Разработка алгоритмов оптимального и квазиоптимального приема высокочастотных случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы и неизвестным временем прихода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Розанов Артем Евгеньевич

• Розанов Артем Евгеньевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Розанов Артем Евгеньевич

2.5 Выводы

3 ПРИЕМ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫМИ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМИ

3.1 Алгоритмы обработки высокочастотного случайного импульса с неизвестным временем прихода при неточно известной центральной частоте

са с неизвестным временем прихода

20

са с неизвестными временем прихода и дисперсией 1.3 Выводы

54

79

3.2 Алгоритмы обработки высокочастотного случайного импульса с неизвестными временем прихода и дисперсией при неточно известной центральной частоте

3.3 Алгоритмы обработки высокочастотного случайного импульса с неизвестными временем прихода, дисперсией и центральной

частотой

3.6 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов оптимального и квазиоптимального приема высокочастотных случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы и неизвестным временем прихода»

ВВЕДЕНИЕ

Большинство радиотехнических информационных систем характеризуются тем, что для описания происходящих в них процессов требуется применение вероятностного подхода [56]. Это означает, что во многих случаях невозможно описать те или иные процессы с помощью детерминированных соотношений и приходится использовать их вероятностные (статистические) свойства. Применительно к радиотехническим приложениям можно указать целый ряд причин, обусловливающих необходимость применения такого статистического подхода. Так, в гидроакустике изменение температуры на фиксированной глубине на несколько долей градуса (происходящее даже в течение длительного интервала времени) приводит к существенному отклонению скорости звука. Кумулятивный эффект вдоль траектории луча вызывает заметные изменения интенсивности. В результате прошедший через толщу воды акустический сигнал превращается в случайный. Кроме этого, движущиеся элементы конструкции надводных и подводных кораблей являются причиной возникновения в водной среде случайных акустических волн. Если удары (например, в поршневых и кри-вошипно-шатунных механизмах) возникают в случайные моменты времени и имеют случайные амплитуды, то возникающее звуковое давление воспринимается как случайный процесс (шум).

Аналогичного рода процессы могут происходить при распространении радиоволн в турбулентной атмосфере [114,127]. В тропосфере, наряду с регулярными неоднородностями (регулярное изменение температуры, давления и влажности с высотой) имеются и случайные, связанные с турбулентным (вихревым) движением воздуха, первопричиной которого является нагревание земной поверхности и воздуха солнцем. Такое турбулентное движение приводит к тому, что в атмосфере образуются случайные неоднородности различных размеров, изменяющиеся во времени, и в двух соседних участках температура, давление и влажность воздуха имеют не-

одинаковые значения. Локальные неоднородности этих параметров приводят к локальным случайным неоднородностям коэффициента преломления воздуха. В результате случайные локальные неоднородности показателя преломления воздуха могут привести к искажениям фазового фронта волны и к флуктуациям амплитуды поля.

Еще один характерный пример, подтверждающий целесообразность использования стохастических моделей, относится к отражению сигналов распределенными целями. Сигналы, отраженные от многих природных образований (поверхность земли или моря, гидрометеоры, ионосфера, искусственные металлизированные отражатели и т.д.), с точки зрения статистики обладают рядом общих свойств. Все они могут быть представлены суммой очень большого числа сигналов, отраженных независимыми элементарными отражателями, случайным образом распределенными на поверхности или в пространстве. Если среднее число отраженных элементарных сигналов достаточно велико, то откликом распределенной цели на посланный импульс является отрезок случайного (в большинстве случаев, гауссовского) случайного процесса.

К факторам, определяющим статистические свойства реальных процессов, можно также отнести нестабильность генераторов электромагнитных колебаний, неоднородность отражающих или излучающих поверхностей объектов и т.д. [40,69,70,101 и др.]. Таким образом, статистический анализ стохастических процессов представляет собой важную теоретическую и практическую задачу, результаты которой могут быть использованы при синтезе и описании свойств многих радиотехнических информационных систем.

Среди большого многообразия моделей стохастических процессов достаточно заметное место занимают стохастические модулированные колебания, у которых зависимости тех или иных физических величин от времени имеют импульсный характер. Статистический анализ случайных импульсных сигналов с неизвестными параметрами находит широкое приме-

нение в связи, активной и пассивной радиолокации, гидролокации, радиоастрономии, в теории и технике радиоуправления, телеметрии, навигации, промышленной диагностике и др. Часто во многих приложениях [10,17,59,79,93 и др.] в качестве модели обрабатываемого случайного импульсного процесса используется мультипликативная комбинация прямоугольного видеоимпульса и стационарного гауссовского случайного процесса, время корреляции которого значительно меньше длительности импульса. Ее дальнейшим обобщением является физически более реалистичная модель в виде случайного импульса с огибающей произвольной формы. Примерами таких сигналов могут служить излучаемый или отраженный радиолокационный сигнал [16,17,32,36], информационный сигнал в системах связи с шумовой несущей [23,24,35,37,94,104] или при использовании каналов связи со случайными характеристиками [12,40], оптический шумовой импульс [1,15], сигнал достаточно сложной и априори неизвестной формы [1,44] и др.

Среди задач статистического анализа случайных импульсных сигналов на первый план выступают вопросы обнаружения импульсов и оценивания их неизвестных параметров. Одним из наиболее распространенных на практике методов анализа импульсных процессов являются методы, основанные на их временной фиксации [22,55 и др.]. Однако при наличии у импульсов случайной субструктуры и при увеличении мощности ее флук-туационной составляющей такие методы становятся далекими от оптимальных. Указанные задачи предпочтительнее решать с помощью методов теории статистических решений [10,41,46,49,52,56,74,96 и др.], оптимальных в том или ином смысле. В случае если имеется полное статистическое описание наблюдаемых данных и заданы потери при принятии всех возможных решений, то можно построить строго оптимальные байесовские правила [10,41,42,71,96,118,121 и др.] обнаружения и оценивания. Однако, на практике эти условия, как правило, не выполняются. Нередко неизвестны априорные вероятности наличия или отсутствия импульса в наблюдае-

мых данных, априорные распределения неизвестных параметров импульса, возникают трудности задания потерь при принятии тех или иных решений. Поэтому особенно широкое распространение получил метод максимального правдоподобия [41,42,46,56,71,74,96,98,118,121 и др.], требующий меньшего объема априорной информации и являющийся асимптотически оптимальным для широкого класса сигналов, функций распределения и потерь. Использование этого метода для анализа случайных импульсных сигналов позволяет синтезировать технически менее сложные, чем при использовании байесовского подхода, но достаточно эффективные алгоритмы обработки.

При наличии большого числа неизвестных параметров структура максимально-правдоподобных алгоритмов приема может существенно усложняться [5,93]. Поэтому зачастую возникает необходимость создания более простых - квазиправдоподобных и квазиоптимальных алгоритмов. Однако использование неоптимальных алгоритмов вместо оптимальных имеет смысл только тогда, когда эффективность приема в результате такой замены ухудшается незначительно. Другими словами, выбор структуры устройства обработки должен осуществляться на основе результатов проведенного анализа, с учетом предъявляемых к этому устройству требований. Таким образом, не менее значимой задачей, наряду с синтезом, является задача анализа качества функционирования синтезированных алгоритмов.

