Моделирование электромагнитного рассеяния на нескольких идеально проводящих телах методом вспомогательных источников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колчин, Валерий Анатольевич

• Колчин, Валерий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колчин, Валерий Анатольевич

Введение.

1. Модификация метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких пространственных идеально проводящих тел и особенности ее использования.

1.1. Формулировка задачи и метод ее решения.

1.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

1.3. Описание компьютерной программы.

1.4. Влияние положения вспомогательных поверхностей на точность решения задачи рассеяния.

1.5. Влияние плотности размещения диполей и точек коллокации на точность решения задачи рассеяния.

1.6. Влияние волновых размеров рассеивателей на точность решения задачи.

1.7. Сравнение резуль гатов расчета характеристик рассеяния с результа гами других авторов.

1.8. Основные результаты.

2. Модификация метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, содержащих тонкие проводники.

2.1. Формулировка задачи и метод ее решения.

2.2. Описание компьютерной программы.

2.3. Исследование влияния взаимного расположения концевых точек элементов тока и точек коллокации на точность решения задачи и сходимость итерационного процесса.

2.4. Влияние чисел элементов тока и точек коллокации на точность решения задачи.

2.5. Исследование зависимости нормы невязки граничных условий от длины проводника.

2.6. Сравнение точности решений задачи рассеяния плоской волны на тонком цилиндрическом проводнике, полученных с

I помощью различных модификаций метода вспомогательных источников.

2.7. Сравнение результатов расчета распределений осевого тока с распределениями физического тока на поверхности проводников.

2.8. Основные результаты.

3. Применение разработанных численных методов для анализа характеристик рассеяния структур из конечного числа трехмерных идеально проводящих тел.

3.1. Влияние электромагнитного взаимодействия объемных рассеивателей на характеристики рассеянного поля.

3.2. Влияние неосесимметричности рассеивателей на бистатические сечения рассеяния образованных ими структур.

3.3. Влияние объемных тел на распределение тока вдоль проводника.

3.4. Влияние тонких проводников на бистатические сечения рассеяния объемных тел.

3.5. Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование электромагнитного рассеяния на нескольких идеально проводящих телах методом вспомогательных источников»

Настоящая диссертация посвящена моделированию рассеяния стационарного (гармонического) электромагнитного поля на структурах, состоящих из нескольких трехмерных идеально проводящих тел, размеры которых сравнимы с длиной волны возбуждающего поля (резонансная частотная область). Диссертация включает в себя изложение разработанных численных методов и алгоритмов моделирования, описание соответствующих компьютерных программ, а также результаты их использования для анализа рассеянных полей конкретных структур.

Задачи рассеяния электромагнитного поля на структурах, состоящих из нескольких идеально проводящих тел, возникают в различных областях науки и техники. В качестве примера можно привести задачу создания антенн, * располагаемых на летательных или космических аппаратах. В этом случае при проектировании антенны необходимо знать особенности влияния корпуса летательного аппарата на характеристики антенны. Другим ярким примером является радиолокация. Знание характеристик рассеяния здесь играет ведущую роль, как для конструирования радиолокационных систем различного назначения, так и для вынесения суждения о характере цели.

Спецификой электромагнитных процессов в структурах из нескольких тел является то, что вторичные токи на каждом из тел структуры наводятся не только первичным (возбуждающим) электромагнитным полем, но и полем вторичных токов всех соседних тел, т.е. вторичные токи всех тел структуры оказываются взаимосвязанными. В этом заключается суть электромагнитного взаимодействия тел структуры. Если тела структуры находятся настолько далеко друг о г друга, что влиянием полей вторичных токов соседних тел можно пренебречь, распределения токов на телах структуры будут близкими к распределениям токов соответствующих одиночных тел. В этом случае поле, рассеянное структурой, можно рассматривать как наложение (сумму) полей, рассеянных одиночными телами, т.е. для построения поля, рассеянного всей структурой, достаточно знать решения задач рассеяния того же падающего поля на одиночных телах, из которых образована структура.

Если поля вторичных токов соседних тел в окрестности рассматриваемого тела много меньше падающего поля, эффективным является метод последовательных дифракций [1]-[4]. Суть метода применительно к структуре из двух тел заключается в следующем. Сначала получают решение задачи рассеяния (дифракции) для одного из тел структуры при отсутствующем втором. Полученное (известное) рассеянное поле затем добавляют к падающему полю и решают задачу рассеяния на втором теле. Найденное рассеянное поле затем рассматривается как падающее поле для первого тела, и решается задача рассеяния этого поля на первом теле. Полученное рассеянное поле рассматривается теперь как падающее поле для второго тела; решается задача рассеяния на втором геле и так далее. Это г процесс продолжается до тех пор, пока не окажется выполненным установленный критерий сходимости. Полное рассеянное поле каждого тела рассматривается как сумма рассеянных полей, полученных в результате описанного выше процесса.

Как следует из изложенного выше, для реализации метода последовательных дифракций достаточно знать решение задач рассеяния для одиночных рассеивателей, образующих структуру. Иными словами, метод последовательной дифракции сводит решение задачи рассеяния на системе рассеивателей к решению более простых задач рассеяния того же возбуждающего поля на одиночном рассеивателе. Однако этот метод оказывается эффективным только в случае слабого взаимодействия между рассеивателями [3].

Если расстояние между телами структуры много меньше длины волны возбуждающего поля, взаимодействие между рассеивателями становится существенным фактором, определяющим рассеянное поле структуры, и метод последовательной дифракции сходится настолько медленно, что не находит практического применения [1]. В этом случае совокупность тел структуры необходимо рассматривать как единое целое и решать граничную задачу для всей совокупности тел. Если тела структуры являются идеально проводящими, эта граничная задача формулируется следующим образом: при заданном стороннем возбуждении найти решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям идеальной проводимости на поверхности всех тел структуры, условиям излучения на бесконечности, а также имеющее определенное поведение в окрестности разрывов геометрических параметров тел (при наличии таковых).

Анализ опубликованных работ показывает, что для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких тел по-существу используются те же методы что и для моделирования рассеяния на одиночном теле.

