Применение метода разделения переменных в задачах геоэлектрики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.12, кандидат физико-математических наук Губатенко, Валерий Петрович

• Губатенко, Валерий Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Губатенко, Валерий Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ИСТОРИЯ ПРОБЛЕМЫ СКМЯРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.

§ I. Полная и частичная скаляризация уравнений

Максвелла.

§ 2. Применение полей электрического и магнитного типов для скаляризации уравнений

Максвелла.

§ 3. Скаляризация уравнений Максвелла для постоянного поля.

§ Ч. Метод разделения переменных в задачах электродинамики

Глава 2. СКАЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВША

В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

§ 5. Условия существования полей электрического и магнитного типов общего вида в неоднородных средах

§ 6. Калибровки потенциалов. Скалярные уравнения электромагнитного поля для полей электрического и магнитного типов общего вида

§ 7. Разделение электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов. Полная и частичная скаляризация в трехмерных зада. чах электродинамики

§ 8. Краевые условия и условия сопряжения для независимых полей электрического и магнитного типов общего вида.

§ 9. Скаляризация уравнений Максвелла в двумерных задачах электродинамики

§ 10. Квазистационарные поля электрического и магнитного типов в непроводящих немагнитных средах.

§ II. Об эквивалентности сторонних электрических и магнитных токов. Единственность разделения электромагнитного поля на Е- и Н- поля вне области источников

Глава 3. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ

УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

§ 12. Разделение переменных в трехмерных скалярных уравнениях поля.

§ 13. Разделяющие системы координат для скалярных уравнений Е- и Н- полей общего вида.

§ 14. Разделение переменных и основные типы немагнитных сред в двумерных скалярных уравнениях поля

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ В НЕМАГНИТНЫХ ЛИШЕННЫХ ТОКОВ СМЕЩЕНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ.

§ 15. Аналитические решения для Е- и Н- полей общего вида.

§ 16. Аналитические решения для Н- поля специального вида.

§ 17. Аналитические решения для Е- поля специального вида.

§ 18. Неустановившееся поле бесконечно длинного электрического кабеля и магнитного диполя в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода разделения переменных в задачах геоэлектрики»

Актуальность работы. Совершенствование техники измерений и создание новых методов электроразведки с одной стороны, и расширение и усложнение решаемых электроразведчиками геологических задач - с другой, настоятельно требуют совершенствование теоретической базы электроразведки и, в частности, решения все более сложных прямых и обратных электродинамических задач.

Особое место среди этих задач занимают те из них, которые имеют аналитическое решение и позволяют в наиболее общем виде исследовать зависимость электромагнитного поля от одного или группы параметров. Это помогает выбрать рациональную методику электроразведочных работ и определить основные принципы интерпретации наблюдаемых данных.

Хорошо известно в этом отношении, какую исключительно важную роль в геоэлектрике сыграли фундаментальные модели кусочно-однородных горизонтально-слоистой среды, шара и бесконечного кругового цилиндра. Вместе с тем, применение этих моделей при интерпретации полевых наблюдений в сложно построенной геоэлектрической среде зачастую не дает правильной и полной информации о разрезе.

Поэтому в таких условиях нередко приходится прибегать при интерпретации к выбору более сложных моделей, для которых также может быть найдено аналитическое решение, но которые обеспечивают более близкую аппроксимацию реального геоэлектрического разреза. С другой стороны, такие модели позволяют в достаточно общем виде оценить искажения, вносимые в интерпретацию реальных данных при использовании в качестве ее основы фундаментальных моделей. Следует также отметить роль аналитических решений в области математического моделирования, основанного на применении численных методов решения задач. Аналитически решенная электродинамическая задача для достаточно сложно построенной модели может явиться хорошим тестом при отладке программ и выборе численного метода расчета, поскольку для аналитических решений всегда может быть указана точность, с которой проведены расчеты.

Основным методом нахождения строгих аналитических решений является метод разделения переменных. Однако известны лишь отдельные, эвристически найденные электродинамические задачи, решение которых может быть получено этим методом.