На этапе анализа на первый план выступают вопросы, связанные с вычислением характеристик приема наблюдаемого сигнала. Расчет характеристик алгоритмов представляет собой достаточно сложную и во многих аспектах малоизученную задачу. Кроме того, поскольку принятая здесь модель сигнала является разрывной, то реализации решающей статистики - функционала отношения правдоподобия - будут недифференцируемы по некоторым неизвестным параметрам ни в каком вероятностном смысле. В результате использовать классические методы анализа (метод малого па-

раметра и др.) и даже оценить потенциальную точность алгоритмов обработки (границу Крамера-Рао) не представляется возможным. Для анализа эффективности алгоритмов в этом случае будем использовать подход, впервые примененный в [72] для расчета характеристик оценки времени прихода прямоугольного импульса и обобщенный в [96] для разрывных квазидетерминированных сигналов (метод локально-марковской аппроксимации).

Отдельные аспекты поставленных вопросов рассматривались и ранее. В [86,87,91,93] выполнен синтез и анализ алгоритмов обнаружения и оценки времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса с огибающей прямоугольной формы, наблюдаемого на фоне белого шума, по методу максимального правдоподобия. При этом полагалось, что параметры сигнала, не подлежащие оценке, априори известны. В работах [92,106,107,109] результаты [86,87,91,93] обобщены на случай, когда длительность импульса либо центральная частота его случайной субструктуры могут быть известны неточно. В [84,89] проведено исследование оценок времени прихода и длительности (моментов появления и исчезновения) прямоугольного гауссовского импульсного сигнала, а в [88], кроме того, и параметров его случайной субструктуры. В [95] найдена структура и характеристики приемника максимального правдоподобия случайного импульса с неизвестным временем прихода и модулирующей функцией близкой к прямоугольной. Наконец, в [28] предложены эвристические подходы к решению задачи обнаружения случайного импульсного сигнала с непрерывной модулирующей функцией произвольной формы.

Цель работы. Целью работы является предложить технически более простые по сравнению с существующими способы приема высокочастотных разрывных случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы и неизвестными частотно-временными и энергетическими параметрами, и разработать методики аналитического расчета характеристик синтезированных на их основе обнаружителей и измерителей.

Для реализации этой цели в диссертационной работе необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Синтезировать новые оптимальные (максимально-правдоподобные) и квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и измерения случайных импульсов с неизвестными частотно-временными и энергетическими параметрами, допускающих практическую реализацию в виде одноканальных устройств, в отличие от имеющихся многоканальных аналогов.

2. Выполнить теоретический анализ эффективности функционирования синтезированных алгоритмов обнаружения случайных импульсных сигналов и оценки их частотно-временных и энергетических параметров. Развить методы расчета характеристик алгоритмов обнаружения и оценки при произвольной форме огибающей импульса.

3. Разработать методики статистического моделирования алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы.

4. Экспериментально (методами статистического моделирования) установить работоспособность предложенных алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов и определить границы применимости найденных приближенных или асимптотических формул для характеристик качества их функционирования.

Методы проведения исследования. При решении поставленных в диссертации задач использовались аналитические и вычислительные методы статистической радиотехники, а именно, аппарат теории вероятностей и математической статистики, методы теории статистических решений, аппарат теории марковских случайных процессов (в том числе, метод локально-марковской аппроксимации), аналитические методы математического анализа, современные численные методы и методы программирования, методы моделирования на ЭВМ радиотехнических стохастических процессов и алгоритмов их анализа.

Научная новизна. В данной работе получены следующие новые научные результаты:

■ усовершенствованные методики синтеза алгоритмов обнаружения и измерения высокочастотных случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы в условиях параметрической априорной неопределенности, основанные на пренебрежении величинами порядка и менее времени корреляции субструктуры импульса и адаптивном поиске квазиоптимальных решений, близких в том или ином смысле к оптимальным. Использование данных методик позволяет получить одноканальные алгоритмам обработки, технически существенно более простые по сравнению с известными многоканальными вариантами;

■ обобщение методов статистического анализа алгоритмов обнаружения и измерения разрывных случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы и неизвестными частотно-временными и энергетическими параметрами, позволяющих теоретически определять их точностные характеристики;

■ Полученные с помощью развитых подходов новые алгоритмы обработки высокочастотных случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы, а именно:

- максимально-правдоподобные и квазиправдоподобные алгоритмы обнаружения и оценки времени прихода гауссовского импульса с априори известной и неточно известной длительностью,

- квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и оценки времени прихода и дисперсии гауссовского импульса с априори известной и неточно известной длительностью,

- квазиправдоподобные алгоритмы обнаружения и оценки времени прихода гауссовского импульса с неточно известной центральной частотой,

- квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и оценки времени прихода и дисперсии гауссовского импульса с неточно известной и неизвестной центральной частотой,

а также характеристики эффективности этих алгоритмов;

■ методы статистического моделирования на ЭВМ и практической реализации на цифровых сигнальных процессорах алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов, позволяющие существенно экономить машинное время, а также повысить быстродействие проектируемых информационных систем.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается корректностью использования современного математического аппарата, совпадением новых результатов с известными в частных и предельных случаях, а также результатами статистического моделирования.

Практическая ценность результатов диссертационной работы состоит в том, что они позволяют внедрять в практические разработки радиотехнических систем технически существенно более простые по сравнению с имеющимися аналогами алгоритмы статистического анализа случайных импульсных сигналов. Найденные в работе теоретические зависимости для характеристик эффективности предлагаемых алгоритмов позволяют сделать обоснованный выбор между этими и другими алгоритмами в зависимости от имеющейся априорной информации и в соответствии с требованиями, предъявляемыми к качеству алгоритма обработки и к степени простоты его технической реализации. Результаты работы могут быть использованы при исследовании и анализе

- физических и статистических свойств природных и искусственных объектов по их спонтанным и вынужденным импульсным откликам,

- обработке радио-, гидролокационных и оптических сигналов,

- систем связи с импульсными поднесущими, работающими в сложной помеховой обстановке, характеризуемой наличием как аддитивных, так и мультипликативных искажений,

- перспективных локационных и связных систем, использующих в качестве информационных сигналов импульсы с шумовой несущей,

- сигналов в технической и медицинской диагностике,

- аппаратурного анализа случайных процессов,

- радиотехнических систем различного назначения, реализуемых на основе цифровых методов обработки.

Практическое применение результаты диссертации нашли при разработке многопозиционной системы связи с шумовой несущей, а также системы мониторинга многочастотных связных сигналов на базе цифровых сигнальных процессоров семейства ТМБ320.

Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в данной диссертации, были представлены в виде докладов и обсуждались на

1. XVII, XX, XXI Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика", г. Москва, 2011 г., 2014 г., 2015 г.

2. Московской молодёжной научно-практической конференции "Инновации в авиации и космонавтике - 2012", г. Москва, 2012 г.

3. Международной научно-технической конференции "Наука и образование - 2012", г. Мурманск, 2012 г.

4. 67-й Научной сессии, посвященной дню радио, г. Москва, 2012 г.

5. XV Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям, г. С.-Петербург, 2012 г.

6. Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" (ЮТЕЯМАТГС), г. Москва, 2012 г., 2013 г.

7. 10-й Международной конференции "ЕЬЕКТЯ02014", г. Раецке Теплице, Словакия, 2014 г.

