Математические модели плоских стационарных силовых полей в гетерогенных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Обносов, Юрий Викторович

• Обносов, Юрий Викторович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Обносов, Юрий Викторович

Содержание

Введение

1 Двухфазные среды, разделенные кривыми второго порядка

1. Эллиптическое включение в однородной среде

2. Параболический случай

3. Составная среда с гиперболической линией раздела фаз

4. Задача о клине

2 Некоторые многофазные среды с круговыми и прямолинейными линиями раздела фаз

1. Концентрическая кольцевая (гс + 1)- фазная структура

2. Задача о двух круговых включениях

3. Задача об асимметричном кольце

4. Об одной трехкомпонентной задаче

5. Задача о полукруговом включении, лежащем на границе двух полуплоскостей

3 Решение задачи Ш—линейного сопряжения для прямоугольного шахматного поля

1. Постановка задачи

2. Решение в случае вещественных коэффициентов А,В

3. Случай комплексных коэффициентов А,В

4. Некоторые вырожденные и предельные случаи

4.1. Предельные случаи 0 < \В\ < \А\

4.2. Случай квадратного шахматного поля

4.3. Периодическая слоистая среда со сдвигом

4.4. Правильный двухкомпонентный четырехлепест-

ковый „веер"

5. Вычисление некоторых эффективных параметров прямоугольного шахматного поля

4 Бесконечная матрица с двоякопериодической системой прямоугольных включений

1. Постановка задачи

2. Решение в случае неотрицательных коэффициентов А,В

3. Решение задачи в эллиптическом случае для комплексных коэффициентов А,В

4. Частные, вырожденные и предельные случаи

4.1. Случай произвольных вещественных коэффициентов

4.2. Случай квадратных включений

4.3. Параллельно-слоистая структура

4.4. Периодическая система полуполос

5. Вычисление эффективных параметров периодической системы прямоугольных включений

6. Анализ эффективных параметров ПШП и ДСПВ

7. Эффективное сопротивление одной фрактальной среды типа ковра Серпинского

5 Правильное треугольное шахматное поле

1. Постановка задачи

2. Некоторые свойства решений

3. Решение полевой задачи для треугольного поля в случае вещественных коэффициентов

4. Решение в случае комплексных коэффициентов А, В

5. Вычисление эффективных параметров треугольного поля в вещественном случае

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели плоских стационарных силовых полей в гетерогенных средах»

Введение

Основной задачей диссертации является точное описание пространственного распределения стационарных силовых полей в кусочно-однородных средах и определение их осредненных характеристик.

Начиная с пионерских работ Рэллея [144] и Максвелла [137] и особенно активно в последние десятилетия, в расчетах полей в неоднородных средах развиваются различные численные, асимптотические и вариационные методы. В первую очередь это связано с тем, что в общем случае для этой проблемы не существует аналитических методов, позволяющих построить ее точное решение. Асимптотические и вариационные подходы позволяют найти приближенные значения для эффективных параметров изучаемых композиционных материалов, а чаще границы изменения таких параметров. Подробная библиография, посвященная этому направлению, приведена, например, в монографиях Бахвалова, Панасенко [5], Олейник, Козлова, Жикова [44], Швидлера [117], Беара [121], Санчес-Паленсии [146] и работах Хашина, Штрик-мана [129], Лурье, Черкаева [72], Хонейна Е., Хонейна Т. и Хермана [142]. Безусловно, приближенные методы в решении прикладных задач теории гетерогенных сред играли и будут играть основную роль.

Однако, в ряде ситуаций нужна картина „тонкой" структуры поля в области контакта разнородных компонентов, которая может быть получена только на основе строгих аналитических решений. В диссертации разрабатываются методы комплексного анализа в применении к широкому кругу конкретных гетерогенных сред. Основа нашего подхода состоит в построении решений в терминах специальных функций, что позволяет проводить эффективный параметрический анализ полей, находить в явном виде осредненные характеристики и определять их экстремумы.

Соответствующие математические модели, построенные на базе тех или иных физических законов, описывающих конкретный процесс, обычно сводятся к системам интегральных уравнений или системам уравнений в частных производных. Классические модели опираются на линейные уравнения и предположение об однородности среды, в которой отыскивается поле. Естественно, такие модели могут оказаться довольно „грубыми", поскольку они не учитывают некоторых „тон-

ких" эффектов. Попытки „поймать" такие эффекты в последние годы осуществляются по двум основным направлениям: во-первых, это переход к нелинейным уравнениям (Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский [2]) и, во-вторых, учет структурной неоднородности среды (случайно-неоднородные среды - [103] и среды с периодической структурой - Бахвалов, Панасенко [5], [7]). Именно последнее направление развивается в нашей работе. Более точно, нас будут интересовать гетерогенные, а именно, кусочно-однородные среды, т.е. среды, состоящие из различных изотропных и однородных по своим физическим свойствам компонентов. Бурное развитие этого направления в последнее время объясняется широким внедрением композиционных материалов в технике и взаимо-дополняющими процедурами апскейлинга-даунскейлинга в химической технологии, теории фильтрации, теории теплопроводности и др. Например, в гидрогеологии важно знать, как происходит фильтрация грунтовых вод, содержащих вредные для здоровья примеси. Для этого необходимо отследить пути миграции меченых частиц - трассеров по всем пластовым неоднородностям, что позволяет установить, произойдет ли естественное очищение воды или нужны искусственные защитные мероприятия. В задачах фильтрации важно найти распределение скоростей течения и на основе этого оценить локальную устойчивость вдоль линии сопряжения пористых слоев разной крупности естественного или искусственного происхождения: пластовые зоны неоднородности, ядра плотин, завесы, обратные фильтры и пр.( Седергрен [116], Гришаев [27]).

Хорошо известно, что часто различные на первый взгляд по своей физической природе явления описываются одними и теми же математическими законами. Другими словами, в рамках соответствующим образом введенной идеализации, для таких процессов оказывается справедливой единая математическая модель. В диссертации рассматривается одна из общепринятых в теории гетерогенных сред моделей. Эта классическая модель может быть описана следующим образом.

Требуется построить плоскопараллельное стационарное силовое поле v(ж,2/) = (ух,уу) = лгр(х,у), (х,у) £ р = 1, 777., являющееся потенциальным и соленоидальным в каждой изотропной фазе рассмат-

риваемой т-фазной среды:

(Цулгр(х,у) = 0, тоЬлгр(х,у) = 0. (1)

Всюду на кусочно-гладкой границе контакта (Сп = двр П дБд \ Т) разнородных фаз вр и за исключением угловых точек Т, предполагаются равными (см. Рис.1) нормальные (касательные) составляющие предельных значений векторов Ур, (ррур, />9Уд):

Мж,у)]п = К(ж,у)]п, [ррУр(х,у)}т = [рд^ч(х,у)]т, (х,у) е £щ. (2)

В точках множества Т у компонентов вектора V допускаются интегрируемые особенности. Во втором условии рефракции (2) рр - постоянный в фазе Бр коэффициент, характеризующий физические свойства среды. В большинстве случаев при реализации конкретных физических моделей этот коэффициент принимает скалярные вещественные неотрицательные значения. Однако в ряде случаев, например, в задачах электродинамики при расчете электрических полей с учетом влияния однородного электромагнитного поля (ортогонального плоскости течения тока) приходится рассматривать случаи, когда коэффициент рр является тензором:

^»С-р,?)' (3)

где рр > 0 - коэффициент сопротивления, а (Зр Е К. - параметр Холла материала фазы 5р, р = 1,га.

Задача (1), (2) называется т-фазной по числу попарно различных коэффициентов />р, характеризующих изучаемую структуру. При этом

число связных компонентов, составляющих фазу может быть как конечным, так и счетным.

