Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Анатольевна

• Кузнецова, Ирина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Анатольевна

Введение

Некоторые вводные сведения

1 Глава. Краевые задачи для уравнения Геллерстедта

1.1 Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с вырождением разного рода в конечной области.

1.1.1 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) с вырождением второго рода.

1.1.2 Доказательство единственности решения задачи 1.

1.1.3 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения.

1.1.4 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) при т = 0 — уравнения Лаврентьева - Бицадзе.

1.1.5 Доказательство единственности решения задачи

1.1.6 Получение сингулярного интегрального уравнения и доказательство существования решения задачи.

1.1.7 Постановка задачи для уравнения (1.1.1) с вырождением первого рода . . .'.

1.1.8 Доказательство единственности решения задачи 1.

1.1.9 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи.

1.2 Задачи со смещением для уравнения Геллерстедта в неограниченных областях.

1.2.1 Постановка задачи в области, эллиптическая часть которой полуплоскость.

1.2.2 Доказательство единственности решения задачи 1.

1.2.3 Получение сингулярного интегрального уравнения и доказательство существования решения задачи.

1.2.4 Постановка задачи Трикоми в области, эллиптическая

часть которой — полу полоса.

1.2.5 Представление решения задачи 1.5 в области эллиптичности

1.2.6 Функциональное соотношение между т2(х) и u-2(x) в области гиперболичности.

1.2.7 Единственность решения.

1.2.8 Доказательство существования решения задачи.

1.3 Нелокальная задача для уравнения Геллерстедта гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

1.3.1 Постановка задачи и доказательство единственности решения

1.3.2 Сведение к интегральному уравнению Фредгольма и доказательство существования решения.

1.3.3 Постановка задачи 1.7 и доказательство единственности решения.

1.3.4 Сведение к сингулярному интегральному уравнению и доказательство существования решения задачи 1.

2 Глава. Нелокальные краевые задачи для уравнения

Бицадзе — Лыкова

2.1 Задача с обобщенными операторами дробного интегродифферен-цировапия для уравнения влагопереноса (|а| < 1), содержащая внешние и внутренние коэффициенты степенного характера

2.1.1 Постановка задачи при |«| <

2.1.2 Сведение к интегральному уравнению Вольтерра и доказательство однозначной разрешимости.

2.1.3 Исключительные случаи (а = ±1)

2.2 Задачи со смещением для уравнения влагопереноса с двумя краевыми условиями

2.2.1 Однозначная разрешимость задачи 2.4.

2.2.2 Однозначная разрешимость задачи 2.5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений смешанного и гиперболического типов»

Актуальность темы исследования. Изучение краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Этот класс уравнений имеет разнообразные приложения в газовой динамике трансзвуковых течений [59], [62], магнитной гидродинамике [19], теории оболочек [9], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [4], математической биологии [37|, теории лазерного излучения [35].

Основы теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов заложены в известных работах Ф. Трикоми [57], С. Геллерстедта [64],[65], Ф.И. Франкля [59],[60]. Дальнейшее развитие исследований представлено в работах М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко [3], С.П. Пулькина, М.М. Смирнова и других авторов.

Исследования уравнений с переменными коэффициентами содержат громоздкие вычисления, в связи с чем М.А. Лаврентьев и А.В. Бицадзе предложили новую модель уравнений [7],[23] (уравнение Лаврентьева - Бицадзе) ихх + sgn у • иуу = 0.

Изучению еще одного класса задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И. Жегалова [15],[16] и A.M. Нахушева [30], [31j,[34],[36]—[38]. В постановке этих задач, в отличие от задачи Трикоми, краевое условие связывает значения решения уравнения или его дробной производной в точках, расположенных на характеристиках разных семейств и на линии вырождения уравнения.

