Некоторые случаи решения задачи Маркушевича в замкнутой форме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Патрушев, Алексей Алексеевич

• Патрушев, Алексей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Патрушев, Алексей Алексеевич

Введение

1 Задача Маркушевича для единичной окружности

1.1 Сведение задачи Маркушевича к матричной краевой задаче Ри-мана.

1.2 Явное построение факторизации

1.3 Решение однородной задачи Маркушевича.

1.4 Решение неоднородной задачи Маркушевича.

2 Четырехэлементная задача Маркушевича для единичной окружности

2.1 Постановка задачи.

2.2 Факторизация матрицы С*{1).

2.3 Однородная задача Маркушевича.

2.4 Неоднородная задача Маркушевича.

2.5 Алгоритм точного решения четырехэлементной задачи Маркушевича с рациональными коэффициентами и его програмная реализация.

3 Задача Маркушевича в классе автоморфных функций

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Постановка задачи Маркушевича в классе автоморфных функций

3.3 Однородная задача Маркушевича в классе кусочно аналитических функций.

3.4 Неоднородная задача в классе кусочно аналитических функций

3.5 Однородная задача Маркушевича в классе автоморфных функций

3.6 Неоднородная задача Маркушевича в классе автоморфных функций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые случаи решения задачи Маркушевича в замкнутой форме»

Предлагаемая работа посвящена разработке методов решения трехэлементной и четырехэлементной граничных задач линейного сопряжения теории аналитических функций а(1)ф+{1) + = + <1{г)фЩ + /(¿). (0.0.1)

Трехэлементная задача

Ф+(г) = + ь(г)фЦ$ + /(*), (0.0.2) была поставлена в 1946 году А.И. Маркушевичем [20]. Как к трехэлементной, так и четырехэлементной задаче Маркушевича. приводятся многие прикладные задачи: задача расчета электрических полей [10], [28], теории гетерогенных сред [29], [52], теории фильтрации [27], теории оболочек [7] и задачи других разделов механики и физики. Наиболее сильные результаты впервые были получены Л.Г. Михайловым. В своей работе [23] Л.Г. Михайлов при исследовании задачи (0.0.2) в классе кусочно аналитических функций различал три случая: случай эллиптичности, когда |а(£)| > |&(£)|, гиперболичности |а(£)| < |&(£)|, и параболичности |а(£)| = |&(£)|. В последнем случае задача (0.0.2) сводится к двум задачам Гильберта. Используя принцип сжатых отображений, Л.Г. Михайлов в эллиптическом случае предложил приближенное решение задачи (0.0.2). определив число решений и условий разрешимости. Некоторые частные результаты относительно разрешимости задачи в гиперболическом случае были получены в работах Б.В. Боярского [5], Ф.Д. Берко-вича [4], И.Х. Сабитова [34, 35].

Вопросами устойчивости и разрешимости задачи, как трехэлементной, так и четырехэлементной занимались Г.С. Литвинчук [18], [19, гл 5], И.М. Сгштковский [42, 43], A.M. Николайчук [25, 26]. В этих работах краевая задача (0.0.2) рассматривалась в классе кусочно аналитических функций, когда контур L представляет собою окружность. Методом симметрии, краевая задача (0.0.2) сводилась к краевой задаче Римана для вектор-функции с матричным коэффициентом и было показано, что случай эллиптичности |а(£)| > |&(£)| является случаем устойчивости решения задачи (0.0.2), разрешимость определяется величиной индекса а(£).

Поэтому в эллиптическом случае возникает задача о приближенных методах решения задачи. Эта проблема была решена И.Т. Хабибуллиным и А.Г. Шагаловым [45, 46]. В этих работах рассматривалась краевая задача Римана для вектор-функции с матрицей г (А) такой, что Иег(А) > 0. Очевидно, что А{€) в случае эллиптичности удовлетворяет данному условию. Их подход основан на методе продолжения по дискретному параметру, разработанный И.Т. Хабибуллиным [47]. По степени конструктивности подход И.Т. Хабибуллина сравним с алгоритмом разложения функции в непрерывную дробь. Дальнейшее развитие его метода дано в работе [51].

