Моделирование разработки нефтяных месторождений с использованием функций Вейерштрасса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Ротерс, Павел Вячеславович

• Ротерс, Павел Вячеславович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ротерс, Павел Вячеславович

Содержание

Введение

1 Современное состояние исследований

1.1 Обзор работ по использованию эллиптических функций в задачах механики сплошных сред

1.1.1 Основные сведения об эллиптических функциях

1.1.2 Эллиптические функции в задачах механики деформируемого твердого тела

1.1.3 Эллиптические функции в задачах вихревой динамики

1.1.4 Эллиптические функции в задачах подземной гидромеханики

1.2 Задачи моделирования месторождений углеводородов

1.2.1 Коэффициент продуктивности скважины

1.2.2 Коэффициент формы области питания скважины

1.2.3 Продуктивность группы скважин

Выводы по главе 1

2 Моделирование разработки месторождений углеводородов двояко-периодическими системами добывающих скважин

2.1 Общая постановка задачи

2.2 Общее решение для квазистационарного режима фильтрации (одиночная добывающая скважина в замкнутом резервуаре)

2.3 Общее решение для квазистационарного режима фильтрации (двоякопериодическая система добывающих скважин)

2.3.1 Распределение скоростей

2.3.2 Распределение давления

2.4 Интегральная характеристика процесса разработки - коэффициент продуктивности скважины

2.5 Оптимизация разработки месторождений углеводородов двояко-

периодическими системами добывающих скважин

Выводы по главе 2

3 Моделирование разработки месторождений углеводородов двояко-

периодическими кластерами из систем добывающих скважин

3.1 Общая постановка и решение задачи для гг-скважинного двояко-периодического кластера

3.2 Случай расположения двух скважин в двоякопериодическом кластере

3.2.1 Характер течения в квадратной решетке

3.2.2 Характер течения в ромбической решетке

3.3 Случай расположения трех скважин в двоякопериодическом кластере

3.3.1 Характер течения в квадратной решетке

3.3.2 Характер течения в ромбической решетке

3.4 Случай расположения четырех скважин в двоякопериодическом кластере

3.4.1 Характер течения в квадратной решетке

3.4.2 Характер течения в ромбической решетке

3.5 Случай расположения п скважин в прямоугольном резервуаре с непроницаемыми границами

Выводы по главе 3

Заключение

Литература

Список рисунков

Приложения

А Значения коэффициента формы Дитца в сравнении с результатами

других исследований

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование разработки нефтяных месторождений с использованием функций Вейерштрасса»

Введение

Актуальность темы.

На современном этапе разработка месторождений не обходится без использования аппарата математического моделирования. Проведение разработки осложняется тем, что инженеры не могут непосредственно наблюдать реальные процессы, происходящие в пласте. С другой стороны, количество различных физических характеристик пластовой системы очень велико, что осложняет построение математической модели. Такое положение определяет актуальность исследования в данной области.

Одной из основных задач моделирования разработки месторождений является оценка продуктивности системы скважин. Большая часть моделей, использующихся на сегодняшний день, достаточно сложны и имеют лишь численные решения. Тогда как главный принцип инжиниринга резервуаров, сформулированный ещё Л. Дейком, следующий [28]: "Если мы имеем два способа описания физического явления, более пригодным будет тог способ, который является более простым". Более простыми и полезными являются модели, имеющие аналитическое решение. Несмотря на принятые допущения, они позволяют провести достаточно полный анализ различных факторов, влияющих на разработку месторождения.

Фильтрация жидкости в пласте зачастую описывается уравнением пьезо-проводности при различных начальных и граничных условиях. Большие месторождения разрабатываются системами скважин со схемой размещения, близкой к двоякопериодической. Поэтому для получения аналитического решения удобно воспользоваться эллиптическими функциями1 Вейерштрасса. В задачах подземной гидромеханики они используются для исследования стационарной фильтрации при заводнении резервуара. Однако заводнение используется преимуще-

'По определению эллиптические функции - это двоякопериодические мероморфные функции комплексного переменного.

ственно на поздних этапах разработки, когда резервуар уже истощен. До этого момента достаточно долгое время добыча ведется в квазистационарном режиме, характеризующемся линейной зависимостью среднего давления жидкости в резервуаре от времени, при условии постоянной скорости отбора.

Для оценки продуктивности системы скважин в квазистационарном режиме в основном используются численные методы. Существует лишь несколько приближенных аналитических решений, позволяющих оценить продуктивность скважины только с прямоугольной областью питания. Таким образом, получение аналитического решения, позволяющего оценить продуктивность системы скважин при произвольном их размещении в резервуаре, является достаточно актуальной и востребованной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в моделировании разработки нефтяных месторождений двоякопериодическими системами добывающих скважин, работающих в квазистационарном режиме.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Сформулировать математическую модель фильтрации жидкости в двояко-периодической системе добывающих скважин и получить ее аналитическое решение.

2. Исследовать оптимальность размещения скважин в резервуаре.

3. Построить модель разработки месторождения двоякопериодическими кластерами скважин.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получено аналитическое решение уравнения пьезопроводности для математической модели разработки нефтяных месторождений двоякопериодическими системами скважин. В отличие от существующих решений, полученное решение может быть использовано при моделировании первичной разработки месторождений. А в сравнении с численными решениями, оно отличается существенно большей скоростью получения результата.

2. Представлен новый метод выбора оптимального расположения скважин в резервуаре. Данный метод представляет основу для усовершенствования ме-

тодики оптимального размещения скважин. Существующие методы позволяют лишь численно рассчитать продуктивность системы скважин при заданном расположении. Тогда как полученное аналитическое решение позволяет провести математический анализ оптимального размещения скважин. В работе приводится ряд детальных примеров подобного анализа.

3. Впервые получена аналитическая формула для точного2 вычисления коэффициента формы и приведенного радиуса области питания скважины.

4. На основе полученного аналитического решения построена модель разработки месторождения кластером скважин, расположенным в замкнутом резервуаре прямоугольной формы.

Теоретическая и практическая значимость:

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в полученном аналитическом решении, характеризующемся простотой конструкции и легкостью расширения. Результаты исследования могут быть использованы научными коллективами в учебном процессе и для дальнейших исследований. В частности, полученное решение может быть расширено для анизотропных по проницаемости пластов.

Практическая значимость результатов исследования вытекает из возможностей использования полученного аналитического решения:

• Простота реализации и высокая скорость вычисления по сравнению с численными методами позволяют использовать решение для получения промежуточных результатов в оценке продуктивности системы скважин. В ряде задач, когда допущения используемой математической модели не столь существенны, решение может показать хорошую точность. Основные допущения используемой модели следующие: резервуар принимается однородным, скважина рассматривается как точечный сток, а сжимаемость жидкости и упругость пласта учитываются в линейном приближении.

• В работе получена аналитическая формула, позволяющая оценивать влияние скважин друг на друга и вычислять их вклад в общую продуктивность

2В рамках допущений используемой математической модели.

