Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов линейных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гаркавенко, Галина Валериевна

• Гаркавенко, Галина Валериевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаркавенко, Галина Валериевна

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов.

§1 Абстрактная схема метода подобных операторов.

§2 Нелинейные уравнения метода подобных операторов.

§3. О диагонализации некоторых классов линейных операторов.

Глава 2. Метод подобных операторов в вопросе единственности решения обратной задачи спектрального анализа.

§1. Обратные задачи спектрального анализа.

§2. Построение допустимой тройки. Теорема о расщеплении.

§3. Единственность решения обратной задачи спектрального анализа.

§4. Единственность решения обратной задачи спектрального анализа для одного дифференциального оператора.

Глава 3. Исследование спектральных свойств возмущенных операторов с неограниченными возмущениями.

§1. Построение допустимой тройки метода подобных операторов для одного класса неограниченных возмущений; случай 1.

§2. Построение допустимой тройки метода подобных операторов для одного класса неограниченных возмущений; случай 2.

§3. Применение к дифференциальным операторам с периодическими краевыми условиями и негладким потенциалом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов линейных операторов»

Одним из самых распространенных методов исследования спектральных свойств возмущенных линейных операторов является резольвентный метод, в основе которого лежит интегральное представление Коши проекторов Рисса. Такой метод лежит в основе исследований, проводимых в известных монографиях Т. Като [32], Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца [26], М.А. Наймарка [45]. Результаты, полученные на основе этого метода зависят от выбора системы контуров интегрирования и оценок резольвенты оператора на этой системе контуров.

Другим методом исследования возмущенных операторов является метод подобных операторов. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А - В к оператору А-В0, подобному исходному, но имеющему более простую структуру.

Метод подобных операторов берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [24], абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [3], [7].

Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [56] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов Р. Тернером [62] была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора.

Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [4-10] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов. Актуальность темы развития метода подобных операторов состоит в возможности разнообразных приложений метода.

В диссертационной работе рассматривается задачи дальнейшего развития метода подобных операторов, его применения к вопросу единственности решения обратных задач спектрального анализа, его применения к исследованию спектральных свойств некоторых новых классов операторов с неограниченными возмущениями. При этом исследование проводится в трех направлениях: усиление некоторых известных результатов (теоремы Хинкканена; глава 1), применение метода к задачам, где он ранее не использовался (обратные задачи спектрального анализа; глава 2), и расширение класса допустимых возмущений (глава 3).

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется двойная нумерация теорем, лемм, определений, замечаний, формул. Причем, первая цифра означает номер главы, вторая - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данной главе. Ссылка на литературу дается в квадратных скобках. Во введении нумерация теорем, лемм и т.д. такая же, как и в главах диссертации.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия, определения, теоремы и уравнения метода подобных операторов, которые используются в дальнейшем.

В первом параграфе приводится основные определения и абстрактная схема метода подобных операторов.

Пусть X - комплексное банахово пространство.

Определение 1.1. Два линейных оператора А{:D{Ai)сХ->Х, / = 1,2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор UeEndX такой, что

UD{A2) = D{Ax) и A{Ux = UA2x , Vx е D{A2). Оператор U назовем оператором преобразования оператора Ах в А2.

Подобные операторы обладают рядом одинаковых свойств. В частности совпадают спектры подобных операторов сг(А{) = сг(А2).

Определение 1.2. Оператор В: D{B) с X -» X называется подчиненным оператору А, если D(B)zdD(A) и существует такая постоянная С> 0, что ||Лх||<С(||л;|| + ||^л:||), \/xeD(A), где С = С(А)-некоторая постоянная. При этом получается = inf С.

Множество линейных операторов, подчиненных оператору А будем обозначать LA (X).

Основной составляющей метода подобных операторов является понятие допустимой тройки, которая должна для применимости метода удовлетворять ряду условий.