В гиперболическом случае было лишь установлено, что число решений однородной задачи (0.0.2) и число условий разрешимости конечно. Относительно краевой задачи (0.0.1) было показано, что выполнение неравенства обеспечивает нетеровость краевой задачи (0.0.1). Получено число решений и число условий разрешимости как в устойчивом случае

S(t) = a(t)c(t) - b(t)d(t) ф 0 н*)мад|)(1Ф)мад|)>о, так и в вырожденных случаях: c(t)I = |d(i)| > о, |a(f)| - \b(t)\ ф 0, — {arg/3(t)}L > -|х 1 a(f)| = |b(f)|>0, |c(i)|-|d(i)|^0, ¿{axg/?(t)}L<M; a(t)\ = |6(i)| > 0, \c{t)\ = \d(t)\ > 0, ¿{argß(t)}L < 1 где ß(t) = t[a(t)d(t) - b(t)c(t)], я=— {arg6{t)}L.

В работах JI.И. Чибриковой и Л.Г. Салехова [37. 38], [36] получено решение трехэлементной задачи Маркушевича ф+it) = a(t)rf>-(t) + b{t)il>+(t) + /(t),

0.0.3) в замкнутой форме, при условии, что a(t),b(t) являются краевыми значениями некоторых аналитических, за исключением конечного числа полюсов, в области D+ функций, где контур L представлял собою алгебраическую кривую. Задача Маркушевича (0.0.3) сводилась к эквивалентной задаче Римана для нескольких неизвестных функций на некоторой замкнутой римановой поверхности. Это достигалось путем дополнения искомых функций или векторов до кусочно аналитических по принципу симметрии.

В работах K.M. Расулова [32, 33] краевая задача Маркушевича (0.0.2) сводится к равносильному интегральному уравнению Фредгольма второго рода JK(t,T)ijz(r)dT = Q(t) + x(i)Px-iM, t e l, (0.0.4) L где

K(t,r)

X-W

2тгг b(r) b(t)

Lx+(r) X+(t) т - t f(r)dr т'(а)У т-t т-t X+(t) b(t) *+(*) i ' а

2а{€) 2т У Х+(т)(т-£)' ь

И число решений и условий разрешимости задачи (0.0.2) полностью определяется из теории разрешимости интегрального уравнения Фредгольма

Re

I [.Q(t) + X(i)Px-iW] *;(*)<** J =0, j = где Фх,.,^ - полная система линейно-независимых решений союзного уравнения

В случае, когда а(£),6(£) - рациональные функции, ядро т) вырожденно, и уравнение Фредгольма (0.0.4). а следовательно, и задача Маркушевича (0.0.2) допускает решение в замкнутой форме.

В.В. Митюшевым [21. 22] были предприняты попытки решить задачу (0.0.2) в случае многосвязной круговой области. Метод решения заключался в сведении задачи (0.0.2) к функциональному уравнению вида

Ф(г) = С1(г)Ф(з1г) + G2(z)<5>{s2z) + • • • + Gp(z)<S>(spz) + g(z), И < гь (0.0.5) где функции (^(г), ^(г),., Ср(г), д(г) - мероморфные в круге \г\ < г\. О < вк < 1, к = 1 ,.,£>. Решение получено в виде рядов при некоторых ограничениях, наложенных на коэффициенты а(£), &(£). а также при условии аналитичности коэффициентов уравнения (0.0.5) в нуле.

В работах Т.Н. Жоровиной [15, 16| данная задача рассматривалась на симметричной римановой поверхности, где а(£),&(£) и /(¿) постоянные, а контур Ь - линия симметрии или часть линии симметрии. Получены некоторые результаты о числе решений и условиях разрешимости задачи (0.0.2). В случае, когда риманова поверхность представляет собою тор, решение получено в замкнутой форме.

Задача Маркушевича в классе двоякопериодических функций в случае кусочно постоянных коэффициентов была рассмотрена Ю.В.Обносовым [30],

Э.И. Зверович, Е.В. Давьялова [14, 13] рассмотрели четырехэлементную задачу Маркушевича (0.0.1) на прямой Imz = 0 при следующих ограничениях, наложенных на коэффициенты: a) |а(ж)| = |6(ж)|, |с(х)| = \d(x)|, если х G Lx = (гьт2) U • • • Ufah, +оо) b) Ь{х) = d(x) = 0, если х G L2 = (-оо, п) (Jfa, r3) IJ . U(r2/i-b r2h). L

31].