Для строгого решения задачи рассеяния на нескольких телах используется метод разделения переменных [5]-[10]. При применении этих методов выбирается система координат, в которой координатные поверхности совпадают с граничными поверхностями тел. Далее в выбранной системе координат находят решение однородного уравнения Гельмгольца. Рассеянное поле представляется в виде рядов по найденным решениям первоначально в локальных системах координат, связанных с отдельными рассеивателями. Переход к глобальной системе координат и получение системы линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов рядов осуществляется с помощью соответствующих теорем сложения (преобразования). Условиями применения метода разделения переменных являются, во-первых, возможность сведения векторной задачи к скалярной, во-вторых, разделение переменных в полученных скалярных уравнениях. Эти условия выполняются в ограниченном числе случаев, поэтому число задач дифракции, решенных этими методами, невелико. В качестве примеров можно привести задачу рассеяния на двух шарах [5], [9]-[10] и двух сфероидах [6]-[8]. Несмотря на малое число существующих в настоящее время строгих решений внешних задач дифракции, их роль очень велика. Исследование этих решений позволяет выявить общие закономерности поведения дифракционных полей; эти решения могут использоваться как основа для получения приближенных решений более сложных задач, а также для тестирования алгоритмов численных методов решения.

Основным инструментом моделирования электромагнитного рассеяния в резонансной области частот являются численные методы. Эти методы могут быть разделены на две группы. К первой группе относятся так называемые конечные методы, основанные на решении соответствующей краевой задачи в дифференциальной форме. Наиболее популярным из них является метод конечных разностей [11] и метод конечных элементов [12]-[13]. Технология применения этих методов одинакова как для одиночного тела, так и для системы тел. В обоих методах вычисления распространены на всю рассматриваемую область пространства, которая должна быть дискретизирована. В методе конечных разностей в пределах элементов дискретизации значения неизвестных функций предполагаются постоянными. В этом предположении дифференциальные уравнения аппроксимируются уравнениями в конечных разностях. С помощью полученных конечно-разностных аналогов с учетом граничных условий осуществляется расчет неизвестных функций на каждом элементе пространственной дискретизации. В методе конечных элементов в пределах каждого элемента дискретизации неизвестная функция аппроксимируется полиномом с неизвестными коэффициентами. Последние находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений, которая строится либо из условия экстремума соответствующего функционала, стационарного на решении рассматриваемой краевой задачи, либо методом взвешенных невязок. В силу отмеченных выше особенностей конечных методов они, во-первых, требуют искусственного ограничения рассматриваемой области, и, во-вторых, особенно в случае векторного характера неизвестных функций, приводят к системе линейных алгебраических уравнений очень высокого порядка. По этим причинам для решения внешних краевых задач электродинамики эти методы стали применятся относительно недавно [14]-[17]. Однако в последние годы наблюдается существенное возрастание интереса к конечным методам, в особенности к методу конечных элементов, как способу решения внешних краевых задач электродинамики [18]-[19]. Привлекательность этих методов обусловлена тем, что условия их применения не накладывают ограничений ни на геометрию рассеивателей, ни на их материальные параметры. Однако эти методы обладают рядом существенных недостатков, обусловленных самим содержанием этих методов. Одним из таких недостатков является необходимость искусственного ограничения рассматриваемой области, это -одна из главных трудностей использования конечных методов. К настоящему времени предложено большое количество способов ограничения открытой области, однако решение этой проблемы далеко от своего завершения. Недостатком конечных методов являются также ошибки в расчетах рассеянных полей, связанные с пространственной дискретизацией задачи. Величины этих ошибок при прочих равных условиях зависят от геометрии рассеивателя и его материальных параметров и не могут быть предсказаны до получения решения задачи. Наконец, недостатком этих методов является то, что их использование предполагает наличие у исследователя мощных ЭВМ. Даже относительно небольшие задачи при решении их методом конечных элементов сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений, содержащих порядка миллиона неизвестных.

Ко второй группе относятся методы, сводящие решение рассматриваемой граничной задачи к решению интегральных уравнений [1], [3], [20]-[28]. Общим преимуществом этих методов является то, чго используемые в них представления для рассеянных полей удовлетворяют условиям излучения на бесконечности, поэтому трудности, связанные с ограничением открытой области, свойственные конечным методам, здесь отсутствуют. Известны различные варианты методов интегральных уравнений.

Наибольшее распространение в электродинамике, как в общетеоретическом плане, так и в плане использования для решения конкретных задач, получили поверхностные интегральные уравнения. Основой для получения поверхностных интегральных уравнений являются интегральные соотношения, связывающие значения векторов поля в рассматриваемой области со значениями этих же векторов на границе области, например формула Стрэттона-Чу [29]. Наложение на эти соотношения граничных условий на поверхностях тел приводит к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений относительно эквивалентных токов на поверхностях тел. Наиболее широкое применение нашли интегральные уравнения Фредгольма второго рода, примером которых является интегральное уравнение магнитного поля для идеально проводящих тел [23]. Удобство этих уравнений объясняется тем, что теория этих уравнений хорошо разработана, и известные [30] георемы Фредгольма гарантируют существование решений соответствующих граничных задач при условии, что это решение единственно, причем, что особенно важно для построения численных алгоритмов, эти решения будут устойчивыми, т.е. малым изменениям входных данных (или погрешности вычислений) будут соответствовать малые изменения искомого решения. Получить аналитические решения интегральных уравнений, как правило, не удается, поэтому решение интегральных уравнений обычно сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с помощью проекционных методов, обычно называемых в зарубежной литературе методом моментов [3]. При использовании метода моментов вводятся две системы функций: система базисных функций, по которой представляются в виде рядов искомые неизвестные функции, и система пробных (весовых) функций. Далее полученные ряды подставляются в рассматриваемое интегральное уравнение и вычисляются скалярные произведения пробных весовых функций с результатами подстановки рядов в интегральное уравнение. В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений искомых функций по системе базисных функций. В самом общем случае элементы матрицы системы выражаются в виде двукратных интегралов по поверхности (один поверхностный интеграл появляется за счет исходного интегрального оператора, второй - по определению скалярного произведения). Различные варианты метода моментов отличаются выбором систем базисных и весовых функций. За счет соответствующего выбора систем базисных и весовых функций можно как облегчить вычисление матричных элементов, так и сократить число поверхностных интегралов, содержащихся в матричных элементах. Так, если в качестве весовых функций выбраны 5-функции, то получаем часто используемый метод коллокаций [31], при этом в выражениях для матричных элементов остается один поверхностный интеграл от произведения ядра интегрального уравнения на одну из базисных функций. Если разбить поверхность тела 5 на п частичных подобластей 5* (к=\, ., п) и ввести кусочно-постоянные базисные функции, то матричные элементы системы линейных алгебраических уравнений будут представлять собой интегралы по элементам поверхностей от ядра интегрального уравнения [25].

