Метод учета инструментальной и методической погрешности вычисления некоторых трансцендентных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Виноградов, Евгений Владимирович

• Виноградов, Евгений Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Виноградов, Евгений Владимирович

Введение

1 Алгоритмика вычислений

1.1 Основные определения.

1.1 1 Варианты организации интервальной стандартной процедуры.

1.1.2 Базовый промежуток.

1.1.3 Достаточные признаки для выбора аппроксимации.

1.2 Применение рациональных аппроксимаций.

1.2.1 Меюдика учета инструментальной погрешности. Анализ погрешности вычисления положи!ельного полинома.

1.2.2 Формирование локализующего интервала для значения функции на базовом промежутке.

1.2.3 Выбор параметров, от которых зависит точность.

1.2.4 Различные случаи задания коэффициентов вычисляемого полинома.

1.3 Погрешность вычисления ряда.

1.3.1 Введение

1.3.2 Оценка относительной величины арифметической погрешности.

2 Исследование некоторых элементарных функций

2.1 Вариант процедуры для экспоненты.

2.1.1 Общие соображения, выбор базового промежутка.

2.1.2 Аппроксимация и локализующий промежуток для вычисляемой функции.

2.2 Вариант процедуры для натурального логарифма.

2.2.1 Общие соображения, выбор базового промежутка.

2.2.2 Границы для логарифма в базовом промежутке.

2.2.3 Алгоритм нахождения и: сохранение монотонности. . 51 2 2.4 По1 решнос 1 ь нахождения и.

2.3 Вариант процедуры для арктангенса.

2.3.1 Общие соображения, выбор базового промежутка.

2.3.2 Граница для арктангенса в основной части базового промежутка.

2 3.3 Арифметическая погрешность аргумент степенною ряда.

2.4 Сравнение предлагаемых методов с разрабошнными ранее.

3 Реализация программных модулей.

3.1 Общие сведения.

3.2 Общие программные модули.

3.2.1 Библиохека вспомогааельных меюдов.

3.3 Базовый класс вычислителя.

3 3.1 Методы, реализующие общую для всех функций логику вычисления.

3 3.2 Меюды, нуждающиеся в переопределении.

3.3.3 Методы, которые могут быть переопределены в случае необходимости.

3.4 Базовый класс вычислителя для рядов.

3.5 Программная реализация вычисления экспоненты.

3.5 1 Численные результаты работы программы для экспоненты.

3.6 Программная реализация вычисления натурального логарифма.

3.6.1 Численные результаты работы программы для натурального логарифма.

3.7 Программная реализация вычисления арктангенса.

3.7.1 Численные результаты работы программы для арктангенса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод учета инструментальной и методической погрешности вычисления некоторых трансцендентных функций»

В настоящий момент акшвное развшие вычисли 1ельной техники и использование ее в научных исследованиях и различных областях производства требу-юг наличия алгоритмов, гарантирующих получение результата с точностью, не меньшей наперед заданной.

Однако, так как не все вещественные числа могут быть точно представлены машинными, чаще всего различные форматы представления сопоставляют множество битовых последовательностей определенной длины некоторому конечному подмножеству вещественных чисел.

О числах, входящих в такое подмножество, говорят, что они представимы в машинном формате. Числа, не представимые в машинном формате точно, могут быть выражены несколькими способами. Чаще всего используется выражение вещественного числа ближайшим числом, представимым в машинном формате, и преде твление содержащим число интервалом, границы которого входят в указанное выше подмножество.

На практике ситуации, когда исходные данные известны точно, а расчеты носят сугубо целочисленный характер и проводятся по точным явным формулам, достаточно редки. Гораздо чаще точный результат не представим машинными числами, поэтому получить его на компьютере не представляется возможным.

В таком случае традиционные методы вычислений предусматривают ответ на вопрос «чему приблизительно равно?». Однако точность полученного результата в большинстве случаев определить методами традиционных вычислений весьма проблематично в связи тем, что количество возникающих в процессе расчета погрешностей увеличивается BMecie с количес1вом вычислительных операций.

В 1985 году Институтом IEEE был принят стандарт на вычисления с плавающей точкой [58]. В этом документе указаны требования, предъявляемые к округлению чисел, выполняемому в операциях сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения корня, что позволило сделать компьютерные вычисления более корректными и доказательными [64].

