Бифуркационный анализ несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов: в феноменологической модели Ландау тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колесникова, Инна Викторовна

  • Колесникова, Инна Викторовна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2009, Воронеж
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 130
Колесникова, Инна Викторовна. Бифуркационный анализ несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов: в феноменологической модели Ландау: дис. кандидат физико-математических наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Воронеж. 2009. 130 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесникова, Инна Викторовна

Введение

1 Вариационная версия метода Ляпунова—Шмидта

1.1 Общие сведения о вариационных фредгольмовых уравнениях

1.2 Нелинейные ритцевские аппроксимации и ключевые функции

1.3 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.4 Версальные деформации, каустики и ключевые функции.

1.5 Бифуркационный анализ в точках минимума с особенностью 2-мерной сборки.

1.6 Клеточные комплексы, характеризующие фазовые портреты ключевых функций.

1.7 Угловые особенности гладких функций и функционалов

1.8 Симметричная развертка гиперболической омбилики в симметричном угле.

1.9 Квазиинвариантные подмногообразия.

2 Точки минимума с особенностью трехмерной сборки

2.1 Нормальные формы трехмерной сборки.

2.2 Алгоритм нормализации квартичной формы.

2.2.1 Нормализация квартичной формы двух переменных

2.2.2 Касательные векторы к орбите.

2.2.3 Открытость орбит.

2.2.4 Приведение квартичной формы к нормальному виду

2.3 О нормализации квартичной формы трёх переменных

2.4 Редукция трехмерной сборки.

3 Ветвление сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критической фазы, соответствующей особенности с 4—мерным вырождением

3.1 Применение ключевой функции при определении фазовых состояний кристалла.

3.2 Об алгоритме вычисления ключевой функции и асимптотическом представлении решений

3.3 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции.

3.4 Полиномы 6-го порядка двух и трех переменных с ослабленной симметрией.

3.5 Развертка особенности шестого порядка с симметрией квадрата

3.6 Некоторые запреты для Ьг/—раскладов.

3.7 Переход к функции в координатном угле.

3.8 Плоские сечения каустики.

4 Ветвление сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критической фазы, соответствующей особенности с 6—мерным вырождением

4.1 Случай трехмерной особенности шестого порядка с симметрией куба.

4.2 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции

4.3 Некоторые запреты для bif—раскладов.

4.4 Вычисление bif—раскладов.

4.4.1 Поверхности радиально стационарных точек для главной части ключевой функции.

4.4.2 Применение алгебраических свойств скобки Пуассона

4.4.3 Некоторые клеточные комплексы, изображающие расклады экстремалей.

4.5 Функции двух переменных в областях с углами

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бифуркационный анализ несоизмеримых сегнетоэлектрических фаз кристаллов: в феноменологической модели Ландау»

Актуальность темы. В диссертации в форме математической задачи о бифуркации экстремалей функционала энергии вблизи точки минимума с особенностью 6-го порядка изложены результаты исследований автора диссертации по вопросам геометрического строения каустик и раскладов бифурцирующих сегнетоэлектрических фаз неоднородного кристалла. Акцент сделан на случаях симметрии квадрата (для двумерной особенности) и куба (для трехмерной особенности). Рассмотрены также случаи "ослабленной" симметрии — инвариантности относительно группы, порожденной парой или тройкой коммутирующих инволюций. Результаты получены на основе редукции к ключевой функции на М2 и Ж3 посредством модифицированной вариационной версии метода Ляпунова-Шмидта с использованием вторичных редукций и фундаментальных теорем теории особенностей гладких функций.

Ключевые слова: фазовый переход, термодинамический потенциал, функционал энергии, фредгольмов фунциопал, экстремаль, бифуркация, каустика, метод Ляпунова-Шмидта, тип особенности, симметрия.

Успехи в исследовании фазовых переходов на основе феноменологической модели Л.Ландау [19], [45], [46], [47], [48], [51], [30] привлекают внимание исследователей и к математическим проблемам самого метода Ландау [9] - [16]. В теории Ландау сегнетоэлектрические фазовые состояния неоднородных кристаллов [25] определяются решениями некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, которые являются уравнениями Эйлера - Лагранжа экстремалей функционалов энергии (при соответствувющих краевых условиях). Нелинейность ДУ задается термодинамическими потенциалами Ф, алгебраические строения которых определяются как на основе опытных данных, так и на основе общих теоретических соображений [19].