К сформулированной выше математической модели приводят соответствующие проблемы теории гетерогенных сред в электродинамике [33], [140] (у - вектор плотности тока рр - тензор удельного сопротивления (3), условия (2) обеспечивают при омическом контакте непрерывность на С нормальных составляющих тока и касательных составляющих напряженности электрического поля); в магнитодинамике [26] (у - вектор напряженности электрического поля, рр = рр = 1 Дгр - величина обратная коэффициенту магнитной проводимости <тр); в задачах антиплоской деформации теории упругости [24], [126] (V - смещение, <7Р - модуль сдвига); в теории диффузии [117] (V - концентрация, стр -коэффициент диффузии); теплопроводности [46] (у - вектор теплового потока, <7р - коэффициент теплопроводности) и пр..

В терминах комплексного потенциала уг(х,у) = ((р(х,у),ф(х,у))' (г>ж — д(р/дх, уу = д(р/ду) задача (1), (2) при скалярном значении коэффициента рр = рр приводится к эквивалентной ([98]) задаче построения пары сопряженных гармонических в каждой изотропной фазе 5Р функций: потенциала - срр(х, у) и функции тока - фр(х, у), удовлетворяющих на Сщ \ Т условиям сопряжения

дфр дфя

РрРР =

ds ds

Почти всюду в дальнейшем мы будем рассматривать задачу (1), (2), (3), обращаясь к комплексному потенциалу лишь в частных - предельных случаях, когда скалярный коэффициент рр = рр обращается в ноль, или бесконечность. В таких ситуациях граница фазы Sp становится эквипотенциалью (<р(х,у) = const, (ж, у) £ dSp), или линией тока (ф(х,у) = const, (х,у) Е dSp) соответственно.

В развитии теории гетерогенных сред в целом и при изучении задачи (1)-(3) в частности, четко прослеживаются две основные тенденции. Первая и основная состоит в определении при помощи различных приближенных методов так называемых эффективных - осредненных характеристик изучаемых сред, позволяющих рассматривать их как в среднем изотропные и применять к ним в дальнейшем известные решения для однородных континуумов. В работах второго направления

и в настоящей диссертации рассматриваются некоторые конкретные гетерогенные структуры, для которых решение задачи (1)-(3) удается получить в замкнутой форме с помощью некоторой цепочки строго обоснованных аналитических построений. Затем, используя найденные таким образом решения (в последующем именно такие решения мы будем называть точными), можно получить в явной форме значения соответствующих эффективных параметров. Иногда удается найти точные значения эффективных параметров, минуя этап построения решения полевой задачи. Впрочем, об этом речь пойдет несколько позже.

Строгие, точные решения задач для кусочно-однородных по проницаемости структур, к сожалению, немногочисленны и каждое новое решение представляет как самостоятельный теоретический интерес, так и может служить тестовым для существующего стандартного программного продукта и для вновь разрабатываемых приближенных методов. Чуть позже, когда мы перейдем к описанию содержания диссертации по главам, параллельно будет приведена библиография почти всех известных нам работ по аналитическому решению исследуемой задачи.

К точным методам, конечно, следует отнести метод Фурье, последовательно использованный Гринбергом ([26]) при решении задач магнито- и электродинамики для составных сред. Метод задачи Римана-Гильберта нашел наиболее полное отражение в монографии Шестопалова [118], в которой получены строгие решения ряда задач теории дифракции и приведена подробная библиография работ, посвященных этому направлению. В работах Сильвестрова [104]—[107] метод приведения к задаче Римана позволил найти точные решения задач теории упругости для многолистных поверхностей с разрезами.

Применение аппарата краевых задач теории аналитических функций к задачам фильтрации в неоднородных средах было начато Полубариновой-Кочиной [101] и ее учениками [18], [102], которые рассмотрели схемы течения под флютбетом в слоистом грунте, течения в пласте с круговыми и эллиптическими включениями и среди прочего дали обобщение теоремы об окружности Милна-Томсона ([74], с. 153) на случай произвольного комплексного потенциала, возмущенного внесением в бесконечную плоскую однородную среду инородного

кругового включения.

Бмец, рассматривая задачи формирования электрических полей в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах, насколько нам известно, первым предложил метод ([32], с.53) сведения задачи (1), (2) к эквивалентной задаче Маркушевича (ее еще называют обобщенной задачей Римана, а также задачей М-линейного сопряжения). Используя хорошо разработанный аппарат краевых задач для аналитических функций ([15], [78], [115]), Емец получил решение некоторых полевых задач, а затем вычислил эффективные характеристики соответствующих регулярных гетерогенных структур ([33]). Наши исследования наиболее тесно примыкают к только что указанным. Более того, как хорошо видно из приведенной в конце диссертации библиографии, первые работы по теории гетерогенных сред были выполнены автором совместно с Ю.П.Емецом ([34]—[36], [38]—[43]), которому помимо постановки задачи в этих работах принадлежит и вся их физическая часть.

Особое место среди исследований по теории гетерогенных сред занимает группа работ, в которых изучаются эффективные свойства регулярных двумерных двухфазных структур. Так, Келлером в [134] было доказано, что для двоякопериодической системы симметричных включений, оси симметрии которых параллельны образующим прямоугольной решетки периодов, имеет место равенство

aef(au0)o-yef(cO:(J2) = <7\02I

которое затем он обобщил ([135]) следующим образом:

0"е/(я"Ъ 0-2)^/(^2, 0-1 ) = 01СГ2, (4)

где crf^cr!, а2) (сг^(сг2, <Ji)) - эффективная проводимость среды в направлении оси х (у) при условии, что оси координат параллельны осям симметрии среды, о\ (02) - проводимость матрицы, a a<i (cri) - проводимость материала включений. Мендельсон ([139]) обобщил результат Келлера на случай произвольных плоских двухфазных систем с ортогональными главными осями.

Дыхне в своей широко цитируемой работе [29] изучал проблему распределения электрических полей в тонких двухфазных пленках. Он установил, что эффективная проводимость aef регулярной плоской

двухфазной среды, различные фазы 51,52 которой находятся в „статистически эквивалентных" условиях, равна геометрическому среднему проводимостей о\, <72 компонент ее составляющих. Под ае1- Дыхне понимал отношение осредненных по площади элементарной ячейки (по прямоугольнику периодов) значений векторов плотности тока и напряженности электрического поля. Вообще говоря, в [29] получено гораздо более общее равенство:

<тef(c)aef(l - с) = 0-1СГ2, (5)

где с - концентрация первой фазы 51- Там же было сделано утверждение о равенстве диссипации энергии в разнородных компонентах среды в случае с = 1/2 при произвольном направлении внешнего тока и получено еще несколько замечательных соотношений, на которых мы здесь не останавливаемся. Формулы (4), (5) и, как частный случай последней, формула о геометрическом среднем являлись до недавнего времени по сути единственными точными аналитическими формулами для эффективной проводимости составной среды.

Дыхне для вывода своих соотношений применил метод перехода к , ,взаимной" системе, т.е. к системе отличающейся от исходной лишь заменой ст 1 4—— ¿72. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах Балагурова [3], [4] и Шульгассера [148]. Позже Емец [37], исследуя с помощью метода симметрии квадратное шахматное поле, подтвердил формулу (4), но подверг сомнению вывод работы [29] относительно равенства диссипации энергии в различных фазах такого поля.

Перейдем теперь к краткому описанию содержания диссертации.

