Нелинейные математические модели схем Костаса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Юлдашев, Марат Владимирович

• Юлдашев, Марат Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юлдашев, Марат Владимирович

Оглавление

Введение

1 Нелинейные модели схем Костаса

1.1 Нелинейный анализ анализ и синтез классической схемы Костаса

1.1.1 Описание блок-схемы классической схемы Костаса

1.1.2 Предположения и обозначения

1.1.3 Основной результат

1.1.4 Характеристики фазового детектора для типовых сигналов

1.2 Нелинейный анализ и синтез QPSK Costas

1.2.1 Описание схемы QPSK Costas

1.2.2 Предположения

1.2.3 Основной результат

1.3 Нелинейный анализ анализ и синтез квадратурной схемы Костаса

1.4 Вывод уравнений схем Костаса

2 Численный анализ 43 2.1 Моделирование классической схемы Костаса

2.1.1 Описание программной модели

2.1.2 Результаты моделирования

2.1.3 Замечание для цифровых схем

2.2 Моделирование QPSK Costas

Выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные математические модели схем Костаса»

Введение

Классическая схема Костаса была изобретена известным американским инженером компании General Electric Джоном П. Костасом в 1950х годах [1,2]. Эта схема предназначена для демодуляции сигналов двоичной фазовой модуляции (BPSK) [3] и восстановления несущей [4-8]. В настоящее время указанная схема и её модификации широко применяются для цифровой передачи данных [9-14] в системах телекоммуникаций [12,15-24] и глобального позиционирования (GPS) [18,25-34], в медицинских имплан-тах [35-37] и других приложениях [38-44].

Несмотря на то, что схема Костаса является нелинейной, в современной литературе, посвященной анализу схем, основанных на фазовой автоподстройке [4-7,40,45-57], главными направлениями являются: анализ упрощенных линейных моделей, линейный анализ цепей, эмпирические правила и численное моделирование [58]. Однако, попытки строго доказать надежность заключений, основанных на инженерных подходах, встречаются достаточно редко [48,50,52,55,59-61]. Хорошо известно, что метод линеаризации и анализ линейный моделей систем управления часто ведет к неверным заключениям: "использование линейный макромоделей может вести к существенно неверным прогнозам важных явлений" [перевод с английского [62]] (см. также контрпримеры к гипотизам Айзермана и Калмана об абсолютной устойчивости [63-67], и эффекты Перрона [68]).

Строгий нелинейный анализ нелинейной схемы Костаса и её модификаций является трудной задачей. Поэтому на практике для анализа схем, основанных на фазовой автоподстройке, широко распространено использование численного моделирования. Но как было отмечено Д. Абрамовичем на пленарном докладе [58], физические модели схем в пространстве сигналов описываются нелинейными системами неавтономных дифференциальных уравнений, что делает полное численное моделирование очень сложным [69,70]. Это обусловлено тем, что требуется одновременно исследовать высокочастотную составляющую входных сигналов схемы и медленно протекающие процессы в пространстве фаз. Таким образом, достаточно малый шаг процедуры численного моделирования не позволяет рассматривать важные переходные процессы для высокочастотных сигналов за разумное время.

Для преодоления обозначенных выше сложностей, был предложен метод [71,72] построения математической модели схем Костаса в пространстве фаз сигналов, описываемой динамической системой нелинейных дифференциальных уравнений. Этот метод позволяет рассматривать лишь медленно меняющиеся сигналы в пространстве фаз. Но для применения метода, требуется определять характеристику фазового детектора (нелинейного элемента, который используется для синхронизации эталонного сигнала и подстраиваемого) [73-83]. Использование результатов анализа математических моделей для определения поведения рассматриваемой физической модели требует строго доказательства [83,84]. Для этого, в свою очередь, естественно применять методы усреднения [85,86].

В целом, требование сходимости в нелинейных неавтономных системах управления со входом [87] для вычисления предельных решений и также открытие скрытых колебаний [67,88-94], (колебаний, которые не могут быть найдены стандартными методами численного моделирования) в нелинейных динамических моделях схем фазовой автоподстройки [67], показали ненадежность применения простых методов моделирования и важность разработки и применения аналитических методов для анализа нелинейных моделей схем Костаса.

Актуальность диссертации, ко всему прочему, подтверждается статистическими данными по количеству публикаций по данной тематике за последние 5 лет (информация взята с сайта www.sciencedirect.com):

• 2008 - 503 публ.