Определение 1.4. Пусть Ш линейное многообразие операторов из La(X) и Я, Г:5Я —>EndX - трансформаторы. Тройку назовем допустимой тройкой для оператора А, а 5Н-допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1) банахово пространство со своей нормой, непрерывно вложенное в ЬА(Х) (т.е. VX еЬА(Х));

2) J и Г непрерывные трансформаторы;

3) (TX)D(A) с D(A) и АГХ - (ГХ)А = X - JX, \/Х е Ж, причем ГХ - единственное решение уравнения AY -YA = X - JX, удовлетворяющее условию JY = О/

4) XTY, (ГХ)Ге9? , УХ, Г е 91 и существует такая постоянная у >0, что ||Г|<у и тах{||ЖТ||,||(П07||} < гЦЩЦ, \/X,YgЯ;

5) выполнено одно из следующих условий: а) RanTX с D(A) и АГХ е EndX, УХ е 5Я; б) для любых X &SR, £>0, можно указать число ХЕ е р(А), такое, что Х(А-Ле/у1 <£.

Если известно, что J - проектор, то дополнительно требуется выполнение условия:

6) KerT = RanJ, RanT = KerJ и операторы (TX)JY, (JX){YY) g KerJ, УХ, Y g .

Во втором параграфе приводятся основные нелинейные уравнения метода и доказываются теоремы об их разрешимости, основанные на использовании метода мажорантных уравнений и принципа сжимающих отображений. Отметим, что результаты этого параграфа систематически используются при получении всех основных результатов диссертации.

Пусть - допустимая для оператора А: D(A) с X X тройка и В - некоторый оператор из SR. Если J - проектор, то нелинейное уравнение метода подобных операторов имеет вид:

X = ВГХ -(YX)J{BTX) -(YX)JB + В. (1.2)

Это уравнение чаще всего используется в диссертации для получения различных результатов, так как в рассматриваемых допустимых тройках трансформатор J является проектором.

Теорема 1.3. Пусть A\D{A)cz X —> X линейный оператор и $Я,У,Г) допустимая для А тройка, где трансформатор J: 9? —> является проектором и ||У|| = 1. Тогда оператор вида А-В, где Ве\Я, подобен оператору вида А - JX0, если выполняется неравенство

М|г||<- (1.6) 11 4 и Х0 решение уравнения (1.2), которое можно найти методом простых итераций.

При этом будет иметь место равенство (А - В)(1 + ГХ0) = (I + ГХ0)(А - JX0), где 1 + ГХ0 обратимый оператор, причем (/ + ГХ0 )D(A) = D{A). Имеют место оценки:

Х0\\<Де)\\В\\; (1.7)

X0-B\\<6f(£i2 + 8f(s))\B\\; рС0 - Ф(В)\\ < e2f{e){l + sf{e)\2 + е + \\jX0\\<{sf(8) + l]\B\\, \\JXQ-JB\\<8f{s)\B\\, где = i о 2/г^<4-1 - Is + л/1 - As

В третьем параграфе получены при определенных условиях на оператор В еEndH результаты о диагонализуемости оператора А-В. Задача о диагонализуемости такого вида операторов возникает при построении безусловных базисов в пространстве Бергмана B2(G), где G- ограниченная простая связная область комплексной плоскости С [60].

Вопрос диагонализуемости рассматриваемого здесь класса линейных операторов изучается в статье А. Хинкканена [61]. Теоремы 1.4 и 1.5 данного параграфа усиливают соответствующие результаты из статьи [61].

Пусть Я - сепарабельное комплексное гильбертово пространство и А: D(A) с Я -> Я, собственные значения которого (Лк), к> 1, простые, и (еп) - ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, т.е. Аек = Лкек,к >1. Далее для собственных значений оператора А считается выполненным следующее условие: существует такое число 0 < р < 1, что для всех к е N выполнено соотношение

К^рШ (1.9).

Всюду в этом параграфе для матрицы (btJ) оператора BeEndH в базисе (еп), считается выполненным одно из следующих условий. Предположение 1.1. Для матрицы (Ьу) выполняется условие

2< (0,15(1 -р))гЩт~2 для всех i,j> 1.

Предположение 1.2 . Для матрицы (Ь0) выполняются условия

4А

-2

Ьи= О, Ъу < (0,2(1 -р)У для всех /, j > 1.

Предположение 1.3 . Для матрицы {by) выполняется условие

-р)1щ2Щ{1-jy* для всех i,j> 1.

Предположение 1.4. Для матрицы {Ьу ) выполняются условия ъи = о, |б,|2<((1-р)/зо)2|я,яу|(/-уг4 для всех i, j > 1.

При сделанных предположениях справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.5. Пусть элементы btJ, i,j > 1 матрицы оператора В удовлетворяют предположению 1.1 или 1.2. Тогда существует оператор, подобный оператору А-В, матрица которого в базисе (et) диагональна.

