Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Салихов, Рустам Назипович

• Салихов, Рустам Назипович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Салихов, Рустам Назипович

Введение

Вводные сведения

1. Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования

Глава 1. Нелокальные задачи с операторами Римана-Лиувилля

1.1. Задача со смещением

1.2. Аналог первой задачи Дарбу.

1.3. Аналог второй задачи Дарбу.

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Нелокальные задачи с операторами М. Сайго и Эрдейи-Кобера

2.1. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера.

2.2. Существенно нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера

2.3. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения

2.4. Краевая задача с обобщенными краевыми условиями.

2.5. Выводы ко второй главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений»

Актуальность работы. Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа в настоящее время является очень важным разделом теории дифференциальных уравнений с частными производными. Во многих научных школах России (Москва, Нальчик, Самара, Казань) и за рубежом (Минск, Алма-Ата, Ташкент, Бишкек) бурно развивается направление нелокальных краевых задач, в том числе задач с операторами дробного интегро-дифференцирования в граничных условиях, т.е. таких задач для дифференциальных уравнений в частных производных, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области.

Такое внимание к теории нелокальных краевых задач не случайно, так как дифференциальные уравнения с частными производными нашли важные применения в различных задачах математической физики, химии и т.п. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале окруженной пористой средой, распространение электромагнитных полей и установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область. Как отмечено в обзорной статье О. А. Олейник [55], изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Эти практические приложения дифференциальных уравнений в частных производных приводят к необходимости изучения как локальных, так и нелокальных краевых задач для уравнений различного типа.

Систематическая разработка теории краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа с четкой постановкой задач, доказательством существования и единственности решения, началась в 20-30 годы прошлого столетия. В эти годы Ф. Трикоми [76] и С. Геллерстедтом [84] были получены основополагающие результаты.

Следующим шагом в развитии теории вырождающихся уравнений различного типа стали работы Ф.И. Франкля [79], [78], в которых он разработал важные практические применения изучаемых уравнений в газовой динамике. Позже М.А. Лаврентьев отметил целесообразность исследования краевых задач для уравнений более простого вида, изучение которых позволяет раскрыть основные свойства решений данных уравнений. Так, совместно с A.B. Бицадзе в работе [30] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лавреитьева-Бицадзе. В последующих работах A.B. Бицадзе [6-11] было продолжено исследование задач, поставленых в [30].

Основой развития краевых задач со смещением явились важные исследования, полученные В. И. Жегаловым [16],[17] и А. М. Нахушевым [49-51]. Глубокие результаты в этом направлении представлены в работах А. В. Бицадзе [6-11], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [21, 22], Г. Д. Каратопракли-ева [23], Л. С. Пулькиной [61, 62], Ф. Г. Мухлисова [40-42], Р. С. Хайрулли-на [80, 81], Н. Б. Плещинского [37, 57], К. Б. Сабитова [67], А. Н. Зарубина [18-20], А. И. Кожанова [27], С. А. Алдашева [1] и других математиков.

Благодаря исследованию А. М. Нахушева [45-52], его учеников и последователей, стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля. Нелокальным задачам, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования, посвящены работы таких известных математиков и их учеников как М. М. Смирнов [73-75], М. С. Салахитди-нов [69, 70], В. А. Елеев [13-15], А. А. Килбас [25, 26, 36], О. А. Репин [36, 6366], А. Хасанов [70, 82], А. В. Псху [58-60], М. Б. Лернер [31-33], С. К. Кумы-кова [29], А. А. Андреев [3, 4], Д. Аманов [2], С. И. Макаров [34, 35], С. Ю. Назаров [43, 44], Е. Н. Огородников [54], 3. А. Нахушева [53] и другие.

Настоящая работа посвящена продолжению исследований в этом направлении. Ставятся различные нелокальные задачи с операторами дробного ин-тегро-дифференцирования в краевых условиях. Актуальность исследований краевых задач, когда граничные условия содержат операторы дробного ин-тегро-дифференцирования, можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением этих задач, играющих большую роль в малоизученных задачах и проблемах современной физики, химии, биологии, механике, явлениях в средах с фрактальной структурой.

Цель диссертационной работы. Целью работы является:

1. Доказательство единственности и существования решений новых краевых задач с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, М. Сайго и Эрдейи-Кобера в граничных условиях для уравнений у\2тихх + уиуу + аиу = 0 (1) и у\2тихх - згдп{у){уиуу + аиу) = 0 , (2) где ?71 и & — заданные действительные постоянные.