Таким образом, даже в простейшем случае, когда граничные условия удовлетворяются методом коллокаций, а для представления токов на поверхности рассеивателя используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи рассеяния на основе метода поверхностных интегральных уравнений сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, элементы матрицы которой определяются двумерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений. В случае, если рассеивающая структура состоит из нескольких тел произвольной формы (не обладающих симметрией вращения) размерность получающейся системы линейных алгебраических уравнений оказывается очень большой, и процедуры расчета элементов матрицы этой системы уравнений занимают большую часть компьютерного времени, необходимого для решения задачи. В случае тел вращения за счет использования свойств осевой симметрии удается существенно уменьшить и размерность решаемой системы линейных алгебраических уравнений, и размерность интегралов, через которые выражаются элементы ее матрицы [3]. По этой причине метод поверхностных интегральных уравнений получил широкое распространение преимущественно для решения осесимметричных задач.

Наряду с интегральными уравнениями типа Фредгольма 2-го рода для решения задач рассеяния нашли широкое применение интегральные и интегро-дифференциальные уравнения 1-го рода. Для большинства рассеивателей могут быть получены как интегральные уравнения 2-го рода, так и интегральные уравнения 1-го рода. Однако существуют классы задач, для которых предпочтительными или единственно возможными являются уравнения 1-го рода. Это - задачи рассеяния на тонких проводниках [23] и бесконечно тонких идеально проводящих незамкнутых поверхностях [25]-[26]. Интегральные уравнения 1-го рода в совокупности с интегральными уравнениями 2-го рода нашли широкое применение для решения задач электромагнитного рассеяния на структурах, содержащих тонкие проводники [32]-[37]. В большинстве этих работ для описания рассеяния замкнутых идеально проводящих тел используются интегральные уравнения 2-го рода, а для описания тонких проводников или незамкнутых идеально проводящих тел - интегральные уравнения 1-го рода.

Помимо рассмотренных типов интегральных уравнений, к настоящему времени сформулированы интегральные (интегро-операторные, интегро-алгебраические) уравнения непосредственно для диаграмм рассеяния [38]-[41] в том числе и для структур, состоящих из нескольких рассеивателей. В основе этих уравнений лежат интегральные представления вторичного поля через диаграмму. С использованием разложений диаграмм в ряд Фурье или по сферическим гармоникам уравнения сводятся к алгебраическим системам, к которым применим метод редукции. В последнее время были опубликованы работы [42]-[44], в которых с помощью метода диаграммных уравнений получены решения задачи рассеяния для тел вращения.

В последние годы для моделирования электромагнитного рассеяния в резонансном частотном диапазоне получил широкое распространение метод вспомогательных источников, основные теоретические аспекты которого были изложены еще в работах [45]-[46]. Метод вспомогательных источников часто называют также методом дискретных источников. В настоящее время за рубежом широко распространены и другие названия этого метода: Generalized Multiple Technique (GMT) и Multiple Multipoles Technique (MMT). Суть метода вспомогательных источников заключается в том, что рассеянное поле в исследуемой области строится в виде линейной комбинации полей элементарных источников (точечных источников, диполей, мультиполей и др.), расположенных вне этой области и излучающих в безграничную однородную среду с параметрами исследуемой области. Такая конструкция удовлетворяет в рассматриваемой области системе дифференциальных уравнений задачи (волновому уравнению, уравнениям Максвелла) и условиям излучения на бесконечности. Коэффициенты линейной комбинации определяются путем удовлетворения граничным условиям в некоторой норме. Метод вспомогательных источников представляет собой самый прямой способ сведения исходной граничной задачи к алгебраической форме. В отличие от метода интегральных уравнений, метод вспомогательных источников избегает вычислений интегралов как при расчете матричных элементов соответствующих систем линейных алгебраических уравнений, так и при расчете компонент полей в рассматриваемых точках пространства, а также позволяет производить контроль точности полученного решения путем оценки невязки граничных условий на поверхности рассеивателя.

В основополагающей работе [45] теоретические основы метода вспомогательных источников были изложены как для скалярных, так и для электромагнитных задач дифракции. В частности, была доказана линейная независимость и полнота системы фундаментальных решений уравнений Максвелла (системы произвольно ориентированных диполей) для граничных задач с пространственными идеально проводящими и диэлектрическими телами, ограниченных поверхностями достаточно общей формы, на свойства которых накладываются только определенные условия гладкости. Первоначально метод был применен для численного решения двумерных [47]-[48] и трехмерных скалярных [49] задач. К настоящему времени уже накоплен большой опыт решения двумерных внешних и внутренних задач электродинамики на основе метода вспомогательных источников [50]-[51].

