Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Пыркова, Мария Сергеевна

• Пыркова, Мария Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пыркова, Мария Сергеевна

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов возмущенных линейных операторов.

§1 Метод подобных операторов. Теорема о расщеплении.

§2 Блочная диагонализация. Построение допустимой тройки.

§3 Блочная диагонализация возмущенных операторов.

§4 Спектральные свойства возмущенных операторов.

§5 К теореме о расщеплении возмущенных операторов; построение трансформатора Г в частном случае.

§ О сопряженных операторах и отношениях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов»

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов.

Такого рода операторы возникают, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [58]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (см. статьи А.Л.Скубачевского [47], В.В. Власова [17], Л.С.Пулькиной [43], Ю.Т.Сильченко [48]). Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [25]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода.

В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [24] , абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [5], [8].

Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А—Во, где Bq имеет несложную по отношению к А структуру.

Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [54] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [60] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [8] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется двойная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений, формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данной главе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия, определения и теоремы из метода подобных операторов, приспособленные к исследуемым во второй главе дифференциальным операторам, строятся допустимые тройки, а также излагаются некоторые определения и теоремы из теории отношений, используемые далее.

Пусть Я - комплексное гильбертово пространство.

Определение 1.1. Два линейных оператора Д- : D(A) С Я Н, г = 1,2 называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U € EndH, такой что UD{Aq) = D{A\) и

A\Ux = UA2X, для любого х € D(A?).

Такой оператор U называется оператором преобразования оператора А\ в оператор А2.

Подобные операторы обладают рядом одинаковых свойств.

Лемма 1.1. Пусть А{ : D(Ai) С Я Я, i = 1,2 подобные операторы uU G EndH - оператор преобразования оператора А\ в оператор A<i. Тогда имеют место следующие свойства: 1) <т(Ах) = а(А2), °d(A 1) = <Td{A2), crc(Ai) = сгс(Л2), где o"d(A') и « = 1,2 дискретный и непрерывный спектры оператора Д-.

Определение 1.2. Оператор В : D(B) С Н -ь Н называется подчиненным оператору А, если D(B) D D(A) и существует такая постоянная С > О, что Вх ||< С(\\ х || + || Ах ||),xeD(A).

Множество £л(Я) операторов, подчиненных А, образует линейное пространство, которое можно нормировать В ||=|| В \\а= inf С, где "инфинум"берется по по всем постоянным С > О, удовлетворяющим записанному выше неравенству.

Определение 1.3.Пусть Н - линейное многообразие операторов из £а{Н) и J : Н Н, Г : 11 -> EndH - трансформаторы (т.е. линейные операторы в пространствах операторов). Тройку (Н, J,Г) назовем допустимой для оператора A, ail - допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1)И - банахово пространство (со своей нормой || • ||*,); непрерывно вложенное в £д(#);

2)J и Г - непрерывные операторы;

3)(ГХ)х G D(A), для любого х G D(A) и имеет место равенство

АГХ - (ТХ)А = X - JX, для любого X G И равенство понимается как равенство элементов из 11);

4JXTY, (ГУ)Х G И ,VX,Y Ей и существуют постоянные 71 > О и 72 > 0, что Г ||< 71 и тах{|| XVY ||„ || (ГY)X ||,} < 72 || X Н Y

5)выполнено одно из условий a)RanTX С D(A) и АГХ G EndH;

6)для любого X G 11 и любого е > 0 существует число \£ G р(А), такое что || XR(X£, А) ||оо< е.

Пусть (И, J, Г) - допустимая для оператора А тройка. Теорема 1.1. Если выполнено условие о = 4 || В IIIJ Г ЦП J ||< 1, то оператор А — В подобен оператору А — JX0, где Х° - решение нелинейного уравнения

X = BTX-(rX)JX + B.

Его можно найти методом простых итераций.

