Задача ®-линейного сопряжения в случае гиперболических линий раздела разнородных фаз тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Никоненкова, Татьяна Владимировна

• Никоненкова, Татьяна Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Никоненкова, Татьяна Владимировна

Оглавление

Введение

1 Задача Ж-линейного сопряжения в классе кусочно-голоморфных функций

1. Решение задачи К-линейного сопряжения в случае, когда линия раздела фаз состоит из двух ветвей гиперболы

1.1. Постановка задачи

1.2. Решение задачи (1.1.3) в случае вещественных коэффициентов А, В

1.3. Вырожденный случай

1.4. Решение задачи (1.1.3) в случае комплексных коэффициентов

2. Решение задачи К-линейного сопряжения в случае, когда линиями сопряжения разнородных фаз служат п — 1 ветвей со-фокусных гипербол

2.1. Постановка задачи

2.2. Решение задачи (1.2.2), (1.1.4)

2.3. Вырожденный случай

2 Решение задачи М-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций

1. Решение задачи К-линейного сопряжения для прямоугольного

"клина" в классе кусочно-мероморфных функций

1.1. Постановка задачи

1.2. Случай, когда все особенности заданного комплексного потенциала расположены в области 5х

1.3. Случай расположения особенностей потенциала /(г) в области 52

2. Решение задачи М-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций в случае равностороннего гиперболического включения

2.1. Постановка задачи

2.2. Заданный комплексный потенциал имеет особенности

в области £1

2.3. Заданный комплексный потенциал имеет особенности

в области ¿2

3. Задача К-линейного сопряжения для для произвольного гиперболического включения в классе кусочно-мероморфных функций

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение задачи

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача ®-линейного сопряжения в случае гиперболических линий раздела разнородных фаз»

Введение

Данная диссертация посвящена исследованию одной из общепринятых в теории гетерогенных сред моделей, описываемой краевой задачей для эллиптического уравнения (уравнения Лапласа).

Как известно, при исследовании стационарных процессов различной физической природы таких как: распространение тепла, явление диффузии, движения электрического тока в проводящей среде, ламинарное движение идеальной жидкости, распространение магнитного потока и потока электрического смещения и т.д. приходят к одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных эллиптического типа - уравнению Лапласа. Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, поиск его точного решения, удовлетворяющего краевым условиям, описывающим поведение поля на произвольных межзональных границах, вызывает порой значительные трудности.

В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая стационарные физические процессы в гетерогенных средах. В числе многих проблем возникающих при изучении различных явлений в системах, с неоднородной структурой, задача точного описания распределения силовых полей занимает одно из центральных мест. Этой проблемой исследователи занимаются уже более ста лет. Первые работы связаны с именами Максвелла и Рэллея. При изучении электрофизических, теплофизических, диффузионных, магнитных и механических свойств неоднородных сред было предложено значительное количество методов, приемов исследования, эмпирических и полуэмпирических формул и т.д.. Наибольшее число таких работ было опубликовано в период с 1960-1980 г.г., среди них упомянем монографии A.B. Лыкова [36], В.Л. Бердичевского [1], Л.Л. Васильева [5], Е.А. Литовского и И.А. Пучкелевич [37], а также работы [28], [90], [22]. Обширная библиография работ, сфокусированных на связи между микро-

структурой композита и эффективными параметрами, его характеризующими, приведена в недавней монографии Милтона [94].

Обилие работ по данной проблеме обусловлено запросами ряда областей техники, например, приборостроения (композиционные электрообогреватели, электроавтоматические и радиотехнические устройства) или разработка нефтяных и газовых месторождений. Однако, и по сегодняшний день, преобладающее большинство результатов не имеют строгих аналитических решений проблемы, а базируется в основном на численных, вариационных и асимптотических методах. Конечно, роль последних подходов при решении современных задач неоспорима. Но в ряде случаев, когда необходимо более полно описать структуру поля в области контактов разнородных фаз, объяснить поведение эффективных параметров особенностями формирования полей, а также для оценки численных методов расчета физических полей, для обоснования приближенных приемов вычисления эффективных параметров важное значение имеют точные решения.

Опишем классическую модель плоскопараллельных установившихся процессов. Хорошо известно, что моделью таких процессов, описывающей силовое поле

vO, у) = чк(х, у) = (укх, уку), (х, у) е вк, к = 1, N

в отсутствие источников (стоков) и вихрей, являются уравнения в частных

производных - уравнение неразрывности и уравнение потенциальности:

дУкх | дуку _ дуку дукх _ р

дх ду ' дх ду выполняющиеся в каждой изотропной фазе рассматриваемой многофазной среды. Дополнительными условиями, устанавливающими связь между векторами и V; на кусочно-гладкой границе контакта (£/-/) разнородных фаз в к и 5/, за исключением угловых точек М (где у вектора v допускаются интегрируемые особенности), служат соотношения

Мя,г/)]„ = [^(а;, ?/)]„, [рк4к(х,у)]т = \р1лг1(х,у)]т, (х,у) £ (2)

означающие равенство нормальных и пропорциональность касательных составляющих предельных значений векторов у к, V/. Здесь рк - постоянный в фазе 5/г коэффициент. При изучении того или иного конкретного явления этот коэффициент характеризует физические свойства среды. Так в задачах термодинамики р - коэффициент теплопроводности, при этом V будет вектором теплового потока. Если изучается движение жидкости через пористые среды (теория фильтрации), то функция v - скорость фильтрации, а р

- коэффициент фильтрации; в теории диффузии р - коэффициент проницаемости, при этом v - концентрация; в теории упругости р - модуль сдвига, v смещение и т.д.. Как правило, при реализации конкретных физических моделей коэффициент р > 0 и принимает скалярные вещественные значения. Однако в некоторых случаях, например, в задачах электродинамики при изучении движения электрического тока в проводящей среде, коэффициент р есть тензор, в данном случае - тензор удельного сопротивления (V

- вектор плотности тока).

