Краевые задачи для системы уравнений с частными производными дробного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мамчуев, Мурат Османович

• Мамчуев, Мурат Османович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мамчуев, Мурат Османович

Введение

1 Краевые задачи в прямоугольной области

§ 1. Общее представление решения

§ 2. Построение матрицы Грина первой краевой задачи

§ 3. Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи.

§ 4. Смешанная задача.

§ 5. Смешанная задача для системы общего вида.

2 Краевые задачи в неограниченных областях

§ 1. Задача Коши в нелокальной постановке

§ 2. Асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений

§ 3. Краевая задача на полуоси

3 Применение к краевым задачам для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части

§ 1. Задача Коши в нелокальной постановке

§ 2. Общее представление решения

§ 3. Краевая задача в полуполосе.

§ 4. Функции Грина основных краевых задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для системы уравнений с частными производными дробного порядка»

Оператор дробного интегродифференцирования по Риману и Лиу-виллю и различные его обобщения играют существенную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения. Основополагающие результаты в этом направлении получены в известных работах А.В. Бицадзе [4], Т.Д. Джураева [5], В.И. Жегалова [6] - [8], Е.И. Моисеева [42], A.M. Нахушева [43], [44], О.А. Репина [68] - [71], М.С. Сала-хитдинова [72], М. Сайго [77], [78].

Краевые задачи со смещением для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа сделали вполне очевидным, что без развития дробного исчисления невозможно реализовать ал-гебраизацию теории уравнений смешанного типа.

Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обобщением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой [45], [47], [48].

В настоящее время, "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [47, с.8]. В частности, этим обусловлен рост внимания исследователей к дробному исчислению, и актуальность развития методов решения краевых задач для уравнений и систем с частными производными дробного порядка.

Многие вопросы переноса и диффузии физических и биологических субстанций в средах с фрактальной геометрией и классической теории тепла сводятся к решению начальных, краевых и смешанных задач для систем двух дифференциальных уравнений в частных производных вида

D?Lu + \ux = aiiu + ai2V1

0.1)

Dgyv — \vx = d2\u + a2 2Vf где и = u(x,y) и v = v(x,y) - действительные функции действительных переменных х и у, a G (0,1), Л > 0, а^' (hj = 1,2) - заданные величины, DqV - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) инте-гродифференцирования порядка \v\ с началом в точке а и с концом в точке у, определяющийся следующим образом [47, с. 9]:

Dvayu(x, t) = I у sign(у-а) Ъ u(x,t)dt л r(-v) J \v-t\"+l' v ^ U' a U x,y), I/ = 0, k SignM+I(y - и > 0, V

Г(г) - гамма-функция Эйлера, [и] - целая часть числа и.

В частности, к системе (0.1) с а = йц = а\2 = а>22 — 0 редуцируется задача определения потока тепла на торце полубесконечного однородного стержня, который в начальный момент времени имеет нулевую температуру [47, с. 160].

Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены работы [25] - [27], [74], [75].

Краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными и со спектральным параметром посвящены работы Т.С. Алероева [1] - [3].

Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка исследовались в работах В.К. Вебера и М.И. Иманалиева [9] - [12], [24] .

Интенсивному развитию дифференциальных уравнений дробного порядка значительно способствовала книга С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.А. Маричева [73].

Краевые задачи для нелокальных уравнений в частных производных, содержащих дробные производные исследовались в ряде работ, цитируемых в монографии [47]. Так, в работах [28] и [29] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с ре-гуляризованной дробной производной. Уравнение диффузии дробного порядка и обобщенное волновое уравнение исследовались в работах [13] -[22], [49], [59] - [63], [66].

В работах А.В. Псху рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка [52], [54] - [58]. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач [59] - [63], [66]. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка [64], [65]. В работе [51] исследована краевая задача и получен аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка.

В работах С.Х. Геккиевой [13] - [22] исследованы краевые задачи для уравнения дробной диффузии. Получено фундаментальное решение [14], доказаны теоремы существования и единственности решений первой краевой задачи [13], задачи Коши в видоизмененной постановке [14] и краевой задачи в полубесконечной полосе [19], [20]. Для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях [15] - [18], [21].

В настоящей диссертации исследуются основные краевые задачи для линейных матричных и связанного с ними класса скалярных уравнений в частных производных, содержащих производные дробного порядка по одной из двух независимых переменных.

Для исследуемых уравнений и систем:

1. Получены общие представления решения в прямоугольной области.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решений основных краевых задач, задачи Коши в нелокальной постановке и краевой задачи в полубесконечной полосе.