В первой главе рассматривается плоская двухфазная среда, представляющая из себя бесконечную однородную матрицу 51 с инородным включением 5г, ограниченным одной из кривых второго порядка. Решение соответствующей краевой задачи в случае одного эллиптического (в частности, кругового) включения хорошо известно [108], [143], [45], [150], [48], [30], [32]. Особо отметим работу [17], в которой наряду с эллиптическим рассматривались случаи параболического и гиперболического включений, причем в довольно общей ситуации - при произвольно заданной главной части искомого комплексного потенциала. Во всех трех случаях в [17] применялась единая схема исследования - переходом к дублю исходная задача переносилась на соответству-

ющую двулистную риманову поверхность. Последующее конформное отображение полученной римановой поверхности на плоскость позволило авторам свести исходную задачу к задаче для полосы (парабола); для концентрического кольца (эллипс); для системы периодических полос (гипербола). Затем, используя известные решения последних задач ([66]), решения исходных проблем выписывались в виде бесконечных рядов. В настоящей работе решение всех трех задач, а также тесно примыкающей к ним задачи о „клине" (случай, когда кривая второго порядка распадается на пару пересекающихся прямых) получено в замкнутой форме и выражено через элементарные функции [96]. Для эллиптического и параболического включений (§1,§2) единственность решения соответствующей задачи сопряжения обеспечивалась заданием значения искомой функции на бесконечности (в случае параболы, естественно, задавалось предельное значение при 2 —»■ оо либо из 51, либо из 5г). Интересно отметить, что при такой постановке задачи хорошо известный факт постоянства поля внутри эллиптического включения оказался справедливым и для параболического включения. В первом параграфе в качестве примера, иллюстрирующего применяемый нами метод, приведено чрезвычайно простое, краткое и в то же время полное доказательство обобщенной „теоремы об окружности" ([74], с.159; [102], с.17).

В тесно же примыкающих друг к другу случаях гиперболического включения и „клина" (§3,§4) обнаружился интересный, но пока непонятный с физической точки зрения факт: у задачи (1), (2) оказалось, вообще говоря, три ! линейно независимых решения в классе функций, имеющих интегрируемые особенности в угловых точках контура. Заметим, что подобное расширение класса искомых функций в параболическом случае не выводило за рамки класса функций, ограниченных на бесконечности.

Вторая глава посвящена изучению многофазных структур (в основном трехфазных). В первом параграфе этой главы рассматривается концентрическая кольцевая п + 1-фазная гетерогенная среда, начиная с хорошо изученной трехфазной структуры ([127], [32], [34]). В работе [66] был изучен и общий случай произвольного конечного п. Соответствующее решение в терминах комплексного потенциала для поступательного потока, т.е. потока порожденного невозмущенным потенци-

алом Удг, было получено в каждом из концентрических колец в виде линейной комбинации А^х — Вь/г. Коэффициенты УЦ, Вк в [66] выписаны с помощью некоторых рекуррентных соотношений. Довольно сложный вид этих последних соотношений не позволил Костицыной найти явные выражения искомых параметров. Нами для этой задачи приведено новое полное решение (в терминах скорости), при этом для коэффициентов УЦ, В& получены замкнутые формулы [34], [95].

Затем приводится всеобъемлющее исследование задачи о двух круговых включениях, расположенных вне (§2) или асимметричным образом внутри (§3) друг друга. Рассматриваются случаи внутреннего и внешнего касания включений и случай вырождения одного из кругов в полуплоскость. Для всех таких структур решение получено в виде бесконечных рядов, для каждого из которых исследован вопрос о скорости его сходимости и найдена оценка остаточного члена. В некоторых случаях, когда проводимость (сопротивление) круговых включений достигает своих предельных значений (0, оо) соответствующие ряды удается просуммировать и таким образом выразить решение через элементарные функции. Различные частные случаи последних задач изучались в работах [128], [122] [149], [126], [34], [35], [36], [39], [41], [42], [43]. В статьях [71], [120], [133] было получено обобщение теоремы об окружности ([74]) на случай двух круговых включений. В первой из этих работ методом функциональных уравнений рассматривалась задача о двух круговых включениях с источником в одном из них. В двух других задавался произвольный комплексный потенциал. Результаты работы [120], с некоторыми оговорками, верны лишь в предельных случаях идеально проводящих, или непроницаемых включений, так как именно в этих случаях работает использованный в [120] метод конформных отображений. Следует сказать здесь также о работах Го Лузина [19], [20], в которых рассматривались задачи типа (1), (2) для областей, ограниченных произвольным конечным числом не пересекающихся окружностей, расположенных внешним по отношению друг к другу образом. Голузин предложил метод, позволяющий свести исследуемую краевую задачу к системе функциональных уравнений, применяя к которой метод последовательных приближений, он получил решение в виде бесконечного абсолютно сходящегося ряда. Идеи и методика Голузина были развиты и обобщены в работах Митюшова

[75], [140], [141] на случай произвольного числа граничных окружностей, произвольным образом расположенных относительно друг друга (исключается лишь возможность их пересечения).

В §4 изучается трехкомпонентная структура, представляющая из себя всю плоскость, разбитую на три однородные части вещественной осью и положительной частью мнимой полуоси. Эта задача является частным случаем рассмотренной в монографии Гринберга [26] и работе Чилапа [116], где изучалась общая проблема секториально-го распределения проводящих сред. В частности, для указанной выше трехкомпонентной среды, Гринбергу удалось получить точное решение задачи о потенциале, создаваемом на границе раздела диэлектрических компонентов среды статическими зарядами ([26], с.303). Этот результат и исследования работы [138] использовались для оценки поведения решения в окрестности угловой точки в [119], с.68, [151], [14], [9]. В упомянутых выше исследованиях характер поведения решения на бесконечности авторов не интересовал и он никак не оговаривался. В [116] решение секториальной задачи в классе функций, имеющих конечное число заданных логарифмических особенностей, сведено к системе интегральных уравнений Фредгольма. Точное решение последней получено операционным методом в двух частных случаях: для двухфазной системы (задача о прямоугольном „клине") и четырехфазной, когда все сектора имеют одинаковый раствор равный тт/2. В работе Жоровиной [45] решение задачи о „веере" с „лепестками" - секторами

раствора а^ — 2pj^J:/qj рационально кратного 2п сведено к проблеме представления в жордановой форме матрицы порядка 2п, где п - наименьшее общее кратное знаменателей qj. В нашем случае, если применить методику работы [45], порядок соответствующей матрицы будет равен 8 и возможность ее приведения к нормальному виду более чем проблематична. Методика, используемая нами ([89], [93]), позволила привести исследуемую задачу к легко решаемой двумерной краевой задаче Римана с кусочно-постоянным матричным коэффициентом, имеющим на вещественной оси лишь две точки разрыва.

Линия раздела разнородных компонентов трехфазной среды, изученной в §5 второй главы ([94], [97]), состоит из вещественной оси и верхней полуокружности единичного радиуса с центром в начале координат. В качестве вырожденных случаев, когда сопротивления (прово-

димости) двух из трех компонентов среды совпадают между собой, на базе полученного в явном виде решения исходной трехфазной задачи получаются решения двухфазных задач: задачи о полукруговой выемке и задачи о полукруговом включении. Последняя из указанных является, по-видимому, первым и пока единственным примером разрешимой в замкнутой форме задачи плоской теории двухфазных гетерогенных сред с одним компактным включением, граница которого имеет угловые точки. В предельных случаях, когда проводимость одной из компонент первой из вырожденных сред обращается в ноль, получаются известные решения задач обтекания полукруговых выемки или выступа ([74], с.171).

В трех следующих главах изучаются двухкомпонентные двоякопе-риодические гетерогенные структуры: прямоугольное шахматное поле (глава 3); двоякопериодическая система прямоугольных включений, стороны которых параллельны и в два раза меньше соответствующих сторон прямоугольника периодов (глава 4); правильное треугольное шахматное поле (глава 5).

Плоские периодические структуры ввиду их относительной простоты привлекали пристальное внимание как математиков, так и физиков начиная с конца прошлого, начала нынешнего века ([144], [137]). Однако до недавнего времени не удавалось получить решение ни для одной периодической структуры в замкнутой аналитической форме. Насколько нам известно, впервые замкнутое решение полевой задачи для квадратного шахматного поля в скалярном случае [р = р £ Ж) было получено в работе Емеца [31], а затем в статье Бердичевского [8]. Некоторые неточности и недостатки (к последним можно отнести отсутствие доказательства теоремы единственности) указанных работ были устранены в [38], [40]. В наиболее общем виде произвольное прямоугольное шахматное поле как для скалярного, так и для тензорного коэффициента (3) было изучено нами в работе [92].

