Подпоследовательности нулей целых функций экспоненциального типа и полнота систем экспонент на интервале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Талипова Галия Рифкатовна

• Талипова Галия Рифкатовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Талипова Галия Рифкатовна

1.1.7 Класс Картрайт С

1.1.8 Весовые классы целых функций

1.1.9 Преобразование Пуассона

1.1.10 Преобразование Гильберта

1.1.11 Полнота, минимальность, избыток

1.2 Предшествующие результаты

1.3 Иллюстрации основных результатов диссертации

1.3.1 Подпоследовательности нулей

для пространств Бернштейна

1.3.2 О полноте систем экспонент в пространствах функций

1.3.3 Подпоследовательности нулей для пространств, выделяемых мажорантой из класса Картрайт

2 Пространства Бернштейна

и полнота систем экспонент

2.1 Основной результат

для пространств Бернштейна

2.1.1 Классы В!?™ основных, или тестовых, функций

2.1.2 Формулировка основного результата

для пространств Бернштейна

2.1.3 Описание последовательностей единственности для пространства Бернштейна

в терминах потенциалов Йенсена

2.1.4 Продолжение тестовых функций в С±

2.1.5 Продолжение тестовых функций на С*

2.1.6 Сужение потенциалов Йенсена на К*

2.2 Доказательство Теоремы

для пространства Бернштейна

2.2.1 Доказательство импликаций 1) 2), 3)

2.2.2 Доказательство импликаций 2), 3) 1)

2.3 Основной результат о полноте экспоненциальных систем в пространствах на интервале

2.3.1 Формулировка результата

2.3.2 Доказательство Теоремы

2.4 Некоторые применения

2.4.1 Следствия о последовательностях единственности

2.4.2 Устойчивость подпоследовательности нулей и полноты

3 Классы целых функций, определяемые

через функции класса Картрайт

3.1 Формулировка Основной Теоремы

3.2 Субгармонические функции,

гармонические вне К

3.2.1 Сужение функций класса С на К

3.2.2 Сужение потенциалов Йесена на К*

3.2.3 Доказательство Основной Теоремы

3.2.4 Два следствия

3.2.5 Некоторые заключительные замечания. Перспективы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подпоследовательности нулей целых функций экспоненциального типа и полнота систем экспонент на интервале»

1 Введение

Как обычно, через N, Z, R и C обозначаем соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел в их естественной, если необходимо и возможно, алгебраической, геометрической, топологической и/или порядковой интерпретации. Векторное пространство над полем C всех голоморфных функций в открытом множестве O обозначаем через Hol(O); Hol(C) — пространство всех целых функций, для которого используем еще одно специальное обозначение Ent.

В истоках тематики диссертации лежит несколько расширенная версия Основной теоремы алгебры (XVII-XVIII вв.), которую сформулируем здесь в подходящей для нас форме: многочлен степени не выше p G N, т. е. целая функция, модуль которой растет не быстрее \z\p при C Э z ^ то, имеет, с учетом кратности, ровно p корней, или нулей. Планомерное исследование распределения нулей целых функций, прежде всего конечного порядка, было начато в конце XIX - начале XX вв. после работ Ж. Адамара и А. Пуанкаре в этом направлении. Интенсивно эти исследования продолжались весь XX в. и динамично развиваются и поныне как из внутренних потребностей теории целых функций экспоненциального типа (эти аспекты достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий многих авторов, в частности, у Н. Винера и Р. Пэли [WP34], Н. Левинсона [Le40], Р. Ф. Боаса [Boa54], Б. Я. Левина [Лев56], [Лев96], Л. Шварца [Sch43], М. М. Джрбашяна [Дж66], Р. М. Редхеффера [Red74], У.А.Дж. Люксембурга [Lux76], Р. М. Янга [You80], А.Ф. Леонтьева [Лео80], Н. К. Никольского, Б. С. Павлова и С. В. Хрущева [Ни80], [ХНП81], П. Кусиса [Koo88], [Koo92], [Koo96], В. П. Хавина и Б. Ери-кке [XJ94], П. Боруайна и Т. Эрдели [BE95], А. М. Седлецкого [Сед00], [Сед01], [Сед03], [Сед03'], [СедОЗ''], [Сед05], Е. И. Моисеева, А. П. Прудникова и А. М. Седлецкого [МПС04], К. Сейпа [Seip04], Б. Н. Хабибуллина [Хаб06-12], А. Полторацкого [Пол05] и охватывают материал вплоть до последних десятилетий), так и в связи с многочисленными ее приложениями в теориях сигналов, связи, антенн (см. монографию Я. И. Хургина и В. П. Яковлева [ХЯ62], обзоры Х. Бруны, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Серды [BM003], Дж. Дж. Бенедетто и Х.-Ч. Ву [BW00], и, например, статью Л. Кнокерта и Д. Де Зуттера [KnZ02]), к управляемости систем с распределёнными параметрами (см. монографию С. А. Авдонина и С. А. Иванова [АИ95]), в теории когерентных состояний из математической физики (см. монографию А. М. Переломова [Пе87], статью

А. Вурдаса [Уои97]) и т.д.

Ссылки на конкретные предшествующие результаты с полной их формулировкой из различных статей с указанием авторства будут даны ниже по ходу изложения, в основном, в подразделе 1.2.