Пусть А : D(A) С Н -t Н самосопряженный оператор, т.е. А = А*. Спектр оператора представим в виде а(А) = {Ai, Л2,.}, Аг- > О, Н{ = Е(Хг,А) - собственное подпространство, возможно бесконечномерное. Пусть Рг = Р* - ортогональные проекторы Рисса с

RanPt = E(\i,A) = Hi, i — 1,2,. Таким образом, H = 0i=1#i - ортогональная прямая сумма, I = ^^ 1Р1, где / - тождественный оператор и сходимость ряда понимается в сильной операторной топологии.

В качестве возмущения будем рассматривать оператор В : D(B) С Н -> Я, такой что D(B) D D(A).

Построим такую допустимую для А тройку (И, J, Г), чтобы оператор В принадлежал пространству 11. Пусть it - пространство допустимых возмущений состоит из операторов X £ EndH со свойством

00 и р*хр> ii2< tj=l

Норму || • ||* в пространстве допустимых возмущений 11 зададим следующим образом:

X|L=

00 II II2

J=1

Трансформатор J : 11 -> 11 определим с помощью формулы вида

00 i=l

Трансформатор Г : 11 -»• EndH для любого X е Я задается следующим образом при условии а(А) = inf{| А,- - АЛ: A;, A, е > 0. гф]

Теорема 1.3. Тройка (iiявляется допустимой для оператора А, причем постоянная у из определения допустимой тройки имеет вид j = аГ1.

Для построенной тройки (И, J, Г) справедлива Теорема 1.4. Если возмущение В принадлежит пространству Н и удовлетворяет оценке

4 || В < а{А), то оператор А — В подобен оператору вида

A-JX0 = A-Y^PkX0Pk, k> i где Хо G Я является единственным решением нелинейного уравнения из теоремы 1.1 и его можно найти методом простых итераций.

При рассмотрении операторов с частными производными может случиться так, что условие разделенности спектра > 0) не будет выполненым для собственных значений самосопряженного оператора А, но существует представление его спектра а(А) в виде

00 а(А)= (J ак к=-оо объединения взаимно непересекающихся замкнутых множеств а*;, к G Z, для которых выполнено условие а{А) = inf dist{oi, а,-) > О, где dist(ai, aj) = \ X — fi \ - расстояние между множествами аг и o-j. При этом всюду далее будет считаться выполненным условие

Аг < Аг-+1УАг G сггУАг+1 G СП+1

Символом обозначим проектор Рисса, построенный по множеству £7£. Его можно, например, построить по формуле

Ъ = R(X,A)d\,k > 1, где 7^- жорданов контур, окружающий множество ориентированный в положительном направлении, и такой, что множество сг(Л.)\сг^ • находится вне контура.

Теперь по полученной ортогональной системе проекторов (Рп) введем в рассмотрение допустимое пространство возмущений 11, которое, как и ранее, состоит из операторов X 6 EndH, для которых конечна величина

00

11*11?= Е Wp"xp« II2' n,m=-оо принимаемая за квадрат нормы оператора X в линейном пространстве 11. В качестве трансформатора J будем использовать построенный ранее, а трансформатор Г : И —> EndH определим следующим образом. Через Aj~ обозначим самосопряженный ограниченный one-' ратор из EndHk, равный сужению оператора А на подпространство Hk. Его спектр совпадает с множеством crjt. Через обозначимнаименыпий отрезок, содержащий множество сг&. Рассмотрим два множества at,aj,i ф j, для определенности считая г < j. Таким образом, Д < ay.Трансформатор Г в начале определим на каждом операторе Х{3 = PtXPJ}X € Н следующей формулой

С оо

Г(ХЦ) = - e^KXPje'^dt,X ей, Jo где А{ - оператор из EndH, совпадающий с Аг на Нг и равный нулевому на подпространстве Я-, являющимся ортогональным дополнением к Hi, и следовательно, Н = Яг- ф Нг.

Теорема 1.5. Построенная тройка (It, J, Г) является допустимой для А. Если оператор В принадлежит допустимому пространству возмущений Н и удовлетворяет оценке

4 || В ||< а(А) = inf dist(at,aj), то оператор А — В подобен оператору вида

00

A - JX° = А— £ PkX°Pk, к=-оо где Х° € И является единственным решением нелинейного уравнения из теоремы 1.1 и его мооюно найти методом простых итераций. Кроме того, имеет место равенство

А -В)(1 + ГХ°) = (/ + - JX0), где || ГХ° ||< 1 (то есть оператор I + ГА"0 обратим).