многоскважинной системы. Таким образом, результаты исследований могут быть использованы для усовершенствования методики оптимального размещения скважин.

• Получены аналитические формулы для вычисления коэффициента формы Дитца и приведенного радиуса питания, которые используются в гидродинамическом исследовании скважин.

Методы исследования основаны на использовании эллиптических функций Вейерштрасса и их первообразных для решения уравнения пьезопроводно-сти. В частности, рассмотрена работа многоскважинной системы в квазистационарном режиме добычи. Получено аналитическое решение уравнения пьезопро-водности для резервуара с непроницаемыми границами и постоянной скоростью отбора флюида из скважины.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение для математической модели плоской фильтрации жидкости в многоскважинных двоякопериодических системах, работающих в квазистационарном режиме.

2. Метод анализа продуктивности многоскважинных систем в зависимости от расположения скважин в резервуаре.

3. Модель разработки месторождения кластером скважин в резервуаре прямоугольной формы с непроводящими границами.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается использованием фундаментальных законов механики сплошных сред, общих законов и уравнений подземной гидромеханики, физически обоснованных допущений. Получено достаточно точное соответствие результатов исследований с доступными экспериментальными данными и результатами других исследований, использующихся в практическом инжиниринге резервуаров.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих международных и российских конференциях: XIII международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009 г.); IX молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения

- 2010" (Казань, 1-6 октября 2010 г.); Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 29 августа-4 сентября 2010

г.); XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.); XIX Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2010); Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления" (Владивосток, 11-17 сентября 2011 г.); Восьмая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 20-23 мая 2011 г.); XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи -Адлер, 1-8 октября 2011 г.); IX Международная научно-практическая конференция "АШИРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ" (Самара, 27-30 августа 2012 г.); 13th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (Biarritz, France, 10-13 September 2012); III Международная конференция, посвященная 100-летию академика Н.Х. Арутюняна "Актуальные проблемы механики сплошной среды" (Цахкадзор, Армения, 8-12 октября 2012 г.); Международная конференция "Tyumen 2013 - New Geotechnology for the Old Oil Provinces" (Tyumen, Russia, 25-29 March 2013); Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения

д.ф.-м.н., профессора Г.И. Быковцева "Актуальные проблемы математики и механики" (Самара, 18-21 апреля 2013 г.); Четвертая международная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 25 августа-1 сентября 2014 г.); International Conference on Mathematics and Mechanics (Vienna, Austria, 15-16 October 2014).

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №13-01-97008-р_поволжье_а и № 14-01 -97041-рповолжьеа. Публикации.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 22 работах [2— 12; 46-51; 75-79], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [2; 3; 5; 47].

Личный вклад.

В совместных публикациях с научным руководителем В.И. Астафьевым научному руководителю принадлежит постановка задачи, автору диссертации

принадлежит решение и его анализ с целью теоретического и практического использования.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и одного приложения. Полный объем диссертации 118 страниц текста с 41 рисунком и 1 таблицей. Список литературы содержит 139 наименований.

Содержание работы.

Во введении раскрыта актуальность диссертационной работы, обозначена цель и аргументирована научная новизна исследований. Показана практическая значимость результатов, обоснована их достоверность и представлено краткое содержание работы.

Первая глава содержит обзор современного состояния исследований по теме диссертационной работы. В разделе 1.1 даны основные сведения об используемых в работе эллиптических функциях Вейерштрасса. Приведен обзор исследований, связанных с применением эллиптических функций в задачах механики сплошных сред, в частности, в механике деформируемого твердого тела, вихревой динамике и подземной гидромеханике. В разделе 1.2 представлен обзор исследований в области моделирования разработки месторождений углеводородов. Раскрывается понятие продуктивности системы скважин. Описывается математическая модель фильтрации жидкости, используемые начальные и граничные условия, а также существующие аналитические решения для круговой области питания скважины.

Во второй главе рассмотрена квазистационарная фильтрация жидкости в двоякопериодической системе добывающих скважин. Исследовалась система скважин, содержащая одну скважину в параллелограмме периодов. В разделах 2.1 - 2.3 дается постановка задачи и приводится общее решение в случае размещения одной скважины в замкнутом резервуаре и в случае двоякопериодической системы скважин. В разделе 2.4 вычисляются интегральные характеристики процесса разработки - коэффициент продуктивности, приведенный радиус питания скважины. В разделе 2.5 исследуется оптимальность размещения скважин.

В третьей главе исследуется характеристики потока жидкости к симметричной многоскважинной двоякопериодической системе вертикальных скважин

или многоскважинному кластеру. Представляется математический аппарат для оценки продуктивности кластера в целом, без разделения на отдельные области питания для каждой скважины.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1

Современное состояние исследований

1.1 Обзор работ по использованию эллиптических функций в

Эллиптические функции (однозначные двоякопериодические функции комплексной переменной г = х + гу), единственными особенностями которых на комплексной плоскости г являются полюсы, широко применяются в различных приложениях механики и физики. Так в механике деформируемого твердого тела эллиптические функции используются при изучении перфорированных пластин и оболочек [26], пластин и оболочек с двоякопериодической системой трещин [38; 44], а также в исследованиях движения винтовых дислокаций в кристаллах [68]. В задачах аэро- и гидродинамики основная область их применения -это обтекание двоякопериодических решеток профилей [53], движение двояко-периодических систем точечных вихрей [18] и т.п. В данной работе эллиптические функции применяются в задачах моделирования разработки месторождений двоякопериодической системой нефтедобывающих скважин. Ниже дано краткое описание основной эллиптической функции Вейерштрасса и двух ее первообразных, используемых в данной работе.

Основной эллиптической функцией Вейерштрасса является р-функция. Ее можно представить следующим образом [ 1; 54]:

где со = то,'! + псо:2 (га, п = 0, ±1. ±2. ...), с0\ И со2 - периоды функции, а знак после знака суммы указывает на исключение из нее нулевого слагаемого, соот-

задачах механики сплошных сред

1.1.1 Основные сведения об эллиптических функциях

оо

(1.1)

ветствующего значениям т = п = 0. Как видно из (1.1), р-функция обладает в точках г = тш\ + пи>2 полюсами второго порядка.

Помимо этого, еще одним примечательным свойством р-функции является ее двоякая периодичность [27]:

р (г + а^) = р (?)

. (1.2)

р (г + и2) = Р 0)

Производные р-функции также являются двоякопериодическими, а любая эллиптическая функция может быть представлена в виде линейной комбинации р-функции и ее производных.

Первообразная р-функции (1.1) может быть записана как [54]:

/Р(г)«Ь=Л + (_L_ + I + 4)=C0

/ г \ z — и) uj )

т,п——оо 4 х

(1.3)

где ( (г) - дзета-функция Вейерштрасса.