Здесь коэффициенты предполагаются Я-непрерывными на М\ {гх,., Г2н+\}, где точки —со < г\ < . < Г2н+\ = +оо лежат на вещественной оси и выбраны произвольно. Используя принцип симметрии относительно контура ¿1, задача Маркушевича (0.0.1) приводится к задаче Римана на гиперэллиптической римановой поверхности рода ¡г, задаваемой уравнением

2Л+1 Д 0 - гк). к=1

Решение задачи Маркушевича (0.0.1) представлено в замкнутой форме, при допущении, что проблема обращения Якоби решена.

Полной теории разрешимости задачи (0.0.2) в настоящее время нет. Число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости явно найдены только, когда |а(£)| > \Ь(Ь) | (эллиптический случай) или |а(£)| = \Ь(Ь)\ (параболический случай) [19].

Картина разрешимости в общем случае изучена в работе И.Х. Сабитова [34, 35]. Эта статья породила целое направление исследования задачи Маркушевича, основанное на приближении коэффициентов рациональными, или более общо, мероморфными функциями. Однако, при нахождении характеристик I и р в ней используется трудно вычисляемое число п. Поэтому вопрос о явном или эффективном решении задачи Маркушевича в общем случае остается открытым.

Впервые случаи явного решения задачи Маркушевича, отличные от эллиптического или параболического, были обнаружены в работе [56]. Этот подход оказался плодотворным и при решении данной задачи в классе авто-морфных функций [57, 58, 59]. Отметим, что задача Маркушевича, вообще говоря, является неустойчивой при малом возмущении ее параметров [19]. Поэтому проблема приближенного решения этой задачи вообще не разработана.

Целью данной работы является отыскание частных случаев задачи Маркушевича, когда она может быть решена в замкнутой форме, явно, либо точно, в классах аналитических или автоморфных функций. Здесь под явным решением мы понимаем решение, которое использует только формулу Ф.Д. Гахова для канонической функции скалярной однородной задачи Римана и исследование средствами линейной алгебры конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в явном виде (в квадратурах). Число систем должно быть определено заранее. Если число этих систем находится в процессе вычислений, то мы будем считать, что получено эффективное решение.

Если имеется явное или эффективное решение задачи Маркушевича, то это еще не гарантирует, что на основе такого решения можно будет создать алгоритм приближенного решения. Далее мы увидем, что в нашем случае неустойчивость задачи Маркушевича обусловлена в основном неустойчивостью процедуры нахождения ранга матрицы. Если алгоритм явного или эффективного решения использует только вычисления в точной арифметике (например, вычисления в гауссовом поле Q(a)), то мы будем говорить о точном решении. Его можно реализовать в системах компьютерной математики таких как Maple. Поскольку получение алгоритма точного решения имеет особую значимость ввиду неустойчивости задачи, то при получении явного решения мы отдаем предпочтение методам, допускающим точные вычисления.

Для достижения поставленной цели используются два различных подхода: сведение задачи Маркушевича к матричной задаче Римана или к скалярной задаче Гильберта. При этом выделяются те случаи, когда вышеупомянутые задачи решаются в замкнутой форме.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, в котором приведены числовые примеры.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Патрушев, Алексей Алексеевич

Заключение

В диссертации разработаны методы нахождения явного решения трехэлементной и четырехэлементной задач Маркушевича на окружности в классах кусочно аналитических функций. Они основаны либо на сведении к матричной задаче Римана, либо на сведении к задаче Гильберта. Получены следующие основные результаты:

1) Построено решение в явной форме трехэлементной нетеровой задачи Маркушевича при достаточно слабых ограничениях на коэффициенты: 6(0 мероморфно продолжима в

2) Построено решение в явной форме четырехэлементной нетеровой задачи Маркушевича при двух ограничениях на коэффициенты: |а(01 Ф |6(01>

- сШЬП)) мероформно продолжима в и+.