2. Изучение влияния изменения спектра значений параметровт и а уравнений (1) и (2), а также параметров в краевых условиях на корректность исследуемых задач.

3. Разработка методики сведения изучаемых задач со смещением к интегральным уравнениям Вольтерра и сингулярным интегральным уравнениям.

4. Выделение и исследование частных случаев, допускающих получение решений в замкнутом виде.

Общая методика исследования. Для доказательства существования и единственности решения задал применялись теория дифференциальных уравнений с частными производными [12, 68, 83], аппарат дробного интегро-дифференцирования [71, 85-87] и специальных функций, теория интегральных уравнений [28, 38, 39, 56, 72, 77].

Научная новизна. Работа содержит следующие элементы научной новизны:

1. Постановка и исследование новых нелокальных задач для вырождающихся гиперболических уравнений, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования или их комбинации в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго.

2. Изучение эффекта влияния как параметров дифференциального уравнения, так и параметров операторов дробного интегрирования и дифференцирования на корректную постановку краевых задач со смещением.

3. Разработка методов сведения исследуемых задач к вопросам разрешимости интегральных уравнений Вольтерра второго рода и сингулярных интегральных уравнений.

4. Исследование частных случаев, допускающих возможность нахождения явных решений изучаемых задач.

Практическая ценность. Как локальные, так и нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных представляют наибольший интерес среди математических моделей различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и других процессов. В отличии от других методов изучения моделей реального мира, теоретическое решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных помогает наиболее точно изучить свойства и поведение изучаемого явления или объекта, и представляет собой огромную практическую ценность. Поэтому исследование новых краевых задач было выбрано в качестве объекта изучения.

Материалы диссертации в большей степени носят не столько практический, сколько теоретический характер. Полученные результаты исследования могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории нелокальных краевых задач для уравнений различных типов и представляют интерес для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области дифференциальных уравнений, краевых задач, дробного интегро-дифференцироваиия, интегральных уравнений и в смежных областях, так или иначе связанных с использованием полученных результатов.

Отметим, что уравнение (1) являлось предметом изучения многих математиков. А. В. Бицадзе оно было предложено и исследовано при ■1~227^ < а < 1 в работах [9-11] как модель уравнений смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа. Он показал [9], что задача Коши с данными на линии вырождения у = О, вообще говоря, не является корректной по Адамару. В связи с этим в работе [9] были предложены видоизмененные постановки задачи Коши для этого уравнения. Некоторые видоизмененные задачи Коши и задачи со смещением, когда а не удовлетворяет условию (1 — 2т)/2 < а < 1, были исследованы В. А. Елеевым [13, 14]. Обобщенная задача Дарбу была предложена и изучена Н. Р. Ахметовым [5]. Заметим также, что уравнения (1) и (2) в характеристических координатах можно представить в виде уравнения Эйлера-Дарбу, что нами сделано на стр. 51 для уравнения (1). Однако для наших исследований удобнее использовать данные уравнения в координатах (ж, у).

Содержание работы. Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Далее следуют сведения, носящие вспомогательный характер. Вводятся определения операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго и приводятся некоторые их свойства, необходимые в дальнейшем.

В главе 1 рассмотрены краевые задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля для уравнения (1), когда — т ^ а < 1, 7тг>|.

Обозначим через — конечную односвязную область плоскости независимых переменных х и у, ограниченную характеристиками

2 , . 2пг+1 2 . , 2т+1 уравнения (1) и отрезком 1 = АВ = {х : 0 < х < 1}. Введем следующие обозначения: точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х € 7 с характеристиками АС и ВС соответственно; то = 2т*+1 (рис. 1.). В §1.1 для уравнения (1) изучена следующая задача:

Задача 1. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям и(х,0) = т(х), 0 < х < 1, Л(/0>[©о])0т) + 5(77и[©1])(гс) = д(х), 0 < ж < 1, 8

Рис. 1. Область Di. где т(х), д{х) — известные функции, и — операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, А и В — действительные постоянные, — 1 < 7 < 0, о/ = | — га, га >

Вопрос существования и единственности решения задачи 1 сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 1 получено в явном виде. Таким образом, доказана теорема:

Теорема 1. Пусть а = | — m и выполнены условия д(х) € #А[0,1], 1 + 7 < А < 1, Уж € [0,1] т{х) = О, -г-н5-^ 0, A-Bcosiry ф 0.

