Математическое моделирование магнитозвуковых волн черенковского типа в твердых телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Постников, Евгений Борисович

• Постников, Евгений Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Постников, Евгений Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ СРЕДЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ПРИНЦИПЫ ЧЕРЕНКОВСКОЙ ГЕНЕРАЦИИ МАГНИТОЗВУКОВЫХ ВОЛН

1. Модель сплошной среды. Уравнения теории упругости.

2. Уравнения магнитоупругости.

3. Черенковская генерация волн в различных средах.

ГЛАВА II. ВОЗБУЖДЕНИЕ МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В

ТВЕРДОМ ТЕЛЕ ИСТОЧНИКАМИ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ. ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ 1. Постановка задачи о черенковской генерации магнитозвуковых волн в твердых телах.

2. Основные типы источников электромагнитных возмущений и их поля.

3. Общая схема нахождения акустического и электромагнитного полей в твердом теле.

4. Генерация магнитозвуковых волн в идеальном полупространстве бегущей волной тока.

5. Генерация магнитозвуковых волн в идеальном полупространстве движущимся проводником с током.

6. Генерация волны Римана в идеальном полупространстве бегущей волной тока.

ГЛАВА III. МАГНИТОЗВУКОВОЙ РАЗОГРЕВ ВЯЗКОУПРУГОГО ПЛОСКОГО СЛОЯ С ЧЕРЕНКОВСКИМ ИСТОЧНИКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ВИДЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ТОКА

1. Постановка задачи.

2. Расчет акустического и электромагнитного полей.

3. Расчет теплового и температурного полей.

ГЛАВА IV. МАГНИТОЗВУКОВОЙ РАЗОГРЕВ ВЯЗКОУПРУГОГО ЦИЛИНДРА С ЧЕРЕПКОВСКИМ ИСТОЧНИКОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО

ГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ВИДЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ТОКА

1. Постановка задачи.

2. Расчет акустического и электромагнитного полей в случае высокой проводимости среды.

3. Расчет акустического и электромагнитного полей в приближении слабой электропроводности.

4. Расчет теплового и температурного полей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование магнитозвуковых волн черенковского типа в твердых телах»

Актуальность темы

В последние десятилетия в научной литературе большое внимание уделяется исследованию взаимосвязанных механических, электромагнитных и тепловых процессов в электропроводных телах в присутствии постоянного сильного магнитного поля [1-5].

Актуальность этой проблемы связана с разработкой методов неразру-шающего контроля качества материалов [6-8], электродинамического возбуждения и приема акустических волн [6, 9-11], с потребностями геофизики [12-14] и астрофизики (в частности, исследования физических свойств пульсаров) [5,15].

Особую важность данный круг задач приобретает в связи с развитием технологий термомеханической обработки крупногабаритных изделий. Так, например, сквозной прогрев материала необходим для снижения его жесткости перед обработкой давлением, при спекании порошков и композитов [16 -18]; он позволяет также повысить качество сварки [19] и резки [20] металлов.

Проникновение теплового потока в толщу образца происходит не мгновенно, а за конечное время, продолжительность которого не всегда приемлема. Кроме того, замедление проникновения тепла в заготовку может приводить к нежелательному образованию окалины на ее поверхности. Главное же осложнение состоит в том, что возникающий в массиве изделия градиент температуры вызывает формирование термоупругих напряжений и, в конечном счете, - неоднородность свойств материала, что снижает прочность изделий и их эксплуатационную надежность.

Наиболее удобной и рациональной для промышленного применения формой термообработки электропроводных материалов является индукционный нагрев [21-23]. Однако и при таком способе разогрева возникают существенные трудности, связанные, в частности, с тем, что с ростом частоты со колебаний поля происходит его локализация во все более тонком приповерхностном скин-слое с характерной толщиной 5 = ^/2/|и0а© . В этой же области концентрируются и источники джоулева тепловыделения, что опять же приводит к поверхностному разогреву изделия.

Новые возможности, позволяющие обеспечить равномерное распределение источников тепла, ведущее к выравниванию температурного поля и увеличению скорости нагрева, достигаются помещением образца в дополнительное сильное магнитное поле [24-30]. Взаимодействие приповерхностных токов с этим полем приводит к появлению механических (акустических) колебаний в среде, которые из-за слабого затухания звука в большинстве твердых тел свободно заполняют его объем. Эти колебания, в свою очередь, приводят к возникновению в среде индукционных токов и связанных с ними квазистационарных электромагнитных полей. При этом вязкая и джоулева диссипации энергии этих взаимосвязанных механико-электромагнитных колебаний приводит к формированию дополнительных объемно распределенных источников.