Теорема 1.6. Пусть элементы by, i, j > 1 матрицы оператора В удовлетворяют предположению 1.3 или 1.4. Тогда существует оператор, подобный оператору А-В, матрица которого в базисе (е() диагональна.

Вторая глава диссертации посвящена единственности решения обратной задачи спектрального анализа с использованием метода подобных операторов. При этом метод подобных операторов впервые применяется к таким задачам.

Вопросам исследования решения обратных задач спектрального анализа посвящено достаточно большое число работ. Особый интерес к этим задачам вызван их практической значимостью. Такая задача может возникнуть при конструировании или синтезе прибора с заранее предписанным поведением или как задача «диагноза», например задача отыскания «потенциала» в уравнении Шредингера по данным рассеяния.

Под обратными задачами спектрального анализа принято понимать задачи построения (восстановления) линейного оператора по тем или иным его спектральным характеристикам. Такими характеристиками могут быть спектры при различных граничных условиях, спектральные функции, данные рассеяния.

В настоящее время обратные задачи хорошо изучены для некоторых специальных классов дифференциальных операторов. Среди этих операторов простейшим является оператор Штурма-Лиувилля

Ly = -y' + q(x)y ^

Для него получены наиболее полные результаты в теории обратных задач.

Первый существенный результат, послуживший толчком в дальнейшем развитии теории обратных задач, был получен в 1929 г. В.А.Амбарцумяном [40], доказавшим, следующую теорему.

Теорема 2.1. Пусть Л0,Л1,Л2,. собственные значения задачи Штурма - Лиувилля

У" + q(x)y = Ay (0<х<я),

У(0) = /(*) = <); где q(x) - действительная непрерывная функция на отрезке [0, я]. Если Яп =п2,п = 0,1,2., то q(x) = 0.

Обратные задачи исследовались в работах В.А.Марченко, М.Г.Гасымова. Б.М.Левитана, Ю.М.Березанского, Ф.С.Рофе-Бекетова, И.Г.Хачатряна, В.А.Садовничего, В.В.Дубровского и других.

В первом параграфе даются некоторые понятия связанные с обратными задачами спектрального анализа и приводятся результаты положившие начало исследованию обратных задач спектрального анализа.

Во втором параграфе строится допустимая расщепляющая тройка, которая в дальнейшем используется для решения поставленной задачи.

Определение 2.1. Пусть 91 - линейное многообразие операторов из ЬА(Н), обладающих свойством QiXQj £ 91, i,j = 1,2, УХ е91, й =/-Ри, и

JX = PnXPn+(I-Pn)X(I-Pn):K^ 91, Y'M-^EndH - линейные операторы. Тройку (91, J, Г) назовем допустимой расщепляющей тройкой для оператора А, а ЧЯ -допустимым пространством возмущений, если выполнены условия:

1) 9? - банахово пространство со своей нормой;

2) операторы X -» QiXQj: 9{ —» 91, i,j = 1,2, принадлежат End 91 /

V УХ £ 91, i,j -1,2, /pi/чем 0,(ПГ)б, = О, i = l,2; пространство 9? раскладывается в прямую сумму подпространств 91 = 93п © 9112 © 9121 © 9122;

5) ГХ = 0 УХе%{ ©9122.

В данном случае в качестве пространства возмущений будем рассматривать само пространство ЬА (Я).

Трансформатор Jп = J: 9? -» 91 определим формулой:

JnX = JX = РпХРп +(/- Р„)Х(/ -Рп),УХ^, (2.2) где Рп - проектор из EndH, вида Рпх- (х,ип )ип, Ух е Я.

Оператор ГпХ = ТХ е EndH определяется выражением

ГпХ = ГХ = PnXSn - SnXPn , УХ е 9?, (2.3) где S,:Я->Я, = f-^iy,, VxеH,Snun = О, ы Лк - Лп

Лемма 2.1. Построенная тройка (LA(H),Jn,Fn) является допустимой расщепляющей тройкой для оператора А и постоянная у = уп из определения допустимой тройки имеет вид уп=5ир^\ + ^-\Лп-Л0\. (2.6) ы\Лк-Лп\ dl

Здесь dn = dist^n,<j(A \ Лп)), а Л0 фиксированная точка из p(A)[}R.

В третьем параграфе рассматривается единственность решения обратной задачи спектрального анализа для абстрактных операторов.

