Вторичные редукции в бифуркационном анализе вариационных задач с симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Белых, Федор Александрович

• Белых, Федор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белых, Федор Александрович

Введение

1 Фредгольмовы вариационные уравнения с симметрией

1.1 Элементы анализа фредгольмовых функционалов

1.1.1 Фредгольмовы операторы.

1.1.2 Фредгольмовы функционалы.

1.1.3 Локальный анализ фредгольмовых функционалов

1.2 Бифуркационые диаграммы особых критических точек функционалов

1.3 Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли.

1.4 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.5 Анализ редуцированной главной части ключевой функции.

1.5.1 Особенность многомерной сборки.

1.5.2 Вторичная редукция.

1.5.3 Дискриминаптный анализ бифуркации экстремалей из точки минимума типа 2—мерной сборки в случае четной деформации.

1.5.4 Каустика в случае деформации 2—мерной сборки, четной по одной из переменных.

1.6 Структура ключевой функции в случае ^-симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.

2 Бифуркации сегнетоэлектрических фаз из точки 4-мерного вырождения в геликоидальной модели кристалла.

2.1 Метод ключевой функции при определении фазовых состояний кристалла.

2.2 Группа симметрии основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции.

2.3 Структура орбит действия G в пространстве ключевых координат.

2.4 Вторичные редукции (в пространстве ключевых координат).

3 Кирхгофов стержень и петлеобразные решения уравнения Эйлера - Пуассона на группе Ли SL(2).

3.1 Матричные подалгебры Ли в М(2, С).

3.1.1 Матричные подалгебры Ли малой размерости.

3.1.2 Пятимерные подалгебры.;.

3.1.3 Шестимерные подалгебры.

3.1.4 Семимерные подалгебры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вторичные редукции в бифуркационном анализе вариационных задач с симметрией»

При изучении равновесных состояний упругих систем, фазовых перс-ходов в кристаллах, нелинейных волн в реагирующих средах и ряда других проблем современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача

Vx(x) — hif, (1) в которой V\(x) — гладкое семейство гладких функционалов (на банаховом пространстве Е или гладком банаховом многообразии М), симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд группы Ли G на Е:

Vx(T9x) = Vx(x) Ух, X, (2)

А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном).

В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с дискретной и круговой симметриями (2) при следующих основных условиях:

1. функционал V{x) фредгольмов индекса нуль;

2. действие группы G задано гомоморфизмом д > Тд — из G в группу 0(H) (линейных ортогональных преобразований II), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е;

3. в случае непрерывной симметрии (G — группа Ли положительной размерности) представление Тд является гладким гомоморфизмом (т.е. отображение д t-> Тд из SO(2) в SO(II) является гладким) с дополнительным условием: Тд(М) С М (многообразие М инвариантно относительно Тд).

Фредгольмовость функционала V на Е означает, что x)h=(f(x),h), (3) где / : R —> F — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, (•, •) — скалярное произведение в пространстве II, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства.

Фредгольмовость V на подмногообразии М означает фредгольмо-вость второго кодифференциала V на М [16].

Пх>и изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [35], [16], который использован и в настоящей диссертации.

Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи JI.B. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова с соавторами, В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В.А. Треногина, Б.В. Логинова, З.И. Ба-лапова и др. [21] - [25], [29], [41], [42], [48], [49], [12], [62] [63, 64])

Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развивался также при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко [63, 64] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантпых уравнений (Н.А. Бобылев, Б.В. Логинов, В.А. Треногин и др. [4], [11], [41], [36], [62]).

Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б.В. Логинова [41], В.Г. Звягина [27, 28], В. Кравцевича [34], Б.М. Дарипского, Ю.И. Сапронова, Е.В. Ладыкиной [16] и др. В работах А.В. Гнездилова [13] изучались уравнения с поликруговой симметрией.

Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов идейно опирается, с одной стороны, на теорию Ботта [69] (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для боттовских интегралов (А.Т. Фоменко и др., [52], [63], [74 , 75] ) и, с другой стороны, на теорию эквивариантных особенностей гладких функций ( В.И. Арнольд, С.М. Гусейп-Заде, В. Поэнару, С.Т.С. Уолл, Д. Сирсмаидр., [2], [77], [79]).

Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариационных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответствующим вопросам теории миниверсальиых разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уол-лом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др., [1], [78]. В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях сравнительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек границы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А.В.Гнездиловым, О.Ю.Даниловой, О.В.Швыревой, М.А. Хуссаином и А.В. Белоглазо-вым, [54] - [55], [14], [16]). Отметим также задачу о бифуркации минимальных поверхностей с симметриями и ограничениями, в которой были получены новые результаты на основе метода фредгольмовых функционалов А.Ю. Борисовичем [7], [8] и JI.B. Стеиюхиным [60], [61].

Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении 1) локальных бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредгольмовых функционалов в случае нетрадиционной щ—симметрии (симметрии относительно четырех инволюций) при условии 4—мерного вырождения порождающей особой точки и 2) при изучении нелокальной редуцируемости к другой вариационной задаче, допускающей нелокальную редукцию Ляпунова - Шмидта — в случае круговой симметрии (SO(2)—симметрии).

Все исследования в диссертации проведены посредством использования специально разработанных для рассмотренных задач модификаций редуцирующей схемы Ляпунова - Шмидта.

Основные задачи диссертации можно сформулировать следующим образом:

1) локальное и нелокальное описания геометрических структур дис-криминантных множеств (каустик) в целом или их сечений (для рассматриваемых типов порождающих особенностей);

2) классификация раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям (локальным и нелокальным) изучаемых уравнений;

3) приложение к задаче о фазовых переходах в кристаллах;

4) описание вещественных подалгебр Ли в М{2, С);

5) приложение к модельной задаче — о петлеобразных решениях уравнения Эйлера - Пуассона на группе Ли.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новых методов изучения локальных и нелокальных бифуркаций орбит экстремалей G—инвариантных фредгольмо-вых функционалов.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, теории групп и алгебр Ли, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Методологическую основу развитого в диссертации анализа составляет модифицированный метод Ляпунова-Шмидта.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредголь-мова функционала из копечнократной критической точки, приспособленная к случаю симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.

2. Изучены плоские сечения каустики и описаны расклады бифур-цирующих критических орбит в случае Ъ\—симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.

3. Разработано новое приложение к задаче фазовых переходах в кристаллах.

4. Дано описание вещественных подалгебр Ли в М(2, С) малой размерности.

5. Разработано приложение к задаче о бифуркациях петлеобразных решений уравнения Эйлера - Пуассона на группе SL(2).

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование и новое развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях групповой симметрии.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Современные методы теории краевых задач"(Воронеж, 2001 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах [80] - [87].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых па 15 параграфов, и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 100 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белых, Федор Александрович, 2007 год

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики /В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

2. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений.Классификация критических точек каустик и волновых фронтов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн Заде. - М.: Наука. 1982. - 304 с.

3. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационногоисчисления / Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т.25, №■ 3. - С.1-11.

4. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах /Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

5. Бобылев Н.А. О бифуркации экстремалей вариационных задач /Н.А. Бобылев, М.А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 314, N 2. - С. 265-268.

6. Борзаков А.Ю. Применение методов конечномерной редукции кглобальному анализу краевых задач на примере уравнения Дуф-финга// Сборник трудов математическогго факультета ВГУ. 2005. Вып.9. С.9-22.

7. Борисович А.Ю. Редукция задачи о бифуркации минимальных поверхностей к операторным уравнениям и отыскание бифуркаций от катеноида, геликоида, поверхностей Шерка и Эннепера// Успехи матем. наук. 1986. Т.41, вып.5. - С. 165-166.

8. Борисович А.Ю. Функционально-операторный метод исследованиябифуркаций в эквивариаптной проблеме Плато// Известия ВУЗов. Математика. 1997. т. 2 (417), N.l. - С.56-65.

9. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977 - Т.32 - Вып.4 - С.3-54.

10. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер. М.: Мир, 1977. - 208 с.

11. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1968. - 528 с.

12. Виноградов A.M. Симметрии и законы сохранения управляемой математической физики / A.M. Виноградов, И.С. Красильщик -М.: Факториал, 1997 464с.

13. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / А.В. Гнездилов // Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1- С.83-86.

14. Гнездилов А.В. Угловые особенности фредгольмовых функционалов / А.В. Гнездилов, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырева // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99-114.

15. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. -С. 35-46.

16. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л., Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т. 12. 2004. С.З-140.

17. Дарииский Б.М. К термодинамической теории сегнетоэлектрических фазовых переходов в кристаллах / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, В.В. Шалимов // Кристаллография. 1999. -Т.44, N 4. - С. 1-5.

18. Darinskii M.M. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. -2002. V. 265. P. 31-42.

19. Дарииский Б.М. Дискриминантные множества и расклады би-фурцирующих решений фредгольмовых уравнений / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. - С.72-86.

20. Даринский Б.М. Фазовые переходы в доменных границах ферроиков / Б.М. Дарииский, А.А. Дьяченко, Ю.И. Сапронов, М.Н. Чаплыгин // Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т768, N 7. -С.920-926.

21. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // Дифференциальные уравнения, 1989.- Т.25, N3.- С.379-387.

22. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // JI.: ЛГПИ, 1989 - 80 с.

23. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Зайцев // ДАН СССР, 1988-Т.299, N3 С.542-545.

24. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин // Препринт N339. М.: ИПМ АН СССР, 1988 44 с.

25. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. / В.Ф. Зайцев,A.В. Флегонтов // Л.: ЛИИАН, 1991.- 240 с.

26. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений /B.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. - 185 с.

27. Звягин В.Г. Индекс нулевой точки вполне непрерывного возмущения фредгольмова отображения, коммутирующего с действием тора / В.Г. Звягин // Известия ВУЗов. Математика, 1997 N2C.47-55.

28. Звягин В.Г. К теории степени эквивариантных ФоС^ВЯ-отображений / В.Г. Звягин // Доклады РАН, 1999.- Т.364, N2.- С.155-157.

29. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов //- М.: Наука, 1983 280с.

30. Изюмов Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю.А. Изюмов, В.И. Сыромятников // Москва, Наука. 1984. -247 с.

31. ИллсДж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс//Успехи матем. наук. 1969. Т.24, N 3. - С. 157-210.

32. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка. 1979. 216 с.

33. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг.// М.: Мир. 1982. - 416 с.

34. Кравцсвич В. Бифуркация систем обратимых по времени /B. Кравцевич, Дж. By // Известия ВУЗов. Математика Казань, 1997.- N2.- С.75-85.

35. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Мухамади-ев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.

36. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайпикко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко // М.: Наука, 1969. - 456 с. 1.

37. Даринский Б.М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны / Б.М. Даринский, Е.В. Ладыкииа, Ю.И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. - С. 52-67.

38. Ладыкина Е.В. О бифуркации критических орбит функций с непрерывными симметриями /Е.В. Ладыкина // Сборник статей молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 2003. С.64-73.

39. Ладыкина Е.В. Бифуркации орбит критических точек фредгольмовых функционалов с круговой симметрией /Е.В. Ладыкина // Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N13. Август, 2005. -27 с.

40. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий /C. Ленг // М.: Мир,1967. - 204 с.

41. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов // Ташкент: Фан, 1985. - 184 с.

42. Матвеев С.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем / С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко, В.В. Шарко. // Матем. сборник, 1988. Т.135, N3.- С.325-345.

43. МилнорДж. Теория Морса / Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

44. Николаи E.J1. К задаче об упругой линии двоякой кривизны// Труды по механике. М.: Гостехиздат. 1955. С.45-277.

45. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг М.: Мир, 1977. - 232 с.

46. Обен Ж- П. Прикладной нелинейный анализ / Ж.-П. Обен И. Экланд М.: Мир, 1988. - 510 с.

47. Обухов A.M. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа// ДАН СССР. Т. 184, № 2. 1969.

48. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников // М.: Наука, 1978,

49. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер // М.: Мир, 1989 - 639 с.

50. Псров А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов // Воронеж: изд. ВГУ, 1981. - 196 с.

51. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. М.: ОГИЗ. 1948. 170 с.