Вначале рассмотрим асимптотику спектра оператора А — В, считая, что оператор В удовлетворяет условиям теоремы 1.5.

Теорема 1.6. Пусть А = А* : D(A) С Я -> Я - самосопряженный оператор, спектр которого можно представить в виде объединения взаимно непересекающихся замкнутых множеств и выполнено условие разделенности спектральных компонент сгк, k> 1, из спектра а (А) оператора А. Если для оператора В Е 11 выполнено условие из теоремы 1.4, то спектр оператора А—В представим в виде объединения

00 а(А-В)= (J Эк к--оо взаимно непересекающихся множеств k Е Z, обладающих свойствами разбиения спектра оператора А, а также свойством оо

У^ dist(cTkt Ok)2 < оо. k=-оо

Теорема 1.7. Пусть в дополнение к условиям теоремы 1.6 оператор А имеет компактную резольвенту. Тогда для спектра оператора А — В имеет место представление из теоремы 1.6, где <7jfc = u{Ak — РкХ°Рк), к G Z являются конечными множествами и для них выполняется свойство из теоремы 1.6.

Фактически следствием теоремы 1.6 является также

Теорема 1.8. Пусть А = А* : D(A) С Я —> Я - самосопряже-ный оператор со спектром cr(A) = {Ai, Л2, удовлетворяющим условию а(А) > 0, с компактной резольвентой и все собственные значения Ai, А2,. оператора А просты (то есть dimHk = I.) Тогда для любого оператора В 6 EndH, удовлетворяющего условию из теоремы 1.4 оператор А — В имеет спектр вида а(А — В) =

Lti,/i2,—}, для которого выполнено свойство

00

- \)2 < 00. г=1

При этом все собственные значения //i,/Z2> ••• оператора А —В просты.

Сделаем следующее важное

Замечание 1.6. Пусть спектр самосопряженного оператора А имеет вид а(А) = {Ль Аг,.}, где его собственные значения удовлетворяют условию lim dist(Xn, а(А) \ {Ап}) = оо, п-юо и, значит, автоматически выполнено условие а(А) > 0. Считая для определенности выполненным условие Ai < А2 < рассмотрим произвольный оператор В € И и построим представление множества сг(А) вида а{А) = (J ак, к> 1 где <7i = {Ai,Лт},о-2 = {Am+i},t73 = {Ат+2},. Тогда существует достаточно большое число ш, при котором постоянная а(А), построенная по новому разбиению спектра, достаточно велика и такова, что выполнено условие на оператор В из теоремы 1.4. При этом следует отметить, что если первоначальные проекторы Р\, Р2,. удовлетворяли условию АРг = AiP^i = 1,2,., то построенному разбиению спектра отвечает система проекторов вида

Р\ = Р\ + ••• + Pmi А = Pm+h Ръ = Ртп+2, ••■

Теперь этой укрупненной системе проекторов отвечает уже другое допустимое пространство возмущений 11. Однако, очевидно, что 11 С Н и поэтому Be it и в условии 4 || Я ||* а-1(Л) < 1 норма В бралась в Д. Следовательно, для оператора А — В выполняются условия теоремы 1.6.

Непосредственно из сделанного замечания и предыдущих теорем следует

Теорема 1.9. Пусть спектр самосопряэюенного оператора А : D(A) С Я 4 Я имеет вид а(А) = {Ai, Л2,.}, допускает описанное в замечании 1.6 разбиение, Pui > 1 - проекторы Рисса, построенные по одноточечным множествам {An},n > 1, и оператор В € EndH принадлежит допустимому пространству возмущений И, построенному по этой системе проекторов. Тогда существует такое натуральное число т, что оператор А — В будет подобен оператору вида

А = А-(Р1 + . + Рт)Х0{Р1 + . + Рт)+ Pk&Pk, k>{m+1) где Х° - решение нелинейного уравнения из теоремы 1.1, которое рассматривается в допустимом пространстве возмущений И, построенному по укрупненной системе проекторов (Рп). Спектр оператора А — В допускает представление в виде взаимно непересекающихся замкнутых множеств со свойством