В работе выделяется некоторый класс возмущение G0 из ЬА(Н), и этот класс будет являться классом единственности рассматриваемой обратной задачи спектрального анализа. Единственность здесь будет обеспечиваться малостью возмущений из класса G0.

Через G0 обозначим множество операторов из ЬА(Н), для которых выполнены следующие условия:

Г. 2лУ2

1) величина /?(Г) = J\{Tun,vn)\ со, \/Т g G0 ; 2

2) из условия fi2(T) = YJ{Tvn,un)\ = 0 следует, что Г = 0, п~\

VreG0;

3) УГ е G0 существует постоянная а > 0, такая что для всех п > 1 имеет место оценка ||7Ъл || < ajB(T).

Вообще говоря, введенный класс операторов G0 не образует линейного пространства.

Теорема 2.5. Пусть А самосопряженный, дискретный оператор, имеющий однократный спектр Л, < Л2 < Л3 <. . Тогда при выполнении условий:

1) В,В, В-В EG0 ;

2) cj{A-B) = CJ{A-B);

М гп'М существует такое s > 0, что при fi(B) < s, {3(B) < s , операторы В и В совпадают.

Полученные результаты применяются к одному дифференциальному оператору.

Будем рассматривать оператор А: D(A) а Ь2 (0, ж) -» Ь2 (0, ж), определяемый выражением (-1)"1 —, с областью определения

D(A) = {у: у e W22m[0,x], /2">(0) = y™{x) = 0, v = 0,1,.,m -1}, где W2m[0,7r] пространство Соболева.

К классу Gg, построенному по оператору А, отнесем операторы В:Ь2(0,я)-> Ь2(0,я) умножения на g е1да(0,;г), где функция q удовлетворяет условиям: п а) =я(я - 0; б) jqiW* =0 • о

Рассмотрим операторы А-В и А - В, где В, В :Ь2(0,ж)-> Ь2 (0, ж) являются операторами умножения на функции q,q е Ь2(0,я) .

Теорема 2.6. Пусть операторы В, В: Ь2 (0, ж) -> Ьг (0, я) являются операторами умножения на функции q,q eL2 (0, я) удовлетворяющие условиям а) и б) введенного класса G0 и б = ^ ^ ^ ^. Тогда, если q\\2,\\q\\2 <е и спектры операторов А-В и А-В совпадают, то q = q.

Отметим, что близкий результат содержится в статье Хачатряна [59] и он получен совершенно другим методом.

В третьей главе исследуются спектральные свойства возмущенных операторов с неограниченными возмущениями.

В первом параграфе третьей главы строится допустимая тройка для самосопряженного оператора А: D{A) сН-^Н, имеющего компактную резольвенту. Всюду считается выполненным условие:

Я,-Яу|>0. (3.1)

Собственные числа этого оператора {Ак} обладает свойством: существует а > 0 такое, что

Ai - Aj > a\i - j\ для j. (3.2)

Пространство допустимых возмущение 9? строится следующим образом. inf i*J

Оператор X из ЬА (Н) отнесем к 91, если выполняются условия:

1) sup\\PmXPk\\ = M(n)«n, УпеZ. т-к=п т,к>\

2) £М2(и)<оо. neZ

В качестве нормы в 91 берется величина = £М2(п). у/2' neZ

Из условия 1) следует сильная сходимость ряда

ЦртЩ (3.3) т-к=п т,к>\ к некоторому оператору Х(п) из EndН.

Каждый оператор X е 91 допускает представление вида

Х=±Х{п) (3.4)

П=-со и его блоки Хтк=РтХРк стоящие на п - ой диагонали (т-к = п) равномерно ограничены. Сходимость ряда (3.4) понимается на векторах п из D(A), причем Хх = lim х е D(A).

Трансформатор J: $ определим формулой

JX = fjPkXPk=X(0), ХеК. к=1

Трансформатор Г: —> End Н определяется формулой Х* •

РХР

Хе^.(ГХ)д=\Л,-Я/' ' - (3.5) i,j>\ А: — Л ,

10 ,i = j.

Далее доказывается лемма.

