Нелокальный анализ гладких вариационных задач с параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Костина, Татьяна Ивановна

• Костина, Татьяна Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Костина, Татьяна Ивановна

Введение

1 Конечномерная редукция вариационных задач (в рамках операторных фредгольмовых уравнений)

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Выпуклые функционалы и приближения Галеркина-Ритца

1.3 Задача бифуркационного анализа решений фредгольмовых уравнений с параметрами.

1.4 Общая схема конечномерных редукций вариационных уравнений

1.5 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.6 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.7 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация.

1.8 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта

1.9 Редукция Морса-Ботта.

1.10 Топологическое сравнение редуцирующих схем.

1.11 Образы особых точек гладких отображений и огибающие кривые.

1.12 С—инвариантные функционалы.

1.12.1 Банаховы С—многообразия.

1.12.2 Критические орбиты.

1.12.3 Ослабление условия гладкости действия группы Ли

1.13 Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и параметрические функционалы с обобщенной круговой симметрией

1.14 Переход к усеченной по симметрии ключевой функции

2 Алгоритмизация нелокального анализа функционала действия

2.1 Условие (УФ).

2.2 Функционал в окрестности вырожденной критической точки

2.3 Трансверсальность особенностям.

2.4 Построение приближенной ключевой функции методом Га-лёркина.

2.5 Метод Галёркина для функционалов с обобщенной круговой симметрией.

2.6 Уравнение без параметра.

2.7 Уравнение с параметром.

2.8 Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта

2.9 Схема вычислительного алгоритма.

3 Нелокальный анализ модельных краевых задач

3.1 Натуральные механические системы.

3.2 Алгоритм полиномиального приближения к ключевой функции для маятника. Теоретическое описание.

3.2.1 Исходные данные.

3.2.2 Усечение исходных данных по круговой симметрии

3.2.3 Аппроксимация Лагранжа-Эрмита для косинуса и синуса.

3.2.4 Операторные уравнения.

3.2.5 Итерации.

3.3 Компьютерный алгоритм полиномиального приближения к ключевой функции для маятника.

3.3.1 Аппроксимация cos, sin.

3.3.2 Галеркинские коэффициенты для итераций.

3.3.3 Пример полиномиальной аппроксимации ключевой функции.

3.3.4 Полученные графические изображения.

3.4 Конечномерная редукция на примере уравнения Белецкого

3.4.1 Описание алгоритма (теоретическая форма)

3.4.2 Описание алгоритма (программная форма).

3.4.3 Графические изображения

3.5 Уравнение Кармана.

3.5.1 Функционал энергии круглой упругой пластины и его усечения

3.5.2 Построение приближений к ключевой функции от двух переменных.

3.6 Пример итерационного алгоритма полиномиального приближения к ключевой функции для уравнения К'армана

3.6.1 Исходные данные.

3.6.2 Операторное уравнение.

3.6.3 Итерации.

3.6.4 Функции Бесселя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальный анализ гладких вариационных задач с параметрами»

Несмотря на то, что за последние 30 - 40 лет произошло существенное развитие в области нелокального анализа как стационарных состояний, так и нелинейных колебательно-волновых процессов [25], [50], [31], задача разработки новых и эффективных методов нелокального исследования волновых и колебательных явлений остается по-прежнему актуальной [1], [11], [31].

Особенно бурное развитие в исследованиях нелинейных волновых процессов можно увидеть по многочисленной серии теоретических и экспериментальных работ 70-х и 80-х годов прошедшего столетия. Наибольший прогресс был достигнут в рамках так называемой солитонной математики. Однако, областью применения этих методов являются лишь интегрируемые и близкие к интегрируемым задачи [10].

В настоящее время, в связи с постоянным увеличением производительности компьютерной техники и совершенствованием программного обеспечения, появились новые возможности в анализе зарождения и развития нелинейных процессов, описываемых неинтегрируемыми уравнениями. В данной работе рассмотрен подход к нелокальному изучению класса бифуркационных задач вариационного исчисления, включающего в себя многие эталонные задачи "солитонной математики" и их естественные обобщения.

