Параллельные методы и алгоритмы для решения задач математического моделирования на основе вариационных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Запорожец, Дмитрий Николаевич

• Запорожец, Дмитрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Запорожец, Дмитрий Николаевич

Введение

1 Математическое моделирование в двухуровневой оптимизации

1.1 Вариационные неравенства в математическом моделировании

1.2 Двухуровневая математическая модель задачи оптимального резервирования на основе вариационных неравенств.

1.3 Двухуровневая математическая модель в сельском хозяйстве

1.4 Двухуровневая математическая модель

Продавец-Покупатель».

1.5 Двухуровневая математическая модель в задаче теории смазки

1.6 Итоги раздела 1.

2 Итерационные методы.

2.1 Градиентные методы.

2.2 Экстраградиентные методы.

2.3 Итерационные методы с памятью.

2.4 Сходимость методов

2.5 Итоги раздела 2.

3 Программный комплекс MMSolver.

3.1 Описание модуля MatrixCalc

3.2 Описание модуля Task.

3.3 Описание модуля Method.

3.4 Особенности реализации методов с памятью.

3.5 Интерфейс программного комплекса MMSolver.

3.6 Итоги раздела 3.

4 Вычислительные эксперименты.

4.1 Тестовые задачи.

4.2 Двухуровневая задача оптимального резервирования в сельском хозяйстве

4.3 Итоги раздела 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллельные методы и алгоритмы для решения задач математического моделирования на основе вариационных неравенств»

Актуальность темы исследования. Актуальность использования вариационных неравенств как современного инструмента моделирования и численного решения оптимизационных задач обусловлена их универсальностью и применимостью при решении задач исследования операций в экономике, логистике, технике и других областях.

Научный вклад в разработку моделей, методов и эффективных алгоритмов решения вариационных неравенств внесли такие известные ученые как A.C. Антипин, В.А. Булавский, В.Ф. Демьянов,.В.Г. Жадан, С.И. Зуховицкий, A.B. Зыкина, В.В. Калашников, И.В. Коннов, Г.М. Корпелевич, A.B. Панюков, A.B. Певный, Б.Т. Поляк, Л.Д. Попов, М.Е. Примак, E.H. Хоботов, K.J. Arrow, G. Debreu, Р.Т. Harker, Т. Kose, J.S. Pang, R.M. Solow и другие.

Универсальным методом решения вариационных неравенств являются итерационные методы, наиболее распространенными из них являются градиентные методы. Однако их применение требует выполнения достаточно жестких условий (к примеру, сильной монотонности оператора вариационного неравенства или компактности исходного множества). Ослабить эти условия, а значит, расширить класс решаемых задач позволяют экстраградиентные методы. Экстраградиентные методы применимы при условии монотонности оператора вариационного неравенства и замкнутости исходного множества.

Степень разработанности темы исследования. Общим недостатком классических итерационных методов является последовательность процесса вычислений итераций, невозможность начать вычисление очередной итерации, пока не закончится вычисление предыдущей, что приводит к неэффективному использованию ресурсов современных вычислительных машин. В связи с активным развитием технологий параллельных вычислений в последнее десятилетие и опережающим развитием высокопроизводительной вычислительной техники по сравнению с развитием программного обеспечения для таких систем востребованными являются методы и алгоритмы, использующие несколько процессоров. Поскольку последовательные алгоритмы не позволяют решать задачи быстрее при использовании нескольких процессоров, то разработка параллельных методов и алгоритмов решения, а также распараллеливание существующих алгоритмов являются актуальным направлением в развитии современных технологий математических методов моделирования оптимизационных систем и итерационных методов для их решения.

Создавать параллельные программы при помощи специального набора директив и процедур позволяет технология ОрепМР, являющаяся наиболее эффективным средством программирования для систем с общей памятью. Данная технология использована при создании программного комплекса в диссертационном исследовании.