Лемма 3.2. Построенная тройка (91, У, Г) является допустимой для А и постоянная у, из определения 1.4 допустимой тройки, к допускает оценку у < ал/3'

Имеет место

Теорема 3.1. Пусть A\D(A)a Н->Н - самосопряженный оператор со спектром, удовлетворяющим условию (3.1) и оператор В: D(B) с Н —> Н принадлежит построенному пространству допустимых возмущений 9?. Тогда, если выполнено условие sq=-^Jl<U (3.9) то оператор А-В подобен оператору А - JX0 и имеет место равенство

А - В\1 + Г*оМ/ + TXjA -JX0) =

ЗЛО)

SjWJ ■

J=i где X0 - решение нелинейного уравнения вида (1.2), которое можно найти методом простых итераций.

Далее доказывается теорема о спектре возмущенного оператора. Теорема 3.2. Пусть А : D(A) с Н -> Н - самосопряженный оператор со спектром а(А) = {Л1,Я2,.}, Л1 <Л2 <Л3 <., удовлетворяющим условию (3.1). Если оператор ВеЧЯ удовлетворяет условию (3.9), то спектр оператора А-В представим в виде объединения

I ж (l + rxJA-I^oPj

00 а(А-В) = Lft (3.11) k=1 взаимно непересекающихся множеств ak,k>\, обладающих свойством dist{dk,Ak)<— . (3.12) к

Во втором параграфе третьей главы строится другая допустимая тройка, причем выбирается то же самое пространство возмущений, а трансформаторы определяются другим образом.

Здесь будем считать, что для спектра оператора А выполняется условие

-» go при и -»со. (3.18) Трансформатор J: -» определяется формулой:

JX = JmX = P'mXP'm+Y<PiXPi, ХеК. i=m+l

Где проектор Р'т такой, что Р'т= Р{+ Р2+. + Рт и Н'т = RanP'm. Трансформатор Г: 91 -> End Н в этом случае определяется формулой: РХР. « н Р.ХР. гх=ттх= z Zf-f + Z Zf-гm+l 7=1 — /I. y=m+l /=1 Л, — /ty

Пусть двусторонняя последовательность am:Z^R определяется равенством ат(п) = max' max i-j=n i>m+1 1<7</-1 max j>m+1 l</< y-i

Л-д, пфО.

В дальнейшем всюду в этом параграфе считаются выполненными следующие условия:

1) двусторонняя последовательность ат принадлежит 12\

2) HkL=°

3.19)

Из условий (3.19) следует, что спектр рассматриваемого оператора удовлетворяет условию (3.18), а так же условию (3.1).

Лемма 3.3. Построенная тройка (^,Jm,Ym) является допустимой для оператора Л: ДЛ) с: НН и ,

Таким образом, получена следующая

Теорема 3.5. Пусть А: D(A) с Н Н - самосопряженный оператор со спектром, удовлетворяющим условию (3.19) и оператор В е 91. Существует натуральное число т0 такое, что ап и. 4

3.21)

И тогда оператор А- В подобен оператору A- J тХ0 и имеет место равенство:

А - В\1 + ГтХ0)= (/ + ГтХ0\ А - JmXQ)= / ^ (3-22) = /+г ХЛА-Р'Х.Р' - Уш т„ U Л т0 и т„ L^ 1 t i>m„+1 где XQ - решение нелинейного уравнения вида (1.2), которое можно найти методом простых итераций.

В следующей теореме получены оценки спектральных множеств возмущенного оператора.

Теорема 3.6. Пусть А: D(A) с Н -> Н - самосопряженный оператор со спектром cr(A) = {Л1,Л2,.}, Я, <Л2 <Л^ <., удовлетворяющим условию (3.18), и число т0 таково, что выполнено условие (3.21). Спектр оператора А представим в виде

0 >

ФО = <и Ik - где a'mi = ^,A2,.JmJ, />т0 +1 (Л,. v"=fflo+1 полупростые собственные значения оператора А). Тогда спектр оператора А- В представим в виде объединения

3.23) взаимно непересекающихся множеств ат ,о~п,п>т0+\, обладающих свойством

Из1(д'щ,а'т1)<А\в1 (3.24) dist(dn,d„) < г^ру*^, n> m0 +1 (3.25) гдеа:=4л„Рп-РВ)Нп).

Полученные результаты применяются к дифференциальному dt1 оператору A-B = -—-q\D(A - В) = D(A) cz Ь2 (0,2л) Ь2 (0,2л), определяемому периодическими краевыми условиями х(0) = х(2ж), х'(0) = х'(2тт). (3.29)

В качестве невозмущенного выбирается оператор А = ~—у, с dt областью определения D(A) = {х: х е W2 ]0,2я\ х(0) = х(2;г), х'(0) = х'(2;г)}.

