Метод численного определения осредненных характеристик композитов на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сагдеева, Юлия Альбертовна

• Сагдеева, Юлия Альбертовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сагдеева, Юлия Альбертовна

Введение

I. Методы получения эффективных характеристик композитов

1.1. Методы экспериментального определения модулей.

1.2. Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Понятие об эффективных характеристиках.

1.2.1. Моделирование напряженно-деформированного состояния

1.2.2. Моделирование стационарного теплового поля и фильтрации жидкости.

1.3. Теоретические оценки.

1.4. Численные методы определения оценок.

II. Многомасштабный анализ на основе вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов

2.1. Вейвлеты и их свойства.

2.2. Многомасштабная декомпозиция функций

2.3. Численное вейвлет-осреднение.

2.3.1. Вейвлет-осреднение на основе метода конечных разностей

2.3.2. Вейвлет-осреднение на основе метода конечных элементов

2.4. Двумерное вейвлет-преобразование.

2.5. Получение осредненных характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования.

III. Вейвлет-осреднение в некоторых задачах теории упругости, теплопроводности и фильтрации

3.1. Дифференциальная и конечно-элементная постановка

3.2. Одномерное вейвлет-осреднение.

3.3. Двумерное вейвлет-осреднение.

3.3.1. Осреднение в задачах фильтрации.

3.3.2. Осреднение в стационарной задаче теплопроводности

3.3.3. Осреднение в задачах теории упругости.

IV. Вычислительные особенности и программная реализация в многомасштабном анализе

4.1. Структура матриц.

4.2. Способы повышения вычислительной эффективности схемы вейвлет-преобразования.

4.3. Объектно-ориентированная модель вейвлет-преобразования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод численного определения осредненных характеристик композитов на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов»

Актуальность проблемы. Промышленные композитные материалы состоят из большого числа микроструктурных компонент с разными характеристиками, сочетание которых определяет свойства материала в целом. Процессы, происходящие в композиционных материалах, описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами. Численное решение этих задач требует значительных вычислительных затрат, поскольку предполагает использование расчетной сетки очень малого шага. Это привело к появлению новой области математических исследований, целью которой является построение таких методов осреднения дифференциальных операторов с частными производными, что решения получаемых уравнений с осредненными коэффициентами близки к решениям исходных уравнений и адекватно описывают поведение композита. Осредненные (эффективные) характеристики композиционных материалов определяются экспериментально или численно, а также существует ряд аналитических оценок.

При испытании опытных образцов возникает ряд трудностей, связанных с выбором размеров и форм образцов, исключением влияния краевых зон закрепления образца и внутренних дефектов, созданием необходимого для расчетов напряженного состояния или тепловых полей. Кроме того, методы испытаний и обработки результатов различны для разных типов композиционных материалов — единый подход здесь едва ли возможен!. Отмеченные недостатки затрудняют получение характеристик композита на основе эксперимента, а приведенные в литературе результаты экспериментов в ряде случаев существенно различаются.

Существующие аналитические оценки характеристик композитов (например, оценки Хашина-Штрикмана [1,2] и оценки Фойгта-Рейсса [3] для упругих констант, тепловых и фильтрационных свойств), как правило, дают достаточно широкий диапазон возможных значений свойств материала и используются только для грубой оценки.

В настоящее время разработаны методы получения эффективных характеристик материалов с периодической структурой в задачах линейной упругости, теплопроводности, диффузии и др. — это методика асимптотического осреднения, описанная в работах Н.С. Бахвалова, Г.П. Пана-сенко [4], Б.Е. Победри [5], Э. Санчес-Паленсии [6] и А. Бенсусана [7]. Однако, в данном случае необходимо решение задач в классе функций периодических на ячейке, что осложняет реализацию данного метода. Лишь в случае определенной симметрии исследуемого образца периодические граничные условия можно заменить непериодическими краевыми условиями.

Недостаточность классических методов осреднения побуждает развивать новые математические подходы. Основу одного из подходов составило использование вейвлетов — класса базисных функций, которые применяются в цифровой обработки сигналов, при сжатии информации, распознавании образов и др.