• 2009 - 500 публ.

• 2010 - 512 публ.

• 2011 - 607 публ.

• 2012 - 680 публ.

В настоящее время используются различные классы сигналов, которые еще больше усложняют исследование нелинейных моделей схем Костаса. Настоящая работа посвящена построению и анализу математических моделей схем Костаса методом асимптотического высокочастотного анализа.

1. Нелинейные модели схем Костаса

В данной главе рассматриваются три наиболее широко применяемые на практике схемы Костаса: классическая схема Костаса, QPSK Costas и двухфазная схема. Выводятся нелинейные модели указанных схем и обосновывается вывод динамических систем, соответствующих указанным схемам.

1.1. Нелинейный анализ анализ и синтез классической схемы Костаса

1.1.1. Описание блок-схемы классической схемы Костаса

Классическая схема Костаса для синусоидальных сигналов после переходных процессов изображена на Рис. 1.1. Она предназначенной для восстановления несущей и данных из входного сигнала, полученного двоичной фазовой модуляции (BPSK). Фазомодулированный входной сигнал имеет

Рис. 1.1. Блок схема классической схемы Костаса для синусоидальных сигналов несущей и подстраиваемого генератора.

следующий вид

m(t) sin{eut),

где m(t) = ±1 — передаваемые данные, a sin (ut) — несущая с частотой и. После переходных процессов частота и фаза синусоидального выхода подстраиваемого генератора (ПГ) совпадают с частотой и фазой носителя. На нижней ветви (Q) после перемножения сигнала ПГ, сдвинутого по фазе на —90°, на входной фазомодулированный сигнал, образуется сигнал следующего вида

1 1

Q = ~(m(t) sin(O) - m(t) sin(2ut)) = -~m(t) sin(2ut).

Zà

С инженерной точки зрения, высокочастотный сигнал — \m(t) sin(2cdi) может быть отфильтрован низкочастотным фильтром. Таким образом, после низкочастотной фильтрации сигнал Q позволяет определить момент окончания переходных процессов.

На верхней ветви (/) входной сигнал умножается на выход ПГ

I = -i(m(i) cos(O) - m(t) cos(2ut)) = \ (m{t) + m(t) cos(2a;t)).

Zj Zl

С инженерной точки зрения, высокочастотная составляющая cos(2o;i) может быть отфильтрована. Так как cos(0) = 1, на верхней ветви, после фильтрации можно получить передаваемые данные m(t). Сигналы обеих ветвей перемножаются и после дополнительно низкочастотной фильтрации образуют управляющий сигнал ПГ g(t) для подстройки ПГ по частоте и фазе. После переходных процессов частота и фаза носителя и сигнала ПГ совпадают, и управляющий сигнал g(t) равен нулю.

Далее рассмотрим схему Костаса до момента синхронизации (Рис. 1.2), т.е. в случае, когда фазы несущей dl(t) и ПГ 62{t) различны.

г®

5(ш(1)со8(0Ы(О)-т(1)8т(02(О+01(ф

т(фт(е(0)

у к

вш(92(0) дГО г

ПГ

> г

Фильтр 1

Ь

ш

Фильтр 2

40

Фильтр 3

Рис. 1.2. Классическая схема Костаса с ненулевой расфазировкой 92{Ь) — в1 №

Это значит, что либо начальные частоты несущей и ПГ различны, либо начальные фазы сигналов отличаются на ненулевую величину.

1.1.2. Предположения и обозначения

Введем понятие высокочастотности сигналов /1,2(£) = У"1'2^1'2^)) (функции /1,2(0) называются формой сигнала) следующим образом. Пусть для частот

ы1'2^) = в1'2^)

существует достаточно большое число сотгП такое, что на фиксированном интервале времени [О, Т] выполнено

Ш1,2(!) > Штгп > 0, (1.1)

где Т не зависит от шт1П. Предполагается, что разность частот равномерно ограничена

- и2{Ь)\ < Аш, Ш 6 [0,Т]. (1.2)

Пусть

_ 1

<5 = ь>Лп> (1-3)

(1.4)

тогда

\шр{£)-шр{т)\ <АП,р= 1,2, |£-т| < 8, е [0,Г],

где ДГ2 не зависит от

Далее, руководствуясь применениями классической схемы Костаса [25], рассмотрим упрощенную схему (Рис. 1.3), где отсутствуют фильтры 1 и 3 на схеме изображенной на Рис. 1.2.