00 у^ dist(Afc, dk)2 < оо-к=1

Пусть А : D(A) G Н Н - линейный оператор (не обязательно самосопряженный). Предположим, что его спектр а (А) представим в виде а(А) = а\ U (72, где <j 1 = {Ai} - одноточечное множество, 02 -замкнутое множество и А16СГ2, то есть <Tin<72 = 0. Кроме того, предполагается, что проектор Рисса Pi, построенный по oi обладает свойством dimRanPi = 2. Это означает, что Ai - собственное значение оператора А, и далее также предполагается, что наряду с собственным вектором ei, отвечающим Ai, существует присоединенный вектор е\, то есть

А - Xil)e'i = ei.

Таким образом, е\, е\ - базис в двумерном пространстве Hi = RanPi. Если Р2 = / — Pi - дополнительный проектор (то есть Р2 -проектор •

Рисса, отвечающий а2 и #2 = RanP2,) то имеет место разложение Я в прямую сумму

Я = Hi Ф Я2.

Будем в этом частном случае разбиения спектра строить допустимую для А тройку (И, J, Г), полагая Я = EndH и трансформатор J : EndH EndH определим формулой

JX = Р1ХР1 + Р2ХР2,Х е EndH.

Оператор Г : EndH EndH определяется формулой ГХ = -PlXP2S + (Л1 - AiI)P1XP2S2+

SP2XPl - S2P2XP\(A\ - XJ).

Теорема 1.11. Построенная тройка (EndH, J, Г) является допустимой расщепляющей тройкой для оператора А и постоянные ' 71,72 из определения 1.3 допускают оценку max{7i, 72} < (|| 5 || + || 5 ||2|| А\ - X\I \\)W

Далее приводится некоторая сводка используемых во второй главе понятий из теории линейных отношений (многозначных линейных операторов), сопряженных операторов и отношений.

Во второй главе исследуются спектральные свойства трех классов дифференциальных операторов и на основе метода подобных операторов строится модификация метода Галеркина для вычисления собственных значений одного класса возмущенных линейных # операторов.

В первом параграфе рассматривается гильбертово пространство ь2 = ь2{[0, тг] х [—7г,0]), элементами которого служат классы эквивалентных между собой измеримых комплексных функций с суммируемым квадратом их модуля, определенные на квадрате [0,7г] X [—7г, 0], со скалярным произведением

7Г />0

У)=/ / x(t,a)y(t,a)dtda, J о J-1г где x,y€L2,t£ [0,7г], а G [-7г, О].

Гильбертово пространство Ь2 = ^([0,7г] х [—7г, 0]) изометрически изоморфно гильбертову пространству Ь2 = Ь2([0,7г], —тг, 0]). Изометрический изоморфизм между этими пространствами задает линейный оператор ((Ф/)(£)) = f(t, s), || Ф/ ||2= Jq Ц Ф f(t) ||2 dt = | f(t, s) |2 dtds. Таким образом, каждой функции х G L2([0,7r] х [—7г, 0]) ставится в соответствие функция х : [0,7г] L2[—tt, 0], ж(^)(сг) = x(t,a). В дальнейшем пространства Ь2 = Ь2([0,7г] х [-7Г, 0]) и Ь2 = L2([0, 7г], L2[-7t, 0]) часто будут отождествляться.

Изучается дифференциальный оператор Т = J? : D(T) С L2 -ь L2 = L2([0,7r],L2[-7r, 0]). с областью определения D(T), состоящей из непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,7г] функции х : [0,7г] L2[—7Г, 0], имеющих абсолютно непрерывную производную х' : [0,7г] —L2[—7г, 0], причем 5" G Ь2 (множество таких функций обозначим через W2(0,k) = W2)w удовлетворяющих следующим нелокальным краевым условиям piг р0 ж'(0, сг) =х(0,а)+ / / &(*, <т)ж(Мо +

Л J-7Г ж'(7г,а) = 0.