Краевые задачи как с локальным, так и нелокальным смещением для гиперболического и смешанного типов уравнений были объектом исследования многих авторов. Отметим работы В.Ф. Волко-давова [10],[11], М.М. Смирнова [54],[55], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [14], Е.И. Моисеева [27],[28], С.К. Кумыковой [21],[22], О.А. Репина [44],[46],[48],[49], К.Б. Сабитова [50], Л.С. Пулькиной [42], [43], Р.С. Хайруллина [61], Ф.Г. Мухлисова [29], Н.Б. Плещин-ского [40] и других.

Краевые условия в первых работах по изучению задач со смещением содержали интегралы и производные дробного порядка Римана - Лиувилля. В последующих публикациях в постановке задач применялись операторы, введенные Э. Лавом [66], А. Мак-Брайдом [68],

М. Сайго [69], которые являются обобщением классических операторов Римана-Лиувилля.

Краевые задачи, содержащие эти операторы, исследовались в работах М. Сайго [69]—[73], М.М. Смирнова [56], А.А. Килбаса и О.А. Репина [18], Д. Аманова [1], [2], С.И. Макарова [26] и других авторов.

Остановимся на нескольких работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации.

В работе [17] И.Л. Кароль представил одно из первых исследований краевых задач для уравнения смешанного типа второго рода.

Для уравнения ихх + sgn у\у\т • иуу = 0 (0 <т< 1) автор доказал существование и единственность решения задачи Три-коми в случае, когда граница эллиптической части смешанной области является так называемой "нормальной кривой". Решение данной задачи при у > 0 является регулярным, а при у < 0 - обобщенным-решением из класса i?2 •

В работе [39] З.А. Нахушевой исследована задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной кривой Жордана при у > 0 и характеристиками уравнения при у < 0. Решение задачи, постановка которой содержит операторы Римана - Лиувилля, сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения.

М.Е. Лернер и О.А. Репин в работе [25] для уравнения

Утихх + иуу = 0 (т > -1) в бесконечной области D, ограниченной при у > 0 полупрямыми х = 0, х = 1 и отрезком прямой у = 0, исследовали задачу с нелокальным условием u(0,y)-u(l,y) = <pi(y), у> о и локальными краевыми условиями их(0,у) = <р2(у), У > 0; п(ж,0) = т(х), 0 < X < 1; lim и(х, у) = 0, 0 < х < 1. у-юо

Решение задачи получено методом разделения переменных, а его единственность доказана с использованием принципа экстремума.

В работе [47] О.А. Репиным изучена задача Трикоми для уравнения sgny\y\m ■ ихх + иуу = 0 (га > 0) в бесконечной области D, эллиптическая часть которой — полуполоса {(ж, у) |, 0 < ж < 1, > 0}, а гиперболическая часть ограничена характеристиками АС и ВС, >1(0,0), 5(1,0). Постановка задачи содержит краевые условия и(0,у) = (pi{y), и(1,у) = р2{у), 0 < у < оо; u\AC = ip(x), 0 < ж <1/2.

Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью вспомогательных функций (методом "abc"), а решение строится методом разделения переменных и применения преобразования Ганкеля.

Цель работы. Целью работы является:

1. Постановка и исследование новых нелокальных краевых задач для уравнений Геллерстедта и Бицадзе-Лыкова в ограниченных и неограниченных областях.

2. Выявление случаев, допускающих возможность получения решений рассмотренных задач в явном виде.

3. Определение условий на параметры операторов дробного инте-гродифференцирования, па заданные функции и действительные постоянные, которые дают возможность наиболее широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Общая методика исследования. В работе применяется аппарат специальных функций, интегральное преобразование Ганкеля, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного иптегро-дифференцирования, известные принципы экстремума для дифференциальных уравнений.

Научная новизна заключается в следующих результатах:

1. Для модельного уравнения смешанного типа (уравнения Гел-лерсгедта) с вырождением первого и второго рода в явном виде получено решение новых задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. При этом представлен широкий спектр изменения функций и констант, входящих в краевые условия.