Итерационные методы с памятью, предложенные в диссертации, запоминают информацию о направлении на предыдущей итерации и используют её при вычислении очередной итерации, а также используют параллельные вычисления на каждой итерации, что позволяет сократить не только количество итераций, но и время решения задачи. Важной особенностью предложенных методов с памятью является их применимость к любому монотонно сходящемуся по норме итерационному процессу, в результате чего получен новый класс методов, который позволяет наиболее полно использовать потенциал современных многоядерных компьютеров, что обуславливает актуальность проведенных исследований. В данной диссертационной работе с помощью итерационных методов с памятью построены градиентные методы (с постоянным шагом, с дроблением шага), одношаговый экстраградиентный метод и двухшаговый экстраградиентный метод.

Диссертационная работа опирается на исследования A.C. Антипина, A.B. Зыкиной, И.В. Коннова, Н.В. Меленьчука и расширяет аппарат математических методов моделирования сложных оптимизационных систем и итерационных методов для их решения.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы являются разработка и теоретическое обоснование нового метода математического моделирования для задачи оптимального резервирования, разработка и теоретическое обоснование новой технологии построения итерационных методов, с оценкой эффективности использования новых разработанных параллельных методов для решения задач математического моделирования на основе вариационных неравенств.

Для достижения поставленной цели в диссертационном исследовании поставлены следующие задачи:

1. Разработать метод математический моделирования в задачах оптимального резервирования.

2. Разработать технологию итерационных методов: итерационный метод с памятью, преобразующий последовательные итерационные методы в новый класс параллельных методов.

3. Разработать и обосновать итерационные методы с памятью для градиентных и экстраградиентных методов решения вариационных неравенств.

4. Реализовать исследуемые последовательные итерационные методы и их параллельные модификации с памятью в виде программного комплекса.

5. Построить и исследовать математическую модель оптимального резервирования возобновляемых ресурсов в сельскохозяйственной отрасли с применением разработанной технологии математического моделирования на основе вариационных неравенств.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что разработанный метод моделирования задачи оптимального резервирования основан на использовании аппарата вариационных неравенств в моделировании двухуровневых задач. Разработана новая технология итерационных методов: итерационный метод с памятью. Доказана сходимость итерационных методов с памятью по норме к решению задач для градиентных и экстраградиентных методов, получены оценки скорости сходимости. Впервые разработана математическая модель оптимального резервирования возобновляемых ресурсов, для решения которой применим разработанный в диссертации численный метод.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что разработанный метод моделирования задачи оптимального резервирования развивает теорию математического моделирования и может быть использован для качественного и численного исследования моделей на основе вариационных неравенств. Разработанная технология итерационных методов с памятью и построенные параллельные алгоритмы вносят вклад в развитие методов математического программирования. теории вариационных неравенств, теории параллельных вычислений.

Практическая значимость работы. Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в РО ОФЭРНиО. Программный комплекс ММЯокег позволяет решать сводящиеся к вариационным неравенствам актуальные задачи математического моделирования из различных областей знаний, в том числе, задачу оптимального резервирования возобновляемых ресурсов в сельскохозяйственной отрасли, экономическую задачу «Продавец - Покупатель», техническую задачу из теории смазки.

Программный комплекс ММвоЬег используется студентами и научными сотрудниками Омского государственного технического университета в рамках учебного процесса и при научных исследованиях.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического моделирования, математического программирования, теория вариационных неравенств, теория параллельных вычислений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан новый метод математического моделирования задачи оптимального резервирования, основанный на использовании аппарата вариационных неравенств в моделировании двухуровневых задач.

2. Разработана новая технология итерационных методов: итерационный метод с памятью, позволяющая преобразовать существующие итерационные методы и получить новый класс параллельных методов решения.

3. Разработаны новые итерационные методы с памятью для градиентных и экстраградиентных методов, доказана сходимость методов по норме к решению задач, получены оценки скорости сходимости.