В этой связи в последние годы появилось большое число работ, посвященных различным теоретическим проблемам магнитоакустики. Общие же вопросы деформирования твердых тел с учетом тепловых и электромагнитных процессов, основные предпосылки и математический аппарат, необходимые для построения соответствующих математических моделей достаточно полно отражены в работах [1-4,31-33].

Наиболее широко исследования волновых явлений выполнены в линейном приближении. Проведено детальное моделирование волновых процессов на основе уравнений магнитоупругости [34-40], магнитотермоупругости [41-45] и магнитотермовязкоупругости [46-48]. Исследованию процессов распространения нелинейных магнитоупругих волн, в том числе и слабых разрывов, посвящены работы [49-54], в работах [55-58] анализируется применение асимптотических методов для решения уравнений магнитоупругости, в [5,57-58] рассматривается влияние нелинейности на резонансные колебания пространственно ограниченных тел. Особое внимание, уделяемое колебаниям в условиях резонанса, связано с тем, что магни-тозвуковой разогрев в этом случае становится особенно эффективным. В частности, в [28] показано, что в условиях резонанса мощность источников тепла, обусловленных внутренним трением в металлах, может на несколько порядков превышать мощность джоулева тепловыделения.

Учет нелинейности колебаний, который, как показано в [5], необходим в условиях резонанса, ограничивается нелинейностью взаимодействия материального континуума и электромагнитного поля [1, 49, 51] и нелинейностью, связанной с температурными напряжениями [1, 50, 53, 54]. В то же время не получила пока должного рассмотрения физическая нелинейность материала в связи с магнитоупругими задачами [59].

Подавляющее большинство указанных работ содержит решение одномерных задач. В то же время очевидно, что появление дополнительных источников тепла, связанных с диссипацией энергии колебаний по двум-трем направлениям может существенно увеличить вязкое тепловыделение. Поэтому физически интересным и технологически перспективным способом бесконтактного возбуждения двумерных волн в твердых телах может являться их черенковская генерация, при которой источником внешнего переменного электромагнитного поля служит либо бегущее токовое возмущение, либо контур с током, движущиеся со скоростью, превышающей фазовую скорость акустических волн в среде. (Применительно к проблеме удержания плазмы электромагнитным полем задача в подобной постановке рассмотрена в [60].) Кроме того, некоторые вопросы взаимодействия бегущего электромагнитного поля с плазмой изучены в [61, 62]). Технические основы разработки устройств с бегущим магнитным полем весьма подробно исследованы в монографии [63]. Данная задача имеет некоторое родство с так называемой «маг-нитоупругой задачей о поршне» (magnetoelastic piston problem), рассмотренной в [49] и посвященной процессам, возникающим при скольжении постоянного твердого магнита по недеформируемой поверхности идеального проводника.

Задача о черенковской генерации магнитозвуковых волн в твердом полупространстве и цилиндре ставилась в статьях [64, 65]. Однако в них не приводится конечного решения проблемы (в частности, отсутствуют соответствующие тепловые задачи). Это, по-видимому, связано с тем, что хорошо разработанные для одномерных задач методы решения в применении к данной проблеме в 2-мерной постановке становятся слишком громоздкими даже для геометрически простых тел.

Из вышесказанного следует, что, постановка и решение задачи о черенковской генерации магнитозвуковых волн в твердых телах весьма актуальна.

Цели и задачи исследования

Цель работы заключается в математическом моделировании процесса генерации и распространения магнитозвуковых волн черенковского типа в твердых телах, источниками которых служат токовые возмущения различного типа с характерными скоростями, превышающими скорости распространения в телах акустических волн, а также изучение динамики температурных полей, возникающих при вязкой и джоулевой диссипации их энергии.

Для достижения поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

1. Разработать методику аналитического решения магнитоупругой задачи о генерации волн черенковского типа в твердых телах.

2. Провести математическое моделирование процессов возбуждения и распространения черенковских волн в идеальном полупространстве, порождаемых бегущей волной тока (в линейной и нелинейной постановке) и движущимся проводником с током.

3. Исследовать двумерные черенковские магнитоакустические волны в вязкоупругом плоском слое с высокой, но конечной проводимостью с последующим расчетом температурного поля и анализом его динамики в условиях резонанса.