2. Для уравнения влагопереноса (уравнения Бицадзе-Лыкова) доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач, содержащих производные и интегралы дробного порядка в смысле М. Сайго. Выявлены условия, при которых справедлив принцип экстремума.

3. Развита методика сведения краевых задач со смещением к разрешимости интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода или сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Положения, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Поставлены и исследованы новые нелокальные задачи со смещением для уравнения Геллерстедта с вырождением первого и второго рода с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования М. Сайго в краевых условиях для ограниченных и неограниченных областей.

2. Установлены значения параметров операторов, входящих в краевые условия, для которых справедливы теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач.

3. Для уравнения Бицадзе-Лыкова изучены новые нелокальные задачи, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и М. Сайго.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения рассмотренных задач методом редукции к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма второго рода или сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши.

Апробация результатов. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты исследований представлены и доложены на

- ежегодных научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в 2005 - 2007 годах (Самара, СамГТУ);

- международной конференции "Современные методы физико -математических паук" в 2006 году (Орел, ОГУ);

- V Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" в 2007 году (Нальчик - Эльбрус);

- международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" в 2007 году (Новосибирск, НГУ);

- всероссийской научно - практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.П. Пулькина "Интегративный характер современного математического образования" в 2007 году (Самара, СГПУ);

- международном Российско - Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в 2008 году (Нальчик - Эльбрус);

- международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" в 2008 году (Стерлитамак, СГПА);

- XII международной научной конференции им. академика М. Кравчука в 2008 году (Киев),

- научном семинаре кафедры "Дифференциальные уравнения" Казанского государственного университета в 2009 году (руководитель д. ф.-м. п., профессор В.И. Жегалов).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы, которая состоит из введения, вводных сведений и двух глав.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кузнецова, Ирина Анатольевна

Заключение

В данной диссертационной работе для гиперболо-эллиптических уравнений поставлены и исследованы задачи со смещением, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного инте-гродифференцирования.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных задач для уравнения смешанного типа с вырождением первого и второго рода и уравнения Лаврентьева - Бицадзе.

2. Доказана однозначная разрешимость обобщенной задачи Три-коми для уравнения Геллерстедта в областях, эллиптические части которых — полуплоскость и бесконечная полуполоса.

3. Исследована нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения в области, ограниченной характеристиками уравнения. Доказана однозначная разрешимость задачи.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач со смещением для уравнения Бицадзе - Лыкова (уравнения влагопереноса) с различными значениями коэффициентов при младших производных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Анатольевна, 2009 год

1. Аманов, Д. Краевая задача для уравнения sgny\y\muxx + хпиуу = 0 в неограниченной области / Д. Аманов // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1984. - №2. - С. 8-10.

2. Аманов, Д. Некоторые нелокальные краевые задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / Д. Аманов // Докл. АН УзССР. 1984. - №7. - С. 4-7.

3. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко// Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 2 (54). С. 160.

4. Бакиевич, Н. И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения / Н.И. Бакиевич // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 1(91). - С. 171-176.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 1. М.: Наука, 1973. 294 с.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 2. М.: Наука, 1974. - 296 с.

7. Бицадзе, А. В. О некоторых задачах смешанного типа / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, №4. С. 561-564.

8. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В. Бицадзе // М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Веку а, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Ве-куа // М.: Физматгиз, 1959. 628 с.

10. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук/ В.Ф. Волкодавов // Казань, 1969.

11. Волкодавов, В. Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев // Учеб. пособие. Куйбышев, 1984. 80 с.

12. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов // М.: Наука, 1977. 640 с.

13. Денисова, 3. Г. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения signy\y\muxx + иуу = 0 в неограниченной области / З.Г. Денисова // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №1. -С. 170-173.

14. Дснсураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев // Ташкент, 1979. -238 с.

15. Жегалов, В. И. К задачам со смещениями для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский ун-т, 1980. Вып. 17. - С. 63-73.

16. Жегалов, В. И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. 1982. - №10. - С. 15-18.