Вводя, на основании уравнений (1) функцию тока фк(х,у) (ух — дф/ду, уу = —дф/дх) и потенциальную функцию (рк(х,у) (ух = дф/дх, уу = д(р/ду) приходим ([4], [71], [8], [74]) к эквивалентной задаче о построении пары сопряженных гармонических функций в каждой изотропной фазе которые являются действительной и мнимой частью комплексного потенциала лу(г) = <рк(х,у) +1 фк(х, у), где г = х + \у. При этом, в силу условий (2) функции щ, фк должны удовлетворять условиям сопряжения на Сы\М:

дфк дф1

где й - натуральный параметр (длина дуги). Для определенности можно считать, что ориентация на См выбрана таким образом, что фаза Эк остается слева, а ^ - справа при к <1.

Сведение задачи (1) к отысканию комплексного потенциала (аналитической функции) позволяет применить один из наиболее мощных аппаратов

математического анализа - теорию функций комплексного переменного [29], [2], [16], [18]. В рамках этой теории, начиная с 40-х годов, было выполнено множество работ, которые можно разделить на три основные группы: 1) когда границей однородных зон являются прямые (работы В.Н. Щел-качева и Б.Б. Лапука [89], Г.Б. Пыхачёва, Р.Г. Исаева [73], М.А. Гусейн-Заде [19], И.А. Чарного [84], Ю.В. Обпосова [53], А.М. Пирвердяна [61], Р. Коллинза [26], А.Ю. Казарина [25], О.В. Голубевой [8], [9]); 2) когда границы представлены окружностями (работы П.Я. Полубариновой-Кочиной [72], Ю.В. Обпосова [54]-[98], М.А. Лукомской [38], Г.В. Голубева [И], [12], В.В. Митюшева [40]-[96], Ш.И. Георгицэ [7], Е. Хоиейна [92], [93], Н.В. Лам-бина [30]-[32], Г.М. Голузина [14], [15], О.В. Голубевой [9], Л.И. Костицыной [27], Ю.А.Антипова и В.В. Сильвестрова [91]); 3) когда границы отличаются от окружностей и прямых (в частности, являются кривыми второго порядка) (труды В.П. Пилатовского [66]-[70], А.И. Гусейнова [20], Г.Г. Ту-машева [80] и Б.И. Плещинского [81], Г.В. Голубева [13], А.Я. Чилапа [87], [88], И.А. Чарного [84], [85], А.Я. Шпилевого [10], А.И. Селин-Бекчурипа [78], В.Ф. Пивня [62], [63], Ю.В. Обносова [97]-[58], М.И. Хмельника [83] и др. [82], [82], [48]). Известны работы, в которых граничные задачи сопряжения решены методом интегральных уравнений: в теории фильтрации это исследования Г.Г. Тумашева [80], [12], В.Ф. Пивня [64] , [65], в гидро- и аэродинамике - труды И.К. Лифанова [34], [35], в электродинамике - работы В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [21] и других авторов.

Ю.П. Емец, изучая электрические поля в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах [23], [24], предложил метод сведения задачи (1), (2) к эквивалентной задаче - однородной задаче Маркушевича (задаче М-липейпого сопряжения). Интерпретируя физическую плоскость (х, у) как плоскость комплексного переменного г = х + [ у, & вектор v как комплекс-позначную функцию = ух + 1 уу комплексного аргумента г = х + 1 у,

Ю.П. Емец в качестве неизвестной функции, рассматривает функцию

у (г) = (г) = дср/дх — \д(р/ду — ух — [уу,

которая является комплексно сопряженной с функцией В силу условий (1) функция у (г) голоморфна в каждом из компонентов Бк- В замыкании Б к функция у (г) непрерывна всюду, за исключением разве лишь угловых точек М на границе дБк (если таковые имеются), где у нее допускается наличие интегрируемых особенностей. В [24] показано, что вещественные граничные условия (2) преобразуются к следующей эквивалентной комплексной форме

= Аычф - выр(з)]-2Щ, г е ски (3)

где £(я) - функция точки контура £ы от натурального параметра я, производная ¿'(з) = ехр(1а(з)) совпадает с единичным вектором касательной к См в точке £ = ¿(я) (а;(з) - угол, который касательная к дуге Сц в точке t образует с вещественной осью),

л _ Рк + 91 _Рк~Р1 ш

Как отмечалось выше, в теории электродинамики параметр р в общем случае является тензором, который в комплекснозначной интерпретации может быть отождествлен с комплексным числом

Рк(1~^к), (5)

где рк - сопротивление (величина обратная проводимости), а (Зк ~ параметр Холла материала фазы Як (Рк > 0, (Зк ^ 0). В этом случае задача (2) приводится к задаче (3) с комплексными коэффициентами

Ак1 = рк + р1 _ 1 рк^к ~ р1@1 вы = Рк ~ Р1 - 1 Рк^к ~ (6)

%Рк Ърк ' 2 рк 2 рк

Краевая задача (3) относится к так называемой трехэлементной задаче линейного сопряжения аналитических функций

Ф+(*) = а®Ф"(*) + Ь®Ф"й + д(1), I € (7)