4. Выполнить расчет черенковских осесимметричных магнитозвуковых колебаний в вязкоупругом цилиндре из материала с высокой и низкой электропроводностью и проанализировать его резонансный разогрев в этих случаях.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту

В диссертационной работе защищаются:

1. Метод приближенного решения магнитоупругой задачи о генерации волн черенковского типа в твердых телах.

2. Математическое моделирование процессов возбуждения и распространения черенковских волн в идеальном полупространстве, порождаемых бегущей волной тока (в линейной и нелинейной постановке) и движущимся проводником с током.

3. Полное исследование двумерных черенковских магнитоакустиче-ских волн в вязкоупругом плоском слое с высокой, но конечной проводимостью с последующим расчетом температурного поля и анализом его динамики в условиях резонанса.

4. Решение задачи о черенковском возбуждении осесимметричных магнитозвуковых колебаний в вязкоупругом цилиндре из материала с высокой и низкой электропроводностью и подробный анализ его резонансного разогрева в этих случаях

5. Вывод о повышении эффективности ввода энергии в материал изделия в условиях двумерных резонансных колебаний с точки зрения сокращения энергозатрат и времени термообработки до близких к точке плавления температур.

Научная новизна

1. Предложен оригинальный метод разделения задачи на чисто упругую и электромагнитную части, позволяющий существенно сократить объем вычислений без потери точности, и алгоритм его применения к достаточно широкому кругу проблем.

2. В процессе реализации метода впервые полностью рассчитаны акустическое, электромагнитное, тепловое и температурное поля в исследуемых двумерных моделях.

3. Подробно исследован процесс резонансного разогрева тел, обусловленный диссипацией энергии магнитозвуковых волн черенковского типа.

Практическая значимость

Проведенные исследования могут быть использованы при проектировании устройств магнитотермоакустической обработки твердых тел, порошковой металлургии, формирования композиционных материалов и неразру-шающего контроля качества изделий.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на Пятом Международном совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва, 1998), Международной конференции "Передовые технологии на пороге XXI века", посвященной 145 со дня рождения В.Г. Шухова (Москва,

1998), Третьей Международной конференции "Чкаловские чтения. Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники" (Егорьевск,

1999), были представлены в виде стендового доклада на Международной конференции «Современные проблемы математики и механики», посвященной 70-летию со дня рождения акад. Я.И. Подстригача. (Львов, 1998).

Публикации

Результаты, представленные в диссертационном исследовании, опубликованы в восьми научных работах [80, 98-104].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 94 страницах и содержит 23 рисунка и 104 наименования цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Постников, Евгений Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе сформулирована и решена многоплановая задача о возбуждении магнитозвуковых волн черенковского типа в электропроводных вязких твердых телах.

Предложен и реализован алгоритм расчета акустического, электромагнитного, температурного и теплового полей для источников внешнего электромагнитного возмущения достаточно произвольного типа.

Для идеального полупространства, в котором магнитозвуковые колебания возбуждаются бегущей волной тока, установлено, что четко выраженный максимум плотности потока электромагнитной энергии через его поверхность лежит в области превалирования сдвиговых волн. В области же сосуществования сдвиговых и продольных волн он является монотонной функцией фазовой скорости токовой волны. Учет нелинейности упругих характеристик материала и взаимодействия электромагнитного поля с индукционными токами приводит к решению в виде волны Римана с зависимостью характеристической скорости как от самой амплитуды, так и от ее квадрата. При этом оба типа нелинейности зависят от модуля индукции приложенного постоянного сильного магнитного поля, величина которого определяет, какое именно слагаемое будет доминировать. В случае же источника в виде проводника с током, движущимся параллельно границе полупространства, решение является типичным "черенковским клином", состоящим из одной или двух областей в зависимости от соотношения между скоростью движения контура и скоростями распространения продольных и поперечных акустических волн. Указано, что физически корректное решение в этом случае должно учитывать диссипативные эффекты на фронтах разрывов.

В случае тел в виде плоского слоя и цилиндра, обладающих высокой, но конечно проводимостью и находящихся в условиях резонансного усиления колебаний установлено, что превалирующим источником тепловыделения является вязкая диссипация. При этом существование двумерных колебаний (модифицированных продольных и поперечных) повышает его мощность на порядок по сравнению с традиционным способом магнитозвукового разогрева путем генерации чисто поперечных колебаний. Профиль распределения температуры по толще изделия оказывается слабоградиентным, что не ведет к ухудшению физико-механических свойств при одновременно высокой скорости нагрева.