Одно из главных преимуществ вейвлет-преобразования заключается в возможности получать представление величин на интересующем уровне масштаба. С помощью вейвлет-преобразования можно получить осредненное представление функции (грубый масштаб - «низкое разрешение») и выделить ее локальные свойства (мелкий масштаб - «высокое разрешение»). Данное свойство преобразования позволяет ввести многомасштабный анализ исследуемой функции или анализ с переменным разрешением. Свойства вейвлетов позволяют предположить, что вейвлет-преобразование будет полезным и при осреднении решений уравнений в частных производных.

Цель работы. Разработка метода осреднения эллиптических дифференциальных уравнений на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов для прогнозирования эффективных свойств и анализа осредненных решений уравнений для композитов с известной структурой и свойствами составляющих компонент.

Методы исследований. Используется математический аппарат статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и теории фильтрации, теория дискретного вейвлет-преобразования, теория метода конечных элементов, методы линейной алгебры, феноменологические модели механики композитов.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается сравнением с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных алгоритмов и программного комплекса на решениях модельных задач.

Научная новизна. 1. Разработана методика численного осреднения линейных эллиптических краевых задач второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами для вычисления эффективных характеристик с помощью одномерного и двумерного вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов в областях периодической и непериодической структуры;

2. Предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и программной реализации вейвлет-осреднения с использованием сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов;

3. Численным моделированием получены осредненные значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, коэффициентов теплопроводности и проницаемости в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы (квадратные, круглые и ромбические включения), разной объемной долей (объемная доля включений составляла от 7% до 50%), различного взаимного расположения включений (симметричное и несимметричное), когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанная методика вейвлет-осреднения и вычисления осредненных характеристик может быть использована для оценки эффективных характеристик существующих композитных материалов, а также для прогнозирования упругих, тепловых и фильтрационных свойств при создании новых материалов. Получаемые осредненные решения дифференциальных уравнений могут использоваться в качестве приближений к точному решению, когда необходимо знать глобальное поведение решений (например, такое приближение на грубых сетках используется в многосеточных методах решения дифференциальных уравнений и при построении предобусловливателей для решения систем алгебраических уравнений).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях: Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач», 27 июня - 1 июля 2003, Казань; Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004», 8-10 декабря 2004, Ижевск; VI International Congress on Math. Modeling, 20-26 сентября 2004, Нижний Новгород; Международной конференции по избранным вопросам современной математики, 4-8 апреля 2005, Калининград; 14 Зимней школы по механике сплошных сред, 28 февраля - 3 марта 2005, Пермь; 14-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых, 4 октября - 7 октября 2005, Пермь; III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», 14-15 июня 2006, Ижевск; Научной конференции «Теория управления и математическое моделирование», 3-8 июля 2006, Ижевск; Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики», 26 июня - 1 июля 2006, Казань; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, 22-28 августа 2006, Нижний Новгород; 15 Зимней школе по механике сплошных сред, 26 февраля - 3 марта 2007, Пермь.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ. Из них в рецензируемых журналах 4 работы, в журналах, рекомендованных ВАК, 1 работа.

Благодарности. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты »07-01-96069, 06-07-89015, 02-07-90265) и УрО РАН.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, 15 параграфов (нумерация параграфов по главам), заключения, списка литературы и содержит 56 рисунков, 13 таблиц. Объем работы 124 страницы. Библиографический список включает 91 наименование.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы по главам.

Первая глава содержит обзор основных методов получения эффективных характеристик композитов. Выделено три группы методов. Описываются известные верхние и нижние аналитические оценки для упругих и тепловых эффективных модулей. Это оценки Фойгта-Рейсса, получаемые на основе закона сохранения энергии, и более точные оценки Хашина-Штрикмана. Рассмотрены преимущества и недостатки экспериментального определения модулей. Проведен анализ численных методов получения оценок, среди которых наиболее проработанным является асимптотический метод осреднения, предложенный Н.С. Бахваловым, Г.П. Панасенко [4] и Б.Е. Победрей [5]. Рассмотрены методы давлений и ренормализации получения осредненных фильтрационных свойств, а также многосеточный метод осреднения дифференциальных уравнений. Описаны уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами, сформулированы постановки задач статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и фильтрации, а также введено понятие эффективных оценок.