В третьей главе изложение опирается на результаты работ [84], [91], [92] и проводится по следующей схеме. В §1 уточняется постановка задачи (1), (2) - внешнее поле фиксируется заданием осредненных значений нормальных составляющих искомого вектора у) на паре смежных сторон границы одной из фаз, составляющих элементарную

ячейку. Далее (§2) рассматривается скалярный случай, для которого строго обосновывается четность искомого решения (в работах [31], [8] четность постулировалась исходя из физической „очевидности") и доказывается тождество

у1(г) + 62^Щ2 = С, 2 6 81,

нелинейным образом связывающее значения V(х,у) в точках симметричных относительно границ контакта разнородных фаз среды. Здесь 5 - константа, зависящая лишь от физических свойств среды, а постоянная С, вообще говоря, своя для каждого фиксированного решения задачи (1), (2). При С = 0 выписанное тождество распадается на два линейных и после соответствующего конформного отображения задача (1), (2) сводится относительно V! к двум независимым задачам Гильберта для полуплоскости. Таким образом, удается построить два частных линейно независимых решения задачи (1), (2), а затем доказать (теорема 3.1), что их линейная комбинация с произвольными вещественными коэффициентами с\, дает общее решение. Наконец, показывается (теорема 3.2), что с помощью наложенных на искомое решение дополнительных условий, фиксирующих внешнее поле, константы С1, с2 определяются единственным образом. В §3 с помощью модифицированной теоремы о двухфазных структурах (см. ниже) полученный в предыдущем параграфе результат обобщается на случай тензорного коэффициента (3). Из рассмотренных в §4 этой главы задач наибольший интерес, как нам кажется, представляют, во-первых, предельный вещественный случай, когда р\ = оо и, во-вторых, случай вырождения шахматного поля в периодическую слоистую среду со сдвигом. В первом случае предельный переход привел к решению, имеющему во всех угловых точках фазы ¿>2 полюса первого порядка. Это в точности соответствует классической задаче подземной гидромеханики о течении, индуцированном системой двоякопериодических источников - стоков. Эта аналогия была установлена в работах [55], [62]. В частности, было найдено КПД и эффективные проводимости сеток скважин Маскета. С помощью точного решения задачи М-линейного сопряжения для слоистой среды со сдвигом были найдены ([64]) такие характеристики как сетки движения, характеристики кинематической дисперсии, дрейф меченых частиц в циклопериодических движениях.

В заключительном пятом параграфе главы получены явные зависимости функционалов эффективного сопротивления (проводимости) и диссипации от трех основных параметров прямоугольного шахматного поля: одного геометрического - отношения сторон прямоугольника периодов и двух физических - отношения сопротивлений фаз и направления вектора внешнего поля. Из полученных формул в частности следует, что для квадратного шахматного поля справедлива формула Дыхне (5) для эффективной проводимости и имеет место равенство энергий, диссипируемых в разнородных компонентах среды при произвольном направлении внешнего поля. Последнее опровергает упомянутое выше предположение работы [37]. В то же время в случае собственно прямоугольного шахматного поля равенство диссипируе-мой энергии в различных фазах среды достигается лишь для двух, симметричных относительно осей симметрии структуры, направлений внешнего поля. Эти направления явным образом определяются по соотношениям геометрических и физических характеристик среды. Интересно отметить, что той же самой ориентации внешнего поля (она отлична от диагональной) соответствуют решения полевой задачи, имеющие степенные особенности в одной паре и обращающиеся в ноль в другой паре диагонально противоположных вершин каждой из двух фаз элементарной ячейки.

Исследование двоякопериодической системы прямоугольных включений в главе 4 проводится в целом по схеме, использованной ранее для шахматного поля ([83], [85], [86], [88]). Здесь так же как и в предыдущем случае определяющим фактором, позволившим получить решение в явном виде (§2,§3), оказалась доказанная нами четность произвольного решения соответствующей задачи (1), (2). Из рассмотренных в §4 частных случаев отметим периодическую систему полуполос, в которую вырождается исходная среда, если одну из двух пар параллельных сторон прямоугольных включений устремить к бесконечности. Соответствующее решение использовалось ([56]) для определения характеристик теплоотдачи с оребренных охлаждающих поверхностей. В §5 произведен расчет эффективных параметров среды как в скалярном, так и в тензорном случаях (3), а в следующем параграфе произведен совместный анализ найденных осредненных характеристик для шахматного поля и среды с прямоугольными включениями ([98], [99],

[100]). В частности, здесь показано, что в скалярном случае для обеих сред эффективное сопротивление и диссипация достигают своих максимума и минимума, если внешнее поле ориентировано соответственно вдоль коротких и длинных сторон прямоугольной решетки периодов. Здесь же строго доказано, что годограф эффективной проводимости как шахматного поля, так и системы прямоугольных включений является эллипсом, когда вектор внешнего поля делает один полный оборот. Это, таким образом, первые строго обоснованные примеры, подтверждающие широко распространенную ([121], [ЮЗ]) в теории гетерогенных сред аппроксимацию проводящих свойств континуумов так называемым эллипсом проводимости.

Завершает главу параграф, в котором результаты §5 применяются к вычислению эффективного сопротивления предфрактала n-го поколения для среды типа ковра Серпинского ([109], с.ЗЗ).

Результаты этой главы позволили определить ([53]) выходные концентрационные кривые нейтрального трассера, времена движения меченых частиц вдоль характерных линий тока и другие кинематические характеристики среды с прямоугольными включениями.

Центральное место в предварительном исследовании свойств искомого решения задачи (1), (2) для правильного треугольного шахматного поля, рассматриваемой в последней главе работы ([87], [90]), занимает утверждение, о том, что любое решение такой задачи должно удовлетворять тождеству

■ф) = e-i7r/3<ei27r/32) + е^ф-127^).

С помощью этого тождества удается свести задачу (1), (2) в двух частных случаях, соответствующих внешнему полю, направленному вдоль осей симметрии среды, к двумерной задаче Римана с кусочно- постоянным матричным коэффициентом, имеющим три точки разрыва. Решение последней задачи, вообще говоря, известно [111], [112], однако, неточность, допущенная Хвощинской в самом начале исследования, не позволила использовать полученные ею итоговые формулы. Поэтому нам пришлось, следуя методологии указанных работ, провести практически весь счет заново, чтобы получить решение задачи Римана и тем самым два линейно независимых частных решения исходной задачи. Дальнейшее исследование представляло уже чисто технические

трудности и было успешно завершено в §§3,4. В последнем параграфе заключительной главы, проведя трудоемкие и нетривиальные вычисления, нам удалось получить явные аналитические выражения для функционалов эффективного сопротивления и диссипации. Результат оказался полностью совпадающим с тем, что был получен ранее для квадратного шахматного поля. В качестве иллюстрирующего примера здесь же вычислено эффективное сопротивление предфрактала tito поколения для бесконечной среды, образованной соответствующими предфракталами салфетки Серпинского ([109], с.33).

Ниже приводится ряд утверждений и формул, которые затем будут использоваться во всех последующих исследованиях.

Приведение задачи (1), (2) к задаче R—линейного сопряжения и некоторые общие замечания

В дальнейшем физическая плоскость (ж, у) будет интерпретироваться как плоскость комплексного переменного z = х + i у, а вектор v как комплекснозначная функция v(z) = vx -f i vy комплексного аргумента z = x + i у. Тензор (3) в этом случае можно отождествить с комплексным числом

Рр = PPÍ1 -ipp)- (6)

Справедливо следующее утверждение ([33]): проблема (1), (2) эквивалентна задаче К.-линейного сопряжения.

-4 В самом деле, введем комплексно сопряженную с v(z) функцию v(z) = vp(z) = VpX(x,y)-iVpy(x,y), z е Sp:p = l,m. В силу условий (1) функция v(z) голоморфна в каждом из компонентов Sp и непрерывна в их замыкании всюду за исключением разве лишь угловых точек Т, где у нее допускается наличие интегрируемых особенностей.