А—В COS7T7 ' / /

Тогда задача 1 имеет, и притом единственное, решение.

В §1.2 вводится множество W(AB) функций и{х,у) таких, что lim [а(х, у)их Н- Ъ(х, + с(х, у)и\ G С( J) , где а(х, г/), у), с(ж, ?/) — заданные функции требуемой гладкости, причем, если не оговорено, предполагается существование пределов а(х,у), Ь(х,у), с(х,у) при у —0—. Здесь же рассматривается

Задача 2. Найти решение уравнения (1) из класса u(x,y) Ç. С (Di) Pl C2(Di) P) W(AB), удовлетворяющее краевым условиям lim [a(x, y)ux + b(x, y)uy + с(ж, y)u] = d(x), y-> 0

А(Ц+и[е0]){х) = Bv(x) +-ф(х), где v(x) = lim (-y)*~muy(x, y), y-> oa(x,y), b(x,y), c(x,y), d(x) и ip(x) — заданные функции, A m В —действительные постоянные, А, В ф 0, 7 > 0; ^о = 2^+1' а ~ \ ~~ т-> 111 >

Вопрос существования и единственности решения задачи 2 сведен к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. Результаты представлены в виде теоремы:

Теорема 2. Пусть а = \ — m и выполнены условия а(х, у), ф, 0), ¿(ж) G C(J)f)Cl(J), b(x, 0) e C(J), ф(х) e Cl(J), a(x, 0) ф 0 Va; G J.

Тогда задача 2 имеет, и притом единственное, решение.

В §1.3 ставится задача, аналогичная задаче 2, но в последнем краевом условии функция v(x) заменена на т(х):

Задача 3. Найти решение уравнения (1) из класса и(х-,У) £ С (Di) ПС2(А) (\W(AB), удовлетворяющее краевым условиям lim [а(ж, у)их 4- Ь(х, y)uy + с(х, y)u) = d(x), Î/-+0где т(х) = а(х: 0), а(х, у), Ь(х, у), с(х, у), и ф(х) - заданные функции, А и В — действительные постоянные, А, В ф 0, 7 > 2/?+1, т0 = /3 = ^¿Jff, \~m < а < 1, m>

Вопрос существования и единственности решения задачи 3 аналогично сведен к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. Справедлива теорема:

Теорема 3. Пусть | — m < а < 1 и выполнены условия b(x,y) = (—y)abi(x), а(х, 0) = xai(x), а(х, 0), с(х, 0) G CX(J), С^П^СА Va; e J.

Тогда задача 3 имеет, и притом единственное, решение.

В главе 2 рассмотрены нелокальные краевые задачи для уравнения (1) и аналогичного ему уравнения (2). Но в данной главе краевые условия содержат операторы в смысле М. Сайго и Эрдейи-Кобера.

Следуя И.Л. Каролю, в §2.1 вводится понятие класса i?2 функций и ставится следующая

Задача 4. Найти в области Di решение и(х,у) е R.2 уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям lim [(^"^^^(i.rt^fi.i/))^) + =

2/-+0- L ^ ^ J

B(Il:d+1>S^+ß~1 Кт(-уГиу(г,у))(х) = ^(аг), . где <pi(x) и ср2(%) — известные функции, Eq+ — оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Эрдейи-Кобера, Т^'1 и — операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго, А и В — действительные постоянные, А, В ^ 0, 7, S, а, Ь, с — заданные числа, ß = \) > —2т < а <\ — т, т>

Вопрос существования и единственности решения задачи 4 сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 4 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 4. Пусть —2т <а<|-ти выполнены условия а(х, у) = (~у)аа г(х), О<-у-0 + 1<1,6>--у + 0-1, -(b + 2ß - 1) < min{0, а + 2 - 2ß + с}, А0 > 0, 0 < а + 1 - 2ß < Ах ^ 1, А2 > 0, <рг{х) = (Т?;^1,0'-^-1^) W, аг(х) е #А°[0, 1],

Тогда задача 4 имеет, и притом единственное, решение.

В §2.2 рассмотрена задача, аналогичная задаче 4, но здесь ищется регулярное решение задачи, а также существенно изменено первое краевое условие.

