Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.02, кандидат физико-математических наук Дементьев, Андрей Викторович

• Дементьев, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дементьев, Андрей Викторович

Глава 1. Введение.

Глава 2. Обобщённое матричное уравнение Амбарцумяна—Чандрасекара.

2.1. Основные предположения.

2.2. Векторное уравнение переноса излучения.

2.3. Матричное уравнение переноса излучения.

2.4. Применение резольвентного метода к интегральному уравнению для матричной функции источников

2.5. Матричное уравнение Амбарцумяна-Чандрасекара.

2.6. Случай равномерно распределённых частично поляризованных источников Э*.

2.7. Случай равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников в/

2.8. Выводы к главе.

Глава 3. Численное решение матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара

3.1. Вычисление вспомогательных функций.

3.2. Методика вычисления 1-матрицы.

3.3. Выводы к главе.

Глава 4. Результаты решения матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара

4.1. Фойгтовский профиль: /3 = 0.

4.2. Фойгтовский профиль: (3 ф 0.

4.3. Равномерно распределённые первичные источники частично поляризованного излучения Б/.

4.4. Выводы к главе.

Глава 5. Уравнение Вольтерра для матричной функции источников

5.1. Вывод уравнения Вольтерра для Я (г).

5.2. Численное интегрирование уравнения Вольтерра.

5.3. Результаты вычислений.

5.4. Выводы к главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий»

Актуальность темы

Большинство имеющихся знаний о звёздах и других небесных объектах получено путём анализа их спектров, как непрерывных, так и линейчатых. При этом важнейшую роль в этом анализе играет исследование именно спектральных линий, содержащих огромное количество информации о физических свойствах изучаемого объекта — о химическом составе, о распределении температуры, плотности, магнитного поля, о движении излучающего вещества и др. (Михалас, 1982; Соболев, 1985).

Как известно, для полного описания поля излучения требуется четыре величины, в качестве которых в астрофизике обычно используется вектор Стокса. Его компонентами служат интенсивность /, параметры (2 и 17, характеризующие линейную поляризацию, и параметр круговой поляризации V. Из наблюдений легче всего получить спектральную зависимость интенсивности. Поэтому зачастую именно эта зависимость и используется для получения сведений об изучаемом объекте. При этом, когда говорят о спектре того или иного объекта, то имеют в виду спектр интенсивности (или потока) излучения данного объекта. Однако ясно, что спектральная зависимость одной лишь интенсивности заведомо не может дать полной картины свойств объекта, поскольку она позволяет судить только о скалярных физических величинах. Всю возможную информацию об объекте, в том числе и о векторных величинах, можно извлечь из наблюдаемого излучения, получив спектральную зависимость всех четырёх параметров Стокса (Флури, 2003).

Поляризация излучения многих объектов очень мала, и измерить её зависимость от длины волны достаточно трудно. Существенный прогресс в этой области, произошедший в последние два десятилетия, связан с усовершенствованием техники и методов измерения поляризации. Современные поляриметры, такие как ZIMPOL I, II (Повел, 2001), THEMIS (Па-лету и Молодый, 2001) и другие инструменты, позволяют получать одновременно два или три параметра Стокса с хорошим спектральным и временным разрешением, обладая при этом высокой поляриметрической чувствительностью. Например, инструмент ZIMPOL II (Zurich IMaging Stokes POLarimeter) имеет чувствительность по поляризации Ю-5.

Особенно большие успехи достигнуты в спектрополяриметрии Солнца, систематические поляризационные наблюдения которого проводятся вот уже более тридцати лет (Келлер, 2009). В результате усилий большого числа исследователей накоплен огромный объём наблюдательных данных о поляризации солнечного излучения как в линиях, так и в непрерывном спектре. Несмотря на то, что Солнце является одним из наиболее изученных астрофизических объектов, полученные данные о поляризации его излучения содержат массу новой информации о физических условиях в солнечной атмосфере. Эту информацию, однако, пока не всегда удаётся должным образом извлечь из результатов наблюдений и надёжно проинтерпретировать — поляризационный спектр Солнца содержит ещё немало загадок (Стенфло, веб-страница).

