Материально-энергетический баланс и кинетика роста клеточных популяций: На примере микроорганизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.02, доктор физико-математических наук Минкевич, Игорь Георгиевич

• Минкевич, Игорь Георгиевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Минкевич, Игорь Георгиевич

ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ГЛАВА 2. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПИСАНИЯ

МАТЕРИАЛЬНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА РОСТА

КЛЕТОЧНЫХ КУЛЬТУР

2.1. Введение

2.2. Элементный баланс роста клеточных популяций

2.3. Понятия Ф-базиса и редоксона

2.4. Термодинамика баланса вещества и энергии при прохождении химических реакций

2.5. Баланс и термодинамика химических реакций в Ф-базисе

2.6. Характеристики клеточной биомассы в Ф-базисе

2.7. Энергетика метаболизма в Ф-базисе

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ МАТЕРИАЛЬНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО

БАЛАНСА КЛЕТОЧНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ

3.1. Потоки редоксонов в метаболизме и их связь с переносчиками энергии. Парциальные обмены

3.2. Система уравнений материально-энергетического баланса

3.3. Эффективность роста биомассы и образования продуктов метаболизма

3.4. Модификации системы парциальных обменов

3.5. Верхний предел выхода биомассы и продуктов метаболизма

3.6. Энергетическая эффективность роста фотосинтезирующих бактерий

3.7. Ионный баланс роста клеточных культур. Обоснование бистата

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Материально-энергетический баланс и кинетика роста клеточных популяций: На примере микроорганизмов»

Актуальность проблемы

Популяции микроорганизмов и клеток тканей представляют большой интерес для биофизических исследований. Многие свойства микробных клеток, в особенности эукариотических, аналогичны свойствам клеток высших организмов. Клеточная культура, выращиваемая в строго контролируемых условиях, с точки зрения ряда ее свойств является физической моделью отдельной клетки, поскольку межклеточные взаимодействия в ней намного слабее, чем в тканях. Такой объект может поддерживаться и изучаться в течение длительного времени при относительно небольших затратах на эксперимент. Физико-математические исследования клеточных популяций важны с точки зрения и фундаментальной науки, и приложений. Микроорганизмы занимают одно из важнейших мест в биосфере Земли. В последние десятилетия культуры микроорганизмов и клеток тканей широко используются в биотехнологии, как промышленной, так и (микроорганизмы) экологической. Несмотря на то, что такие исследования широко проводятся в течение десятков лет, ряд важных проблем в этой области остаются недостаточно разработанными. Сюда относятся интегральные закономерности клеточной энергетики, контролирующие распределение вещества и энергии в процессе роста популяции, а также кинетические закономерности роста, учитывающие ее гетерогенность по ключевым физиолого-биохимическим показателям. Вследствие сложности объекта основное внимание при его изучении уделялось подходам, основанным на представлении о микробной популяции как «точечном» объекте (описываемом сосредоточенной моделью) и, как правило, мало учитывавшим роль законов сохранения в динамике этого объекта. Следствием было смещение акцентов в сторону «точечной» кинетики в ущерб стехиометрии и биоэнергетике. Предпринятые нами исследования направлены на замещение пробелов знания в этой области.

Цель исследования

Основная цель нашей работы -развитие интегральных подходов в биоэнергетике и кинетике клеточных популяций, позволяющих выявить общие закономерности баланса вещества и энергии в метаболизме клеток, динамики роста популяций с учетом их гетерогенности, и применение этих подходов к исследованию культур микроорганизмов.

Эта общая задача состоит из следующих этапов.

1. Разработка теоретических основ анализа материально-энергетического баланса, а также ионного баланса клеточного метаболизма в целом, то есть полной совокупности биохимических реакций.

2. Применение этого подхода к теоретическому исследованию роста микробных культур и образования ими продуктов метаболизма.

3. Экспериментальные исследования энергетики и кинетики роста микробных культур, основанные на теории материально-энергетического баланса.