3) Разработан алгоритм точного решения четырехэлементной нетеровой задачи Маркушевича с рациональными коэффициентами. Алгоритм реализован в виде процедуры Ехас1МагкизЬеу1сЬ4.

4) Построено решение в явной форме трехэлементной нетеровой задачи Маркушевича в классе автоморфных относительно фуксовой группы второго рода функций при двух ограничениях на коэффициенты: 1 + 6х(0 Ф 0, ^ £ Ьо , функция 6х(0 + 1 является краевым значением функции, автоморфной относительно фуксовой группы второго рода Г в области и отличной от нуля в этой области, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки и точек, конгруэнтых ей. Функция 61 (0 явно выражается через коэффициент 6(0 задачи Маркушевича. - НО!2-КО

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Патрушев, Алексей Алексеевич, 2011 год

1. Аду ков. В.М. Факторизация Винера Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. Вып 1.- С. 54-74.

2. Адуков. В.М. О точном и приближенном решении задачи факторизации Винера Хопфа для мероморфных матриц-функций /В.М. Адуков // Вестник ЮУрГУ, серия Математика, физика, химия. - 2008. - N 7(107), Вып. 10. - С. 3-12.

3. Адуков, В.М. Факторизация Винера Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Матем. сборник. - 2009. - Т.200, N 8.- С. 3-24.

4. Беркович, Ф.Д. ОБ одной бескончной системе линейных алгебраических уравнений с комплексно-сопряженными неизвестными / Ф.Д. Беркович // Из.вузов. Математика. 1966. - N 3. - С. 4-14.

5. Боярский, Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский //Сообщ.АН Груз.ССР. 1960. - Т.25, N 4.- 0. 338-390.

6. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Ве-куа. М.: Наука, 1970. - 380 с.

7. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Физматгиз, 1959. - 560 с.

8. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М. : Физматгиз, 1963. - 640 с.

9. Гахов, Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Коши / Ф.Д. Гахов. // Дифференциальные уравнения. 1966. - Т.2, N 2.- 0. 533-544.

10. Городжа, Л.В. О применении обобщенной краевой задачи Римана к расчету электрических полей / Л.В. Городжа, Ю.Г.Емец, Н.И. Жукова, Э.И. Зверович // ДАН БССР, Минск. 1979. - Т.23, N2,-0. 118-120.

11. Голубев, В.В. Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции./ В.В. Голубев. М. : Физматгиз, 1961. - 458 с.

12. Гурвиц, А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант. М. : Наука, 1968. - 648 с.

13. Давьялова, Е.В. Задача Маркушевича, содеожащая конечное число точек разрыва / Е.В. Давьялова //Системы компьютерной математики и их приложения:материалы международной конференции. Смоленск.гос.пед.ун-т. Смоленск. - 2010. Вып.11. - С. 205-208.

14. Давьялова, Е.В. Замкнутое решение частного случая четырехэлемент-ной задачи Маркушевича / Е.В. Давьялова , Э.И. Зверович //ДНАН Беларуси, Минск. 2007. - Т.51, N2,-0. 5-9.

15. Жоровина, Т.Н. Трехэлементная краевая задача Римана с постоянными коэффициентами на торе / Т.Н. Жоровина // Ред.ж. "Известия вузов. Математика". Казань. 1984. - С. 10 (Рукопись деп. в ВИНИТИ 14декабря 1984г., N 899-84 ДЕП) (РЖ Мат, 1984, 7Б111ДЕП).

16. Жоровина, Т.Н. Краевая задача Маркушевича на симметричной рима-новой поверхности / Т.Н. Жоровина //Ред.ж. "Известия АН БССР. Сер. физ.-матем.наук", Минск. 1985. - С. 19 (Рукопись деп. в ВИНИТИ 18 марта 1985г., N 1938-85 ДЕП).

17. Зверович, Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельде-ровских классах на римановых поверхностях / Э.И. Зверович // Успехи мат. наук. 1971. - Т.26, вып 1(157). - С. 113-179.

18. Литвинчук, Г.С.Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г.С. Литвинчук //ДАН СССР. 1967. - Т. 174, N 6. -С. 1268-1270.

19. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М.: Наука, 1977. - 448 с.

