Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сухаревский, Владимир Владимирович

• Сухаревский, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сухаревский, Владимир Владимирович

Введение.

Глава 1. Получение аналитических выражений для координат орбит периода 2. Бифуркационная диаграмма вещественности координат орбит.

1.Постановка задачи

2.Механические модели.

3.Нахождение аналитических выражений для бистабильных состояний.

4.Исследование бифуркационных свойств бистабильных состояний (построение бифуркационной диаграммы)

5. Регуляризация полученных решений.

6. Выводы.

Глава 2. Исследование устойчивости орбит периода 2. Построение бифуркационной диаграммы топологических типов орбит.

1. Общие вопросы.

2.Исследование топологических типов орбит периода 2 (бистабильных состояний).

3.Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов

4.Нахождение бифуркационных поверхностей в пространстве параметров.

5. Определение параметров, определяющих топологический тип фокус.

6. Устойчивость бистабильных состояний.

7. Выв оды.

Глава 3. Модель перерассеяния частиц. Определение температуры и плотности потока частиц для квазиравновесной системы в ангармоническом осцилляторе

1. Постановка задачи.

2.Данные численного эксперимента.

3 . Оценка температуры.

4.Оценка плотности.

5.Дополнительные математические исследования

6.Применение методик изучения моделей с дискретным временем для модели лазера.

7. Термодинамическая интерпретация численных данных для системы "Bogdanov-map".

8. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением»

Актуальность и общая характеристика работы

Теоретическое исследование реальной физической системы приводит к построению упрощенной, идеализированной математической модели. Определенная идеализация всегда неизбежна, так как для построения математической модели (то есть, для составления той или иной системы уравнений, описывающих поведение физической системы) необходимо учесть лишь основные факторы, определяющие интересующие нас черты поведения системы. Определить, подходит ли данная модель (идеализация) для данной конкретной физической задачи, можно в конечном итоге, только опытным путем [1].

Такой подход к теоретическому изучению физики потребовал глубокого исследования динамических систем. Под динамической системой понимают объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени [2]. Задание закона эволюции динамической системы может быть разнообразным: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и проч. Выбор одного из этих способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [3] . Математическая модель считается заданной, если указаны координаты

1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 04-01-00115 системы, однозначно определяющие ее состояние и указан закон эволюции. Закон эволюции в операторной форме для координаты системы в N-мерном фазовом пространстве ^(0 и начального состояния ^-Оо) можно записать в виде: x(t)=Ttx(t0) f где - оператор эволюции [3] . Таким образом, оператор эволюции отображает фазовое пространство на себя.

Динамические системы классифицируют в зависимости от Т вида оператора xt и структуры фазового пространства. В этой классификации можно выделить два подкласса - системы с непрерывным и дискретным временем. Оба этих направления исторически развивались параллельно, взаимно дополняя друг друга, со времен Ньютона и Эйлера. Столь давнюю историю динамических систем можно пояснить следующим образом: для решения задач, например, по баллистике, задавалась динамическая система, основанная на уравнениях Ньютона. Системам с дискретным временем в основном отводилась роль расчетных «приближений» непрерывных систем (например, разностные схемы для аппроксимации дифференциальных уравнений, хотя не следует забывать и о задаче Фибоначчи о кроликах, датируемой 1202 годом).

С началом развития во второй половине 19 века статистической физики, дискретные модели начали приобретать самостоятельное значение, так как стала учитываться молекулярная (атомарная) природа вещества. В то же время, идеи, развитые в рамках молекулярнокинетической теории, обычно старались описывать системами уравнений с непрерывным временем [4].

Во второй половине 20 века, с появлением цифровых ЭВМ и постоянным увеличением их производительности, появилась возможность исследовать большое количество непрерывных динамических систем с помощью дискретных аппроксимаций. В то же время, получили дальнейшее развитие и принципиально дискретные модели - модель бильярда, модель клеточных автоматов и т.д. [5]. Началось численное исследование отображений, т.е., динамических систем, у которых оператор эволюции 'Ц дискретен по времени [6].