Первой работой, в которой были приведены конкретные численные результаты, полученные с помощью метода вспомогательных источников для трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн, явилась работа [52]. В этой работе основные идеи метода В. Д. Купрадзе [45] были реализованы в виде конкретного вычислительного алгоритма решения задачи дифракции электромагнитных волн на осесимметричном идеально проводящем теле. В дальнейшем работами Ю. А. Еремина и А. Г. Свешникова (с учениками) был внесен существенный вклад как в развитие теоретических основ метода вспомогательных (дискретных) источников, так и в разработку конкретных вычислительных алгоритмов. В качестве примеров можно отметить развитие схем обоснования полноты используемых в методе дискретных источников функциональных систем [53]-[54], использование источников, расположенных в комплексной плоскости [55], использование сопряженных уравнений [56]. Указанными авторами введены в рассмотрение новые функциональные системы - системы расположенных на оси рассеивателей электрических и магнитных диполей [57]-[58], а также мультипольных источников [59]-[60], ориентированных в соответствии с поляризацией возбуждающего поля. Использование этих функциональных систем позволило их авторам разработать высокоэффективные вычислительные алгоритмы и соответствующее программное обеспечение для решения задач дифракции электромагнитных волн на осесимметричных гелах различной природы, расположенных как в однородной безграничной среде [57]-[64], так и в присутствии однородного полупространства или многослойной среды [62], [65]-[68]. В большинстве этих работ за счет выбора специализированных систем вспомогательных (дискретных) источников удается перейти от аппроксимации граничных условий на всей поверхности тела вращения к аппроксимации граничных условий на образующей тела; эта аппроксимация выполняется в соответствии с методом коллокаций, число точек коллокации, как правило, выбирается больше числа неизвестных коэффициентов; вектор неизвестных коэффициентов определяется как нормальное псевдорешение полученных таким образом переопределенных систем линейных алгебраических уравнений или последовательности переопределенных систем для гармоник Фурье. В последние годы указанными авторами методом вспомогательных источников решаются также задачи рассеяния на неосесимметричных телах [69]-[70].

Большой вклад как в развитие теоретических основ метода вспомогательных источников, так и основ его численной реализации внесен гакже работами А. Г. Кюркчана. В его работах показана фундаментальная связь теории аналитического продолжения волновых полей с методом вспомогательных источников. Основной результат заключается в том, что вспомогательная поверхность, на которой размещаются источники, должна охватывать множество особенностей аналитического продолжения рассеянного поля внутрь рассеивателя [71]-[72]. Предложен [73]-[76] способ аналитического продолжения (локализации особенностей поля), определено местоположение особенностей волнового поля для ряда конкретных рассеивателей [73]-[75], выполнено большое количество вычислительных экспериментов по исследованию последствий игнорирования взаимного расположения особенностей волнового поля и носителя множества дискретных источников [76]. Установлено, что в том случае, когда вспомогательная поверхность (контур) не охватывает все множество особенностей поля, могут наблюдаться такие неприятные явления как разрушение вычислительного алгоритма при увеличении размерности решаемой системы линейных алгебраических уравнений. Высокая точность решения может быть получена только в том случае, если вспомогательная поверхность охватывает все особенности рассеянного поля, аналитически продолженного внутрь рассеивателя. Если же она не охватывает особенностей, то с помощью различного рода регуляризующих процедур можно построить те или иные псевдорешения, позволяющие удовлетворить граничным условиям лишь с конечной погрешностью.

В ряде работ А. Г. Кюркчана, А. П. Анютина и других авторов [77]-[80], посвященных методу вспомогательных источников, предлагается метод аналитической деформации. Этот метод применяется для определения положения вспомогательного контура расположения источников. В этих работах получены решения задачи рассеяния для двумерных случаев.

В странах дальнего зарубежья метод вспомогательных источников как инструмент численного решения задач рассеяния получил развитие в работах К. Ясууры, X Икуно (Япония), X. Хафнера (Швейцария), И. Левиатана (Израиль) и др.

Как следует из работ [81]-[82], основы метода вспомогательных источников (применительно к двумерным граничным задачам) были опубликованы в Японии Ясуурой почти одновременно с работой В. Д. Купрадзе [45]. В качестве функциональной системы в различных модификациях метода Ясууры [82] используется система цилиндрических мультиполей, локализованных в начале координат. Амплитуды мультиполей определяются из условия аппроксимации граничных условий в норме пространства ¿2- Соответствующая дискретизированная задача наименьших квадратов решается с использованием методов ортогональных разложений. Обычно метод Ясууры использовался для решения двумерных задач рассеяния. В работах [83]-[84] этот метод обобщен на случай тел вращения, а в работах [85]-[86] содержится попытка его обобщения на идеально проводящие неосесимметричные тела. В этих обобщениях цилиндрические мультиполи заменяются на сферические мультиполи с источниками в различных точках, и поэтому в трехмерном варианте этот метод очень близок обсуждаемому ниже методу многократных мультиполей.

В подходе предложенном Хафнером и получившем название "обобщенный метод мультиполей" (GMT), или "метод многократных мультиполей" (ММТ), которому посвящены работы [87]-[90], в качестве вспомогательных источников используются системы сферических мультиполей. Каждая из таких систем имеет свою точку локализации. Точки локализации расположены в пространстве в определенном порядке. Амплитуды мультиполей определяются путем решения методом псевдообращения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений, полученных методом коллокации. Метод в своей основе предназначен для решения трехмерных задач. Однако существенным для метода являются вопросы о выборе мест локализации систем мультиполей, количестве мультиполей, помещаемых в каждую точку локализации, и точек удовлетворяющих граничным условиям на поверхности тела. Удачное решение этих вопросов приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений, что определяет успех применения метода. Для существенно трехмерных тел это не является простой задачей, что ограничивает класс рассеивателей, к которым в действительности метод может быть успешно применен. Во всяком случае в известных нам работах в качестве примеров приводятся решения задач рассеяния на телах вращения: на конечном цилиндре со сферически-скругленными торцами, на двух конечных параллельных цилиндрах, на сфероиде, на полусфере и на системе конус -сфера.

В работах Левиатана [91]-[93] метод вспомогательных источников рассматривается как конечномерная аппроксимация метода вспомогательных токов, для определения неизвестных постоянных используются системы линейных алгебраических уравнений метода коллокаций с квадратной или прямоугольной матрицами, для решения которых рекомендуется метод исключения, обращения (псевдообращения) матрицы или сингулярного разложения. Такой подход был успешно применении для решения большого класса двумерных задач, а также некоторых задач рассеяния на телах вращения. В качестве примеров приводятся решения задач рассеяния плоской волны на идеально проводящих сфере, конечном круговом цилиндре со скругленными торцами, а также на диэлектрической сфере и диэлектрическом сплошном сфероиде.