которая в частном случае впервые была поставлена А.И. Маркушеви-чем в 1946 году [39]. В дальнейшем она исследовалась многими авторами (Г.С. Литвинчук, И.Н. Векуа, И.М. Спитковский, Б.В. Боярский, Л.И. Чиб-рикова и Л.Г. Салехов, A.M. Николайчук и др.), которые изучали вопросы разрешимости и устойчивости этой задачи в различных классах функций. Наиболее обстоятельно вопрос о разрешимости задачи в классе кусочно-аналитических функций был рассмотрен Л.Г. Михайловым [42], который при исследовании трехэлементной задачи Маркушевича выделял три случая: гиперболический, когда \a(t)\ < \b(t)\, эллиптический, при |а(£)| > |&(£)| и параболический при |a(i)| = \b(t)\. Качественная теория задачи наиболее полно построена в двух последних случаях. В эллиптическом случае Л.Г. Михайловым для решения задачи (7) применяется принцип сжатых отображений, с помощью которого было получено приближенное решение задачи и доказано, что число линейно независимых решений и условий разрешимости задачи Маркушевича точно такое же как и у задачи Римана с коэффициентом a(t). В параболическом же случае задача Маркушевича сводится к двум задачам Гильберта. Вопросам устойчивости и разрешимости задачи (7) посвящены работы [33], [79], [43], [6], [3]. В этих работах краевая задача в классе кусочно аналитических функций, в основном рассматривалась, когда контур L состоит из конечного числа простых замкнутых дуг Ляпунова. В частности, когда L - окружность, краевая задача (7), методом симметрии сводилась к краевой задаче Римана для двумерной вектор-функции, и было показано, что случай эллиптичности |a(i)| > \b(t)\ является случаем устойчивости решения задачи.

В работах [86], [77] получено решение трехэлементной задачи Маркушевича в замкнутой форме при условии, что коэффициенты задачи являются краевыми значениями некоторых функций, аналитических внутри контура L. Используя метод симметрии, авторы последних работ сводили задачу (7)

для произвольной алгебраической кривой к эквивалентной многомерной задаче Римана на некоторой замкнутой римановой поверхности. Однако здесь возникает проблема факторизации матричного коэффициента задачи Римана, которая, как известно, в общем случае до настоящего времени не решена.

K.M. Расулов в своих работах [75], [76] показал, что краевая задача Мар-кушевича (7) может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, откуда условия разрешимости задачи (7) полностью определяются условиями разрешимости интегрального уравнения Фредгольма. В случае, когда коэффициенты задачи (7) - рациональные функции, решение уравнения Фредгольма, а следовательно, и задачи Маркушевича (7) выписывается в замкнутой форме.

Задача Маркушевича, в случае кусочно-постоянных коэффициентов на гиперэллиптических римановых поверхностях рассматривалась Э.И. Зверо-вичем и его учениками. Решение в замкнутой форме задачи Маркушевича, а также общая картина ее разрешимости, как в классе аналитических, так и в классе функций, автоморфных, относительно фуксовых групп второ-гого рода, при некоторых ограничениях на коэффициенты было получено A.A. Патрушевым [60].

Однако, полной теории разрешимости задачи (7) в настоящее время нет, как нет и конструктивных методов ее решения.

Перейдем к изложению основных результатов нашей работы.

Диссертация состоит из двух глав, которые посвящены изучению краевой задачи (3), в случае гиперболических линий раздела разнородных фаз.

В первой главе рассматривается случай, когда искомая функция v(z) не имеет особенностей на комплексной плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, в окрестности которой справедлива оценка

\v(z)\ = o(|z|) при \z\ > 1. В первом параграфе приведено решение двухфазной задачи о двух гипербо-

лических включениях, имеющих одинаковые физические свойства и расположенных симметрично относительно обеих осей координат (линия раздела фаз - обе ветви гиперболы С, = {z = х + \у : (х/а)2 — (y/b)2 = 1}. Прежде всего показывается, что функции v(z), v(—z), v(z) и v(—z) удовлетворяют краевому условию (3) одновременно, если ßi = = 0. В дальнейшем в этом параграфе дополнительно предполагается, что искомое решение четно. Как и в работе [56] общий случай сводится к двум частным - построению решений vr{z) и vi(z), принимающих в точках, симметричных относительно осей координат, значения, симметричные относительно действительной и мнимой оси соответственно. Ограничиваясь затем лишь первой четвертью плоскости, мы, с помощью конформного отображения = с/2(£ + 1/£) (с - фокус гиперболы) и последующего аналитического продолжения, получили в первой четверти плоскости £ относительно кусочно голоморфной функции V(£) = (С - 1 заДачУ ^-линейного сопряжения с посто-

янными коэффициентами А — А\2, В = В\2 на луче £* = {£: arg£ = па} -образе верхней половины правой ветви гиперболы L. Функция V(£) должна быть вещественной на действительной и мнимой на мнимой полуосях, удовлетворять условию симметрии V(1 /С) ~ —У (О 11 иметь в начале координат и на бесконечности степенные особенности ниже второго порядка. К аналогичной задаче сводится и проблема построения решения vj(z). В обоих случаях соответствующие решения найдены в виде линейных комбинаций степенных функций £±7. Показатель 7 при этом определяется из следующих трансцендентных уравнений

cos(TT7/2) ^ A COS[TT7(1/2 - 2а)] = 0,

где А = В/А (|Д| < 1). Показывается, что каждое из двух последних уравнений имеет на интервале (0,2) по одному корню, при этом соответствующие решения вспомогательных задач определяются с точностью до постоянного действительного множителя. Общее четное решение исходной

задачи, сумма + г>/(;г), получается зависящим от двух произвольных

вещественных параметров.

Следует отметить, что данные исследования являются продолжением работы Ю.В. Обносова [56], в которой, задача (3) рассматривалась в случае одного гиперболического включения. В отличие от работы [56], где было получено три линейно независимых решения, четное решение задачи о двух симметричных гиперболических включениях всегда зависит лишь от двух произвольных вещественных параметров. Поэтому единственность решения в этом случае обеспечивается заданием его значения в одной точке, например в фокусе с.

Далее, в этом параграфе изучается задача (3), в случае вырождения ветвей гиперболы в пару пересекающихся прямых. С помощью замены У(г) = гу(г) эта задача сводится к ранее изученной, что позволяет сразу выписать ее общее решение в классе четных функций. Фиксация значения искомого решения в точке г = 1 обеспечивает единственность решения.