Задача 5. Найти решение и(х,у) € С (Di) П C2(D\) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям lim \(E^2ß-1a(t,y)uJJ(t,y))(x)^u(x1y)}^Mx), (3) у—*О- L J

7+/J~4öo])(aO + ВЩ:^0'-^-1 Дт (~УГиу(х, У))(х) = ^(я), (4) где ifi(x) и ц>2(х) — известные функции, А и В — действительные постоянные, А, В ф 0, 7, с — заданные числа, | — т < а < 1, т >

Вопрос существования и единственности решения задачи 5 таким же образом сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 5 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 5. Пусть | — т < а < 1 и выполнены условия а(х,у) = (-y)axai(x), 0<7-/? + 1<1-2/?, с> —у +/? — 1,

Ао > о, лх > о, л2 > о, cpi — (4;2/?'2/3-V= (Efcß+1^+e-^2)(x), ai(x) E #л°[0,1], фi(x) G ЯЛ1[0,1], e #A2[0,1].

Тогда задача задача 5 имеет, и притом единственное, решение.

Отметим, что задачу с подобным условием (3) для вырождающегося гиперболического уравнения рассматривал С.Ю. Назаров, однако в данной работе были использованы только операторы Римана-Лиувилля. Краевое условие (4) названо A.M. Нахушевым как нелокальное внутреннекраевое условие, но A.M. Нахушсв использовал также операторы Римана-Лиувилля.

Далее в §2.3 рассмотрено уравнение (2), аналогичное (1), но в верхней полуплоскости у > 0 уравнение (2) является гиперболическим, в то время как уравнение (1) в данной области эллиптично.

Обозначим D3 = Di U , где Di — конечная односвязная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная характеристиками

Л^у ^ , . 2т+ 1 2 , 2т±1 уравнения (2) при у<0 и отрезком J = AB = {х : 0 < х < 1},

2 — конечная односвязная область плоскости независимых переменных а; и у, ограниченная характеристиками

АС'г : ж - ---—у 2 = о , БС*2 : ж + --—у 2 = 1

2m + 1 2т + 1 уравнения (2) при у>0 и отрезком J.

Введем следующие обозначения ©о(х) и ®±{х) — точки пересечения характеристик уравнения (2), выходящих из точки х Е J с характеристиками ACi и £?С2 соответственно (рис. 2.).

Для уравнения (2) изучим краевую задачу. Задача 6. Найти функцию U(х, у) со свойствами:

1) LU еОв области D3 = Di U Д>;

2) U(x,y) G С(Д0 П C\D3\J) П C2(-Ö3\J);

3)i/i(x) = lim iL, = Hm iL, x E J; y—» 0— y—>0+

4)ri(rc) = lim U(x,y), 72(2) = lim U(x,y), a; G «7;

5) Ti(a;) = г2(ж), V\{x) = z/2(a;);

-"-^-^[во] + 0-] +

Рис. 2. Область £>3. где Аг>2,з, #1,2,3> а, о-*, 6, 6* - некоторые вещественные константы, <р\{х) и <£>2 (#) ~ известные функции, /3 = 22(2~т+1)й' \ — ш < си < 1, т>|.

Вопрос существования и единственности решения задачи б сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 6 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теоремы:

Теорема 6. Пусть ^ — т < а < 1 и выполнены условия а + (3 > 0, а* + (3 > 0, АхМ^ + А2 ф О, ВХМХ + В2 ф О, функции ф\{х) и <Р2{х) удовлетворяют условиям

1М - (1а0:вМ1-2МФ1)(^ <Рг&) = 2)(*), где ф^х) <Е #Л*[0,1], ф2(х) € ЯА2[0,1], 1 - 2(3 < Лх < 1, 1 - 2(3 < Л2 < 1. Тогда задача 6 однозначно разрешима.

В §2.4 рассмотрена последняя задача с граничными условиями, содержащими несколько параметров:

Задача 7. Найти в области Di решение и(х,у) £ C(Di)f]C2(Di) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

Е^^а^тх) +т(я) = ^(я), где А(х), В(х), С(х), ai(x), tpi(x) и <р2(х) ~ известные функции, a:i,/?i,7i, '«2, /?2,72, «з, Дз, 73, — заданные числа, /3 = , \ - т < а < I, т >

Обозначим

Г(ЭД Г(1 — 2(3) / 4 ур 0 Г(/?) ' 1 2Г(1 — (3) \2т 4-1/ '

Задача 7 изучалась для нескольских случаев значений параметров. Вопрос существования и единственности решения задачи 7 во всех случаях сведен к вопросу разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения. Решение задачи 7 получено в явном виде. Результаты сформулированы в виде теорем:

Теорема 7. Пусть | — т < а < 1 я выполнены условия Ух е J А{х) ф 0, В(х) = 0, С{х) = А{х), =-ац - 1 +/3, а3 = аг + 1 -/3, 7з = -ai ~ 1 4- Р, аг(х) е Нх\ Ai > О, А > Q1 + 1 - (3, (Зъ > -с^ - 1 + /5,

G #Аа[0,1], у?2(я) € ЯАг[0,1], 0 < + 1 - /3 < А2 < 1, О < ai + 1 - (3 < Аз < 1, е Ядз[0,1].