4. Разработана программа «Экстраградиентные методы» и программный комплекс ММБоЬег, реализующие исследуемые итерационные методы. В ходе вычислительных экспериментов, проведенных на программном комплексе, подтверждена эффективность разработанных алгоритмов, методов и подходов.

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты диссертационной работы, разработанные методы, алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1. Российская конференция «Дискретная оптимизация и исследование операций» (Новосибирск, 2010);

2. Всероссийская молодежная научно-техническая конференция «Россия молодая: передовые технологии - в промышленность» (Омск, 2010);

3. Российская молодежная научно-практическая конференция «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (Омск, 2011);

4. Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 2011);

5. Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 2011);

6. Всероссийская конференция «Статистика. Моделирование. Оптимизация» (Челябинск, 2011);

7. Международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2012);

8. Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии» (Челябинск, 2013);

9. Международная конференция «Дискретная оптимизация и исследование операций» (Новосибирск, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ (12 статей, 2 тезисов докладов, 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ). Основные публикации приведены в конце автореферата. В их числе 4 статьи из ведущих российских рецензируемых научных журналов и изданий [26-29].

В совместных работах [27-29] Зыкиной А. В. принадлежат постановки задач, Запорожцу Д. Н. - все основные полученные результаты. Из остальных работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены только те результаты, которые были получены лично Запорожцем Д. Н. и не затрагивают интересов других соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов основного содержания, заключения, списка литературы из 106 наименований. Полный объем диссертации составляет 135 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Запорожец, Дмитрий Николаевич

Заключение

Диссертационная работа посвящена использованию современного эффективного аппарата вариационных неравенств и итерационных методов их решения для математического моделирования и численного решения оптимизационных задач, в том числе, двухуровневых задач оптимизации. Предложенный новый метод математического моделирования применим к большому количеству не только экономических задач, но и к задачам, имеющих физический смысл: проблема смазки, стационарная фильтрация жидкости через плоскую перегородку, обтекания жидкостью заданного профиля и другие.

Новая математическая модель для задачи оптимального резервирования показывает всю сложность задачи, с одной стороны, и позволяет эффективно решать задачу, с другой стороны, применяя для численного решения этой модели итерационные методы с памятью.

Теория итерационных методов решения вариационных неравенств расширена разработкой и обоснованием итерационных методов с памятью, представляющих собой новый класс параллельных итерационных методов. Построены модификации предложенного метода с памятью для различных итерационных методов, что позволяет говорить не только о разработке нового метода, но и о его всестороннем применении.

Использование разработанного программного комплекса ММБоЬег позволяет оценить эффективность построенных итерационных методов с памятью для решения задач, формализуемых вариационными неравенствами.

Данная диссертационная работа является основой для дальнейшего развития итерационных методов решения вариационных неравенств и их использования для различных классов задач и моделей. Разработка многошаговых схем итерационных методов с памятью видится перспективным и интересным направлением развития численных методов.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты.

1. Разработан новый метод математический моделирования задачи оптимального резервирования возобновляемых ресурсов. Метод основан на использовании аппарата вариационных неравенств в моделировании двухуровневых задач. Метод применен для моделирования задач из различных предметных областей (задача резервирования семенного фонда в сельскохозяйственной отрасли, экономическая задача «Продавец - Покупатель», техническая задача о смазке подшипника).

2. Разработана новая технология итерационных методов: итерационный метод с памятью, позволяющий преобразовать существующие итерационные методы и получить новый класс параллельных методов решения, эффективно использующих ресурсы многопроцессорной компьютерной техники.

3. Разработаны новые итерационные методы с памятью для градиентного метода с постоянным шагом, градиентного метода с убывающим шагом, одно-шагового экстраградиентного метода и двухшагового экстраградиентного метода, доказана сходимость методов по норме к решению задач, получены оценки скорости сходимости.