В связи с этим приобретает актуальность разработка методики получения аналитических решений электродинамических задач, которая при некоторых ограничениях на свойства среды, носящих необходимый и достаточный характер, позволяет скаляризовать исходную векторную задачу, провести разделение переменных в полученных скалярных уравнениях и выписать общий вид аналитических решений для целого класса моделей.

Цель настоящей работы состоит в определении класса моделей неоднородных сред, для которых могут быть получены аналитические решения электродинамических задач методом разделения переменных.

Основные задачи исследования:

1. Изучение проблемы скаляризации уравнений Максвелла на основе разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов.

2. Определение разделяющих систем координат для скалярных уравнений поля.

3. Систематизация электродинамических задач, для которых в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат, а также в тороидальной, бисферической и бицилиндрической системах координат применим стандартный метод разделения переменных.

Методы исследований,применявшиеся для решения перечисленных задач, основаны на методах математической физики. При изучении скаляризадии уравнений Максвелла использовалось представление электромагнитного поля в виде суммы полей электрического и магнитного типов, а вопрос о разделении переменных в скалярных уравнениях поля решался с помощью определителей Штеккеля.

Основные научные положения, защищаемые в данной работе сводятся к следующему:

1. При выполнении сформулированных в диссертации необходимых и достаточных условий скаляризации уравнений Максвелла электромагнитное поле в произвольной неоднородной линейной среде с комплексными и диагональными в общей ортогональной криволинейной системе координат тензорами проводимости и магнитной проницаемости и при произвольных возбудителях представляется в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов общего вида, определенных через две скалярных функции, каждая из которых удовлетворяет отдельному скалярному уравнению в частных производных второго порядка.

2. В скалярных уравнениях для полей электрического и магнитного типов разделяются переменные тогда и только тогда, когда выполняются сформулированные в диссертации условия разделимости.

3. Для полей электрического и магнитного типов в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат, а также в тороидальной, бисферической и бицилиндрической системах координат для линейной немагнитной изотропной среды можно выписать все аналитические решения, которые могут быть получены стандартным методом разделения переменных, включающие в себя задачи, решения которых неизвестны по литературным данным. Эти задачи расширяют возможности интерпретации электроразведочных данных в сложно построенных геоэлектрических средах и могут служить тестами для задач численного моделирования. Сводка этих задач приведена в тексте диссертации.

Научная новизна перечисленных положений состоит в следующем:

- сформулированы необходимые и достаточные условия существования полей электрического и магнитного типов общего вида в линейной среде с диагональными в общей ортогональной криволинейной системе координат тензорами проводимости и магнитной проницаемости;

- показано, что существование полей электрического и магнитного типов общего вида зависит от свойств среды, а не от метрики ортогональной криволинейной системы координат, как это считалось до сих пор;

- изучена проблема скаляризации уравнений Максвелла, основанная на представлении поля в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов;

- доказана единственность разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов вне источников поля;

- определены разделяющие системы координат для скалярных уравнений поля;

- перечислены модели неоднородных сред в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат и в тороидальной, бисферической, бицилиндрической системах координат, для которых могут быть получены аналитические решения методом разделения переменных;

- дано применение неоднородного диска для оценки влияния горизонтальных неоднородностей разреза, в методе становления поля в ближней зоне (ЗСБ).

Практическая ценность работы состоит в расширении возможностей аналитического исследования и интерпретации электромагнитных полей в сложно построенных средах, создании базы для тестирования сложных моделей при проведении численных расчетов на ЭВМ и получении прямой экономии материальных средств от использования аналитических решений прямых задач геоэлектрики на этапе интерпретации полевых результатов.

Реализация результатов исследований. Результаты расчетов задач о становлении поля магнитного диполя в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна внедрены Саратовской геофизической экспедицией. Экономический эффект от внедрения составляет 2,1 тыс. руб. в год. Сводка аналитических решений электродинамических задач в неоднородных средах передана в Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн АН СССР для применения в качестве тестов при численных расчетах на ЭВМ.