Характер линий тока, построенных с помощью полученных результатов, показывает, что при выбранном ограничении на поведение искомого решения в бесконечно удаленной точке и требовании его четности, соответствующее поле порождается диполем на бесконечности. В следующем параграфе будет показано, что отказ от четности приводит еще к одному решению, которое соответствует полю, порожденному квадруполем на бесконечности.

В параграфе 2, ограничиваясь случаем вещественных коэффициентов (4), рассматривается существенное обобщение предыдущей задачи на случай п-фазной среды, в предположении, что граница контакта разнородных фаз состоит из (п — 1) ветвей различных софокусных гипербол. В общем случае такая структура, в отличие от рассмотренной ранее, имеет лишь одну ось симметрии - вещественную ось. Однако, и здесь показывается, что вместе с функцией у{г) соответствующим краевым условиям (3) бу-

дет удовлетворять и функция v{z). Это позволяет опять представить общее решение нашей задачи в виде суммы двух частных, vr(z) и vj(z), принимающих в точках, симметричных относительно вещественной оси, значения, симметричные относительно действительной и мнимой оси соответственно. Такие частные решения достаточно построить лишь в верхней полуплоскости. Тем же способом, что и в первом параграфе, относительно функции V(C) — (С — 1/СЫ*(С)) мы ПРИХ0ДИМ к задаче М-линейного сопряжения с постоянными коэффициентами Ак = Akk+i, Вк — Вкк+i на совокупности п — 1 лучей 1к = {т : argr = тгак}. Решение последней задачи отыскивается в следующем виде:

Vk(0 = clk(e^C ~ e-i7r^C"7), ™k-i < argC < тгak, /с = M,

где «о = 0, OLn = 1, (pi — 0, а остальные вещественные параметры ci^, —1/2 < ifk < 1/2, & = 1,пи0<7<2 подлежат определению из системы 2п — 2 трансцендентных уравнений при условии, что (рп — —7. Условие разрешимости полученной системы представляет из себя следующее уравнение относительно 7:

вЦтг^М - cos[7r7]W-n2(7) = о, (8)

где Afc = Вк/Ак (-1 < Д* < 1), И?(7) = 1, W?(7) = О,

Wk+1 = wk(1 + Ак cos[27T7afc]) + W*Ak sin [2^70*], -

fo == 1 77, _ 1

Wl+1 = W^Ak sin[27г7ал] + 1 - Ak сов[2тгуак]),

Каждому решению уравнения (8) соответствует единственный набор параметров (рк, к — 2,n —1, а коэффициенты с\к, к = 1,п определяются с точностью до одного произвольного множителя.

Решение vi(z) строится аналогично и сводится к решению уравнения (8), в котором надо лишь заменить все Ак на —Ак- Уравнение (8) и получаемое из него указанной заменой при п = 2 сводятся к полученным в работе [56], где было показано, что оба уравнения разрешимы, а в совокупности они

имеют три решения (исключение - случай равносторонней гиперболы, когда каждое из уравнений имеет по одному решению). При п > 2 нам не удалось аналитически исследовать вопрос о разрешимости уравнения (8). Однако, многочисленные вычислительные эксперименты, проведенные с помощью команды ЕтсИЗх^ в пакете МаЛета^са в широком диапазоне изменения п при случайном выборе как вершин гипербол так и сопротивлений фаз показали, что уравнение (8) имеет не менее одного и не более двух решений. В совокупности уравнение (8) и с ним родственное имеют от двух до четырех решений € (0,2) и, соответственно, исходная задача имеет от двух до четырех линейно независимых частных решений. Причем случаи двух и четырех решений можно считать исключительными, а три стандартной ситуацией. Исходя из физических соображений, мы потребуем, чтобы решение было единственным при фиксации его значения в одной точке, например, в фокусе с:

= = У0х - гУ0у.

Тогда, если число решений больше двух, то встает вопрос - линейную комбинацию какой пары ?;д(г) и VI(г) из трех (четырех) построенных частных решений следует брать в качестве решения исходной задачи? Построение линий тока показало, что следует брать пару 17/(2:), отвечающую двум наименьшим значениям 7*., если поле порождается диполем. Если взять другую пару (таких пар может быть три), то получим поле, порожденное квад-руполем.

В заключение этого параграфа приведено решение задачи М-линейного сопряжения для симметричного "веера" - структуры, в которую вырождается выше рассмотренная, если в качестве линий раздела разнородных фаз вместо гипербол взять их асимптоты.

Вторая глава посвящена изучению задачи М-линейного сопряжения в более широком классе функций, а именно, в классе кусочно-мероморфных

функций с фиксированной главной частью.

В §1 изучается задача М-линейного сопряжения, в случае, когда инородным включением является бесконечный прямоугольный "клип" З1 = {г = х + 'уу \ х > 0, у > 0}. Подобными проблемами, т.е. проблемами векториального распределения проводящих сред занимались Г.А. Гринберг [17] и А.Я. Чилап [87], [88]. В частности, А.Я. Чилап изучал задачу о прямоугольном клине, в классе функций имеющих лишь логарифмические особенности. Он сводил эту задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма, точное решение которой было получено операционным методом.

Нами же исследуется случай, когда у заданного потенциала /(г) помимо логарифмических особенностей имеется и конечное число полюсов произвольного порядка в конечных точках областей, т.е. Р{х) — ff{z) = -^1(2) + ^2(2), где ^(г) - произвольные рациональные функции с

полюсами в областях и £2 соответственно. Для поставленной задачи получено математически замкнутое решение, в предположении, что коэффициенты краевого условия (3) являются вещественными числами.