Значительный интерес представляют результаты наблюдений линейной поляризации фраунгоферовых линий, возникающей за счёт многократного резонансного рассеяния (Стенфло и Келлер, 1997). Эти наблюдения проводятся на краю солнечного диска вдали от активных областей. Именно, фиксируется зависимость отношения от длины волны, где ф и I — параметры Стокса. При этом, если поляризация в линии превышает уровень поляризации прилегающего к ней континуума, то можно рассматривать эту линию как «эмиссионную» в поляризационном спектре Если же, наоборот, на частотах линии континуум деполяризован, то можно считать, что в спектре имеется линия «поглощения» (Стенфло, 2001). Оказывается, что спектр линейной поляризации, полученный таким образом, совершенно не похож на обычный спектр интенсивности: линии, которые сильны в спектре интенсивности, могут быть весьма слабыми в поляризационном спектре, и, наоборот, линии, показывающие значительную поляризацию, в спектре интенсивности могут оказаться практически невидными (см. Рис. 1.1 и 1.2). Данное обстоятельство позволяет говорить о спектре линейной резонансной поляризации как о втором спектре Солнца (Иванов, 1991). Гандорфером (2000, 2002, 2005) был составлен подробо ный атлас второго спектра Солнца, охватывающий диапазон от 3160 А до 6995 А.

Остановимся на физических причинах возникновения поляризации солнечного излучения. Как известно, излучение становится поляризованным при нарушении пространственной симметрии в среде по тем или иным причинам. В атмосфере Солнца такими причинами выступают магнитное поле и анизотропия поля излучения. Магнитное поле приводит к поляризации излучения за счёт эффектов Зеемана и Ханле, а анизотропия излучения служит причиной появления поляризации при резонансном рассеянии. Оче

5150 5152 5154 5156

Wavelength (Á)

5158

5160

Рис. 1.1. Участок второго спектра Солнца (внизу) и соответствующий ему участок спектра интенсивности (вверху) (Гандорфер, 2000).

1.0

0.8 о

0.6 т а> о 0.4 -t-> от

0.2

0.0 0.024 К

0.016

С от

0.008

•j т

0.000

6707

6708 6709

Wavelength (А)

1 1л I 6".1 " V" j ?08 Á : 1,I■.■ • • • 1 ■ ■ ■,1.■.1.1 ,. .—.— 1

6710

Рис. 1.2. Участок второго спектра Солнца вблизи линии 1л I 6708 А(внизу) и соответствующий ему участок спектра интенсивности (вверху) (Стенфло и др. 2000).

Рис. 1.3. Анизотропия излучения вблизи границы атмосферы. Толщина стрелок условно показывает относительную величину интенсивности излучения, распространяющегося в соответствующем направлении. видно, что анизотропия поля излучения в атмосфере Солнца обусловлена наличием границы, через которую излучение покидает атмосферу (см. Рис. 1.3). Анизотропия поля излучения проявляется, в частности, в потемнении диска к краю. Отметим, что при резонансном рассеянии поляризация возникает и в отсутствие магнитного поля.

Инструменты и методы современной поляриметрии находят применение также и в исследованиях излучения, приходящего от планет (Гислер и Шмид, 2003; Буенцли и Шмид, 2009). Хорошо известно, что излучение, отражённое как поверхностью планеты, так и её атмосферой, может иметь значительную поляризацию. Данное обстоятельство предполагается использовать в будущих проектах по поиску и изучению внесолнечных планет (Шмид и др., 2005).

Возможность проводить высокоточные поляриметрические наблюдения требует, в свою очередь, развития теории переноса поляризованного излучения. Поэтому разработка новых, либо усовершенствование известных аналитических и численных методов расчёта поля излучения с учётом поляризации несомненно актуальна. При этом хорошо изученные классические задачи о переносе излучения в атмосферах звёзд (в частности, Солнца) или о рассеянии света в атмосферах планет лучше всего подходят для тестирования этих методов.