/гетто)

/хеш

|-90°|

Г(ешґ№)-т

Фильтр

Рис. 1.3. Упрощенная схема Костаса.

Рассмотрим задачу анализа схемы Костаса для произвольной формы сигналов (примеры различных применений таких сигналов в схемах, основанных на фазовой синхронизации, приведены в [95-100]). Пусть /1,2(в) — ограниченные 27г-периодические кусочно-дифференцируемые функции Такое предположение верно для большинства рассматриваемых классов сигналов (гармонические, импульсные, зуб пилы, полигармонические).

1 Функции с конечным числом точек разрыва первого рода, гладкие на промежутках непрерывности.

Рассмотрим описание таких сигналов в виде рядов Фурье

00

fp(0) = ? + Е (a?cos(i0) +b%sin(i0)),

г=1

< = У1 рте,

qP = - ] fP(e)cos(ie)de, ТГ-тг

Ц = fp(0) 8in(iO)dB, Р= 1,2, в>0.

Соотношение между входом и выходом линейного фильтра согласно [101] имеет следующий вид

<7(f)=aoW + /7(*-T)£(r)dT,

о

b(r)-j(t)\ = 0(6), (L5)

\t-r\< 6, Vr, t G [0,74, где £(t) — вход фильтра, cr(t) — выход, 7(t) — импульсная переходная функция с ограниченной производной, ао(^) ~~ экспоненциально затухающая функция, зависящая от начальных данных фильтра при t = 0.

Из (1.5) следует, что функция g(t) имеет вид

t

g(t)=ao(t)+[ ■y(t-r)f1(e\r))f(e^(r))

{ (1.6)

f(e\T))f(P(T)-l)dT. Рассмотрим блок-схему на Рис. 1.4. Здесь фазовый детектор (ФД) — нелинейный блок с выходом y)(Ql(t) — 92(t)), a G(t) — выход фильтра.

Пусть фильтры и их начальные данные на схемах Рис. 1.3 и Рис. 1.4

совпадают, тогда выход фильтра имеет вид

t

G(t) = ao(t) + Jl{t~ тМе\т) - в2{т))йт. (1.7)

Рис. 1.4. Фазовый детектор и фильтр

Рассмотрим 27г-периодическую функцию ср(9) вида

<№ = + ((¿М? + в1в?)соВ{1в)+

1=1

(1.8)

(А}в!-в}А1)Бш(1е)у

где коэффициенты Лр ВI выражены через коэффициенты Фурье Р'2(9) следующим образом

і "о

А =

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Юлдашев, Марат Владимирович

Выводы

Обоснованные в диссертации нелинейные модели схем Костаса в пространстве фаз обобщают известные классические результаты, полученные ранее. Эти результаты позволяют применять качественную теорию дифференциальных уравнений и динамических систем к задаче исследования переходных процессов [74, 75,103] не только для схем фазовой автоподстройки и классической схемы Костаса с синусоидальными сигналами, но и применительно к несинусоидальным сигналам и модификациям схемы Костаса.

Метод численного моделирования схем Костаса, основанный на полученных в диссертации аналитических результатах, позволяет проводить моделирование схем Костаса в пространстве фаз для различных классов сигналов, что в свою очередь позволяет сократить время моделирования схем с применением высокочастотных сигналов на несколько порядков. Таким образом существенно упрощается синтез и анализ схем Костаса, что позволяет повышать стабильность работы систем цифровой связи и расширять диапазон применяемых сигналов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юлдашев, Марат Владимирович, 2013 год

Литература

1. Costas J. Synchoronous Communications // Proc. IRE. Vol. 44. 1956. P. 1713-1718.

2. Costas J. P. Receiver for communication system. 1962. US Patent 3,047,659.

3. Proakis J. G. Digital communications. 2007.

4. Tomasi W. Electronic communications systems: fundamentals through advanced. 4th edition. Pearson/Prentice Hall, 2001. P. 947.

5. Young P. Electronic communication techniques. 4th edition. Pearson/Prentice Hall, 2004. P. 893.

6. Couch L. Digital and Analog Communication Systems. 7th edition. Pearson/Prentice Hall, 2007.

7. Best R. E. Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application. McGraw-Hill, 2007.

8. CHEN R., GUAN J.-x., ZHANG X.-m. Design and Implementation of Digital Costas-loop // Radio Engineering. 2010. Vol. 3. P. 010.