С помощью условия сопряжения на мнимой оси, функция аналитически продолжается из первого квадранта во второй. Таким образом, относительно продолженной кусочно-голоморфной в плоскости С функции У {г) приходим к задаче сопряжения на всей вещественной оси. Далее вводятся функции

ФхИ = У(г), Ф2(*) = У(-г), ФзМ = УЩ, ф4(*) = УрЮ,

и показывается, что вектор-функция Ф(г) = (Ф^г), Фг(^), Фз(<2)> $4(2)) удовлетворяет краевым условиям векторной задачи Римана с кусочно-постоянным матричным коэффициентом, а именно,

{ Ф+(ж) = Сф-(ж) + Н(ж), X > 0; ( Ф+О) = РСРФ-(гс) + РЩ-х), х<0. Здесь С = Е — Д(?о - постоянная невырожденная матрица (Е - единичная

матрица, = {(Д, Д, 1,1), (0,0,0,0), (-1,-1,0,0), (0,0,0,0)}), а Р - перестановочная матрица с единичными элементами па побочной диагонали. Компоненты свободного члена, вектор-функции Н(а;), являются рациональными функциями, они однозначно определяются через заданные главные части искомого решения - ^1(2) и ^(-г). Для решения последней задачи применяется развитый аппарат матричной задачи Римана, при этом все интегралы типа Коши, входящие в решение, удается вычислить в квадратурах.

В §2 задача о прямоугольном "клине" обобщается на случай гиперболического включения с границей в виде правой ветви равносторонней гиперболы. Задача К-линейного сопряжения в случае одного гиперболического включения и некоторого заданного невозмущенного комплексного потенциала /(г) рассматривалась в работе ([10]). Авторы этой работы сначала идентично переносят задачу на дубль - риманову поверхность радикала у/г2 — с2. Затем дубль разрезается по одной из гипербол и с помощью функции, обратной к функции ^ = ссоз(£ — а/2) (с - фокус, а - угол между асимптотами гиперболы), отображается на полосу ширины 27г. При этом внутренность обеих гипербол переходит полосу {£ : —а/2 < ЯеС < а/2}, а их внешность в ее дополнение. Наконец, с помощью 27г-периодического распространения получается задача М-линейного сопряжения для 27г-периодической системы двухкомпонентных полос. Решение последней задачи выписывается в виде формальных рядов, сходимость которых не доказывается. Мы же свели задачу о равносторонней гиперболе к рассмотренной ранее задаче о прямоугольном "клине" и получили ее решение в элементарных функциях.

В третьем параграфе исследуется задача в случае двухфазной среды с линий сопряжения в виде правой ветви гиперболы, величина угла, 2а7г, между асимптотами которой рационально кратна 7Г, т.е. а = р/к < 1/2 и р/к -несократимая правильная дробь. Предполагается, что заданный комплексный потенциал /(г) не имеет особенностей на линии сопряжения и что число

логарифмических особенностей и полюсов f(z) конечно. Как и в предыдущем параграфе наша задача сначала сводится относительно функции V(() = ((— l/()v(c/2((+l/()) к задаче о "клине" (в данном случае раствора 27тр/k). Затем ^-плоскость разбивается лучами {т : argr = тг(р + 2j)/k}: j = 0, к — 1 на к равных секторов. В каждом секторе формально вводится новая функция, совпадающая с искомой. Таким образом получается задача о правильном к лепестковом "веере". Эта задача переносится на к листную риманову поверхность радикала степени к, причем каждый сектор переходит на свой лист римановой поверхности, а его граница переходит в разрез по положительной части вещественной оси. Избавляясь обычным приемом от комплексно сопряженных функций, мы окончательно приходим к векторной задаче Римана на относительно 2А;-мерной вектор-функции с постоянным матричным коэффициентом. Решение последней задачи сводится к проблеме представления в жордановой форме матрицы порядка 2/с, которая в нашем случае успешно решается.

В заключение отметим, что для всех полученных решений были проведены аналитические и численные проверки. На примерах продемонстрировано распределение линий тока и эквипотеициалей в соответствующих структурах.

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах:: статьях в журнале ВАК - [100], [44], [47], [50], в сборниках - [49], [52] и тезисах - [45], [46], [48], [51].

Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н. Г.Чеботарева Казанского университета (руководитель - профессор Ф. Г.Авхадиев); на Девятой и Десятой международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009, 2011 г.г.); на итоговой научной конференции Казанского университета (2009 - 2012 г.г.), на моло-

дежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2010 и 2012 г.г.); на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (Москва, 2011 г.; Ульяновск, 2012 г.), на кафедре дифференциальных уравнений КФУ.

Глава 1

Задача М-линейного сопряжения в классе кусочно-голоморфных функций

1. Решение задачи М-линейного сопряжения в случае, когда линия раздела фаз состоит из двух ветвей гиперболы

В этом параграфе мы рассмотрим задачу (3), как с вещественными (4), так и с комплексными коэффициентами (6) для двухфазной среды, представляющей собой бесконечную однородную матрицу с инородным включением, в предположении, что линия раздела фаз состоит из двух ветвей гиперболы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никоненкова, Татьяна Владимировна, 2014 год

Литература

[1] Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / B.J1. Бердичевский. - М.: Наука, 1983. - 448 с.

[2] Бицадзе, A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / A.B. Бицадзе. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

[3] Боярский, Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сообщ. АН ГрузССР. - 1960. - 25. - №4. - С. 385-390.

[4] Валандер, C.B. Лекции по аэрогидромеханике / C.B. Валандер. - Ленинград: Издательство Ленингр. ун-та, 1978. - 296 с.

[5] Васильев, Л.Л. Теплофизические свойства пористых материалов / Л.Л. Васильев, С.А Тапаева. - Минск : Наука и техника, 1971. - 265.

[6] Векуа, И.Н. Об одной задаче теории функций комплексного переменного / И.Н. Векуа // ДАН СССР. - 1952. - Т. 36, №3. - С. 457-460.