Интегрирование дзета-функции (1.3) приводит к появлению еще одной функции Вейерштрасса [27; 54]:

C(z)dz = lnz + У' (in

ЗО , ,- г,

777, 71= —ОС

d

1+ = 1п<т(*), (1.4)

UJ ¿ША )

где а (z) - сигма-функция Вейерштрасса.

Таким образом, функции ((z) и а (z) получаются в результате интегрирования двоякопериодической функции p(z), но, в отличие от p(z), не обладают свойством двоякой периодичности. Вместо условий (1.2) для них выполняются следующие условия (т.н. условия квазипериодичности [54]):

{ (г + Ш1) = C{z) + 2щ с (г + ш2) = с (г) + 2г]2

In о- (z + = Ina (г) + щ {2z - uji)

(1.6)

In а (z + uü-2) = In er (г) + r]2 (2z — ш2) где rji = C(lüi/2); щ = С (^2/2). Величины rj 1, t]2, uji и lo2 связаны следующим соотношением (тождество Лежандра [54]):

Viv 2-42^1 = кг. (1.7)

Величины периодов и и2 могут быть произвольными комплексными числами с единственным ограничением 1т(и2/ил) > 0, которое является необходимым условием существования двух независимых периодов двоякопериодиче-ской функции, определенной на соответствующей решетке Ь. Эта решетка и ее базовый элемент, который называется основным параллелограммом периодов, изображены на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1: Двоякопериодическая решетка Ь и ее основной параллелограмм

периодов.

Параллелограмм периодов строится на базе периодов ш\ и ш2, а его основными характеристиками являются величины т = = Хег0 и А = 1ш(о)1, со2) = |бо'1|2 Л 81п (9. Значение Л задает отношение длин сторон параллелограмма периодов, в определяет угол между сторонами, а Д - площадь параллелограмма периодов. Так, значению т = гХ соответствует прямоугольник со сторонами 1 : Л, т = егв задает ромб с углом 6 при его вершине. Отметим, что периоды (и;1, ¡¿>2), («^'1 +^2- ^2), 0^2, —^1) и — ^1) и т.п. определяют одну и ту же двоякопериодическую решетку. Поэтому все многообразие решеток Ь может быть охарактеризовано параметром т = ^/(^ь меняющимся в своей фундаментальной области определения Д) = {т : |Яег| < 1/2. |т| > 1} (в силу симметрии параллелограммов (¿л, СО2) и [и>\. а;2 — с^) можно ограничиться правой половиной области И'0 = {т : 0 < Яег < 1/2. |г| > 1}). Здесь ось {Яет = 0; 1шт < оо} соответствует всем прямоугольным решеткам г = гЛ, дуга {\т\ = 1; 7г/2 > в > тг/3} - ромбическим решеткам т = е'° с углом в, меняющимся в диапазоне [7г/2; 7г/3], а граница {Яет = 1/2: \/3/2 < Ттт < схэ} -

ромбическим решеткам с углом 9, меняющимся в диапазоне [тг/3; 0] (рисунок

Рисунок 1.2: Фундаментальная область и соответствующие границе области

параллелограммы периодов.

1.1.2 Эллиптические функции в задачах механики деформируемого

В механике деформируемого твердого тела эллиптические функции использовались в основном при решении плоских задач теории упругости бесконечных областей с двоякопериодическими отверстиями. Подробнее с данным классом задач можно ознакомиться в монографиях Э.И. Григолюка, Л.А. Фильштинского [26], Д.И. Бардзокаса, А.И. Зобнина [16] и М.П. Саврука [52].

Первым, кто рассмотрел подобные задачи, был В.Я. Натанзон [42], применивший для решения плоской задачи теории упругости с круглыми отверстиями идею разложения решения в ряд по эллиптическим функциям в форме Вейер-штрасса. В этой работе была рассмотрена неограниченная плоская пластина, усеянная одинаковыми круговыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке (периодическая решетка). Предполагалось, что на бесконечности решетка равномерно растягивается, а края отверстий свободны от напряжений. Краевые условия по границам отверстий и общие условия равновесия привели к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов, использующихся в разложении комплексых потенциалов функций напряжения ф(г) и ф{г) в виде степенных рядов. Анализ был сконцентрирован на ромбических решетках с не нагруженными краевыми условиями на отверстиях и при-

1.2).

1т(т)

твердого тела

ложенным средним нормальным напряжением при растяжении. В работе была доказана сходимость решения, но примеры вычислений не были предоставлены. Возможно, это послужило причиной того, что данная фундаментальная работа была на долго забыта.

Данная проблема в более общем виде была вновь поднята В.Т. Койтером [103; 104]. Так, в работе [103] он предложил модифицированный интеграл Коши для двоякопериодического множества эквивалентных контуров, заменив сингулярное ядро интеграла Коши ^ = ^^ на квазипериодическую дзета-функцию Вейерштрасса. Во второй части статьи было показано, что в случае кругового контура квазипериодические функции могут быть разложены в бесконечный сходящийся ряд из производных С(з). В работе [104] общие теоремы о квазипериодических и двоякопериодических функциях были применены для исследования двоякопериодического распределения напряжений в бесконечной упругой пластине, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых отверстий произвольного очертания. Решение сводилось к интегральному уравнению Фредголъма второго рода, было доказано существование и единственность этого решения.

В работе [97] методы решения проблем равновесия криволинейных трещин в бесконечной изотропной среде, разработанные в [35; 96] и основанные на методе комплексных потенциалов, были модифицированы для применения к решению проблемы двоякопериодического множества криволинейных трещин. Авторами были использованы модифицированный интеграл Коши, предложенный В.Т. Койтером, и методы, использованные им для решения задач, связанных с двоякопериодическим множеством отверстий.

Подход, весьма близкий к исследованию В.Я. Натанзона, представлен в работах Я. Дворжака [88; 89], в которых последовательно развивалась схема решения различных двоякопериодических задач термоупругости, растяжения и изгиба для плоскости, ослабленной одинаковыми круговыми отверстиями, центры которых образуют квадратную сетку периодов. Функции напряжения, соответствующие плоской двоякопериодической задаче для квадратной решетки, выражались через тета-функцию Якоби и ее производные. В качестве примера в работах было рассмотрено распределение температурных напряжений в квад-

ратной решетке и решение двояконериодической задачи об изгибе квадратной решетки моментами.

В дальнейшем исследования в этом направлении были развиты Э.И. Григо-люком, JI. М. Куршином и JI.A. Фильштинским [25; 32; 62]. В этих публикациях функция напряжения для плоской задачи с системой круглых отверстий выражается таким же образом, каким было предложено В.Я. Натанзоном. Однако авторы не решают бесконечные системы уравнений для коэффициентов обоих потенциалов функций напряжения одновременно, как предлагал В.Я. Натанзон, но, используя двоякопериодический характер проблемы, они получают систему линейных уравнений для коэффициентов функции напряжений. В [25] также показано, что решение неоднородного двупотенциально го уравнения может быть сведено к решению однородного уравнения добавлением нескольких интегралов эллиптической функции Вейерштрасса p(z) и некоторой мероморфной функции. В обобщающей монографии [26] были достаточно подробно изложены вопросы расчета прочности и жесткости пластин и оболочек, ослабленных большим количеством отверстий. Вопросы рассматривались с позиции двоякопериодических задач теории упругости.