9. Stephens R. D. Phase-Locked Loops for Wireless Communications: Digital, Analog and Optical Implementations. Springer, 2001.

10. Viterbi A. Nonlinear estimation of PSK-modulated carrier phase with application to burst digital transmission // Information Theory, IEEE Transactions on. 1983. Vol. 29, no. 4. P. 543-551.

11. Malyon D. Digital fibre transmission using optical homodyne detection // Electronics Letters. 1984. Vol. 20, no. 7. P. 281-283.

12. Hodgkinson T. Costas loop analysis for coherent optical receivers // Electronics letters. 1986. Vol. 22, no. 7. P. 394-396.

13. Yu G., Xie X., Zhao W. et al. Impact of phase noise on coherent BPSK homodyne systems in long-haul optical fiber communications // Photonics and Optoelectronics Meetings 2011 / International Society for Optics and Photonics. 2011. P. 83310R-83310R.

14. Abe T., Yuan Y., Ishikuro H., Kuroda T. A 2Gb/s 150mW UWB direct-conversion coherent transceiver with IQ-switching carrier recovery scheme // Solid-State Circuits Conference Digest of Technical Papers (ISSCC), 2012 IEEE International / IEEE. 2012. P. 442-444.

15. Lerner G., Tal N., Friedman O. FM stereo decoder incorporating Costas loop pilot to stereo component phase correction. 2010. US Patent 7,787,630.

16. Liu L., Ishikuro H., Kuroda T. A lOOMb/s 13.7 pJ/bit DC-960MHz band plesiochronous IR-UWB receiver with costas-loop based synchronization scheme in 65nm CMOS // Custom Integrated Circuits Conference (CI-CC), 2012 IEEE / IEEE. 2012. P. 1-4.

17. Tytgat M., Steyaert M., Reynaert P. Time Domain Model for Costas Loop Based QPSK Receiver // Ph. D. Research in Microelectronics and Electronics (PRIME), 2012 8th Conference on / VDE. 2012. P. 1-4.

18. Tanaka K., Muto T., Hori K. et al. A high performance GPS solution for mobile use // Proceedings of the 15th International Technical Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation (ION GPS 2002). 2001. P. 1648-1655.

19. Philipp H., Scholtz A., Bonek E., Leeb W. Costas loop experiments for a 10.6 fim communications receiver // Communications, IEEE Transactions on. 1983. Vol. 31, no. 8. P. 1000-1002.

20. Park H.-c., Lu M., Bloch E. et al. 40Gbit/s coherent optical receiver using a Costas loop // European Conference and Exhibition on Optical Communication / Optical Society of America. 2012.

21. Lôpez J. A., Garcia E., Arvizu A. et al. Mutual information in weak-coherent-state detection using a homodyne optical costas loop with different phase errors // Microwave and Optical Technology Letters. 2013. Vol. 55, no. 4. P. 769-772.

22. Nanzer J. A., Callahan P. T., Dennis M. L. et al. 60 GHz broadband freespace communication using dual-wavelength photonic signal generation // Microwave Symposium Digest (MTT), 2011 IEEE MTT-S International / IEEE. 2011. P. 1-4.

23. Yan H., Zhang Z.-P. Performance analysis and improvement of phase and frequency detector at low SNR // Dianzi Xuebao(Acta Electrónica Sinica). 2011. Vol. 39, no. 1. P. 1-6.

24. Chesnutt E., Yin J., Madhavan S., Surti I. Method for data communication via a voice channel of a wireless communication network. 2012. US Patent 8,194,779.

25. Kaplan E., Hegarty C. Understanding GPS: Principles and Applications. Artech House, 2006. P. 723.

26. Humphreys T. E., Psiaki M. L., Ledvina B. M., Kintner Jr P. GPS carrier tracking loop performance in the presence of ionospheric scintillations // Proceedings of ION GNSS 2005. 2005. P. 13-16.

27. Jasper S. C. Method of doppler searching in a digital GPS receiver. 1987. US Patent 4,701,934.

28. Braasch M. S., Van Dierendonck A. GPS receiver architectures and measurements // Proceedings of the IEEE. 1999. Vol. 87, no. 1. P. 48-64.