Широкое распространение дискретных систем связано, в частности, с тем, что современные ЭВМ оперируют с дискретными числовыми множествами, поэтому дискретные динамические системы, опирающиеся, например, на разностные схемы, идеально приспособлены для машинных расчетов.

Модели динамических систем с дискретным временем, построенные на основе непрерывных моделей, могут иметь и самостоятельную физическую интерпретацию [7,8]. Использование непрерывной модели в качестве основы обусловлено необходимостью физической «привязки» системы (например, используется дискретизация по схеме Эйлера уравнений Ньютона). Наряду с индивидуальными динамическими системами в приложениях приходится рассматривать семейства динамических систем, зависящих в простых случаях от конечного числа параметров.

Одной из основных задач при исследовании динамических систем является построение так называемой бифуркационной диаграммы - под бифуркацией при этом подразумевают изменение числа или устойчивости решений определенного типа (например, периодических решений). Бифуркационная диаграмма, если ее удается получить, позволяет ответить на вопросы, имеются ли соответствующие решения, устойчивы ли они и т.д [9].

Исследования динамических систем, как непрерывных, так и дискретных, можно условно разделить на два направления - исследования поведения системы в хаотических режимах и исследование периодических решений [10,11].

Данная работа посвящена исследованию периодических решений конкретной динамической системы, а именно, изучению модели динамической системы на плоскости с дискретным временем "Bogdanov-map": fx} (х + \у + еу + кх(х-\)+цху^ 8 у + еу + кх(х -1)+/ixy t где (л: , >>) е М^ - фазовые координаты, (е, ц, к) е М^ — вещественные параметры. Получены аналитические выражения для координат орбит периода 2, построена бифуркационная диаграмма существования и топологического типа периодических орбит периода 2.

Глубокое исследование орбит периода 2 обусловлено относительной простотой получения аналитических результатов [12], а также соображениями, известными из результатов численных экспериментов [13] . Дело в том, что найденные в ходе численного эксперимента периодические орбиты динамической системы с дискретным временем "Bogdanov-map" можно сгруппировать в так называемые «кортежи» по значениям адиабатических инвариантов (например, средней энергии на орбите), что значительно упрощает анализ численных данных. Оказывается также, что кортежи орбит часто содержат в себе орбиту периода 2, что в дальнейшем может позволить аналитически и численно исследовать каскад бесконечных удвоений периода типа Фейгенбаума [14,6], т.е., переход к хаотическому режиму.

Основная цель диссертации.

Основной целью диссертации является аналитическое изучение периодических орбит периода 2 (также известных в литературе как «бистабильные состояния») в модели «Bogdanov-map». Особое внимание уделяется условиям существования решений в вещественной области и исследованию топологического типа орбит периода 2.

Методы, используемые в работе, апеллируют к технике дифференциальной геометрии и топологии. Наряду с этим вводится термодинамическая интерпретация численных результатов, полученных на ЭВМ для орбит высоких порядков.

Научная новизна и практическая ценность

Предложенный в работе подход позволил впервые использовать двумерную дискретную слабо-диссипативную динамическую систему для интерпретации макрохарактеристик нелинейной термодинамической системы. Получены явные выражения, позволяющие аналитически исследовать условия существования и устойчивость полученных решений для дискретной динамической системы "Bogdanov-map". Этот подход может быть использован и для других динамических систем с дискретным временем.

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов, а также качественным сравнением с экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получение явных аналитических выражений для орбит периода 2 в модели «Bogdanov-map». Построение бифуркационной диаграммы существования в вещественной области орбит периода 2.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сухаревский, Владимир Владимирович

Основные результаты диссертации

1. Получены явные аналитические выражения для орбит периода 2 в модели «Bogdanov-map». Построена бифуркационная диаграмма для вещественности орбит периода 2.

2. Исследована устойчивость полученных решений для орбит периода 2 на фазовой плоскости. Построена бифуркационная диаграмма топологической устойчивости и существования орбит периода 2.