3. Построены функции Грина краевых задач и фундаментальные решения.

4. Изучены асимптотические поведения фундаментальных решений на бесконечности.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена краевым задачам для систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в прямоугольной области.

В §1 первой главы для системы дифференциальных уравнений

L w(x,y) = D$yw(x,y) + B(x,y)wx(x,y) + C{x,y)w(x,y) = f(x,y), (0.2) где w(x,y) = \\u{x,y),v(x,y)\\ - искомая, a f(x,y) = \\fi{x,y), f2{x,y)\\ - заданная вектор-функции, a £ (0,1), B(x,y) и C(x,y) - матрицы-функции размера 2x2, получено общее представление решения в прямоугольной области = {(гг, у) : 0<х<1, 0<у< Т}, Т < оо.

Доказана

Теорема 1.1. Пусть Qy = {(£, s) : 0<t< I, 0<s< у},

B(x,y) g Вх(х,у) 6 l(q) г/ матрица z(x,y,t,s) удовлетворяет следующим условиям:

1) в области Qy при фиксированных (х,у) Е П матрица z является решением уравнения

L*z(x, у, t, s) = DySz(x, у, i, s) - у, t, s)B(t, s)]t + г:(ж, г/, t, s)C(t, s) = 0;

2) для любого вектора g{x) = \\gi(x),g2(x)\\€:c{xi,x2}i O<X1<X2<I, выполняется соотношение lim J [D*~lz(x, у, t, s)] = g(x), xi < x < x2;

Xl

3) элементы матрицы z являются непрерывными в QxQy\{y = s} функциями, и для любых точек (х, у) € Q и (t, s) € выполняется неравенство z(x,y,tlS)\<K(y-S)a-\ где К - постоянная матрица с положительными элементами.

Пусть w(x,y) - решение системы (0.2) такое, что yl~aw(x,y) € € С(П) П и \imDQ~1w(x,y) = ф(х), тогда у-* 0 у w

I У х,у) = J z(x,y,t,0)ip(t)dt + J z(x,y,0,s)B(0,s)w(0, s)ds— у i J z(x, у, I, s)B(l,s)w(l,s)ds + J j z(x,y,t, s)f(tJs)dtds. 0 00

В §2 методом интегрального преобразования Лапласа построена матрица Грина первой краевой задачи для системы

Doyw(x, У) + &wx(x, у) - Aw{x, у) = f(x, у),

0.3)

Л о Л > 0, А = aij = const (i,j = 1, 2). где Л =

0 -Л

Задача 1.1. В области О. = {(#,?/) : 0 < х < I, 0 < у < Т} , Т < оо, найти решение w(x,y) = \\и(х, у), v(x, ?/)j| системы (0.3), удовлетворяющее следующим условиям: lim Dq~xw = <р(х), 0 < х < I, где (f(x) = v(y) - заданные функции.

Матрицей Грина первой краевой задачи называется матрица z(x,y,t, s), удовлетворяющая вместе с условиями 1) - 3) теоремы 1.1, условиям limzn(x,y,t,s) = limz2i{x, у, t,s) = 0, £->/ t-*l imzi2(x,y,t,s) = lim 2:22(2, y, t, s) = 0.

0 t^Q

Будем обозначать w(0, у) = fi(y), v{l, y) = v(y), 0 < у < T, oo

71=0

- функцию типа Райта.

Матрица Грина имеет вид

G(x,y,t,s) = S(x,y,t, s) + T(x,y,t,s), где S(x, у, t, s) = ||Sij(a;, ?/, t, s)|| - матрица с элементами j Г oo OO

0 n=0

OO OO sl2(x, у, t, s) = J g(Y, т) E r)dr, о n=0

OO oo

S2i(x,y,t,s) = l$ea°x fg(Y,r) E r)dr,

0 n=0

OO oo п г oo oo

S22(z, 2/, t, 8) = J g(Y, r) E *l2(x, t, r)dr; о n=0

Г(ж, s) = — t,y — s) = Г(Х, Y) - матрица с элементами Гц(Х, Y) = / 9(У, + {e^g(Y, Х)П(Х), О oo

Г12(Х, У) = / g(Yt r)h0(X, r)dr, о oo

Г21(Х, У) = / т)Ло(Х, r)dr, о

Г22(Х, Y) = Jg{Yt r)dr-\-jea°xg(Y, -X)V(-X);