Для образца цилиндрической формы из материала с низкой электропроводностью показано, что черенковский метод позволяет эффективно возбуждать двумерные колебания во всем объеме цилиндра, что может способствовать эффективному формированию однородной структуры мелкодисперсных композиционных материалов. Разогрев же в этом случае осуществляется, в основном, за счет джоулевой диссипации энергии электромагнитного поля источника.

Результаты исследований взаимосвязанных акустических и электромагнитных полей и порождаемых диссипацией их энергии расцределений источников тепла, создающих слабоградиентное температурное поле, могут использоваться при разработке устройств оптимальной магнитотермоакусти-ческой обработки элементов конструкций (плавки, отжига, сварки, резки с предварительным объемным прогревом и т. п.) и в ряде смежных проблем.

Автор выражает глубокую благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Владимировичу Соболеву за руководство работой, большее внимание и постоянную поддержку, заведующему кафедрой физики КГТУ доктору физико-математических наук профессору Вячеславу Михайловичу Полунину за доброжелательное отношение, во многом способствовавшее выполнению этой работы, и профессору кафедры физики МГТУ им. Н.Э. Баумана доктору физико-математических наук Михаилу Ивановичу Киселеву за внимание к работе и полезное обсуждение полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Постников, Евгений Борисович, 2000 год

1. Подстригая Я.С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермоупругость электропроводных тел.- Киев: Наукова думка, 1982.- 296 с.

2. Бурак Я.Й., Галапац Б.П., Гшдець Б.М. Ф1зико-мехашчш процеси в елек-тропровщних тшах.- Киев: Наукова думка, 1978.- 232 с.

3. Селезов И.Т., Селезова Л.В. Волны в магнитоупругих средах.- Киев: Наукова думка, 1975.- 161 с.

4. Kaliski S., Rymarz Cz., Sobczyk К. Vibration end waves.- Amsterdam: Elsevier Sc. Publ. Co., 1992.-382 p.

5. Сибгатуллин H.P. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях.- М.: Наука, 1984.- 351 с.

6. Микельсон А.Э., Черный З.Д. Электродинамическое возбуждение и измерение колебаний в металлах,- Рига: Зинатне, 1979,- 152 с.

7. Электродинамический способ ультразвуковой дефектоскопии по сдвигу собственной частоты колебаний образца. / Гулевская Г.И., Киселев М.И., Кукса Ю.Г. и др. // Дефектоскопия,- 1969.- №2.- С. 99-103.

8. Шкарлет Ю.М. О теоретических основах электромагнитных и электромаг-нитоакустических методов неразрушающего контроля. // Дефектоскопия.-1974.-, №4.- С. 12-20.

9. Агеев А.Н., Киселев М.И., Станюкович К.П. Об эффективности возбуждения магнитоакустических волн в проводящей среде. // Магнитная гидродинамика.- 1970.- №1,- С. 127-129.

10. Буденков Г.А., Головачева З.Д., Петров Ю.В. Регистрация наклонных ультразвуковых волн электромагнитоакустическим способом. // Дефектоскопия.- 1974.-№2.-С. 62-68.

11. Сазонов Ю.И., Шкарлет Ю.М. Исследование бесконтактных методов возбуждения и регистрации магнитозвуковых колебаний. // Дефектоскопия.-1969.-№5.- С. 1-12.

12. Кейлис-Борок В.И., Монин A.C. Магнитоупругие волны и граница замно-го ядра. // Изв. АН СССР. Сер. Геофизика.- 1959.- №11.- С. 1529-1541.

13. Некрасов Л.Б., Рикенглаз Л.Э., Корчаков В.Ф. К теории теплового воздействия электромагнитного поля на горные породы. // Термомеханические методы разрушения горных пород.- Киев: Наукова думка, 1972.- Ч. 2.- С. 56-61.

14. Knopoff L. The interaction between elastic waves motion and a magnetic field in a electric conductor. // J. Geophys.- 1955.- Res. 60,- P. 441-456.

15. Ruderman M. Superdense matter in stars. // J. de Physique.- 1969, C3, Tome 30, Supp. 11-12.- P. 152-160.

16. A.c. №14925-77 СССР 8.03.89. Способ изготовления изделий из порошковых материалов. / Киселев М.И., Морозов А.Н., Рыжков С.Ю. и др.