Здесь io > 0 - фиксированное число из Е = (—оо,оо), b - ограниченная измеримая функция на квадрате [0,7г] х [—7Г, 0], причем x(t, to + a) = x(t, io + <7 — 7ггг)j где n G Z таково, что to + cr — irn £ [-7Г, 0). Краевые условия удобно записывать в виде ж'(тг) = 0, где ip : L2([0,7r], Ь2{—7Г, 0]) € - линейный функционал вида

7Г /«0 = / / &(£, сг)ж(£, + cr)dtda.

Jo J-n

Такого рода линейные операторы возникают при изучении процессов диффузии в химической кинетике.

Наряду с оператором Т рассматривается интегро-дифференциальный оператор F : D(F) С L2 вида

Fy)(t, а) = - (£ у(0, r)dr)b(t, а - t0) с областью определения D(F), состоящей из функций, принадлежащих удовлетворяющих следующим краевым условиям у'(0, a) = y{0,o),y(ir,a) = 0.

В формуле для оператора F полагается b(t,a — to) = b(t,a — tQ+i:n), где п Е Z таково, что а — to + 7гп G [—7г, 0], то есть функция 6 : [0,7г] х [—7г, 0] —> С рассматривается по второй переменной на Е периодической периода тг.

Вначале изучается оператор F, который представим в виде

F = А- В, где оператор А определяется дифференциальным выражением 1у = и D(A) = D(F), то есть его область определения задается описанными выше краевыми условиями. Оператор В : D(A) = D(F) С 1>ч -> Li определяется формулой

By){t, а) = b(t, а - t0) [ у(0, r)dr, у € £>(А)

J —7Г и, вообще говоря, не допускает ограниченное расширение на

Оператор А является самосопряженным и его собственные значения \п,п > 1 имеют асимптотику: и собственными функциями (собственными подпространствами Н„, отвечающими собственному значению Ап) являются функции из L2 вида

Нп = {епМ = f{(r)en(t) : / G L2[-n,0]},n > 1 где en(t) = t/-(cosnf + ^sin nt) + 0(^),P(t) = -- + 1.

V 7г n 71* 7г

Ясно, что все собственные подпространства Нп,п > 1, бесконечномерны и Н является их ортогональной прямой суммой. Проектор Рисса на подпространство Нп (он отвечает собственному значению Л„) имеет вид рп

Pnx)(t,а) = ( / х(т,а)еп(т)с1т)еп(1), Jo где t Е [0,7г], а Е [—7Г, 0]ж Е Ь2.

Оператор В не принадлежит ни одному из рассматриваемых в первой главе допустимых пространств. Поэтому делаем предварительное преобразование подобия оператора А—В к оператору А—В\,' где Si Е EndL,2 и будет принадлежать допустимому пространству возмущений из §1.2.

Лемма 2.3. Если выполнено условие а0 = 2sup | е*(0) ||| b0 h < 1, *>i то оператор F = А — В подобен оператору А — В\ : D(A) С Z/2, где оператор В\: D(A) С L2 L2 имеет вид

Bi = JB + {I + Г В)-1 (ВТ В - (TB)JB).

При этом

А -В){1 + ТВ) = (I + ТВ){А - Si).

Лемма 2.4. Оператор В\ принадлежит допустимому пространству возмущений И (построенному в §1.2j и оператор В\ допускает оценку

II Вг И,<|| bo ||~b2 +-^-(^ + 2sup I efc(0) |) || bQ ||| .

1 - a0 3 ь>1 L2

Далее доказывается

Лемма 2.6. Оператор F является сопряженным к оператору

Т.

Эта лемма позволяет во многом свести изучение спектральных свойств оператора Т к изучению соответствующих свойств оператора F = А — В. В частности, имеет место равенство ст(Т) = а(А — В).

В свою очередь, из леммы 2.3 при условии ао < 1 из той же леммы изучение оператора А — В сводится к изучению оператора А — В\, где оператор В\ = J В + (I + Г В)'1 (ВТ В - Г В J В) принадлежит допустимому пространству возмущений И из §1.2. Теорема 2.1. Пусть выполнена оценка (2.14) и

И ь° liz, +2sup I I) II 6° IIU < L

2 1 - ао о k> 1 2

Тогда оператор Т* = А — В подобен оператору А — JX0, где

По x(fi, oc)etn(fj)diida)eTn(0)em(t)+

УпЬп{(?){ / x([i,a)en(n)d[i,da)en(t),x G i Jo J-'r где (yn) - некоторая последовательность из 12.