4. Разработка базовой распределенной математической модели роста клеточной популяции, нахождение и исследование ее решений для случая, когда рост зависит от концентрации одного из субстратов.

5. Выявление новых аспектов «точечной» динамики клеточных популяций.

При разработке теории материально-энергетического баланса ставилась задача получить достаточно полный и работоспособный подход, обладающий концептуальной ясностью и дающий возможность максимально просто и эффективно получать реалистичные значения энергетических показателей процесса роста клеточных популяций. Нам представлялось важным разграничить роль трех факторов, определяющих биоэнергетику роста: 1) законы сохранения вещества и энергии, 2) вариабельность метаболических путей и 3) кинетика биохимических реакций.

Научное значение и новизна работы

В течение многих лет исследования субклеточных систем преобладают над исследованиями, относящимися к уровню целых клеток и их популяций. Объективная причина этого - сложность клетки, то есть большое количество ее составных частей, многоуровневость и разнообразие ее пространственной и функциональной организации. Субъективная причина, на наш взгляд, состоит в том, что основной акцент при изучении клеток и их популяций делается на ставшие традиционными подходы - ферментативную кинетику и обыкновенные дифференциальные уравнения.

Наша работа выходит за эти рамки. Мы предлагаем компактный подход, выделяющий своего рода прочный «скелет» в клеточном метаболизме, рамки, в пределах которых существует биологическое разнообразие клетки и сообщества клеток. Этот подход использует физико-химические свойства органических соединений как материала, из которого состоит клетка, свойства, которые обусловливают связь потоков вещества в метаболизме с передачей энергии и ее использованием в клетке. Он делает картину метаболических потоков и их связей легко понимаемой и пригодной для эффективного использования в конкретных расчетах. Этот подход дает возможность редукции количественных характеристик роста клеток и их популяций, то есть их сведения к характеристикам субклеточных систем.

Распределенная модель роста клеточной популяции, разработанная нами, отличается от имеющихся в литературе сбалансированностью уравнений, описывающих граничные условия, по количеству веществ-участников процесса роста и деления клеток. Впервые нами найдены и исследованы решения распределенной модели микробной популяции для случая, когда учитывается влияние среды на клетки. Нахождение таких решений выводит распределенные модели на уровень рабочего аппарата исследователя, занимающегося фундаментальными и прикладными задачами в области биотехнологии и экологии.

Нами разработан метод описания динамики точечных моделей с помощью изохрон в фазовом пространстве, дополняющий множество фазовых траекторий и дающий интегральное описание временных свойств переходных процессов. Разработан на основе теории ионного баланса и осуществлен экспериментально новый эффективный метод непрерывного культивирования - бистат, разработана и изучена математическая модель культуры, растущей в бистате.

В работе получены следующие новые результаты.

1) Впервые разработано общее понятие восстановленности для любого химического соединения, объединяющее старый (кислородный) и новый (электронный) подходы и предложена универсальная единица восстановленности - редоксон.

2) Впервые разработаны строгие понятия парциальных обменов как частей целостного метаболизма клетки, основанные на параллельном делении метаболических потоков.

3) Впервые сформулирована полная система уравнений внутриклеточного материально-энергетического баланса, учитывающая одновременно движение редоксонов в метаболизме и баланс двух видов промежуточных переносчиков энергии - а) макроэргических связей и б) протонов как носителей высокого трансмембранного электрохимического потенциала.

4) Впервые дан общий анализ ионного баланса роста клеточных популяций и на его основе разработан и осуществлен новый способ непрерывного культивирования - бистат.

5) Впервые в распределенной модели роста клеточных популяций случайность динамики роста отдельной клетки учтена в наиболее компактной форме как сконцентрированная по времени в момент деления клеток.

6) Впервые получено и исследовано решение системы уравнений, описывающей динамику возрастного распределения клеток одновременно с влиянием концентрации субстрата (системы из уравнения в частных производных, интегрального и интегро-дифференциального уравнений).