8. Международных научно-технических семинарах с элементами научной школы для молодых ученых "Методы и алгоритмы обработки ква-зидетерминированных и стохастических сигналов и изображений в условиях различной априорной неопределенности" (2014 г.), "Разрывные модели сигналов и изображений и оценка их параметров" (2015 г.), г. Москва,

использовались при выполнении грантов РФФИ (проекты №№ 1308-00735, 13-08-97538), Российского научного фонда (проект № 14-4900079), Министерства образования и науки РФ (Соглашения №№ 14.B37.21.2015, 14.B37.21.2032, 14.B37.21.2102, ГБ НИР № 1729), внедрены в ОАО "Созвездие", ОАО "Российские космические системы" и ЗАО "Специальные системы", что подтверждается соответствующими актами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ [149-165], в том числе 13 статей [149,150,153-160,162-164], 4 из которых в журналах из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК [149,159,160,164], 2 - в изданиях, индексируемых в международной базе Scopus [162,163], и 4 тезисов докладов [151,152,161,165].

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

■ усовершенствованные и оригинальные методы синтеза алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с неизвестными параметрами и огибающей произвольной формы, допускающих практическую реализацию в виде одноканальных устройств, в отличие от получаемых с помощью известных подходов многоканальных аналогов;

■ усовершенствованные методы статистического анализа алгоритмов обнаружения и измерения случайных импульсных сигналов с неизвестными разрывным и непрерывным параметрами и огибающей произвольной формы, позволяющие аналитически (в отличие от известных результатов) находить количественные характеристик качества их функционирования, в том числе с учетом аномальных решений;

■ обобщенные методы статистического анализа алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с несколькими неизвестными разрыв-

ными параметрами и огибающей произвольной формы, позволяющие теоретически оценить их работоспособность и эффективность в условиях высокой апостериорной точности;

■ представленные новые оптимальные и квазиоптимальные обнаружители и измерители случайных импульсных сигналов с неизвестными частотно-временными параметрами и огибающей произвольной формы, технически более простые по сравнению с существующими прототипами;

■ найденные асимптотические выражения для характеристик эффективности синтезированных обнаружителей и измерителей случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы, позволяющие сделать обоснованный выбор между предложенными, а также другими приемными устройствами в зависимости от требований, предъявляемых к качеству функционирования алгоритма обработки и степени простоты его аппаратурной реализации;

■ методики статистического моделирования синтезированных алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с огибающей произвольной формы, позволяющие минимизировать временные и вычислительные затраты при их программной и аппаратной реализации, и полученные на их основе результаты подтверждающие корректность и достоверность сформулированных в работе теоретических выводов и рекомендаций.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 разделов, заключения, списка литературы, состоящего из 165 наименований, и приложения.

В первом разделе рассмотрена задача оптимального и квазиоптимального приема высокочастотного случайного импульса с огибающей (модулирующей функцией) произвольной формы и неизвестными временем прихода и дисперсией, наблюдаемого на фоне белого шума. С помощью метода максимального правдоподобия на основе корректной упрощенной аппроксимации решающей статистики предложены одноканаль-

ные оптимальные измеритель времени прихода импульсного сигнала и обнаружитель импульсного сигнала с неизвестным временным параметром. Используя метод локально-марковской аппроксимации, обобщенный на случай произвольных модулирующих функций, получены замкнутые аналитические выражения для характеристик обнаружения и оценивания. Рассмотрено влияние аномальных ошибок на точность оценки времени прихода. Методами статистического моделирования установлено, что теоретические зависимости для характеристик обнаружения и оценки времени прихода случайного импульса с учетом аномальных ошибок удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные в случае выходных отношений сигнал/шум больших 1,5... 2, а для характеристик надежной оценки - больших 2.3, при относительном (деленном на отношение длительности полезного сигнала к времени корреляции его случайной субструктуры) разбросе значений модулирующей функции порядка 10 .

При неизвестных времени прихода и дисперсии случайного импульса показано, что оптимальные алгоритмы обработки импульсных сигналов допускают лишь многоканальную реализацию. В этом случае для синтеза одноканальных алгоритмов обнаружения и оценивания предложен подход, основанный на близости точности формируемых оценок непрерывных параметров к потенциальной (границе Крамера-Рао). Применение данного подхода позволило получить квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и оценки времени прихода импульсного сигнала, инвариантные к величине его энергетического параметра (дисперсии) и форме модулирующей функции. При этом характеристики показателей качества данных алгоритмов оказываются сопоставимыми с соответствующими характеристиками технически более сложных максимально-правдоподобных алгоритмов обнаружения и оценивания. Для реализации квазиоптимального измерителя дисперсии случайных импульса с неизвестным временем прихода требуется знание только первых двух моментов модулирующей функции. Выводы

и рекомендации обладают приемлемой точностью при выходных отношениях сигнал/шум, больших 0,5...4 (в зависимости от алгоритма и условий наблюдения).

Во втором разделе решена задача обнаружения и измерения случайного импульсного сигнала произвольной формы с неизвестными временем прихода и дисперсией и неточно известной длительностью. Следуя разделу 1, рассмотрены получаемые по методу максимального правдоподобия квазиправдоподобная оценка времени прихода случайного импульса с неточно известной длительностью, квазиправдоподобный обнаружитель случайного импульса с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью, а также получаемые на основе предложенного квазиоптимального подхода квазиоптимальные оценки времени прихода и дисперсии случайного импульса с неточно известной длительностью и квазиоптимальный обнаружитель случайного импульса с неизвестными временем прихода и дисперсией и неточно известной длительностью.

Для определения эффективности функционирования предложенных алгоритмов обработки с помощью метода локально-марковоской аппроксимации, обобщенного для произвольной формы и ненулевых расстроек неинформативных параметров (в данном случае - длительности) полезного сигнала, найдены асимптотически точные выражения для условных смещений и рассеяний выносимых оценок, в том числе с учетом аномальных решений, и вероятностей ошибок 1-го рода и 2-го рода при обнаружении. Установлено, что рассеяния квазиправдоподобной и квазиоптимальной оценок времени прихода при ненулевых расстройках по длительности импульса не являются состоятельными. Также для широкого класса модулирующих функций рассеяние квазиоптимальной оценки дисперсии в условиях высокой апостериорной точности отличается от предельно достижимого не более чем на 5 %, а значения вероятностей пропуска сигнала квазиправдоподобного и квазиоптимального обнаружителей при одинаковом фиксированном уровне вероятности ложной тревоги практически одинако-

вы. Однако при достаточно больших отклонениях ожидаемой длительности полезного сигнала от ее истинного значения качество алгоритмов обработки случайного импульса может существенно ухудшаться.

Методами статистического моделирования установлено, что теоретические выводы и рекомендации справедливы при относительном разбро-

_ 3

се значений модулирующей функции порядка 10 , относительном приращении модулирующей функции на интервале расстройки по длительности не более 0,1 и выходных отношениях сигнал/шум, больших 1,5...4 (в зависимости от алгоритма обработки).

Третий раздел посвящен синтезу, анализу и моделированию алгоритмов обнаружения и измерения случайного импульсного сигнала с неизвестными временем прихода, дисперсией и центральной частотой. При априорной неопределенности относительно частотно-временных параметров импульса предложено использовать квазиправдоподобный подход, состоящий в оценке неизвестного времени прихода и подстановке вместо неизвестной центральной частоты ее ожидаемого (прогнозируемого) значения. Показано, что получаемые в этом случае обнаружитель и измеритель могут быть технически реализованы в виде достаточно простых однока-нальных устройств. Если помимо времени прихода и центральной частоты неизвестна также дисперсия случайного импульса, то максимально-правдоподобный (с измерением всех неизвестных параметров) и квазиправдоподобный (с измерением временного и энергетического параметров) алгоритмы обработки имеют достаточно сложную многоканальную структуру. Для упрощения технической реализации соответствующих обнаружителей и измерителей использован представленный в разделах 1, 2 квазиоптимальный подход. Тогда, если можно указать некоторое приближенное значение центральной частоты, так что ее относительное отклонение от истинного значения будет не слишком велико, в качестве оценок времени прихода и дисперсии импульсного сигнала и решающего правила

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Розанов Артем Евгеньевич, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. - М.: Сов. радио, 1971. - 416 с.