Теорема 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то спектр оператора Т дискретный и допускает представление вида а{Т) = о(А) U {рюп> 1} = {\n,Jin,n > 1}, где (цп) - последовательность комплексных чисел вида (2.27). В формуле (2.27) (уп) - некоторая последовательность из 12, причем

По 1 bn(a)el{fi)dfjLda)en(0) |= о(—) \у„\,п>1.

JT п

Во втором параграфе в гильбертовом пространстве Ь2 = £2(0,1) рассматривается дифференциальный оператор Л : D(A) С Ь2 Ь2,порожденный дифференциальным выражением ъ — *dfi и краевыми условиями ж(0) = О, [ x(t)dt = О,

Jo то есть

D(A) = {хе Wi[0,1] : х(0) = О, [ x(r)dr = 0}.

Jo

Изучается асимптотика собственных значений оператора А—В = ~ Ч : D{A) С Ь2 Ь2, где q G С[0,1], то есть Вх = qx,x G L2 - ограниченное возмущение оператора А. Ю.Т. Сильченко показал, что спектр а(А) оператора А состоит из собственных значений вида п = 4А2, п > 1, причем соответствующие собственные функции определяются равенствами en(t) = sin2imt,n > 1.

Лемма 2.7. Спектр оператора А имеет вид а(А) = {Ап = 47г2п2,гг > 1}, собственными функциями являются функции en(t) = sin27rn^, п > 1, причем Аеп = \пеп, а функции еп = ^fcos27rn£ являются присоединенными к ним, то есть (Л — \п1)еп = еп,л > 1. Присоединенных функций более высокого порядка нет.

Далее для нахождения проекторов Рп,п > 1 на собственные и присоединенные функции, отвечающие собственному значению А„,п > 1, ищется сопряженное отношение Л* к Л и его собственные и присоединенные функции. Особенностью рассматриваемой задачи является тот факт, что область определения D(A) оператора Л не плотна в Я = L2(0,1). Это объясняется наличием краевого условия

Jq1 x{t)dt = 0, которое ведет к равенствам (х,ео) = 0, х G D(A), где ео(t) = 1 и, значит, (ж,ео) = 0 Ух G D(A). Таким образом,е0 6 Щ)1 = D(A)1.

Итак, отношение А* будет иметь вид

А*7] = -г?" -al = -TJ" - С1, п'т=0, где а - любое число из С.

Следствие 2.1. Спектр а (А) оператора А совпадает со спектром отношения А*.

Проекторы Рп,п > 1 определяются формулой

Pnx){t) = 4( / х(т)( 1 - г) sin27rnrc?r) sin27rnH

J о щСх(т)( Jo cos27ГПГ — l)c?r)icos27mi, n > 1, t G [0,1]).

Полученная система проекторов равномерно ограничена.

Для исследования возмущенного оператора А — В применим метод подобных операторов. Причем в качестве допустимой тройки будем использовать тройку (EndL2, Jn, Гп), построенную в §1.5.

Для того чтобы воспользоваться теоремой о расщеплении, нужно оценить норму оператора Гп. Сначала найдем вид оператора Sn, присутствующего в формуле, определяющей трансформатор Г„. Значит, искомый оператор Sn имеет вид

S"x = Ё { + + ^3(^2)2 ) Sin 2Ш~ л—l^rl^n

Х° t cos 2-кЫ+ тг2(к2 - п2) к тг3(fc2 - п2)2

Н—Т77п~—^т J х(т)(соБ2жкт - l)dr • sin27r&ij .

Так как система проекторов Pjt равномерно ограничена, то справедлива оценка

00 ^ причем || Sn 0 при п оо, а значит и lim^oo || Гп ||= 0. Таким образом, существует такое щ G N, что при всех п > по выполнена оценка гпНЫМ Гп ни J„||<i

Далее рассматриваются именно такие п>щ.