ФЦ = Фi>(x,ttr), X = x-t, Y = y-s,

Ф*1 = -hit2n+2(X1 Ф«2 = -Л1,2П+1№ ,v 1 ■ (-l)^(r - - X), a12a21 < 0,

1,m( ' T) " < (Г - - X), a12a21 > 0, hi(X,r) = (-lyjidaWr2 - X2)r/(r - \X\), al2a21 < 0, Ь(ау/тГ=Х*)ф - |X|),a12a2i > 0, ' = S п!Г(тп+п+1) И — S г»!Г(ш+п+1) n=0 n=0

- функции Бесселя, т]{т) - функция Хевисайда, a0,i = flll2^1'2) a = , ® + t + 2nZ, X2,n = = -ж - t + 2(n + 1)Z,

Х^п = X^n(x,t) = -x + t + 2nl, = X^n(x,t) = x-t + 2nl, [/3] - целая часть числа /3.

В §3 доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для системы (0.3).

Теорема 1.2. Пусть yl~af{x,y) € С(П) П С1^), <р(х) в С[0;/]П ПС^О;/), y^MiV1'01^) G С[0; TjflC^O; Т), и выполняются условия согласования limP^VW = ¥>i(0), ИmD£lv(t) = ^(1).

Тогда существует единственное решение задачи 1.1, такое, что yl~aw(x,y)e ОДПС1^). Решение имеет вид у w х, у) = Л J[G(x, у, I, s) + G(x, у, 0, 5)] fi(s) u(s) ds+ l у l J G(x,y,t,Q))ip(t)dt + J J G(x, y, t, s)/(£, s)dtds. 0 0 0

В §4 рассмотрена смешанная задача для системы (0.2).

Задача 1.2. Найти решение w(x,y) = \\u(x}y),v(x,y)\\ системы

0.2), удовлетворяющее следующим условиям: lim= у?(ж), 0 <х<1,

7пи(0, у) + 7i2v(0, у) = fj,(y)t 0 < у < Т,

721 и(1, у) + 722v(l, у) = и(у), 0 < у < Т, где <р(х) = \\<pi(x), ^(аОЦ, v{y) ~ заданные функции.

Доказана

Теорема 1.3. Пусть В =

А О О -Л yl-af{x,y) е Одпс1^), ф)еС[0;1]ПС1(0;1), у^Ху), yl~av{y) G С[0; Т] ПС^О; Г), 711722 ф О, и выполняются условия согласования limDJJ-VW = 711V1 (0) + 7i2<P2(0), 2/—>0

М*) = 721^1 (0 + 722^2(О

2/—>0

0.4)

0.5)

Тогда существует единственное решение задачи 1.2, такое, что yl~aw(x,y) 6 ОДПС1^).

В §5 теорема существования и единственности решения смешанной задачи доказана для системы более общего вида.

Ьц Ьи

Теорема 1.4. Пусть В — А,- = (-1 )г+1ч/=ЖВ,

621 —6ц detB < 0, (6ц-Л07г2 ф 6127а (< = 1,2), " ф) € С[0; I] П С1 (0-1), yl-ali(y),yl-av(y)eC{Q-,T)r\Cl{^T), у1-а/(х,у)еС(П)ПС1(П), ивы-полняются условия согласования (0-4), (0.5). Тогда существует единственное решение задачи 1.2, такое, что y1~aw(x, у) G C(Q) П С1^).

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для системы (0.3) в неограниченных областях.

В §1 исследована задача Коши в нелокальной постановке. Задача 2.1. В области О = {(а:, у) : —оо < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x,y) системы (0.3) удовлетворяющее следующему условию: lim Dqv lw = <р(х), — оо < х < -Ьоо, у-> о где ф(х) = ^>20*011 ~ заданная вектор-функция.

Доказана

Теорема 2.1. Пусть уг~а/(х,у) = 0(exp(x£)), ip(x) — Ofexpfa^)), £ < rb пРи Н 00 и yl~af(x,y) 6 C^nC^Q), (f(x) G С^—oo, +оо), тогда существует единственное решение задачи 2.1, такое, что yl~Qw(x,y) € C(Q) П CX(Q) и yi~aw{x,y) = 0(ехр(же)) при \х\ оо. Решение задается формулой оо у +оо w{x,y)= J r(x,y,t,0)<p(t)dt + J J Y(x,y,t,s)f(t,s)dtds, oo 0 —oo где Г(ж, ?/, t, s) = — t,y — s) = Г(Х, У) - матрица с элементами

Г„(Х, У) = fg(Y, ^^ph^X, T)dr + ip(y, X)n(X), 0 oo

Г12РС V) = Bf 9(Y, T)ho(X, r)di 0

00

Г21(Х, Y) = gr / 9(Y, r)ho(X, r)dr, 0 0 h (X T) = / MW^l < 0, Ii(a\Zr2 - X^r - |X|), a12a21 > 0, a = ф) - функция Xeeuсайда.