52. Постпиков ММ. Введение в теорию Морса / М.М. Постников //- М.: Наука. 1971. 568 с.

53. Постои Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М.: Мир. 1980. - 608 с.

54. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю.И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997-1006.

55. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю.И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. - С. 1299-1310.

56. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1. - С.94-103.

57. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем. наук. -1996. Т. 51, N 1. С. 101-132.

58. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.J1. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. - С. 745-754.

59. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов/ Т.Ю. Сапронова// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. 2000. - С. 107-124.

60. Стенюхин JI.B. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями./ J1.В.Стенюхин// Труды математического факультета, в.7 (новая серия).Воронеж: ВорГУ,2002. С.137-141.

61. Стенюхин JI.B. Проблема Плато и лагранжев формализм./ Ю.Г.Борисович, Л.В.Стенюхин// Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. Вып.ХХУ!, Москва: МГУ. С. 110-129.

62. Треногий В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т.309, 2. - С.286-289.

63. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко М.: МГУ, 1988 - 416с.

64. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук, 1989 Т. 44, вып. 1.- С.145-173.

65. Царев С.Л. Устойчивость индекса Морса невырожденной критической точки гладкого фредгольмова функционала / С.Л. Царев // Сб. статей студентов и аспирантов матем. факультета ВГУ.- Воронеж: ВГУ, 2000. С. 57-61.

66. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000.- С. 132-136.

67. Царев С.Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С.Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. - С.87-91.

68. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur // Studia Math. S. 1934. - P.174-178.

69. Bott R. Nondegenerate critical manifolds / R.Bott // Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

70. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. V. 1 / M. Golubitsky, D. Schaeffer N.-Y.: Springer-Verlag, 1985. - 463P

71. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Stewart I., Theory. V.2. / M. Golubitsky, D. Schaeffer, I. Stewart -N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

72. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Mars-den // Bull. Arner. Math. Soc. 1978. - V.84, №■ 6.

73. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - V. 755. - P.77-82.

74. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables / M. Morse // Trans. Am. Math. Soc. 1931. - V. 33. - P. 72-91.

75. Morse M. The calculus of variations in the large / M. Morse. New York, 1934.

76. Nashed M.Z. Global invertibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. - P.229-247.

77. Роёпаги V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

78. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc// Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

79. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities / C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

80. Белых Ф.А. О бифуркации метастабильных фаз в случае двух-модовой потери усточивости/ Ф.А. Белых//Современные методы теории краевых задач Тез. конф. "Поптрягипскте чтения 15". Воронеж, 2001. - С. 41-42.

81. Белых Ф.А. Трехмерные вещественные подалгебры матричной алгебры М{2, С) / Ф.А. Белых, А.В. Лобода//Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки: труды студентов. -Самара, 2002. С. 10-11

82. Белых Ф.А. О бифуркациях экстремалей из особенности двумерной сборки/ Ф.А. Белых// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов. Владимир: ВлГУ, 2004. - С. 33-34.

83. Белых Ф.А. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф.А. Белых, А.В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18-33.

84. Белых Ф.А. Вещественные подалгебры малых размерностей матричной алгебры Ли М(2, С)/ Ф.А. Белых, А.Ю. Борзаков, А.В. Лобода// Изв. ВУЗов. Математика. 2007, N 5. С. 13-24.

85. Белых Ф.А. Вторичные редукции для случая 4—мерного вырождения краевой задачи в геликоидальной модели кристалла/ Ф.А. Белых, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Т. 4. 2007. Воронеж, ВГУ. Изд. "Созвездие". С. 5-14.

86. Белых Ф.А. Структура ключевой функции в случае Ъ\—симметрии функционала и 4—мерного вырождения порождающей особой точки/ Ф.А. Белых// Препринт НИИ математики ВГУ №22. Май 2007 г. Воронеж: ВГУ. 15 с.

87. Белых Ф.А. К бифуркационному анализу 2-точечной краевой задачи для уравнения Эйлера-Пуассона на группе SL(2)/ Ф.А. Белых// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 2. Воронеж: ВГУ, 2007. Изд. "Созвездие". С.11-20.