Далее, пусть £ = \jCpq, где объединение берется по всем тем p,q, для которых Cpq = dSp П dSq \ T ф 0. Через t(s) = tpq{s) £ Cpq обозначим функцию точки контура С от натурального параметра s. Ясно, что на каждом связном гладком компоненте Сщ функция t(s) непрерывно дифференцируема и ее производная t'(s) = exp(i ce(s)) совпадает с единичным вектором касательной к этому компоненту в точке t = t(s) («(s) - угол, который касательная к дуге Cpq в точке t образует с вещественной осью). С учетом сказанного и в соответствии с Рис.1

граничные условия (2) можно переписать следующим образом:

1т [¿'(5К(£)3 = 1т К<е РМА^Д*)] = Ие [¿'(¿ОД^)].

Отсюда с помощью элементарных равенств: Кег = [г + г)/2, 1т г (г — г)/(21), придем к краевому условию:

ур(г) = АрдЬдф - Врч[1\з)]-\{1), ¿ е Ст, (7)

где в общем случае

л _ РР + Рд _ • РтА - РдРд я _ РР ~ Рд _ • РрРр ~ Р'А /м 2Рр 2 Рр ' 2Рр 2Рр ™

в частности,

А _ Яр + Рд д _ РР - Рд (0.л

2 Рр ' 2/у ' 1 ^

если сопротивление (6) вещественно (рр — рр > 0). Заметим, что для определенности можно считать, что в (7) индексы р, <7 упорядочены, т.е. либо р < д, либо р > ц для Ур, д = 1,га, так как одновременная замена в (7) р д и д ч р приводит к эквивалентному краевому условию. В последнем легко убедиться, если учесть вытекающие из определения (8) соотношения

Апр — Ард, В а р — Врд. (Ю)

Рд Рд

Таким образом, действительно пришли к краевой задаче, которая является частным случаем задачи К-линейного сопряжения (ее еще называют обобщенной задачей Римана, или задачей Маркушевича):

Ф+(*) = С?1(*)ф-(*) + G2(t)ф-(£) + git), t G С. (11)

Здесь и g{t) - заданные функции точки ориентированного кон-

тура а Ф±(t) - соответственно левое и правое предельное значение на С искомой кусочно-голоморфной вне С функции Ф(г).

Элементарно показывается, что и наоборот, каждое кусочно-голоморфное решение задачи (7) с коэффициентами вида (8) определяет функцию v(z) — v(z), удовлетворяющую условиям (1), (2). Тем самым высказанное утверждение доказано. ►

Краевая задача (11) впервые была сформулирована Маркушевичем [73], а первые результаты об условиях ее разрешимости были получены в работах Векуа [11], [12] и Боярского [10]. Качественная теория задачи (11) наиболее полно построена в эллиптическом (|С1(£)| > |Сг(^)|) и параболическом (|(?1(£)| = |С2(£)|) случаях, т.е. как раз в тех, которые, ввиду неотрицательности рр, только и могут быть реализованы для задачи (7) с коэффициентами (8). Соответствующие результаты и их достаточно подробная библиография приведены в монографиях Литвинчука [69] и Михайлова [76]. В последней из них в частности доказано ([76], теорема 4.1.2), что:

если С состоит из конечного числа простых замкнутых дуг Ляпунова, ограничивающих многосвязную область 5+ = С \ коэффициент С2^) ограничен и измерим на С, а коэффициент непрерывен и

1п¿свгф < 0,

то в эллиптическом случае однородная задача (9) (д(£) = 0^) имеет лишь тривиальное исчезающее на бесконечности решение.

С помощью этого результата легко доказывается следующее утверждение

Теорема 1 (теорема единственности). Если С состоит из конечного числа простых замкнутых дуг Ляпунова См, то задача (5) с произвольными комплексными коэффициентами Ард, Вп, удовлетворяющими условию \Ард\ > \Врч\, имеет единственное решение в классе функций, принимающих заданное значение на бесконечности

у(оо) = Ух-1Уу = Уо. (12)

■4 Предполагая противное, рассмотрим разность любых двух решений рассматриваемой задачи. Ясно, что эта разность удовлетворяет тому же краевому условию (7) и исчезает на бесконечности. В силу ограничений теоремы коэффициенты краевого условия (7) удовлетворяют условию 1^1 > \Врд[1'(з)]-2\ = \Вря\. Следовательно, наша задача является по терминологии Михайлова эллиптической с нулевым индексом. Утверждение теоремы является теперь прямым следствием приведенного выше результата. ►

При менее жестких ограничениях на контур С даже качественное исследование задачи (7) становится затруднительным, не говоря уже о

конструктивном построении ее решения. В настоящее время не известно каких либо эффективных общих методов построения решения задачи (11) в явном виде. Исключение составляет лишь исследованный в работах Ламбина [67] и Чибриковой, Салехова [113], [114] случай, когда С есть алгебраическая кривая. Авторы последних работ распространили метод симметрии, предложенный в [101], с.360 для единичной окружности, на случай произвольной алгебраической кривой. Следует сказать, что непосредственное применение метода симметрии позволяет свести задачу (11) к некоторой эквивалентной многомерной задаче Римана. Естественно возникает вопрос о факторизации ее матричного коэффициента. Последняя проблема, как известно, очень сложна и в общем случае в квадратурах не решается.

Приведем полезное для дальнейших исследований утверждение.

Теорема 2 (теорема о двухфазных структурах). Пусть оо £ и

1,(г) = ! М^АВ.Уо), 2£5Ь 1 > \ гф;ДВ,У0), г£52)

решение двухфазной задачи (7), (12) с произвольными вещественными коэффициентами А = Ап, В = удовлетворяющими лишь условию эллиптичности - \А\ > \В\, в частности с коэффициентами вида (9). Решением задачи (7), (12) с произвольными комплексными коэффициентами А, В при сохранении условия \А\ > \В\ будет

v(z) = v{z■\A\^B\,Vl>|^AB)x{^^ (13) ■4 Утверждение теоремы вытекает из того факта, что замена

Г т/АВЪ(г), г е 5ь

(2) = { лШад, г € 52, (И)

V

приводит относительно новой неизвестной кусочно-голоморфной функции У(г) = {14(2;), 2 £ 51; 1^2(2;), 2; 6 й^} к задаче (7) с вещественными коэффициентами |А|, \ В\ и дополнительным-условием (12), где Уо надо заменить на Уо¡у АВ. ►

Замечание 1. Теорема 2 доказана в предположении, что в краевом условии (7) индексы р ид принимают значения 1 и 2 соответственно.

Если рассматривать эквивалентное краевое условие при р = 2, д = 1, то теорема, естественно, остается в силе, необходимо лишь поменять местами множители у/Хв, \Гав в правой части формулы (13).

Замечание 2. Подчеркнем, что в конкретных прикладных вопросах решение задачи (7) представляет интерес лишь в случае, когда ее коэффициенты имеют вид (8), в частности (9). Однако, для того, чтобы иметь возможность применять доказанную выше Теорему 2, необходимо знать ее решение с произвольными вещественными коэффициентами в эллиптическом случае. Именно поэтому почти всюду в дальнейшем задача (7) для двухфазных структур будет сначала исследоваться в предположении, что ее вещественные коэффициенты удовлетворяют лишь одному ограничению \Ап\ > \ВМ\. Для всех рассмотренных структур затем выписывается решение в частном случае, когда коэффициенты Ам, ВРЧ имеют вид (9).

Для многофазных сред (т > 3) нам не известен какой-либо достаточно простой алгоритм, позволяющий получать решение задачи (7) с комплексными коэффициентами на базе известного решения этой задачи с вещественными коэффициентами.

