackay T. On limitations of the Bruggeman formalism for inverse homogenization // Journal of Nanophotonics. 2010. V. 4. no. 1. P. 043510—043510.

100. Weiglhofer W. On the inverse homogenization problem of linear composite materials. // Microwave and Optical Technology Letters. 2001. V. 28. no. 6. P. 421—423.

101. Bottauscio O., Chiampi M., Manzin A. Determination of the electromagnetic properties in magnetic composite materials by inverse homogenization // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2008. V. 320. no. 20. P. 547—550.

102. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М: Физматлит. 2007. С. 223.

103. Ватульян А.О., Соловьев А. Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел. Ростов-н/Д: Изд-во Южного федерального университета,. 2008. С. 176.

104. Басистов Ю.А., Яновский Ю.Г. Иерархически-адаптивная модель для идентификации уравнений состояния вязкоупругих сред. // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. № 3—4. С. 24—58.

105. Басистов Ю.А., Яновский Ю.Г. Развитие метода идентификации интегральных нелинейных моделей вязкоупругих сред на базе нелинейной «демпинг-функции» // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18. № 4. С. 580—594.

106. Yi Y., Park S., Youn S. Design of microstructures of viscoelastic composites for optimal damping characteristics // International Journal of Solids and Structures. 2000. V. 37. no. 35. P. 4791—4810.

107. Li Q., Zhou S. The Design of Functional Gradient Materials with Inverse Homogenization Method // Frontiers in Materials Science and Technology. 2008. V. 32. no. 3. P. 245—250.

108. Schmidt U., Mergheim J., Steinmann P. Computational homogenization and parameter-identification for heterogeneous inelastic materials // PAMM. 2011. V. 11. no. 1. P. 951—954.

109. Schmidt U., Mergheim J., Steinmann P. Identification of elastoplastic microscopic material parameters within a homogenization scheme // International

Journal for Numerical Methods in Engineering. 2015. V. 104. no. 6. P. 391—407.

110. Klinge S., Steinmann P. Inverse analysis for heterogeneous materials and its application to viscoelastic curing polymers // Computational Mechanics. 2015. V. 55. no. 3. P. 603—615.

111. Schnur D.S., Zabaras N. An inverse method for determining elastic material properties and a material interface // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1992. V. 33. no. 10. P. 2039—2057.

112. Burczynski T., Kus W. Microstructure Optimization and Identification in Multi-scale Modelling // ECCOMAS Multidisciplinary Jubilee Symposium: New Computational Challenges in Materials, Structures, and Fluids. 2009. P. 169—181.

113. Chafra M., Smaoui H., Arfa D. Identification of Mechanical Properties and Damage of Composites at the Mesoscale based on an Inverse Method Coupled with Homogenization // Journal of Composite Materials. 2010. V. 44. no. 5. P. 529—541.

114. Nolen J., Pavliotis G., Stuart-Andrew M. Multiscale Modelling and Inverse Problems. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 2012. P. 34.

115. Басистов Ю.А., Яновский Ю.Г. Некорректные задачи в механике (реологии) вязкоупругих сред и их регуляризация // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 1. С. 117—143.

116. Sigmund O. Materials with prescribed constitutive parameters: An inverse homogenization problem // International Journal of Solids and Structures. 1994. V. 31. no. 17. P. 2313—2329.

117. Реконструкция дефектов в слоистых композитах / А.О. Ватульян [и др.] // Вестник ДГТУ. 2009. Т. 9. № 2. С. 3—14.

118. Gavrus A., Massoni E., Chenot J. An inverse analysis using a finite element model for identification of rheological parameters // Journal of Materials Processing Technology. 1996. V. 60. no. 1. P. 447—454.

119. Ватульян А.О. О вариационной постановке обратных коэффициентных задач для упругих тел // Доклады РАН. 2008. Т. 422. С. 182-184.

120. Ватульян А.О. О вариационном подходе при исследовании обратных коэффициентных задач в теории упругости // Владикавказский математический журнал. 2009. Т. 11. № 1. С. 3-8.

121. Bendsoe M., Ben-Tal A., Zowe J. Optimization methods for truss geometry and topology design // Structural optimization. 1994. V. 7. no. 3. P. 141—159.

122. Schmidt U., Steinmann P., Mergheim J. Two-scale elastic parameter identification from noisy macroscopic data // Archive of Applied Mechanics. 2016. V. 86. no. 1. P. 303—320.

123. A parameter identification problem in stochastic homogenization / F. Legoll [et al.] // ESAIM. 2015. V. 48. P. 190—214.

124. Efendiev Y., Kronsbein C., Legoll F. Multilevel Monte Carlo Approaches for Numerical Homogenization // Multiscale Modeling and Simulation. 2015. V. 13. no. 4. P. 1107—1135.

125. Icardi M., Boccardo G., Tempone R. On the predictivity of pore-scale simulations: Estimating uncertainties with multilevel Monte Carlo // Advances in Water Resources. 2016. V. 95. P. 46—60.

126. Brown D., Hoang V. A hierarchical finite element Monte Carlo method for stochastic two-scale elliptic equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017. V. 323. P. 16—35.

127. Thin-layer element for interfaces and joints / C.S. Desai [et al.] // Numerical and analiticval methods in geomechanics. 1984. V. 8. P. 19—43.