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек Л := (Л^на С является подпоследовательностью нулей для некоторой ненулевой целой функции f экспо-ненцильного типа, т. е. удовлетворяющей условию

г (*)| / (101)

птвир-—1 ^ а < (1.0.1)

с дополнительными ограничениями на рост ^ | прежде всего вдоль вещественной оси К С С типа ограниченности сверху (пространства Берн-штейна) или, более общо, мажорированием 1og ^ | какой-либо субгармонической функцией класса Картрайт (см. определение в п. 1.1.7 ниже). Результаты об описание подпоследовательностей нулей для таких классов целых функций посредством известной двойственности, наведенной преобразованием Фурье-Лапласа, дают, как правило, некоторые утверждения о (не)полноте экспоненциальных систем в различных пространствах функций на интервале заданной длины. В дополнение к задачам полноты отметим также, что в ряде вопросов интерполяции, экстраполяции, представления рядами, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность была (под)последовательность нулей для некоторого класса целых функций экспоненциального типа (1.0.1) из рассматриваемых в диссертации. Все это дополнительно актуализирует исследование подпоследовательностей нулей для таких классов. Одновременно заметим, что задача описания точной последовательности нулей для классов целых функций принципиально отличается от задачи описания подпоследовательностей нулей для таких классов. Довольно часто для первой задачи можно манипулировать с представлением Адамара-Вейерштрасса для таких функций, построенным по всем нулям, в то время как для подпоследовательностей нулей такой подход проблематичен. Например, на первом пути С. Ю. Фаворов дал в [Фа08] полное описание последовательностей нулей для пространств Бернштейна и классов Кар-трайт целых функций экспоненциального типа в традиционных терми-

нах классических плотностей последовательностей точек, возможность чего для подпоследовательностей нулей, скорее всего, невозможна.

Структура диссертации следующая.

В дальнейшей части Введения в пунктах 1.1.1-1.1.11 определяются основные понятия и устанавливаются некоторые соглашения.

В подразделе 1.2 формулируются полученные ранее результаты других авторов, наиболее тесно связанных с тематикой диссертации. В этом подразделе нет попыток охватить весь необъятный материал по рассматриваемым в диссертации направлениям. Основными мотивами выбора упоминаемых предшествующих результатов были их существенная значимость для тематики и необходимость более или менее подробного обсуждения или нового доказательства этих утверждений (Теоремы Картрайт, Шварца, Левинсона, Бёрлинга-Мальявена, Редхеффера-Алесандера, А. Д. Баранова и др.).

В подразделе 1.3 формулируются основные выносимые на защиту теоремы в упрощенном и ослабленном виде в целях большей наглядности и обозримости — Теорема 1.1 (частный случай общего результата о подпоследовательностях нулей для пространств Бернштейна), Теорема

1.2 (о полноте систем экспонент в пространствах на интервале), Теорема

1.3 (о последовательностях нулей для пространств целых функций экспоненциального типа, мажорируемых субгармонической функцией класс Картрайт).

В разделе 2 на основе введенного и исследованного в пунктах 2.1.1, 2.1.4-2.1.6 специальных классов тестовых функций и их связей с мерами и потенциалами Йенсена в п. 2.1.2 формулируется и в подразделе 2.2 доказывается основной результат о подпоследовательностях нулей (или последовательностях единственности) для пространств Бернштейна целых функций экспоненциального типа (Теорема 2.1). Из него в подразделе 2.3 выводятся критерии полноты экспоненциальных систем в пространствах непрерывных функции С (/¿) на замкнутом отрезке /^ длины й с тах-нормой и в пространстве функций Ьр(/о) с интегрируемым в р-ой степени модулем и соответствующей нормой на интервале /^ длины й с точностью до одной экспоненты при р ^ 2 и с точностью до двух экспонент при 1 ^ р < 2.

Подраздел 2.4 содержит в п. 2.4.1 Следствия о последовательностях единственности для пространств Бернштейна в терминах традиционных или близких к ним, а в п. 2.4.2 — новую Теорему 2.4 об устойчивости подпоследовательностей нулей для пространств Бернштейна и Следствие 2.3

об устойчивости полноты систем экспонент при достаточно малых вариациях показателей.

В разделе 3 детально исследуется распределение подпоследовательностей нулей для классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых ограничением сверху на рост их модуля через функцию ехр М, где М — субгармоническая функция класса Картрайт, введенного для субгармонических функций в совместной работе В. И. Мацаева, И. В. Островского, М. Л. Содина [МОС02]. Основная Теорема, после соответствующего расширения класса тестовых функций, формулируется в подразделе 3.1. Как необходимая часть доказательства Основной Теоремы в подразделе 3.2 подробно изучаются субгармонические функции, гармонические вне вещественной оси К и прежде всего их сужения на К или К \ {0}. В п. 3.2.1 — это субгармонические функции класса Картрайт, в п. 3.2.2 — потенциалы мер Йенсена и их сужения на К \ {0}. Эти результаты, по-видимому, представляют и самостоятельный интерес. В п. 3.2.3 — доказательство Основной Теоремы, а в п. 3.2.4 — следствия Основной Теоремы: Следствие 3.3 о последовательностях единственности и Теорема 3.4 об устойчивости последовательностей единственности.

Завершают диссертацию заключение из пункта 3.2.5 и список литературы.