В дальнейшем наряду с граничным условием (7) в случае вещественных коэффициентов (9) иногда будет использоваться его следующая эквивалентная форма:

(1 + А„)ур(г) = - А^'-^з£ е (15)

где

д = _д /16ч

¿Лрд - ¿Лдр- - 110У

^РЧ Рр ' Р'1

есть величина относительного сопротивления. Из определений (9), (16) вытекают равенства

= Ви = ГТд^' • (17)

В комплексном случае (8) относительное сопротивление вводится следующим образом:

Ли = (18)

Заметим, что в силу (10), (18)

Заключая введение, оговорим порядок ссылок в работе: ссылки на формулы введения имеют вид (т), где т - номер формулы введения; для ссылок на формулы внутри каждой главы принято обозначение (т.п), где тип- соответственно номер параграфа текущей главы и порядковый номер формулы в этом параграфе; наконец, ссылка вида (т.п.р) означает ссылку на формулу (п.р) в главе т. Для теорем и рисунков принята сквозная двойная нумерация (Терема т.п, Рис.т.п) в каждой главе, при этом т - номер главы, а п - порядковый номер. Ссылки на теоремы введения имеют простую нумерацию (Теорема 1, Теорема 2).

Выше в этом введении и всюду далее символ Ч будет обозначать начало доказательства утверждения, а ► его завершение. Отметим также, что в промежуточных выкладках часто для коэффициентов краевого условия (7) будут использоваться некоторые сокращенные обозначения. Однако все итоговые теоремы будут затем формулироваться в стандартных обозначениях (8), (9).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Обносов, Юрий Викторович, 1998 год

Библиография

3

4

6

Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 830 с.

Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992. 541 с.

Балагуров Б.Я. О проводимости двумерных систем с макроскопическими неоднородностями// ЖЭТФ. 1980. 79. вып.4. С.1561 -1572.

Балагуров Б.Я. Соотношения взаимности в двумерной теории протекания//ЖЭТФ. 1981. 81. вып.2. С.665- 671.

Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984. 352 с.

Бейтмен Г. ,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. 2-е изд. М.: Наука. 1973. 294 с.

Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. 1983. 447 с.

Бердичевский B.JI. Термопроводность шахматных структур// Вестн. Моск.Ун-та, Мат., Мех. 1985. 40. №4. 56-63.

Бобровников М.С., Замарева O.P. Характер сингулярности поля на ребре диэлектрического клина// Изв.вуз.Сер.Физика. 1973. 16. №9. С.50-53.

Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта// Сообщ. АН Груз С СР. 1960. 25. №4. С.385-390.

1

2

5

и 12

13

14

15

16

17

18 19

20

21 22

Векуа Н.П. Об одной задаче теории функций комплексного переменного// ДАН СССР. 1952. 36. №3. С.457-460.

Векуа Н.П. Об одной задаче линейного сопряжения для нескольких неизвестных функций// Тр. Тбил. ун-та. 1955. 56. С.75-80.

Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. 2-е изд. М.: Наука. 1970. 379 с.

Веселов Г.Н., Платонов Н.И. Определение поля в окрестности ребер диэлектрического стержня с подложкой// Изв. вуз. Сер. Радиоэлектр. 1985. 28. №2. С.92-94.

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

Голубева О.В. Обобщение теоремы об окружности на фильтрационные течения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №1. С.113-116.

Голубева О.В., Шпилевой А.Я. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка// Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №2. С..174-179.

Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высш. школа. 1972. 342 с.

Голузин Г.М. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения Laplace'a и многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений)// Мат. сб. 1934. 41. №2. С.246-276.

Голузин Г.М. Решение плоской задачи теплопроводности для многосвязных областей, ограниченных окружностями, в случае наличия изолирующего слоя// Мат. сб. 1935. 42. №2. С.191-198.

Городжа JI.B., Емец Ю.П. Предельная проводимость двумерных систем в магнитном поле. III// ЖТФ. 1982. 52. №8. С.1514-1519.

Городжа Д.В., Обносов Ю.В., Стрилько С.И. Расчет сопротивления многоугольных двухэлектродных систем// Техн. электродинамика. АН Укр. 1990. №6. С.22-26.

[23] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: ГИФМЛ. 1962. 1100 с.

[24] Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. М.: Наука. 1992. 287 с.

[25] Григориади А.К., Емец Ю.П. Об электрических полях в анизотропно проводящей плазме с неоднородными включениями// Теплофизика высоких температур. 1974. 12. №5. С.1108 -1111.

[26] Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.М.;Л.: Изд-во АН СССР. 1948. 728 с.

[27] Гришин М.М., Слисский С.М., Антипов А.И. и др. Гидротехнические сооружения. ч.1. М.: Высш. школа. 1979. 615 с.

[28] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука. 1968. 648 с.

[29] Дыхне A.M. Проводимость двумерных двухфазных систем// ЖЭТФ. 1970. 59. С.110-115.

[30] Емец Ю.П. О проводимости среды с неоднородными включениями в магнитном поле// ЖТФ. 1974. 44. №5. С.916-921.

[31] Емец Ю.П. Электрическое поле проводящей среды с двоякопе-риодическими неоднородностями в магнитном поле//Докл. АН УкрССР. Сер. А. 1980. №11. С.82-85.

[32] Емец Ю.П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой. Киев: Наук.думка. 1986. 190 с.

[33] Емец Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наук.думка. 1987. 254 с.

[34] Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Электрическое поле в слоистом круговом включении с эффектом Холла// Техн. электродинамика. АН Укр. 1987. №3. С.3-8.

[35] Емец К).П., Обносов Ю.В. Взаимное влияние неоднородных включений в полевых задачах дисперсных сред // Докл. АН Укр-ССР. Сер.А. 1988. №2. С.74-78.

[36] Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Краевая задача для слоистого неконцентрического кругового включения при анизотропной проводимости среды// Техн. электродинамика. АН Укр. 1988. №1. С.3-7.

[37] Емец Ю.П. Преобразования симметрии двухмерной двухкомпо-нентной электропроводной системы// ЖЭТФ. 1989. 95. С.701-711.

[38] Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Точное решение задачи о формировании тока в двоякопериодической гетерогенной системе// Докл. АН СССР. 1989. 309. №3. С.319-322.

[39] Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Точно разрешимая задача о взаимном влиянии включений в теории гетерогенных сред// ПМТФ. 1990. №1. С.21-29.

[40] Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Компактный аналог гетерогенной системы со структурой шахматного поля// ЖТФ. 1990. 60. В.8. С. 59-66.

[41] Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Онофрийчук Ю.П. Электрические силы на поверхности раздела диэлектрических сред при наличии цилиндрического кругового включения//ПМТФ 1993. 34. №4.

I С.14-24.

[42] Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Онофрийчук Ю.П. Взаимодействие между касающимися круговыми диэлектрическими цилиндрами в однородном электрическом поле//ЖТФ. 1993. 63. №12. С.12-24.

[43] Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Онофрийчук Ю.П. Электрические силы в диэлектрическом двухслойном цилиндре с неконцентрическим расположением слоев// ПМТФ. 1996. 37. №1. С.З - 14'.

[44] Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физ.-мат. лит. 1993. 464 с.

[45] Жоровина Т.Н. Исследование некоторых задач сопряжения на римановых поверхностях методом симметрии. Минск: Канд. дис-серт. 1986. 139 с.

[46] Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова Ю.В. Численное решение двумерных динамических задач наследственной теории вязкоуп-ругости//Механика композитных материалов. 1989. №3. С.419-424.

[47] Иванов В.Д., Петров И.Б. Моделирование деформаций и разрушений в мишенях под действием лазерного излучения// Тр. ИОФ АН России „Физические процессы в облочечных конических мишенях". М: Наука. 1992. 36. С.247-266.

[48] Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука. 1987. 487 с.

[49] Касимов А.Р., Обносов Ю.В. Аналитическое решение задач оптимизации формы и режима стационарного теплообмена// Тр. Первой Российск. Нац. Конф. по Теплообену. М.: 1994. 8. С.91-96.

[50] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Minimization of ground water contamination by lining of a waste repository// Proc.Indian Nat.Sci.Acad. A. 1994. 60. №6. P.783-792.