В диссертации рассматривается функционал энергии в виде

27Г , хь х2, х3) = ^ У ( ^ о ^ д2и) 2 дии 2 дг2 - XI д2 + Х2 (1) хз |и>|4 + |и>|6 + х^'ш!4^!^) йг см. модели соизмеримых фаз, например, в [19]), где Х1,Х2,Хз,Х4 — некоторые физические константы, ю = ги2)т — параметр порядка.

Функционал (1) рассматривается на пространстве Е - 27Г—периодически х функций класса С4 (со значениями в координатной плоскости).

Анализ бифуркационных эффектов в диссертации осуществлен посредством одной из модификаций вариационной версии метода Ляпунова - Шмидта [26], [61], [56] позволяющей свести анализ функционала вида (1) к ключевой функции (от двух или более ключевых переменных)

У(£,8)= У(<ш,д), (2) ш: {ь},ек)=£к = (£ъ • • •, £п)> Я = ■ • • $гп), Где ек — мода бифуркации.

Для того, чтобы выяснить взаимные примыкания допустимых стабильных и метастабильных фаз, а также выяснить порядок фазовых переходов, необходимо вычислить не только точки локальных и глобальных минимумов функционала энергии (1), но и седловые точки. Более того, требуется информация о структуре фазового портрета динамической системы чЬ — —grad У(ии)

2тг градиент задан в скалярном произведении (р, д) := ^ Лр,я)<1х). Если

71 о известна ключевая функция IV, то эта структура определяется фазовым портретом }¥ (или, более точно, фазовым портретом градиентной динамической системы £ = — gradИ/(£)).

Задача изучения ветвления экстремалей гладкого функционала V и соответствующей ключевой функции ]¥ (с параметрами) вблизи точки минимума, имеющей многомерное вырождение, представляют как теоретический интерес, так и прикладной. Эта задача тесно связана с проблемой многомодовых бифуркаций решений краевых задач, с изучением закритических прогибов упругих систем по нескольким модам, с много-модовыми фазовыми переходами в кристаллах, с нелинейными волновыми процессами [17], [24]) и т.д.

Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах вариационного фредгольмова уравнения с симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с многомерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений исходного уравнения к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация центральной конструктивной идеи в задаче о 2- и 3-модовых ветвлениях сегнетоэлектрических фаз неоднородных кристаллов.

К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраического строения главной части ключевой функции, 2) описание геометрического строения каустики Е (дискриминантного множества уравнения Эйлера-Лагранжа), соответствующей функционалу энергии в "геликвидной"модели кристалла, 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирую-щих фаз.

В диссертации предложено решение основной задачи для класса неоднородных кристаллов, сегнетоэлектрические фазы которых описываются в рамках в "геликоидной" модели [19], [20], [45], [46], [48], [49], [53].

В случае тт—особенности с генотипом многомерной сборки (однородной особенности четвертого порядка) вычисление главной части ключевой функции осуществляется либо на основе ритцевской аппроксимации функционала по совокупности мод бифуркации, либо, в более сложных случаях, на основе формулы ортопроектора на корневое подпространство второго дифференциала функционала [22], [23]. На этом было достаточно полно исследовано ветвление экстремалей вблизи гшп-особенности с генотипом 2-мерной сборки [17], [22], [23], и частично исследован случай 3-мерной сборки [7], [17]. Многомерные сборки с симметрией (многомерного) куба были исследованы в [35] - [40], а с симметрией параллелепипеда — в [7].

Большинство известных исследований бифуркаций экстремалей в точках минимума с особенностью многомерной сборки опираются на нормальные формы таких особенностей [17], общий вид которых указан в теории однородных и квазиоднородных особенностей [1] (в комплексном случае). В вещественном случае алгебраическая структура нормальных форм в точках минимума с особенностями многомерных сборок сохраняется (по сравнению с комплексным случаем), но приводимость к нормальной форме в вещественном случае менее очевидна. В этой связи представаляет интерес построение алгоритмов нормализции квартичных форм.

В случае особенности шестого порядка вычисление главной части ключевой функции в диссертации осуществлено посредством нелинейной рит-цевской аппроксимации.

В данной работе рассмотрены мало изученные, но важные для приложений случаи задачи о геометрическом строении каустик для однородных тт-особенностей 6-го порядков с дополнительными условиями симметрии.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких функций, компьютерной графики. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких фредгольмовых вариационных уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах), оснащенная элементами теории особенностей гладких функций.