Оператор B\D(A)(zL2(0,2t[)-:>Ь2(0,2я), является оператором умножения на функцию q, принадлежащую пространству ^(0,271^^(0,271:), т. е. В не допускает ограниченное расширение на Ь2 (0,2тг). Итак, В - неограниченный оператор.

Теорема 3.7. Существует такое число т0, что собственные значения дифференциального оператора -~r-q, определяемого dt краевыми условиями (3.29) допускают следующую оценку: п

Полученный результат дополняет соответствующие результаты статьи [13], где исследовались дифференциальные операторы с квазипериодическими краевыми условиями и с матричным потенциалом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаркавенко, Галина Валериевна, 2007 год

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели. 1. Об отображении окружности на себя / В.И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1961. - Т.25, вып. I. - С.21-86.

2. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. -М. :Наука, 1966. -543 с.

3. Баскаков А. Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков. -Препринт №80 -19. Киев, 1981.

4. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов/ А.Г. Баскаков // Сибирский математический журнал 1983 - Т. 24, №1 - С.21-39.

5. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы ре-гуляризованных следов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Серия математическая 1984. - №3. - С. 3-12.

6. Баскаков А. Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений. / А.Г. Баскаков // известия Академии наук. Серия математическая. 1986. - Т.50, №3,- С. 435-457.

7. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учеб. пособие / А. Г. Баскаков. Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 1987. - 164 с.

8. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А.Г. Баскаков // Дифф. уравнения. -1991. Т.27, №1. - С.2162- 2164.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А.Г. Баскаков //Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. №1. - С. 3-11.

10. Баскаков А.Г. Спектральный анализ неквазианалитических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. Матем. 1994. - Т.58, №4. - С.3-32.

11. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Матем. зам. -1996. Т.59, №6. - С.811-820.

12. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Ростов-на-Дону : Феникс. 1998. - 512 с.

13. Велиев О.А. О несамосопряженных операторах Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами./ О.А. Велиев //Математические заметки.- 2007 -Т.81, вып.4. С.496-506.

14. Винокуров В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 8 функции./ В.А. Винокуров, В.А. Садовничий // Дифференциальные уравнения. - 2002. -Т.38, №6. - С.735-751.

15. Войтович Н.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции./ Н.Н.Войтович, Б.З.Каценеленбаум, А.Н. Сивов // С дополнением М.С. Аграновича. М.: Наука. - 1977. -416 с.

16. Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов/ Г.В. Гаркавенко // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1994. №11.-С. 14-19.

17. Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов/ Г.В. Гаркавенко // Тезисы докладов XXVI Воронежской зимней математической школы. 1994. -С.38.

18. Гаркавенко Г.В. Единственность решения обратной задачи спектрального анализа. / Г.В. Гаркавенко // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. 1995. - С.73.

19. Гаркавенко Г.В. Метод подобных операторов в вопросе единственности решения обратной задачи спектрального анализа./ Г.В. Гаркавенко // Межвуз. сб. научн. Трудов «Образовательные технологии» Воронеж: ВГПУ. - 1997. -С.84-89.

20. Гаркавенко Г.В. Анализ стабильности экономических систем/ Г.В. Гаркавенко //Тез. докладов 21-й международной школы-семинара : Системное моделирование социально-экономических процессов г. Старый Оскол . 1999. - Ч.2.С.21.

21. Гаркавенко Г.В. О единственности решения одной задачи спектрального анализа./ Г.В. Гаркавенко // Международная научная конференция : Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения, Воронеж. 2000. - С.73-75.

22. Гаркавенко Г.В. О единственности решения задачи спектрального анализа. / Г.В. Гаркавенко // Тезисы международной конференции. Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений, Воронеж.-2003.-С.68- 69.

23. Гаркавенко Г.В. О некоторых классах допустимых троек метода подобных операторов/ Г.В. Гаркавенко // Препринт НИИ математики ВГУ. 2007, №27-28 с.

24. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. -М.: Наука, 1965. -448 с.

25. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн М.: Наука. - 1970.

26. Данфорд Н., Шварц Т. Линейные операторы. Спектральные операторы. T.III. / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц - М.: Мир. - 1974.