Теорема 2.4.Пусть (EndL2, Jn^n) - построенная допустимая тройка. Тогда собственные значения оператора А — В имеют следующую асимптотику

Д(1) = 4ttV + I' q(r)( 1 - r)dr + o{-), Jo n

X® = 4A2 + jl q(T)rdT + оф.

В третьем параграфе рассматривается гильбертово пространство вектор-функций L2 = Ь2{{—\,1), С2), определенных на отрезке [-1,1] со значениями в С2 суммируемых с квадратом нормы. При этом скалярное произведение имеет вид

ЕМ0 = fi(Ui(t)W+u2(t)V2(i))dt, если U = (Uh U2), V = (Vu V2) е L2.

Основным объектом изучения является дифференциальный оператор £ : D(C)-C Ь2 —> L2 = L2((-l, 1),С2),определяемый дифференциальным выражением

IV = + C{x)Vi + dM, ^ + C(x)V2 + tkVi), где V = (Vh V2) eb2 и

4 ic2, are[0,1].

Его область определения D(C) задается краевыми условиями

Vri(-l) = riVr2(-l)> Vr2(l) = r2Vi(l)l где rhr2,ChC2,dhd2 £ С.

Исследуемый оператор С преобразуется в другой подобный ему оператор Со с помощью обратимого оператора U £ EndL2 вида где функции ф\,ф2: [—1,1] —С имеют вид

С1 -С2 r a±ib фх(х) = е^Ч-^у/т^-^ х G [0,1], л (пЛ / е^^^гз, я; € [-1,0], № = [ я 6 [0, ч, где г\г2 = еа+гЬ.

Оператор С переводится преобразованием подобия U в оператор Со, определяемый дифференциальным выражением loV = + ffW* ^ + ФгФ^Уг), V = (Vь К2) с краевыми условиями

Vi(—1) =

Оператор Со представим в виде Cq = А —В, где дифференциальный оператор А : D(A) = D(Cq) С L2-t L2 имеет вид и В - ограниченный оператор умножения на матричную функцию с(х) 1 \

ФгФ2% С(х) )•

21

Тогда i~lA является самосопряженным оператором (А - кососа-мосопряженный) с дискретным спектром (с компактной резольвентой). Его собственными значениями являются числа An = n€Z и соответствующими собственными функциями являются следующие нормированные пары функций ек(х) = {е~Ькх,еМх)/2, п = 2к ек{х) = (-e~nkx~lei7rb+JW2)/2, п = 2к + 1.

Таким образом, все собственные значения оператора А простые и указанные собственные функции образуют ортонормированный базис в Ь2.

Пусть Рг - проектор Рисса, построенный по одноточечному спектральному множеству {А;} оператора А и Ргх = (х,ег)ег,х 6 Ь2. • Тройка (EndL2,7, Г), где оператор J : EndL2 —EndL2, имеет вид

00

JX = ]Г ргхрг, г—~оо и Г : EndH EndH, определен следующим образом

00 является допустимой тройкой. Имеет место Теорема 2.5 Если выполнено условие шах

Ле(С0+ max

V ' --el-i,0] vTn] е[ОД) vTnT

Ы 22 то оператор А — В подобен оператору диагональной структуры А — JX, где X решение нелинейного уравнения из теоремы 1.1 и может быть найден методом последовательных приближений, начиная с Xо = 0.

Теорема 2.6 В условиях теоремы 2.3 собственные значения {Ля, n G Z} оператора С допускают оценки вида

1Л г?Ш| ^ IL I.I V^ Zbnjbjn I . 1

2 ^ , г7г( ? — тг) 16

J = -00

В четвертом параграфе на основе метода подобных операторов строится модификация метода Галеркина для вычисления собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пыркова, Мария Сергеевна, 2006 год

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели. 1. Об отображении окружности на себя / В.И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1961. - Т.25, вып. I. - С.21-86.

2. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. -М. :Наука, 1966. -543 с.

3. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А.Г. Баскаков // Дифф. уравнения. 1991. - Т.27, М. - С.2162- 2164.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 1995. - Т.343, №3. - С.295-298.