Основная часть результатов диссертации опубликована в трех работах [ТХ14]-[БТХ16] из п. I списка литературы, входящих в перечень ВАК и опубликованных в соавторстве. В работе [ТХ14] научному руководителю Б. Н. Хабибуллину принадлежит лишь постановка задачи и предложения по выбору метода исследования, соавтору Ф. Б. Хабибул-лину — некоторые правки в формулировках и доказательствах, а также техническая поддержка. Все окончательные формулировки результатов из [ТХ14] и их доказательства принадлежат Г. Р. Талиповой. В статье [ТХ15] научному руководителю Б. Н. Хабибуллину принадлежит только постановка задачи дальнейшего совершенствования результатов из [ТХ14], а Г. Р. Талиповой — реализация такого усовершенствования в полном объёме. В совместной работе [БТХ16] Т. Ю. Байгускарову и Б. Н. Хабибуллину принадлежит только § 2, который вошёл в диссертацию лишь как ссылка при применении, а все остальные результаты из [БТХ16], составляющие содержание [БТХ16, §§ 1, 3-4], получены лично Г. Р. Талиповой. Часть промежуточных или анонсированных результатов доказаны или приведены в 11 источниках [Та06]-[ТХ15] из п. II списка литературы в форме трудов, материалов и тезисов международных,

всероссийских и региональных конференций. Из тезисов и материалов по совместным докладам на конференциях, объединяющих нескольких авторов, включены в диссертацию также только части, разработанные лично диссертантом. Таким образом, все основные положения диссертации принадлежат Г. Р. Талиповой и доказаны ею.

Конец доказательства обозначается символом • («жирная» точка). Ссылка на номер формулы или утверждения над знаком (не-)равенства, включения, бинарного отношения и т. п. означает, что при переходе к правой части этого выражения применялись, в частности, и отмеченная формула, утверждение, пункт, определение или проч.

1.1 Основные определения,

понятия, обозначения и соглашения

1.1.1 Множества

Через

С+ := {г € С:1тг> 0}, С- := {г € С:1тг< 0}

обозначаем открытые верхнюю и нижнюю полуплоскости комплексной плоскости С, а

С± := С- и С+ = С \ К, Сж := С и {то}

— сфера Римана, или расширенная комплексная плоскость;

О := {г € С: |г| < 1}

— открытый единичный круг с центром в нуле. Используем также обозначения

К := К \{0}, С* := С \{0}, О, := О \ {0}

для «проколотых» соответственно вещественной оси, комплексной плоскости и единичного круга О.

Для Б С Сж через Б и дБ обозначаем соответственно его замыкание и границу в Сж, но для Б С К границу Б в К обозначаем как д«Б.

Наряду со стандартными при —то ^ а < Ь ^ +то обозначениями (а,Ь), [а,Ь], (а, Ь], [а, Ь) для различных интервалов на К используем и обозначения /^ С К (соответственно /¿) для открытого (соответственно замкнутого) интервала длины если по контексту значение имеет лишь его длина, а не расположение на К.

Если Б0 — компактной подмножество множества Б С Сж в индуцированной с Сж топологии, то Б0 предкомпактно в Б и обозначаем это как Б0 ( Б.

Открытый круг с центром г € С радиуса Ь € К обозначаем через

:= {|ш — z| <Ь: w € С}.

При £ ^ 0, очевидно, 0(г,£) = 0 — пустое множество. Кроме того, при £ > 0 полагаем

-(г,*) := 0(г,£)

— замкнутый круг с центром г Е С радиуса £ € Е, но далее будет удобно считать, что по определению

0(г, 0) := {г} — одноточечное множество.

Наконец, используем обозначения

-(£) := 0(0, £) = Ш при £ > 0, -(£) := 0(0, £) = Ш при £ ^ 0.

1.1.2 Последовательности точек в области О

Каждой последовательности точек (пустой, конечной или счетной)

Л = {Хк}к&к С О, К с N (1.1.1)

в области или открытом множестве О, где возможны и повторяющиеся конечное число раз точки, можно сопоставить положительную целочисленную считающую меру пл, построенную по правилу

гсл(£):=^1, Б С О, (1.1.2)

Хк

— число точек Лк, попавших в Б. Для удобства и краткости записи для точки г Е О полагаем

пл(г) := пл({г}), г € О (1.1.3)

и, следуя [ХЛ94], можем называть как саму последовательность Л, так и функцию (1.1.3) дивизором на О.

При такой трактовке две последовательности Л и Г = {7^}к'€К из О равны, или совпадают (пишем Л = Г), если для соответствующих им дивизоров пл (г) = пг(г) при всех г Е О. Другими словами, в обозначении (1.1.1) каждая последовательность точек Л рассматривается изначально как представитель некоторого класса эквивалентности, состоящего из последовательностей в О с одинаковыми дивизорами, а способ нумерации в (1.1.1) не имеет значения. При этом носитель виррЛ

для последовательности точек Л — это носитель соответствующего ей дивизора или считающей меры.

Запись Л € Л (соотв. Л € Л) означает, что Л € виррЛ (соотв. Л € виррЛ). Для подмножества В С С запись Л С В означает, что виррЛ С В; Л П В — сужение последовательности на В с дивизором пл |в. Последовательность точек Г С П включена в Л, если пг(г) ^ пл(г) в терминах дивизоров при всех г € П, и при этом пишем Г С Л, а Г — подпоследовательность последовательности Л; объединение Л и Г через дивизоры задается тождеством пЛиГ(г) = пл(г) + пг(г), г € П; для Г С Л и только в этом случае разность последовательностей Л \ Г определяет дивизор пЛ\Г(г) = пл(г) — пГ(г), г € П.