Существует богатая литература по теории переноса поляризованного излучения. Изложение этой теории можно найти, например, в книгах Дол-гинова и др. (1979), Ховенира и др. (2004), Стенфло (1994), Ланди дель-Инноченти и Ландольфи (2004). В двух последних книгах среди прочего подробно рассмотрены вопросы переноса поляризованного излучения в спектральных линиях. Обзор ранних работ в этой области выполнен На-гирнером (1985).

Наша работа посвящена, в основном, расчётам поляризации в спектральных линиях, возникающей при многократном резонансном рассеянии, которое происходит в плоскопараллельной однородной атмосфере в отсутствие магнитного поля и внешнего облучения. Расчёты поляризации в линиях в задачах со схожей постановкой в большом количестве проводились разными авторами. Например, в работах Дюмон и др. (1977), Риса (1978), Риса и Салибы (1982), МакКенны (1985), Форобер (1987, 1988) и Форобер-Шолль и Фриш (1989) поляризация в линиях рассчитывалась непосредственным численным решением векторного уравнения переноса. В настоящее время множество расчётов выполняется путём решения уравнения переноса в интегральной форме, для чего был предложен метод «поляризованных приближенных лямбда-итераций». Работа Форобер-Шолль и др. (1997) является первой из серии статей, развивающих PALI-метод (PALI — Polarized Approximate Lambda Iteration). Обзор численных методов, используемых в теории образования поляризованных спектральных линий, сделан в работе Нагендры и Сампурны (2009).

Расчёт поляризации в линиях в рассматриваемой задаче может быть выполнен также на основе общей аналитической теории (теория 1-матриц), развитой в работе Иванова и др. (1997а). Эта теория использует приближение полного перераспределения по частотам при рассеянии и применима для произвольного профиля коэффициента поглощения. В ней нахождение вектора Стокса выходящего излучения фактически сводится к решению нелинейного интегрального уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, обобщённого на матричный случай. Решение этого уравнения позволяет получить вектор Стокса выходящего излучения без расчёта поля излучения внутри атмосферы, что является преимуществом по сравнению с прямым решением уравнения переноса. На основе этой теории выполнены расчёты резонансной поляризации в линиях при доплеровском (Иванов и др., 1997Ь) и лоренцевском (Лоскутов, Иванов, 2007) профилях. Таким же путём проведены расчёты поляризации, результаты которых представлены

Л. в настоящей работе. Отметим, что впервые аппарат 1-матриц был введён для монохроматического рассеяния в работах Иванова (1995, 1996). Также укажем, что теория 1-матриц тесно связана с принципом инвариантности, впервые сформулированным Амбарцумяном при исследовании задач многократного рассеяния света (см. Амбарцумян, 1960).

Рассматриваемая нами задача является достаточно упрощённой, поэтому полученные результаты расчётов не могут быть приложены напрямую к какому-либо астрофизическому объекту. Очевидно, что применимость результатов серьёзно ограничивает, например, предположение об однородности атмосферы. Магнитное поле в общем случае может значительно влиять на поляризацию излучения, поэтому его неучёт также отдаляет нашу модель от реальности — скажем, в атмосфере Солнца магнитное поле присутствует повсеместно (Трухильо Буено и др., 2004), имея величину от десятков гаусс в спокойных областях до килогаусс в пятнах. Предположение о полном перераспределении по частоте, означающее отсутствие корреляции между частотами падающего и рассеянного фотонов, не годится для расчёта поляризации в крыльях сильных резонансных линий (Сампурна и ДР., 2010).

В то же время, ясно, что решение рассматриваемой простой модельной задачи должно предварять решение задач, более близких к реальности. Из сравнения таких решений выясняется, какое влияние оказывают на поляризацию выходящего излучения учёт магнитного поля, поглощения в континууме, частичного перераспределения по частотам и других факторов. Кроме того, решение простой задачи может быть использовано в качестве разумного начального приближения при итерационном решении сложных задач в тех случаях, когда предполагаемое влияние этих факторов невелико.