7) Впервые дан изохронный портрет клеточной популяции.

Практическое значение работы

Разработанный нами метод материально-энергетического баланса является эффективным исследовательским инструментом для интегрального описания популяций клеток. Он может быть применен и для описания популяций многоклеточных организмов. Этот подход позволяет упростить рассмотрение динамики клеточных популяций, исключив из этого рассмотрения факторы, не влияющие на изучаемые характеристики. Например, если изменение метаболических путей не приводит к изменению затрат АТФ на конструктивный обмен, то такое изменение не должно учитываться при вычислении величины выхода биомассы из субстрата. Этот подход позволяет найти реалистичные оценки величин выходов биомассы или органических продуктов из субстрата на основе биохимической информации о метаболизме данного субстрата. Он является основой технологических расчетов режимов культивирования и особенно эффективен в случае высоких концентраций биомассы. Он позволяет также осуществлять мониторинг растущей популяции в режиме реального времени, что является источником качественно новой информации о процессе ее жизнедеятельности. Новый способ культивирования - бистат, разработанный нами на основе ионного и материально-энергетического балансов роста, обеспечивает устойчивое культивирование во всем диапазоне концентраций влияющего на рост субстрата S, в том числе при тех значениях S, которые неосуществимы известными методами (хемо-стат, турбидостат, рН-ауксостат). Разработанная нами базовая распределенная модель роста микробной популяции и найденные решения выявляют ряд новых свойств поведения клеточных популяций с учетом их физиологической гетерогенности, что также важно в приложениях к технологическим процессам. Наконец, изохронный портрет популяций и других динамических объектов позволяет определить время достижения стационарного состояния системы с заданной точностью.

Апробации работы

Результаты работы доложены и обсуждены в 22 сообщениях на 18 отечественных и зарубежных конференциях разных лет: 1st International Symposium on Advances in Microbial Engineering (Marianske Lazne, Czechoslovakia, 1972), III Всесоюзное совещание по управляемому биосинтезу и биофизике популяций (Красноярск, 1973), Всесоюзные конференции по лимитированию и ингибированию процессов роста и микробиологического синтеза (Пущино, 1976, 1980 - 2 сообщения), Седьмая Всесоюзная конференция по калориметрии (Черноголовка, 1977), Всесоюзные совещания по непрерывному культивированию микроорганизмов (Москва, 1978, Киев, 1981 - 2 сообщения), съезды Всесоюзного микробиологического общества (Рига, 1980, Алма-Ата, 1985 - 2 сообщения), International Symposia on Continuous Cultivation of Microorganisms (Prague, 1978, Hradec Kralove, Czechoslovakia, 1987 - 5 сообщений), FEMS International Symposia (Hradec Kralove, Czechoslovakia, 1981, Пущино, 1983 - 2 сообщения), 1 Всесоюзное совещание по культивированию клеток животных и человека (Пущино, 1983), 1 международная школа по автоматизации научных исследований (Пущино, 1985), IV Всесоюзная конференция "Управляемое культивирование микроорганизмов" (Пущино, 1986 - 2 сообщения), Всесоюзная конференция «Биоконверсия-88» (Рига, 1988), 15th International Symposium on Yeasts (Riga, 1991), Международная конференция «Математика, компьютер, образование» (Пущино, 2003).

Публикации

Основные результаты работы изложены в 51 публикациях, из которых в рецензируемых изданиях 46 (20 в отечественных и 26 в зарубежных изданиях).

Заключение диссертации по теме «Биофизика», Минкевич, Игорь Георгиевич

выводы

1. Разработаны принципы теории материально-энергетического баланса живых клеток и клеточных популяций. Сформулировано понятие общей единицы восстановленности - редоксона. Разработан принцип деления метаболизма клеток на парциальные обмены - конструктивный, дыхательный, продуктный, поддержание клеток. Разработаны модификации основной схемы парциальных обменов, приложимые, в частности, к фотосинтези-рущим организмам. Введены интегральные энергетические характеристики парциальных обменов. Сформулирована система уравнений материально-энергетического баланса метаболизма, описывающая взаимосвязь парциальных обменов через переносчики энергии.