Чтобы отличать такой подход от стандартного взгляда на последовательность как на функцию натурального или целого аргумента, каждую последовательность точек, для которой важна нумерация ее членов, называем пронумерованной, или проиндексированной, последовательностью (см. [АП74]), а точки пронумерованных последовательностей Л изображаем в круглых скобках, т. е. в виде

Л=(ЛЙ)к&ксм, Лк € П. (1.1.4)

Для последовательности Л С Д(г) полагаем

Ил

(*):=£] ил(Л) = пл(Я(Ь)) , Ь<г, |А|<*

— считающая (радиальная) функция последовательности Л; для Л С П

ил(г,Ь) := ИЛ (_0(г,Ь))

— число точек из последовательности Л С П в С П.

Для меры V на С с носителем вирр V С К используем функцию Vй её распределения на К, определяемую по правилу

^(Ь):=/—^0)) пРи ь< 0, (115)

[V([0,Ь]) при Ь ^ 0.

Таким образом, для последовательности Л С К возникает функция её распределения на К, определяемую (1.1.5) через считающую меру ил из (1.1.2) для последовательности Л.

Последовательностям Л с С будем сопоставлять систему (кратных) экспонент

Ехрл:={г ^ гр-1еЛг : г Е С, Л Е Л, 1 ^ р ^ пл(Л), р Е М}. (1.1.6)

В таком контексте последовательность Л называют последовательностью показателей системы экспонент Ехрл. Под системой Ехрл на подмножестве Б С С понимаем, как обычно, систему из сужений функций из (1.1.6) на Б.

1.1.3 Отношение порядка и функции

Положительность всюду понимается, в соответствии с контекстом, как ^ 0, а > 0 — строгая положительность. Аналогично для отрицательности.

Для упорядочиваемого множества X чисел, функций, мер или т. п. подкласс X + обозначает множество всех положительных элементов из X, а для элемента х Е X полагаем х+ := тах{0, х}. Для функции /: Б ^ X используем обозначение

/+: в ^ (/(в)) +, в Е Б. (1.1.7)

В частности, в = тах{1с^ в, 0}, в ^ 0, ^0 := —то.

На множествах функций с упорядоченным множеством значений отношение порядка индуцируется с множества значений как поточечное. Функция /, действуютвующая из упорядоченного множества (X, в упорядоченное множество (У, возрастающая, если из ж1 ^ х2, ж1 ,х2 Е X, следует /(х1) ^ /(х2), и строго возрастающая, если из ж1 < х2, х1 ,х2 Е X, следует /(х1) < /(х2).

Аналогично определяется (строгое) убывание.

Сужение функции или меры а на множество Б обозначаем как а .

1.1.4 Пространства функций

Как обычно, С(/¿) и — векторные пространства над С непре-

рывных функций и интегрируемым на /^ модулем функции в р-ой степени, р Е [1, +то), соответственно со стандартными вир-нормой и интегральной нормой (в факторизованном по отношению эквивалентности

«равны п. в.» Lp(Id))

II/IIlp := ( l\f (x)|p dx

Для открытого подмножества O из C или из R через Cm(O) обозначаем пространство m раз непрерывно дифференцируемых на O функций, m Е N или m = то.

Если нужно уточнить, что в пространствах рассматриваются функции, принимающие только вещественные значения, то в обозначении пространства добавляем нижний индекс R. Например, Cr(S) — пространство непрерывных на S функций со значениями из R.

1.1.5 Последовательности нулей голоморфных функций

Для ненулевой функции / Е Нэ1(П) через Zero/ обозначаем последовательность точек в П, дивизор которой в каждой точке z Е П равен кратности нуля (корня) функции / в z, и называем ее последовательностью нулей функции / Е Но1(П). Часто в нестрогой форме Zero/ называют последовательностью нулей (корней) функции /, перенумерованной с учетом кратности.

Для нулевой функции в П по определению ее дивизор nzeroo — функция, тождественно равная +то на П. Для любой последовательности точек Л в П по определению Л С Zeroo. Функция / Е Но1(П) обращается в нуль на Л (пишем /(Л) = 0), если Л С Zero/.

Пусть H С Нэ1(П) — подмножество (класс) в Нэ1(П). Последовательность Л С П — последовательность нулей для H, если существует функция / Е H с Zero/ = Л; Л — подпоследовательность нулей для H, если существует функция / ф 0 из H, для которой Л С Zero/. Когда класс H замкнут относительно вычитания, последовательность Л С П называем последовательностью, или множеством, единственности для H, если из / Е H и / (Л) = 0 следует, что / ф 0 на П; подпоследовательность нулей для H в этом случае — последовательность неединственности.

1.1.6 Субгармонические функции

В диссертации используются два эквивалентных определения субгармоничности для полунепрерывной сверху функции p: П ^ [-то, +то), p ф —то на области П, а именно:

1) p £ sbh(Q) тогда и только тогда, когда для любой точки z £ П при некотором rz > 0

1 f2п

p(z) ^ — p(z + teiö) d0 при всех t £ (0, rz). 2n Jo

2) p £ sbh(n) тогда и только тогда, когда p локально интегрируема по мере Лебега на П и

vp := АР ^ 0,

где А — оператор Лапласа, а все понимается в смысле теории обобщенных функций (теории распределений Л. Шварца) [Hor94, Теорема 3.2.11]. При этом положительная борелевская мера vp называется мерой Рисса субгармонической функции p.