[7] Георгицэ, Ш.И. Применение одного полуобратного метода при решении задач фильтрации под гидротехническими сооружениями /Ш.И. Георгицэ // УМЖ. - 1962. - № 4. - С. 362-365.

[8] Голубева, О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости на криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации / О.В. Голубева // ПММ. - 1950. - Т. 14, Вып. 3. - С. 287-294.

[9] Голубева, O.B. Обобщение теоремы об окружности иа фильтрационные течения / О.В. Голубева // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1966. - М. - С. 113-116.

[10] Голубева, О.В. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка / О.В. Голубева, А.Я.Шпилевой // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1967. - № 2. - С. 174-179.

[11] Голубев, Г.В. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах различных форм / Голубев Г.В. // Уч. зап. Казанского ун-та. -1958. - Т. 118, Вып. 2. - С. 166-192.

[12] Голубев, Г.В. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде / Голубев Г.В., Г.Г. Тумашев. - Казань : Изд-во Казанского ун-та, 1972. - 196 с.

[13] Голубев, Г.В. Определение поля давлений в кусочно-однородном пласте, состоящем из софокусных эллипсов, при наличии контура питания / Голубев Г.В. // Уч. зап. Казанского ун-та. - 1957. - Т. 117, Вып. 9. -С. 84 89.

[14] Голузин, Г.М. Решение основных плоских задач математической физики для уравнения Лапласа и многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) / Голузин Г.М. // Мат. сб. - 1934. - Т. 41, №. - С. 246-276.

[15] Голузин, Г.М. Решение плоской задачи теплопроводности для многосвязных областей, ограниченных окружностями, в случае наличия изолированного слоя / Голузин Г.М. // Мат. сб. - 1935. - Т. 42, №2. - С. 191-198.

[16] Гончаров, B.JI. Теория функции комплексного переменного / B.J1. Гончаров. - М.: Учпедгиз, 1955. - 353 с.

[17] Гринберг, Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Г.А. Гринберг. - M.-JL: Издательство Академии наук СССР, 1948. - 727 с.

[18] Гурвиц, А. Теория функции / А. Гурвиц, Р. Курант. - М.: Наука, 1968. - 648 с.

[19] Гусейн-Заде, М.А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте / М.А. Гусейн-Заде М.: Недра, 1965. - 276 с.

[20] Гусейнов, А.И. Об одной задаче теории потенциала / А.И. Гусейнов // ПММ. - 1948. - Т. 12, Вып. 1. - С. 103-108.

[21] Дмитриев, В.И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 169 с.

[22] Дульнев, Г.Н. Теплопроводность смесей и композиционных материалов / Г.Н. Дульнев, Ю.П. Заричняк. - М.: Энергия, 1974. - 264 с.

[23] Емец, Ю.П. Электрические характерстики композиционных материалов с регулярной структурой / Ю.П. Емец. - Киев: Наук.думка. 1986. -190 с.

[24] Емец, Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропнопроводящих сред / Ю.П. Емец. - Киев: Наук, думка., 1987. - 254 с.

[25] Казарин, А.Ю. Решение задачи R-линейного сопряжения для слоисто-параллельной среды в классе кусочно-мероморфных функций / А.Ю.Казарин // Уч. записки КГУ. Сер. физ.-мат. науки. - 2012. - Т. 154, No.3. - С. 145-157.

[26] Коллинз, Р. Течение жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. - Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта. М.: Мир, 1964. - 350 с.

[27] Костицына, JI.И. К вопросу о движении фильтрационного потока вкусочно-однородной среде / Л.И. Костицына // Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та. Тр. каф. теор. физ. - 1996. - Т. 164, №6. - С. 67-82.

[28] Кришер, О. Научные основа сушки / О. Кришер. - М.ИЛ, 1961. - 540 с.

[29] Лаврентьев, М.А. Методы теории функции комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

[30] Ламбин, Н.В. Решение краевых задач методом симметрии / Н.В. Лам-бин // ПММ. - 1950. - Т. 14, №6. - С. 611-618.

[31] Ламбин, Н.В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач / Н.В. Ламбин. - Минск, 1960. - 40 с.

[32] Ламбин, Н.В. Об одном методе построения кусочно-аналитических функций, связанных с теорией фильтрации / Н.В. Ламбин //В. сб.: Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз. - 1960. - С. 351-358.

[33] Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. - М.: Наука, 1977. - 448 с.

[34] Лифанов, И.К. О вычислении скоростей в методе дискретных вихрей / И.К. Лифанов // ДАН СССР. - 1990. - Т. 313, № 6. - С. 1399 1402.

[35] Лифанов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И.К. Лифанов. - М.: ТОО Янус, 1995. - 520 с.

[36] Лыков, A.B. Теория теплопроводности / A.B. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

[37] Литовский, Е.Я. Теплофизические свойства огнеупоров /Е. Я. Литовский, Н. А. Пучкелевич. - М.: Металлургия, 1982. - 150 с.

[38] Лукомская, М.А. О притоке жидкости к скважине в неоднородном пласте / М.А. Лукомская // ПММ. - 1948. - Т. 12, Вып. 2. - С. 207-208.

[39] Маркушевич, А.И. Об одной граничной задаче аналитических функций / А.И. Маркушевич // Уч.зап.МГУ. - 1946. - Т.1 ,вып.Ю0. - С.20 30.

[40] Митюшев, В.В. Решение задачи действительного сопряжения (задачи Маркушевича) для кольца в одном частном случае / В.В. Митюшев // Изв. вузов. Матем.. - 1986. - № 3. - С. 67-69

[41] Митюшев, В.В. О решении общей задачи краевой линейного сопряжения для нескольких концентрических окружностей / В.В. Митюшев // Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. п.. - 1983. - № 6. - С. 104.

[42] Михайлов, Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. - Душанбе, 1963. - 183 с.