2. На основе теории материально-энергетического баланса: а) Найдены зависимости энергетических выходов биомассы и продуктов метаболизма от характеристик парциальных обменов и скорости роста. б) Получены максимальные значения выходов клеток и продуктов метаболизма при росте на различных источниках вещества и энергии. в) Получены значения зависящей и не зависящей от скорости роста популяции компонент скорости затрат энергии на поддержание клеток. г) Обоснована в общем виде и подтверждена экспериментально универсальная пропорциональная взаимосвязь между тепловыделением и потреблением кислорода популяцией микроорганизмов. д) Сформулирован принцип построения математических моделей роста клеточных популяций, основанный на сочетании 1) кинетических зависимостей метаболических потоков от факторов внешней среды и 2) соотношений материально-энергетического баланса между этими потоками.

3. Разработана общая теория ионного баланса популяции микроорганизмов и среды ее обитания как часть теории материально-энергетического баланса. На этой основе разработаны и экспериментально осуществлены: а) Новый метод непрерывного культивирования - бистат, имеющий преимущества перед ранее известными методами. б) Методические основы мониторинга роста микробных культур.

4. Экспериментальные исследования роста микробных популяций и интерпретация полученных данных в терминах теории материально-энергетического баланса показали, что кинетическая зависимость скорости роста от концентрации субстрата S связана с влиянием S не только на скорость потребления субстрата, но и на отдельные парциальные обмены, в том числе на процессы поддержания клеток. На этой основе разработана математическая модель, описывающая кинетику роста микробной культуры с высокой точностью.

5. Изучены динамические свойства сосредоточенной модели непрерывной культуры микроорганизмов, показано существование быстрых и медленных переходных процессов в этом объекте. Разработано понятие изохроны, которое позволяет дополнить фазовый портрет динамической системы ее изохронным портретом. Показано, изохроны могут иметь разрывы вдоль некоторых фазовых траекторий. В области быстрых переходных процессов угол наклона изохрон по отношению к траекториям невелик.

6. Разработана базовая распределенная модель популяции микроорганизмов. Исследованы решения системы уравнений для распределения клеток по возрасту и концентрации субстрата, влияющего на скорость деления клеток. Выявлены динамические свойства решений этой системы, аналогичные свойствам сосредоточенной модели - временное масштабирование переходных процессов, существование неустойчивых стационарных решений со свойствами седла. Выявлены, с другой стороны, свойства этих решений, качественно отличающиеся от свойств сосредоточенной системы -колебательный характер переходных процессов, зависимость периода колебаний от концентрации субстрата в среде, окружающей клетки, возможность не только затухания возрастной синхронности, но и возникновения ее заново с последующим затуханием.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своим учителям с физического факультета МГУ и ФИАН РАН, коллегам с кафедры биофизики биологического факультета МГУ, коллегам и соавторам из Института биохимии и физиологии микроорганизмов и других институтов за полученные от них знания, поддержку, плодотворное творческое сотрудничество.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Клеточные популяции (микроорганизмы, культуры клеток тканей) давно и широко исследуются как в аспекте особенностей их метаболизма, так и с точки зрения поведения целостного объекта. Эти два аспекта, глубоко и тесно связанные в самом объекте, оставались достаточно разобщенными в исследованиях, проводимых биофизиками, биохимиками и физиологами. Безусловно, это вызвано специфичностью экспериментальных методов, существенно различающихся при изучении функционирования, например, рибосом, митохондрий и других клеточных структур, а, с другой стороны, при работе с культурами микроорганизмов и клеток тканей. Существует необходимость «сборки» полученных результатов в виде компактной теории, описывающей интегральные закономерности преобразования вещества и энергии субстратов роста в вещество и энергию клеток.