J1.A. Фильштинский продолжил использовать аппарат эллиптических функций в своих дальнейших исследованиях. В [61] им изучена двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий. А в [31] им совместно с В.Е. Кацом рассмотрена аналогичная задача для анизотропной среды, которая была сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. В работе [60] было дано обобщение решения первой основной задачи теории упругости для анизотропной среды, ослабленной двоякопериодической системой групп криволинейных разрезов общего вида.

Задачи теории упругости материалов с двоякопериодическими системами отверстий рассматривались также в работах [30; 36; 39-41; 106; 115]. Теория эллиптических функций использовалась и при исследовании электрофизических свойств композитных материалов с регулярной структурой [15; 58; 92].

1.1.3 Эллиптические функции в задачах вихревой динамики

Эллиптические функции использовались в задачах вихревой динамики, связанных с взаимодействием вихревых решеток. При этом под решеткой подразумеваются совокупность цепочек, лежащих на одинаковом расстоянии друг от друга, а под цепочкой - бесконечные в обе стороны наборы одинаковых вихрей такие, что вихри лежат на прямой через одинаковый интервал. В этом случае система вихрей будет двоякопериодической.

Пионерской работой, в которой был применен аппарат эллиптических функций для нахождения уравнения движения вихревых решеток, была работа В.К. Ткаченко [56]. Им были рассмотрены простые решетки, содержащие по одному вихрю на элементарную ячейку. Без ограничения общности вихри располагались в узлах решетки. Согласно принятым в теории эллиптических функций обозначениям, любая решетка определялась с помощью параметров и ш2 - периодов решетки.

Введя на плоскости, перпендикулярной вихрям, комплексную переменную 2, им было получено представление для скорости жидкости 1) (г) = При

этом

Со(г) = С {г)+аг. (1.8)

Параметр а был выбран так, чтобы £0(^1) = + °:С0 \ = /1т (^о^)-

Используя найденное представление скорости, В.К. Ткаченко вывел выражение для вычисления энергии вихревой решетки и проанализировал характеристики решетки на предмет их энергетической оптимальности. Наиболее оптимальной решеткой оказалась треугольная, для которой соотношение полупериодов г — ш2/(Л = е47г/3.

Дополнительно им была проведена аналогия с задачей из континуальной теории дислокаций, а именно задача о расположении параллельных винтовых дислокаций в скрученном монокристалле. При этом вместо комплексной скорости жидкости рассматривалось напряжение дислокации, комплексно сопряженную величину которой также можно было выразить через дзета-функцию Вейерштрасса.

В работе [57] В.К. Ткаченко была исследована устойчивость вихревых решеток, с использованием полученного ранее выражения комплексной скорости

через Под устойчивостью понималось условие, такое что при достаточно

малом изменении суммы квадратов смещений вихрей сумма квадратов изменений скоростей вихрей оставалась малой. Было показано, что треугольная и близкие к ней решетки устойчивы, остальные, включая квадратную, не устойчивы. С помощью функций Вейерштрасса был также найден закон дисперсии для колебаний решетки и выяснена форма нормальных колебаний. Альтернативное исследование устойчивости треугольных решеток было предложено в работе [ 131 ]. В ней были рассмотрены вихревые двумерные решетки в случае невязкого возмущения.

В.П. Гончаров и В.М. Гряник в работе [24] расширили исследования В.К. Ткаченко для диссипативных вихревых решеток и проанализировали устойчивость таких решеток. Было показано, что при прочих равных условиях всякая устойчивая ситуация для идеальных решеток, рассмотренных В.К. Ткаченко в [57], будет тем более устойчивой для диссипативных решеток. И наоборот, всякая неустойчивая ситуация оказывается еще более неустойчивой.

К.А. О'Нейл в работе [121] рассмотрел бесконечные решетки, с расположенными в ее узлах вихрями. Комплексно сопряженная скорость жидкости, обусловленная такой конфигурацией вихревой решетки, представляла собой сумму скоростей, индуцированных каждым из вихрей, по всем узлам решетки. Очевидно, что данная сумма не является абсолютно сходящейся, поэтому К.А. О'Нейлом был введен так называемый радиальный порядок суммирования. Бес-конечновихревая решетка рассматривалась как предел конечновихревых конфигураций, состоящих из вихрей, расположенных на расстоянии не более чем Я от начала координат при В стремящимся к бесконечности. Таким образом, бесконечная решетка представляла собой предел круговой решетки, состоящей из конечного числа вихрей:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ротерс, Павел Вячеславович, 2014 год

Литература

1. Абрамовиц М, Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М. : Наука, 1979. - 832 с.

2. Астафьев В. И., Ротерс 77. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин // Вестник СамГУ. — 2010. — № 4 (78). — С. 5— 11.

3. Астафьев В. И., Ротерс 77. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. 2. Коэффициент продуктивности // Вестник СамГУ. - 2011. - № 8 (89). - С. 118-127.

4. Астафьев В. 77., Ротерс 77. В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Актуальные проблемы математики и механики. Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения д. ф.-м. н., профессора Г. И. Быковцева. — Самара : СамГУ, 2013. — С. 14—16.

5. Астафьев В. И., Ротерс 77. В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Вестник СамГУ. - 2013. - № 9/2 (110). - С. 170-183.

6. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование процесса фильтрации в двоякопериодической системе добывающих скважин // XIX Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках». Тезисы докладов. — 2010. — С. 17— 18.

7. Астафьев В. 77., Ротерс 77. В. Моделирование разработки нефтяных месторождений с помощью эллиптических функций // АШИРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов IX Международной научно-практической конференции. Т. 2. - Самара : СамГТУ, 2012. - С. 105-114.

8. Астафьев В. И., Ротерс П. В. О двоякопериодической системе добывающих скважин // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды ХШ международной конференции, Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009 г. Т. 2. - Ростов н/Д : изд-во ЮФУ, 2009. — С. 31—35.

9. Астафьев В. И., Ротерс П. В. О продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 17. - 2010. - С. 249-250.

10. Астафьев В. И., Ротерс П. В. О продуктивности двоякопериодических систем скважин в случае размещения нескольких скважин в параллелограмме периодов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 18. -2011. - С. 409-410.

11. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Продуктивность разработки месторождений углеводородов многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 21. — 2014. — С. 34-36.

12. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Эллиптические функции в моделировании разработки нефтяных месторождений // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Сб. научных трудов 111 Международной конференции, посвященной 100-летию академика Н. X. Арутюняна. — Ереван : ЕГУАС, 2012. - С. 95-98.

13. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — М. : Наука, 1970. - 304 с.

14. Ваганова М. Н., Ибрагимов А. И. Об одном альтернирующем методе решения задачи нестационарной фильтрации в областях сложной формы // Вычислительные технологии. — 1996. — Т. 1, № 1. — С. 8—12.

15. Балагуров Б. Я., Кашин В. А. О проводимости двумерной системы с дво-якопериодическим расположением круговых включений // Журнал технической физики. - 2001. - Т. 71. - С. 106-111.

16. Бардзокас Д. И., Зобнын А. И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структур. — М. : Едиториал УРСС, 2003. - 376 с.

17. Басшев К. С., Кочина И. К, Максимов В. М. Подземная гидромеханика. — М. : Недра, 1993.-416 с.

18. Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур. — Москва-Ижсвск : ИКИ, 2005. — 368 с.

19. Бузинов С. Н., Умрихин И. Д. Исследование пластов и скважин при упругом режиме фильтрации. — М. : Недра, 1964. — 272 с.

20. Гавич И. К, Ковалевский В. С., Язвии Л. С. Основы гидрогеологии. Гидрогеодинамика. — Новосибирск : Наука, 1983. — 238 с.

21. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М. : Наука, 1977. — 640 с.

22. Гидродинамическое исследование скважин / П. Мангазеев [и др.]. — Томск : ТПУ, 2004. - 340 с.

23. Голъдштейн Р. В., Рородцов В. А. Механика сплошных сред. Часть 1. Основы и классические модели жидкостей. — М. : Наука. Физматлит, 2000. — 256 с.

24. Гончаров В. П., Гряник В. М. Динамика уединенных диссипативных вихрей, вихревые решетки и их устойчивость // ЖЭТФ. — 1986. — Т. 91, №

5. - С. 1653-1665.

25. Григолюк Э. И., Куршин Л. М., Филыитинский Л. А. Об одном методе решения двоякопериодических задач теории упругости // Прикладная механика. - 1965. - Т. 1, № 1. _ с. 22-31.

26. Григолюк Э. И., Филыитинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. — М. : Наука, 1970. — 556 с.

27. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М. : Наука, 1968. — 648 с.

28. Дейк Л. П. Практический инжиниринг резервуаров. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2008. — 668 с.

29. Ибрагимов А. И., Некрасов А. А. Построение квазианалитического решения задачи о фильтрации однородной жидкости в пористой среде и его применение для получения формулы притока к горизонтальной скважине в ограниченном пласте // Вычислительные технологии. — 1997. — Т. 2, №

6. - С. 36-41.

30. Исаев А. Г. Двоякоггериодическая система трещин со связями между берегами // Вестник ЧГПУ им. И .Я. Яковлева Механика предельного состояния. - 2008. - № 2. - С. 72-78.

31. Кац В. Е., Фильштинский Л. А. Обобщенная двоякопериодическая задача для плоской анизотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1975. -№ 2. - С. 75-82.

32. Куршин Л. М, Фильштинский Л. А. Определение приведенного модуля упругости изотропной плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий // Механика и машиностроение. — 1961. — № 6.-С. 110-114.

33. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М. : Наука, 1973. — 416 с.

34. Леонтьев Н. Е. Основы теории фильтрации. Учебное пособие. — М. : Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2009. - 88 с.

35. Линьков А. М. Интегральное уравнение теории упругости для плоскости с разрезами, нагруженными уравновешенными системами сил // Докл. АН СССР. - 1974. - Т. 218.-С. 1294-1297.

36. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. — СПб. : Наука, 1999. — 382 с.

37. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — Москва-Ижевск : ИКИ, 2004. - 640 с.

38. Мирсалимов В. М. Неодномерные упругопластические задачи. — М. : Наука, 1987.-256 с.

39. Мирсалимов В. М, Мамедова К. С. Обратная двоякопериодическая задача теории упругости для композита, армированного однонаправленными волокнами // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2011. — № 3. - С. 39-43.

40. Мокряков В. В. Исследование зависимости эффективных податливостей плоскости с решеткой круговых отверстий от параметров решетки // Вычислительная механика сплошных сред. — 2010. — Т. 3, № 3. — С. 90— 101.

41. Мокряков В. В. Метод мультипольных разложений в задачах теории упругости для плоскости с круговыми отверстиями: дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / Мокряков В. В. - М., 2008. - 136 с.

42. Натанзон В. Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одинаковыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке. // Ма-тем. сб. - 1935. - Т. 42, № 6. - С. 616-636.

43. Особенности разведки и разработки газовых месторождений Западной Сибири / О. Андреев [и др.]. — М. : Недра, 1984. — 212 с.

44. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышын А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. — Киев : Наукова думка, 1976. — 444 с.

45. Показеев В. В. Полианалитические двоякопериодические функции // Тр. сем. по краев, задачам. — 1982. — Т. 18. — С. 155—167.

46. Ротерс П. В. Анализ продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения"(Самара, 29 августа-4 сентября 2010 г.): Материалы Межд. конф. / под ред. И. В. Воловича. — Самара : изд-во «Книга», 2010. - С. 288-289.

47. Ротерс П. В. Анализ продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Вестник СамГТУ, Сер. Физ.-мат. науки. — 2012. — № 1 (26). - С. 268-270.

48. Ротерс П. В. Вычисление коэффициента формы контура питания в системе добывающих скважин // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы IX молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010»., Казань, 1-6 октября 2010 г. Т. 40. — Казань : Каз. мат. об-во, 2010. - С. 284-286.

49. Ротерс П. В. Коэффициент продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. - Самара : СамГТУ, 2011. - С. 85-87.

50. Ротерс П. В. Эллиптические функции в задачах моделирования разработки месторождений углеводородов // Четвертая международная конференция "Математическая физика и ее приложения"(Самара, 29 августа-4 сентября 2010 г.): Материалы Межд. конф. / под ред. И. В. Воловича, В. Радченко. — Самара : СамГТУ, 2014. - С. 304-305.

51. Ротерс П. В., Астафьев В. И. О продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин [Электронный ресурс] // Всероссийская научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления", посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова, 11-17 сент. 2011 г., Владивосток: аннотации докладов. — Владивосток : ИАПУ ДВО РАН, 2011.

52. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. — Киев : Наук, думка, 1981. — 324 с.

53. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. — М. : Наука, 1966.-448 с.

54. Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций: С приложениями к механике. — М. : КомКнига, 2006. — 368 с.

55. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 6-е изд. - М. : Изд-во МГУ, 1999. - 799 с.

56. Ткаченко В. К. О вихревых решетках // ЖЭТФ. — 1965. — Т. 49, № 6. — С. 1875-1883.

57. Ткаченко В. К. Устойчивость вихревых решеток // ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50, № 6. - С. 1573-1585.

58. Толмачев С. Т., Юхимович Д. 77., Бондаревский С. Л. Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров // Электротехника и электромеханика. - 2010. - № 2. - С. 42-45.