Апробация работы. Полученные выводы и основные результаты доложены на Всесоюзном семинаре по методу становления электромагнитного поля в г.Новосибирске (1977 г.), рассмотрены на заседании Секции теоретической геофизики Научного совета по разведочной геофизике АН СССР в г.Москве (I960 г.) и доложены на У1 Всесоюзной школе-семинаре по электромагнитным зондированиям в г.Баку (1981 г.).

Публикации. Основные защищаемые в работе положения опубликованы в 7 статьях и монографии.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 177 страниц текста, 21 рисунок, 4 таблицы и список литературы из 65 наименований.

Заключение диссертации по теме «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых», Губатенко, Валерий Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итогом выполненных по теме диссертации исследований является определение класса моделей неоднородных немагнитных изотропных сред, для которых могут быть получены аналитические решения методом разделения переменных. Значительная часть диссертации посвящена изучению проблемы скаляризации уравнений Максвелла и разделяющих систем координат для скалярных уравнений поля. Большое внимание уделено рассмотрению общих выражений для полей электрического и магнитного типов в классе моделей неоднородных сред, допускающих решения электродинамических задач в замкнутом виде.

Основные научные и практические результаты выполненных исследований следующие:

1. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования полей электрического и магнитного типов в произвольной линейной неоднородной анизотропной среде с диагональными в общей ортогональной криволинейной системе координат тензорами проводимости и магнитной проницаемости.

2. Показано, что существование полей электрического и магнитного типов общего вида зависит не от метрики ортогональной криволинейной системы координат, в которой они рассматриваются, а от параметров среды.

3. Получены условия полной и частичной скаляризации уравнений Максвелла, основанной на представлении поля в виде суммы полей электрического и магнитного типов.

Ц. Построена дифференциальная цепочка эквивалентных возбудителей и доказана единственность разделения электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов вне источников.

5. Записаны скалярные уравнения поля и граничные условия на поверхностях разрывов свойств среды для независимых полей электрического и магнитного типов.

6. На основе определителя Штеккеля получены необходимые и достаточные условия для разделения переменных в скалярных уравнениях поля. Для неоднородной изотропной среды в семействе вырожденных форм общей эллипсоидальной системы координат и в наиболее распространенных циклидных координатах построены таблицы разделяющих систем координат для трехмерных и двумерных электродинамических задач. Б этих таблицах приводится зависимость параметров среды от координат, при которой разделяются переменные.

7. Выявлен класс основных типов немагнитных сред, для которых существуют независимые поля электрического и магнитного типов и разделяются переменные.

8. Для неоднородной немагнитной изотропной среды в разделяющих системах координат семейства вырожденных форм общих эллипсоидальных координат, а также в бицилиндрических координатах дана сводка всех моделей среды, допускающих аналитические решения стандартным методом разделения переменных. Для этих моделей записаны общие выражения для соответствующих функций Грина. Некоторые из решений неизвестны по литературным данным: а) поле электрического и магнитного типов общего вида в градиентных клинообразной и цилиндрической средах, в неоднородном конусе; б) поле магнитного типа специального вида в неоднородном вдоль оси круговом цилиндре, погруженном в изолятор, в радиально-неоднородном слое, погруженном в изолятор или подстилаемом идеальным проводником, в радиально-неоднородном клине, погруженном в изолятор или ограниченном с одной стороны идеально проводящим клином, в азимутально-неоднородном круговом цилиндрическом слое, погруженном в идеальный изолятор или ограниченный с внутренней стороны идеальным проводником, в радиально-неоднород-ном конусе, погруженном в изолятор, в неоднородном по меридиану сферическом слое, погруженном в изолятор или ограниченном с внутренней стороны идеальным проводником; в) поле электрического типа специального вида в неоднородных эллиптическом и параболическом цилиндрах, в неоднородном конусе, в неоднородных сплющенном и вытянутом сфероидах, в системе двух неоднородных круговых цилиндров.

9. В явном виде в качестве иллюстрации аналитических решений в средах с объемным распределением проводимости даны решения задач становления поля бесконечно длинного электрического кабеля и кругового линейного электрического тока (магнитного диполя) в присутствии проводящих пленок Прайса-Шейнманна. Дано практическое применение неоднородных моделей сплющенной сфероидальной пленки и диска для решения структурно-картировочных задач в методе ЗСБ.

