Разработка и исследование быстродействующих алгоритмов отображения информации в растровых графических телевизионных устройствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Юрин, Олег Валерьевич

• Юрин, Олег Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Юрин, Олег Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ И АППАРАТНЫХ СРЕДСТВ ОТОБРА- 9 ЖЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В РАСТРОВЫХ ГРАФИЧЕСКИХ ДИСПЛЕЯХ

1.1 Архитектуры и аппаратные средства растровых графических дис- 9 плеев

1.2 Обзор и анализ алгоритмов растровой развёртки плоских кривых

1.2.1 Цифровые дифференциальные анализаторы

1.2.2 Структурные алгоритмы растровой развёртки отрезков прямых

1.2.3 Пошаговые алгоритмы

1.2.4 Повышение быстродействия растровой развёртки отрезков прямых

1.3 Обзор и анализ быстродействующих алгоритмов вычисления эле- 27 ментарных функций

Выводы по главе

2 РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ 33 АЛГОРИТМОВ РАСТРОВОЙ РАЗВЁРТКИ ОТРЕЗКОВ ПРЯМЫХ

2.1 Анализ интегральных характеристик погрешности растровых ап- 36 проксимаций отрезков прямых'

2.2 Оценка производительности двух- и двух/трёхшагового алгоритмов

2.3 Оптимизация 4-шагового алгоритма Гилла

2.4 Наращивание длины шага 4-шагового алгоритма Гилла

2.5 Разработка алгоритмов с шагом переменной длины не менее N

2.6 Сравнительный анализ алгоритмов с постоянной и переменной дли- 77 ной шага

2.7 Программная реализация и оценка производительности алгоритмов 81 Выводы по главе

3 РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ 86 АЛГОРИТМОВ РАСТРОВОЙ РАЗВЁРТКИ ДУГ ОКРУЖНОСТЕЙ

3.1 Анализ дискретных дефектов в растровых аппроксимациях окруж- 87 ностей

3.2 Оценка производительности пошаговых алгоритмов

3.3 Растровая развёртка плоских кривых с использованием шага пере- 98 менной длины

3.4 Разработка и анализ одно/двухшагового алгоритма

3.5 Разработка адаптивных алгоритмов

3.6 Оценка числа выполняемых операций адаптивных алгоритмов 128 Выводы по главе

4 РАЗРАБОТКА БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ ВЫ- 142 ЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОТОБРАЖАЕМОЙ ИНФОРМАЦИИ 4.1 Расчёт и анализ погрешности кусочно-линейных табличноалгоритмических преобразователей с умножителем

4.2 Расчёт и анализ погрешности преобразователей с табличным фор- 150 мированием приращений функции

4.3 Численное моделирование алгоритмов 156 Выводы по главе 4 162 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 163 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 165 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Текст программы моделирования таблично- 172 алгоритмического преобразователя с умножителем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование быстродействующих алгоритмов отображения информации в растровых графических телевизионных устройствах»

Актуальность темы

Динамичное развитие информационных технологий, снижение стоимости, энергопотребления, массогабаритных характеристик микропроцессоров и микро-ЭВМ создаёт предпосылки для компьютеризации всех сфер человеческой деятельности. Важным направлением развития цифровой вычислительной техники является компьютерная визуализация информации или машинная графика. Совершенствование технологий производства и сравнительно низкая стоимость цифровых интегральных микросхем обеспечили массовое использование растровых графических телевизионных устройств в качестве средств отображения информации в электронных вычислительных системах различного назначения. К настоящему моменту методы и средства растровой машинной графики находят широкое применение в системах компьютерного моделирования, автоматизированного проектирования, входят в состав различных человеко-машинных интерфейсов. Например, в ряде модернизируемых и разрабатываемых перспективных радиолокационных станций средств ПВО/УВД производится замена индикатора кругового обзора на растровые графические дисплеи [1.4].

Существующие тенденции развития аппаратных средств компьютерных систем показывают, что дальнейшее улучшение технических и пользовательских характеристик растровых дисплеев связывается с увеличением их разрешающей способности и числа элементов разрешения, что приводит к пропорциональному росту затрат на формирование отображаемых образов. Возрастает число задач по обработке и отображению информации, решаемых на программно-алгоритмическом уровне, поэтому для современных растровых устройств отображения информации важное значение имеют эффективные алгоритмы и математическое обеспечение.

Разработке численных методов и алгоритмов растровой графики посвящено большое количество работ как зарубежных, так и отечественных исследователей. Известны работы Д. Брезенхэма, К. By, М. Питтэвэя, П. Стефенсона, Ю. Ситникова, Б. Мартемьянова, П. Вельтмандера и др. Вместе с тем, ряд используемых алгоритмов имеет потенциальные возможности повышения быстродействия при сохранении структуры алгоритма и точностных характеристик результата. Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая задача - повышение эффективности алгоритмов отображения информации растровых графических телевизионных устройств, решение которой способствует улучшению их технических характеристик и условий труда операторов вычислительных систем.