В литературном обзоре нашей диссертации (Глава 1) описаны результаты многочисленных исследователей, работавших в самых различных областях (в том числе отстоявших друг от друга, на первый взгляд, достаточно далеко) и сделавших много для подготовки к разработке теории материально-энергетического баланса роста клеточных популяций. На этой основе нами осуществлена собственно разработка этой теории. В нашей работе различные подходы и направления вышеупомянутых исследований объединены друг с другом и с новыми элементами (Ф-базис, редоксон, парциальные обмены), что позволило создать новый подход к описанию процесса конверсии вещества и энергии в клеточном метаболизме.

Теория материально-энергетического баланса роста клеточных популяций (МЭБ) основана на разработанном нами понятии физиологического базиса (Ф-базиса) для представления состава молекул. В этой системе отсчета нами введена универсальная единица восстановленности - редоксон, которая является общей мерой для потоков по любым метаболическим путям: электрон-транспортные цепи, синтез макромолекул, низкомолекулярный метаболизм, транспорт органических соединений через мембраны. Редоксон характеризуется стандартной энтальпией и стандартной свободной энергией Гиб-бса, которые описывают его энергетический уровень в Ф-базисе. Любое химическое соединение, восстановленное относительно базисных веществ, обладает ненулевым числом редоксонов. В органических соединениях их энергетический уровень, средний на молекулу, имеет значения, близкие к универсальной величине, но не строго равные ей; отклонения имеют порядок нескольких процентов. Нами показано, что и существование этих отклонений, и их относительная малость играют фундаментальную роль в метаболизме. Малость отклонений лежит в основе того, что многие биохимические реакции обратимы или близки к обратимым. В то же время наличие этих отклонений делает возможным существование электрон-транспортных цепей.

Редоксон может рассматриваться как единица квантования метаболически доступной энергии, основанная на энергетических свойствах электронных оболочек атомов, ответственных за химические связи. Протоны, имеющие высокий трансмембранный потенциал (высокоэнергетические протоны, ВЭП), и макроэргические связи (МЭС) представляют собой также единицы квантования метаболически доступной энергии, меньшие по количеству переносимой энергии, чем редоксон. Все они являются материально-энергетическими единицами, поскольку имеют совершенно строгую связь с количеством вещества и приблизительно постоянный уровень энергии.

Теория материально-энергетического баланса роста клеточных популяций является компактной, поскольку она выделяет небольшое число факторов, влияющих на энергетическую эффективность преобразования вещества и энергии при росте. Это стехиометрические коэффициенты сопряжения потоков редоксонов и потоков ВЭП и МЭС, а также скорость кругооборота вещества в клетках. Выведенный нами закон сохранения редоксонов определяет жесткие рамки, в которых протекает метаболизм. Баланс ВЭП и МЭС определяет влияние особенностей метаболизма на биоэнергетику роста в целом.

Важную роль в теории материально-энергетического баланса играет введенное нами деление метаболизма на парциальные обмены. Это деление носит параллельный характер - существуют биохимические реакции, которые входят в два или более парциальных обмена. Это реакции метаболизации субстрата - источника вещества и энергии. Потоки через них делятся на части, соответствующие потокам редоксонов, выходящим из метаболизма -конструктивный обмен (заканчивается синтезом вещества биомассы клеток), дыхательный обмен (поставляет редоксоны в дыхательную цепь), продукт-ный обмен (заканчивается образованием внеклеточных органических продуктов). Такие парциальные обмены имеют вход и выход. Кроме того, существуют парциальные обмены циклического характера. Это, во-первых, поддержание клеток - кругооборот вещества, состоящий из распада и образования заново. Циклический характер имеет также фотосинтетический энергетический обмен. Учет разомкнутости или цикличности парциального обмена крайне важен для правильного составления его схемы.