В частности, если f £ Но1(П) и f ф 0, то считающая мера nzero/ ее нулей — мера Рисса функции log |f | £ sbh(H) [Hor94, III, п. 3.2, Пример, стр. 148].

Функция p ф —то на П, обозначаемая далее просто как по опре-

делению субгармоническая.

Через sbh(n) и Ьаг(П) обозначаем классы соответственно субгармонических и гармонических функций в открытом множестве П С Для u £ sbh(n) её (—то)-множество обозначаем

(—то)и(П) := {z £ П: u(z) = —то}.

Подмножество E С П называется полярным в П, если существует функция u £ sbh(C) \ для которой E С (—то)и(П). В частности, если E не более чем счётно, то E — полярное множество. Кроме того, если E полярное множество в C, то мера Лебега его сужения на R равна нулю.

1.1.7 Класс Картрайт C.

Для функции м, определённой почти всюду по мере Лебега на R значениями из [—то, +то], полагаем

JМ := / ^Т dx, (1.1.8)

JR x

если интеграл существует. Следуя В. И. Мацаеву и М.Л. Содину [МОС02, 3, Definition] функцию u: C ^ [—то, +то] называем функцией класса Картрайт, если выполнены условия

(i) u G sbh(C) с сужением u | G har(C±);

(ii) u(z) = u(z) для всех z G C;

(iii) u — функция конечного типа typeœ [u] при порядке 1, т. е.

u(z)

typeœ [u] := lim sup < ; (1.1.9)

z^-tx |z|

(iv) J[u+] < где u+ := max{0,u} — поточечный максимум;

(v) u(0) = 0.

Класс всех функций Картрайт обозначаем через C. При этом для u G C

(vi) J[|u|] < см. [МОС02, 3, Lemma 3.2, (3.3)].

Пусть a G (0, Очевидный пример функции класса C — это фу-

нкция

Ma : z ^ a|Imz|, z G C. (1.1.10)

Для u G C с мерой Рисса vu := Au, где A — оператор Лапласа, действующий в смысле теории распределений (обобщённых функций), очевидно, supp v С R и можно использовать функцию vR её распределения.

1.1.8 Весовые классы целых функций

Для произвольной функции

M : C ^ [-го, := {-го} U R U (1.1.11)

определим весовой класс

Ent (exp M) := {f G Ent: |f (z)| ^ const/ eM(z), z G C}, (1.1.12)

где R Э const/ — постоянная, зависящая от f. В таком контексте функцию M из (1.1.11) называем далее и весовой функцией или весом. Для числа a > 0 в случае конкретной весовой функции

Ma : z ^ a|Imz|, z G C, (1.1.13)

класс Ent (exp M) — это классическое пространство Бернштейна целых функций, которое можно определить и как класс целых функций, удовлетворяющих ограничению (1.0.1) и при этом ограниченных на вещественной оси, т. е.

sup |/(x)| < + ТО.

жек

Распространенное обозначение для пространства Бернштейна — [Лев56], [Лев96]. Детальное исследование его структурных функционально-аналитических свойств проведено в [Шу99]. Распространено также обозначение PW^ — один из видов класса Пэли-Винера [Seip04].

1.1.9 Преобразование Пуассона

Для функции определённой почти всюду по мере Лебега на R значениями из [-то, +то], значение интеграла Пуассона PC± от такой функции ^ при условии

С |^(x)1

^-^dx < +то (1.1.14)

Jr. 1 + x2

в произвольной точке А £ C± := C \ R определяется как

(Pc± р)(А):= П-/--_ ^ +(т А)2 ^(x)dx, Im А = 0. (1.1.15)

п JR (x - Re А)2 + (Im А)2

В точках А £ R := R \ {0},в которых значение функции ^ определено, нам удобно полагать

(Pc± р)(А):= <^(А), А £ R*. (1.1.16)

Определения (1.1.15) и (1.1.16) вместе определяют преобразование Пуассона PC± ^ функции гармоническое в C±.

1.1.10 Преобразование Гильберта

Для функции определённой почти всюду по мере Лебега на R значениями из [-то, +то], для которой сходится (конечен) интеграл

" ^ = L S *

значение прямого преобразования Гильберта H функции ^ в точке x G R* определяется по правилу [XJ94], [KI09], [KII09], [Pan96]

(H <^)(x) := — / -^dt := — lim [ Ж dt, x G R„

n iR x - t n {ieR: |л-4|>е} x - t

(1.1.17)

где в промежуточном равенстве перечёркнутый интеграл — главное значение интеграла в смысле Коши от функции Обратное преобразование Гильберта отличается1 только знаком

(И-1 р)(ж) := - -Г = -(Нр)(ж), х С К*. (1.1.18)

п Ук * - х

1.1.11 Полнота, минимальность, избыток

Система векторов из локально выпуклого пространства Е полна, если замыкание ее линейной оболочки совпадает с пространством. Система векторов минимальна в Е, если ни один вектор этой системы не принадлежит замыканию линейной оболочки остальных. Если система векторов одновременно полна и минимальна, то она называется точной. Пусть £л — последовательность попарно различных векторов из £ С Е, проиндексированное точками последовательности Л = |Лк} С С. Говорим, что система £л или последовательность Л (для системы £д) имеет избыток ехс £л := ехс Л = д £ Z в пространстве Е, или для Е, (относительно £) если мы придем от системы £л к точной в Е системе

• при д ^ 0 — после удаления д векторов из системы £л, т. е. д чисел из последовательности Л;

• при д < 0 — после добавления |д| новых векторов к £л из £.