2. Ахманов С.Я., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. - М.: Наука, 1981. - 640 с.

3. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. : Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. - 464 с.

4. Бассвиль М., Вилски А., Банвентист А. и др. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем / Под ред. Бассвиль М., Бан-вентиста А.М. - М.: Мир, 1989. - 278 с.

5. Богданович В.А., Вострецов А.Г. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов. - М.: Физматлит, 2004. - 320 с.

6. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.: Сов. радио, 1971. - 326 с.

7. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. - М.: Сов. радио, 1960. - 448 с.

8. Ван-дер-Зил А. Шум (источники, описание, измерение). : Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1973. - 228 с.

9. Ван-Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. : Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1972. - Т.1. - 744 с.

10.Ван-Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. : Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1977. - Т.3 - 644 с.

11. Ванжа А. В., Силаев А. М. Оптимальное оценивание импульсных сигналов со случайными амплитудами и моментами появления // Изв. вузов. Радиофизика. - Т.38. - 1995. - № 12. - С. 1257-1266.

12.Васильев К.К. Прием сигналов при мультипликативных помехах. - Саратов: изд. СГУ, 1983. - 128 с.

13.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 480 с.

14.Возенкрафт Дж., Джекобс И. Теоретические основы техники связи. -М.: Мир, 1969. - 640 с.

15.Волновые и флуктуационные процессы в лазерах / Под ред. Ю.Л. Кли-монтовича. - М.: Наука, 1974. - 416 с.

16.Волохатюк В.А., Кочетков В.М., Красовский Р.Р. Вопросы оптической локации. - М.: Сов. радио, 1971. - 256 с.

17.Вопросы статистической теории радиолокации / П. А. Бакут, И. А. Большаков, Б.М. Герасимов и др.; Под ред. Г.П. Тартаковского. - М.: Сов. радио, 1963. - Т.1. - 426 с.

18.Галун С. А. Применение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для анализа обработки разрывных сигналов // Прикладная математика и механика. - Саратов: СГУ, 1983. - С. 75-87.

19.Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. - М.: Наука, 1978. -295 с.

20.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1962. - 1100 с.

21.Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуа-ционных помехах. - М.: Сов. радио, 1972. - 447 с.

22.Дианов А.П., Митяшев Б.Н. О точности измерения временного положения импульсного сигнала // Радиофизические методы обработки сигналов. - М.: МФТИ, 1983. - С. 27-30.

23.Дмитриев А.С., Емец С.В., Старков С.О. Высокоскоростная передача цифровых данных с использованием динамического хаоса // Радиотехника и электроника. - Т.44. - 1999. - № 3. - С. 324-329.

24.Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Максимов Н.А. и др. Перспективы создания прямохаотических систем связи в радио и СВЧ диапазонах // Радиотехника. - 2000. - № 3. - С. 9-20.

25. Дуб Дж. Вероятностные процессы. - М.: Госиниздат, 1956. - 605 с.

26.Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982. - 296 с.

27.Жиглявский А.А., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. - Л.: ЛГУ, 1988. - 224 с.

28.Захаров А.В. Оптимизация алгоритма обнаружения флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным временем прихода // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. -2005. - № 1. - С. 46-56.

29.Зубкович С.Г. Статистические характеристики радиосигналов, отраженных от земной поверхности. - М.: Сов. радио, 1968. - 224 с.

30.Зюко А.Г. , Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. - М.: Радио и связь, 2001. -368 с.

31.Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979. - 528 с.

32.Иммореев И.Я. Сверхширокополосные радары. Особенности и возможности // Радиотехника и электроника. - 2009. - № 1. - С. 5-31.

33.Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. - М.: Техносфера, 2007. - 488 с.

34.Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. - М.: Сов. радио, 1973. - 231 с.

35.Калинин В.И. Спектральная модуляция широкополосных шумовых сигналов // Радиотехника и электроника. - 1996. - Т.41. - № 4. - С. 488493.

36.Калинин В.И., Чапурский В.В. Сверхширокополосная шумовая радиолокация на основе антенных решеток с рециркуляцией сигналов // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т. 53. - №10. - С. 1266-1277.

37.Капранов М.В., Томашевский А.И. Система скрытой связи с использованием корреляционного приема и синхронного хаотического отклика //

Электромагнитные волны и электронные системы. - 2003. - Т.8. - № 3. - С. 35-48.

38.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. -М.: Наука, 1984. - 831 с.

39.Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. : Пер. с англ. - М.: Мир, 1969. - 400 с.

40.Кремер И.Я., Владимиров В.И., Карпухин В.И. Модулирующие помехи и прием радиосигналов. - М.: Сов. радио, 1972. - 480 с.

41. Куликов Е.И. Методы измерения случайных процессов. - М.: Радио и связь, 1986. - 272 с.

42.Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. - М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.

43.Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 376 с.

44.Куприянов А.И., Сахаров А.В. Радиоэлектронные системы в информационном конфликте. - М.: Вузовская книга, 2003. - 528 с.

45. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.1. -М.: Сов. Радио, 1969. - 752 с.

46.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.2. -М.: Сов. Радио, 1975. - 392 с.

47. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.3. -М.: Сов. Радио, 1976. - 288 с.

48.Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. - М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

49.Липкин И. А. Статистическая радиотехника. Теория информации и кодирования. - М.: Вузовская книга, 2002. - 216 с.

50.Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. - М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.

51.Марченко Б.Г. Метод статистических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике. - Киев: Наукова думка, 1973. - 192 с.

52.Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. : Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1961. - Т.1. - 782 с.

53.Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи.: Пер. с англ. -М.: Сов. радио, 1962. - Т.2. - 830 с.

54.Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. - М.: Энергия, 1972. - 456 с.

55.Митяшев Б.Н. Определение временного положения импульсов при наличии помех. - М.: Сов. радио, 1962. - 200 с.

56.Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем. - М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

57.Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. - М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

58.Полляк Ю.Г., Филимонов В.А. Статистическое машинное моделирование средств связи. - М.: Радио и связь, 1988. - 176 с.

59.Прикладная теория случайных процессов и полей / Васильев К.К., Дра-ган Я.П., Казаков В.А. и др.; Под ред. Васильева К.К., Омельченко В.А. - Ульяновск: УлГТУ, 1995. - 256 с.

60.Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. - М.: Сов. радио, 1977. - 432 с.

61.Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Случайные процессы. - М.: Наука, 1976. - Т.1. - 496 с.

62.Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. - М.: Сов. радио, 1978. - 320 с.

63.Справочник по радиолокации в 4-х т. : Пер. с англ. - Т.1 / Под ред. Я.С. Ицхоки. - М.: Сов. радио, 1976. - 456 с.

64.Справочник по радиолокации в 4-х т. : Пер. с англ. - Т.2 / Под ред. П.И. Дудника. - М.: Сов. радио, 1977. - 408 с.

65.Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

66. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники в 2-х т. - Т.2 / Под ред. Б.Х. Кривицкого. - М.: Энергия, 1977. - 472 с.

67.Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1961. - 560 с.