27. Дубровский В.В. Устойчивость решения обратных задач спектрального анализа./ В.В. Дубровский, А.В. Нагорный// Дифференц. уравнения. 1992. - Т.28, №5. -С. 839 - 843.

28. Иосида К. Функциональный анализ. / К. Иосида. М. : Мир, 1967. -624 с.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. СПб.: Лань. 2003. - 576 с.

30. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. -М.: Наука. 1984. 750 с.

31. Кахан Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье / Ж.П. Кахан. -М.: Мир, 1976.-204 с.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

33. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1989. - 623 с.

34. Крейн С.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля / С.Г. Крейн, Е.М. ДАН 76 №1 - 1951.-С.21-24.

35. Крейн С.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи / С.Г. Крейн, Е.М. ДАН 95 №6 - 1954.

36. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Е.М. Семенов, Ю.И. Петунии М: Наука. - 1978.

37. Крейн -С.Г. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека / под ред. С.Г.Крейна. М.: Наука. - 1972.

38. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

39. Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. М.: Наука, - 1988. - С.671.

40. Левитан Б.М. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам/ Б.М. Левитан, М.Г.Гасымов //Успехи математических наук. Т. 19, вып. 2. - С.3-62.

41. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма Лиувилля / Б.М. Левитан, - М.: Наука, - 1984. - С.240.

42. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В.А Марченко // Физико-технический институт низких температур. «Наука думка», - 1977. - С.ЗЗ 1.

43. Маслов В.П. Операторные методы / В.П. Маслов. м.: Наука, 1973.- 543 с.

44. Массера X.JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер -М.: Мир 1970.

45. Наймарк М.А. Линейные дифференциалные операторы / М.А. Наймарк. М.: Наука. 1969. -528 с.

46. Никольский С.М. Курс математического анализа: в 2-х томах / С.М. Никольский. -М.: Наука, 1983. -Т.2. 448 с.

47. Пыркова М.С. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов: дисс. канд. физ.-мат. наук /М.С. Пыркова. Воронеж, 2006. -105 с.

48. Садовничий В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром./ В.А Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, №7. -С. 1206-1211.

49. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин М: Мир. -1975.

50. Треногин В.А. Функциональный анализ. / В.А.Треногин. -М.:Наука, 1980.-495 с.

51. Ульянова ЕЛ. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными: дисс. канд. физ.-мат. наук / E.JI. Ульянова. Воронеж, 1998. - 100 с.

52. Ульянова ЕЛ. О некоторых спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями./ E.JI. Ульянова, А.Н. Шелковой // Вестник ВГУ, Серия физика, математика. 2002. - №2. -С.106-110.

53. У скова Н.Б. Метод подобных операторов в проблеме собственных значений и собственных векторов линейных операторов: дисс. канд. физ.-мат. наук / Н.Б.Ускова. -Ростов-на-Дону, 1994. 131 с.

54. Ускова Н.Б. К теории возмущений в квантовой механике/ Н.Б. Ускова //Вестник ВГУ, Серия физика, математика. -2002. №2. - С.111-115.

55. Ускова Н.Б. К оценкам собственных значений и собственных векторов возмущенных операторов./ Н.Б. Ускова // Вестник ВГУ, Серия физика, математика. 2003. - №1. - С. 182-188.

56. Фридрихе К.О. Возмущение спектров операторов в гильбертовом пространстве./ К.О. Фридрихе // М.:Мир. -1969.-232с.

57. Шелковой А.Н. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс.канд. физ.-мат. наук / А.Н. Шелковой. Воронеж, 2004. - 144 с.

58. Шкаликов А.А. О базисности Рисса корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов./ А.А. Шкаликов //УМН,34:5 1979. - С.235 -236.

59. Хачатрян И.Г. О восстановлении дифференциального уравнения по спектру./ И.Г. Хачатрян //Функциональный анализ и его приложения. 1976. - т. 10, вып.1. - С.93-94.

60. Bergman S. The kernel function and conformal mapping./ S. Bergman //New York: Amer. Math. Soc., 1950.

61. Hinkkanen A. On the diagonalization of a certain class of operators/ A. Hinkkanen //Mich. Math. J. -1985. -V.32 -P.349-359.

62. Turner R.E. Perturbations of compact spectral operators. / R.E. Turner //Communications on pure and appied mathematics. -1965. - V.18. - P.519-541.