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 8. Пусть \ — т, < а <1 к выполнены условия VieJ А(х) = 0, ^ 0, С(ж) = 0, 72 - -а2 ~ 1 + ¡3, а2 4- (3 > О, аг{х) = жа2(а;), а2(1) < ^cos2тг/9, а2(ж) е ЯА1[0,1], Ai > 0, 0 < 1 - 2(3 < А2 < 1, 0 < 1 - 2(3 < А3 < 1,

15

1-а2^2,2Р-1ф(х) € яд2[0) ^ е ЯЛ3[0)

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 9. Пусть ^ — т < а < 1 и выполнены условия Vx £ J А{х) = 0, В(х) ф 0, С{х) = В(х), К1ф{1- х)2^-1-03^, 72 = ~а2 - 1 + /3, а3 = а2 + 1 - /3, 7з = -<*2 - 1 4- /3, ft2 -Н /3 > О, 2/? - 1 - /?3 + /32 > 0, ai(a;) = жа2(х), а2(1) < Ц cos2тг/3, а2(ж) 6 #Al[0,1), Лх > 0, 0 < 1 - 2/3 < Л2 < 1, 0 < 1 - 2/3 < Л3 < 1,

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Теорема 10. Пусть | — т<а<1и выполнены условия Ух Е J Л(х) = А ~ const, В(х) = В = const, С(х) = С — const, ai(:c) = О, аъа3 = аi + l- f3, /З3 = /32 + 2/3 - 1, 7з = -о^ - 1 + /3, ft > О, -ai-/3+/3i > 0, ai+/3+/32 > О, 0 < ai+l-/3 < Ai < 1, 0 < 0.1+1-/3 < Л2 < 1, О < «1 + 1 - /3 < Л3 < 1, С - ВКг Ф 0, у>2(ж) е #Al[0,1], ifiWl^"1aVi(i))(®) е яА*[о,1], (/^i,/3-i-ai(p^t))(ж) G яА»[0,1].

Тогда задача 7 имеет, и притом единственное, решение.

Апробация работы. Основные положения диссертации и полученные результаты доложены на следующих международных и российских симпозиумах, конференциях и семинарах: научные семинары кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2005-2008 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В. П. Радченко) ;

6-ая международная конференция "Актуальные проблемы современной науки "(Самара: СамГТУ, сентябрь 2005г.); третья Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара: СамГТУ, май 2006г.); международная конференция "Современные методы физико-математических наук"(Орел: ОГУ, октябрь 2006г.); международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа п родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус: НИИ ПМА, май 2008г.); международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак: СГПА, июнь 2008г.); научный семинар кафедры "Дифференциальные уравнения "Казанского государственного университета в 2008 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В. И. Жегалов).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 печатных работ по теме диссертации в российских научных изданиях, сборниках докладов симпозиумов и конференций.

Личный вклад автора. В совместных работах [93, 96] соавтору Репину О. А. принадлежат постановка задач и идея доказательств. Салихову Р.Н. принадлежат доказательства существования и единственности решения задач и оформление статей.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 101 странице, включая библиографию. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Библиографический указатель включает 98 источников, из них 5 - иностранных авторов. Работа иллюстрирована 3 рисунками.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Салихов, Рустам Назипович

Результаты работы оформлены в виде теорем 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7.

Отметим,что при постановке и решении большинства задач наличие нескольких параметров в краевых условиях существенно обобщает результаты исследований. В работе широко используется аппарат теории интегральных уравнений, дробного интегро-дифференцирования, а также теория специальных функций.

Результаты научных исследований представлены в работах [88-97].

Заключение

В данной работе рассмотрены вырождающиеся дифференциальные уравнения в частных производных (1) и (2). Для этих уравнений поставлены новые нелокальные задачи с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевых условиях.

В первой главе для уравнения (1) в области рассмотрены задачи 1.1, 1.2 и 1.3 с операторами в смысле Римана-Лиувилля.