Вторая глава посвящена многомасштабному анализу на основе всйв-лет-преобразования Хаара и метода конечных элементов. Вводится понятие масштабирующих функций фп tk(x) и вейвлетов фп,к{х) > описаны их свойства. Рассматривается процедура одномерного и двумерного вейвлет-преобразований, понятие многомасштабного анализа и численное вейвлет-осреднение систем, получаемых в методе конечных элементов. Предлагается методика по определению эффективных характеристик с помощью вейвлет-преобразования. В качестве вейвлет-базиса выбирается базис Хаара, поскольку он обладает свойствами ортогональности и симметрии.

В третьей главе показаны результаты расчетов по предложенному методу вейвлет-осреднения для некоторых задач теории упругости, теплопроводности и фильтрации. Рассмотрены случаи одномерного и двумерного вейвлет-осреднения решений дифференциальных уравнений, а также получения эффективных модулей упругости и теплопроводности. Проведено сравнение полученных оценок с другими методами осреднения и аналитическими оценками.

В четвертой главе описаны вычислительные особенности, присущие вейвлет-преобразованию. Описаны структуры и портреты матриц, участвующих в процедуре численного осреднения, предложены способы для более эффективной работы с ними, указаны особенности программной реализации.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сагдеева, Юлия Альбертовна

Результаты исследования осреднения в задачах теплопроводности представлены также в [63,82].

3.3.3. Осреднение в задачах теории упругости

Задача 12.Рассмотрим пластину (рис. 3.18), состоящую из двух материалов — матрицы с модулем Юнга = 1 и коэффициентом Пуассона и^ = 0.3 и более мягким включением квадратной формы с константами Е^ = 0.5, = 0.3. Исследуем как меняются осредненные

Рис. 3.18. Квадратное включение внутри матрицы материала

Рис. 3.19. Круглое включение внутри матрицы материала

Рис. 3.20. Расчетная область (задача 7, пу = 12 включений) модуль Юнга и коэффициент Пуассона при различных объемных долях включения. Вычислим значения коэффициентов на основе формул одноосного напряженного состояния, описанных в п. 2.5. Расчеты проводились для плоско-напряженного деформированного состояния. Расчетная сетка МКЭ состоит из Nn = 4096 узлов (пу = 64 узла по вертикали и пх = 64 узла по горизонтали). Результаты вейвлет-осреднения после j = 6 шагов (область стягивается в точку) представлены в табл. 3.4. В той же таблице показаны результаты асимптотического осреднения. Различия для значений модуля Юнга при объемной доле = 0.1 имеют порядок 5%, тогда как при с^ = 0.5 отклонение близко к 15%. Такое поведение объясняется тем, что при большой объемной доле напряженное состояние в пластине уже больше нельзя считать близким к одноосному.

Компоненты поля перемещений на разных шагах осреднения представлены на рис. 3.21-3.30 для объемной доли включения 20 %. Показана четверть расчетной области, лежащая в первом квадранте. Для сравнения на рис. 3.31-3.32 показаны поля перемещений, полученные с осредненны-ми асимптотическим методом модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Отметим, что результаты асимптотического метода, вычисленного на нескольких сетках (135 х 135, 195 х 195 и 235 х 235), отличаются друг

Заключение

Разработан метод вычисления эффективных свойств композитов произвольной структуры и определения осредненных полей решений дифференциальных уравнений теории упругости, теплопроводности и фильтрации, основанный на вейвлет-преобразовании Хаара и методе конечных элементов в одномерном и двумерном случаях и реализованный в виде программной среды, учитывающей разреженную структуру матриц вейвлет-преобразования.

1. Разработана методика численного вейвлет-осреднения решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами и вычисления эффективных характеристик для композитов различной структуры.

2. Предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и использования сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов. Разработан программный комплекс для численного осреднения систем линейных алгебраических уравнений МКЭ и вычисления осредненных характеристик композиционных материалов.

3. Численным моделированием получены осредненные значения характеристик в задачах теории теплопроводности, теории упругости и фильтрации в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы, разной объемной долей, различного взаимного расположения включений, когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сагдеева, Юлия Альбертовна, 2007 год

1. Hashin, Z. The elastic moduli of fiber-reinforced materials / Z. Hashin, B. W. Rosen // J. Appl Mech. 1964. - Vol. 31. - P. 223.

2. Кристенсен, P. Введение в механику композитов / Р. Кристенсен.— М.: Мир, 1982.- 334 с.

