Методы исследования робастной устойчивости в системах управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Стрюк, Елена Владимировна

• Стрюк, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стрюк, Елена Владимировна

Введение

Глава 1. Обзор матричных, частотных, рекуррентных h вычислительных методов исследования устойчивости.

§1.1. Матричные методы А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, Э. Джури.

§ 1.2. Метод В.И.Зубова о локализации собственных чисел матрицы системы первого приближения.

§1.3. Частотные методы А.В.Михайлова и Найквиста.

§1.4. Рекуррентные методы понижения порядка

Глава 2. Обзор методов исследования робастной устойчивости.

§ 2.1. Типы неопределенности в линейных системах управления.

§ 2.2. Исследование робастной устойчивости полиномов.

§ 2.3. Исследование робастной устойчивости матриц.

§ 2.4. Робастная устойчивость одномерных систем описанных неопределенными передаточными функциями.

Глава 3. Метод допустимых линейных преобразований для решения задач робастной устойчивости полиномов. Условия устойчивости выпуклых матричных множеств.

§ 3.1. Исследование робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований.

§ 3.2. Критерии существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома.

§ 3.3. Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления. Заключение. Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы исследования робастной устойчивости в системах управления»

В очерках истории автоматического управления Ю.П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д.К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) не дал четких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя двадцать лет русский инженер И.А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования. Фактически, он нашел те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И.А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робастной устойчивости (устойчивость грубых систем по А.А. Андронову, 1937). Конечно, основой развития новой (робастной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.

Основные подходы к созданию аналитических методов устойчивости и ее приложений были разработаны такими учеными как A.M. Ляпунов, Н.Н. Красовский, Н.Г. Четаев, А.Н. Крылов, К.П. Персидский, Е.А. Барбашин, А.А. Андронов, А.А. Марков, В.В. Румянцев, Н.П. Еругин, J1.A. Эсгольц, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский, В.М. Матросов, А.Н. Тихонов, В.В. Степанов, Н.Н. Боголюбов, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, С.Н. Шиманов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский, И.Г. Малкин, Б.П. Демидович, A.M. Летов, В.В. Семенов, А.А. Первозванский, Р. Беллман, Дж. Хейл, Т. Иошидзава, Ж.П. Ла-Салль и другими крупными отечественными и зарубежными математиками и их научными школами. Методы исследования нелинейных динамических систем управления по первому линейному приближению получили наиболее полное развитие трудами Э. Рауса, А. Гурвица, А.В. Михайлова, Найквиста, Е.П. Попова, Л.С. Понтрягина.

Однако, математические модели учета неопределенности в динамических системах управления появились гораздо позже новаторских работ И.А. Вышнеградского — почти через сто лет.

Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. JI. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последнее десятилетие.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости. Затем B.JI. Харитонов сделал большое продвижение — доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов (1978). Теорема Харитонова, как оказалось, не переносится на семейство интервальных матриц. Эта задача оказалась сложнее, т.к. устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости. Поэтому усилия исследователей направлены на решение частных задач.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности (роба-стная теория) является новым направлением, т.к. основные результаты получены совсем недавно. Например, графический критерий робастной устойчивости полиномов доказан в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин), а реберная теорема получена в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin).

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) используют как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, B.J1. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Ko-gan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Перечислим некоторые из них. Как проверить существует ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином. Найти ближайший (в смысле нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к данному неустойчивому. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще больше. Например, задача о ро-бастной устойчивости интервальных матриц и т.д.

Приведенными проблемами далеко не исчерпываются нерешенные задачи линейной теории управления при наличии неопределенности, т.е. робастности. Эта теория является динамичной, развивающейся областью исследований, где постоянно возникают новые задачи и создаются новые методы и подходы для их решения в соответствии с инженерными требованиями. Более того, многие вопросы робастной устойчивости в линейных системах управления остаются открытыми.

Работа посвящена развитию математического аппарата для анализа устойчивости стационарных и нестационарных систем управления по первому приближению, включающего новые аналитические методы и алгоритмы исследования задач робастной устойчивости для этих систем.