Цели и задачи исследований

Цель исследований заключается в разработке новых и совершенствовании существующих методов и алгоритмов отображения информации, обеспечивающих повышение быстродействия, информативности и разрешающей способности растровых графических телевизионных устройств. В результате выполнения диссертационной работы были решены следующие задачи:

1. Повышено быстродействие существующих и разработаны новые быстродействующие алгоритмы растровой развёртки отрезков прямых.

2. Разработаны общие принципы растровой развёртки плоских кривых с повышенным быстродействием; разработаны быстродействующие алгоритмы растровой развёртки дуг окружностей.

3. Разработаны структуры и методики расчёта быстродействующих таблично-алгоритмических преобразователей для вычисления элементарных функций, требуемых при выполнении геометрических преобразований отображаемой информации.

Методы исследования

В процессе выполнения диссертационной работы использованы методы интегрального/дифференциального исчисления, математической статистики, теории приближения функций, математического моделирования.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработаны алгоритмы растровой развёртки отрезков прямых с шагом переменной длины и оптимальным деревом решений; показано, что по сравнению с известными N- шаговыми алгоритмами, достигается сокращение среднего числа выполняемых операций на 20.40% и размера программного кода на 15.30%.

2. Предложена методика разработки, оптимизации и оценки числа выполняемых операций пошаговых алгоритмов растровой развёртки отрезков прямых.

3. Разработаны общие принципы растровой развёртки плоских кривых с шагом переменной длины, обеспечивающие сокращение числа выполняемых операций за счёт гибкого использования изменений первой производной воспроизводимой кривой.

4. Разработаны быстродействующие алгоритмы растровой развёртки дуг окружностей с шагом переменной длины, в том числе адаптивные алгоритмы, обеспечивающие сокращение числа выполняемых операций на 12.52%.

5. Предложена методика расчёта и взаимной компенсации погрешностей быстродействующих таблично-алгоритмических преобразователей, обеспечивающая минимум аппаратурных затрат при заданной погрешности результата.

6. Разработана структура преобразователя с табличным формированием приращений функции, обеспечивающая повышенное быстродействие за счёт исключения операции умножения.

Практическая значимость полученных результатов заключается в следующем.

1. Разработаны быстродействующие алгоритмы растровой развёртки отрезков прямых и дуг окружностей, обеспечивающие сокращение числа выполняемых управляющих операций и размера программного кода по сравнению с алгоритмами, используемыми в ряде программных продуктов (например, XWin-dow).

2. Предложены таблично-алгоритмические преобразователи, обеспечивающие предельные значения по точности (0,5.0,7 ед. младшего разряда результата), быстродействию и аппаратурным затратам при вычислении элементарных функций.

3. Использование разработанных алгоритмов способствует повышению информативности, разрешающей способности растровых графических дисплеев, сокращению времени ожидания человека-оператора при формировании отображаемой информационной картины, что особенно важно для систем реального времени, в частности, систем отображения радиолокационной информации.

На защиту выносятся результаты теоретических и экспериментальных исследований:

1. Быстродействующие алгоритмы растровой развёртки отрезков прямых с шагом переменной длины и оптимальным деревом решений.

2. Методика разработки и оценки числа выполняемых операций пошаговых алгоритмов растровой развёртки отрезков прямых.

3. Быстродействующие адаптивные алгоритмы растровой развёртки дуг окружностей.

4. Методика расчёта, результаты моделирования быстродействующих кусочно-линейных таблично-алгоритмических преобразователей.

Результаты внедрения

Материалы глав 2 и 4 диссертационной работы использованы в учебном процессе при издании межвузовского учебного пособия [17] в Муромском институте ВлГУ. Материалы диссертационной работы использованы при выполнении следующих НИР с ОАО «Муромский Завод радиоизмерительных приборов» (МЗ РИЛ):

- Исследование технических характеристик и разработка предложений по модернизации составных частей изделия 39Н6. В 6-ти кн. Х.д. НИР. Тема № 2585/01. Муром, МИ ВлГУ, каф. РТ, 2002.

- Исследование методов и алгоритмов первичной и вторичной обработки радиолокационной информации. Х.д. НИР. Тема № 2939/03. Муром, МИ ВлГУ, каф. РТ, 2003.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы внедряются в промышленности при разработке опытных образцов радиолокационных станций на МЗ РИП.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. 33-я Научно-техническая конференция преподавателей, сотрудников и аспирантов Муромского института ВлГУ по итогам работы за 1997 год (Муром, 1997,1 доклад);

2. 34-я Научно-техническая конференция преподавателей, сотрудников и аспирантов Муромского института ВлГУ по итогам работы за 1999 год (Муром, 1999, 1 доклад);

3. III Всероссийская научная конференция 'Применение дистанционных радиофизических методов в исследованиях природной среды' (Муром, 1999 г., 1 доклад);

4. Научно-практическая конференция 'PJIC - 2004' (МЗ РИП, 2004 г., 1 доклад).