Составление схемы парциального обмена связано с различным объемом необходимой для этого информации. Продуктный обмен, как правило, содержит относительно небольшое число реакций, которые хорошо известны, и поэтому составление его схемы - задача достаточно простая. Электрон-транспортные цепи содержат параллельные потоки с разной стехиометрией продукции ВЭП, что усложняет точное определение суммарного коэффициента образования высокоэнергетических протонов в расчете на один редоксон. Но эта задача в целом успешно решается исследователями. Наиболее трудно составить схемы конструктивного обмена и кругооборота вещества (поддержание клеток).

Конструктивный обмен был подробно «расписан» для роста дрожжей на глюкозе и этаноле и для роста бактерий на глюкозе (ссылки см. Главу 3). Нами показано, что стехиометрические коэффициенты для потребления АТР в конструктивном обмене, полученные этими исследователями, дают завышенные значения выхода биомассы. Возможны две причины этого - 1) отсутствие информации о каких-то затратах энергии, имеющих место в конструктивном обмене или 2) влияние затрат энергии на поддержание клеток, скорость которых пропорциональна скорости роста биомассы и потому является кажущимся вкладом в потребление энергии при синтезе макромолекул биомассы. Нами был разработан способ обойти эту трудность. Он заключается в том, что гетеротрофный рост на глюкозе принимается за стандартный процесс, а для роста на других источниках вещества и энергии вводятся поправки на количество израсходованных переносчиков энергии (МЭС, ВЭП) согласно различиям между метаболизмом на глюкозе и на данном субстрате. Этот подход показал свою работоспособность для хемогетеротрофного и фо-тотрофного роста, он перспективен для любого варианта получения вещества и энергии клетками.

Что касается поддержания клеток, то эта область выглядит сейчас наиболее сложной, так как кругооборот вещества весьма разнообразен в отношении вида входящих в него процессов, их локализации и возможной регуляции. Это отдельная область исследования, к которой, насколько мы можем заключить, нет до настоящего времени должного интереса и общего подхода. Однако известно, что независящая от скорости роста /и компонента затрат энергии на поддержание клеток невелика в оптимальных для роста условиях. Оценки величины /i-зависимой компоненты затрат на поддержание клеток были сделаны нами в данной работе и оказались неожиданно большими.

Теория МЭБ выявила глубокую связь между балансом и кинетикой роста клеточных популяций. Закон сохранения числа редоксонов устанавливает жесткие рамки, в пределах которых происходит перераспределение вещества и энергии при росте клеточных популяций. Отсюда нами выведены простые и универсальные связи между скоростями основных метаболических процессов: rs = ju + гр + го для хемогетеротрофного роста и rs = jn для роста фото-трофных бактерий с одной фотосистемой. Балансы высокоэнергетических протонов и макроэргических связей накладывают дополнительные связи на потоки вещества и энергии в метаболизме. Эти два баланса включают в себя непосредственные затраты ВЭП и МЭС на поддержание клеток, которые зависят от условий, в которых находятся клетки. Отсюда нами сделан вывод, что затраты энергии на клеточное поддержание лежат в основе важного механизма зависимости скорости роста популяции от концентраций субстратов, температуры и других факторов внешней среды. Этот подход позволил успешно описать рост дрожжей на этаноле с помощью математической модели.

Наряду с балансом редоксонов нами рассмотрен сопряженный с ним баланс ионов при росте клеточных популяций. Для этого была разработана обобщенная схема обозначений для молекул разных веществ с различной степенью ионизации и на ее основе найдена величина скорости подачи сре-ды-титранта при рН-статированном культивировании. Эта величина содержит важную информацию о скорости роста популяции клеток. Наши результаты позволили определить точный вклад баланса каждого вида иона, а также величины заряда клеток на скорость подачи титранта. Были выведены уравнения динамики рН-статированной культуры, которые послужили теоретической основой для разработки нами нового метода непрерывного культивирования - бистата.