Целью диссертационного исследования является развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости систем управления по первому приближению, включающих аналитические методы и алгоритмы исследования робастной устойчивости этих систем.

В работе последовательно применяются как классические методы теории устойчивости (точное описание систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (неопределенности в описании систем).

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируется на достижениях в теории устойчивости, робастной теории, на корректности поставленных задач. Все доказательства проведены строго и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, линейная и высшая алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.

Основные результаты были представлены на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» Санкт-Петербург (2005); на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного университета (2002); на региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта» Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова (2005). Результаты работы обсуждались на семинарах ПМ - ПУ СПбГУ, НФ КубГУ, МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова. Работа использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и для издания двух учебных пособий.

По теме диссертации опубликовано семь научных работ и два пособия.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Стрюк, Елена Владимировна

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим ' образом:

1. Сделан обзор методов исследования устойчивости матриц систем первого приближения, как с вычислением характеристического полинома, так и без его использования.

2. Проведен обзор методов исследования робастной устойчивости и типов неопределенности при описании линейных систем управления.

3. Установлены условия экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления. Показано, что устойчивость и даже сверхустойчивость матрицы и(или) ее отрицательная определенность не гарантирует асимптотической устойчивости линейной нестационарной системы управления.

4. Показано использование допустимых линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость к исследованию устойчивых выпуклых множеств таких коэффициентов.

5. Для системы первого приближения приведены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

6. При некоторых условиях установлена взаимно однозначная связь между собственными числами матрицы первого приближения в нестационарном случае и отрицательной определенностью ее квадратичной формы. Проведены численные эксперименты с методами исследования устойчивости и робастной устойчивости.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в исследовании устойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления с помощью модифицированных критериев робастной устойчивости, как в пространстве коэффициентов характеристического полинома, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамический безопасности для исходных нелинейных систем управления. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа управляемых систем, т.к. он позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых система остается устойчивой.

Практическая значимость полученных результатов, с одной стороны, заключается в применении новых прикладных методов уточнения областей робастной устойчивости, что позволяет обеспечить динамическую безопасность изучаемого объекта, а с другой, в возможности конструирования более эффективных систем управления, т.к. предложенные подходы позволяют рассматривать целиком семейство математических моделей динамики управляемых систем, определяемых множеством их допустимых параметров. В итоге появляется возможность снизить затраты времени и средств на создание новых управляемых систем.

Кроме того, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию устойчивости при наличии неопределенности, т.е. в теорию робастной устойчивости линейных систем управления. Результаты, полученные в работе, использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и при издания двух учебных пособий подготовленных диссертантом в соавторстве.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стрюк, Елена Владимировна, 2006 год

1. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. - 164с.

2. Барабанов А.Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования, Доклады АН СССР, 1988. Т. 301, № 5, с. 1061-1065.

3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223с.

4. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Учебное пособие. -СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. 119 с.

5. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Полное решение проблемы отделения комплексных и мнимых корней у характеристического многочлена. Труды XXXIV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» СПбГУ ПМ-ПУ. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. С. 18-20.

6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. - 824с.

7. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 318 с.

8. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

9. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

10. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

11. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. 301 с.

12. Дедков В.К. Методы прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН, 2003.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Высшая школа, 1967.-472 с.

14. Дивеев А.Н., Северцев Н.А. Метод выбора оптимального варианта технической системы. М.: ВЦ РАН, 2003. 105 с.

15. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 304 с.

16. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001. - 353 с.

17. У/Зубов Н.В., Русакова Я.А., Стрюк Е.В. О методе «понижения порядка» в вычислительной практике. Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2005, с. 374-377.

18. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. - 190 с.

19. Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. -М.: Наука, 1989.-311 с.

20. Карманов В.Г., Федоров В.В. под ред. Третьякова А.А. Моделирование в исследовании операций. М.: Твема, 1996, - 102 с.