59. Фазльгев Р. Т. Площадное заводнение нефтяных месторождений. — М.Ижевск : Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — 256 с.

60. Фильштинский Л. А. Двоякопериодическая задача теории упругости для анизотропной среды с криволинейными разрезами // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1977. — № 6. — С. 116—124.

61. Фильштинский Л. А. Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий // Прикладная математика и механика. — 1972. — Т. 36, № 4. — С. 682-690.

62. Фильштинский Л. А. Напряжения и смещения в упругой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий // Прикладная математика и механика. — 1964. — Т. 28, № 3. — С. 430—441.

63. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - М. : Физматлит, 2008. - 728 с.

64. Шаймуратов Р. В. Гидродинамика нефтяного трещиноватого пласта. — М. : Недра, 1980.- 223 с.

65. Шаймуратов Р. В. Теоретические основы и практическая реализация методов разработки залежей нефти в сложно построенных карбонатных коллекторах: дис. ... док. техн. наук : 05.15.06 / Шаймуратов Р. В. — Гомель, 1982. - 383 с.

66. Шалимов Б. В. К определению поля давления в системе площадного размещения скважин при упругом режиме // Изв. АН СССР. Сер. Механика. — 1965. -№ 5. - С. 171-174.

67. РЦелкачев В. Н. Избранные труды. — М. : Недра, 1990. — 399 с.

68. Эшелби Д. Континуальная теория дислокаций. — М. : ИЛ, 1963. — 247 с.

69. Abreu L. D., Feichtinger Н. G. Function spaces of polyanalytic functions // Harmonic and Complex Analysis and its Applications. — 2014. — Vol. 8. — Pp. 1-36.

70. Adeboye Y. В., Ubani С. Е., Oribayo О. Prediction of reservoir performance in multi-well systems using modified hyperbolic model // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology. — 2011. — Vol. 1. — Pp. 81-87.

71. Ahmed T. Reservoir Engineering Handbook. — Second Edition. — Gulf Professional Publishing, 2001. — 1186 pp.

72. An Image-Well Method for Predicting Drawdown Distribution in Aquifers with Irregularly Shaped Boundaries / M. Kuo [et al.] // Groundwater. — 1994. — Vol. 32, no. 5. - Pp. 794-804.

73. Application of the TDS technique for determining the average reservoir pressure for vertical wells in naturally fractured reservoirs / M.-D. Molina [et al.] // CT&F Ciencia, Tecnología y Futuro. - 2005. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 45-55.

74. Aref H., Stremler M. A. Motion of three point vortices in a periodic parallelogram // J. Fluid Mech. - 1999. - Vol. 392. - Pp. 101-128.

75. Astafiev V. /., Kasatkin A. E., Roters P. V. Elliptic functions in modeling of oil recovery // 13th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery 2012 (ECMOR XIII). Vol. 1. - Biarritz, France, 10-13 September, 2012. -Pp. 602-614. — DOI: 10.3997/2214-4609.20143268.

76. Astafiev V. /., Roters P. V. Analitical Solution for a Double-periodic Mul-tiwell Reservoir Systems [Электронный ресурс] // New Geotechnology for the Old Oil Provinces. 25-29 March 2013. - Tyumen, Russia. - DOI: 10.3997/2214-4 60 9.20142 692.

77. Astafiev V. /., Roters P. V. Analytical Solution for a Double-periodic Multi-well Reservoir Systems // Ciencia e Técnica Vitivinícola. — 2014. — Vol. 29, no. 8. - Pp. 244-252.

78. Astafiev V. I., Roters P. V. Elliptic functions in the modelling of oil recovery [Электронный ресурс] // International Conference on Mathematics and Mechanics. 15-16 October 2014. — Vienna, Austria.

79. Astafiev V. I., Roters P. V. Simulation of oil recovery using the Weierstrass elliptic functions // International Journal of Mechanics. — 2014. — Vol. 8. — Pp. 353-364.

80. Bellarby J. Well Completion Design. — Oxford : Elsevier Science, 2009. — 726 pp.

81. Brons F., Miller W. A Simple Method for Correcting Spot Pressure Readings 11 Journal of Petroleum Technology. - 1961. - Vol. 13, no. 8. — Pp. 803-805.

82. Burton D. A., Gratus J., Tucker R. W. Hydrodynamic forces on two moving discs // Theoret. Appl. Mech. - 2004. - Vol. 31, no. 2. - Pp. 153-188.

83. Butsch S., Zeldov E., Nattermann T. Pre-melting of crossing vortex lattices // EPL (Europhysics Letters). - 2013. - Vol. 103, no. 4. - Pp. 1-5.

84. Campbell L. J., Doria M. M., Kadtke J. B. Energy of infinite vortex lattices // Phys. Rev. A. - 1989. - Vol. 39, no. 10. - Pp. 5436-5439.

85. Chaudhry A. U. Oil Well Testing Handbook. - Elsevier, 2004. - 702 pp.

86. Cholet H. Well Production Practical Handbook. — Paris : Editions Technip, 2008. - 546 pp.

87. Dietz D. N. Determination of Average Reservoir Pressure from Build-Up Surveys // JPT. - 1965. - Vol. 17, no. 8. - Pp. 955-959.

88. Dvorâk J. Napëti v desce oslabenë ctvercovou mrizi kruhovych otvorû // Ap-likace matematiky. - 1963. - Vol. 8, no. 3. - Pp. 180-196.

89. Dvorak J. Stress Concentration in a Perforated Plate // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Techn. - 1964. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 237-244.

90. Earlougher R. The Use of Interpolation to Obtain Shape Factors for Pressure Buildup Calculations // Journal of Petroleum Technology. — 1968. — Vol. 20, no. 5. - Pp. 449-450.

91. Ewing R., Ibragimov A., Lazarov R. Domain Decomposition Algorithm and Analytical Simulation of Coupled Flow in Reservoir / Well System // J. KSIAM. - 2001. - Vol. 5, no. 2. - Pp. 71-99.

92. Godin Y. The effective conductivity of a periodic lattice of circular inclusions // Journal of Mathematical Physics. - 2012. - Vol. 53. - Pp. 1-21.

93. Helmy W., Wattenbarger R. A. New shape factors for wells produced at constant pressure 11 SPE 39970. - Calgary, Canada, Mar. 1998.

94. Ibragimov A., Valko P. On productivity index in pseudo-steady and boundary dominated flow regimes: tech. rep. / Institute of Scientific Computations. — Texas, 2000. - 19 pp.

95. Improving recovery from mature oil fields producing from carbonate reservoirs: Upper Jurassic Smackover Formation, Womack Hill field (eastern Gulf Coast, U.S.A.) / E. Mancini [et al.] // AAPG Bulletin. - 2004. - Vol. 88, no. 12. -Pp. 1629-1651.