29. Beier W. Receiver for bandspread signals. 1987. US Patent 4,672,629.

30. An'an Z., Du Yong H. F. Design and Implementation of Costas Loop on FPGA Platform [J] // Electronic Engineer. 2006. Vol. 1. P. 006.

31. Mileant A., Hinedi S. Overview of arraying techniques for deep space communications // Communications, IEEE Transactions on. 1994. Vol. 42, no. 234. P. 1856-1865.

32. Tang X.-M., Xu P.-C., Wang F.-X. Performance comparison of phase detector in navigation receiver's tracking loop // Journal of National University of Defense Technology. 2010. Vol. 32, no. 2. P. 85-90.

33. Misra R., Palod S. Code and Carrier Tracking Loops for GPS C/A Code // Int. J. Pure Appl. Sci. Technol. 2011. Vol. 6, no. 1. P. 1-20.

34. Hegarty C.J. GNSS signals—An overview / / Frequency Control Symposium (FCS), 2012 IEEE International / IEEE. 2012. P. 1-7.

35. Hu Y., Sawan M. A fully integrated low-power BPSK demodulator for implantable medical devices // Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on. 2005. Vol. 52, no. 12. P. 2552-2562.

36. Luo Z., Sonkusale S. A novel BPSK demodulator for biological implants // Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on. 2008. Vol. 55, no. 6. P. 1478-1484.

37. Xu W., Luo Z., Sonkusale S. Fully digital BPSK demodulator and multilevel LSK back telemetry for biomedical implant transceivers // Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on. 2009. Vol. 56, no. 9. P. 714-718.

38. Wang Y., Leeb W. R. A 90 optical fiber hybrid for optimal signal power utilization // Appl. Opt. 1987.-Oct. Vol. 26, no. 19. P. 4181-4184.

39. Miyazaki T., Ryu S., Namihira Y., Wakabayashi H. Optical Costas loop experiment using a novel optical 90 hybrid module and a semiconductor-laser-amplifier external phase adjuster // Optical Fiber Communication. Optical Society of America, 1991. P. WH6.

40. Djordjevic I. B., Stefanovic M. C., Ilic S. S., Djordjevic G. T. An Example of a Hybrid System: Coherent Optical System with Costas Loop in Receiver-System for Transmission in Baseband //J. Lightwave Technol.

t

1998.-Feb. Vol. 16, no. 2. P. 177.

41. Djordjevic I. B., Stefanovic M. C. Performance of Optical Heterodyne PSK Systems with Costas Loop in Multichannel Environment for Nonlinear Second-Order PLL Model // J. Lightwave Technol. 1999.-Dec. Vol. 17, no. 12. P. 2470.

42. Cho P. S. Optical Phase-Locked Loop Performance in Homodyne Detection Using Pulsed and CW LO // Optical Amplifiers and Their Applications/Coherent Optical Technologies and Applications. Optical Society of America, 2006. P. JWB24.

43. Hayami Y., Imai F., Iwashita K. Linewidth Investigation for Costas Loop Phase-Diversity Homodyne Detection in Digital Coherent Detection System // Asia Optical Fiber Communication and Optoelectronic Exposition and Conference. Optical Society of America, 2008. P. SaK20.

44. Nowsheen N., Benson C., Frater M. A high data-rate, software-defined underwater acoustic modem // OCEANS 2010 / IEEE. 2010. P. 1-5.

45. Lindsey W. Synchronization systems in communication and control. New Jersey: Prentice-Hall, 1972.

46. Lindsey W., Simon M. Telecommunication Systems Engineering. NJ: Prentice Hall, 1973.

47. Шахгильдян В., Ляховкин А. Системы фазовой автоподстройки частоты. Москва: Связь, 1972.

48. Suarez A., Fernandez Е., Ramirez F., Sancho S. Stability and Bifurcation Analysis of Self-Oscillating Quasi-Periodic Regimes // IEEE transactions on microwave theory and techniques. 2012. Vol. 60, no. 3. P. 528-541.

49. Feely O. Nonlinear dynamics of discrete-time circuits: A survey // International Journal of Circuit Theory and Applications. 2007. no. 35. P. 515-531.

50. Feely O., Curran P. F., Bi C. Dynamics of charge-pump phase-locked loops // International Journal of Circuit Theory and Applications. 2012.

51. Gardner F. Interpolation in Digital Modems - Part I: Fundamentals // IEEE Electronics and Communication Engineering Journal. 1993. Vol. 41, no. 3. P. 501-507.