68.Тартаковский Г.П. Синтез приемника световых сигналов при гетероди-нировании света // Проблемы передачи информации. - Т.1. - Вып. 3, 1965. - С. 56-70.

69.Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. - М.: Наука, 1967. - 548 с.

70. Теоретические основы радиолокации / Под ред. Я.Д.Ширмана. - М.: Сов. радио, 1970. - 560 с.

71.Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; Под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

72.Терентьев А.С. Распределение вероятности временного положения абсолютного максимума на выходе согласованного фильтра // Радиотехника и электроника. - 1968. - Т.13. - №4. - С. 652-657.

73.Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

74.Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

75. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. - М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.

76.Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

77. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. - М.: Радио и связь, 2004. - 608 с.

78.Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. - М.: Наука, 1987. - 340 с.

79.Трифонов А.П. Квазистационарные случайные процессы и их анализ // Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов. Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции. - Киев: КИИГА, 1988. - С. 100-101.

80. Трифонов А.П. Прием разрывного квазидетерминированного сигнала на фоне гауссовской помехи // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1978. - № 4. - С. 146-153.

81.Трифонов А.П. Прием разрывного радиосигнала на фоне белого шума // Радиотехника и электроника. - 1979. - Т. 24. - № 11. - С. 2226-2234.

82. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Выбор числа каналов при оценке параметра сигнала на фоне помех // Радиотехника. - 1981, Т. 36. - №4. - С. 56-58.

83. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Совместная оценка двух параметров разрывного сигнала на фоне белого шума. // Радиотехника и электроника. -1989, Т. 34. - №11. С. 2323-2329.

84. Трифонов А.П., Бутейко В.К., Захаров А.В. Совместная оценка задержки и длительности сигнала при наличии модулирующей помехи // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. - 1990. - Т.33. - №4. - С. 89-91.

85.Трифонов А. П., Галун С. А. Требования к точности тактовой синхронизации при использовании ШИМ // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. - 1980. - Т.23. - №7. - С.37-43.

86. Трифонов А.П., Захаров А.В. Прием сигнала с неизвестной временной задержкой при наличии модулирующей помехи // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. - 1986. - Т.29. - №4. - С 36-41.

87. Трифонов А.П., Захаров А.В. Оценка задержки сигнала при неизвестных параметрах модулирующей помехи // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. - 1988. - Т.31. - №1. - С. 24-28.

88.Трифонов А.П., Захаров А.В. Теоретическое и экспериментальное исследование оценок параметров случайного сигнала с неизвестными моментами появления и исчезновения // Радиотехника и электроника. -1996. - Т.41. - №8. - С. 972-978.

89.Трифонов А.П., Захаров А.В. Прием стохастического сигнала с неизвестными моментами появления и исчезновения // Изв. вузов. Радиофизика. - 2008. - Т.51. - №8. - С. 717-729.

90. Трифонов А.П., Захаров А.В., Парфенов В.И. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами // Радиотехника и электроника. - 1991. - Т.36. - №7. - С. 1300-1308.

91.Трифонов А.П., Захаров А.В., Чернояров О.В. Оценка дисперсии случайного импульса с неизвестным временем прихода // Радиотехника и электроника. - 1996. - Т.41. - №10. - С. 1207-1210.

92.Трифонов А.П., Захаров А.В., Чернояров О.В. Пороговые характеристики квазиправдоподобной оценки времени прихода случайного радиоимпульса // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1998. - Т.41. - №10. -С. 18-28.

93.Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. - Воронеж: ВГУ, 1991. -246 с.

94. Трифонов А.П., Парфенов В.И. Импульсная частотно-временная модуляция шумовой несущей // Радиотехника и электроника. - 1988. - Т.33. - №1. - С. 87-95.

95.Трифонов А.П., Парфенов В.И. Теоретическое и экспериментальное исследование приемника максимального правдоподобия случайного им-

пульса с неизвестным временем прихода // Радиотехника и электроника. - 1998. - Т.43. - №7. - С. 828-834.

96.Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. - М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

97.Фалькович С.Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне флуктуа-ционных помех. - М.: Сов. радио, 1961. - 312 с.

98.Фалькович С.Е. Оценка параметров сигнала. - М.: Сов. радио, 1970. -334 с.

99.Фалькович С.Е., Хомяков Э.Н. Статистическая теория измерительных радиосистем. - М.: Радио и связь, 1981. - 288 с.

100. Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977. - 368 с.

101. Фельдман Ю.И., Мандуровский И. А. Теория флуктуаций локационных сигналов, отраженных распределенными целями. - М.: Радио и связь, 1988. - 272 с.

102. Фомин А.Ф. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений. - М.: Сов. радио, 1975. - 352 с.

103. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 279 с.

104. Харкевич А.А. Передача сигналов, модулированных шумом. Избранные труды. Т.2. - М.: Наука, 1973. - 566 с.

105. Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: Физматгиз, 1952. - 191 с.

106. Чернояров О.В. Оценка времени прихода и дисперсии случайного импульса с неизвестной центральной частотой // Труды научно-практ. конф. «Управление созданием и развитием систем, сетей и устройств телекоммуникаций» - СПб.: СПбГТУ, 2008. - С. 185-204.

107. Чернояров О.В. Статистический анализ помехоустойчивого алгоритма обработки случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами // Антенно-фидерные устройства. Системы и средства радиосвязи. - Т.1. - Воронеж: ВГУ, 1997. - С. 65-74.

108. Чернояров О.В. Статистический анализ случайных импульсных сигналов на фоне белой и коррелированной помех с неизвестными интен-сивностями // Инфокоммуникационные системы и технологии: проблемы и перспективы / Под ред. А.В. Бабкина. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. - С. 185-247.

109. Чернояров О.В. Статистический анализ случайных импульсных сигналов на фоне белой и коррелированной помех в условиях параметрической априорной неопределенности // Моделирование развития информационно-телекоммуникационных систем / Под ред. А.В.Бабкина -СПб.: Изд-во «Синтез Бук», 2009. - С. 79-145.

110. Чернояров О.В. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами при расстройке по длительности // Телекоммуникации. - 2010. - № 6. - С. 39-48.

111. T.F. Ayoub, A.M. Haimovich Modified GLRT signal detection algorithm // IEEE Trans. Aerosp. and Electron. Syst. - 2000. - V. 36. - № 3. - P. 810818.

112. Harrison H. Barrett, Craig K. Abbey Bayesian detection of random signals on random backgrounds // Proceedings of 15th International Conference "Information Processing in Medical Imaging". - Publisher: Springer Berlin/Heidelberg, 1997. - V. 1230/1997. - pp. 155-166.

113. J.F. Barret, D.G. Lampard An expansion for some second-order probability distributions and its application to noise problem. // IRE Trans. - 1955. -V. IT-1. - № 1. - P. 10-15.

114. V.E. Cherm, N.N. Zernov, S.M. Radicella, H.J. Strangeways Propagation model for signal fluctuations on transionospheric radio links // Radio Sci. -2000. - V. 35. - № 5. - P. 1221-1232.

115. Chernoyarov O.V., Sai Si Thu Min, Guseva Yu.A., Shakhtarin B.I., Ar-temenko A.A. Application of the Local Markov Approximation Method for the Analysis of Information Processes Processing Algorithms with Unknown

Discontinuous Parameters under Violation of the Consistency Property of Their Estimates // Applied Mathematical Sciences, vol. 8, 2014, no. 126, pp. 6267-6294.