4. Введен эффективный для разработанных методов критерий одного направления. Построены вычислительные схемы алгоритмов с памятью для семейства градиентных методов (с постоянным шагом, с убывающим шагом), для одношагового и двухшагового экстраградиентных методов.

5. Разработана программа «Экстраградиентные методы» и программный комплекс ММБоЬ/ег, реализующие исследуемые итерационные методы. В ходе вычислительных экспериментов, проведенных на программном комплексе, подтверждена эффективность разработанных алгоритмов, методов и подходов, получены новые закономерности, характеризующие построенную математическую модель оптимального резервирования возобновляемых ресурсов в сельскохозяйственной отрасли.

Словарь терминов решить вариационное неравенство (solve variational inequality) [48] : Найти вектор z* Є Г2, удовлетворяющий условиям

H{z*),z~ z*) > 0,Vz Є П где

Н : Rn —» Rn - оператор вариационного неравенства; О, - выпуклое замкнутое множество. решить смешанное вариационное неравенство (solve combined variational inequality): Найти вектор и* Є U такой, что

Н(и*), и - и*) + f(u) - f{u) > 0Уи Є U, где

U - непустое, замкнутое и выпуклое множество в n-мерном евклидовом пространстве Мп;

Н : Мп —> Мп - непрерывно дифференцируемое отображение; / : Мп —> М - выпуклая и непрерывная функция. итерационный алгоритм (iteration algorithm): Алгоритм, в котором на каждом шаге используется одна и та же формула, выраженная через значения, полученные на предыдущих шагах алгоритма. итерационная последовательность (iteration sequence): Числовая последовательность хо,х\,. . ■ ■ полученная в результате выполнения итерационного алгоритма. Где к - номер итерации; хк - значение, полученное на к-м шаге алгоритма. сходящийся итерационный алгоритм (convergent iteration algorithm): Итерационный алгоритм, для итерационной последовательности которого суlim = х* к^оо решить линейную задачу дополнительности [72] (solve linear complementarity problem) : Найти решение системы w = Mz + q, w > 0, 2 > 0, wTq = О, где w G M", zEtn- искомые векторы; q ~ вектор размерности n; M - матрица размера n x п. решить нелинейную задачу дополнительности [101,102] (solve nonlinear complementarity problem) : Найти решение задачи и = Р(у),и>0,у>0,ути = 0, где

Р : Rn —> Rn - заданное нелинейное отображение; U),y G M" - искомые векторы. решить вариационное неравенство со связанными ограничениями (solve variational inequality with coupled contraints) : Найти такой вектор x* G что

H(x*)iy-x*)>0.yyenj(x\y)<0, где

H : Mn x Rn; / :ГхММ Мш;

- выпуклое, замкнутое множество, решить систему линейных алгебраических уравнений (solve a system of linear equations) : Найти вектор x G Rn, такой, что

Ах = b, где

А - матрица размерности п х га; b - вектор размерности т. решить задачу нелинейного программирования [106] (solve the nonlinear programming problem): Найти вектор iGl" о(ж) ram, дг(х) < 0. г = 1,., га, х G Г2,

ГДе : 1п х I - нелинейные функции. функция Лагранжа для задачи нелинейного программирования

Lagrange function for the non-linear programming problem): Функция L(x, A) вида m

L(x, A) = f0(x) + ^ Atgt(x), 1 = 1 где A = (Ai,., ATO) G M+ седловая точка функционала ф(х, у) (saddle point of the functional ф{х,у)): точка [x*,y*] G Q x S, удовлетворяющая условиям ф(х\у) < ф(х\у*).Уу G S(x*,y*) < 0(x,y*),Vx G Q где

Q С Rn, S С Rm - подмножества евклидовых пространств; ф(х,у) - функционал, определенный на Q х S. кососимметрическая функция (skew symmetric function): если функция Ф(г>,а;) из М" х 1" в 1 9 х 0 удовлетворяет условию