3. Кравчук, А. С. Механика полимерных и композиционных материалов / А. С. Кравчук, В. П. Майборода, Ю. С. Уржумцев. — М.: Наука, 1985.- 304 с.

4. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. — М.: Наука, 1984, — 352 с.

5. Победря, Б. Е. Механика композиционных материалов / Б. Е. Побед-ря. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 336 с.

6. Санчес-Паленсия, Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Э. Санчес-Паленсия. — М.: Мир, 1984. — 472 с.

7. Bensoussan, A. Asymptotic analysis for periodic structures / A. Bensoussan, J.-L. Lions, G. Papanicolaou. — North-holland publishing company, 1978. — 700 pp.

8. Тарнополъский, Ю. M. Методы статических испытаний армированных пластиков / Ю. М. Тарнополъский, Т. Я. Кинцис. — М.: Химия, 1981. — 272 с.

9. Kuntz, М. Numerical estimation of the effective conductivity of heterogeneous media with a 2D cellular automaton fluid / M. Kuntz, J. Mareschal, P. Lavallee // Geophysical research letters.— 1997.-Vol. 24, no. 22.- Pp. 2865-2868.

10. И. Пивенъ, A. H. Теплофизические свойства полимерных материалов. Справочник / А. Н. Пивень, Н. А. Гречаная, Ч. И. И. — Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1976. — 180 с.

11. Горлов, Ю. П. Лабораторный практикум по технологии ТИМ / Ю. П. Горлов. — М.: Высшая школа, 1982. — 239 с.

12. Кауфман, Б. Н. Теплопроводность строительных материалов / Б. Н. Кауфман. — М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1955. — 161 с.

13. Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. — Ижевск-Москва: НИЦ: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. — 628 с.

14. Пористые проницаемые материалы: Справ, изд. / Под ред. С. В. Белова. — М.: Металлургия, 1987. — 335 с.

15. Швидлер, М. И. Статистическая гидродинамика пористых сред / М. И. Швидлер. М.: Недра, 1985.- 288 с.

16. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1972.- 735 с.

17. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. — М.: Высшая школа, 1990. — 400 с.

18. Терегулов, И. Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности / И. Г. Терегулов. — М.: Высшая школа, 1984. — 472 с.

19. Работное, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1979. - 744 с.

20. Jones, R. М. Mechanics of composite materials / R. M. Jones.— Philadelphia: Taylor к Francis Inc., 1998.- 519 pp.

21. Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов / JI. Сегер-линд. М.: Мир, 1979. - 392 с.

22. Дулънев, Г. Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г. Н. Дульнев, В. Г. Парфенов, А. В. Сигалов.— М.: Высшая школа, 1990.- 207 с.

23. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов / Р. Д. Каневская. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.- 140 с.

24. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. — М.: Наука, 1977.— 664 с.

25. Ентов, В. М. Теория фильтрации / В. М. Ентов // СОЖ. 1998. -№ 2.-С. 121-128.

26. Бердичевский, В. JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / В. JI. Бердичевский. М.: Наука, 1983. — 448 с.

27. Hashin, Z. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials / Z. Hashin, S. Shtrikman // Journal of the mechanics and physics of solids. — 1963. Vol. 11, no. 2.- Pp. 127 140.

28. Hashin, Z. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials / Z. Hashin, S. Shtrikman // Journal of Applied Physics. 1962. - Vol. 33. - Pp. 3125-3131.

29. Lukkassen, D. Some engineering and mathematical aspects on the homogenization method / D. Lukkassen, L.-E. Persson, P. Wall // Composites Engineering. — 1995. — Vol. 5, no. 5. — Pp. 519-531.

30. Trottenberg, U. Multigrid / U. Trottenberg, C. Oosterlee, A. Schuller.— New York: Academic Press, 2001. — 644 pp.

31. Шайдуров, В. Многосеточные методы конечных элементов / В. Шайдуров. — М.: Наука. Гл. ред. фнз.-мат. лит., 1989. — 288 с.

32. Briggs, W. L. Multigrid tutorial / W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick.— Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. 193 pp.

33. Moulton, J. D. The black box multigrid numerical homogenization algorithm / J. D. Moulton, J. E. Dendy, J. M. Hyman // Journal of computational physics. 1998. - Vol. 142. - P. 80-108.