116. Chernoyarov O.V., Sai Si Thu Min, Salnikova A.V., Shakhtarin B.I., Ar-temenko A.A. Application of the Local Markov Approximation Method for the Analysis of Information Processes Processing Algorithms with Unknown Discontinuous Parameters // Applied Mathematical Sciences, vol. 8, 2014, no. 90, pp. 4469-4496.

117. Y. Deville, S. Robbin A feature extraction method for convolutively mixed signals with applications to power estimation // Applied Sig. Process. - 1999. - V. 6. - № 1. - P. 2-12.

118. Digital signal processing laboratory using the ADSP-2101 microcomputer / Published by Prentice-Hall, Inc., 1991. - 300 p.

119. J. Durbin The first-passage density of a continuous Gaussian process to a general boundary // J. Appl. Probab. - 1985. - V.22. - №1. - P. 99-122.

120. L. Favella, M.T. Reineri, L.M. Ricciardi, L. Sacerdote First passage time problems and some related computational methods // Cybernet. And Syst. -1982. - V.13. - P. 95-128.

121. B.R. Frieden Probability, Statistical Optics and Data Testing. - 2nd ed. -Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1991. - 444 p.

122. Shalab Gupta, T.R. Brown Noice-Correlating Radar Based on Retrodirec-tive Antennas. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. -2007. - V. 43. - № 2 (April). - P.472-479.

123. C.W. Helstrom Markov processes and their applications // Communication theory. - New York, 1968. - Ch. 2. - P. 26-86.

124. C.W. Helstrom Elements of Signal Detection and Estimation. - Publisher: Prentice-Hall, 1994. - 586 p.

125. M.J. Hinich Detecting randomly modulated pulses in noise // Signal Processing. - 2003. - V. 83. - № 6. - P. 1349-1352.

126. W.C. Hoffman The joint distribution on n succeessive outputs of a linear detectors // J. Appl. Phys. - 1954. - V.25. - № 8. - P. 1006-1007.

127. Jordan P.M., Puri A. Digital signal propagation in dispersive media // J. Appl. Phys. - 1999. - V. 85. - № 3. - P. 1273-1282.

128. T. Kailath Some integral equations with nonrational kernals // IEEE Trans. - 1966. - V. IT-12. - № 4. - P. 442-447.

129. S. Kay Adaptive detection for unknown noise power spectral densities // IEEE Trans. Signal Prosess. - 1999. - V. 47. - № 1. - P. 10-21.

130. J.A. McFadden On a class of Gaussian process for which the mean rate of crossing is infinite. - J. Roy. Statist. Soc. Ser. B. - 1967. - V.29 - №. 3 - P. 489-502.

131. C.B. Mehr, J.A. McFadden Certain properties of Gaussian processes and their first passage times // J. Roy. Statist. Soc. Ser. B. - 1965. - V.27. - № 3. - P. 505-522.

132. D. Middleton, R. Esposito Simultaneous optimum detection and estimation of signals in noise // IEEE Trans. - 1968. - V. IT-4. - № 3. - P. 434444.

133. S.L. Miller, D. Childers Probability and Random Processes: With Applications to Signal Processing and Communications. - Publisher: Elsevier, 2004. - 552 p.

134. K. Murali, H. Leung, H. Yu Design of noncoherent receiver for analog spread-spectrum communication based on chaotic masking // IEEE Trans. Circuits Syst. I. - 2003. - V.50. - № 3. - P. 432-441.

135. J. Pickands Upcrossing probabilities for stationary Gaussian process // Trans. Amer. Math. Soc. - 1969. - V.145. - № 11. - P. 51-73.

136. C. Qualls, H. Watanabe Asymptotic properties of Gaussian processes // Ann. On Math. Statist. - 1972. - V.3. - № 2. - P. 580-596.

137. A.H. Quazi An overview on the time delay estimate in active and passive systems for target localization // IEEE Trans. - 1981. - V. ASSP-29. - № 6.

- P. 527-533.

138. M. Sampietro, G. Accomando, L.G. Fasoli, G. Ferrari, E.C. Gatti High sensitivity noise measurement with a correlation spectrum analyzer // IEEE Trans. Instrum and Meas. - 2000. - V.49. - № 4. - P. 820-822.

139. D. Slepian First passage time for a particular Gaussian process // Ann. Statist. - 1961. - V.32. - № 2. - P. 610-612.

140. K. Sharpe Some properties of the crossing process generated by a stationary process // Adv. Appl. Probab. - 1978. - V.10. - № 2. - P. 373-391.

141. L.A. Shepp Radon-Nykodym derivaties of Gaussian measures // Ann. Math. Statist. - 1966. - V.37. - № 4 - P. 321-354.

142. D. Siegmund Boundary crossing probabilities and statistical applications // Ann. Statist. - 1986. - V.14. - № 2. - P. 361-404.

143. Henry Stark, John W. Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing. - 3rd ed. - Publisher: Prentice-Hall, 2002.

- 699 p.

144. Y. Sung, L. Tong, V. Poor Neyman-Pearson Detection of Gauss-Markov Signals in Noise: Closed-Form Error Exponent and Properties // IEEE Trans.

- 2006. - V. IT-52. - № 4. - P. 1354-1365.

145. Tianxing C. Signal processing of high-noisy chaotic data // Phys. Scr. -2000. - V. 61. - № 1. - P. 46-48.

146. A. Torokhti, P. Howlett, C. Pearce Optimal estimation of a random signal from partially missed data // 14th European Signal Processing Conference (EUSIPCO 2006), Florence, Italy, September 4-8, 2006 / http://www.eurasip.org/Proceedings/Eusipco/Eusipco2006/papers/15689821 08.pdf

147. Roy D. Yates, David J. Goodman Probability and Stochastic Processes. -2nd ed. - Publisher: Wiley, John & Sons, Incorporated, 204. - 592 p.

148. Yong Wu, A.R. Leyman Time delay estimation in unknown spatially uncorrected Gaussian noises using higher-order statistics // Proceedings of the Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP), 1999. - V. 5. - P.2813-2816, copyright by IEEE Computer Society Washington, DC, USA.

149. Чернояров О.В., Розанов А.Е. Квазиоптимальные оценки времени прихода и дисперсии случайного импульсного сигнала с произвольной модулирующей функцией // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия "Информатика. Телекоммуникации. Управление". - 2010. - № 5(108). - С. 40-48.

150. Розанов А.Е., Сальникова А.В. Моделирование алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с произвольной модулирующей функцией на фоне помех // IV Всероссийская научно-техническая конференция "Радиолокация и связь". Доклады. - М.: Информпресс-94, 2010. - С. 227-231.

151. Розанов А.Е., Сальникова А.В. Квазиправдоподобная оценка временного и энергетического параметров высокочастотного случайного импульса с произвольной модулирующей функцией // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: XVII Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тез. докл. Т.1. - М.: Изд. дом МЭИ, 2011. - С. 72-73.

152. Розанов А.Е. Оптимальный прием случайного импульсного сигнала с неизвестными моментами появления и исчезновения // Московская молодёжная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике - 2012». Сборник тезисов докладов. - М.: ООО «Принт-салон». - С. 122-123.

153. Розанов А.Е. Квазиоптимальный приемник импульсного сигнала с неизвестным моментом появления и неточно известной длительностью при наличии аддитивных и мультипликативных искажений // Междуна-

родная научно-техническая конференция "Наука и образование - 2012".

- Мурманск: МГТУ, 2012. - С. 1137-1141.

154. Чернояров О.В., Розанов А.Е. Оценка времени прихода случайного импульса с огибающей произвольной формы при неточно известной длительности // Труды РНТОРЭС им. А.С. Попова, серия: Научная сессия, посвященная дню радио. - Выпуск: LXVII. - Москва: ООО «Инфо-рипресс-94», 2012. - С. 400-404.