Кинетические модели роста клеточных популяций интенсивно развивались в течение XX века. Ввиду сложности объекта исследования они использовали различные допущения и преднамеренные огрубления схем роста, лежащих в основе таких моделей. Сюда следует отнести упрощения зависимости сдельной скорости роста от концентрации субстрата или температуры, отсутствие учета балансовых связей, описание клеток простейшим способом - с помощью концентрации их общего числа или биомассы и т.д. Тем не менее, развитие моделей постепенно включало в них все больше деталей, касающихся характеристик популяции. Наиболее ярким примером этого можно считать разработку распределенных моделей. Они сочетают детальность описания объекта и отсутствие излишней сложности, которой обладают, например, стохастические модели. Последние адекватно описывают процессы с клетками, в которых случайность действительно играет важную роль, например, если число клеток мало и есть реальная вероятность для популяции не выжить. Когда число клеток велико, стохастические модели редуцируются в обычные детерминистические системы дифференциальных уравнений с обыкновенными или частными производными.

Наши исследования распределенных моделей построены таким образом, чтобы закрыть существенные «белые пятна» в этой области. Прежде всего это касается разработки корректной базовой модели, удовлетворяющей требованиям баланса роста. Основное уравнение «неразрывности» в моделях формулируется в литературе в единственно возможной форме и потому корректно. Сложности возникают с краевыми условиями. Автору пришлось иметь дискуссии с коллегами из Германии, которые записывали краевые условие (5.5.2) в ошибочном виде: вместо «(?,0) они ставили ——полагая, что приток должен всегда описываться производной. Это говорит о том, что проблемы с формулировкой распределенных моделей существуют. В нашей базовой распределенной модели краевые условия сформулированы корректно и в математическом, и в биологическом аспектах. Кроме того, эта модель, будучи детерминистической, описывает случайные вариации внутриклеточных веществ. Эти вариации в данной модели «сконцентрированы» во времени и приписаны к моментам деления клеток или начала образования почек. Учет такой случайности может оказаться важным, поскольку содержание многих веществ в клетках чрезвычайно мало.

Важным моментом в динамике клеточных популяций является масштабирование переходных процессов по величинам скоростей (существование быстрых и медленных компонент у этих процессов). Этот аспект динамики биологических объектов интенсивно исследовался для полиферментных систем, но почти не изучался на уровне клеточных популяций. В нашей работе исследование временного масштабирования выполнено и для сосредоточенной, и для распределенной модели. В обоих случаях показано существование линии медленного движения на плоскости «клетки-субстрат», которая существенно упрощает динамику популяции после того, как прошла быстрая стадия.

Нами разработан способ отражения временных характеристик динамического объекта на фазовой плоскости - изохронный портрет. Изохроны -линии равного времени, их множество определено динамическими свойствами системы и базовой линией на фазовой плоскости. В нашей работе эта линия ограничивает область в окрестности стационарной точки системы, такую, что после попадания в эту область можно считать, что стационарное состояние достигнуто с заданной точностью. Изохроны - упорядоченное множество меток времени на траекториях; упорядоченность происходит из использования общей базовой линии для всего множества изохрон. При изменении базовой линии меняется все множество изохрон.