Ф(ы, и) - Ф(ш, v) - Ф(г», ш) + Ф(ь, v) > 0 для всех Vw G Q,Vv G ©. производная функции f(x l,x2, . . . . Хп) в точке х° — (х°,х2, . х°) по направлению единичного вектора е = (ei, е2. ., еп) (derivative of the function /(xi, x2, ■ • •, xn) at the point x° = , x2,., xn ) in the direction of the unit vector e = (eb 62j ■ • • , 6n )): Функция Def(x), определяемая следующим образом V/ = llm + he) - /(*")

JV J Ve /1—>0 h дифференциал Гато отображения F : X —> У в точке х при приращении t по направлению h (Gateaux differential mapping F : X —> У at the point x of the increment t in the direction h): Предел

1Р{Х,Н) = ШПХ + Щ-Р{Х\ v ' ' t^o t где сходимость понимается, как сходимость по норме в пространстве У. банахово пространство (Banach space): Нормированное векторное пространство, полное по метрике, порожденной нормой. производная Фреше оператора F : X —> У в точке х G X (Frechet derivative of the operator F : X —» У at the point x G X): Линейный оператор A : X —» У, такой что для любого h G X выполняется следующее равенство

F{x + h) - F(x) = Ah + r0(x, h), причем для остаточного члена ro(x,h) верно соотношение ~^ О ПРИ

IIЩх 0- где X. У - вещественные банахова пространства. последовательность Xk обладает сходимостью степени /3 (sequence Xk has a degree of convergence of /3): Если для последовательности Xk выполнено

За G [0,1] : 3N G N, Vfc > - x*|| < a\\xk-1 - x*f однородная функция степени q (homogeneous function of degree q): Числовая функция f(x) : M.n —> R такая, что для любого v G Rn и A G R выполнено f(Xv) = \qf{v)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Запорожец, Дмитрий Николаевич, 2013 год

1. Антипин, А. С. Дифференциальный экстрапроксимальный метод поиска точки равновесия в седловых играх двух лиц/ А.С.Антипин, JI. А. Артемьева, Ф. П. Васильев // Дифференциальные уравнения. 2011. - Т. 47. - № 11. - С. 1551 - 1563.

2. Антипин, А. С. Методы регуляризации для решения неустойчивых задач равновесного программирования со связанными ограничениями / А.С.Антипин, Ф.П.Васильев// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45. - № 1. - С. 27-40.

3. Антипин, А. С. Методы решения вариационных неравенств со связанными ограничениями / А. С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т. 40. - К0- 9. - С. 1291 -1307.

4. Антипин, А. С. Многокритериальное равновесное программирование: экстрапроксимальные методы / А. С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47. - N212. - С. 1998-2013.

5. Антипин, А. С. Непрерывный экстраградиентный метод решения параметрической многокритериальной задачи равновесного программирования/ А.С.Антипин, Л.А.Артемьева, Ф.П.Васильев// Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45. - № И. - С. 1577-1585.

6. Антипин, А. С. О равновесной модели кредитного рынка: постановка задачи и методы решения/ А.С.Антипин, О.А.Попова// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. - Т. 49. - №3. -С. 465-481.

7. Антипин, А. С. Об одном методе отыскания седловой точки модифицированной функции Лагранжа/ А.С.Антипин// Экономика и математические методы. 1977. - Т. XIII. - Выпуск 3. - С. 560-565.

8. Антипин, А. С. Обратная задача оптимизации: постановка задачи и подходы к ее решению/ А.С.Антипин// Обратные задачи математического программирования. 1992. - С. 4-58.

9. Антипин, А. С. Равновесное программирование: методы градиентного типа / А. С. Антипин // Автоматика и телемеханика. 1997. - № 8. - С. 125 -137.

10. Антипин, А. С. Регуляризованный метод с прогнозом для решения вариационных неравенств с неточно заданным множеством / А. С. Антипин, Ф. П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44. - № 5. - С. 796 - 804.