Однако указанный стандарт никак не регламентирует вычисление элементарных функций (таких как синус, косинус, логарифм, и т.д.). Более того, по той же причине в некоторых случаях такие функции могут вычисляться некорректно (иначе говоря, погрешность вычисления функции не гарантирована и может быть слишком велика в контексте какой-либо решаемой задачи).

Основной причиной для такого результата является Table Maker's Dilemma [77]: если есть число х и некоторая элементарная функция /, вычисление правильно округленного к формату числа с плавающей точкой результата у = }{х) может потребовать слишком большой точности промежуточных вычислений (причем требуемая точность промежуточных вычислений заранее неизвестна).

Для решения этой проблемы было предложено множество алгоритмов и методов. Условно их можно разделить на четыре типа:

• Традиционные вычисления.

• Интервальные вычисления.

• «Гибридные» вычисления.

• Другие методы.

Рассмотрим перечисленные методы.

Традиционные вычисления Этот метод предусматривает использование классических способов вычисления, т.е. использование компьютера в качестве калькулятора, идентично копируя вычисли:ельный процесс так, как он происходил без использования автоматизированных систем. Обработка ошибок либо не предусмотрена вообще, либо крайне ограничена. Однако точность результата никак не гарантируется.

Для решения проблемы точности используются методы, которые предусматривают манипуляции внешними но отношению к вычислительному процессу вещами - объемом оперативной памяти, увеличением размера переменных для хранения промежуточных и окончательных результатов (т.е. расширением множества вещественных чисел, представимых в машинном формате), уточнением начальных данных, и т.д. Однако, такой подход плох гем, чю он в большинстве случаев достаточно дорог, а кроме того, все равно не дает абсолютной гарантии точности полученных результатов, предоставляя пользователю полагаться лишь на то, чю изменений, сделанных им, хватит, для того, чтобы обеспечить необходимую ему точность.

Сравнительно недавно в литературе стали появляться описания алгоритмов, которые умею г «подстраиваться» под требуемую точность Один из них был предложен в работе [57]. Он предусматривает увеличение точности вычислений в случае необходимости. Для этого в процессе вычислений проводятся тесты на точность, и если они не выполняются, точность вычисления увеличивается путем использования переменных большей длины. Однако критерии, используемые для сигнализации о необходимости увеличения точности, представляются не совсем надежными.

Интервальные вычисления. Другой метод поиска решения, так называемые интервально - локализующие вычисления [48], ищут ответ на дру1 ой вопрос - «в чем содержится?», т.е. вместо того, чтобы искать результат вычисления в виде одного числа, он ищется в виде вилки - ин!ерва-ла вида [а, 6], в котором гарантировано будет лежать точный результат. Этот способ как правило довольно дешев - в большинстве случаев он может использоваться на тех аппаратных и программных средствах, которые имеются в наличии (в отличие от традиционных методов, которые требуют минимум создания собственных типов данных), а кроме того, позволяет манипулировать точностью полученных результатов, и требует минимум программирования - в некоторых случаях фебуется только переопределение стандартных функций.

Термины «интервал», «интервальный» впервые появились в работе Те-руо Сунаги [83] в 1956-58-м, двумя годами раньше была опубликована работа Мечислава Вармуса [85]. В этих работах была предложена классическая интервальная арифметика и намечены ее приложения. Кроме того, Т. Су нага заложил основы интервального алгебраического формализма и дал весьма нетривиальные примеры применений новой техники, к примеру, в численном решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [70].

Первая систематическая монография [70], посвященная локализующим вычислениям, была написана Раймоном Э. Муром 1966-м году.

В СССР у исюков развития этого направления еще в 20-х годах прошлого века стоял В.М. Брадис, предложивший использование «метода границ» ([6], [7]).

В 1962-м году в одном из первых выпусков «Сибирского математического журнала» появилась статья Лауреата Ленинской, Сталинской и Нобелевской премии Леонида Витальевича Канторовича [22], обозначившего эту тематику как приоритетную для нашей вычислительной науки.2

Дальнейшее развитие интервальные методы получили в СССР в рабохах академика Николая Николаевича Яненко и ею ученика Юрия Ивановича Шокина, а также ряда других авторов ([11], [21],[50]). В иностранной литературе также было опубликовано множество работ, посвященных интервальному анализу, например [2]

В настоящий момент разви!ие интервально - локализующих вычислений продолжается, и эти методы находят применение во все большем количестве отраслей науки и производства (медицинская техника, экономика [10], распознавание изображений, задачи классификации и регрессии (в том числе и с нечеткими множествами) [28], металлургия [9], задачи управления [8], и т.д.).