17. Сажин Б.И. Электропроводность полимеров.- М., Л.: Химия, 1965.- 160 с.

18. Электрические свойства полимеров. / Под ред. Б.И. Сажина.- Л.: Химия., 1977.- 192 с.

19. Патон Б.Е. Сварка и родственные технологии на рубеже веков. // Передовые технологии на пороге XXI в: Тез. докл. Межд. конф.- М.: 1998.- 4.1, С.7-10.

20. Иванов В.В., Тужиков А.И. Скоростные режимы резки при наличии общего и локального сопутствующего подогрева. // Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии.- М.: Наука, 1989.- С. 194-200.

21. Бабат Г.Н. Индукционный нагрев металлов и его промышленное применение.- М.-Л.: Энергия, 1965.- 552 с.

22. Лозинский М.Т. Промышленное применение индукционного нагрева.- М.: Изд-во АН СССР, 1958.- 472 с.

23. Родигин Н.М. Индукционный нагрев стальных изделий токами нормальной частоты.- М.-Свердловск: Металлургиздат, 1950.- 248 с.

24. Агеев А.Н., Киселев М.И., Рыкалин H.H. Оценка эффективности магни-I тозвукового разогрева металла в режиме бесконтактного индукционного возбуждения. // Физ. и хим. обраб. материалов.- 1970.- №6.- С. 3-10.

25. Киселев М.И., Рыжков С.Ю., Соболев C.B. Оценка эффективности бесконтактного магнитоакустического разогрева проводящего плоского слоя с учетом вязкости. // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред.- Ереван, Изд-во АН АрмССР, 1984.- С.171-174.

26. К теории магнитозвукового разогрева проводящего упругого слоя. / Бянкин В.М., Киселев М.И., Рыжков С.Ю. и др.// Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии.- М.: Наука, 1989.-С. 226-233

27. Киселев М.И., Рыжков С.Ю. Безградиентный ввод энергии в материал заготовки. // Волновые задачи динамики.- Н. Новгород, 1994.- С. 213-233.

28. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.-287 с.

29. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1976.- Т. 1.- 536 с.

30. Eringen A.C. Mechanics in continuum.- New York: Wiley end Sons, 1967.397 p.

31. Chadwick P. Elastic waves propagation in a magnetic field. // Actes IX Congr. inter, mech. appl.- Bruxelles, 1957.- V. 7.- P. 143-158.

32. Пелетмшський С.В. Про об'емш та поверхневг магштоупружш хвшп в металах. // Укр. ф1зичн. журнал.- 1958.- Т. 3, №5.- С. 611-616.

33. Уфлянд Я.С. Колебания упругих тел конечной проводимости в поперечном магнитном поле. // Прикл. матем. и мех.- 1963.- Т.27, №5.- С. 740-744.

34. Шкенев Ю.С. Волны в упругом теле в магнитном поле.// Распространение упругих и упругопластических волн.- Ташкент: Фан, 1969.- С. 188-206.

35. Викторов А.И. Упругие волны в твердом полупространстве с магнитным полем.- Докл. АН СССР.- 1975.- Т. 221, №5.- С. 1069-1072

36. Dassios G. Energy theorem for magnetoelastic waves in a perfectly cunducting media. // Quat. Appl. Math.- 1982.- V. 39, №4.- P. 479-490.

37. Gourakishwar O. Propagation of waves in magnetoelastic media. // J. Appl. Phys.- 1990.- V. 64, №2.- P. 725-733.

38. Новацкий В. Плоская задача магнитотермоупругости. // Прикл. мех.-1965.- Т. 1, №6.- С. 1-7.

39. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Магнитотермоупругость. // Итоги науки и техники. Сер. «Механика деформируемого тела».- 1981.- Вып. 14.- С. 3-59.

40. Whilson A.J. The propagation of magnetothermoelastic plane waves. // Proc. Cambridge Phil. Soc.- 1963.- V.59, №2.- P. 483-488.

41. Puri P. Plane waves in thermoelasticity and magnetothermoelasticity. // Int. J. Eng. Sci.- 1972.- V. 10, №5.- P. 467-477.

42. Massalas C., Dalamangas A. Coupled magnetothermoelastic problem in elastic half-space having finite conductivity. // Int. J. Eng. Sci.- 1983.- V. 21, №8,- P. 881-999.