Дальнейшее развитие результатов данной работы на электродинамику магнитных и анизотропных сред позволит расширить класс аналитически решаемых задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Губатенко, Валерий Петрович, 1984 год

1. Bromwich Т.J,1.A. Electromagnetic Waves. - Phil.Mag., 1919, v.38, p.143-164„

2. Пошляков H.C., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. -767с., ил.

3. Зоммерфельд А. Теория дифракции. В кн.: Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М.-Л., 1937, с.849-902.

4. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. Л.: Изд. ВКАС, 1949. - 427с., ил.

5. Левин М.Л. О геометрическом смысле условий существования поперечно-электрических и поперечно-магнитных полей в криволинейных координатах. Докл. АН СССР, 1951, т.79, № 4,с.589-590.

6. Светов B.C. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки. М.: Недра, 1973. - 254с., ил.

7. Ю. Mohsen A. Electromagnetic field representation in inhomogeneous anisotropic media. -Appl.Phys., 1973, v.2, No.3, p. 123-128.

8. Nisbet A. Electromagnetic potentials in a heterogeneous nonconducting medium. Proc.Roy.Soc., 1957» V.A240,p.375-381.

9. Wexler A. Acceptable mode types for inhomogeneous media.- IEEE Trans. Microwave Theory Techniques, 1965, v.MTT-13, p.875-876.

10. Friedman B. Propagation in a nonhomogeneous medium. -In : Electromagnetic Waves. Madison : Univ.Wisconsin Press., 1962, p.301-309.

11. Mohsen A. Electromagnetic field representation in the source region. -Appl.Phys., 1976, No.10, p.53-55«

12. Фельд Я.Н. К интегрированию уравнений Максвелла в слоистых средах. Докл. АН СССР, 1979, т.247, 6, с.1359-1362.

13. Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: МГУ, 1969. - 131с., ил.

14. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957. - 581с., ил.

15. Грешняков В.М. Приведение квазистационарного магнитного поля к потенциальному полю источников. Электричество, I960,8, с.33-35.

16. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Метод расчета магнитных полей с помощью скалярного магнитного потенциала. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1970, № 4, с.106-116.

17. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Физматгиз, 1970. 512с.

18. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов.- М.: Мир, 1974. 327с., ил.

19. Robertson Н.Р. Bemerkung uber separierbare systeme in der wellenmechanic. Math.Ann., 1927,v.98,No.11,p.74-9-752.

20. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т.1.- М.: ИЛ, 1958. 930с., ил.

21. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel. Ann. Math., 1934, v.35, No.2,p.284-305.

22. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: атом-издат, 1970. - 712с., ил.

23. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. - 342с.

24. Wait J.R. Electromagnetic waves in stratified media.- Oxford, England: Pergamon, 1970»

25. Negi J.G., Gupta C.P., Raval U. Electromagnetic response of a permeable inhomogeneous conducting sphere. -Geoexploration, 1973, No.11, p.1-20.

26. Кауфман А.А., Каганский A.M. Индукционный метод изучения поперечного сопротивления в скважинах. Новосибирск: Наука, 1972. - 135с., ил.

27. Кауфман А.А., Каганский A.M., Кривопуцкий B.C. Радиальные характеристики индукционных зондов, смещенных относительно оси скважины. Геология и геофизика, 1974, № 7, с.102-116.

28. Обухов Г.Г. Задача о магнитотеллурическом поле в неоднородном слое. В кн.: Прикладная геофизика, М., 1962, вып. 35, с.70-79.

29. Rankin D. The magnetic telluric effect on a dike. -Geophysics, 1962, v.27, No.5, p.666-676.

30. Hvosdara M. Electromagnetic induction within a halfspace with a semi-cylindrical inhomogeneity. In: Contribs Geophys. Inst.Slovak Acad.Sci. Vol.1. - Bratislava, 1969, p.4-0-4-9.

31. Hvosdara M. Electromagnetic induction in a halfspace with an oblique interface. Studia Geophys. et Geod., 1968, v.12, No.3,p.304-320.