20. Маркушевич, А.И. Об одной граничной задаче аналитических функций А.И. Маркушевич // Уч.зап. МГУ. 1946. - Т.1, вып.100. - С. 20-30.

21. Митюшев, В.В. О решении краевой задачи Маркушевича для круговых областей / В.В. Митюшев //Ред.ж. "Известия АН БССР. Сер. физ.-матем.наук", Минск. 1984. - С. 37 (Рукопись деп. в ВИНИТИ 19 июня 1984г.,N 4073-84 ДЕП)(РЖ Мат, 1983, 10Б150ДЕП).

22. Михайлов, Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов //Тр.АН Таджик.ССР,Душанбе. 1963. - Т.1.

23. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Му-схелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

24. Николайчук, A.M. Об устойчивости краевой задачи Маркушевича /A.M. Николайчук //У.М.Ж. 1974. - Т.26, N 4. - С. 558-559.

25. Николайчук, A.M. О краевой задаче Римана с эрмитовой матрицей / A.M. Николайчук, И.М. Спитковский //ДАН СССР. 1975. - Т.221, N 6. - С. 1280-1283.

26. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. М. : ГИТТЛ, 1952. - 548 с.

27. Обносов, Ю.В. Электрические силы на поверхности раздела диэлектрических сред при наличии цилиндрического кругового включения / Ю.В. Обносов, Ю.В. Емец Ю.П. Онофрийчук // Журнал прикл.мех. и техн.физики. 1993. - Т.34, N 4. - С. 14-24.

28. Обносов, Ю.В. Точно разрешимая задача о взаимном влиянии включений в теории гетерогенных сред / Ю.В. Обносов, Ю.П. Емец Ю.П. // Журнал прикл.мех. и техн.физики. 1990. - Т.ЗО, N 1. - С. 21-29.

29. Обносов, Ю.В. Об одной задаче Маркушевича для двоякопериодических систем прямоугольных контуров /Ю.В. Обносов // Доклады ин-та мат. им. И.Н. Векуа. "Тбилиси". 1990. - Т.ЗО, N 5. - С. 149-152.

30. Обносов, Ю.В. Решение одной задачим Маркушевича в классе двояко-периодических функций с ортогональными периодами / Ю.В. Обносов //ДАН СССР. 1991. - Т.319, N 5. - С. 1125-1127.

31. Расулов, K.M. О решении обобщенной граничной задачи Маркушевича в классе аналитических функций / K.M. Расулов // Системы компьютерной математики и их приложения:материалы международной конференции. Смоленск.гос.пед.ун-т. Смоленск. - 2002 - С. 137-142.

32. Сабитов, И.Х. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / И.Х. Сабитов // Матем. сборник. 1964. - Т.64, N 2.- 0. 262-274.

33. Сабитов, И.Х. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности / И.Х. Сабитов // Сибирский матем.ж. 1964. - Т.5, N 1. -С. 124-129.

34. Салехов, Л.Г. К решению одной задачи линейного сопряжения методом симметрии / Л.Г. Салехов // Теор. функц. комплю перем. и краевые задачи. Чебоксары. - 1974. - Вып. 2. - С. 126-130.

35. Салехов, Л.Г. К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров / Л.Г. Салехов, Л.И. Чибрикова // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1968. - С. 224-249.

36. Салехов, Л.Г. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения / Салехов, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1968. - N 9. - С. 94-105.

37. Сильвестров, В.В. Краевая задача Гильберта для одной бесконечной области в классе автоморфных функций / В.В. Сильвестров // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1980. - С. 180-194.

38. Сильвестров, В.В. К вопросу об эффективности решения краевой задачи Римана для автоморфных функций / В.В. Сильвестров, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1978. - N 12. - С. 117-121.

39. Сильвестров, В.В. О вычислении рода и точках Вейершрасса фундаментального многоугольника функциональной группы / В.В. Сильвестров, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1979. - N 12. - С. 51-56.

40. Спитковский, И.М. К теории обобщенной краевой задачи Римана в классах Ьр / И.М. Спитковский // УМЖ. 1979. - Т.31, N 1.- 0. 63-73.

41. Спитковский, И.М. О блочных операторах и связанных с ними вопросах теории факторизации матричных функций /И.М. Спитковский // ДАН СССР. 1980. - Т.254, N 4.- 0. 816-620.