128. Sharma K.G., Desai C.S. Analysis and Implementation of Thin-Layer Element for Interfaces and Joints // Numerical and analiticval methods in geomechan-ics. 1992. V. 118. no. 12.

129. Goncalves J.P.M, de Moura M.F.S.F, de Castro P.M.S.T. A three-dimensional finite element model for stress analysis of adhesive joints // International Journal of Adhesion and Adhesives. 2002. V. 22. no. 5. P. 357—365.

130. Gaul L., Mayer M. Modeling of contact interfaces in built-up structures by zero-thickness elements // Proceedings of the IMAC XXVI. 2002.

131. Polymer interfacial fracture simulations using cohesive elements / P. Rahul-Kumar [et al.] // Acta Materialia. 1999. V. 47. no. 15. P. 4161—4169.

132. Nairn J.A. Numerical implementation of imperfect interfaces // Computational Materials Science. 2007. V. 40. P. 525—536.

133. Beer G. An Isoparametric Joint/Interface Element for Finite Element Analysis // International journal for numerical methods in engineering. 1985. V. 21. P. 585—600.

134. Segurado J., LLorca J. A new three-dimensional interface finite element to simulate fracture in composites // International Journal of Solids and Structures. 2004. V. 41. no. 11. P. 2977—2993.

135. Spring D.W., Paulino G.H. A growing library of three-dimensional cohesive elements for use in ABAQUS // Engineering Fracture Mechanics. 2014. V. 126. P. 190—216.

136. Guessasma S., Benseddiq N., Lourdin D. Effective Young's modulus of biopolymer composites with imperfect interface // International Journal of Solids and Structures. 2010. V. 47. no. 18. P. 2436—2444.

137. Homogenized finite element analysis on effective elastoplastic mechanical behaviors of composite with imperfect interfaces. / Jiang [et al.] // International journal of molecular sciences. 2014. V. 15. no. 15. P. 23389—407.

138. Hamsasew S., Yu W. A Micromechanical Approach to Imperfect Interface Analysis of Heterogeneous Materials // 56th AIAA/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference. 2015.

139. Nasedkina A.A., Rajagopal A. Mathematical and computer homogenization models for bulk mixture composite materials with imperfect interfaces // Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications. 2017. P. 25—33.

140. Homogenization accounting for size effects in particulate composites due to general interfaces / S. Firooz [et al.] // Mechanics of Materials. 2019.— 10. V. 139. P. 103204.

141. Segerlind L.-J. Applied finite element analysis. New York : Wiley. 1976. ISBN: 0471774405.

142. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Sixth Edition. 6 edition. Butterworth-Heinemann. 2005.

143. Schmitz G.J., Ulrich P. Handbook of Software Solutions for ICME. 1 edition. Wiley. 2016. P. 632.

144. Klaus F., Rolf W. Structure and Properties of Additive Manufactured Polymer Components. 1 edition. Woodhead Publishing. 2020. P. 458.

145. Non-Linear Mechanics of Materials / J. Besson [et al.]. Springer. 2010.

146. Кашкаров А.И. Математическое моделирование эффективных упруго-пластических характеристик пространственно армированных композитов на основе метода асимптотического осреднения: канд. физ.-мат. наук. М., 2008. 97 с.

147. Соколов А.П. Математическое моделирование эффективных характеристик упругих композитов с многоуровневой иерархической структурой: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2008. 119 с.

148. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Elastic properties of composite materials // Mathematical Models and Computer Simulations. 2010. V. 2. no. 1. P. 116—130.

149. Лурье А.И. Теория упругости. М. Наука. 1970. С. 940.

150. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. МГТУ им Н.Э.Баумана. 1993. С. 294.

151. Zienkiewicz O.C. The finite element method in engineering science. London ; New York: McGraw-Hill. 1971. P. 521.

152. Schenk O., Gartner K., Fichtner W. Efficient Sparse LU Factorization with Left-right Looking Strategy on Shared Memory Multiprocessors // BIT. 2000. V. 40. no. q. P. 158—176.

153. Mckay M., Beckman R., Conover W. A Comparison of Three Methods for Selecting Vales of Input Variables in the Analysis of Output From a Computer Code // Technometrics. 1979.-05. V. 21. P. 239—245.

154. Box G.E., Behnken D. W. Some New Three Level Designs for the Study of Quantitative Variables // Technometrics. 1960. V. 2. no. 4. P. 455—475.

155. Stephen J., Wright J. Numerical Optimization. Springer. 2000. P. 651.

156. Iman R., Helton J. An Investigation Of Uncertainty And Sensitivity Analysis Techniques For Computer-Models // Risk Analysis. 2006. —05. V. 8. P. 71—90.

157. Smith J. Experimental values for the elastic constants of a particulate-filled glassy polymer //J. Res. NBS. 1976. no. 80A. P. 45—49.

158. Soden P.D., Hinton M.J., Kaddour A.S. Lamina properties, lay-up configurations and loading conditions for a range of fibre-reinforced composite laminates // Composites Science and Technology. 1998. V. 58. no. 7. P. 1011—1022.

159. Elastic properties of unidirectional fiber-reinforced composites using asymptotic homogenization techniques / Q. Macedo [et al.] // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2018. —05. V. 40.