В рассмотренных выше работах, касающихся применения метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния, речь, как правило, идет либо о двумерных задачах, либо о трехмерных задачах, в которых рассеивателями являются тела вращения. Существенных вклад в развитие метода вспомогательных (дискретных) источников применительно к моделированию электромагнитного рассеяния на существенно трехмерных телах, не обладающих симметрией вращения, внесен работами научного руководителя данной диссертации [94]-[101]. В этих работах в качестве носителей множества дискретных источников используются вспомогательные поверхности, подобные в смысле гомотетии поверхности рассеивателя; в качестве дискретных источников выбраны электрические диполи, размещенные на дискретном множестве точек вспомогательных поверхностей. В каждой выбранной точке вспомогательной поверхности помещаются два диполя с неизвестными дипольными моментами, ориентированные тангенциально к вспомогательной поверхности. Определение неизвестных дипольных моментов сводится к нахождению псевдорешения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений, полученных из граничных условий методом коллокаций; псевдорешение определяется итерационным методом сопряженных градиентов. Этот подход реализован в виде комплекса прикладных программ для решения задач электромагнитного рассеяния на одиночных телах различной физической природы в форме трехосных эллипсоидов, конечных цилиндров с эллиптическим поперечным сечением, а также в форме куба.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ

На основании вышеприведенного обзора можно сделать следующие выводы.

К настоящему времени все множество решенных трехмерных задач электромагнитного рассеяния в резонансном диапазоне частот ограничивается задачами, в которых рассеивателями являются либо одиночные тела, либо структуры, составленные из осесимметричных тел, тонких проводников и плоских проводящих экранов. Не обнаружено ни одной работы, в которой бы были приведены конкретные численные результаты, касающиеся рассеяния электромагнитных волн на структурах, удовлетворяющих следующим двум условиям: 1) расстояние между телами структуры много меньше длины волны возбуждающего поля; 2) одно или несколько пространственных тел структуры не обладают симметрией вращения (являются неосесимметричными). В большинстве же случаев необходимость решения научно-технических проблем, имеющих дело с электромагнитными полями, ставит перед исследователями задачи рассеяния на структурах, содержащих неосесимметричные элементы. В связи с этим являются актуальными разработка численных методов для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, удовлетворяющих сформулированным выше условиям, а также исследование характеристик рассеяния конкретных структур.

В принципе, для моделирования электромагнитного рассеяния на обсуждаемых структурах могут быть использованы любые из рассмотренных выше методов: и конечные методы, и методы интегральных уравнений, и метод вспомогательных (дискретных) источников. Однако недостатки, свойственные этим методам, останутся теми же, что и в случае их использования для решения задач рассеяния на одиночных рессеивателях. Для конечных методов - это необходимость искусственного ограничения рассматриваемой области, ошибки в расчетах рассеянных полей, обусловленные искусственной границей и пространственной дискретизацией задачи, чрезвычайно высокие (достигающие нескольких миллионов) размерности получающихся систем линейных алгебраических уравнений. Методы интегральных уравнений исключают необходимость искусственного ограничения внешней области и снижают размерность пространства, в котором находится решение. Однако применение его к рассматриваемым структурам также является весьма громоздким. Даже в простейшем случае, когда граничные условия удовлетворяются методом коллокаций, а для представления токов на поверхности рассеивателя используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи рассеяния на структуре из нескольких тел сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка, элементы матрицы которой определяются двумерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений, процедура расчета которых занимает большую часть компьютерного времени, необходимого для решения задачи. Кроме того, по отношению к полю в дальней зоне этап определения токов на поверхности тел является промежуточным; для нахождения характеристик рассеяния необходимо вычисление интегралов от функций, содержащих поверхностный ток.

Метод вспомогательных источников избегает проблем, свойственных конечным методам, связанных с необходимостью ограничения и дискретизации рассматриваемого пространства, а также проблем, свойственных методу поверхностных интегральных уравнений, связанных с необходимостью вычисления двумерных интегралов при формировании матрицы системы линейных алгебраических уравнений и расчете характеристик рассеяния. По этим причинам представляется целесообразным использовать именно его для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из нескольких неосесимметричных тел. Дополнительным аргументом в пользу такого выбора является накопленный ранее опыт использования метода вспомогательных источников для моделирования рассеяния на одиночных неосесимметричных телах.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертации является разработка модификаций метода вспомогательных источников для математического моделирования электромагнитного рассеяния в резонансной частотной области на структурах, состоящих из нескольких неосесимметричных идеально проводящих тел.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Обобщение варианта метода вспомогательных источников, разработанного ранее для одиночного тела, для математического моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких пространственных неосесимметричных идеально проводящих тел.

2. Развитие модификации метода вспомогательных источников для математического моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, содержащих пространственные тела и тонкие проводники.

3. Реализация разработанных модификаций метода вспомогательных источников в виде компьютерной программы и ее применение для анализа характеристик рассеяния конкретных структур, в особенности с целью выявления закономерностей процессов рассеяния, обусловленных существенным взаимодействием рассеивателей и отклонением их форм от осесимметричной.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ:

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колчин, Валерий Анатольевич

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. Разработаны две модификации метода вспомогательных источников. Первая из этих модификаций предназначена для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из нескольких пространственных (объемных) идеально проводящих тел, а вторая - для моделирования рассеяния на структурах, состоящих как из пространственных тел, так и тонких проводников. В методическом плане отличие этих модификаций заключается в том, что во второй модификации для представления поля, рассеянного тонким проводником вводится вспомогательный источник в виде электрического тока, непрерывно распределенного вдоль оси проводника. Для представления полей, рассеянных пространственными телами, в обеих модификациях используются пары электрических диполей, размещенные внутри тел на вспомогательных поверхностях, подобных поверхностям тел, и ориентированные в каждой точке размещения тангенциально к вспомогательной поверхности. Неизвестные дипольные моменты и токи определяются методом сопряженных градиентов как решение задачи минимизации квадрата нормы вектора невязки системы линейных алгебраических уравнений, полученной путем удовлетворения граничным условиям на поверхностях всех тел структуры методом коллокаций. Предложенные модификации позволяют осуществлять апостериорный контроль точности решения задачи по критерию невязки граничных условий в точках, промежуточных по отношению к точкам коллокации.