42. Форд, Р. Автоморфные функции / Р. Форд. М. - JL: ОНТИ, 1936. -340 с.

43. Хабибуллин, И.Т. Дискретная система Захарова-Шабата и интегрируемые уравнения /И.Т. Хабибуллин // Записки научных семинаров ЛОМИ. Дифф. геом.группы Ли и мех. 7 1985. - Т.146. - С. 137-145.

44. Хабибуллин, И.Т. Численное решение задачи аналитического сопряжения Римана /И.Т. Хабибуллин. А.Г. Шагалов //Ж. вычисл. мат. и мат.физ. 1989. - Т.29, N 3. - С. 382-391.

45. Хабибуллин, И.Т. О задаче линейного сопряжения на единичной окружности /И.Т. Хабибуллин // Мат. заметки. 1987. - Т.41, N 3 - С. 342-347.

46. Чеботарев, Н.Г. Теория алгебраических функций / Н.Г.Чеботарев. М.- Л.:Гостехиздат, 1948. 340 с.

47. Чибрикова, Л.И. Краевая задача Римана лля автоморфных функций в случае группы с двумя инвариантами / Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. 1961. - N 6. - С. 121-131.

48. Чибрикова, Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - 301 с.

49. Adukov V.M. On factorization indices of strictly nonsingular 2x2 matrix function /V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory. 1995. -Vol. 21. - N 1. - P. 1-11.

50. Mityushttv V. V. Conductivity of a sierpinski carpet /V. V. Mityushttv, P.M. Adler // Труды Института математики HAH Беларуси. 2001. - T.9, N2.- С. 7-15.

51. Silvestrov V.V. Factorization on a Riemann surface in scattering theory / V.V.Silvestrov, Y.A.Antipov // Q.JI Mech.Appl.Math. 2002. - 55(4). - P. 607-654.

52. Silvestrov V.V. Second-order functional-difference equations. l:Method of the Riemann-Hilbert problem on Riemann surface / V.V.Silvestrov, Y.A.Antipov // Q.JI Mech.Appl.Math. 2004. - 57(2). - P. 245-265.

53. Silvestrov V.V. Second-order functional-difference equations. 2:Scattering from a right-angled conductive wedge for E-polarization / V.V.Silvestrov, Y.A.Antipov // Q.JI Mech.Appl.Math. 2004. - 57(2). - P. 267-313.

54. Патрушев, А.А. К задаче Маркушевича для односвязной области /А.А. Патрушев // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1980. - С. 110-123.

55. Патрушев. А.А. Задаче Маркушевича для одной бесконечносвязной области в классе автоморфных функций /А.А. Патрушев // Тр. семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та. - 1981. - С. 132-145.

56. Патрушев, А.А. Краевая задача Маркушевича для периодических функций /А.А.Патрушев // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Изд-во Чувашского ун-та. - 1987. - С. 77-79.

57. Патрушев, А.А. Краевая задача Маркушевича в классе автоморфных функций относительно циклической группы элдиптического типа /А.А.Патрушев // Краевые задачи и их приложения. Изд-во Чувашского ун-та. - 1989. - С. 76-79.

58. Патрушев, А.А. Об одном случае явного решения задачи Маркушевича /А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во Смоленского ун-та. - 2010. Вып.11. - С. 167-168.

59. Патрушев, А.А. Решение четырехлементной задачи Маркушевича с использованием пакета Maple /А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск: Изд-во Смоленского ун-та. - 2010. Вып.11. - С. 231-233.

60. Патрушев, A.A. Четырехлементная задача Маркушевича на единичной окружности /А.А.Патрушев // Изв. Смоленского гос. ун-та. 2010. - N 4. - С. 82-97.

61. Патрушев, A.A. О точном и явном решении трехэлементной задачи Маркушевича /А.А.Патрушев, В.М. Адуков // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2011.- Т.Н. Вып. 2. - С. 9-20.

62. Патрушев, A.A. Задача Маркушевича в классе автоморфных функциий в случае произвольной окружности /А.А.Патрушев // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика. Физика. Химия. 2011. Вып. 10. - N 4. - С. 29-37.