155. Розанов А.Е. Моделирование алгоритмов выделения информационных сигналов на фоне аддитивных помех // XV Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям / Сборник докладов. - Т.1.

- СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. - С. 129-133.

156. Чернояров О.В., Розанов А.Е. Квазиоптимальный приемник низкочастотного случайного импульса с неизвестными временными параметрами // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения / Материалы Международной научно-тех-нической конференции «INTERMATIC - 2012». - Часть 5. - М.: МГТУ МИРЭА - ИРЭ РАН, 2012. - С. 91-94.

157. Chernoyarov O.V., Rozanov A.E., Vaculik M. A new calculation technique of characteristics of multichannel measurer // Science Journal of Circuits, Systems and Signal Processing, vol. 2, No. 3, 2013, pp. 78-84.

158. Розанов А.Е., Куприянова Я.А., Капунцов Д.Д. Квазиоптимальные оценки времени прихода и дисперсии случайного импульса с огибающей произвольной формы и неизвестной центральной частотой // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения / Материалы Международной научно-тех-нической конференции «INTERMATIC - 2013». - Часть 4. - М.: Энергоатомиздат, 2013. - С. 57-60.

159. Чернояров О.В., Розанов А.Е., Сальникова А.В. Квазиправдоподобная оценка времени прихода случайного импульса с огибающей произ-

вольной формы и неточно известной длительностью // Радиотехника. -2013. - № 10. - С. 65-70.

160. Шепелев Д.Н., Розанов А.Е., Куприянова Я.А. Байесовская и максимально-правдоподобная оценки времени прихода случайного импульсного сигнала с огибающей произвольной формы // Вестник Московского энергетического института. - 2013. - № 6. - С. 203-210.

161. Розанов А.Е. Обнаружение случайного импульса с неизвестными временными параметрами // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: XX Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тез. докл. Т.1. - М.: Изд. дом МЭИ, 2014. - С. 125.

162. Chernoyarov O.V., Salnikova A.V., Rozanov A.E., Shakhtarin B.I. Threshold Characteristics of the Appearance Time Estimate of the Random Radio Pulse with Free-form Envelope and Inaccuracy Unknown Duration // Proceeding of the 10th International Conference "ELEKTRO 2014". - Slovakia, University of Zilina, 2014. - P. 52-57.

163. Chernoyarov O.V., Salnikova A.V., Rozanov A.E., Marcokova M. Statistical Characteristics of the Magnitude and Location of the Greatest Maximum of Markov Random Process with Piecewise Constant Drift and Diffusion Coefficients // Applied Mathematical Sciences, vol. 8, 2014, no. 147, pp. 73417357.

164. Чернояров О.В., Розанов А.Е., Дашян С. Обнаружение случайного импульса с огибающей произвольной формы и неизвестным временем прихода // Вестник Московского энергетического института. - 2015. -№ 2. - С. 98-102.

165. Розанов А.Е., Макаров А.А. Оценка дисперсии случайного импульса с неизвестными частотно-временными параметрами // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: XXI Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тез. докл. Т.1. - М.: Изд. дом МЭИ, 2015. - С. 78.

Приложение

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕЛИЧИНЫ И ПОЛОЖЕНИЯ АБСОЛЮТНОГО МАКСИМУМА МАРКОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С КУСОЧНО ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

СНОСА И ДИФФУЗИИ

В ряде практических приложений теории информации необходимо определять величину (например, при обнаружении полезного сигнала в реализации наблюдаемых данных) и положение (например, при оценке информативного параметра по реализации наблюдаемых данных) наибольшего максимума марковского случайного процесса диффузионного типа с кусочно постоянными коэффициентами сноса и диффузии, а также рассчитывать их статистические характеристики [59,93,96,116 и др.]. Часто такая задача имеет место при статистическом анализе квазидетерминиро-ванных или случайных процессов, некоторые характеристики которых описываются ступенчатыми функциями, на фоне помех. В литературе такие процессы принято называть разрывными [59,93,96].

Итак, пусть марковский случайный процесс у(х), заданный на отрезке х е [ХЬХ2 ], обладает коэффициентом сноса

Г а1 , Х1 < х < х0 , К1 = ] Ь 1 < х0 , (П.1)

[- а2 , хо < х < Х2 ,

и коэффициентом диффузии

Г Ь , Х1 < х < х0 , К2 = \ 1 1 0 (П.2)

[ Ь2 , х0 < х < Х2 .

Здесь а^, Ь^, {= 1,2 - положительные константы, х0 - внутренняя точка отрезка [ХЬХ2 ].

Обозначим как

Y = sup y(x), xm = argsup y(x) (П.3)

X1<x<X2 X1<x<X2

- соответственно величину и положение наибольшего максимума случайного процесса y(x) на отрезке [Xj,X2 ]. Необходимо найти статистические характеристики (функции распределения, плотности вероятности и моменты) случайных величин Y и xm (П.3). С этой целью введем в рассмотрение двумерную функцию распределения величины наибольшего максимума процесса y(x):

F2 (u,v,X )= P

sup y(x) < u, sup y(x) < v

X1<x<X X<x<X2

(П.4)

Нетрудно видеть, что искомые функции распределения случайных величин (П.3) могут быть выражены через функцию распределения (П.4), как

Бу (И) = Р[У < И] = (И,И,Х2), (П.5)

Fx(X)= P[xm < X] = J

"aF2 (u,v,X)

au v=u _

du.

(П.6)

Для совместной плотности вероятности величины и положения наибольшего максимума случайного процесса у(х) справедливо выражение

w

(u,X )

а

aX

aF2 (u,v,X)

au

(П.7)

v=u

Интегрируя плотность вероятности (и,Х) по первому аргументу в бесконечных пределах, можно получить плотность вероятности положения наибольшего максимума марковского случайного процесса у(х):

'ар2 (и,у,Х)"

■л

Wx(X)= Jw(u,X)du = — J

aX

au

du.

(П.8)

v=u

(очевидно, аналогичный результат получается при дифференцировании выражения (П.6) по переменной X). Следовательно, для вычисления искомых распределений величины и положения наибольшего максимума мар-

—да

—да

—да

ковского случайного процесса необходимо найти функцию (П.4). Для этого введем вспомогательный случайный процесс

и - у(х) , Х1 < х < Х

(\ и. у \ /V / . ^ л ,

х Н /ч 1 (П.9)

7 'у - у(х) , Х < х < Х2 ,

и перепишем выражение (П.4) в виде

Б2 (и,у,Х ) = Р

Бир 2(х ) > 0

Х1<х <Х2

(П.10)

Согласно (П.1), (П.22), (П.9) случайный процесс 2(х) является марковским с коэффициентами сноса К^ и диффузии К22

= . а, ^х^, к2г = 1 Ь1 • Х1<х <<Х0 - (П.11)

[ а2 , х0 < х < Х2 , I Ь2 , х0 < х < Х2 .

Тогда для вероятности (П.10) можно записать [76]

да

Б2 (и,У,Х )={ w (7,Х2 )(Ь, (П.12)

0

где w) - одномерная плотность вероятности реализаций случайного процесса 2(х), ни разу не достигших границ z = 0 и z = да на интервале [Х1,х ].