[51] Kacimov A.R., Obnosov Yu. V. Analytical solutions and optimization for groundwater flows in structured porous media// Abstr. XIX General EGS Assembly. 1994. Annales Geophysicae.

[52] Касимов A.P., Обносов Ю.В. Точные решения задач тепло-массопереноса в гетерогенных средах и оптимизация экранирующих конструкций// Тезисы междунар. научн.-техн. конф. "Механика машиностроения -95". Набережные Челны. 1995. С.48-49.

[53] Касимов А.Р., Обносов Ю.В. Течение грунтовых вод в среде с периодическими включениями// Изв. РАН МЖГ. 1995. №5. С.139-148.

[54] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V., Yakimov N.D. Explicit solutions for advancing fronts in heterogeneous and fractal permeable continua// Abstr. XX General EGS Assembly. 1995. Annales Geophysicae.

[55] Касимов A.P., Обносов Ю.В. Точные значения величин эффективности сеток скважин Маскета// Докл. РАН. 1997. 353 С.195-197.

[56] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Explicit, rigorous solutions to 2-D heat transfer: Two-component media and optimization of cooling fins// Int.J. Heat and Mass Transfer. 1997 40. №5. P.1191-1196.

[57] Kacimov A.R., Obnosov Yu. V., Yakimov N.D. Explicit analytic solutions to problems in ground water flow// Proc. Conf. Analytic-based Modeling of Groundwater Flow. Netherlands Inst, of Applied Geoscience. TNO. 1997. 2. P.459-467.

[58] Kacimov A.R., Obnosov Yu. V., Yakimov N.D. Ground water flow and advective contaminant transport: shaping, piping, and heterogeneity// Saint-Venant Symposium Proceedings. Paris. 1997. P.113-118.

[59] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Passive tracers in heterogeneous aquifers// Abstr. XXII General EGS Assembly. 1997. Annales Geophysicae. Supplement II to 15. P.563.

[60] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Regional ground water flows: recharge, gravity, inhomogeneties, and interaction with reservoirs// Intern. Conf. Regionalization in Hydrology. FRG. Braunschweig. 1014.03.97. Ed. B.Diekkruger and O.Richter. P.117-120.

[61] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Steady temperature fields in 2D parquet-type media// Abstr. Interntl. Symposium Advances in Computational Heat Transfer. Cesme. Turkey. 26-30.05.97. Interntl. Centre for Heat and Mass Transfer. P.326-327.

[62] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Analytical solutions to problems of sink-sourse flows in porous media// Arab Gulf J. Scient. Res. 1997. 15(2). P.325-351.

[63] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Explicit solution to a problem of seepage in a checker-board massif// Transport in Porous Media. 1997. 28. №1. P.109-124.

[64] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V., Yakimov N.D. Analytic solutions to groundwater flow problems: heterogeneous media, optimization and estimations// J. of Hydrology. 1998 (принята к печати).

[65] Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Heat conduction in two-dimensional parquets and optimization of spine shape// Proc. Symposium on Advances in computational Heat Transfer CHT'97. Cesme. Turkey. 1997. (принята к печати).

[66] Костицмна Л.И. К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно-однородной сроеде// Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та. Тр. каф. теор. физ. 1966. 164. вып.6. С.67-82.

[67] Ламбин Н.В. Решение некоторых краевых задач по методу симметрии// ПММ. 1950. 14. Вып.6. С.611-618.

[68] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1987. 688 с.

[69] Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука. 1977. 448 с.

[70] Лобанов А.И., Петров И.Б. Численное решение совместной задачи о воздействии сжатой плазмы на электроды рельсотрона// Мат. моделирование. 1993. 5. №10. С.48-56.

[71] Лукомская М.А. Решение некоторых задач о притоке жидкости к скважинам// ПММ. 1947. 11. Вып.6. С.621-628.

[72] Лурье К.А., Черкаев А.В. Эффективные характеристики композиционных материалов и оптимальное проектирование элементов конструкций// Успехи механики. 1986. 9. №2. С.3-81.

[73] Маркушевич А.И. Об одной граничной задаче аналитических функций// Уч. зап. Моск. ун-та. 1946. 1. вып. 100. С.20-30.

[74] Милн-Томпсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир. 1964. 655 с.

[75] Митютев В. В. О решении общей краевой задачи линейного сопряжения для нескольких концентрических окружностей// Рукопись представлена ред. ж. „Весщ АН БССР". Деп. ВИНИТИ 29.04.83 рег. №2279-83 Деп.

[76] Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 1963. 183 с.

[77] Миттра Р.. Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир. 1974. 327 с.

[78] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 599 с.

[79] Обносов Ю.В. К решению линейной задачи Гильберта в одном особом случае//Изв. вузов. Математика. 1979. №9. С.29-40.

[80] Обносов Ю.В. Решение смешанной краевой задачи теории аналитических функций// Изв. вузов. Математика. 1981. №10. С.73-75.

[81] Обносов Ю.В. Решение смешанной краевой задачи теории аналитических функций//Тр. Семин, по краевым задачам. Казань. 1983. В.19. С.122-132.

[82] Обносов Ю.В. Решение задачи о "спутниках"// Тезисы XI Все-союзн. школы по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск. 1986. Ч.Ш. С.87.

[83] Обносов Ю.В. Решение одной задачи Маркушевича для двоя-копериодической квадратной решетки// Тезисы докл. Всесоюзн. научн. конф. Куйбышев. 1987. С.110-111.

[84] Обносов Ю.В. Решение одной задачи Маркушевича для прямоугольного шахматного поля// Тезисы докл. Северо-Кавказ. регион. конф.- Грозный. 1989. С.114-115.

[85] Обносов Ю.В. Об одной задаче Маркушевича для двоякопе-риодической системы прямоугольных контуров// Докл. ин-та прикл. мат. им. И.Н.Векуа. Тбилиси. 1990. 5. №1. С.149-152.

[86] Обносов Ю.В. Решение одной задачи Маркушевича в классе дво-якопериодических функций с ортогональными периодами//Докл. АН СССР. 1991. 319. №5. С.1125-1127.

[87] Обносов Ю.В. Решение одной задачи R-линейного сопряжения для правильного треугольного шахматного поля//Докл. РАН. 1992. 327. №3. С.326-330.

[88] Обносов Ю.В. Решение одной задачи Д-линейного сопряжения с кусочно-постоянными коэффициентами// Изв. вузов. Математика. 1992. №4. С.39-48.

[89] Обносов Ю.В. Решение одной задачи ß-линейного сопряжения для прямоугольной трехкомпонентной структуры // Тезисы междунар. научн. конф., посвящ. 100-летию со дня рожден. Н.Г.Чеботарева. Казань. 1994. 4.2. С.95-96.

[90] Обносов Ю.В. Замкнутое решение одной задачи .R-линейного сопряжения для правильного треугольного шахматного поля// Изв. вузов. Математика. 1994. №8. С.55-66.

[91] Обносов Ю.В. Вычисление некоторых эффективных параметров для прямоугольного шахматного поля// Тезисы докл. школы-конф. "Теория функций и ее приложения ". Казань. 1995. С.48-49.

[92] Obnosov Yu.V. Exact solution of a problem of R-linear conjugation for a rectangular checkerboard field//Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1996. 452. P.2423-2442.

[93] Обносов Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения теории композитов для одной трехкомпонентной среды// Изв. вузов. Математика 1996. №5. С.63-72.

[94] Обносов Ю.В. Решение одной трехкомпонентной краевой задачи itî-линейного сопряжения// Int. Conf. Boundary value problems, special functions and' fractional calculus. Minsk. Belarus. 1620.02.96. P.72-73.

[95] Обносов Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения для концентрической кольцевой конечнофазной структуры// Тр. Конф. „Алгебра и анализ" поев. 100-летию Б.М.Гагаева. МГУ-КГУ-НИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казань. 1997. С.161-162.