52. Margaris W. Theory of the Non-Linear Analog Phase Locked Loop. New Jersey: Springer Verlag, 2004.

53. Razavi B. Phase-Locking in High-Performance Systems: From Devices to Architectures. 2003.

54. Manassewitsch V. Frequency synthesizers: theory and design. Wiley. 2005.

55. Suarez A., Quere R. Stability Analysis of Nonlinear Microwave Circuits. New Jersey: Artech House, 2003.

56. Lapsley P., Bier J., Shoham A., Lee E. A. DSP Processor Fundamentals: Arhetecture and Features. New York: IEE Press, 1997.

57. Benarjee D. PLL Perforfmance, Simulation, and Design. 4th edition. Dog Ear Publishing, 2006. P. 344.

58. Abramovitch D. Phase-Locked Loops: A control Centric Tutorial // Proceedings of the American Control Conference. Vol. 1. 2002. P. 1-15.

59. Abramovitch D. Lyapunov Redesign of analog phase-lock loops // Communications, IEEE Transactions on. 1990. Vol. 38, no. 12. P. 2197-2202.

60. Kudrewicz J., Wasowicz S. Equations of Phase-Locked Loops: Dynamics on the Circle, Torus and Cylinder. World Scientific, 2007. Vol. 59 of A.

61. Banerjee T., Sarkar B. Conventional and Extended Time-delayed Feedback Controlled Zero-crossing Digital Phase Locked Loop // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2012. art. no. 1230044.

62. Lai X., Wan Y., Roychowdhury J. Fast PLL simulation using nonlinear VCO macromodels for accurate prediction of jitter and cycle-slipping due to loop non-idealities and supply noise // Proceedings of the 2005 Asia and South Pacific Design Automation Conference. 2005. P. 459-464.

63. Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2011. Vol. 18, no. 1. P. 2494-2505.

64. Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Seledzhi S. M. Hidden oscillations in nonlinear control systems // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2011. Vol. 18, no. 1. P. 2506-2510.

65. Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Algorithms for searching for hidden oscillations in the Aizerman and Kalman problems // Doklady Mathematics. 2011. Vol. 84, no. 1. P. 475-481.

66. Bragin V. 0., Vagaitsev V. I., Kuznetsov N. V., Leonov G. A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011. Vol. 50, no. 4. P. 511-543.

67. Leonov G. A. G. V., Kuznetsov. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractors in Chua circuits // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013. Vol. 23, no. 1. art. no. 1330002.

68. Leonov G. A., Kuznetsov N. V. Time-varying linearization and the Perron effects // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17, no. 4. P. 1079-1107.

69. Abramovitch D. Efficient and flexible simulation of phase locked loops, part I: simulator design // American Control Conference. Seattle, WA: 2008. P. 4672-4677.

70. Abramovitch D. Efficient and flexible simulation of phase locked loops, part II: post processing and a design example // American Control Conference. Seattle, WA: 2008. P. 4678-4683.

71. Gardner F. Phase-lock techniques. New York: John Wiley, 1966.

72. Viterbi A. Principles of coherent communications. New York: McGraw-Hill, 1966.

73. Leonov G. A. Computation of phase detector characteristics in phase-locked loops for clock synchronization // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78, no. 1. P. 643-645.

74. Леонов Г. А. Вычисление характеристик фазовых детекторов для систем автоподстройки высокочастотных тактовых генераторов // Доклады академии наук. 2008. Vol. 421, по. 5. Р. 611-613.

75. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. 2006. по. 10. Р. 47-55.

76. Леонов Г. А., Селеджи С. М. Синтез блок-схемы и анализ устойчивости астатической системы фазовой автоподстройки для цифровых сигнальных процессоров // Автоматика и телемеханика. 2005. по. 3. Р. 11-19.

77. Leonov G. A., Seledzhi S. М. Design of Phase-Locked Loops for Digital Signal Processors // International Journal of Innovative Computing. 2005. Vol. 1, no. 4. P. 1-11.

78. Leonov G. A., Seledghi S. M. Stability and bifurcations of phase-locked loops for digital signal processors // International journal of bifurcation and chaos. 2005. Vol. 15, no. 4. P. 1347-1360.

79. Leonov G. Computation of phase detector characteristics in phase-locked loops for clock synchronization // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78, no. 1. P. 643-645.

80. Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Neittaanmáki P. et al. Nonlinear Analysis of Phase-locked loop // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2010. Vol. 4, no. 1. P. 34-38.

81. Kuznetsov N. V., Neittaanmáki P., Leonov G. A. et al. High-frequency analysis of phase-locked loop and phase detector characteristic computation // ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2011. Vol. 1. P. 272278.

82. Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Yuldashev M. V., Yuldashev R. V. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design // ISSCS 2011 - International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings. 2011. P. 7-10.

83. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Yuldahsev M. V., Yuldashev R. V. Analytical method for computation of phase-detector characteristic // IEEE Transactions on Circuits and Systems - II: Express Briefs. 2012. Vol. 59, no. 10. P. 633-647.

84. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Yuldahsev M. V., Yuldashev R. V. Computation of phase detector characteristics in synchronization systems // Doklady Mathematics. 2011. Vol. 84, no. 1. P. 586-590.

85. Krylov N., Bogolubov N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Princeton: Princeton University Press, 1947.

86. Mitropolsky Y., Bogolubov N. Asymptotic Methods in the Theory of NonLinear Oscillations. New York: Gordon and Breach, 1961.

87. van den Berg R., Pogromsky A., Rooda K. Convergent Systems Design: Anti-Windup for Marginally Stable Plants // 45th IEEE Conference on Decision and Control. Optical Society of America, 2006. P. 5441-5446.

88. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Vagaitsev V. I. Localization of hidden Chua's attractors // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, no. 23. P. 22302233.

89. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Vagaitsev V. I. Hidden attractor in smooth Chua systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241, no. 18. P. 1482-1486.

90. Leonov G. A. G. V., Kuznetsov. Hidden oscillations in drilling systems: torsional vibrations // Journal of Applied Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 2, no. 1. P. 83-94.

91. Leonov G.A. N., Kuznetsov. Hidden oscillations in dynamical systems: 16 Hilbert's problem, Aizerman's and Kalman's conjectures, hidden attractors in Chua's circuits // Journal of Mathematical Sciences. 2013. P. [in print].

92. Kuznetsov N., Kuznetsova O., Leonov G., Vagaitsev V. Informatics in Control, Automation and Robotics, Lecture Notes in Electrical Engineering, Volume 174, Part 4. Springer, 2013. P. 149-158.

93. Leonov G., Kuznetsov N. V. Numerical Methods for Differential Equations, Optimization, and Technological Problems, Computational Methods in Applied Sciences, Volume 27, Part 1. Springer, 2013. P. 41-64.

94. Leonov G. A., Kuznetsov N. V., Kuznetsova 0. A. et al. Hidden oscillations in dynamical systems // Transaction on Systems and Control. 2011. Vol. 6, no. 2. P. 54-67.

95. Henning F. H. Nonsinusoidal Waves for Radar and Radio Communication. First edition. Academic Pr, 1981. P. 396.

96. Wang L., Emura T. A high-precision positioning servo-controller using non-sinusoidal two-phase type PLL // UK Mechatronics Forum International Conference. Elsevier Science Ltd, 1998. P. 103-108.

97. Sutterlin P., Downey W. A power line communication tutorial - challenges and technologies // Technical Report. Echelon Corporation, 1999.

98. Wang L., Emura T. Servomechanism Using Traction Drive // JSME International Journal Series C. 2001. Vol. 44, no. 1. P. 171-179.

99. Chang G., Chen C. A Comparative Study of Voltage Flicker Envelope Estimation Methods // Power and Energy Society General Meeting - Conversion and Delivery of Electrical Energy in the 21st Century. 2008. P. 1-6.

100. Sarkar A., Sengupta S. Second-degree digital differentiator-based power system frequency estimation under non-sinusoidal conditions // IET Sci. Meas. Technol. 2010. Vol. 4, no. 2. P. 105-114.

101. Thede L. Practical analog and digital filter design. Artech House, 2005.

102. Леонов Г. А., Кузнецов H. В., Юлдашев М. В., Юлдашев Р. В. Вычисление характеристик фазового для сигналов общего вида // Доклады Академии Наук. 2011. Vol. 439, по. 4. Р. 459-463.

103. Kudrewicz J., Wasowicz S. Equations of phase-locked loop. Dynamics on circle, torus and cylinder. World Scientific, 2007. Vol. 59 of A.