В §2 для матрицы Г(:г, у, t, s) получена оценка и асимптотическая формула

Г(я, у, t, s) - ехр (-*d|Af°), |Х| -юо, оо где £о = Ei(z,fi) — Y1 T(ari+fi) ~ функция типа Миттаг-Леффлера а п=0

23, с.117], К и Ко - некоторые постоянные матрицы, а к и ко - положительные числа, зависящие от а.

В §3 для системы (0.3) рассматривается следующая Задача 2.2. В области = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x,y) системы (0.3), удовлетворяющее начальному

HitiDq"1?/; = ip(x), 0 < х < +оо,

2/-> о и краевому u(0,y) = }i(y), 0 < у < Т, условиям, где <р(х) = ||</?i(a:),Lp2{x)\\ и fi(y) - заданные функции. Доказана

Теорема 2.2. Пусть y1~af(x,y) — 0(ехр(х£)), <р(х) — 0(ехр(х£)), £< Тh>nPu > 2/1а/(ж' У) е П C^Q+J, <р(х) G С[ 0, +оо)П

ПС1(0,+оо), у1~ар,(у) G С[0,Т] П С1(0,Т), и выполняется условие согласования limDg"1//^) = ^(О). Тогда существует единственное решение задачи 2.2, такое, что y1~aw(x,y) £ С(0+) П C1(fi+) и y1~ocw(x, у) = 0(ехр(ж£)) при х —> +оо . Решение имеет вид w оо у х,у)= J G+(x, у, t, 0)cp(t)dt + J G+(x,y,0,s) i(s) 0 ds+ y +00 о 0 где G+(x, y, t, s) = \\G^(x, y, t, s)|| - матрица с элементами g(Y,X)r)(X), oo

G12(x, y,t,8) = ffif g(Y, т) [Ло(|Х|, r) - r)] dr, 0 oo

G&or, y,t,s) = §$f g(Y, t) [h0(\X\, t) - r)] dr, 0 здесь X = x — t, X\ = x + t.

В третьей главе результаты первых двух глав применяются к решению краевых задач для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части.

В §1 исследуется задача Коши в нелокальной постановке. Задача 3.1. Найти решение и(х,у) уравнения

DoУи(х,у) - ихх(х,у) + bD$yu(x,y) + си(х,у) = f(x,y), (0.6) в области Г2 = {(ж,?/) : —со < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, такое, что у1~аи(х, у) Е C(f2), ихх, иу Е C(Q), и удовлетворяющее начальному условию lim DZ~lu = r(x), —oo<x< +oo, y—tO uy где a = 2/3 E (0,1), 6, с - заданные действительные числа, f(x,y), т(х) - заданные функции.

Методом редукции уравнения (0.6) к системе уравнений с частными производными дробного порядка доказана

Теорема 3.1. Пусть y1~af(x,y) = 0(ехр(#е)), т{х) = 0(ехр(же)), е < пРи W °° и yl af{xi У) € C^JnC1^), т(х) Е С^—оо, +оо), тогда существует единственное решение задачи 3.1, такое, что yl~au(x,y) G C(Q), ихх, иу е C(Q), и у1~аи(х,у) = 0(ехр(х£)) при —> оо . Решение задается формулой оо у +оо и(х,у) = J T(x,y,t,0)t(t)dt + J J T(x,y,t,s)f(t,s)dtds, где

-оо 0 —оо оо

Г(аг, у, t, s) = | J ^—-еh0(x - t, r)dr,

Ло(ж - t,r) = Jodal^-(x-t)2), b2 < 4c, о(<ч/т2-(*-*)2), 62 > 4c, u h{z) ~ функции Бесселя, a\ = — a = ^b2~4c .

В доказательстве теоремы 3.1 использован метод редукции уравнения (0.6) к системе уравнений с частными производными дробного порядка.

В §2 получено общее представление решения уравнения (0.6) в прямоугольной области.