2. Разработанные модификации метода вспомогательных источников реализованы как компьютерная программа для расчета характеристик рассеяния широкого класса структур, состоящих из нескольких идеально проводящих тел, имеющих форму трехосных эллипсоидов, конечных цилиндров с эллиптическим поперечным сечением или тонких проводников.

3. Путем проведения вычислительных экспериментов установлены оптимальные (в смысле достижения минимального значения нормы невязки граничных условий на поверхностях тел структуры) условия применения разработанных модификаций. В частности, установлено, что оптимальные значения параметров подобия вспомогательных поверхностей такие же, как в случае одиночного рассеивателя, т.е. лежат в интервале 03<Keq<0.6, а оптимальным взаимным расположением концевых точек элементов тока и точек коллокации является расположение, при котором, сечения в которых располагаются точки коллокации, проводятся через середины элементов тока.

4. С помощью разработанной компьютерной программы осуществлен расчет бистатических сечений рассеяния различных структур, при различных расстояниях между телами структуры, а также распределений токов вдоль тонких проводников. Полученные результаты позволили исследовать влияние электромагнитного взаимодействия и неосесиммегричности объемных рассеивателей на бистатические сечения рассеяния, влияние тонких проводников на эти же характеристики, а также влияние объемных тел на распределение тока вдоль тонкого проводника. В частности, установлено, что бистатические сечения рассеяния, рассчитанные с учетом взаимодействия тел структуры, существенно отличаются от бистатических сечений, полученных без учета взаимодействия, если расстояние между телами структуры порядка 0.1А. и менее; если расстояние между телами структуры лежит в интервале (0.5А,, 1.0А.), то сечения рассеяния в направлениях, прилегающих к направлениям прямого и обратного рассеяния, полученные с учетом взаимодействия, близки к сечениям рассеяния, полученным без учета взаимодействия. Установлено также, что небольшие отклонения форм рассеивателей от осесимметричной почти не влияют на бистатические сечения рассеяния в направлениях, прилегающих к направлению прямого рассеяния, тогда как для остальных направлений рассеяния наблюдается существенное перераспределение энергии рассеянного поля в пространстве.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колчин, Валерий Анатольевич, 2006 год

1. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

2. Mei К. К., Hunka J. Е., Chang S. К. Recent developments of the unimoment method // Proceed, of the International Symposium on Acoustic, Electromagnetic and Elastic Wave Scattering / Columbus, Ohio, 1979. P. 485505.

3. Васильев E. H. Возбуждение тел вращения. M.: Радио и связь, 1987.

4. Sarabandi К., Polatin P. F. Electromagnetic scattering from two adjacent object // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1994. V. AP-42. №4. P. 510-517.

5. Иванов E. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968.

6. Jeannine D., Roger D. Multiple scattering of eletromagnetic waves from two infinitely conducting prolate spheroids which are centered in a plane perpendicular to their axes of revolution // Radio Sci. 1985. V. 20. №3. P. 575-581.

7. Cooray M., Francis R., Cyric I. R. Electromagnetic wave scattering by a system of two spheroids of arbitrary orientation // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1989. V. AP-37, №5. C. 608-618.

8. Cooray M., Cyric I. R. Electromagnetic scattering by a system of two parallel prolate spheroids // Can. J. Phys. 1990. V. 68. №4-5. P. 376-384.

9. Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, №2, С. 180-185.

10. Козлов И. П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах в приложении к проектированию антенн космического аппарата // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, №7, С. 18-26.

11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

13. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1997.

14. Silvester P. P., Hsieh М. S. Finite-element solution of 2-dimensional exterior-field problems //Proc. IEE. 1971. V. 118. P. 1742-1747.

15. McDonald В. H., Wexler A. Finite-element solution of unbounded field problems // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1972. V. MTT-20. P. 841-846.

16. Mei К. К. Unimoment method of solving antenna and scattering problems // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1974. V. AP-22. P. 760-768.

17. Parhami P., Rahmat-Samil Y., Mittra R. Investigation of antennas on a finite ground plane // Proced of AP-S Int. Symp. / Amherst, 1976. P. 511-514.

18. Webb J. P. Application of the finite-element method to electromagnetic and electrical topics // Rep. Propag. Phys. 1995. V. 58. №12. P. 1673-1679.

19. Volakis J. L., Ozdemir T., Gong J. Hybrid finite-element methodologies for antennas and scattering// IEEE Trans. Antennas and Propag. 1997. V. AP-45. №3. P. 493-507.

20. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

21. Еремин Ю. А., Зимнов M. X., Кюркчан А. Г. Теоретические методы анализа характеристик рассеяния электромагнитных волн. Стационарные задачи // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. №1. С. 14-31.

22. Хижняк Н. А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1986.

23. Вычислительные методы в электродинамике // Под ред. Митры Р. М.: Мир, 1977.

24. Wilton D. R., Butler С. M. Effective methods for solving integral and integro-differential equations // Electromagnetics. 1981. V. 1. №3. P. 289-308.

25. Захаров E. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

26. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ, 1987.

27. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986.

28. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

29. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. M. JL: ГИТТЛ, 1949.

30. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

31. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

32. Newman E. H., Pozar D. M. Electromagneitc Modeling of composite wire and surface geometries // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1978. V. AP-26. №6. P. 783-789.

33. Shaeffer J. F. EM scattering from bodies of revolution with attached wires // Proceed, of Int. Symp. on Antennas and Propag. Quebec, 1980. V. 1. P. 183186.

34. Bhattacharya S., Long S. A., Wilton D. R. The input impedance of a monopole antenna mounted on a cubical conducting box // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1987. V. AP-35. №7. P. 756-762.