Вторая глава содержит задачи 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 с операторами М. Сайго и Эрдейи-Кобера. Задачи 2.1, 2.2, 2.4 также поставлены для уравнения (1) в области .Ох, а задача 2.3 исследуется для аналогичного уравнения (2) в области

Для изучаемых задач параметр а уравнений (1) и (2) брался из нескольких диапазонов значений, когда — 2т < а < ^—т,\ — т<а< 1, а — — т, а параметр т >

Отыскание решений поставленных задач в явном виде с помощью приемов, используемых в первой и второй главах данной работы, а именно сведение вопроса существования и единственности решения исходной задачи к проблеме доказательства существования и единственности решения характеристического сингулярного интегрального уравнения, либо уравнения Воль-терра 2-го рода, дает возможность применить накопленный опыт решения подобных задач и в будущем.

Использование описанной выше схемы решения задач позволяет выяснить степень влияния параметров в краевых условиях, в том числе показателей операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, на корректную постановку изучаемых краевых задач. Определены промежутки значений используемых параметров, при которых решение изучаемых задач существует и единственно. Решения задач 1.1, 2.1, 2.2, 2.3,

2.4 получены в явном виде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Салихов, Рустам Назипович, 2008 год

1. Алдашев, С. А. О некоторых краевых задачах для одного класса сингулярных уравнений в частных производных / С. А. Алдашев // Диффе-ренц. уравнения. — 1976. — Т. 12, № 1. — С. 3-14.

2. Аманов, Д. Некоторые нелокальные задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / Д. Аманов //Докл. Уз ССР. 1984. - № 7. - С. 4-7.

3. Андреев, А. А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа / А. А. Андреев // Краевые задачи для уравнений математ. физики. Меж. вуз.сб.научн.трудов, Куйбышев. — 1990.— С. 3-6.

4. Андреев, А. А. Задача Коши для некоторых вырождающихся гипербо-личеких систем второго и четвертого порядков / А. А. Андреев // Диф-ференц. и интегральные уравнения.Меж,, вуз. сб. научн. трудов, Куйбышев. — 1997. С. 46-57.

5. Ахметов, Н. Р. Об обобщенной задаче Дарбу для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка / Н. Р. Ахметов // Деп. ВИНИТИ., Нальчик. 1986. - № 1402-В86. - С. 1-16.

6. Бицадзе, А. В. О некоторых задачах смешанного типа / А. В. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561-564.

7. Бицадзе, А. В. К проблеме уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова.— 1953. — Т. 61. — С. 1-58.

8. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд. АН СССР, 1959. 162 с.

9. Бицадзе, А. В. К теории одного класса уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Некоторые проблемы математики и механики, Л.— 1970.- С. 112-119.

10. Бицадзе, А. В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа / А. В. Бицадзе // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М,— 1972.— С. 4752.

11. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных /

12. A. В. Бицадзе. — М., 1981. — 448 с.

13. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Физматгиз, 1963. — 640 с.

14. Елеев, В. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка / В. Елеев // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 2. - С. 230-237.

15. Елеев, В. А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения /

16. B. А. Елеев // Дифференц. уравнения. 1976. — Т. 12, № 1. - С. 46-58.

17. Елеев, В. А. Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа: автореф. дис. доктора физ.-мат. наук / В. А. Елеев. Нальчик: КБГУ, 1980. - 191 с.

18. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Учен. зап. Казанского гос. университета. 1962. - Т. 122, Кн. 3. - С. 3 16.

19. Жегалов. В. И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-составного типа / В. И. Жегалов // Изо. вузов. Математика. 1982. - № 10. - С. 15-18.

20. Зарубин, А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференц. уравнения. — 1998. Т. 34, № 1. - С. 87-93.

21. Зарубин, А. Н. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом в эллиптической области /' А. Н. Зарубин // Труди мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. — 2001,— Т. 11.— С. 105-109.

22. Зарубин, А. Н. Прямая и обратная задачи для дифференциально-разностного уравнения диффузии / А. Н. Зарубин // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 10. - С. 1431-1433.

23. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Р1льин, Е. И. Моисеев Ц ДАН СССР. 1986. - Т. 291, № 6. - С. 534-538.

24. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 8. - С. 1422-1431.

25. Каратопраклиев, Г. Д. Об одной краевой задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Г. Д. Каратопраклиев // Доклады Болгарской академии наук. — 1980. — Т. 33, № 2.