21. Каштанов В.А., Медведев А.И. Алгоритм вычисления характеристик безотказности резервированной системы. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». М.: ВЦ РАН, 2002. С. 3 14.

22. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983. - 83 с.

23. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения- М.: Физ.мат., 1959.-212 с.

24. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука,1976, т. 1.-303 с.

25. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука,1977.

26. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

27. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950. 472 с.

28. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования.-М.: АН СССР, 1949.

29. Мейлахс A.M. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // Автоном. телемех. 1975. № 2. С. 182 184.

30. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. - 319 с.

31. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432с.

32. Миронов В.В., Северцев Н.А. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002. 166 с.

33. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управлемые процессы. М.: Наука, 1978.

34. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа. 2003. - 583 с.

35. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

36. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004.-270 с.1. Г)

37. Поляк Б.Т., Панченко О.Б. Вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц // Доклады РАН. 1997. Т. 353, выпуск 4. С. 456 458.

38. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастный критерий Найквиста // Автоном. телемех. 1992. № 7. С. 25-31.

39. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автоном. телемех. 1990. № 9. С. 45 54.

40. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. -303 с.

41. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления I, II // Автоном. телемех. 2002. № 8, 9.

42. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

43. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981. - 176 с.

44. Раус Э. Об устойчивости заданного состояния движения. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, - 199 с.

45. Садыхов Г.С. и др. Устойчивость расходования ресурса в подсистемах с параллельно соединенными элементами. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 5. М.: ВЦ РАН, 2003. С. 3 15.

46. Северцев Н.А. Минимизация обобщенного риска угроз безопасности. Сборник трудов «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем». Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005. С.3-11.

47. Семенов В.В. Формы математического описания линейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1980.

48. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971.

49. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 456 с.

50. Фаддеев Д.К. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.

51. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С. 2086-2088.

52. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

53. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3 -31.

54. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

55. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207 с.

56. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003. - 575 с.

57. Ackermann J. Robust control: systems with uncertain physical parameters/ New York: Springer-Verlag, 1993.

58. Barmish B.R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

59. Barmish B.R., Hollot C.V., Kraus F.G., Tempo R. Extreme point results for robust stabilization of interval plants with first-order compensators // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V. 37, No. 6. P. 707-714.

60. Barmish B.R., Polyak B.T. A new approach to open robustness problems based on probabilistic prediction formulae // Proc. 13th World Congress of IFAC. 1996, San Francisco CA. V.H. P. 1 6.

61. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges // Mat. Contr. Syst. 1988. V. 1. P. 61 71.

62. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L.H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

63. Dahleh M., Diaz-Bobillo I.J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

64. Djaferis Т.Е. Robust control design: a polynomial approach. Boston: Kluwer, 1995.

65. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. ScuolaNorm. Super. Piza, Ser. sci. fis. emat. 1953. V. 7, No. 1 -2. P. 53 -63.

66. Frazer R.A., Duncan W.J. On the criteria for stability for small motions // Proc. Roy. Soc., Ser. A. 1929. V. 124. P. 642 654.

67. Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer-Verlag, 1995.

68. Nemirovskii A.A. Serial NP- hard problems arising in robust stability analysis // Math. Contr. Sig. Syst. 1994, No. 6. P. 99 -105.

69. Qiu L., Bernhardsson В., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C. A formula for computation of the real stability radius//Automatica. 1995. V. 31, No. 6. P. 879 890.

70. Rosenbrock H.H. Computer-aided control system design. London: Academic Press, 1974.

71. Sanchez-Pena R., Sznaier M. Robust systems: theory and applications. New York, Wiley, 1998.

72. Stengel R.F., Ray L.R. Stochastic robustness of linear time invariant control systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V. 36. P. 82 87.

73. Systems and control encyclopedia / Ed. M. G. Singh. V. 1 8. Pergamon Press, 1987.

74. The control handbook / Ed. W. S. Levine. CDC Press, IEEE Press, 1996.

75. Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach. Boston, MA: MIT Press, 1985.

76. Weinmann A. Uncertain models and robust control. Wien: Springer, 1991.

77. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.