Цель работы состоит в развитии метода расчёта поляризации в линиях, основанного на общей аналитической теории 1-матриц. Другой целью работы является применение этого метода для решения ряда модельных задач теории переноса поляризованного излучения и доведения этого решения до числа.

Научная новизна работы

На примере решения ряда новых модельных задач расширены возможности метода 1-матриц для расчёта поляризации выходящего излучения. Именно, впервые получено численное решение обобщённого матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара в случае, когда

- профиль коэффициента поглощения является фойгтовским;

- имеется поглощение в континууме на частотах линии;

- первичные источники излучения в линии являются частично поляризованными.

При этом предложена универсальная схема численного решения матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, применимая как при наличии поглощения в континууме, так и при его отсутствии. Для элементов матричной функции С (г), входящей в подынтегральное выражение в уравнении Амбарцумяна-Чандрасекара, найдены асимптотические выражения.

Выведена формула для матрицы Стокса выходящего излучения в случае равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников. При этом показано, что решение задачи при любых источниках такого вида может быть достаточно просто выражено через решение так называемой стандартной задачи при первичных источниках вполне определённого вида.

Впервые рассчитана предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициента поглощения. В случае консервативного рассеяния полученные значения ро дополняют известные значения предельной степени поляризации при доплеровском (9.443%, Иванов и др., 1997Ь) и лоренцевском (5.421%, Лоскутов и Иванов, 2007) профилях, а также классическое значение поляризационного предела Соболева-Чандрасекара (11.713%), соответствующего прямоугольному профилю.

Стандартная задача о многократном резонансном рассеянии сведена к интегральному уравнению Вольтерра для матричной функции источников 8(т). Это уравнение решено численно для доплеровского профиля коэффициента поглощения при разных значениях вероятности выживания фотона при рассеянии.

Теоретическая и практическая ценность результатов

По сравнению с прямым решением уравнения переноса излучения метод расчёта поляризации в линиях, основанный на теории 1-матриц, обладает тем преимуществом, что позволяет найти вектор Стокса выходящего излучения без расчёта поля излучения внутри атмосферы. При этом решение многих задач может быть достаточно легко выражено через решение одной, так называемой стандартной, задачи. Поэтому представляется несомненной важность расширения круга задач, к которым может быть применён данный метод.

Разработанная универсальная схема нахождения вектора Стокса выходящего излучения не требует больших вычислительных затрат и позволяет достаточно быстро получать решение рассматриваемых задач. Сравнением полученных решений этих модельных задач с решением задач, более близких к реальности, можно выяснить, какое влияние оказывают на поляризацию выходящего излучения учёт дополнительных факторов: магнитного поля, частичного перераспределения по частотам и др. Кроме того, решение простой задачи может быть использовано в качестве разумного начального приближения при итерационном решении сложных задач в тех случаях, когда предполагаемое влияние этих факторов невелико.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры астрофизики СПбГУ, а также на следующих конференциях:

1. III Всероссийская астрономическая конференция, Казань, 17-22 сентября 2007 г.

2. IV Всероссийская астрономическая конференция, Нижний Архыз, 12-19 сентября 2010 г.

Публикации по теме диссертации

1. Дементьев А. В., Иванов В. В., Лоскутов В. М., Влияние вида профиля коэффициента поглощения на поляризацию резонансных фраунгофе-ровых линий, Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, с. 133-135 (2007).

2. Дементьев А. В., Поляризация резонансных линий при фойгтовском коэфициенте поглощения, Письма в Астрон. журн., 34, с. 633-640 (2008).

3. Дементьев А. В., Влияние поглощения в непрерывном спектре на поляризацию резонансных линий, Астрофизика, 52, с. 605-621 (2009).

4. Дементьев А. В., Уравнение Вольтерра для матричной функции источников при резонансном рассеянии, Астрофизика, 53, с. 465-477 (2010).