[43] Николайчук, A.M. Об устойчивости краевой задачи Маркушевича / A.M. Николайчук // У.М.Ж. - 1974. - Т.26, № 4. - С. 558-559.

[44] Никоненкова, Т.В. Об одной трехфазной задаче R-линейного сопряжения / Т.В. Никоненкова // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2008. - Т. 150, кн. 4. - С. 127-136.

[45] Никоненкова, Т.В. Решение одной п-фазной задачи R-липейного сопряжения / Т.В. Никоненкова // Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2009 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2009. - Т. 38. - С. 194— 196.

[46] Никоненкова, ТВ. Обобщенная теорема Милн-Томсона для прямоугольного клина / ТВ. Никоненкова // Материалы молодежной школы-

конференции (Казань, 1-6 октября 2010 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2010. - Т. 40. - С. 244-245.

[47] Никоненкова, Т.В. Решение п-фазной задачи 11-линейного сопряжения / Т.В. Никоненкова // Изв. вузов. Математика. - 2011. - №4. - С. 1-8.

[48] Никоненкова, Т.В. Задача Ы-линейного сопряжения для параболического кольца в классе кусочно-мероморфных функций /Т.В. Никоненкова // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2011 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2011. - Т. 43. - С. 265-266.

[49] Никоненкова, Т.В. Задача И -линейного сопряжения для прямоугольного клина в классе кусочно-мероморфных функций /Т.В. Никоненкова // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля наук. Издательство РГСУ.

- М., 2011. - С. 210-216.

[50] Никоненкова, Т.В. Задача Ы-линейного сопряжения для прямоугольного клина в классе кусочно-мероморфных функций /Т.В. Никоненкова // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2012. - Т. 154, № 1. -С. 134-146.

[51] Никоненкова, Т.В. Задача Ы-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций для одного гиперболического включения /Т.В. Никоненкова // Материалы молодежной школы-конференции (Казань, 1-6 ноября 2012 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2012.

- Т.45. - С. 154-156.

[52] Никоненкова, Т.В. Обобщение теоремы Милн-Томсона на случай гиперболического включения / Т.В. Никоненкова // Всероссийский конкурс

научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сборник работ победителей / под общ. ред. А. С. Андреева. - Ульяновск : УлГУ, 2012. - С. 27-28.

[53] Обносов, Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения теории композитов для одной трехкомпонентной структуры /Ю.В. Обносов // Изв. вузов.Матем. - 1996. - № 5. - С. 63-72.

[54] Обносов, Ю.В. Решение задачи о распределении фильтрационных полей в бесконечном пористом массиве с двумя круговыми включениями / Ю.В. Обносов // Учен. зап. Казанск. ун-та. Сер. физ.-мат. Науки. -2006. - Т. 148, Кн. 2. - С. 109-123.

[55] Мальцева, A.M. Обобщение теоремы Милн-Томсона на случай концентрического кольца / Ю.В. Обносов, C.B. Рогозин // Учен. зап. Казан, ун-та. ер. физ.-мат. Науки. - 2006. - Т. 148, Кн. 4. - С. 35-50.

[56] Обносов, Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения в случае гиперболической линии разделения разнородных фаз / Ю.В. Обносов // Изв. вузов. Матем. - 2004. - № 7. - С. 53-62.

[57] Обносов, Ю.В. Задача R-лииейного сопряжения для софокусного параболического кольца / Ю.В. Обносов, М.А. Егорова // Учён. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2009. - Т. 151, Кн. 3. - С. 170-178.

[58] Обносов, Ю.В. Задача R-линейного сопряжения для софокусного эллиптического кольца / Ю.В. Обносов // Учён. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2008. - Т. 150, Кн. 4. - С. 137-146.

[59] Обносов, Ю.В. Краевые задачи теории гетерогенных сред. Многофазные среды, разделенные кривыми второго порядка / Ю.В. Обносов. -Казань, 2009. - 205 с.

[60] Патрушев, А.А. О точном и явном решении трехэлементной задачи Маркушевича / А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Т. 11, Вып. 2. - С. 4-12.

[61] Пирвердян, A.M. Нефтяная подземная гидравлика / A.M. Пирвердян.

- Баку. Азнефтеиздат, 1956. - 331 с.

[62] Пивень, В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях с прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка /В.Ф. Пивень // Изв. РАН. МЖГ. - 1993. - № 1. - С. 120-128.

[63] Пивень, В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах / В.Ф. Пивень. - Орел. Изд-во Орловского пединститута, 1994. -148 с.

[64] Пивень, В.Ф. Математическое моделирование двумерных граничных задач гидродинамики в неоднородных слоях : диссертация ... доктора физико-математических наук: 05.13.18 / Пивень Владимир Федотович.

- Орел, 1998. - 265 с.

[65] Пивень, В.Ф. Интегральное уравнение граничной задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородной среде /В.Ф. Пивень // Труды IX межд. симпозиума "МДОЗМФ-2000". Орёл. Орловский госун-т, 2000.

- С. 343-348.

[66] Пилатовский, В.П. Решение некоторых задач подземной гидродинамики : диссертация ... доктора физико-математических наук / Пилатовский Виктор Петрович. - Москва, 1956.

[67] Пилатовский, В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта / В.П. Пилатовский. - М.: Недра, 1966. - 309 с.

[68] Пилатовский, В.П. Определение дебита батареи скважин, дренирующих конический пласт / В.П. Пилатовский // Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 897-900.

[69] Пилатовский, В.П. Влияние призабойной макронеоднородности пласта на дебит скважины / В.П. Пилатовский // ДАН СССР. - 1953. - Т. 93, № 3 - С. 417-420.

[70] Пилатовский, В.П. К вопросу о разработке овальных нефтяных месторождений. Определение дебитов и забойных давлений эллиптических батарей / В.П. Пилатовский // Тр. ВНИИ, 1956. - Вып. 8. - С. 114-141.