В рамках интервального подхода разработано большое количество методов, позволяющих получать различные интервальные расширения стандартных функций (например, через декомпозицию графика [43]).

Существуют библиотеки интервальных функций для различных языков программирования ([72], [74]), а также для специализированных вычислительных сред типа MATLAB ([25], [66]).

К недостаткам этого метода можно отнести слишком большое в некоторых случаях расширение локализующего интервала.

Гибридные» вычисления. К э'юй группе относятся вычислительные алгоритмы, использующие как традиционные, так и интервальные методы.

Например, А. Зив в 1991 году опубликовал работу «Fast evaluation of elementary mathematical functions with correctly lounded la&t bit» [86]. Методы, примененные им, были основаны на вычислении значения функции не на всей области определения, а лишь на некоюром сравни! ель-но узком базовом промежутке. При этом для вычисления требовалось использование так называемой «двойной» арифметики (т.е. величин, составленных из двух чисел типа double)

В настоящий момент резулыаты, полученные А. Зивом, активно используются для построения алгоритмов доказательных вычислений ([55], [56]).

Другие. Существует еще некоторое количество подходов к вычислению на компьютере. Например, ме!Од, основанный на использовании таблиц заранее посчитанных констант. Одной из первых работ в этом направлении была [65]. Такие алгоритмы получили распространение в связи со значительным удешевлением оперативной памяти, требуемой ими (например, в алгоритме АТА-М в упомяну!ой pa6oie используются таблицы размером 2Мб). Однако эют алгоритм предназначен для приближенного вычисления (хотя и достаточно быстрого), а не для получения гарантированных оценок.

Конечно, существуют и другие, менее распространенные методы.

Кроме общей идеологии процесса вычисления, на точность результата оказывают влияние методы получения мащинно-представимого числа из точного (иначе говоря, методы округления).

Известно, что в случае получения в качестве результата интервала в явной (указаны границы) или неявной (указан результат, и извеспю, чю точное решение отличается от него не более чем на г, где с может вычисляться, например, как где Л - максимальное значение oiношения абсолютной величины округления к единице младшего разряда, fi~s - величина единицы младшего разряда переменной результата) форме наиболее часто встречакн-ся три указанных далее способа.

Пусть значение какой-то переменной х содержится в некотором интервале [a,b],a < b. Предположим, что надо оценить значение е-'. Очевидно, что оно содержится в интервале [ert,pft], но поскольку числа еа, еь могут оказаться не машинно-представимыми, для оценки значения ех используют следующие интервалы:

1. Интервал, границы которого - приближенные значения чисел еа и еь. Для вычисления приближенных значений можно использовать, например, функции стандартных математических библиотек.

2. Интервал, полученный так же, как и первый, расширенный на некоторое заранее сосчитанное е (например, таким значением может быть Х/-Гь).

3. Гарантированный интервал, т.е. интервал, нижняя граница которого - максимальное машинно-представимое число, не превосходящее е", а верхняя граница - минимальное машинно-представимое число, не меньше еь

Необходимо отметить, что в первом случае истинное значение ех может и не содержаться в том интервале, коюрым оно представляется. Однако в случае, когда вычисления носят итерационный xapaKiep, положительные погрешности одних операций с большой вероятностью компенсируются отрицательными погрешностями других.

Второй способ применяют при оценке значений выражений, являющихся суперпозицией нескольких функций. В этом случае часто вычисляют каждую функцию первым способом, а затем расширяют полученный интервал. При этом положительные и отрицательные погрешности также компенсируют друг друга, и вероятность того, чю истинное значение выражения лежи1 в полученном интервале, очень высока, хотя и не равна единице.

Трешй способ называв!ся вычислением с гарантированной точностью Несмотря на то, что при его использовании в итерационном процессе будет происходить постепенное расширение интервала, этот способ позволяет гарантировать, что истинное значение некоторого выражения лежит в ишер-вале, которым это значение представлено.

Анализ доступных интервальных математических библиотек ([26]) показал, что они производят вычисления либо первым (например, [63]), либо вторым способом (например, [71]).

Нередко хороших результатов удается достичь в построении алгоритмов для вычисления некоторого класса функций (например, в данной работе рассматриваются неубывающие элементарные трансцендентные функции). Так как у этого класса функций можно выделить специфичные свойства, есть возможность сузить результирующий интервал с помощью введения некоторых ограничений, про которые известно, что для данного класса функций они будут выполняться. В связи с тем, что на насюящий момент накоплен обширный материал как по аппроксимации функций, в том числе и трансцендентных ([3],[4],[5], [45],[46], [51]) так и но их свойствам ( [18], [23]), такой подход представляется достаточно продуктивным.