Научная новизна1. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых функций для функционалов энергии в "геликоидной" модели кристалла.

2. Разработан алгоритм нормализации (приведения к нормальным формам) квартичных форм двух и трех переменных.

3. Осуществлен бифуркационный анализ симметричных (с симметрией квадрата) ключевых функций двух переменных с главной частью в виде полинома шестой степени: описаны линии уровня, характер, количества, расположения и взаимные примыкания критических точек. Частично изучено строение симметричных (с симметрией куба) ключевых функций трех переменных с главной частью в виде полинома шестой степени.

4. Получена параметризация каустик для функционалов энергии в геликоидальной модели кристалла (в случаях симметрии квадрата и куба). Приведены асимптотические формулы амплитуд бифурцирующих сегнетоэлектрических фаз неоднородных кристаллов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых зфавнений в анализе ветвления сегнетоэлектрических фаз неоднородных кристаллов. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов [29].

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежских зимних математических школах (2007, 2009 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, на семинаре по качественному анализу краевых задач (ВГУ, рук. — проф. Ю.В. Покорный) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук. — проф. В.А. Костин), на семинаре по теории кристаллов (ВГУ, рук. — проф. Б.М. Даринский).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту. Списку ВАК соответствуют работы [64],[65].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 77 наиме

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесникова, Инна Викторовна, 2009 год

1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейп-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. - М.: Наука, 1982. - 304 с.

2. Белоглазов A.B. Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из омбилической точки минимума в вершине угла // Вестник ВорГУ. Сер. физ., матем. 2006, вып. 2. Воронеж: ВорГУ. - С. 147153.

3. Белых Ф.А., Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / Ф.А. Белых, A.B. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВорГУ, 2005. С. 18-33.

4. Брекер Т. Ландер JI. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. - 208 с.

5. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук, 1977. Т.32, вып.4. С.3-54.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. - 419 с.

7. Гнездилов А.В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией // Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1.- С.83-86.

8. Данилова О.Ю. Моды бифуркации в угловых критических точках / О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапронов, О.В. Швырёва // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: изд. ВорГУ, 2002. N 7 (новая серия). - С. 31-38

9. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. - С. 35-46.

10. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ, 2000. - С. 41-57.

11. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Шалимов B.JI. К термодинамической теории сегнетоэлектрических фазовых переходов в кристаллах // Кристаллография. 1999. - Т.44, N 4. - С. 1-5.

12. Darinskii М.М., Sapronov Yu.I., Shalimov V.V. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter// Ferroelectrics. 2002. V. 265. - P. 31-42.

13. Даринский Б.М., Ладыкина E.B., Сапронов Ю.И. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. - С. 52-67.

14. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И. Дискриминантные множества и расклады бифурцирующих решений фредгольмовых уравнений // Современная математика и ее приложения. Тбилиси, 2003. Т.7. - С.72-86.

15. Даринский Б.М., Дьяченко A.A., Сапронов Ю.И., Чаплыгин М.Н. Фазовые переходы в доменных границах ферроиков // Известия РАН, 2004. Т.768, N 7. С.920-926.

16. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев C.JI. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ, 2004. Т.12 С.3-140.

17. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р.Зачепа, Ю.И.Сапронов Воронеж: ВорГУ, 2002. - 185 с.

18. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. Москва: Наука, 1984. - 247 с.

19. Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965. - 555 с.

20. Костин Д.В. Ортопроектор теории возмущения линейных операторов и бифуркации равновесий слабо неоднородной упругой балки // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна -2006. С.106-113.

21. Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки // ДАН, 2008, т. 418, № 3. С.295-299.

22. Красносельский М.А., Бобылев H.A., Мухамадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления // ДАН СССР, 1978. Т. 240, N 3.- С. 530-533.

23. Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы.- М.: Мир, 1981. 736 с.

24. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l // Зап. Акад. наук. С.-Петербург, 1906.

25. Матов В.И. Унимодальные и бимодальные ростки функций на многообразии с краем // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981, вып.7. - С. 174-189.

26. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965. - 184 с.

27. Миропольский Ю.О., Мосеенков Б.1. Дослщження коливань в системах з розподшеними параметрами (асимптотичш методи). Видав-ництво Кшвського ушверситету. 1961. 123 п.

28. Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995. - 478 с.

29. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1989.- 639 с.

30. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. М.: Мир, 1968. - 268 с.

31. Постников М.М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971. - 568 с.

32. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980. - 608 с.

33. Сапронов Ю.И. Разрушение сферической симметрии в нелинейных вариационных задачах // Сб. статей: Анализ на многообразиях и дифференциальные уравнения. Воронеж, изд. ВорГУ, 1986. - С.88-111.

34. Сапронов Ю.И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий // Прикл. матем. и механики, 1988. Т.52, вып 6. С.997-1006.

35. Сапронов Ю.И. Двумодовая бифуркация решений уравнения Кармана // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, № 6. - С. 1078-1081.

36. Сапронов Ю.И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций // Матем. сборник. 1989. Т. 180, № 10. - С. 1299-1310.

37. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах // Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1.- С.94-103.

38. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, № 1. - С. 101-132.

39. Сапронова Т.Ю. О разрушении компактных критических орбит инвариантных фредгольмовых функционалов при несимметричных возмущениях // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж, ВорГУ, 1997. № 2. - С.54-58.

40. Сапронова Т.Ю. Бифуркации экстремалей из точек критической орбиты при разрушении непрерывной симметрии // Труды математического факультета. Новая серия. Воронеж, ВорГУ, 1999. № 4. - С. 101-107.

41. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВорГУ. 2000. - С. 107-124.

42. Сапронова Т.Ю. О квазиинвариантных подмногообразиях фредгольмовых функционалов // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2004. СПб., 2004. - С.81-88.

43. Сидоркин A.C. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 240 с.

44. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А., Крайник H.H., Пасынков P.E., Шур М.С. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. Л.: Наука, 1971. - 476 с.

45. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектриче-ских явлений в кристаллах М.: Физматлит, 1995. 301 с.

46. Толедано Ж.-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов. -М.: Мир, 1994. 461 с.

47. Трепогин В.А., Сидоров Н.А., Логинов Б.В. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия // Докл. АН СССР. -1989. Т. 309, № 2. С. 286-289.

48. Хуссаин Мудхир А. Абдул. Угловые особенности гладких функций в анализе бифуркаций равновесий упругих балок и периодических волн / М.А. Хуссаин // Автореферат диссертации на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. по спец. 01.01.01. Воронеж, ВорГУ. 2005. 16 с.

49. Широков В.В., Юзюк Ю.И., Dkhil В., Леманов В.В. Феноменологическое описание фазовых переходов в тонких пленках В.Н. ВаТЮз // Физика твердого тела. Т.50, вып. 5 (2008), с. 889-892.

50. Golubitsky М., Stewart I., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. V.2.-N.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

51. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls // Ferroelectrics. 1989. V.98. - P. 193-205.

52. Magnus R.J. Universal unfolding in Banach spaces: reduction and stability // Mathematics Report 107, Battele, Genewa. 1977.

53. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, № 6.

54. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure // Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

55. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables // Trans. Am. Math. Soc. 1931. V.33. - P.72-91.

56. Morse M. The calculus of variations in the large. New York, 1934.

57. Palais R.S. Morse Theory on Hilbert Manifolds // Topology. 1963. V.2. - P. 299-340.

58. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. - P. 61-89.

59. Schmidt Б. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen // Math. Ann. 1908. - V.65. - P. 370-399.

60. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc // Quart. J. Oxford Ser. 1981. - V.32, N 125. - P. 119-127.

61. Wall С.T.C. A Note on Symmetry of Singularities // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169-175.

62. Колесникова И.В. Ветвление фаз кристалла,определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка / Б.М. Даринский, И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж, 2009. - № 1(35). — С. 72-76.

63. Колесникова И.В. К бифуркационному анализу 2-точечных краевых задач, классической механики / И.В. Колесникова, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев// Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2006. - Воронеж: ВорГУ, 2006.- С.63-78.

64. Колесникова И.В. Симметричные однородные особенности 6-го порядка / И.В. Колесникова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференщш Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2009. — С.86-88.

65. Колесникова И.В. Трехмодовые бифуркации сегнетоэлектрических фаз кристалла и полиномы в треугольной области / И.В. Колесникова // Актуальные проблемы математики и информатики // Труды математического факультета. Воронеж: ВорГУ, 2009. - № 1. — С. 9-20.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.