[71] Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Наука, 1977. - 664 с.

[72] Полубаринова-Кочина, П.Я. Некоторые задачи плоского движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Изд-во АН СССР, 1942. - 142 с.

[73] Пыхачёв, Г.Б. Подземная гидравлика / Г.Б. Пыхачёв, Р.Г. Исаев. - М.: Гостоптехиздат, 1972. - 360 с.

[74] Радыгин, В.М. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники /В.М. Радыгин, О.В. Голубева. - М.: Высшая школа, 1983. - 160 с.

[75] Расулов, K.M. Об одном методе решения граничной задачи Маркуше-вича в классе аналитических функций /K.M. Расулов // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. Смоленск, 2001. - Вып. 3. - С. 98-108.

[76] Расулов, K.M. О решении обобщенной граничной задачи Маркушеви-ча в классе аналитических функций / K.M. Расулов // Системы ком-

пьютерной математики и их приложения: сб. тр. междунар. науч. конф. Смоленск, 2002. - С. 137-142.

[77] Салехов, Л.Г. К решению одной задачи линейного сопряжения методом симметрии / Л.Г. Салехов // Теор. функц. комплю перем. и краевые задачи. Чебоксары. - 1974. - Вып. 2. - С. 126-130.

[78] Силин-Бекчурин, А.И. Динамика подземных вод / А.И. Силин-Бекчурин. - М.: Изд-во Московского ун-та, 1958. - 258 с.

[79] Спитковский, И.М. К теории обобщенной краевой задачи Римана в классах Lp / И.М. Спитковский // УМЖ. - 1979. - Т. 31, №1. - С. 63-73.

[80] Тумашев, Г.Г. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах / Г.Г. Тумашев // Изв. ВУЗов. Математика. - 1958. - №3. - С. 203-216.

[81] Тумашев, Г.Г. Вычисление функции давления в одном кусочно-однородном пласте / Г.Г. Тумашев, Б.И. Плещинский // Уч. зап. Казанского ун-та. - 1958. - Т. 118, Вып. 2. - С. 228-233.

[82] Фадеев, A.B. Решение задачи R-линейного сопряжения для софокус-ного эллиптического кольца в классе кусочно-мероморфных функций / A.B. Фадеев // Изв. вузов. Математика. - 2013. - №6. - С. 45-59

[83] Хмельник, М.И. Исследование некоторых течений в двусвязной области и их применение в теории фильтрации / М.И. Хмельник // Уч. зап. каф. теорет. физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ. - 1968. - Т. 200, Вып. 7. - С. 100-113.

[84] Чарный, И.А. Приток к скважинам в пластах с неоднородной проницаемостью / И.А. Чарный // Инж. сб. - 1954. - Т. 18. - С. 31-40.

[85] Чарный, И.А. Подземная гидрогазодинамика / И.А. Чарный. - М. : Гостоптехиздат, 1963. - 396 с.

[86] Чибрикова, JI.И. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения / Л.Г. Салехов, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. - 1968. - №9. - С. 94-105.

[87] Чилап, А.Я. Задача нахождения поля давлений в некоторых кусочно-однородных пластах / А.Я. Чилап // Уч. зап. Казанского ун-та. - 1958.

- Т. 118, Вып. 2. - С. 234-251.

[88] Чилап, А.Я. Некоторые задачи фильтрации жидкости в кусочно-однородных пластах : автореф. дисс. ... кандидата физико-математических наук / А.Я. Чилап. - Киев, 1960. - 8 с.

[89] Щелкачев, В.Н. Подземная гидравлика / В.Н. Щелкачев, Б.Б. Лапук.

- М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. - 524 с.

[90] Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред / Т.Д. Шермергор. - М.: Наука, 1977. - 400 с.

[91] Antipov, Y.A. Hilbert problem for a multiply connected circular domain and the analysis of the Hall effect in a plate / Y.A. Antipov, V.V. Silvestrov // Quart, of Appl. Math. - 2010. - V. 68, №3. - P. 563-590.

[92] Honein, E. On two circular inclusion in harmonic problem / E. Honein, T. Honein, G. Herrmann // Quart. Appl. Math. - 1992. - V. 50, №3. - P. 479-499.

[93] Honein, E. Energetics of two circular inclusions in anti-plane electrostatics / E. Honein, T. Honein, G. Herrmann // Int. J. of Solids and Structures. -2000. V. 37. - P. 3667-3679.

[94] Milton, G.W. The Theory of Composites / G.W. Milton. Camgridge University Press, 2002. - 719 p.

[95] Mityushev, V.V. Plane problem for the steady heat conduction of a material with circular inclusions / V.V. Mityushev // Arch. Mech. - 1993. - V. 45, №2. - P. 211-215.

[96] Mityushev, V.V. Transport properties of doubly periodic arrays of circular cylinders / V.V. Mityushev // ZAMM. - 1997. - V. 77, №2. - P. 115-120.

[97] Obnosov, Yu.V. A generalized Milne-Thomson theorem for the case of parabolic inclusion / Yu.V. Obnosov // Applied Math. Modelling. - 2009. -V. 33. - C. 1970-1981.

[98] Obnosov, Yu.V. Three-phase eccentric annulus subjected to a potential field induced by arbitrary singularities / Yu.V. Obnosov // Quart. Appl. Math-2011. -V. 69. - P. 771-786.

[99] Obnosov, Yu.V. A generalized Miln-Thomson theorem for the case of elliptical inclusion / Yu.V. Obnosov, A.V. Fadeev // Euro Jnl of Applied Mathematics. - 2012. - V.23, No.4. - P. 469-484.

[100] Obnosov, Yu.V. Solution of an R-linear conjugation problem on the case of hyperbolic interface / Yu.V. Obnosov, T.V. Nikonenkova // Lithuanian Mathematical Journal. - 2008. - V. 48, No 3. - P. 322-331.