32. Mallic K., Roy A. Vertical magnetic dipole over transitional earth. Geophysical Prospecting, 1971, v.19,p.388-394.

33. Сидоров В.А., Губатенко В.П., Глечиков В.А. Становление электромагнитного поля в неоднородных средах применительно к геофизическим исследованиям.- Саратов: Изд. СГУ, 1977. 223с., ил.

34. Губатенко В.П., Сидоров В.А. Становление поля круговой петли, расположенной над проводящим тонким неоднородным диском. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1975, № 6, с.81-85.

35. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954. - 604с., ил.

36. Четаев Д.Н. О поле низкочастотного электрического диполя, лежащего на поверхности однородного анизотропного полупространства. ЖТФ, 1962, т.32, }Ь I, с. 1342.

37. Савин М.Г. Проблема калибровки Лоренца в анизотропных средах. М.: Наука, 1979. - 123с.

38. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. - 108с., ил.

39. Электроразведка. Справочник геофизика /Под ред. А.Г.Тархова М.: Недра, 1980. - 520с., ил.

40. Бердичевский М.Н., Жданов М.С. Интерпретация аномалий переменного электромагнитного поля Земли. М.: Недра, 1981. -327с., ил.

41. Шейнманн G.M. Об установлении электромагнитных полейв Земле. В кн.: Прикладная геофизика, М., 1947, вып. 3, с.3-55.

42. Каменецкий Ф. М., Макагонов П.П. О влиянии на процесс становления электромагнитного поля второй производной по времени в волновом уравнении. В кн.: Разведочная геофизика, М.,1967, вып. 20, с.50-52.

43. Никольский В.В. Теория электромагнитного поля. М.: Высшая школа, 1964. - 384с., ил.

44. Френкель Я.И. Собрание избранных трудов, т.1. -М.-Л.: Изд. АН СССР, 1956. 371с., ил.

45. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн, т.1. М.: Мир, 1978. - 547с., ил.

46. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Сов. радио, 197I. -656с., ил.

47. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе, в виде суммы полей ТЕ и ТМ. 1ТФ, 1948, т.18, № 7, с.959-970.

48. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 5-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1976. - 576с.

49. Кауфман А.А. Основы теории индуктивной рудной электроразведки. Новосибирск: Наука, 1974. - 351с., ил.

50. Shafai L, Solution for electromagnetic potensials in radially stratified spheres. Int.J.Electronics, 1972,v. 32, No.p.475-476.

51. Даев Д.С. Влияние неоднородной зоны проникновения на результаты высокочастотного электромагнитного каротажа. Изв. высш. учебн. заведений. Геология и разведка, 197I, № 5, c.III-116.

52. Negi J.G. Inhomogeneous cylindrical ore body in presence of a time varying magnetic field. Geophysics, 1962, v.27, No.J, p.386-392.

53. Casey K.F. Two-dimensional electromagnetic field in asimuthally inhomogeneous media. IEEE Trans. Antennas and Propag., 1971, v.19, No.4, p.571-572.

54. Белаш В.А. Электромагнитное поле вертикального магнитного диполя внутри и вне пачки горизонтальных проводящих плоскостей. В кн.: Прикладная геофизика, М., 1972, вып. 69, с.90-97.

55. Каменецкий Ф. М., 1Макагонов П.П. Неустановившееся поле незаземленной петли для упрощенной модели типа КН. Изв. высш. учебн. заведений. Геология и разведка, 1970, № 7, с.95-99.

56. Сочельников В.В. Проводящий концентрически-слоистый шар в переменном поле магнитного и электрического диполей. -В кн.: Морская геология и геофизика. Рига, 1974, с.32-37.

57. Глечиков В.А., Сидоров В.А. Становление поля бесконечного кабеля над неоднородной полуплоскостью. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1979, № 6, с.77-87.

58. Сидоров В.А., Губатенко В.П. Становление электромагнитного поля бесконечной круговой цилиндрической проводящей пленки в поле круговой петли. Изв. высш. учебн. заведений. Геологияи разведка, 1974, № 8, с.145-147.

59. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100с.