34. Moulton, J. D. Multilevel upscaling in heterogeneous porous media: Research Highlights LA-UR 99-4754 / J. D. Moulton, S. Knapek, J. E. Dendy. — Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, NM: Center for Nonlinear Studies, 1999.

35. Griebel, M. A multigrid-homogenization method / M. Griebel, S. Knapek // Notes on Num. Fluid Mech. 1997. - Vol. 59.- Pp. 187202.

36. Knapek, S. Matrix-dependent multigrid homogenization for diffusion problems / S. Knapek // SIAM Journal on Scientific Computing.— 1999,- Vol. 20, no. 2,- Pp. 515-533.

37. Dendy, J. E. Black box multigrid / J. E. Dendy // J. Comput. Phys.— 1982.-Vol. 48.-Pp. 366-386.

38. Knapek, S. Upscaling techniques based on subspace corrections and coarse-grid approximations / S. Knapek // Situ.— 1998.— Vol. 22, no. 1.- Pp. 35-58.

39. Renard, P. Calculating equivalent permealbility / P. Renard, G. de Marsily // Advances in water resources. — 1997. — Vol. 20. — Pp. 253-278.

40. Durlofsky, L. J. Numerical calculation of equivalent gridblock permeability tensors for heterogeneous porous media / L. J. Durlofsky // Water Resources Research. 1991. - Vol. 27, no. 5. - Pp. 699-711.

41. King, P. R. The use of renormalization for calculating effective permeability / P. R. King // Transport in porous media. — 1989. — Vol. 4, no. 1,- Pp. 37-58.

42. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — 464 с.

43. Mallat, S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) / S. Mallat // Trans. Am. Math. Soc1989.- Vol. 315. — Pp. 21-43.

44. Meyer, Y. Wavelets: algorithms and applications / Y. Meyer. — Philadelphia: SIAM, 1993.- 133 pp.

45. Cohen, A. Biorthogonal bases of compactly supported wavelets / A. Cohen, I. Daubechies, J. Feauveau // Communications on Pure. and. Applied Mathematics.- 1992. Vol. 45, no. 5. - Pp. 485-500.

46. Переберин, А. В. О систематизации вейвлет-преобразования / А. В. Переберин // Вычислительные методы и программирование. — 2001.-Т. 2, №2.-С. 133-158.

47. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике / Э. Столниц, Т. Де-Роуз, Д. Салезин. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.- 272 с.

48. Астафьева, Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук, — 1996.— Т. 166, № 11.-С. 1145-1170.

49. Дремин, И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // Успехи физических наук. — 2001. -• Т. 171, № 5.- С. 465-561.

50. Чуй, К. Введение в вэйвлеты / К. Чуй. — М.: Мир, 2001. — 412 с.

51. Dorobantu, М. Wavelet-based numerical homogenization / М. Dorobantu, В. Engquist // SIAM. J. Numer. Anal. 1998. - Vol. 35. - Pp. 540-559.

52. Beylkin, G. Fast wavelet transform and numerical algorithms I / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin // Communication on pure and applied mathematics. — 1991. — Vol. 44. — Pp. 141-183.

53. Brewster, M. A multiresolution strategy for numerical homogenization / M. Brewster, G. Beylkin // Applied and computational harmonic analysis. 1995. - Vol. 2. - Pp. 327-349.

54. Beylkin, G. A multiresolution strategy for the reduction of elliptic PDEs and eigenvalue problems / G. Beylkin, N. Coult // Appl. Comput. Harmon. Anal. 1998. - Vol. 4. - Pp. 129-155.

55. Gilbert, A. C. A comparison of multiresolution and classical homogenization schemes / A. C. Gilbert // Applied and Computational Harmonic Analysis. — 1998. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 1-35.

56. Dorobantu, M. Wavelet-based algorithms for fast PDE solvers: Ph.D. thesis / Royal Institute of Technology. — 1995.

57. Биргер, И. А. Сопротивление материалов / И. А. Биргер, Р. Р. Мав-лютов. — М.: Наука, 1986. — 560 с.

58. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимации / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. - 318 с.

59. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. М.: Мир, 1977.- 349 с.

60. Копысов, С. П. Метод численного определения упругих осредненных характеристик композитов / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Проблемы механики и материаловедения. — Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2006. С. 8-9.