В нашей работе впервые выполнено детальное исследование стационарной и нестационарной динамики популяции клеток, описываемой распределенной моделью с учетом взаимного влияния клеток и среды друг на друга. Это влияние в данной модели имеет место через концентрацию одного из субстратов. Такая модель - «распределенный» аналог сосредоточенной модели «биомасса-субстрат», исследовавшейся в ряде работ, в том числе и в нашей. Нам удалось показать ряд необычных свойств распределенной модели. Сюда относятся наличие колебаний, которых нет в аналогичной точечной модели, возобновление колебаний после их затухания, изменение периода колебаний вследствие влияния концентрации субстрата на клетки, инициация возрастной синхронности при переключении значения концентрации субстрата в подаваемой среде. С другой стороны, неустойчивое стационарное состояние, соответствующее седлу в сосредоточенной модели (случай субстратного ин-гибирования), описывается однозначно определенной точкой на плоскости «общая концентрация клеток N -концентрация субстрата S». Этой точке в распределенной модели соответствует стационарное возрастное распределение клеток. Но переходные процессы на плоскости {N,S} уже не описывается непересекающимися траекториями, которые в сосредоточенной модели однозначно определены начальными значениями (iV(0),5'(0)}. Распределенная система имеет бесконечное число степеней свободы, и «траектории» {N(t),S(t)} являются проекциями бесконечномерного множества на плоскость {N(t),S(t)}. Полученные нами «траектории» представляют собой спиралевидные самопересекающиеся кривые, которые в конечном счете приходят в точку на плоскости {N,S}, соответствующую тому или другому устойчивому стационарному состоянию.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Минкевич, Игорь Георгиевич, 2004 год

1. Мишустин, Е.Н., В.Т. Емцев, Микробиология. 1978, Москва: Колос. 351.

2. Перт, С.Д. Основы культивирования микроорганизмов и клеток. 1978, Москва: Мир. 331.

3. Стейниер, Р., Э. Эдельберг, Д. Ингрэм, Мир микробов. Vol. 1. 1979, Москва: Мир. 320.

4. Стейниер, Р., Э. Эдельберг, Д. Ингрэм, Мир микробов. Vol. 2. 1979, Москва: Мир. 334.

5. Стейниер, Р., Э. Эдельберг, Д. Ингрэм, Мир микробов. Vol. 3. 1979, Москва: Мир. 486.

6. Шлегель, Г. Общая микробиология. 1987, Москва: Мир. 566.

7. Гусев, М.В., JI.A. Минеева, Микробиология. 1992, Москва: Изд. МГУ. 448.

8. Lengeler, J.W., G. Drews, S. G., Biology of the Prokaryotes. 1999: Black-well Science Inc. 955.

9. Maier, R.M., I. Pepper, L„ C.P. Gerba, eds. Environmental Microbiology. 2000, Academic Press. 585.

10. Madigan, T.M., J. Martinko, J. Parker, Brock Biology of Microorganisms, 10/E. 10 ed. 2003: Prentice-Hall, Inc. 1104.

11. Чеботарев, JI.H., Г.В. Шабурова, Г.М. Лисюк, О динамике поглощения глюкозы дрожжами Saccharomyces carlsbergensis при действии света. Биологические науки, 1984(12): р. 81-83.

12. Чеботарев, Л.Н., И. А. Еремина, Метаболизм углеводов у гриба Aspergillus niger при действии света. Микробиология, 1988. 57(3): р. 385-388.

13. Беленикина, Н.С., М.Г. Страховская, Г. Фрайкин, Активирующее действие лазерного ультрафиолетового излучения на рост дрожжевых клеток. Биофизика, 1990. 35(4): р. 618-620.

14. Имшенецкий, А.А., Т.Ф. Кондратьева, Устойчивость полиплоидных культур Candida utilis к действию ультрафиолетовых лучей. Микробиология, 1987. 56(5): р. 879-881.

15. Полотебнова, М.В., Е.П. Феофолова, В.М. Терешина, Е.А. Широкова, Действие света на образование липидов и процесс спорообразования у мукорового гриба Cunninghamella japonica. Микробиология, 1988. 57(3): р. 379-384.

16. Поспелов, М.Е., В.Б. Туровецкий, Г. Фрайкин, О роли повреждения мембран в инактивации дрожжевых клеток видимым светом. Микробиология, 1987. 56(5): р. 882-885.

17. Федосеева, Г.Е., Т.И. Кару, Т.С. Ляпунова, Н.А. Помощникова, М.Н. Мейсель, Чувствительность различных дрожжевых культур к действию низкоинтенсивного красного света. Микробиология, 1987. 56(5): р. 792-796.1821