3. Выполнена термодинамическая интерпретация численных расчетов инвариантов орбит периода выше 2 для модели "Bogdanov-map": получена зависимость температуры от периода орбиты, позволяющая оценить число частиц в соответствующих ансамблях.

Физической мотивировкой вышеизложенных результатов является вопрос о температуре и плотности микрочастиц, движущихся в возмущенном поле сил ангармонического осциллятора [39] с перерассеянием через фиксированное время свободного пробега.

Возможной мотивировкой модели "Bogdanov-map" может быть также углубленное рассмотрение элементарных актов перерассеяния в неравновесной термодинамике. Как отметил В. П. Маслов, в подходе Больцмана к выводу интеграла столкновений имеется существенный пробел - после элементарного столкновения пучок рассеянных частиц к другому акту столкновения считается распределенным, как и до первого столкновения.

Модель "Bogdanov-map" может представлять собой пример динамики потока частиц с «навязанным» законом перерассеяния. Эта модель показывает совершенно новые свойства динамики по сравнению с классической.

В диссертации показано, что асимптотически устойчивые периодические орбиты как связанные состояния ансамбля частиц, имеют статистический вес, пропорциональный площади области захвата периодической орбиты, и эти статистические веса согласуются с каноническим распределением Больцмана-Гиббса.

Адиабатические инварианты дискретных орбит позволяют выявить структуру периодических асимптотически (не) устойчивых орбит и качественные свойства динамики ансамбля квазиравновесных микрочастиц. Данные эксперимента хорошо согласуются с модельными, и позволяют оценить плотности и температуры микрочастиц, находящихся в связанных состояниях.

Современные математические проблемы нелинейной динамики уже не могут быть решены только с помощью аналитического подхода. Применительно к теории дискретных отображений необходимо отметить, что даже при квадратичной нелинейности в отображении, уравнение на орбиту периода 3 может иметь б-ю и более высокую степень, т.е. быть, возможно, неразрешимым в радикалах. В таких условиях небходимо пользоваться дополнительными соображениями, которые позволят снизить степень уравнений, либо применять расчет на ЭВМ. Кроме того, т.к. реальные физические модели имеют несколько параметров и несколько измерений характеризующих величин, построение бифуркационных диаграмм затруднено и свести их к удобочитаемым диаграммам на плоскости удается лишь специальными методами, да и то не всегда.

Исследование модели "Bogdanov-map" возможно двумя способами:

- аналитическим;

- численным.

Как видно из Главы 2, аналитический подход сталкивается с определенными техническими трудностями.

Однако, сравнительно несложный вид решений в виде (1.5) и (2.2), (2.3) наталкивает на мысль о возможности развить именно аналитический метод [47].

Численные эксперименты имеют свои недостатки -ограниченную точность, высокие требования к аппаратному обеспечению ЭВМ.

Вместе с этим глубокое понимание динамики, а также направления развития аналитического подхода неразрывно связано с численным экспериментом. Таким образом, оба подхода взаимно дополняют друг друга.

Это верно не только для рассматриваемой модели, но и по крайней мере для многих моделей нелинейной динамики [48] .

Необходимо также отметить, что рассмотреть с точки зрения модели дискретного времени можно многие физические уравнения, и, возможно, это позволит нам получить замечательные результаты.

Автор хотел бы, чтобы подтверждением этих выводов служила данная работа.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Р.И.Богданову за постановку задачи, а также доценту Сухаревскому В.Г. за полезные обсуждения.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сухаревский, Владимир Владимирович, 2005 год

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматлит, 1959

2. Аносов Д.В. Динамическая система // Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия,197 9

3. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990

4. Стратонович P.JI. Нелинейная неравновесная термодинамика М: Наука, 1985, с. 480

5. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с.

6. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Спивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.

7. Сухаревский В.В. Модель лазера с дискретным временем. ". В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов 2003", секция "Физика", - МГУ, 2003, с. 142-144.

8. Климонтович Ю.Л. // Нелинейное броуновское движение. УФН, 164, №8, 1994 с. 812-843.

9. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости -М.: Наука, 1967

10. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. // J. Atmos. Sci., 1-963, 20,130

11. Henon M. and Heiles C. The Appliciability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments. // Astron. J., 1964, 69,1,73

12. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова. Вестник МГУ, серия «Математика. Механика», №5. М: МГУ, 2003 г.

13. Feigenbaum M.J. "Universal Behavior in Nonlinaer Systems" Los Alamos Science 1, 4-27 (1980)

14. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov Map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v.3, N.4, 803 842.

15. Богданов P.И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. //Тр. сем. им. И. Г. Петровского, вып.2, 1976 г. М.: Издательство МГУ.

16. Takens F. Detecting strange attractors in turbulance. // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer. 898 (1981) . P.336-381.

17. Ферми Э., Научные труды. M. : Наука, 1972, т.2, с. 645.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Статистическая физика ч.1 и ч.2. -М.: Наука.Физматлит, 1995.

19. Богданов Р.И. Приложения слабодиссипативной теории Колмогорова Арнольда - Мозера. - М.: "Принт", препринт НИИЯФ МГУ 96-22, 429, 136 с.

20. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения (с решением проблемы Гильберта). М.: Вузовская книга, 2003.

21. Сухаревский В. В. Абсолютная температура в "Bogdanov map". // В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов - 99", секция "Физика", - МГУ, 1999, с. 202203.

22. Богданов Р.И., Демин А.В., Курилов А.Н. Нелинейные оптические свойства гетерогенных тонких пленок в рамках слабодиссипативной КАМ. М. : Сборник научных трудов МГУ ИЭ, вып. 2, стр. 40-97

23. Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. М.: Мир, 1982, Т.2

24. Кадомцев Б.Б. Self-organization and transport in tokamak plasma. Избранные труды. В 2 т., T.l - М: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.477

25. Яве де ла Р. Введение в КАМ-теорию. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, с. 10, 56

26. Арнольд В.И. // Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука,1978 с.200-298

27. Климонтович Ю.Л. // Статистическая физика -М.:Наука, 1982 с. 26-32.

28. Арнольд В.И., Варченко А.В., Гусейн-Заде С.М. Теория особенностей гладких отображений. // М. : Наука, 1972.

29. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в "Bogdanov-map" // В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов-2000", секция "Физика", МГУ,2000, с. 239241.

30. Сухаревский В. В. Топологические типы бистабильных состояний в "Bogdanov-map" // В сб. тезисовмеждународной конф. "Ломоносов-2001", секция "Физика", -МГУ,2001.

31. Богданкевич О.В., Дарзнек С.А., Елисеев П.Г. Полупроводниковые лазеры, М., 1976.

32. Арнольд В.И Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

33. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1985г.

34. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. // УМН, Т.27, №5, 1972 с.119-184

35. Ландау Л., Лифшиц Е. , Квантовая механика. // М.: Физматгиз, 1963, с. 543 618.

36. Маслов В.П., Чеботарев A.M. Эволюционные уравнения в факторизованных вероятностных пространствах. // В сб. научных тр. "Избранные вопросы математики, механики и их приложений". М: Изд-во МГУ, 1999, с. 259 - 276.

37. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. -Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002

38. Маслов В.П., Асимптотические методы. М: Изд-во МГУ, 1967, с. 113.

39. Stats C.L., DeMars G. // Quantum Electronics.-N.Y. Columbia Univ.Press,1960,p.530

40. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. -М.:Наука.Физматлит, 1999, с.79-100.

41. Oppo G.L., Politi А. // Instabilities and Chaos in Quantum Optics. V.2 /Eds N.B. Abraham, F.T. Arecchi, L.A. Lugiato. N.Y.: Plenum, 1987. P.363.

42. Генкин В.Н., Ханин Я.И. //Изв. Вузов: Радиофиз.1962. Т.5, с.423

43. Ораевский А.Н., Успенский А.В. // Тр.ФИАН. 1965. Т.31,с.96.