61. Копысов, С. П. Численное определение осредненных характеристик композитов на основе МКЭ и вейвлет-преобразования / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Изв. инс-та матем. и информатики УдГУ. — 2006. Т. 37, № 3. - С. 67-68.

62. Копысов, С. П. Двумерное вейвлет-преобразование Хаара и его применение к многомасштабному анализу: Деп. в ВИНИТИ №796-В2004 / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева. Ижевск: ИПМ УрО РАН, 2004.

63. Sagdeeva, Y. A. The multiresolution decomposition for obtaining the averaged characteristics of composites / Y. A. Sagdeeva // Book of Abstracts of the Intern. Congress on Math. Modeling. — Nizhny Novgorod: University of Nyzhni Novgorog, 2004. P. 339.

64. Копысов, С. П. Двумерное вейвлет-осреднение на основе базиса Хаара / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Тезисы докладов Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004». 2004. - С. 50.

65. Копысов, С. П. Вейвлет-осреднение в задачах теории упругости композитных материалов / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Проблемы термогазодинамики и прочности механических систем. — Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2005,- С. 108-123.

66. Копысов, С. П. Об одном методе определения эффективных упругих характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Интеллектуальные системы в производстве. 2007. - Т. 1. - С. 49-61.

67. Копысов, С. П. Применение вейвлет-преобразования при численном осреднении дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Известия вузов. Математика. — 2007. — № 7. — С. 80-83.

68. Копысов, С. П. Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Вестник ИжГТУ. 2007. - Т. 3. -(принято в печать).

69. Программная среда построения расчетных моделей метода конечных элементов для параллельных распределенных вычислений / С. П. Копысов, А. К. Новиков, Ю. А. Сагдеева и др. // Информационные технологии. — 2008. — Т. 1. — (принято в печать).

70. Дыхне, А. М. Проводимость двумерной двухфазной системы / А. М. Дыхне // Журн. эксп. техн. физики. 1970. — Т. 59. — С. 111115.

71. Жиков, В. В. Усреднение дифференциальных операторов / В. В. Жи-ков, С. М. Козлов, О. А. Олейник. М.: Физматлит, 1993. - 464 с.

72. Козлов, С. М. Осреднение случайных операторов / С. М. Козлов // Математический сборник. 1979. - Т. 109, № 2. - С. 188-202.

73. Bourgat, J. F. Numerical experiments of the homogenization method for operators with periodic coefficients / J. F. Bourgat // Lecture notes in mathematics. 1977. - Vol. 707. - Pp. 330-356.

74. Юркевич, А. А. Метод прогнозирования теплоизоляционных свойств строительных материалов и изделий: Дисс. канд. техн. наук: 01.02.05.- Ижевск, 1999.- 123 с.

75. Копысов, С. П. Определение эффективного коэффициента теплопроводности с помощью вейвлет-осреднения / С. П. Копысов, Ю. А. Саг-деева // Материаловедение и обработка материалов. — Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2005.- С. 243-250.

76. Копысов, С. П. Вычислительные особенности двумерного вейвлет-осреднения в задачах многомасштабного анализа / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Вычислительные методы и программирование. — 2005.-Т. 6, № 1.-С. 1-8.

77. A contribution to wavelet based subgrid modeling / U. Anderson, B. Engquist, G. Ledfelt, O. Runborg // Appl. Comput. Harmon. Anal.--1999,-Vol. 7.-Pp. 151-164.

78. Chertock, A. On wavelet-based numerical homogenization / A. Chertock, D. Levy // Multiscale model simul. — 2004. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 65 88.

79. Coult, N. A multiresolution strategy for homogenization of partial differential equations: Phd thesis / University of Colorado.— 1997. 101 pp.

80. Писсанецки, С. Технология разреженных матриц / С. Писсанецки. — М.: Мир, 1988.- 411 с.

81. Рынков, В. Н. Объектно-ориентированная распределенная параллельная система для конечно-элементного анализа / В. Н. Рычков, И. В. Красноперов, С. П. Копысов // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 9. - С. 81-86.

82. WaveletHomogenization: свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ. №2007611891 Рос. Федерация; авторы и правообладатели Копысов С.П., Сагдеева Ю.А.; заявл. 19.03.07; опубл. 10.05.07.