11. Антипин, А. С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных и игровых задач / А. С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45, - № 11, 12. - С. 1969-1990, 2102-2111.

12. Антипин, А. С. Экстрапроксимальный метод решения седловых игр двух лиц/ А.С.Антипин, Л.А.Артемьева, Ф.П.Васильев// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. - Т. 51. - №9. -С. 1576-1587.

13. Венец В. И. Непрерывный алгоритм поиска седловых точек выпукло-вогнутых функций/ В. И. Венец// Автоматика и телемеханика.-1984.-№1.-С. 42-47.

14. Береснев, В. Л. Дискретные задачи размещения и полиномы от булевых переменных / В. Л. Береснев. Новосибирск.: Институт математики, 2005. - 408 с.

15. Береснев, В. Л. Экстремальные задачи стандартизации/ В. Л. Береснев, Э. X. Гимади, В. Т. Дементьев. Новосибирск.: Наука, 1978. - 336 с.

16. Гимади, Э. X. Эффективный алгоритм решения двухэтапной задачи размещения на древовидной сети / Э.Х. Гимади, А. А. Курочкин // Дискретный анализ и исследование операций. 2012. - Т. 19. - №6. - С. 9-22.

17. Горбачевская, Л. Е. Алгоритмы и сложность решения двухуровневых задач стандартизации с коррекцией дохода/ Л.Е.Горбачевская// Дискретный анализ и исследование операций. 1998. - серия 2. - Т. 5. - № 2. - С. 20-33.

18. Дементьев, В. Т. Двухуровневая задача о назначениях при обобщенном условии Монжа / В. Т. Дементьев, Ю. ,В. Шамардин // Дискретный анализ и исследование операций. 2003. - Серия 2. - Т. 3. - №2. - С. 19-28.

19. Дацюк,В.Н. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. / В. Н. Дацюк, А. А. Букатов, А. И. Жегуло. Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР», 2003. - 208 с.

20. Евтушенко, Ю. Г. Релаксационный метод решения задач нелинейного программирования / Ю.Г.Евтушенко, В. Г. Жадан// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. - Т. 17. - №4. - С. 890- 904.

21. Еремин, И. И. О задачах последовательного программирования / И.И.Еремин// Сибирский математический журнал. 1973. - Т.XIV.- №. 1. С. 124-129.

22. Жадан, В. Г. Допустимый двойственный метод внутренней точки для линейной задачи полуопределенного программирования / В. Г. Жадан, А. А. Орлов // Автоматика и телемеханика. 2012. № 2. - С. 25 - 40.

23. Запорожец, Д. Н. Обработка исходных данных при реализации экстраградиентных методов решения линейных оптимизационных задач / Д. Н. Запорожец// Омский научный вестник. Серия Приборы, машины и технологии. 2010. -№3(93). - С. 18-22.

24. Запорожец, Д. Н. Распараллеливание экстраградиентных методов/ Д. Н. Запорожец, В.С.Зыкин, А.В.Зыкина, Д. И.Куянов// Омский научный вестник. Серия Приборы, машины и технологии. 2011. - №3(103). -С. 22-25.

25. Запорожец, Д. Н. Сравнительный анализ экстраградиентных методов решения вариационных неравенств для некоторых задач / Д. Н. Запорожец,

26. A. В. Зыкина, Н. В. Меленьчук // Автоматика и телемеханика. 2012. - №4. -С. 32-46.

27. Запорожец, Д. Н. Двухшаговый экстраградиентный метод с памятью для решения вариационных неравенств со связанными ограничениями / Д. Н. Запорожец, А.В.Зыкина// Омский научный вестник. Серия Приборы, машины и технологии. 2012. - №3(113). - С. 274-277.

28. Запорожец, Д. Н. Программное обеспечение для решения линейных оптимизационных задач экстраградиентными методами/ Д. Н. Запорожец// Омское время взгляд в будущее. - 2010. - Книга 1. - С. 225-228.