5. Баскаков А.Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков. -Препринт №80 -19. Киев, 1981.

6. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. зам. -1996. Т.59, М. - С.811-820.

7. Баскаков А.Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Г. Баскаков, Т.К.Кацаран // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, №8. - С.1424-1433.

8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учеб. пособие / А.Г. Баскаков. Воронеж :Изд-во Воронеж, унта, 1987. - 164 с.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов, II / А.Г. Баскаков // Дифференц. уравнения. 2001. - Т.37, №1. -С.3-11.

10. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа оператора в теории возмущений линейных операторов/ А.Г. Баскаков // Сибирский математический журнал 1983 - Т.24, т - С.21-39.

11. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т.193, Ml. - С.3-42.

12. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы и ре-гуляризованных следов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1984. - №3. - С.3-12.

13. Баскаков А.Г. Спектральный анализ неквазианалитических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. Mai ем. 1994. - Т.58, М. - С.3-32.

14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. М. - С.3-11.

15. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Ростов-на Дону : Феникс. 1998. - 512 с.

16. Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. -512 с.

17. Власов В.В. О некоторых спекральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных операторов / В.В. Власов // Успехи матем. наук. 1998. - Т. 53, №4. - С. 217-218.

18. Войтович Н.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. /Н.Н. Войтович, Б.З. Кацеленбаум, А.В. Си-вов / М., 1997. -С.289-416.

19. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1965. -448 с.

20. Гуровская М.С. Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов / М.С. Гуровская // Межвузовский сборник научных трудов. "Мат. обеспечение ЭВМ". Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 115-117.

21. Гуровская М.С. Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов / М.С. Гуровская // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2003, №1. - С.59-62.

22. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн М.: Наука. - 1970.I106

23. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962.

24. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АННССР. сер. ма-тем. 1976. - Т.40. С. 1380-1408.

25. Иосида К. Функциональный анализ. / К. Иосида. М. : Мир, 1967. -624 с.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. СПб. : Лань. 2003. - 576 с.

27. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. -М.: Наука. 1984. 750 с.

28. Кахан Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье / Ж.П. Ка-хан. М.: Мир, 1976. - 204 с.

29. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

30. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1989. - 623 с.

31. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Е.М. Семенов, Ю.И. Петунин М: Наука. - 1978.

32. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека / под ред. С.Г.Крейна. М.: Наука. - 1972.

33. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

34. Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. М.: Наука, - 1988.

35. Сильченко Ю.Т. Резольвента оператора дифференцирования второго порядка с параметром в нелокальных условиях. / Ю.Т. Сильченко // Труды математического факультета ВГУ. 2005. -Т.9. - С.51-56.

36. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. -М.: Наука, 1980. 495 с.

37. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. Матем. журн. 1991. - Т.32, №3. - С.160-165.

38. Ульянова E.JI. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными: дисс. канд. физ.- мат. наук / E.JI. Ульянова. Воронеж, 1998. -100 с.

39. Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в проблеме собственных значений и собственных векторов линейных операторов: дисс. канд. физ- мат. наук / Н.Б. Ускова. Воронеж, 1994. -131 с.

40. Ускова Н.Б. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов / Н.Б. Ускова // Сибирский математический журнал 2000 - Т.41, №3 - С.712-721.

41. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К.О. Фридрихе. М. : Мир, 1969. - 232 с.

42. Шелковой А.Н. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. канд. физ.-мат. наук / А.Н. Шелковой. Воронеж. 2004. - 144 с.

43. Эдварде Р.Э. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х томах / Р.Э. Эдварде. -М.: Наука, 2000. Т.1 260 с

44. Cross R. Moltivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

45. Cardanobile S. Semigroup methods for population equation with delayed birth process / S.Cardanobile, G.Fragnelli, E.Galdino, K.Leicht, L.Scardia // final Workshop of the 6th TULKA Internet Seminar. -2003. P. 46.

46. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. - 1998.

47. Turner R.E. Perturbations of compact spectral operators / R.E. Turner // Communications on pure and appeied mathematics. -1965. V. 18. - P. 519-541.j110