Кроме того, если полнота не нарушается (не возникает) после удаления (соответственно добавления) любого конечного набора попарно различных векторов из £л (соответственно из £ \ £л), то ехс £л := ехс Л := (соответственно ехс £л := ехс Л := -то).

Определение избытка в рассматриваемых нами функциональных пространствах для систем кратных экспонент корректно, поскольку не

Иногда, особенно в технических приложениях, названия противоположны: обратное преобразование называется прямым, и наоборот.

зависит от удаляемых или добавляемых экспоненциальных функций в системах (1.1.6) (общие результаты по этому поводу можно найти в [Хаб06-12, п. 1.1.3, Теорема 1.1.4(3)]).

1.2 Предшествующие результаты

В той или иной мере общности приводятся только те известные результаты, которые либо служили основной мотивировкой для наших исследований, либо использованы далее в доказательствах.

В силу известной взаимосвязи между полнотой систем экспонент вида (1.1.6) в пространствах функций на интервале /^ или отрезке I^ и последовательностями единственности в пространстве Бернштейна В^/2 ряд результатов будет сформулирован в форме условий (не)полноты системы экспонент. Прежде всего отметим, что значительное число теорем в такой форме доказано или приведено в [БеЬ43], [Ье40], [Лев56], [Лев96], [ИЫ74], [ХЛ94], [Сед00], [Сед01], [Сед03], [Сед03'], [СедОЗ''], [Сед05], [МПС04], [Хаб06-12]. Приведем или обсудим некоторые из них.

Теорема Картрайт. Пусть для последовательности

Л = (Л*}С С (1.2.1)

при некотором Ь € Е ряд

£ 1ш -1л (1:22)

1т Хк =0

расходится. Тогда Л — последовательность единственности для пространства Бернштейна Впри любом а > 0, и система Ехр^л, ¿Л := (¿Лк}, полна в любом из пространств С(/¿) и Ьр(/^), при любых конечных ^ > 0 и р ^ 1. При этом если ряд

£ тлкр <1А3>

1т Ак=0 1 к 1

сходится, то из сходимости ряда (1.2.2) при каком-либо значении Ь следует его сходимость при любом Ь € Е.

Замечание 1.1. Расходимость ряда (1.2.3) и даже ряда Y1 Ак VW" при некотором а > 1, а также бесконечность верхней плотности

lim SUp ^ÖÜ (1.2.4)

t

или усредненной верхней плотности (0 </ Л)

limsUp Ml , Na(r) := Г ^^ dt = yiog+-L-, (1.2.5) r Jo t ^ |Afc |

ведут к тем же последствиям, что и расходимость ряда (1.2.2) в Теореме Картрайт [Red74, Теорема 7].

Замечание 1.2. При сдвиге конечного числа точек последовательности Л последовательность (не)единственности остается таковой же для широкого класса пространств, включая и (не)полнота систем экспонент ExpiA в рассматриваемых здесь пространствах функций устойчива относительно такого преобразования ([Red74], общий результат в [Хаб06-12, Теорема 1.1.4]). Поэтому, когда необходимо, не умаляя общности, можем считать, что 0 G Л для последовательности (1.2.1).

Слабым обратным утверждением к Теореме Картрайт служит

Теорема Шварца ([Sch43], [Red74, Теорема 41]). Если последовательность (1.2.1) удовлетворяет двум условиям

0 < а ^ | arg Ak| ^ п - а, k G N, ^

Ак=o

Im —

Afc

< , (1.2.6)

или условию

Ак

то Л — подпоследовательность нулей для пространств при всех а > 0 и система ЕхргЛ не полна в пространствах С(Iи Ьр (/¿) при любом д > 0.

Новое доказательство этой Теоремы нам потребуется ниже для иллюстрации специфики рассматриваемого в диссертации подхода.

Некоторым недостатком приведенных выше теорем является то, что они не «чувствуют» удаления из Л или добавления к Л конечного число точек. В определенной степени этих недостатков лишены теоремы Ле-винсона [Ье40]. Иллюстрирует их здесь только одна

Теорема Левинсона. Пусть р € [1, +то] и для последовательности (1.2.1) характеристика

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Талипова Галия Рифкатовна, 2016 год

Список литературы

[Аб07] Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М.: Наука, 2007.

[АП74] Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

[Бар11] Баранов А. Д. Модельные подпространства пространств Харди (неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена). Дисс. ... доктора физ.-мат. наук, Санкт-Петербург, 2011.

[Бг64] Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964.

[Оаг84] Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

[Гр94] Григорян С. А. Обобщенные аналитические функции // УМН. 1994. Т. 49, 2. С. 3-42.

[Дж66] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М: Наука, 1966.

[Лев56] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Физмат-гиз, 1956.

[Лео80] Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

[МП11] Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу, СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

[МПС04] Моисеев Е. И., Прудников А. П., Седлецкий А. М. Базисность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: Вычислительный центр РАН, 2004.

[Ни80] Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

[Пе87] Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987.