[96] Обносов Ю.В. Задача R-линейного сопряжения для одиночных включений, ограниченных кривыми второго порядка// Тр. Конф. „Алгебра и анализ" поев. 100-летию Б.М.Гагаева. МГУ-КГУ-НИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казань. 1997. С.162-164.

[97] Обносов Ю.В. Фильтрационная рефракция на полукруговой линзе, сопряженной с двумя пористыми массивами// ПММ. 1998 (принята к печати)

[98] Обносов Ю.В. Эффективные характеристики бесконечной матрицы с периодическими прямоуголными включениями// Доклады РАН (принята к печати)

[99] Obnosov Yu.V. Periodic heteroginous structures: explicit solutions and effective characteristics of refraction of an imposed field// SIAM Appl. Math, (принята к печати)

[100] Обносов Ю.В. Вычисление и анализ эффективных характеристик периодических гетерогенных структур// Тезисы докл. меж-дунар. конф. „Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования". Москва. 1998. С.150

[101] Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1977. 664 с.

[102] Радыгнн В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. 1983. 160 с.

[103] Ромм Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. М.: Недра. 1966. 283 с.

[104] Сильвесторов В.В. Напряженно-деформированное состояние многолистной поверхности с разрезами// ПММ. 1991. 55. Вып. 3. С.493-499.

105] Сильвесторов В.В. Напряженно-деформированное состояние многолистных пластинчатых конструкций// Мехеханика твердого тела. 1992. №2. С.124-135.

106 107

108

109

110

111

112

ИЗ

114

115

Сильвесторов В.В. Квазипериодическая контактная заадча для упругой полуплоскости// Прикл. мех. 1992. 28. №6. С.22-28.

Сильвесторов В.В. Кусочно-однородная упругая плоскость со счетным множеством закрытых трещин. ПММ. 1993. 57. Вып.2. С.133-140.

Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. M.;JI.: ОГИЗ. 1948. 539 с.

Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 260 с.

Фокин А.Г. Проводимость случайно-неоднородной среды// ЖЭТФ 1993. 104. вып.3(9). С.3170-3192.

Хвощинская Л.А. Однородная краевая задача Римана для двух пар функций с кусочно-постоянной матрицей в случае двух и трех особых точек// Препринт. №5157-81. М.:ИТМ. 1981.

Хвощинская Л.А. Решение одной обобщенной задачи Римана// Изв.вузов. Математика. 1985. №1. С.76-78.

Чибрикова Л.И., Салехов Л.Г. К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров// Уч. зап. КРУ „Тр. семинара по краев, задачам". 1968. Вып.5. С.224-249.

Чибрикова Л.И., Салехов Л.Г. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения// Изв. вузов. Математика. 1968. №9. С.94-105.

Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань. Изд-во КГУ. 1977. 302 с.

Чилап А.Я. Задача нахождения поля давления в некоторых кусочно-однородных пластах//Уч. зап. КГУ „Труды по теории фильтрации". 118. кн.2. 1958. С.234-251.

118

119

120 121 122

123

124

125

126

127

128

Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: Недра. 1985. 288 с.

Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков. Из-во Харьк. ун-та. 1971. 400 с.

Шнеерсон Г.А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. М.: Энергоатомиздат. 1992. 411 с.

Ярмицкий А.Г. Фильтрационная теорема о двух окружностях// Изв. АН СССР МЖГ. 1986. №4. С.76-82.

Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. New York: Elsevier. 1972. 764 p.

Budiansky В., Carrier G.F. High shear stress in stiff-fiber composites// Journal. Appl. Mech. 1984. 51. P.733-735.

Cedergren H.R. Seepage, Drainage and Flow Nets. N.Y. etc.: Wiley. 1977. 534 p.

Crank J. The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1975. 414 p.

Dagan G. Flow and Transport in Porous Formations. Springer. Berlin. 1989. 465 p.

Dhondt G., Kohl M. On the force between a dielectric cylinder ir^a constant electric field and a conducting half spac// Quart. Appl. Math. 1997. 55. №2. P.347-359.

Gheorghita §t.I. Metode matematice in hidrogasodinamica subterana. Bucure§ti: ed.Acad. RSR.1966. (In Romanian.)

Goree J.G., Wilson H.B. Transeverse shear loading in an elastic matrix containing two circular cyindrical inclusions. J.Appl. Mech. 1967. June. P.511-513.

Hashin Z. & Shtrikman S. A variational approach to the theory of effective magnetic permeability of multyphase materials// J. appl. Rhys. 1962. 33. P.3125—3131.

[130] Heggs P.G. Two-dimensional considerations of steady state heat flow through extended surface assemblies// ZAMM. 1996. Bd. 76. Suppl. 4. P. 381-384.

[131] Helsing J. Transport properties of two-dimensional tilings with corners// Phys.Rev. B. 1991. 44. P.11677-11682.

[132] Higging C.G. et a 1. Landform development// The Geology of North America. V. 0-2. Hydrogeology. Boulder: The Geol. Soc. of America. 1989. P.597.

[133] Honein E., Honein T., Herrmann G. On two circular inclusions in harmonic problems// Quart. Appl. Math. 1992. 50. №3. P.479-499.

[134] Keller J.B. Conductivity of a medium containing a dense array of perfectly conducting spheres or cylinders or nonconducting cylinders// Journal. Appl. Phys. 1963. 34. P.991-993.

[135] Keller J.B. A theorem on the conductivity of a composite medium// Journal. Math. Phys. 1964 5. P.548-549.

[136] Lurie K.A. & Cherkaev A.V. Optimization of properties of multicomponent isotropic composites// Journal. Opt. Theory Appl. 1985. 46. P.571-580.

[137] Maxwell J.C. A Treaties on Electricity and Magnetism, 3rd edn. Oxford University Press. 1904. 1. 440 p.

[138] Meixner J. The behaviour of electromagnetic fields at edges// IEEE Trans on Antennas a. Prop. 1972. Vol.AP-20. №7. P.442-446.

[139] Mendelson K.S. A theorem on the effective conductivity of a two-dimensional heterogeneous medium// Journal. Appl.Phys. 1975. 46. P.4740-4741.

[140] Mityushev V.V. Plane problem for the steady heat conduction of material with circular inclusions// Arch.Mech. 1993. 45. №2. P.211-215.

[141] Mityushev V.V. Transport properties of double-periodic arrays of circular cylinders// ZAMM • Z.angew.Math.Mech. 1997. 77. №2. P.115-120.

142] Nicorovici N.A., McPhedran R.G., Milton G.W. Transport properties of a three-phase composite material: the square array of coated cylinders// Proc. Roy. Soc. London. Ser A. 1993. 442. P.599-562.

143

144

145

146

147

148

149

150

151

Obdam A.N.V., Veiling E.J.M. Elliptical inhomogeneities in groundwater flow - an analitical description// Jornal. Hydrology. 1987. 95. P.87-96.

Lord Rayleigh On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of medium. Phil. Mag. 1892. 34. P.481-502.

Romero L.A. Low or high Peclet number flow past a sphere in a saturated porous medium// SIAM Journal. Appl. Math. 1994 54. №1. P. 42-71.

Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous Media and Vibration Theory. N. Y.: Springer-Verlag. 1980. 358 p.

Schinzinger R., Laura P.A.A. Conformal Mapping: Methods and Applications. N. Y.: Elsevier. 1991. 604 p.

Schulgasser K. A reciprocal theorem in two-dimensional heat transfer and its implications// Int.Comm. Heat Mass Transfer. 1992. 19. P.639-649.

Steif Paul S. Shear stress concentration between holes// J. Appl. Mech. 1989. 56. P.719-721.

Ungureanu E. Sur le mouvement des fluides dans les milieux poreux non homogenes// C. r. Acad. sci. 1969. A268. №3. P.181-183.

Van Bladel J. Field singularities at metalic- dielectric wedges // IEEE Trans on Antennas a. Prop. 1985. Vol. AP-33. N4. P.450-455.