26. Кароль, И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И. Л. Кароль // Докл. АН СССР. — 1953. Т. 88, № 2. - С. 197—200.

27. Килбас, А. А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / А. А. Килбас // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 24, № 10. - С. 1764-1777.

28. Килбас, А. А. Операторы дробного интегрирования. Асимптотические и композиционные свойства и приложения: Авторсф. дис. доктора физ.-мат. наук — Минск / А. А. Килбас. — 1995. — 36 с.

29. Кожанов, А. И. К проблеме уравнений смешанного типа / А. И. Кожанов // Вестник СамГТУ. Сер: физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ.— 2004. № 30. - С. 63-69.

30. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения / М. Л. Краснов. — М.: Наука, 1975.- 304 с.

31. Лавренътьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа / М. А. Лавреньтьев, А. В. Бицадзе //ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 3. -С. 373-376.

32. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М. Е. Лернер, О. А. Репин //

33. Сибирский математический журнал. — 1999. — Т. 40, № 6. — С. 12601276.

34. Лернер, М. Е. Краевая задача для уравнений смешанного типа в областях с многосвязными подобластями гиперболичности / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Сибирский математический журнал. — 2003.— Т. 44, № 1.— С. 160-177.

35. Макаров, С. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / С. А. Макаров // Вестник ЛГУ. Сер 1., Вып. 1. — 1987. — С. 117-119.

36. Макаров, С. А. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения / С. А. Макаров // Аналитические методы решения диф. уравнений. Куйбышев: Изд-во КГУ. 1988. - С. 105-111.

37. Маричев, О. И. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами / О. И. Маричев, А. А. Килбас, О. А. Репин. — Самара: Изд-во Самар.гос.экон.ун-та, 2008.— 276 с.

38. Махер, А. Граничные задачи для уравнений смешанного типа с дефектом на линии изменения типа / А. Махер, Н. Б. Плещинский // Пред-принт. Казанское матем. об-во. Казань.—- 2001.— 30 с.

39. Михлин, С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям / С. Г. Михлин. — М.: Физматгиз,, 1959.— 232 с.

40. Мусхелишвилли, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвилли, — М.: Наука, 1968.— 512 с.

41. Мухлисов, Ф. Г. Решение одной краевой задачи с условиями сопряжения методом теории линейных интегральных уравнений / Ф. Г. Мухлисов, Э. Д. Хусаинова // Изв. вузов. Мат. 2005. - № 11.- С. 78-81.

42. Назаров, С. Ю. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений второго порядка / С. Ю. Назаров // Кабардино-Балкарский Ордена дружбы народов гос. университет, Винити N 2144-85, Нальчик. 1985. - 21 с.

43. Назаров, С. Ю. О некоторых краевых задачах для уравнения Эйлера-Дарбу / С. Ю. Назаров // Изв. АН АрмССР. Мат.- 1989,- Т. 24, № 5,- С. 484-495.

44. Нахушев, А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / А. М. Нахушев // ДАН СССР. — 1969.— Т. 187, № 4,- С. 736-739.

45. Нахушев, А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Диффе-ренц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 1. — С. 44-59.

46. Нахушев, А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения, — 1971.— Т. 7, № 1. — С. 49-56.

47. Нахушев, А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их свзяи с нагруженными уравнениями / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 1. — С. 92 101.

48. Нахушев, А. М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка / А. М. Нахушев. — Нальчик, Эльбрус, 1992. — 155 с.

49. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для университетов / А. М. Нахушев. — М.: Высш. шк., 1995.— 301 с.

50. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / А. М. Нахушев. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.

51. Нахушев, А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А. М. Нахушев. — М.: Наука, 2006. — 287 с.

52. Нахушева, 3. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / 3. А. Нахушева // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук — 2003. — Т. 6, № 2. — С. 68-71.

53. Олейник, О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях / О. А. Олейник // СОЖ.— 1996.— С. 114—121.

54. Петровский, И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский, М.: Наука, 1965.- 120 с.

55. Плещинский, Н. В. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца в квадранте и в полуплоскости, составленной из двух квадрантов / Н. Б. Плещинский, Д. Н. Тумаков // Изв. вузов. Мат. — 2004. — № 7. — С. 63-74.

56. Псху, А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Доклады АМАН. 2000. - Т. 5, № 1. - С. 45-53.

57. Псху, А. В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39, № 8. - С. 1092-1099.