29. Запорожец, Д. Н. Эффективность двухшагового экстраградиентного метода решения вариационных неравенств / Д. Н. Запорожец, А. В. Зыкина, Н. В. Меленьчук// Дискретная оптимизация и исследование операций.2010. С. 87.

30. Запорожец, Д. Н. Вариационные неравенства со связанными ограничениями в модели планирования производства / Д. Н. Запорожец, Н. В. Меленьчук // Россия молодая : передовые технологии-в промышленность. 2010. - Книга 1. - С. 276-278.

31. Запорожец, Д. Н. Распараллеливание экстраградиентных методов решения оптимизационных задач с матричным оператором / Д. Н. Запорожец,

32. B.С.Зыкин, Д. И.Куянов// Прикладная математика и фундаментальная информатика. 2011. - С. 73-79.

33. Запорожец, Д. Н. Экстраполяционные методы решения вариационных неравенств и смежных задач/ Д. Н. Запорожец, А.В.Зыкина, Н. В. Меленьчук// Математическое программирование и приложения.2011. С. 41-42.

34. Запорожец, Д. Н. Экстраградиентные методы с памятью/ Д. Н. Запорожец // XV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения». 2011. - Т2. - С. 92-95.

35. Запорожец, Д. Н. Экстраградиентные методы с памятью для решения вариационных неравенств/ Д. Н. Запорожец, А.В.Зыкина// Статистика. Моделирование. Оптимизация. 2011. - С. 121-124.

36. Запорожец, Д. Н. Программный комплекс ММSolver / Д. Н. Запорожец// Динамика систем, механизмов и машин. 2012. - С. 258-261.

37. Запорожец, Д. Н. Разработка параллельных алгоритмов многошаговых экстраградиентов методов / Д. Н. Запорожец, А. В. Зыкина// Дискретная оптимизация и исследование операций. 2013. - С. 49.

38. Запорожец, Д. Н. Распараллеливание итерационных методов решения вариационных неравенств / Д. Н. Запорожец// Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2013). 2013. - С. 346-354.

39. Запорожец, Д. Н. Параллельные технологии в решении задачи оптимального резервирования возобновляемых ресурсов на примере сельскохозяйственной отрасли/ Д. Н. Запорожец// Прикладная математика и фундаментальная информатика. 2013. - С. 48-51.

40. Зыкина, А. В. Двухшаговый экстраградиентный метод для вариационных неравенств / А. В. Зыкина, Н. В. Меленьчук // Известия высших учебных заведений. Математика. 2010. - №9. - С. 82-85.

41. Зыкина, А. В. Двухшаговый экстраградиентный метод для задач управления ресурсами / А. В. Зыкина, Н. В. Меленьчук // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. - Т. 17. - № 1. - С. 65-75.

42. Зыкина, А. В. Обратная дополнительность в модели дефицита ресурсов /

43. A. В. Зыкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т. 48. -№11- С. 1968-1978.

44. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. / С. Карлин. Москва.: Мир, 1964. - 835 с.

45. Зыкина, А. В. Последовательная оптимизация для многокритериальной задачи /A.B. Зыкина / / Экономика и математические методы. 2006. - Т. 42. -К0-1. - С. 110-119.

46. Зыкина,A.B. Многокритериальный подход к коррекции противоречивой задачи квадратичного программирования/ А.В.Зыкина// Омский научный вестник. 2006. - №1. - С. 53-56.

47. Калашников, В. В. Решение двухуровневого вариационного неравенства//

48. B. В. Калашников, Н. И. Калашникова// Кибернетика и системный анализ. 1974. - №6. - С. 178-180.

49. Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения. / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. Москва.: Мир, 1983. - С. 256

50. Ким, Т. С. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности / Т. С. Ким, В. Г. Яцура // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. -№3. - С. 41-44.

51. Корпелевич, Г. М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач / Г. М. Корпелевич // Экономика и математические методы. 1976. - Т. 12. - №4. - С. 747-756.