[Сед01] Седлецкий А. М. Негармонический анализ //В книге: Итоги науки и техники, Серия "Современная математика". Тематические обзоры. 2001. Т. 96. Функциональный анализ.

[Сед03] Седлецкий А. М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 5. M.: МАИ, 2003.

[Сед03'] Седлецкий А. М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации. II. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6. M.: МАИ, 2003.

[Сед05] Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005.

[Фа08] Фаворов С. Ю. Множества нулей целых функций экспоненциального типа с дополнительными условиями на вещественной прямой // Алгебра и Анализ. 2008. Т. 20, 1. С. 154-161; see also Proceedings of the Conference "Computational Methods and Function Theory" (CMFT 2005). Finland. Joensuu.

[Хаб91] Хабибуллин Б. Н. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной // Изв. АН СССР, серия матем. 1991. Т. 55. 5. С. 1401-1423.

[Хаб93] Хабибуллин Б. Н. Распределение нулей целых функций и выметание. Дисс. ... доктора физ.-мат. наук. Харьков, 1993.

[Хаб94] Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. 4. С. 125-148.

[Хаб99] Хабибуллин Б. Н. Полнота систем целых функций в пространствах голоморфных функций // Матем. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 4. С. 603-616.

[Хаб01] Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. II // Изв. АН СССР, сер. матем. 2001. Т. 65, 5. С. 1017-1039.

[Хаб03] Хабибуллин Б. Н. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. 4 . С. 905-925.

[ХЧ08] Хабибуллин Б.Н., Хабибуллин Ф.Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 1. С. 146-189.

[Хаб10] Хабибуллин Б. Н. Применения в комплексном анализе двойственного представления функционалов на векторных решетках // Математический форум (Итоги науки. Юг России), Т. 4, Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям, Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2010. С. 102-118.

[Хаб06-12] Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа: РИЦ БашГУ. Изд. 1, 2006; издание 2 дополненное, 2008; изд. 3 доп., 2011; изд. 4 доп. 2012, 192 стр.

[ХЯ62] Хургин Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М: Физматгиз, 1962.

[Sch72] Шварц Л. Анализ, Т. 1. М.: Мир, 1972.

[Шу99] Шумяцкий Б М. Пространство Бернштейна B как банахово пространство // Математическая физика, анализ, геометрия. 1999. Т. 6. 3/4. С. 372-384.

[АИ95] Avdonin S. A. , Ivanov S. A. Families of exponentials. The method of moments in controllability problems for distributed parameter systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

[BW00] Benedetto J. J., Wu H.-Ch. Nonuniform sampling and spiral MRI reconstruction // Proc. SPIE. Wavelet Applications in Signal and Image Processing VIII (A. Aldroubi, A. F. Laine, M. A. Unser; Eds.). 2000. V. 4119. P. 130-141.

[Bar06] Baranov A. D. Completeness and Riesz bases of reproducing kernels in model subspaces // International Mathematics Research Notices, Article ID 81530. 2006, 34 pages.

[BM67] Beurling A., Malliavin P. On the closure of characters and the zeros of entire functions // Acta Math. 1967. V. 118. P. 79-93.

[Bl95] Blanchet P. On removable singularities of subharmonic and plurisub-harmonic functions // Complex Variables. 1995. V. 26. P. 311-322.

[Boa54] Boas R. P. Entire functions. N. Y.: Acad. Press, 1954.

[BE95] Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and Polinomial Inequalities. Graduate Texts in Mathematics. V. 161. N. Y.: Springer-Verlag, 1995.

[BMO03] Bruna J., Massaneda X., Ortega-Cerda J. Connections between signal processing and complex analysis // Contributions to Science, Institut d'Estudis Catalans, Barselona. 2003. V. 2(3). P. 345-357.

[CR01] Cole B. J., Ransford T. J. Jensen measures and harmonic measures //J. reine angew. Math. 2001. V. 541. P. 29-53.

[Ga78] Gamelin T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

[XJ94] Havin V. P., Joricke B. The uncertainly principle in harmonic analysis. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1994.

[Hor94] Hormander L. Notions of Convexity. Progress in mathematics. V.127. Birkhaser (Boston, Mass.), 1994.

[XHQ81] Khrushchev S. V., Nikol'skii N. K., Pavlov V. S. Unconditional bases of exponentials and of reproducing kernels // Complex Analysis and Spectral Theory (Sem., Leningrad, 1979/80). Lecture Notes in Math. V. 864. Springer-Verlag. Berlin. 1981. P. 214-335.

[KI09] King F. W. Hilbert transforms. Vol. I. Cambridge University Press, New York; University of Wisconsin-Eau Claire (encyclopedia of mathematics and its applications), 2009.

[KII09] King F. W Hilbert transforms. Vol. II, Cambridge University Press, New York; University of Wisconsin-Eau Claire (encyclopedia of mathematics and its applications), 2009.

[KnZ02] Knockaert L., De Zutter D. On the completeness of eigenmodes in a parallel plate waveguide with a perfectly matched layer termination // IEEE Trans. Antennas Propag. 2002. V. 50. No. 11. P. 1650-1653.

[Koo88] Koosis P. The logarithmic integral. V. I. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1988.

[Koo92] Koosis P. The logarithmic integral. V. II. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1992.

[Koo96] Koosis P. Lecons sur le theoreme de Beurling et Malliavin. Les Publications CRM. Montreal, 1996.