В силу марковских свойств процесса ъ(х) функция w(ъ,х) может быть найдена как решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [76]:

-А [Klzw(z,x)]-[K2zw(z,x)] = 0. (П.13)

Ох ОZ 2 Оz

при начальном условии

w (^х )= w (z,X1) (П.14)

и граничных условиях

w (0,х ) = w (да,х )= 0. (П.15)

Здесь w (z,Xi) - плотность вероятности случайной величины z(Xi) = u - y(Xi). Обозначим wq(y) - плотность вероятности случайной величины y(Xi). Тогда

w (z,X1 )= w0 (u - z). (П.16)

Поскольку коэффициенты сноса и диффузии (П.11) изменяются скачком при x = Xq, решение уравнения (П.13) будем искать отдельно для X < Xq и X > Xq. Пусть сначала X < xq . Найдем решения (П.13) последовательно на отрезках [X^X], [X,Xq], [xq,X2]. С этой целью выполним замену переменных

w(z,x) = U(z,x)exp(K1z^K2z - ), (П.17)

U(z,x ) = w (z,x )exp(- K1z^K2z + ^/2^), (П.18)

которая при постоянных коэффициентах сноса и диффузии приводит уравнение (П.13) для введенной функции U(z,x) (П.17) к каноническому виду [76]

au(z,x )ax = (K2z/2) а 2u(z,x )/az2. (П.19)

Согласно (П.14), (П.15), (П.18) начальные и граничные условия для уравнения (П.19) запишем как

U(z,X1 )= w (z,X1 )exp(- K1Z^K2Z + K^/^), (П.20) U(0,x )= U(«,x )= 0. (П.21)

Методы решения уравнения (П.19) подробно изложены в [76]. Используя результаты [76], для функции U(z,x) с учетом (П.20), (П.21) можем записать

1 да

U(z, x) = ( = J U(^,X1) X[z, ^,K2z (x - X1)], (П.22)

V2^K2z (x - X1)

где обозначено

X(x1,x2,x3 )= exP-(x1 - x2 )2/2x3 - exP-(x1 + x2 )2/2x3

Подставляя (П.20) в (П.22), а затем (П.22) в (П.17), находим решение уравнения ФПК (П.13) на отрезке х е [Х1,Х]:

w

(^х ) =

,/2^ (х - Х1)

ехр

K2z (х - Х1)

2К

2z

X

X

Iw (,Х1 )ехр

К

1z

К

z)

2z

(П.23)

x[z,(х - Х1 )]

Учитывая (П.11), перепишем последнее выражение в виде - а2 (х - Х1Ж

w

(z,x ) =

ехр

л/^ьКХЦ

I w(^,Xl )ехр

V ((- z) Ь1

хЬ (х - Х1)].

(П.24)

Используем (П.24) при х = Х как начальное условие w) для решения уравнения (П.13) на интервале х е[Х,х0 ]. Согласно (П.9) случайный процесс z(x) при х = Х претерпевает скачок величиной у - и . Следовательно, для удовлетворения свойства непрерывности плотности вероят-

ности w

(^х)

должно выполняться равенство

w

(z,X + 0)= w(z + и - у,Х - 0)

(П.25)

Тогда с учетом (П.24), (П.25) w (z,X) принимает вид

(z,X ) =

Л/2лЬ1 (X - Х1)

ехр

а2 (X - Х1)

2Ь

X

X I w(4,Х1 )ехр

0

- ^ (-z + у - и ) Ь1

(П.26)

х[z + и - у, 4,ь1 (x - х1 )].

С помощью замены переменных (П.18) приводим уравнение ФПК (П.13) к каноническому виду (П.19) и записываем его решение аналогично (П.22):

1 [ и(^х)= Ь и ( ллЛ ^1,Х)ехр

л/2лЬ1(х - Х )0 I

' 2 ^ а^ а1

Ь1 1 2Ь1

х[z, 41,Ь1(х - Х1 )].

(П.27)

1

1

да

Подставляя (П.26) в (П.27) и возвращаясь согласно (П.17) к плотности вероятности (2,х), получаем решение уравнения ФПК (П.13) на отрезке

х е [х,х0]:

w

дада

(г,х )

1

х

2лЬ1л/ (х - X XX - Х1)

г \ а

ехр

(х - Х1)-а1 ( + и - у) 2Ьх Ь/ 7

х

0 0

V Ь1 У

|^(,Х1 )ехр -1 % х[ + и - у, (Х - Х1 )][, (х - Х )]]

(П.28)

Используя далее (П.28) в точке х = хо как начальное условие для решения уравнения (П.13), (П.19) на интервале [хо,Х2 ], аналогично (П.27) с учетом изменения коэффициентов сноса и диффузии (П.11) находим выражение для функции и(2,х):

1 да

и(2,х)= Ь и ( Л ^%2,х0) ехР

л/2лЬ2 (х - х0 ) 0

' 2 ^ Ь2 2Ь2 0

Х[^2,Ь2(х - х0)]2.

(П.29)

Подставляя теперь (П.28) при х = х0 в (П.29), а затем (П.29) в (П.17), для плотности вероятности w(2,х) на отрезке х е [х0,Х2] имеем

w

(2,х )

ехр

- а1(и - у))Ь1 + а22/Ь2 - а12(х0 - Х1 )2Ь1 - а2 (х - х0 )2Ь2

х - х0Лх0

- X )Х - Х1)

х

х

(^,Х1 )ехр

0 0 0

а! %

Ьх

г \

а+.а!

ЧЬ1 Ь2 У

% 2

х[%1 + и - у,%,Ь1 (X - Х1)]

х

х

Х[%2,%1,Ь1 (х0 - X)][,%2,Ь2(х - х02 .

(П.30)

Аналогичным образом найдем теперь решение уравнения (П.13) при X > х0 последовательно на отрезках [Хьх0], [х0,Х], [Х,Х2]. Нетрудно видеть, что решение на первом отрезке [Хьх0 ] совпадает с (П.24). Положив в (П.24) х = х0, получаем начальное условие для плотности вероятно-

сти w) (П.13) на отрезке [х0,Х]. С помощью замены переменных (П.18) приводим уравнение ФПК (П.13) к каноническому виду (П.19) и записываем его решение аналогично (П.22) с учетом (П.20):

1

да

и^,х ) =

л/2^Ь2 (х - х0)

I Ц41,х0 )ехр

- ^ 41 + _а1х0

Ь2 2Ь2

V 2 2 У

X[z, 41,Ь2 (х - х0 )]]1

(П.31)

Подставляя (П.24) при х = х0 в (П.31) и возвращаясь на основе (П.17) к плотности вероятности w ), получаем решение уравнения ФПК (П.13) на отрезке х е [х0,Х]:

х ехр

w ) = а1

ехр

- а2 (х0 - Х1 )2Ь1 - а2 (х - х0 )2Ь2 I да? (4 Х \

о, /к к и V V.. „ \- ^(4,Х1)

Ь

-4

г Л

а1 + а2

1

V Ь1 Ь2 У

Ь1Ь2(х0 - Х1Xх - х0 ) 00

х[,4,Ь1 (х0 - Х1 ^хК 41,Ь2 (х - х0) ((4(41 .

41 + Ь^ Ь2

(П.32)

Используем (П.32) при х = X как начальное условие для решения уравнения (П.13) на интервале х е [Х,Х2 ] с учетом скачкообразного изменения случайного процесса z(x) на величину у - и в точке х = X, т.е. выполнения соотношения (П.25). Тогда аналогично (П.31) решение уравнения (П.19) при х е [Х,Х2 ] может быть записано в виде

1 ^

и^,х)= . Iw(42 + и - у,Х)х