43. Kaliski S. Wave equation of thermoelectromagnetoelasticity. // Proc. Vibrant. Probl. Polish. Acad. Sci.- 1965.- V. 6, №3.- P. 231-265.

44. Chandrasekharaiah D.S. On plane strain problen in magnetothermoviscoelas-| ticity. // Pure and Appl. Geophys.- 1973.- V. 102, № 1.- P. 98-104.

45. Ersoy Y. Propagation of waves in magnetothermoviscoelastic solids subjcted to a uniform magnetic field. // Int. J. Eng. Sci.- 1981.- V. 19, №1.- P. 91-115.

46. Baser J., Ericson W.B. Nonlinear waves motion in magnetoelasticity. // Arch. Rat. Mech. and Anal.- 1974.- V.55, №2.- P.124-192.

47. Нагирный T.C. Нелинейные уравнения магнитотермовязкоупругости. // Применение ультраакустики к исследованию вещества. М, 1982, Вып. 33.-С.73-82.

48. Гаспарян А.Е. Об одной задаче распространения нелинейной упругой волны. // Уч. зап. ЕГУ. Естеств. науки. 1983.- №3.- С. 42-46.

49. He&i I.A.Z., Ghaleb A.F., Maugin G.A. One-dimensional bulk waves in a nonlinear magnetoelastic conductor of finite electric conductivity. // Int. J. Eng. Sci.- 1995.- V. 33, №14.- P. 2067-2084.

50. Ghaleb A.F., Ayad M.M. Nonlinear waves in thermo-magnetoelasticity I. Basic equations. // Int. J. Appl. Electromagn. and Mech.- 1998.- V. 9, № 4.- P. 339-357

51. Ghaleb A.F., Ayad M.M. Nonlinear waves in thermo-magnetoelasticity II. Wave generation in a perfect electric conductor. // Int. J. Appl. Electromagn. and Mech.-1998.- V. 9, № 4.- P. 359-379

52. Селезов И.Т. Распространение нелинейных магнитоупругих и магнитоа-кустических волн. // Нелинейные волны деформации.- Таллин, 1977.- Т.2 С. 153-159

53. Domanski W. Simplified asymptotic equations for nonlinear magnetoelasticity. // J. Tech. Phys.- 1994.- V. 35, №1-2.- P. 39-47

54. Бурак Я.И., Кондрат В.Ф., Нагирный T.C. Магнитоупругие колебания электропроводного слоя. // Отбор и передача информации.- 1977,- №52.- С. 41-44.

55. Радовинский A.Jl., Соболев C.B. Приближенный метод расчета магнито-акустического разогрева электропроводных тел. // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1994.- Вып. 37.- С. 70-73.

56. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах.- M.: Московский лицей, 1998.- 412 с.

57. Морозов А.И. Черенковская генерация магнитозвуковых волн. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: Изд-во АН СССР, 1958.- Т.4.- С. 331-352.

58. Осовец С.М. Об удержании плазмы бегущим магнитным полем. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций.- М.: Изд-во АН СССР, 1958,- Т.4.- С. 3-15.

59. Электродинамика плазмы. / Под. ред. А.И. Ахиезера.- М.: Наука, 1974.720 с.

60. Круминь Ю.К. Основы теории расчета устройств с бегущим магнитным полем.- Рига: Зинатне, 1983.- 278 с.

61. Соболев C.B. Генерация магнитоакустических волн бегущей волной тока.

62. Акуст. журн.- 1996.- Т.42, №4.- С. 580-582.

63. Киселев М.И., Рыжков С.Ю. Электродинамическое возбуждение черен-ковских волн в вязкоупругой среде, обладающей аксиальной симметрией. // Нелинейная акустика: Сб. трудов VIII сессии Росс, акуст. о-ва.- Нижний Новгород, 1990,- С. 175-178.

64. Жакин А.И. Тензорный анализ. Механика. Гравитация.- Курск, 1998.- 295 с.

65. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды.- М.: Физматгиз, 1962. -284 с.

66. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1976.- Т. 2. 576 с.

67. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости.- М.: Наука, 1965.- 203 с.

68. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.- М.: Наука, 1982.-621 с.

69. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики.- М.: Наука, 1967. 648 с.

70. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1976. -528 с.

71. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1967. 304 с.

72. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика.- М.: Наука, 1988. 733 с.