Целью данной работы является создание вычислительных алгоритмов для получения максимально узкой оценки погрешности результат вычисления для заданного формата переменных, и интервала такой ширины, таранти-рованно содержащею точный результат, без использования расширенных (удвоенных) типов данных для некоторого класса функций, представимых полиномом (или рядом) с неотрицательными коэффициентами. Иначе говоря, строятся методы, позволяющие получить как можно меньший по ширине результирующий интервал в имеющемся формате переменных, для элементарных трансцендентных функций (например, экспоненциальная функция, логарифм, арктангенс). В связи с тем, что при построении алгоритмов учитываются различные свойства вычислительной системы (величина единицы младшего разряда в определенном формам, «точность» арифметики, и т.д.), они применимы на большинстве используемых сейчас вычислительных машин, и позволяют провести быструю адаптацию к новым.

Вычисления проводятся в некотором базовом промежутке [0, т$], что, с одной стороны, требует дополнительных исследований вычисляемой функции, но с другой стороны позволяет повысить качество вычислений. Для рассматриваемых функций приводятся критерии выбора базового промежутка, способы приведения аргумента к базовому промежутку (входа в базовый промежуток) и получения значения функции для исходного аргумента по результату для аргумента в базовом интервале (выхода из базового промежутка).

Для проверки полученных алгоритмов написан программный комплекс, осуществляющий вычисления согласно приведенным методикам.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений, включает в себя семь иллюстраций и четыре таблицы. Общий объем работы - 149 страниц.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Виноградов, Евгений Владимирович

Заключение

Полученные в данной работе результаты позволяют проводить раече1 трансцендентных функций определенного типа с получением интервала, гарантированно содержащего точный результат. При этом в рассмотрение принималась не только погрешность арифметическая, т.е. обусловленная неточностью компьютерной арифметики, но и методическая, обусловленная ограниченностью операций суммирования на компьютере в реальных вычислениях.

Была доработана теоретическая база для исследования погрешностей, получены аналитические выражения для определения погрешностей функций определенных свойств. Приводятся схемы применения аналитических выкладок в реальных расчетах на примере экспоненциальной функции, натурального логарифма, арктангенса.

Кроме того, в работе приводятся некоторые дополнительные аналитические рассуждения, прямая необходимость в которых для построения алгоритмов расчета экспоненты, натурального логарифма и арктангенса отсутствует. Однако эти рассуждения позволяют проводить расчеты для других классов функций, которые тут не рассматриваются (одним из примеров такого анализа служит раздел «Различные случаи задания коэффициентов вычисляемого полинома»)

Проектирование приведенных методов осуществлялось в предпосылке, что увеличить размер переменных для расчета не представляется возможным (хотя конечно комбинация этих методов с различными способами использования расширенных типов данных предетавляекзя достаточно перспективной). Несмотря на удешевление оперативной памяти и процессоров, характеристики которых в очень большой степени определяют скорость и точность вычислений, рост сложности вычислительных задач делает такие методы актуальными и сегодня.

Кроме того, приведенные программные модули требуют во многих случаях незначительной доработки для использования их с другими функциями, а архитектура их построения позволяет сделать это быстро. Фактически, для добавления новых методов необходимо провести исследование функции, которую необходимо добавить в расчет, и переопределить методы вычисления аппроксимации и подсчета относительной потрешности

Реализация алгоритмов на языке java делает возможным применение таких программных наработок на большом спектре платформ уже сейчас. Развитие jvm в настоящий момент идет достаточно быстро, поэтому возможности для применения их постоянно расширяются.

Возможными дальнейшими путями для развития как приведенных методов расчета погрешности, так и непосредственно библиотеки функций, построенной для их проверки, может быть, например, анализ каждой конкре i -ной арифметической операции с целью определения его вариации и учет всех таких погрешностей по-отдельности (в данной работе рассматривается максимальная величина погрешности по всем операциям). Другим важным направлением является вопрос оптимизации полученных алгоритмов - возможно для ряда частных случаев их можно выполнять быпрее.