Основные модельные примеры в данной работе — уравнение Белецкого d dq

1 + ecosz/)—г — 2esinz/-—Ь /¿sinq — Aesmv = 0, (0.1) dvl dv описывающее колебания спутника на эллиптической орбите где е — эксцентриситет орбиты, /х — параметр, характеризующий распределение массы спутника, q — угол между фокальным радиусом и осью симметрии спутника, v — угловая (полярная) координата центра масс спутника, и уравнения упругого равновесия круглой пластины, равномерно сжатой

1Уравнение (0.1) выведено В.В. Белецким в 1956 г. и опубликовано в 1959 г.[4]. по краю (вдоль нормалей), в модели Кармана [16], [17], [26]:

A2w + XAw - [w, ф] = А2ф + hw, w] - О, (0.2) Z в которых Д — оператор Лапласа, [ш,ф] = и)ххфуу + юууфхх — 2гихуфху, w — функция прогиба, ф — функция напряжения, Л — параметр нагрузки. Уравнение (0.2) дополняется краевыми условиями, отвечающими характеру закрепления края пластины. В диссертации рассмотрим случай жесткого закрепления:

Ф = фх = Фу = w = wx = wy = 0|flíi. (0.3)

Здесь Г2 — область определения функций w, ф, заданная в виде единичного круга и интерпретируемая как геометрическая форма ненагруженной пластины:

В диссертационной работе применена исследовательская схема, основанная на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта.

Использована трактовка краевых задач в виде операторного уравнения f(x) = Ъ, х е X, be У, (0.4) в котором / — гладкое фредгольмово отображение банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи можно осуществлять переходом (редукцией) к конечномерному уравнению [12]

0«) = /3, £ем, N, (0.5) в котором = ф~1(/{<р(0); М и N — гладкие конечномерные многообразия, (риф — гладкие вложения многообразий М и N в X и Y соответственно.

Если для отображения / найдется такой (гладкий) функционал V, что / = gradnV или, что эквивалентно, x)h=(f(x),h)H, Ухеы., h £ Е

•)# — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Я), то отображение / называется потенциальным (предполагается, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в H и Е плотно в H). Функционал V называется при этом потенциалом отображения /, а уравнение (0.4) называется потенциальным.

Описанию некоторых используемых схем перехода от (0.4) к (0.5), (вариантов локальной схемы Ляпунова-Шмидта) при условии, что уравнение (0.5) наследует топологические и аналитические свойства уравнения (0.4) (кратности и топологические индексы решений, типы бифуркационных диаграмм и т.д.), посвящены работы [12], [14], [29], [30], [34], [41], [51], [53], [56], [58], [68], [69], [71], [72].

Вариационные модификации описаны в [6], [34], [51], [56], [58], [71]. Глобальная редуцирующая схема Морса-Ботта из вариационной теории геодезических [47] была использована в работах [7], [67], а затем схема Морса-Ботта была включена, наряду с нелокальной вариационной версией Ляпунова-Шмидта, в более общую абстрактную редуцирующую схему (см. [51])).

Ряд аспектов теории бифуркаций экстремалей развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса, симплектиче-ской геометрия (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [60, 61], Болотин C.B. [7], С.С. Conley, Е. Zehnder [67] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин [58] и др.).

Исторически схемам Ляпунова-Шмидта и Морса-Ботта предшествовал локальный метод Пуанкаре понижения размерности в конечномерной экстремальной задаче [73]. А. Пуанкаре предполагал, что его метод может быть применен и к системам с бесконечным числом степеней свободы. Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены A.M. Ляпуновым [42] и Э. Шмидтом [75].

Фредгольмовы отображения ввел в современную математику Р. Кач-чиополи (см. [12], [45], [65]—[66] и библиографию в этих источниках). Появлению теории фредгольмовых отображений способствовала нелинейная проблема Дирихле. На основе этой теории удалось исследовать многие нелинейные краевые задачи, моделирующие разнообразные физиче-. ские процессы. Наибольшее количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций.

Центральная конструктивная идея данной диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — нелокальное сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (0.4) к аналогичной задаче для конечномерного уравнения (0.5) с последующим качественно-численным анализом конечномерного уравнения на основе современных вычислительных средств. Центральная задача — осуществление нелокального бифуркационного анализа модельных краевых задач.

При реализации любой версии конечномерной редукции возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информации о строении ключевого отображения #(£) и его возмущений. Важную роль при этом играют идеи и методы теории особенностей гладких отображений [2].

Основными составляющими центральной задачи являются: 1) задача описания геометрической структуры дискриминантного множества Е, 2) задача описания раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 3) приближенное построение ветвей решений. К этим составляющим добавляется вопрос вычисления и изучения ключевого уравнения.

В диссертации предложено решение этой задачи в случаях уравнений колебаний маятника, уравнения Белецкого и уравнения Кармана. При решении использован вариационный характер модельных уравнений, что означает потенциальность левой части каждого из них.

В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, теории приближений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления нелокально определенных ключевых функций для уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого (периодическая задача) и уравнения Кармана для круглой пластины, равномерно сжатой по краю.

2. Разработан и обоснован алгоритм приближенного графического изображения сечений каустики и решений рассмотренных модельных уравнений (в нелокальной постановке).