73. Чугайнова А.П. Автомодельная задача о действии бегущей нагрузки на границу нелинейноупругого слабоанизотропного полупространства. // Прикл. матем. и мех.- 1993.- Т.57, №3.- С. 102-111.

74. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике.- М.: Наука, 1970.- 504 с.

75. Тамм И.Е. Общие свойства излучения, испускаемого системами, движущимися со сверхсветовыми скоростями и некоторые приложения к физике плазмы. // Усп. физ. наук.- 1959.- Т.68, № 3.- С. 387-423

76. Кингсеп A.C. Введение в нелинейную физику плазмы.- М.: Изд-во МФТИ, 1996.- 208 с.

77. Рыжков С.Ю. Электродинамическое возбуждение черенковских волн в проводящем цилиндрическом образце. // Инженерно-физические проблемы новой техники: Тез. докл. V Международного совещания-семинара.- М., 1998.-С. 166-167.

78. Постников Е.Б., Соболев С.В. Черенковская генерация магнитоакустиче-ских колебаний в цилиндре бегущей волной тока. // Инженерно-физические проблемы новой техники: Тез. докл. V Международного совещания-семинара.-М., 1998.- С. 170.

79. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику.- М.: Наука, 1966.- 520 с.

80. Зарембо Л.К., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика.- М.: Изд-во МГУ, 1984.- 104 с.

81. Кайно Г. Акустические волны. Устройства, визуализация и аналоговая обработка сигналов.- М.: Мир, 1990.- 650 с.

82. Дьяконов В .П. Справочник по MathCAD 7.0 Pro.- M.: СК Пресс, 1998.352 с.

83. Физические величины: Справочник. / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова.- М.: Энергоатомиздат, 1991.- 1232 с.

84. Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М. Высшая школа, 1967.- 599 с.

85. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

86. Диткин В.А., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению.-М., Л.: Гостехтеориздат, 1951.- 319 с.

87. Кондратьев Г.М. Тепловые измерения.- М.,Л.: Машгиз, 1957.- 244 с.

88. Франк И.М. Излучение Вавилова-Черенкова. Вопросы теории.- М.: Наука., 1988.- 288 с.

89. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.- М.: Наука, 1968.- 344 с.

90. Брагинский С.И. К магнитной гидродинамике слабо проводящих жидкостей. //ЖЭТФ.- 1959.- Т. 37, №5(11).- С. 1417-1430.

91. Соболев C.B. Исследование магнитоакустической диссипации в вязко-упргом слабопроводящем цилиндре на основе гальванического приближения. // Математические методы и физико-механические поля.- 1987.- Вып. 25.-С.44-49.

92. Композиционные материалы. Механика композиционных материалов. / Под ред. Дж. Сендецки.- М.: Мир, 1978.- Том 2.- 564 с.

93. Юшков П.П. О численном интегрировании уравнения теплопроводности в полярных сетках. // Труды Ленинградского технологического института холодильной промышленности.- 1956.- Т. 14.- С. 315-323.

94. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.- М.: Изд-во МФТИ, 1994.- 528 с.

95. Постников Е.Б., Соболев C.B. Черенковская генерация магнитозвуковых волн в твердых телах движущимся проводником с током. // Инженерно-физические проблемы новой техники: Тез. докл. V Международного совещания-семинара. М., 1998,- С. 168-169.

96. Постников Е.Б., Соболев C.B. К вопросу о диссипации энергии магнитозвуковых колебаний. // Современные проблемы математики и механики: Тез. докл. Международной конференции.- Львов, 1998.- С. 122

97. Постников Е.Б., Соболев C.B. О магнитотермоакустической обработке полимерных композитов с низкой электропроводностью. // Известия ВУЗов. Химия и химическая технология.- 1999.- Т. 42, №6.- С. 107-110.

98. Постников Е.Б., Соболев C.B. Магнитозвуковой разогрев плоского слоя бегущей волной тока. // Письма в ЖТФ.- 2000.- Т. 26, №4.- С. 88-94.

99. Постников Е.Б., Соболев C.B. Магнитозвуковые колебания черенковского типа в вязкоупругом цилиндре. // Акуст. журнал.- 2000.- Т. 46, №2.- С. 248-251.

100. Постников Е.Б., Соболев C.B. Черенковская генерация волны Римана бегущей волной тока. // Испытания материалов и конструкций: Сб. научн. трудов.- Н. Новгород, 2000.- Вып.2.- С. 159-163.