58. Псху, А. В. Краевые задачи для дифференциальных уравне-ний с частными производными дробного и континуального порядка / А. В. Псху. — Изд-во КВНЦ РАН, 2005. 186 с.

59. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференц. уравнения. — 2004. Т. 40, № 7. - С. 887-892.

60. Пулъкина, Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами / Л. С. Пулькина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ. 2005. - С. 190-192.

61. Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О. А. Репин.— Самара: Изд-во Саратов, ун-та, Самар. филиал, 1992. — 162 с.

62. Репин, О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. — Т. 32, № 4. - С. 565-567.

63. Репин, О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом / О. А. Репин // Вестник Самарск. гос. тех. ун-та. Сер: физ.-мат. науки. Вып. 34■ Самара: СамГТУ.— 2005.— С. 5-9.

64. Репин, О. А. Краевая задача со смещением для модельного уравнения параболо-гиперболического типа / О. А. Репин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак. — 2008. — Т. 2. — С. 143-150.

65. Сабитов, К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений / К. Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. — 1990,— Т. 26, № 6. С. 1023-1032.

66. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К. Б. Сабитов. — М.: Высш.шк., 2003. — 255 с.

67. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М. С. Са-лахитдинов. — Ташкент : ФАН, 1974. — 156 с.

68. Салахитдинов, М. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / М. С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 110-119.

69. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск, 1987. 688 с.

70. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958. — Т. 4. — 812 с.

71. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1966.— 292 с.

72. Смирнов, М. М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения / М. М. Смирнов // Изв. вузов Математика. — 1982. — № 3. — С. 98-75.

73. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. — М.: Высшая школа., 1985. — 304 с.

74. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа (пер. с итал. Ф.И. Франкля) / Ф. Трикоми. — M.JL: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

75. Трикоми, Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. — ИЛ, 1960. — 299 с.

76. Франкль, Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течениях / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР, серия машем.— 1945. Т. 9, № 2. - С. 121-142.

77. Франкль, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. — М.: Наука, 1973. — 711 с.

78. Хайруллин, Р. С. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуасонна-Дарбу с сильным вырождением / Р. С. Хайруллин // Труды семинара по краевым задачам. Казань. — 1987. — Вып. 2. — С. 231-238.

79. Хайруллин, Р. С. К теории уравнения Эйлера-Пуасонна-Дарбу / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. — 1993. — № 11. — С. 69-76.

80. Хасанов, А. Об одной смешанной задаче для уравнения sign(y)\y\muxx + хпит! = / А. Хасанов // Изв. АН УзССР. Сер.физмат. наук. 1982. - № 2. - С. 28-32.

81. Agm,on, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L. Niren-berg, M. H. Protter // Comm. Pure Appl. Math. — 1953. — Vol. 6, no. 4. — Pp. 455-470.

82. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte. These pour le doctorat, Uppsala / S. Gellerstedt. 1935.

83. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math.Rep.Kyushu. Univ. — 1978. — Vol. 11, no. 2,— Pp. 135-143.

84. Saigo, M. Generalized fractional integrals and derivatives in holder spaces / M. Saigo, A. A. Kilbas // Transfom Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop).Sci. Cult. Tech.Publ. Singapore — 1995,- Pp. 282-293.

85. Srivastava, N. M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problem involving the Euler-Darboux equation / N. M. Srivastava,

86. M. Saigo // J.Math.Anal, and Appl. 1987,- Vol. 121, no. 2.- Pp. 325369.

87. Салихов, Р. Н. Нелокальная задача с оператором Ердейи-Кобера для вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Материалы XI международной научной конференции им,ени ак. М.Кравчука. Киев: НТУ. 2006. - С. 975.

88. Салихов, Р. Н. О задаче типа первой задачи Дарбу / Р. Н. Салихов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ.— 2006.— С. 197205.

89. Салихов, Р. Н. Видоизмененная первая задача Дарбу для одного гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Математика. Механика. Информатика. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Челябинск: ЧГУ. 2006. - С. 123-124.

90. Салихов, Р. Н. Решение одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения в замкнутой форме / Р. Н. Салихов // Вестник СамГТУ. Сер: физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ.— 2007. — № 1(14).—С. 15-19.

91. Салихов, Р. Н. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа / Р. Н. Салихов, О. А. Репин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. Самара: СамГУ. 2008.— № 2(61).—

92. Салихов, Р. Н. О разрешимости нелокальной задачи для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Р. Н. Салихов // Дифференциальные уравнения, и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак — 2008. — Т. 1. — С. 174-178.