52. Коннов,И.В. Двойственный подход для одного класса смешанных вариационных неравенств / И. В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. - Т. 42. - №9. - С. 1324-1337.

53. Коннов, И. В. Метод нелинейного спуска для вариационного неравенства на невыпуклом множестве. / И. В. Коннов // Известия высших учебных заведений. Математика. 2009. - № 1. - С. 66-75.

54. Коннов, И. В. Методы решения конечномерных вариационных неравенств./ И. В. Коннов. Казань.: ДАС, 1998. - 101 с.

55. Коннов, И. В. Об одном классе О-интервальных функций для смешанных вариационных неравенств Текст] / И. В. Коннов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1999. - № 12. - С. 60-64.

56. Коннов, И. В. О системах вариационных неравенств / И. В. Коннов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1997. - № 12. - С. 79-88.

57. Кочетов, Ю. А. Двухуровневые задачи размещения / Ю. А. Кочетов // Труды института вычислительной математики и математической геофизики сибирского отделения российской академии наук. Информатика. 2007. -С. 97-104.

58. Кочетов, Ю. А. Равновесия по Нэшу в игровых моделях размещения/ Ю. А. Кочетов// Труды XIV Байкальской международной школы-семинара. 2008. - Т. 1. - С. 119 — 127.

59. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии: Пер. с англ. / П. Панагиотопулос. Москва.: Наука, 1989. - 494 с.

60. Левин, М. П. Параллельное программирование с использованием ОрепМР / М.П.Левин. Нижний Новгород.: БИНОМ Лаборатория знаний. - 2012. - 121 с.

61. Левцов,А.Д. Алгоритмы линейной задачи дополнительности в применении к расчету систем с односторонними связями. / А. Д. Левцов.// Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов. 2003. - С. 128-129.

62. Нурминский, Е. А Метод выпуклых мажорант для решения вариационноподобных неравенств / Е. А. Нурминский, Н. Б. Шамрай // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47. - №3. -С. 355-363.

63. Нурминский, Е. А. Метод последовательных проекций для решения задачи о наименьшем расстоянии до симплексов / Е. А. Нурминский // Исследовано в России. 2004. - Т. 160. - С. 1732-1739.

64. Нурминский, Е. А. Параллельный метод проекции на выпуклую оболочку семейства множеств / Е. А. Нурминский // Известия высших учебных заведений. Математика. 2003. - № 12. - С. 78-82.

65. Нурминский, Е. А. Проекция на внешне заданные полиэдры / Е. А. Нурминский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т. 48. - №3. - С. 387-396.

66. Нурминский, Е. А. Решение задачи поиска наименьшего расстояния до политопа с использованием графических ускорителей / Е. А. Нурминский, П. Л. Поздняк // Вычислительные технологии. 2011. - Т. 16. - №5. -С. 80-88.

67. Нурминский, Е. А. Ускоренный параллельный метод проекций для решения задачи о наименьшем расстоянии / Е. А. Нурминский, Д. В. Долгий// Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2006. - Т. 7. - №1. - С. 273-277.

68. Панюков,А. В. Применение массивно-параллельных вычислений для решения задач линейного программирования с абсолютной точностью /

69. B. В. Горбик, А. В. Панюков // Автоматика и телемеханика. 2012. - № 2.1. C. 73-88.

70. Панюков, А. В. Численные методы определения положения равновесия в модели Неймана/ А. В. Панюков, А. Т. Латипова// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т. 48. - № 11 - С. 1999--2007.

71. Полтерович, В. М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. / В. М. Полтерович. Москва.: Наука, 1990. - 254 с.

72. Попов, Л. Д. Об одноэтапном методе решения лексикографических вариационных неравенств / Л. Д. Попов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1998. -№12. - С 71-81.

73. Попов, Л. Д. Лексикографические вариационные неравенство и некоторые