96. Ioakimidis N. I. General Methods for the Solution of Crack Problems in the Theory of Plane Elasticity: PhD thesis / Ioakimidis N. I. — Athens : National Technical University of Athens, 1976. — 406 pp.

97. Ioakimidis N. /., Theocaris P. S. Doubly-periodic array of cracks in an infinite isotropic medium // Journal of Elasticity. — 1978. — Vol. 8, no. 2. — Pp. 157— 169.

98. Kasamatsu K., Tsubota M., Ueda M. Vortex phase diagram in rotating two-component Bose-Einstein condensates 11 Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91, no. 15. - Pp. 1-4.

99. Kaviani D., Valko P. Inferring interwell connectivity using multiwell productivity index (MPI) // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 2010. — Vol. 73. - Pp. 48-58.

100. Keceli M., Oktel M. O. Tkachenko Modes of the Square Vortex Lattice in a two-component Bose-Einstein Condensate. // Turkish Journal of Physics. — 2006. - Vol. 30, no. 4. - Pp. 245-252.

101. Khalmanova D. Mathematical Model of The Productivity Index of A Well: PhD thesis / Khalmanova D. — Department of Mathematics, Texas A&M University, 2004. — 104 pp.

102. Kita T., Mizushima T., Machida K. Spinor Bose-Einstein condensates with many vortices // Phys. Rev. A. — 2002. — Vol. 66, no. 6. — Pp. 1-4.

103. Koiter W. T. Some general theorems on doubly-periodic and quasi-periodic functions // Proc. Kon. Ned. Ak. Wet. - 1959. - Vol. 62. - Pp. 120-128.

104. Koiter W. T. Stress distribution in an infinite elastic sheet with a doubly-periodic set of equal holes // Boundary problems in differential equations / ed. by R. E. Langer. — Mathematics Research Center at the University of Wisconsin. Madison : Mathematics Research Center at the University of Wisconsin, Apr. 1959. - Pp. 191-213.

105. Larsen L. A Simple Approach to Pressure Distributions in Geometric Shapes // Society of Petroleum Engineers Journal. — 1985. — Vol. 25. — Pp. 113-120.

106. Linkov A., Koshelev V. Complex variables BIE and BEM for a plane doubly periodic system of flaws // Journal of the Chinese Institute of Engineers. — 1999. - Vol. 22, no. 6. - Pp. 709-720.

107. Linton C. M. Lattice Sums for the Helmholtz Equation 11 SIAM Rev. — 2010. - Vol. 52, no. 4. - Pp. 630-674.

108. Lu J. Productivity Equations for Oil Wells in Anisotropic Reservoirs: PhD thesis / Lu J. — University of Oklahoma, 2008. — 233 pp.

109. Lu J., Ghedan S. Pseudo-Steady State Productivity Equations for a Multiple-Wells System in a Sector Fault Reservoir // Special Topics and Reviews in Porous Media - An International Journal. — 2013. — Vol. 4, no. 1. — Pp. 4556.

110. Lu J., Tiab D. Pseudo-Steady-State Productivity Formula for a Partially Penetrating Vertical Well in a Box-Shaped Reservoir // Mathematical Problems in Engineering. - 2010. - Vol. 2010. - Pp. 1-35.

111. Marhaendrajana T. Modeling and analysis of flow behavior in single and mul-tiwell bounded reservoirs: PhD thesis / Marhaendrajana T. — College Station, TX : Texas A&M University, 2000.

112. Marhaendrajana T., Blasingame T. A. Decline Curve Analysis Using Type Curves—Evaluation of Well Performance Behavior in a Multiwell Reservoir System: Tex. oth. / Society of Petroleum Engineers. — 2001. — 15 c.

113. Matthews C. S., Brons E, Hazebroek P. A method for determination of average pressure in a bounded reservoir // Petroleum Transactions, AIME. — 1954. — Vol. 201. - Pp. 182-191.

114. Matthews C. S., Lefcovits H. C. Studies on Pressure Distribution in Bounded Reservoirs at Steady State // Petroleum Transaction, AIME. — 1955. — Vol. 204. - Pp. 182-189.

115. Mechanical properties of solids containing a doubly periodic rectangular array of cracks / K. Sahasakmontri [et al.] // Doboku Gakkai Ronbunshu. — 1987. — Vol. 1987, no. 380. - Pp. 151-161.

116. Morel-Seytoux H. J. Analytical-Numerical Method in Waterflooding Predictions // Society of Petroleum Engineers Journal. — 1965. — Vol. 5, no. 3. — Pp. 247-258.

117. Morel-Seytoux H. J. Unit Mobility Ration Displacement Calculations for Pattern Flood in Homogeneous Medium // Society of Petroleum Engineers Journal. - 1966. - Vol. 6, no. 3. - Pp. 217-227.

118. Mozaffar M. R. M, Mollabashi A. Crystalline Geometries from Fermionic Vortex Lattice // Phys. Rev. D. - 2013. - Vol. 89, no. 4. - Pp. 1-9.

119. Observation of vortex lattices in Bose-Einstein condensates / J. R. Abo-Shaeer [et al.] // Science. - 2001. - Vol. 292. - Pp. 476-479.

120. On a mathematical model of the productivity index of a well from reservoir engineering / A. Ibragimov [et al.] // SIAM J. Appl. Math. — 2005. — Vol. 65, no. 6. - Pp. 1952-1980.

121. O'Neil K. A. On the Hamiltonian dynamics of vortex lattices // Journal of Mathematical Physics. - 1989. - Vol. 30, no. 6. - Pp. 1373-1379.

122. Ozkan E. Performance of Horizontal Wells: PhD thesis / Ozkan E. — Tulsa, Oklahoma : University of Tulsa, 1988. - 290 pp.

123. Ozkan E., Umnuayponwiwat S. Evaluation of Inflow Perfomance of Multiple Horizontal Wells in Closed Systems // Trans. ASME. J. Energy Research Technology. - 2000. - Mar. - Vol. 122. - Pp. 8-13.

124. Peaceman D. W. Recalculation of Dietz Shape Factor for Rectangles: tech. rep. / Society of Petroleum Engineers. — Texas, 1990. — 10 pp.

125. Pressure Distributions in Rectangular Reservoirs / R. Earlougher [et al.] // Journal of Petroleum Technology. - 1968. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 199-208.

126. Pressure Drawdown Equations for Multiple-Well Systems in Circular Cylinder Reservoirs / J. Lu [et al.] // Journal of Engineering and Applied Sciences. — 2013. - Vol. 8, no. 7. - Pp. 459-464.

127. Productivity Formulas for a Partially Penetrating Vertical Well in a Circular Cylinder Drainage Volume / J. Lu [et al.] // Mathematical Problems in Engineering. - 2009. - Vol. 2009. - Pp. 1-34.