17. Каролъ, И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 88, №2. - С. 197-200.

18. Килбас, А. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной / А.А. Килбас, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №5. С. 638644.

19. Коган, М. М. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа / М.М. Коган // Прикл. матем. и мех. 1961. Т. 25, №1. - С. 132-137.

20. Краснов, М. JI. Интегральные уравнения / M.JL Краснов // М.: Наука, 1975. 304 с.

21. Кумыкова, С. К. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / С.К. Кумыкова // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №1. - С. 106-114.

22. Кумыкова, С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения signy\y\muxx + иуу = 0 / С.К. Кумыкова // Дифферент уравнения. 1976. Т. 12, №1. - С. 79-88.

23. Лаврентьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1950. -Т. 70, №3. - С. 373 - 376.

24. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат // М.:Наука, 1987. -688 с.

25. Лернер, М. Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1999. -Т. 35, №8. С. 1087 - 1093.

26. Макаров, С. И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / С.И. Макаров // Вестник ЛГУ. 1987. Сер. 1, вып. 1. - С. 117-118.

27. Моисеев, Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №1. С. 99-103.

28. Моисеев, Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №1. - С. 110-121.

29. Нахушев, А. М. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, №1. - С. 44-59.

30. Нахушев, А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / A.M. Нахушев // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, №4. С. 736-739.

31. Нахушев, А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №1. С. 100-111.

32. Нахушев, A. М. К теоррш вырождающихся гиперболических уравнений / A.M. Нахушев // Сообщения АН Груз. ССР. 1975. Т. 77.

33. Нахушев, A. М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1643-1649.

34. Нахушев, А. М. О нелинейных обобщениях закона Бугера-Ламберта-Бера о теоретическом эффекте локализации особенности градиента концентрации молекул в поглощающей среде / A.M. Нахушев, А.Ю. Беккиев // Нальчик, НИИ ПМА, Препринт №2, 1992.

35. Нахушев, A. М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка / A.M. Нахушев // Нальчик: Эльбрус, 1992. 155 с.

36. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев // М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

37. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / A.M. Нахушев // Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. 2000. - 299 с.

38. Нахушева, 3. А. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / 3.А. Нахушева // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конференции. Ч. 3. - Самара. - 2004. -С. 165-167.

39. Плещинский, Н. Б. К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений / Н.Б. Плещинский // Тр. семинара по краевым задачам, вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1979. - С. 112-125.

40. Полянин, Ф.Д. Справочник по интегральным уравнениям / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -608 с.

41. Пулъкина, JI. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Математические заметки. 1992. Т. 51. №3. - С. 91-96.

42. Пулькина, JI. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Математические заметки. 2003. - Т. 74. - В. 3. - С. 435-445.

43. Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О.А. Репин // Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1992. 160 с.

44. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа / О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 23. т. С. 173-176.

45. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / О.А. Репин // ДАН (Россия). 1994. - Т. 335, №3. - С. 295-296.

46. Репин, О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. -Т. 32, №4. - С. 565567.

47. Репин, О. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / О.А. Репин, Т.В. Шувалова // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44. - №6. - С. 848-851.

48. Репин, О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения / О.А. Репин // Дифференц. уравнения, 1998. - Т. 34, Ш. - С. 110-113.

49. Сабитов, К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина / К.Б. Сабитов // ДАН (Россия). 1994. - Т. 335, №4. - С. 430432.

50. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Салахитдинов // Ташкент, 1974. 154 с.

51. Самко, С. Г. Интегралы и призводные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Ма-ричев // Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

52. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов // М.: Наука, 1966. 292 с.

53. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа./ М.М. Смирнов // М.: Наука, 1970. 295 с.

54. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа /М.М. Смирнов // М.: Высш. шк., 1985. 304 с.

55. Смирнов, М. М. Краевая задача типа задачи Бицадзе- Самарского для одного уравнения смешанного типа второго рода / М.М. Смирнов // Дифференц. уравнения с частными производными. Л. - 1988. - С. 64-72.

56. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа./ Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1947. 192 с.

57. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных/ Ф. Трикоми // М.: ИЛЛ, 1957. 443 с.

58. Франклъ, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Фраикль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. №2. С. 121-142.

59. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль // М.: Наука, 1973. 711 с.

60. Хайруллин, Р. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае неограниченной области / Р.С. Хайруллин // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, №11. - С. 2010-2017.

61. Чаплыгин, С. А. О газовых струях / С.А. Чаплыгин // М.-Л.: ГИТА, 1949. 144 с.

62. Agmon, S. A maximum principe for a class of hyperbolic equation and applications to mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon,

63. Nirenberg, M. Prottcr j j Communs pure and Appl. Math. 1953. Vol. 4. P. 455-470.

64. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux imites pour une equation lineaire aux derives particielles du second ordre de type mixte / S. Gellerstedt // These, Uppsala, 1935.

65. Gellerstedt, S. Sur une equation lineaire aux derives particielles de type mixte / S. Gellerstedt // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25A.29. P. 1-23.

66. Love, E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions / E.R. Love // Proc. Edinbourgh Math. Soc. 1967. -Vol. 15, №3. - P. 169-198.

67. Manwell, A. R. The Tricomi equation with applications to the theory of plane transonic frow. res / A.R. Manwell // Notes Math.1979. №75. 185 p.

68. McBride, A. C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalized functions / A.C. McBride // Proc. Edinbourgh Math. Soc. 1975. - Vol. 19, №3. - P. 265-285.

69. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. Vol. 11, №2. - P. 135-143.

70. Saigo, M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M.Saigo // Math. Japan. 1979. - Vol. 24, №4. - P. 377-385.

71. Saigo, M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals derivatives / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ.1980. Vol. 12, №2. - P. 55-62.

72. Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94. - Singapore, 1995. P. 282-293.

73. Saigo, M. On a non local boundary value problem for an equation of parabolic-hyperbolic type / M. Saigo, O.A. Repin, A. A. Kilbas // International Journal of Mathemat. And Statistical. 1996. - Vol. 5, №1. - P. 104-117.

74. Репин, О. А. О некоторых краевых задачах для уравнения Бицадзе-Лыкова / О.А. Репин, И.А. Кузнецова // Современные методы физико-математических наук: Тр. международной конференции (9-14 окт. 2006 г., Орел). Т. 1. / Орел: Изд-во ОГУ, 2006. - С. 100-104.

75. Кузнецова, И. А. Краевая задача для уравнения Геллерстед-та с операторами М. Сайго на характеристиках / И.А. Кузнецова // Вестник Самарск. гос. тех. ун-та. Сер. физ.-матем. науки. №43 / Самарск. гос. тех. ун-т. Самара, 2006. - С. 19-24.

76. Кузнецова, И. А. О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения влагопереноса / И.А. Кузнецова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики : Материалы V Школы молодых ученых / Нальчик -Эльбрус, 2007. С. 82-84.

77. Кузнецова, И. А. Задача со смещением для уравнения смешанного типа / И.А. Кузнецова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2007. - Т. 9, №2. -С. 44-48.

78. Кузнецова, И. А. О разрешимости в явном виде одной нелокальной задачи / И.А. Кузнецова // Материалы междунар. научной конференции им. М. Кравчука (Киев, 15-17 мая 2008 г.).- К.: ТОВ "Задруга", 2008. С. 222.

79. Кузнецова, И. А. Об обобщенной задаче Трикоми / И.А. Кузнецова, О.А. Репин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы : Тр. междунар. конференции (24-28 июня 2008 г., г. Стерлитамак) / Уфа : Гилем, 2008. Т. III. - С. 226-230.

80. Кузнецова, И. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения Геллерстедта / И. А. Кузнецова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. №6(65).- 2008. С. 105-111.