5. Дементьев А. В., Поляризация резонансных фраунгоферовых линий при равномерно распределённых источниках первичного излучения, Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2010 «От эпохи Галилея до наших дней», Нижний Архыз, с. 66-67 (2010).

Личный вклад автора

В работе 1 автором выполнены расчёты предельной степени поляризации на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициента поглощения.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из пяти глав, трёх приложений, списка цитируемой литературы (61 наименование). Общий объём диссертации составляет 102 страницы, в том числе 28 рисунков и 3 таблицы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Выражение для матрицы Стокса излучения, выходящего из однородной рассеивающей атмосферы, в случае равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников.

2. Универсальная схема численного решения обобщённого матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, применимая как при наличии поглощения в континууме, так и при его отсутствии.

3. Результаты расчётов резонансной поляризации в ряде модельных задач, проведённые на основе теории 1-матриц.

4. Вывод уравнения Вольтерра для матричной функции источников в стандартной задаче о многократном резонансном рассеянии и результаты его численного решения.

Глава 2

Обобщённое матричное уравнение Амбарцумяна—Чандрасекара

Заключение диссертации по теме «Астрофизика, радиоастрономия», Дементьев, Андрей Викторович

5.4. Выводы к главе

Данная глава посвящена выводу уравнения Вольтерра для матричной функции источников стандартной задачи и его численному решению. Резюмируем основные результаты главы.

1. Аналогично тому, как это было сделано в работе Иванова (2009) для многократного рэлеевского рассеяния, получено матричное обобщение двухточечного (^-интеграла Райбики для стандартной задачи в случае многократного резонансного рассеяния в спектральной линии.

2. Как частный случай матричного (^-интеграла получено уравнение Вольтерра для матричной функции источников рассматриваемой задачи.

3. Для доплеровского профиля коэффициента поглощения и отсутствии поглощения в континууме (¡3 = 0) уравнение Вольтерра численно решено для ряда значений параметра А.

4. С помощью найденной матричной функции источников получены поляризационные характеристики выходящего из атмосферы излучения. Результаты расчётов представлены на 10 рисунках.

Заключение

Настоящая работа посвящена расчётам поляризации в спектральных линиях, возникающей при многократном резонансном рассеянии в плоскопараллельной однородной атмосфере в отсутствие магнитного поля, внешнего облучения, а также излучения в континууме. Эти расчёты проводились по общей схеме, позволяющей либо учитывать поглощение в континууме на частотах линии, либо считать, что такого поглощения нет. В работе рассматривалось главным образом излучение, выходящее из атмосферы. Некоторые поляризационные характеристики излучения на оптической глубине т т^ 0'получены в Главе 5. Большая часть расчётов выполнена для фойгтовского профиля коэффициента поглощения. Расчёты при. других видах профиля проводились в основном для сравнения с аналогичными расчётами других авторов.

Отметим наиболее важные результаты, полученные в работе:

1. Выведена формула (2.132), выражающая матрицу Стокса выходящего излучения в случае равномерно распределённых первичных источников в;, т.е. при Б1(т) = Данная формула показывает возможность применения аппарата 1-матриц в рассматриваемой задаче к случаю, когда первичные источники могут быть поляризованными (в® 'Ф 0). До сих пор в работах других авторов, использовавших теорию 1-матриц для расчёта резонансной поляризации, расматривались либо неполяризованные равномерно распределённые первичные источники (в® = 0), либо поляризованные равномерно распределённые первичные источники диффузного излучения (з? ^ 0).

2. Разработана схема численного решения уравнения Амбарцумяна-Чанд-расекара (2.97), применимая как при /3 = 0, так и при /3^0.

3. Рассчитана предельная степень поляризации ро на краю диска звезды для фойгтовского профиля коэффициента поглощения при разных значениях параметра а (Рис. 4.1). В случае консервативного рассеяния значения ро, представленные в таблице 4.1, дополняют известные значения предельной степени поляризации при доплеровском (9.443%) и лоренцевском (5.421%) профилях, а также классическое значение поляризационного предела Соболева-Чандрасекара (11.713%), соответствующего прямоугольному профилю.