Теорема 3.4. Пусть функция v = v(x,y,t,s) удовлетворяет следующим условиям:

1) в области Ц, = {(£, s) : 0 < t < 0 < s < у} при фиксированных (х, у) £ Г2 функция v является решением уравнения

L*v = D%sv(x, у, t, s) - vtt(x, у, t, 5) + bD^sv(x, у, t, s) + cv(x, y, t, s) = 0;

2) для любой функции g(x) 6 C[x 1,^2], 0 < x\ < X2 < l, выполняется соотношение lim / g(t)D^~xv(x, у, t, s)dt = д(хг), xi < х < s->y у у

Xi

3) функция v непрерывна в Q X Qy \ {у = s}, и для любых точек (х,у) g $1 и (£, s) £ Г2у выполняется неравенство v(x,y,t,s)\<k(y-s)-1+P, где к - положительная константа.

Функция и(х,у) такова, что ?/1аи(ж,?/) £ C(£l), ихх, иу £ С(Г2), производная их непрерывна вплоть до участков границы х = 0 и х = I, и и(х,у) является решением уравнения (0.6) удовлетворяющим краевому условию limZ^'V^s) = т(х), О <х<1.

Тогда для функции и{х, у) выполняется соотношение у и{х, У) = JКж, У, I, s)ut(l, s) - v(ar, г/, О, s)ut(О, s)-о vt(x, у, s) + т/, О, s)w(0, s)]ds+

I I у

4- J r(t)v(x, у, t, 0)dt + J J v(x,y,t,s)f(t,s)dtds. о oo

В §3 исследуется краевая задача для уравнения (0.6) в полубесконечной полосе. С помощью метода функции Грина выписано решение и доказана его единственность.

Задача 3.2. В области Q = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т},

Т < сю, найти решение и(х,у) уравнения (0.6), удовлетворяющее условиям lim Dq ~lu(x, у) = т(х), 0 < х < +оо, у—» О у

0,у) = у(у), 0<у <Т, где г (a:) « - заданные функции.

Доказана

Теорема 3.5. Пусть уг~а/(х,у) = 0(ехр(х£)), г(х) = 0(ехр(х£)), £ < Jпри х +оо, yl~af{x,y) £ С(й)ОС1(П), т(х) Е С[0,+оо)П ПС^О, +оо), у1~аф{у) Е C^TjnC^O, Т), и выполняется условие согласования limDQ~1ip(y) = г(0). Тогда существует единственное решение у-+ о у задачи 3.2, такое, что уг~аи(х,у) Е C(Q), ихх, иу Е С(Г2), их Е L(Q) и у1~аи(х, у) = 0(ехр(я£)) при х —^ +оо . Решение имеет вид 00 у и(х,у)= J G(x1y,t10)t(t)dt + j Gt{x,y,0,s)ip(s)ds+ o о у +оо J J G(x,y,t,s)f(t,s)dtds, о 0 где G(x,y,tjs) = T(x,y,t,s)— T(x,y,—t,s), T(x,y,t,s) - фундаментальное решение уравнения (0.6).

В §4 рассматриваются первая, вторая и смешанные краевые задачи для уравнения (0.6). Найдены функции Грина этих краевых задач.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[41].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Мамчуев, Мурат Османович

Заключение

Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов систем нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными и уравнения с оператором дробной диффузии в главной части, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы:

1. Для систем нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными:

1.1. Доказана теорема 1.1 об общем представлении решения системы в прямоугольной области. Построена матрица Грина (1.13) первой краевой задачи.

1.2. Доказаны теоремы 1.2, 1.3, 1.4 существования и единственности решений первой краевой 1.1 и смешанной 1.2 задач для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

1.3. Доказаны теоремы 2.1 и 2.2 существования и единственности решений задачи Коши 2.1 в нелокальной постановке и краевой задачи 2.2 в полубесконечной полосе.

1.4. Построена фундаментальная матрица (см. стр. 55) решений системы и матрица Грина краевой задачи в полубесконечной полосе (см. стр. 68).

1.5. Для фундаментальной матрицы решений системы получена оценка (2.19) и асимптотическая формула (2.20).

-892. Для линейного нелокального дифференциального уравнения с оператором дробной диффузии в главной части:

2.1. Доказана теорема 3.1, существования и единственности решения задачи Коши 3.1 в нелокальной постановке. Построено фундаментальное решение (3.4).

2.2. Доказана теорема 3.4 об общем представлении решения уравнения в прямоугольной области.

2.3. Доказана теорема 3.5, существования и единственности решения краевой задачи 3.2 в полубесконечной полосе и построена ее функция Грина (3.19).

2.4. Построены решения и функции Грина (3.34), (3.35), (3.39), (3.40) первой, второй и смешанных краевых задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мамчуев, Мурат Османович, 2005 год

1. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 829-831.