35. Hwu S. U., Wilton D. R., Rao S. M. Electromagnetic scattering and radiation by arbitrary conducting wire/surface configurations // Proceed of AP-S Int. Symp. Syracuse, N. Y., June 6-10, 1988. V. 2. P. 890-893.

36. Рунов А. В., Калашников H. В. Система интегральных уравнений для решения задач возбуждения проводящих тел // Радиотехника и электроника (Минск). 1983. №12. С. 84-87.

37. Hodges R. Е., Rahmat-Samii Y. An iterative current-based hybrid method for complex structures / // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1997. V. AP-45, №2. P. 265—276.

38. Кюркчан А. Г. О новом классе уравнений в теории дифракции // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38. №1. С. 48-58.

39. Кюркчан А. Г. Об одном методе решения задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров //ДАН. 1994. Т. 337. №6. С. 728-731.

40. Кюркчан А. Г., Клеев А. И. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. №6. С. 897-905.

41. Кюркчан А. Г. К решению задачи рассеяния волн на нескольких телах // ДАН. 1996. Т. 348. №5. С. 603-607.

42. Кюркчан А. Г., Демин Д. Б. Дифракция электромагнитных волн на импедансных рассеивателях, имеющих изломы границы // Радиотехника, и электроника. 2002. Т. 47. №8. С. 947-954.

43. Кюркчан А. Г., Демин Д. Б. Моделирование характеристик рассеяния волн телами с диэлектрическим покрытием при помощи импедансных граничных условий // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. 8, №11-12, С. 22-32

44. Кюркчан А. Г., Демин Д. Б. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических рассеивателях // Наукоемкие технологии. 2003. Т. 4. №3. С. 38-44.

45. Купрадзе В. Д. О приближенном решении задач математической физики // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 2. С. 59-107.

46. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978.

47. Поповиди Р. С., Цверикмазашвили 3. С. Численное исследование задачи дифракции модифицированным методом неортогональных рядов // ЖВМ и МФ. 1977. Т. 17. №2. С. 384-393.

48. Малакшинов Н. П., Ерихов В. Г. Об одном численном методе решения задач дифракции //В сб. "Антенны". 1977. №25. С. 53-65.

49. Гапоненко А. Л. Об одном численном методе решения трехмерных задач дифракции // ЖВМ и МФ. 1977. Т. 17. №1. С. 267-272.

50. Поповиди-Заридзе Р. С., Каркашадзе Д. Д., Ахвеледиани Г. 3., Хатиашвили Д. Ш. Исследование возможностей метода вспомогательных источников при решении двумерных задач электродинамики // Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26. №2. С. 254262.

51. Кобылинский Ю. В., Попова Т. Л., Слепян Г. Я. О методе неортогональных рядов для численного решения задач математической физики // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. №2. С. 237-246.

52. Еремин Ю. А., Ильинский А. С., Свешников А. Г. Метод неортогональных рядов в задачах дифракции электромагнитных волн // ДАН СССР. 1979. Т. 247. №6. С. 1351-1354.

53. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Обоснование метода неортогональных рядов и решение некоторых обратных задач дифракции // ЖВМ и МФ. 1983. 23. №3. С. 738-743.

54. Еремин Ю. А., Построение полных систем для исследования краевых задач математической физики //ДАН СССР. 1987. Т. 295. №6. С. 13511354.

55. Еремин Ю. А. Представление полей в методе неортогональных рядов через источники в комплексной плоскости // ДАН СССР. 1983. Т. 270. №4. С. 864-866.

56. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Использование сопряженных уравнений в методе вспомогательных источников // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. №6. С. 879-886.

57. Свешников А. Г., Еремин Ю. А. Численное исследование задач дифракции на теле вращения методом неортогональных рядов // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23. №8. С. 1006-1008.

58. Свешников А. Г., Еремин Ю. А. Развитие метода неортогональных рядов и исследование задач дифракции на диэлектрических телах // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. №5. С. 762-781.

59. Еремин Ю. А., Лебедев О. А., Свешников А. Г. Использование мультипольных источников в методе неортогональных рядов в задачах дифракции // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. №3. С. 466-470.

60. Еремин Ю. А., Орлов Н. В., Свешников А. Г. Модифицированный метод мультипольных источников в задачах дифракции электромагнитных волн // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. №9. С. 1572-1581.

61. Свешников А. Г., Еремин Ю. А., Орлов Н. В. Исследование некоторых математических моделей в теории дифракции методом неортогональных рядов // Радиотехника и электроника. 1985. Т. 30. №4. С. 697-704.

62. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Развитие методов вспомогательных источников в электромагнитных задачах дифракции // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. №12. С. 52-79.

63. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: МГУ, 1992.

64. Еремин Ю. А., Орлов Н. В. Анализ рассеяния волн на нескольких магнитодиэлектрических телах методом дискретных источников // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. №5. С. 740-748.

65. Еремин Ю. А., Орлов Н. В., Свешников А. Г. Анализ сложных задач дифракции на основе метода дискретных источников // ЖВМ м МФ. 1995. Т. 35. №6. С. 918-934.

66. Гришина И. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Математические модели дефектов сложных структур на основе МДИ // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. Вып. 3. С. 889-903.

67. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Компьютерная технология анализа задач рассеяния методом дискретных источников // ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40. №12. С. 1842-1856.

68. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния электромагнитных волн // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. №10. С. 3-40.

69. Гришина Н. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Анализ методом дискретных источников рассеивающих свойств неосесимметричных структур // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. №8. С. 77-90.

70. Гришина И. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Математическая модель несферической оксидной частицы на подложке // Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. Т. 7. №6. С. 4-11.

71. Кюркчан А. Г. О методе вспомогательных токов и источников в задачах дифракции волн // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29. №11. С. 2129-2139.

72. Кюркчан А. Г., Клеев А. И. Использование априорной информации об аналитических свойствах решения в задачах электродинамики и акустики //Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41. №2. С. 162-170.

73. Кюркчан А. Г. Об аналитическом продолжении волновых полей // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31. №7. С. 1294-1303.