44. Кайзер В., Гаррет К., Вуд Д. // Лазеры. Пер. с англ./Под ред. М.Е.Жаботинского и Т.А.Шмаонова. М. : ИЛ,1963. С.75.

45. Малинецкий Г.Г., Потапов А. Б. // Современные проблемы нелинейной динамики М.: Эдиториал УРСС, 2000

46. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.Фундаментальные направления.1985.Т5, с.5-220.

47. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. // М.: Мир, 1978, с. 309-311

48. Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре // Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002 г., 320 с.

49. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. // РХД, Ижевск, 2000

50. Арнольд В.И., Севрюк М. Колебания и бифуркации в обратимых системах. // Нелинейные явления в физике плазмы и гидродинамике, М: Мир, 198 6

51. Н.Н. Боголюбов, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1974

52. Michel Henon. Numerical exploration of Hamiltonian systems // Chaotic Behavior of Deterministic Systems (Les Houches, 1981), c.53-170, Amsterdam, 1983

53. Колмогоров А. Н. О сохранении условно периодических движений при малых изменениях в функции Гамильтона. // Докл. Акад. Наук СССР (Н.С.), 98:527-530, 1954

54. Лочак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных аппроксимациях. // УФН, 47 (6 (288)) : 59-140, 1992

55. Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions // Math. Ann., 169; 136-176, 1967

56. Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. // Princeton University Press, Princeton, N.J., 1973

57. Нейштадт А. И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно периодических движений // Прикл. Мат. Мех., 45(6): 1016-1025, 1981

58. Уиттекер Е.Т. Аналитичекая динамика // РХД, Ижевск, 1999

59. Takens F. Forsed oscillations and bifurcations. Applications of Global Analysis, 1 // Symposium Communications of the Mathematical Institute of Rijksuniversiteit Utrecht, №3, c.476-493

60. Андронов А.А., Леонтович E.A., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем. // М.: Наука, 1966

61. Андронов А.А., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости периодических движений от параметра // Уч.зап. ГГУ, 1939, вып.6, с.З

62. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях в версальных семействах // УМН, т.27, №5, 1972, с.119-184

63. Базыкин А.Д., Кузнецов В. А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций: Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости. // Новое в науке и технике, сер. «Математика, кибернетика», №3, М.:3нание, 1971

64. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических динамических систем на плоскости. // М.: Наука, 1976 496 с.

65. Березовская Ф.С., Крейцер Г. П. Степенные асимптотики системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки // Препринт ОНТИ НЦБИ АН СССР. Пущино, 197 6 - 16 с.

66. Бишоп Р.Л., Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий. // М.: Мир, 1967

67. Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике. // Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, с.21

68. Гусев А. И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. // М.: Физматлит, 2005, с. 332

69. Боголюбов Н.Н., Митропольский В. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1974

70. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. // М.: Высшая школа, 1990

71. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений // М.: Мир, 1967

72. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. // М.: Наука, Физматлит, 1984

73. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. // М.: Мир, 1990

74. Кириллов А. А. Геометрическое квантование // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), 1985, т. 4, с. 141-178.

75. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. // М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1972

76. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. // М.: Мир, 1980

77. Суинни X., Голлаба Дж. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. // М. : Мир, 1984

78. Хорозов Е.И. Версальные деформации эквивариантных векторных полей для случаев симметрии порядка 2 и 3. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1979. т.5, с.163-192.

79. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, биологии, химии. М: Мир, 1987

80. Н.М. Gibbs. Optical Bistability: Controlling Light with Light N.Y.: Academic Press, 1985

81. Gleiter H. Materials with ultrafine microstructure: retrospectives and perspectives. // Nanostruct. Mater. 1992. V.l. №1. P.1-19

82. Birringer R., Gleiter H. Nanocrystalline materials. // Encyclopedia of Material Science and Engineering. Suppl. Vol.1 Ed. R.W. Cahn. Oxford: Pergamon Press, 1988. P.339-349

83. Morgenstern K. Dynamische Mikroskopie von Nanostrukturen. // Physik Journal, 2002. Bd.l. №7/8, s.95-98