В целом метод расчета вариации общей погрешности вычисления на основе анализа всех мест, где потенциально могут возникнуть погрешности, а также методической погрешности вычисления, дает положительный результат, что и было продемонстрировано в данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Виноградов, Евгений Владимирович, 2006 год

1. Абрамовиц М., С1иган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. - М: Физмат-гиз, 1963.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. -М.: Мир, 1987. 260 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Том 1. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра // пер. г английского Н.Я. Виленкина. М.: Наука, 1973. 295 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Том 2. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. // пер. с английского Н.Я. Виленкина. М.: Наука, 1974. 2951. С'.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Том 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. // пер. с английского Н.Я. Виленкина. М.: Наука, 1955. 299 с.

6. Брадис В.М. Опыт обоснования некоторых практических правил действий над приближёнными числами. Тверь, 1927.7J Брадис В.М. Теория и практика вычислений. Пособие для высших педагогических учебных заведений. Москва: Учпедгиз, 1937.

7. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. Новосибирск. Наука. Сиб. отделение, 1990. 208 с.

8. Виноградов Е.В. Погрешность вычисления ряда при нолуинтервальной организации вычислений. // Вестник Санкт-Петербургского Государственного Университета. Сер. 1. 2006. Вып. 3, 2006. с. 148-152.

9. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М: Наука, 1975.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Физматгиз, 1963.

11. Двайт Б.Г. Таблицы интегралов и другие математические формулы // Пер. с английского Н.В. Леви. М.: Наука, 1973. 228 с.

12. Калмыков С.А., Шокин Ю.И , Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1986. 221 с.

13. Канторович JI.B. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский Математический Журнал.- 1962. Т. 3, No. 5. - С. 701-709.

14. Картер А, Франц В. Трансцендентные функции // пер. с английского Н.Я. Виленкина. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 466 с.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М: Наука, 1974.

16. Лоенко М.Ю. Методы внешнего оценивания множества решений задачи удовлетворения огарничений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Новосибирск, 2003. 134 с.

17. Люстерник Л.А., Червоненкис О.А , Янпольский А.Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. Москва: Физматгиз, 1963.

18. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Вып. 1. Введение в интервальную организхацию вычислений СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1996. - 36 с.

19. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Вып. 2. Двустороннее решение элементарных задач. Проблема грубости композиционного интервального расчета. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1996. -33 с.

20. Меньшиков Г.Г. Инхервальный анализ и методы вычислений. Выи. 4. Введение в аппроксимацию функций СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1997. -33 с.

21. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Вып. 5. Исследование функций одной переменной. Дифференцирование функций. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. - 72 с.

22. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Вып. 6. Локализующее вычисление интегралов СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. - 84 с.

23. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Вып. 7. Аппроксимация функций и верификация приближений СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1998. - 67 с.

24. Меньшиков Г.Г. Инхервальный анализ и методы вычислений. Вып. 8. Итерационные процессы и системы числовых уравнений СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 1999. - 82 с.

25. Меньшиков Г.Г. Локализующие вычисления: Конспект лекций. Выпуск 1. Введение в интервально-локализующую организацию вычислений. СПб: ООП НИИХ СПбГУ, 2003. 89 с.

26. Меньшиков Г.Г. Локализующие вычисления: Конспект лекций. Выпуск 1. Введение в интервально-локализующую организацию вычислений Издание второе. СПб: ООП НИИХ СПбГУ, 2003. 89 с.

27. Меньшиков Г.Г. Локализующие вычисления: Конспект лекций. Вып. 2. Задачи композиционного расчет и проблема грубости их интервально-локализующе1 о решения. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. - 59 с

28. Меньшиков Г.Г. Локализующие вычисления. Вып. 3. Интервализация приближенных формул. Численное суммирование рядов. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. - 61 с. Локализующие вычисления

29. Меньшиков Г.Г. Локализующие вычисления. Вып. 4. Введение в аппроксимацию функций. СПб.: ООП НИИХ СПбГУ, 2003. - 41 с.

30. Меньшиков Г.Г. Практические начала интервальных вычислений. Ленинград: Ленинградский Государственный Университет, 1991. 92 с.

31. Морган М. Java 2. Руководство разработчика. : Пер. с английского. :Уч. пос. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. 720 с.

32. Попов Б.А., Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ. Киев: Наукова Думка, 1984.

33. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Том

34. Элементарные функции М: Наука, 1981. 801 с.

35. Прудников А П., Брычков Ю А , Маричев О.И. Интегралы и ряды. Том

36. Специальные функции М: Наука, 1983. 753 с.

37. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1975. 434 с.

38. Сайт по интервальному анализу ИВТ СО РАН: http://www.ict.nsc.ru/interval

39. Солонина А.И., Улахович Д.А., Яковлев Л.А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. СПб: БХВ-Петербург, 2001, 454 с.

40. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

41. Янке Э., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Функции, графики, таблицы // Перевод с 6-го переработанного немецкого издания по редакцией Л.И. Седова. М.: Наука, 1964. 344 с.

42. BibTeX bibliography elefunt.bib: http://netlib2.cs.utk.edu/bibnet/journals/elefunt.html53. boost C-H Libraries: http://www.boost.org/

43. Dietz H., Dieter В., Fisher R., Chung K. A Floating-Point Evaluation with Just Enought Accuracy // ICCS2006, Part I, LNCS 3991. Berlin-Heidelberg, 2006. p. 226-233.

44. IEEE Standard for binary floating-point arithmetic: Tec. Rep. IEE Std 7541985. Institute of Electrical and Electronic Engeners, 1985. Reaffirmed, 1990.

45. Goulard F. GAOL, http://sourceforge.net/projects/gaol

46. Gardenes E., Trepat A. The interval computing system SIGLA PL/1(0) // Freiburger Intervall-Berichte. - No. 79/8. - S. 1-57

47. Garloff, J. The Bernstein Algorithm Interval Computations, №2, pp. 154168, 1993.

48. Garloff, J. Application of Bernstein expansion to the solution of control problems. Reliable Computing 6, №2, pp.303-320, 2000.

49. Glibc Library for use with GNU/HURD and GNU/LINUX, http: //www.gnu.org/software/libc

50. Goldberg D. What every computer scientist should know about floatingpoint arithmetic. ACM Computing Surveys, 23(l):5-47, March 1991.

51. Goto E., Wong W.F. Fast evaluation of elementary function in double precision // Proc. of the Twentyt-Seventh Hawaii International Conf/ on System Sciences. Vol. 1; Aichitecture.-Hawaii, 1994. P.349-358.

52. IntLab. Interval Library for MATLAB: http://www.ti3.tu-harburg.de/rump/intlab/

53. Kahan W. Lecture Notes on the Status of IEEE Standerd 754 for Binary Floating-Point Arithmetic. Berkley: Elec. Eng. & Computer Science, University of Califoi nia, 1997. 30 c.

54. Kaucher E. Interval Analysis in the Extended Interval Space HE //Computing, Suppl. 2. (1980), pp. 33-49.

55. Kramer, W.: Evaluation of Polynomial in Several Variables with High Accuracy. IMACS Annals on Computing and Applied Mathematics 12, J,C,Baltzer AG, Scientific Publishing Co., Basel, pp.239-249, 1991

56. Math library filib l |: http://www2.informatik.uni-wuppertal.de/wiswt/software/filib++/filib+ f -dist.tar.gz

57. Nataraj, P.S.V., and Kotecha, K. An algorithm for global optimization using the Taylor-Bernstein form as inclusion function. J.Global Optimization 24, №4, pp.417-436, 2002

58. Math library IAMath: http://interval.sourceforge.net/interval/java/iamath/README.html

59. Moore R. Interval Analysis. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1966.

60. Muller Л.-М. Elementary Functions, Algorithms and Implementation. Birkhauser, Boston, 1997.

61. Neumaier A. Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. Cambridge, UK, 2001, pp. 356.

62. Pineiro J.A., Bruguera J.D., Muller J.M. Powering by Table Look-Up using a second-degree minimax approximation with fused accumulation tree, http://citeseer.ist.psu.edu/399804.html, 2000

63. Rokne, J.: Bounds for an interval polynomial. Computing 18, pp.225-240, 1977

64. Rokne, J.: A note on the Bernstein Algorithm for bounds for interval polynomials. Computing 21, pp.159-170, 1979.

65. Rokne, J.: Optimal Computation of the Bernstein Algorithm for the bound of an interval polynomial. Computing 28, pp.239-246, 1982.

66. Warmus M. Calculus of approximations // Bull. Acad. Polon. Sci 1956. -CI. Ill, vol. IV, No. 5. - P. 253-259.

67. Ziv A. Fa&t evaluation of elementary mathematical functions with correctly rounded la&t bit. // ACM Tarnsactions on Mathematical Software 17(3) September 1991. p. 410-423.

68. XSC software: http://www.xsc.de