[^eB96] Levin B. Ya. Lectures on entire functions. Transl. Math. Monographs, V. 150. Amer. Math. Soc., Providence RI, 1996.

[Le40] Levinson N. Gap and Density Theorem. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. V. 26. N. Y.: AMS, 1940.

[Lux76] Luxemburg W. A. J. Muntz-Szasz type approximation results and the Paley-Wiener theorem // In: Approximation Theory II, G.G. Lorentz etc. (eds.). N.Y.: Academic Press, 1976. P. 437-448.

[MP05] Makarov N., Poltoratski A. Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle. Perespectives in analysis, Math. Phys. Stud., Springer, Berlin, 27 (2005), 185-252.

[M0C02] Matsaev V. I., Ostrovskii I. F., Sodin M. L. Variation on the theme of Marcinkevicz' inequality //J. d'Analyse Math. 2002. V.86. P. 289317.

[Pan96] Pandey J. N. The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications, Wiley-Interscience, 1996.

[no^05] Poltoratski A. Toeplitz Approach to Problems of the Uncertainty Principle. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. 2015

[Ra95] Ransford T. J. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1995.

[Red74] Redheffer R. M. Completeness of sets of complex exponentials // Adv. in Math. 1977. V. 24. P. 1-62.

[Sch43] Schwartz L. Etude des sommes d'exponentielles // Actualites. scient. et industr. No. 959. Paris: Hermann, 1943 (2e ed. 1959).

[Seip04] Seip K. Interpolation and sampling in spaces of analytic functions. Providence, R.I. : American Mathematical Society, 2004.

[Сед00] Sedletskii A. M. Fourier transforms and approximation. An Internat. Ser. Monogr. Math. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publisher, 2000.

[СедОЗ''] Sedletskii A. M. Nonharmonic Analysis // J. Math. Sci. 2003. V. 116. No. 5. P. 3551-3619.

[Vou97] Vourdas A. The growth of Bargmann functions and the completeness of sequences of coherent states //J. Phys. A: Math. Gen. 1997. V. 30. 4867-4876.

[WP34] Wiener N., Paley R. Fourier transforms in the complex domain. AMS. N. Y. 1934; Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

[You80] Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. N. Y.: Academic Press, 1980.

I. Статьи Г. Р. Тллиповой из ПЕРЕЧНЯ ВАК

[ТХ14] Хабибуллин Б. Н., Талипова Г. Р., Хабибуллин Ф. Б. Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна и полнота систем экспонент в пространствах функций на интервале // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 2. С. 193-223.

[ТХ15] Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н. Последовательности единственности для классов целых функций экспоненциального типа, ограниченных на вещественной оси // Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20, № 1. С. 5-9.

[БТХ16] Байгускаров Т. Ю., Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н. Подпоследовательности нулей для классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых ограничениями на их рост вдоль вещественной оси // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 2. С. 1-33.

II. Труды, материалы и тезисы конференций с участием Г. Р. ТАлиповой

[Ta06] Талипова Г. Р. Сравнение среднего значения на сфере (на окружности) и среднего значения в шаре (в круге) субгармонической функции / / Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложение в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ. 2009. С. 10.

[ТХ11] Талипова Г. Р. , Хабибуллин Б.Н., Хабибуллин Ф.Б. О продолжении одного специального класса функций как субгармонических на всю комплексную плоскость // Сборник докладов III Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложение в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ. 2011. Т. 1. Математика. С. 132-140.

[Та12] Талипова Г. Р. Сужение потенциалов Йенсена на R = R \ {0} // Тезисы докладов IV Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложение в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ. 2012. С. 201.

[ТХ12] Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б. О сужении потенциалов Йенсена на проколотую вещественную ось / / Сборник докладов IV Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложение в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ. 2012. Т. 1. Математика. С. 147-153.

[Ta13] Талипова Г.Р. Теорема единственности для пространств Берн-штейна / / Тезисы Всероссийской молодёжной научно-практической конференции «Актуальные вопросы науки и образования». Уфа: РИЦ БашГУ. 2013. С. 153.

[Та13'] Талипова Г.Р. Распределение нулей целых функций экспоненциального типа с ограничениями вдоль прямой // Тезисы докладов XI Казанской летней школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань. 2013. С. 419-421.

[Та13''] Талипова Г.Р. Распределение нулей целых функций с ограничениями на их рост вдоль вещественной оси / / Тезисы докладов V Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложение в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ. 2013. С. 262.

[Та13*] Talipova G.R. Continuation of the RP^. class functions as subharmonic on the whole complex plane // Материалы студенческой научно-практической конференции. Уфа: РИЦ БашГУ. 2013. С. 169172.

[Та13+] Talipova G.R. Die Einengung des Potentials von Jensen auf R \ {0} // Материалы студенческой научно-практической конференции. Уфа: РИЦ БашГУ. 2013. С. 172-173.

[ТаХ14] Bulat Khabibullin, Galiya Talipova Zero subsequences of entire functions of exponential type with restrictions on their growth along the real line // Международная конференция "Комплексный анализ и смежные вопросы". Россия, Санкт-Петербург, 14-18 апреля, 2014. Санкт-Петербургское отделение Математического института. С. 1516.

[ТХ15] Talipova G.R., Khabibullin B.N., Khabibullin F.B. Zero (subsequences of entire functions // Материалы XII Казанской летней научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань. 2015. С. 519-525.