3. Осуществлен нелокальный анализ периодических краевых задач уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого и граничной задачи для уравнения Кармана в случае круглой пластины при условии, что (основной) параметр в каждой из рассмотренных задач не превосходит третьего критического значения.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в нелокальном бифуркационном анализе нелинейных периодических и граничных задач классической и упругой механики. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях разнообразных неинтегрируе-мых уравнений, связанных с вариационным подходом.

Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008, 2010 гг.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего (2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики

ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов и проф. Б.М. Даринский) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, включающих программные коды, реализации алгоритмов и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 124 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Костина, Татьяна Ивановна, 2011 год

1. Афанасьев А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непре-рывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба //- М.: ЛКИ. 2007. 240 с.

2. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: МЦНМО. 2004.- 672 с.

3. Бахвалов И.В. Численные методы. Издание восьмое / И.В.Бахвалов,Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков //- Физматлит. Невский диалект. Москва Санкт-Петербург - 2000.

4. Белецкий В.В. Движение искуственного спутника вокруг центра массВ.В. Белецкий // М. : Наука 1965. - 416 с.

5. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Белман // М. : Мир1965. С. 245.

6. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах / H.A.Бобылев, C.B. Емельянов, С.К. Коровин // М. : Магистр, 1998. -658 с.

7. Болотин C.B. Периодические решения системы с гироскопическимисилами / C.B. Болотин // Прикл. матем. и механ. 1987.Т.51, вып.4.- С.686-687.

8. Борзаков А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей / А.Ю. Борзаков, A.A. Лемешко,Ю.И. Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ.- 2003, вып. 2. С. 100-112.

9. Борзаков А.Ю. Редукции в нелокальном анализе вариационных краевых задач и уравнение колебаний маятника/ А.Ю. Борзаков //Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Воронеж: ВГУ.- 2005, Вып.1. С. 34-44.

10. Борисов A.B. Современные методы теории интегрируемых систем/ A.B. Борисов, И.С.Мамаев // Москва-Ижевск, 2003. - 296 с.

11. Боровских A.B. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды /A.B. Боровских // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2007, Т.24. С 3-43.

12. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. С. 3-54.

13. Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей./ Дж. Брус , П. Джиблин // Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 262 с.

14. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин // М. : Наука. 1969. - 528 с.

15. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки / A.C. Вольмир // М.Гостехиздат. 1956.- 419 с.

16. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И. Ворович // М. : Наука. 1989. - 376 с.

17. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев // М. : Наука, 1981. - 400 с.

18. Гнездилов A.B. Нелокальные конечномерные редукции в теории изгиба тонких упругих пластин / A.B. Гнездилов, Ю.И. Сапронов // Понтрягинские чтения V. Тезисы докладов. - Воронеж: Изд. ВГУ, 1994. - С.37 .

19. Гнездилов A.B. Осесимметрическая конечномерная редукция для круглой упругой пластины / A.B. Гнездилов, Ю.И. Сапронов // Материалы конференции по функциональному анализу и математической физике, посвященной 80-летию С.Г.Крейна- Воронеж, 1997.- С. 32-36.

20. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004) -С. 3-134.

21. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф.Зайцев // Л.: ЛГПИ, 1989. - 80 с.

22. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения / В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин // М.: Физматлит, 1995. - 560 с.

23. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: От маятника до тубулентности и хаоса / Г.М.Заславский, Р.З. Сагдеев // М. : Наука, 1988. - 368 с.

24. Зачепа В.Р. О ветвлении решений уравнения Кармана / В.Р. Зачепа //В кн. Уравнения на многообразиях. Воронеж : Изд. ВГУ, 1982. - С. 111-115.

25. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Воронежский госуниверситет. Воронеж 2002.

26. Звягин В.Г. Свойства степени Jlepe Шаудера вполне непрерывных векторных полей/ В.Г.Звягин // Методическая разработка для студентов 3-5 курсов математического факультета д/о и слушателей ФПК. Издательство ВГУ. Воронеж, 1996.

27. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж.Иллс // Успехи ма-тем. наук. 1969. Т.24, №3. - С. 157-210.

28. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры/ Дж.Иллс // Успехи матем. наук. 1971. Т.26, №6. - С. 213-240.

29. Инфельд Э. Нелинейные волны, солитоны и хаос / Э. Инфельд, Дж. Роуландс // пер. с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 480 с.

30. Иосида Функциональный анализ/ Иосида// пер. с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1968.

31. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клинген-берг // М. : Мир. 1982. 416 с.

32. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, №3. - С. 530-533.

33. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, Я.Б. Ру-тицкий, В.Я. Стеценко // М. : Наука, 1969. - 456 с.

34. Красносельский M.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / MA. Красносельский // М.: Гостехиз-дат, 1956. - 390 с.

35. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / П.П. Забрейко // М. : Наука. 1975. 512 с.

36. Красноселький М.А. Итерационный процесс с минимальными невязками /М.А. Красноселький, С.Г. Крейн // Матем. сб-к. 1952. т.31 (73), в.2. С. 315-334.

37. Лемешко A.A. О равномерной сходимости с производными галер-кинских приближений к решениям уравнений с параметрами / A.A. Лемешко // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 94-103.

38. Лемешко A.A. Об равномерной сходимости ньютоновских приближений к решениям уравнений с параметрами/ A.A. Лемешко // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ, Воронеж: ВГУ, 2003. С.74-83.

39. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов // Ташкент, Фан, 1985. - 184 с.

40. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l /A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

41. Ляв А. Математическия теория упругости. М.- Л.: НКТН СССР.1935. 674 с.

42. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике./С.Г. Михлин // М. : Наука, 1970. 512 с.

43. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда // М. : ИЛ. 1957. - 256с.

44. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред / Дж. Оден // М.: Мир. 1976. 464 с.

45. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников // -М. : Наука, 1971. 568 с.

46. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М. : Мир, 1980. 608 с.

47. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. / А. Пуанкаре // М. : Наука, 1972. 1000 с.

48. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков // М. : Наука, 1984. 432 с.

49. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, №1.- С. 101-132.

50. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах /Ю.И. Сапронов // Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94-103.

51. Сапронов Ю.И. Регулярные возмущения фредгольмова отображения и теорема о нечетном поле /Ю.И. Сапронов // Труды матем. фак-та ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1973, вып. 10. - С. 82-88.

52. Сапронов Ю.И. Существование и сравнение конечномерных редукций для гладких функционалов /Ю.И. Сапронов // В кн.: Глобальный и стохастический анализ. Воронеж: ВГУ, 1995. - С. 69-90.

53. Сапронов Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.JT. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, №5. - С. 745-754.

54. Сидоров H.A. Ветвление решений нелинейных уравнений с потенциальными системами разветвления / H.A. Сидоров //В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд. Иркутского университета, 1980. - Вып.7. - С. 136-155.

55. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2./ В.И. Смирнов //- М. : Наука, 1974. 656 с.

56. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, H.A. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т. 309, № 2. - С. 286-289.

57. Трофимов В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко // М. : Факториал, 1995. 448 с.

58. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко // М. : МГУ, 1988,- 416с.

59. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук, 1989.- Т. 44, вып. 1. С. 145-173.

60. Царев С.Л. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж : Изд. ВГУ, 1998. -№ 3 (новая серия). - С. 73-76.

61. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 132-136.

62. Царев С.Л. О глобальной распрямляемости гладких функций с единственной критической точкой / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1996. - № 1 (новая серия). -С. 92-96.

63. Cacciopolli R. Un principio diinversioni per le corrispondenze funzionali e sue applicazioni able equazione a derivate parzidle / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei. 1932. V.16. - P. 390-395, P. 484-489.

64. Cacciopolli R. Sulle corrispondenze funzionali inverse diramate: teoria generale e applicazioni ad alcune equazioni non-lineari e al problema di Plateau / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei 1936. V.24. - P. 258-263, P. 416-421.

65. Conley C.C. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd / C.C. Conley, E. Zehnder // Invent. Math. 1983. V.73.- P.33-49.

66. El worthy K.D. Degree theory on Banach manifolds / K.D. El worthy, A.J. Tromba // Proc. Sympos. Pure. Math. 18, A.M.S. 1970. - P. 86-94.

67. Elworthy K.D. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds / K.D. Elworthy, A.J. Tromba // Proc. Sympos. Pure. Math.- 15, A.M.S. 1970. P. 49-94.

68. Levchenko O.N. Morse Bott reduction for a symmetric Kirchhoff rood / O.N. Levchenko, Yu.I. Sapronov // Methods and Applications of Global Analysis. Voronezh University Press. 1993. P. 95-100.

69. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, № 6. - P. 1125-1148

70. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure / J.E. Marsden // Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

71. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie / V. Poénaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

72. Smale S. An infinite dimensional version of Sard's theorem / S. Smale // Amer. J. Math. 1965. v.87. P. 861-866.

73. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. V.65. -P. 370-399.

74. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations / A. Zemlyanukhin // Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. № 3. P. 67-69.

75. Костина Т.И. Бифуркационный анализ периодических решений уравнения Белецкого / Т. И Костина // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 81.

76. Костина Т.П. Анализ ветвления периодических решений уравнения Белецкого посредством вариационного метода Ляпунова-Шмидта / Т.И Костина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, часть 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 98-103.

77. Костина Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений / Т.И Костина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. №1. 2011 С. 181-186.