2. Алероев Т.С. К проблеме о нулях функции типа Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №9. С. 1278-1279.

3. Алероев Т.С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №10. С. 1422-1423.

4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

5. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. - 240 с.

6. Жегалов В.И. Некоторые задачи для уравнения смешано-составного типа в бесконечной области // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 9. Казань. 1972.

7. Жегалов В. И. Задача Гурса со смещением. // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 22. Казань. 1985. С. 79-87.

8. Жегалов В.И. Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешаного типа / Докт. дис. Казань. 1987. 297 с.

9. Вебер В.К. Структура общего решения системы у^ = Ау, О < а < 1 // Тр. Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1976. Вып. 11. С. 26-32.

10. Вебер В. К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983. Вып. 16. С. 119-125.

11. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985. Вып. 18. С. 301-305.

12. Вебер В.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространствах обобщенных функций // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985. Вып. 18. С. 306-312.

13. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1, №1. С. 17-18.

14. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, №1. С. 16-19.

15. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2001, №2 (7). С. 78-80.

16. Геккиева С.Х. О некоторых аналогах задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Тезисы докладов. -Воронеж: ВГУ, 2001. С. 50.

17. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5, №2. С. 18-22.

18. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. №1 (8). С. 6-8.

19. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области. «Понтрягинские чтения-XIII». Сб. материалов. Воронеж: ВГУ, 2002. С. 37.

20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

21. Иманалиев М.И., Вебер В.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применении // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980. Вып. 13. С. 49-59.

22. Кобеле в B.JI. и др. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. Т. 355, №3. С. 326-327.

23. Кобелев B.JI. и др. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН. 1998. Т. 361, №6. С. 755-758.

24. Кобелев Я. Л. и др. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369, №3. С. 332-333.

25. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1359-1368.

26. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №4. С. 660-670.4

27. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2002. №1 (8). С. 3742.

28. Мамчуев М. О. Метод матрицы Грина для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2002. Т.6.1. С. 18-21.

29. Мамчуев М.О. Краевые задачи для системы дифференциальныхуравнений с частными производными дробного порядка в неограниченных областях //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.7. №1. С. 60-63.

30. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. Т.7. №1. С. 56-59.

31. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2004. №2 (12). С. 116-118.

32. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробногопорядка с постоянными коэффициентами //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2005. Т.7. №2. С. 38-45.

33. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №1. С. 110-121.

34. Нахушев A.M. Новая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187, №4. С. 736-739.

35. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №1. С. 44-59.

36. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 59 с.

37. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

38. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физма-тлит, 2003. -272 с.

39. Нахушева В.А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Нальчик,

40. НИИ Прикладной математики и автоматицации КБНЦ РАН, 1998. -9 с.

41. Никифоров А. Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций.- М.: Наука, 1974. 303 с.

42. Псху А.В. Аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка // "Понтрягинские чтения-XIII". Сб. материалов.- Воронеж. 2002. С. 127.

43. Псху А.В. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2002. Т. 6, №1. С. 35-47.

44. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, №1. С. 45-53.

45. Псху А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Известия КБНЦ РАН. 2002. №1(8). С.76-78.

46. Псху А.В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, № 8. С. 1092-1099.

47. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, №10.

48. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, № 9.

49. Псху А. В. Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Труды института математики НАН Беларуси. Минск. 2001. С. 101-111.

50. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 2001. 43 с.

51. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Тезисы докладов Весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XII", г. Воронеж, 2001. С.124-125.

52. Псху А.В. Условие типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.6. №1. С. 35-47.

53. Псху А.В. Функции Грина краевых задач для уравнения дробного порядка // Сб. трудов Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Самара. 2002. С. 269-273.

54. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука. 1983. - 751 с.

55. Репин О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное и дробное интегродифференцирование / Докт. дис. Минск: БГУ, 1998.

56. Репин О.А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.

57. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. - 156 с.

58. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

59. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №1. С. 138-139.

60. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. Т. 108, вып. 5(11). С. 1875-1884.

61. Wright Е.М. The generalized Bessel function order greater than one // Quart. J. Math., Oxford Ser., 1940, 11, 36-48.

62. Saigo M. Certain Boundary Value Problem for the Euler-Darboux Equation, II // Math. Japon. 1979. V. 24., №1. P. 377-385.

63. Saigo M. Certain Boundary Value Problem for the Euler-Darboux Equation, III // Math. Japon. 1981. V. 26., №1. P. 103-119.