4. Разработана численная схема и получены решения уравнения Воль-терра (5.21) для матричной функции источников в (г).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дементьев, Андрей Викторович, 2011 год

1. АмбарцумянВ. А., Астрон. журн., 19, 30 (1942).

2. Амбарцумян В. А., Научные труды, том 1, (Ереван: изд-во АН Арм. ССР, 1960), 430 с.

3. Босма и де Рой (Р. В. Bosma, W. А. de Rooij), Astron. Astrophys., 126, 283 (1983).

4. Буенцли и Шмид (Е. Buenzli, Н. М. Schmid), Astron. Astrophys., 504, 259 (2009).о

5. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. I: 4625 A to 6995 A (Zürich: VdF, 2000), 272 p.о

6. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. II: 3910 A to 4630 Ä (Zürich: VdF, 2002), 103 p.о

7. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. Ill: 3160 A to 3915 A (Zürich: VdF, 2005), 188 p.

8. Гаутчи (W. Gautschi), Comm. of the ACM, 12, 635 (1969).

9. Гаутчи (W. Gautschi), SIAM J. Numer. Anal., 7, 187 (1970).

10. Гислер и Шмид (D. Gisler, H. M. Schmid) in Solar Polarization 3,eds. J. Trujillo Bueno and J. Sanchez Almeida, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 307, 58 (2003).

11. И. Грачев С. И., Астрофизика, 44, 455 (2001).

12. Дементьев А. В., Письма в Астрон. журн., 34, 633 (2008).

13. Дементьев А. В., Астрофизика, 52, 605 (2009).

14. Дементьев А. В., Астрофизика, 53, 465 (2010а).

15. Дементьев А. В., Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2010 «От эпохи Галилея до наших дней», Нижний Архыз, с. 66 (2010b).

16. Дементьев А. В., Иванов В. В., Лоскутов В. М., Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, с. 133 (2007).

17. Долгинов А. 3., ГнединЮ.Н., Силантьев Н. А.,Распространение и поляризация излучения в космической среде,{М.: Наука, 1979), 424 с.

18. Домке X., Астрофизика, 7, 39 (1971).

19. Дюмон и др. (S. Dumont, A. Omont, J. С. Pecker, D. Rees), Astron. Astrophys., 54, 675 (1977).

20. Иванов В. В., Перенос излучения и спектры небесных тел, (М.: Наука, 1969), 472 с.

21. Иванов В. В., Transfer of Radiation in Spectral Lines, NBS SP #385, (Washington, 1973), 480 p.

22. Иванов В. В., Астрон. журн., 55, 1072 (1978).

23. Иванов (V.V. Ivanov) in Stellar Atmospheres: Beyond Classical Models, eds. L. Crivellari, I. Hubeny, and D. G. Hummer, (Dordrecht: Kluwer), NATO AS I Series С 341, 81 (1991).

24. Иванов (V. V. Ivanov), Astron. Astrophys., 303, 609 (1995).

25. Иванов (V. V. Ivanov), Astron. Astrophys., 307, 319 (1996).

26. Иванов В. В., Астрофизика, 52, 301 (2009).

27. Иванов В. В., Нагирнер Д. И., Астрофизика, 1, 143 (1965).

28. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. М. Loskutov), Astron. Astrophys., 318, 315 (1997a).

29. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. M. Loskutov), Astron. Astrophys., 321, 968 (1997b).

30. Келлер (С. U. Keller) in Solar Polarization 5, eds. S. V. Berdyugina,

31. K. N. Nagendra and R. Ramelli, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 405, 29 (2009).

32. Ланди дель-Инноченти и Ландольфи (Е. Landi Degl'Innocenti, M.Landolfi), Polarization in Spectral Lines, (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004), 890 p.

33. Лоскутов B.M., Иванов В. В., Астрофизика, 50, 199 (2007).

34. МакКенна (S.McKenna), Astrophys. к Space Sci., 108, 31 (1985).