128. Raghavan R. Well test analysis. - PTR Prentice-Hall Inc., 1993. - 558 pp.

129. Stremler M. A. On relative equilibria and integrable dynamics of point vortices in periodic domains 11 Theoretical and Computational Fluid Dynamics. — 2010. - Vol. 24. - Pp. 25-37.

130. Tehrani D., Chen G., Peden J. Finding a regular geometry for an irregular reservoir shape for well performance calculations // Petroleum Geoscience. — 1999. - Vol. 4, no. 4. - Pp. 349-352.

131. Thess A. Inviscid Instabilities in Two-Dimensional Spatially Periodic Flows // Fluid Mechanics and its Applications. — 1993. — Vol. 18. — Pp. 79-84.

132. Tkachenko Waves in Rapidly Rotating Bose-Einstein Condensates / L. O. Baks-maty [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Apr. - Vol. 92, no. 16.

133. Trends in Boson Research / ed. by A. V. Ling. — Nova Science Pub Inc, 2006. - 234 pp.

134. Umeki M. Clustering analysis of periodic point vortices with the L function // J. Phys. Soc. Jpn. - 2007. - Vol. 76, no. 4. - Pp. 1-5.

135. Umeki M. Point Process Analysis of Vortices in a Periodic Box // Theoretical and Applied Mechanics Japan. — 2008. — Vol. 56. — Pp. 259-265.

136. Valko P. P., Doublet L. E., Blasingame T. A. Development and Application of the Multiwell Productivity Index (MPI) // SPE Journal. - 2000. - Vol. 5, no. 1. - Pp. 21-31.

137. Vortex Crystals / H. Aref [et al.] // Adv. Appl. Mech. - 2003. - Vol. 39. -Pp. 1-79.

138. Weiss J. B., McWilliams J. C. Nonergodicity of point vortices // Phys. Fluids. A. - 1991. - May. - Vol. 3. - Pp. 835-844.

139. Yaxley L. New Stabilized Inflow Equations For Rectangular And Wedge Shaped Drainage Systems: tech. rep. / SPE Journal. — 1987. — 43 pp.

Список рисунков

1.1 Двоякопериодическая решетка L и ее основной параллелограмм периодов.................................. 13

1.2 Фундаментальная область Dq и соответствующие границе области параллелограммы периодов....................... 14

1.3 Схематическое изображение шаблона зеркальных отображений скважин для квадратной области питания с не перетекающими границами.................................29

1.4 Функции безразмерного давления (метод MBH) для скважины, область дренирования которой задана квадратом.............30

1.5 Схематическое изображение метода мнимых источников, предложенного в работе [72]...........................31

1.6 Схематичное изображение резервуара с п скважинами [136].....36

2.1 Схематичное изображение резервуара..................38

2.2 Схематичное изображение изменения давления в точках (rri, у\) и

у-2) при разных режимах разработки месторождения......41

2.3 Замкнутый резервуар с границей Г и размещенной внутри его добывающей скважиной радиуса ....................47

2.4 Схема расположения добывающих скважин на Уренгойском месторождении: 1 - кусты скважин, 2 - одиночные добывающие скважины, 3 - изолинии кровли сеномана, 4 - ГВК [43].......48

2.5 Пример двояко периодической решетки................49

2.6 Характер течения жидкости в квадратной (а) и ромбической (б) решетках..................................56

2.7 Соотношение между контуром питания и ячейками решетки.....58

2.8 Область интегрирования.........................59

2.9 График зависимости коэффициента Дитца С а от параметра Л в случае прямоугольных решеток, 9 = 7г/2................68

2.10 График зависимости коэффициента Дитца С а от угла в у вершины

в случае ромбических решеток, Л = 1..................69

3.1 Схематичное изображение двоякопериодического кластера из п добывающих скважин...........................71

3.2 Характер течения при z\ = 0 и 22 = (cl>i + ш2) /2 в случае Qi = Q2. 77

3.3 Характер течения при z\ = 0 и z2 = (cji + /2 в случае Q2 = 2Qi. 77

3.4 Характер течения при zy = 0 и z2 = ui/2 в случае Qi = Q2.....78

3.5 Характер течения при a) zy = 0 и z2 = üj\/3 и б) zi = 0 и 22 =

(co'i + со2) /3 в случае Q\ = Q2......................79

3.6 Характер течения при z± = 0 и z2 = (wi + lü2) /3 в случае Qi — Q2. 79

3.7 Характер течения при z\ = 0 я z2 = (u>i + lú2) /3 в случае Q2 = 2Q\. 80

3.8 Характер течения при z\ = 0 и z2 = (со\ + uj2) /2 в случае Q2 = Q\. 80

3.9 Характер течения при zy = 0 и z<2 = (uii + íü2) /2 в случае Q2 = 2Q\. 81

3.10 Характер течения при z\ = 0 и z2 = ¡jJ\/2 в случае Q2 — Q\.....82

3.11 Характер течения при z\ = 0 и а) 22 = ^i/з, б) z2 = (cji + uj2) /4 в случае Q2 = Q1...............................83

3.12 Характер течения при zi = 0, z2 = (wi + u>2) /3 и 23 = 2 (<¿>1 + /3. 84

3.13 Характер течения при z\ = 0, 22 = wi/2 и 23 = w2/2....................85

3.14 Характер течения при z\ = 0, 22 = (а;г + üj2) /3 и 23 = 2 + 6^2) /3. 86

3.15 Характер течения при 21 = 0, 22 = u)i/2 и 23 = ш2/2....................86

3.16 Характер течения при z\ = 0, z2 = u\/2, 23 = ^/2 и 24 = (uj1+LÜ2)/2.................................88

3.17 Характер течения при zi = 0, z2 = (ui + uj2) /4, 23 = (cji -\-oj2) /2

и 24 = 3 (coi + u)2) /4............................88

3.18 Характер течения при z\ = (1 + i)/2 + 1/3, z2 = (1 + ?')/2 + i/3,

23 = (1 + 0/2 - 1/3, 24 = (1 + ¿)/2 - г/3................89

3.19 Характер течения при z\ = 0, z2 = í¿i/2, 23 = u2/2 и 24 = (£Л+^2)/2.................................90

3.20 Характер течения при z\ = 0, z2 = uj\/2, 23 = ^/2 и 24 = (cji+CJ2)/3.................................90

3.21 Схема построения двоякопериодического кластера..........92

3.22 Линии тока и изобары, полученные экспериментально и по предлагаемой модели. Соотношение дебитов : 02 = 1 : 4.1.....

3.23 Характер течения жидкости в прямоугольнике 1 х 2 с двумя скважинами. Соотношение дебитов Я1 \ = I : 2............

3.24 Характер течения жидкости в квадрате 2 х 2 с четырьмя скважинами. Соотношение дебитов Я1 : Я2 = 1 2, ЯI Яз = 1 : 3, Я1 Я а = 1 : 4, скважины пронумерованы снизу вверх, справа налево..................................

3.25 Характер течения жидкости в квадратном резервуаре при симметричном расположении в нем трех и четырех скважин........