74. Кюркчан А. Г. Аналитическое продолжение в задачах рассеяния волн неограниченными поверхностями // Радиотехника и электроника. 1989. Т. 34. №2. С. 245-256.

75. Апельцин В. Ф., Кюркчан А. Г. Аналитические свойства волновых полей. М.: МГУ, 1990.

76. Кюркчан А. Г., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Особенности продолжения волновых полей // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. №12. С. 12851308.

77. Кюркчан А. Г., Суков А. И. Метод вспомогательных сплайн-токов в задачах дифракции волн // Докл. РАН. 2000. Т. 372. №4. С. 480-483.

78. Кюркчан А. Г., Минаев С. А., Соловейчик A. JI. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особеннос1ях дифракционного поля // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. №6. С. 666-672.

79. Анютин А. П., Кюркчан А. Г., Минаев С. А. Модифицированный метод дискретных источников // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. №8. С. 955-960.

80. Ikuno Н., Yasuura К. Improved paint-matching method with application to scattering from a periodic surface // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1973. V. 21. №5. P. 657-668.

81. Окуно Ю., Икуно X. Метод Ясууры для решения граничных задач уравнения Гельмгольца в однородных средах // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. №10. С. 1744-1763.

82. Ikuno H., Nishimoto M. Numerical analysis of three-dimensional scattering problems by the Yasuura method // IEICE Trans. 1989. V. J72-C-I. P. 689696.

83. Ikuno H., Gondoh M., Nishimoto M. Numerical analysis of electromagnetic wave scattering from an indented body of revolution // IEICE Trans. 1991. V. E74. P. 2855-2863.

84. Okuno Y., Ikuno H., Kawano M. On the relation between the fictitious source metnod and Yasuuras mode-matching method // Proceed, of the 15th URSI International Symposium on Electromagnetic Theory. 1995, May 23-26 St. Petersburg, Russia. P. 457-459.

85. Kawano M., Ikuno H., Nishimoto M. Numerical analysis of 3D scattering problems using the Yasuura method // IEICE Trans. 1996. V. E79-C. №10. P. 1358-1363.

86. Hafner Ch., Ballisti R. Electromagnetic field calculations on PC's and workstations using the MMP method // IEEE Trans. Mag. 1989. V. 25, №4. P. 2828-2835.

87. Hafner Ch. On the relationship between the MoM and the GMT // IEEE Antennas and Propag. Mag. 1990. V. AP-32. №6. P. 12-18.

88. Hafner Ch. The generalized multiple technique for computational electromagnetics. Artech House, Norwood, MA, 1990.

89. Ludwig A. C. The generalized multipole technique // Comput. Phys. Commun. 1991. V. 68, №1-3. P. 306-314.

90. Leviatan Y., Boag A. Analysis of electromagnetic scattering from dielectric cylinders using a multifilament current method // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1987. V. AP-35.№10. P. 1119-1127.

91. Leviatan Y., Boag A., Boag A. Generalized formulations for electromagnetic scattering from perfectly conducting and homogenious material bodies. -Theory and numerical solution // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1988. V. AP-36. №12. P. 1722-1734.

92. Leviatan Y., Boag A , Boag A. Analysis of electromagnetic scattering using a current model method// Comput. Phys. Commun. 1991. V. 68. №1-3. P. 331339.

93. Дмитренко А. Г., Мукомолов А. И. Об одной модификации метода неортогональных рядов для решения задач электромагнитного рассеяния на произвольных гладких идеально проводящих телах // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33. №3. С. 449-455.

94. Дмитренко А. Г., Мукомолов А. И. К развитию одного численного метода решения трехмерных векторных задач рассеяния // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. №2. С. 438-441.

95. Дмитренко А. Г., Мукомолов А. И. Модификация метода вспомогательных источников для решения трехмерных векторных задач рассеяния // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. №5. С. 1032-1036.

96. Дмитренко А. Г., Мукомолов А. И. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на трехмерном магнитодиэлектрическом теле произвольной формы //Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. №6. С. 875-880.

97. Дмитренко А. Г., Мукомолов А. И., Фисанов В. В. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на трехмерном киральном теле // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. №8. С. 910-914.

98. Дмитренко А. Г., Корогодов С. В. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на идеально проводящих телах в магнитодиэлектрической оболочке // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. №12. С. 1463-1468.

99. Дмитренко А. Г. Численное решение задач электромагнитного рассеяния на неосесимметричных телах методом дискретных источников // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Томск, 1999.

100. Дмитренко А. Г. Колчин В. А. Рассеяние электромагнитных волн на структурах из конечного числа трехмерных идеально проводящих тел // Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т. 43. №9. С. 766-772.

101. Дмитренко А. Г. Колчин В. А. Численный метод анализа электромагнитного рассеяния структурами из конечного числа трехмерных идеально проводящих тел // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. №3. С. 277-282.

102. Дмитренко А. Г. Колчин В. А. Исследование электромагнитного рассеяния структурами, содержащими тонкие проводники // Физика радиоволн. Труды Всероссийской научной конференции. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2002. С. II 1-4.

103. Дмитренко А. Г. Колчин В. А. Рассеяние электромагнитных волн на структурах, содержащих тонкие проводники // Изв. вузов Радиофизика. 2003. Т. 46. №1. С. 31-40.

104. Дмитренко А. Г. Колчин В. А. Численный метод исследования электромагнитного рассеяния структурами, содержащими тонкие проводники // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. №5. С. 545-551.

105. Дмитренко А. Г. Колчин В. А. Численное решение задачи рассеяния электромагнитных волн на трехмерных идеально проводящих телах // Вестник ТГУ. Декабрь 2003. №280. С. 258-262.

106. Свешников А. Г., Еремин Ю. А. // Численные методы электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1980. Вып. 4. С. 3.

107. SinhaВ. P., MicPhieR. И. Electomagnetic plane wave scattering by a system of two parallel conducting prolante spheroids // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1983. V. AP-31. №2. P. 294-304.

108. Марков Г. Т. Антенны. М. ji. Госэнергоиздат, 1960.