35. МихаласД., Звёздные атмосферы, часть 2 (М.: Мир, 1982), 424 с.

36. Нагендра и Сампурна (К. N. Nagendra and М. Sampoorna) in Solar Polarization 5, eds. S. V. Berdyugina, K. N. Nagendra and R. Ramelli, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific),

37. ASP Conf. Ser. 405, 261 (2009).

38. Нагирнер Д. И., в сб. Фотометрические и поляриметрические исследования небесных тел, (Киев: Наукова Думка), 118, (1985).

39. Палету и Молодый (F. Paletou, G. Molodij) in Advanced Solar Polarimetry — Theory, Observation, and Instrumentation eds. M. Sigwarth,

40. San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 236, 9 (2001).

41. Повел (H. P. Povel) in Magnetic Fields across the Hertzsprung-Russell Diagram, eds. G. Mathys, S.K.Solanki, and D. T. Wickramasinghe, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 248, 543 (2001).

42. Рачковский Д. H., Изв. Крымск. астрофиз. обсерв., 67, 78 (1983).

43. Рис (D.Rees), Publ. Astron. Soc. Japan, 30, 455 (1978).

44. Рис и Салиба (D.Rees, G.Saliba), Astron. Astrophys., 115, 1 (1982).42. де Рой и др. (W. A. de Rooij, P. В. Bosma, and J.P.C. van Hooff), Astron. Astrophys., 226, 347 (1989).

45. Самарский А. А., Гулин А. В., Численные методы, (M.: Наука, 1989), 432 с.

46. Сампурна и др. (М. Sampoorna, J. Trujillo Bueno, E. Landi Degl'Inno-centi), Astrophys. J., 722, 1269 (2010).

47. Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет, (М.: Гостехиздат, 1956), 392 с.

48. Соболев В. В., Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат. наук, 11, 39 (1958).

49. Соболев В. В., Астрон. журн., 36, 573 (1959).

50. Соболев В. В., Курс теоретической астрофизики, (М.: Наука, 1985), 504 с.

51. Стенфло (J. О. Stenflo), Solar Magnetic Fields. Polarized Radiation Diagnostics, (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994), 385 p.

52. Стенфло (J. O. Stenflo) in Solar Polarization 6, eds. J. Kuhn, ASP Conf. Ser., in press (веб-страница:http://www.exp-astro.phys.ethz.ch/astrol/Users/jstenflo/papers.php).

53. Стенфло и Келлер (J. О. Stenflo, С. U. Keller), Astron. Astrophys., 321, 927 (1997).

54. Стенфло и др. (J. О. Stenflo, С. U. Keller, A. Gandorfer), Astron. Astrophys., 355, 789 (2000).

55. Трухильо Буено и др. (J. Trujillo Bueno, N. Shchukina, A. Asensio Ramos), Nature, 430, 326 (2004).

56. Форобер (M. Faurobert), Astron. Astrophys., 178, 269 (1987).

57. Форобер (M. Faurobert), Astron. Astrophys., 194, 268 (1988).

58. Форобер-Шолль и Фриш (M. Faurobert-Scholl, H. Frisch), Astron. Astrophys., 219, 338 (1989).

59. Форобер-Шолль и др. (M. Faurobert-Scholl, H. Frisch, К. N. Nagendra), Astron. Astrophys., 322, 896 (1997).

60. Флури (D.M.Fluri), Radiative Transfer with Polarized Scattering in the Magnetized Solar Atmosphere, (Göttingen: Cuvillier Verlag, 2003), 141 p.

61. Ховенир и др. (J. W. Hovenier, C.van der Мее, H. Domke,), Transfer of Polarized Light in Planetary Atmopheres. Basic Concepts and Practical Methods, (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ, 2004), 258 p.

62. Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, (М.: Иностранная литература, 1953), 432 с.

63. Шмид и др. (Н. М. Schmid et al) in Direct Imaging of Exoplanets: Science & Techniques, eds. C.Aime and F.Vakili, (UK: Cambridge University Press), Proc. of the IAU Colloquium #200, 165 (2006).