Публикации

По тематике диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 8 работ в 6-и общегосударственных журналах различного профиля. Часть материалов изложена в отчетах по НИР и ОКР.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Общий объем работы составляет 195 страница машинописного текста, включая 38 рисунков, 12 таблиц, 24 страницы приложений. Библиография содержит 76 наименований, в том числе 11 работ автора.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Юрин, Олег Валерьевич

4.4 Выводы по главе 4

1. Разработана методика расчёта и взаимной компенсации погрешностей округления/усечения двоичных разрядных сеток операндов для кусочно-линейного таблично-алгоритмического преобразователя с умножителем, позволяющая уменьшить суммарную погрешность дискретного представления операндов до минимально возможных значений.

2. Для структуры с умножителем показано, что по отношению к табличному воспроизведению функции, выигрыш в объёмах используемой памяти возрастает при увеличении числа входных/выходных разрядов п преобразователя и, для яе[16.20], составляет порядка 300.600 раз.

3. Разработана методика расчёта таблично-алгоритмических преобразователей с табличным формированием приращений функции, что позволяет сократить время вычислений за счёт исключения операции умножения. Для структуры с табличным формированием приращений функции разработана методика расчёта и взаимной компенсации составляющих погрешности, обеспечивающая минимальные аппаратурные затраты при заданном значении погрешности результата.

4. Для структуры с табличным формированием приращений функции показано, что по отношению к табличному воспроизведению функции, выигрыш в объёмах используемой памяти возрастает при увеличении числа входных/выходных разрядов п преобразователя. В частности, для функции sin(7ur/2) при и е [ 16. .24] выигрыш составил порядка 10. .200 раз.

5. По результатам компьютерного моделирования преобразователей установлено, что эмпирические значения максимальных погрешностей вычисления функции соответствуют теоретически рассчитанным значениям с точностью до 5. 10%, математическое ожидание погрешности можно уменьшить на порядок и более с использованием корректирующих добавок, а дисперсия погрешности фактически соответствует дисперсии погрешности при табличном воспроизведении функции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена методика оптимизации и оценки числа выполняемых операций известных N- шаговых алгоритмов растровой развёртки отрезков прямых. Показано, в частности, что для N=4 оптимизация обеспечивает сокращение числа выполняемых суммирований на 17%, а числа ветвлений на 28%. Показана избыточность N - шаговых алгоритмов.

2. Разработаны алгоритмы растровой развёртки отрезков прямых с шагом переменной длины и оптимальным сбалансированным деревом решений; показано, что использование шага переменной длины обеспечивает сокращение среднего числа выполняемых операций на 22.32%, числа используемых многошаговых комбинаций на 12.30%.

3. Предложена методика разработки алгоритмов растровой развёртки плоских кривых с использованием переменной длины шага интерполяции. Получаемые таким образом алгоритмы обеспечивают сокращение числа выполняемых операций за счёт гибкого использования изменений значений первой производной воспроизводимой кривой.

4. Разработаны адаптивные алгоритмы растровой развёртки дуг окружностей с шагом переменной длины. Показано, что использование шага переменной длины обеспечивает сокращение сложности алгоритма при сохранении числа выполняемых операций и сокращение числа выполняемых операций при равной сложности алгоритма. По сравнению с известным двухшаговым алгоритмом, при использовании адаптивных алгоритмов число выполняемых управляющих операций сокращается на 12. .52%.

5. Разработаны структуры, методика расчёта и минимизации погрешности для быстродействующих кусочно-линейных таблично-алгоритмических преобразователей, обеспечивающие предельные значения по точности и быстродействию при вычислении элементарных функций. Предложены алгоритмы взаимной компенсации погрешностей при округлении/усечении двоичных разрядных сеток операндов, обеспечивающие повышение точности вычислений и сокращение объёмов используемых таблиц.

6. Разработана структура и методика расчёта таблично-алгоритмического преобразователя с табличным формированием приращений функции, что обеспечивает повышенное быстродействие за счёт исключения операции умножения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Юрин, Олег Валерьевич, 2005 год

1. Клочков В.В. ВИГИ 17: Автоматизированная система ПВО и УВД // Военный парад. Журнал ВПК. 1996 - май - июнь. с. 158-160.

2. Лианозовский комплекс средств УВД // Информационный листок, Изд. ЗАО «ИПП Русполиграф», 1998, 4 с.

3. Система противовоздушной обороны «Триумф» // Экспортный каталог предприятий РАСУ, 2000, с. 12.

4. Унифицированное рабочее место оператора 486РР01 // Информационный листок, ФГУП Муромский завод радиоизмерительных приборов.

5. ICOS Индустриальные компьютерные системы. Каталог продукции. Выпуск 5.0.

6. Клейн М., Морган Г., Аронсон М. Цифровая техника для вычислений и управления: Пер. с англ. М. Изд-во иностр. лит-ры, 1960. - 386 с.

7. У. Ньюмен, Р. Спрулл Основы интерактивной машинной графики: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. - 574 с.

8. Дж. Фоли, А. вэн Дэм Основы интерактивной машинной графики. В 2-х книгах. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 368 с.

9. Д. Роджерс, Дж. Адаме Математические основы машинной графики, пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 604 с.

10. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

11. Воронов А.А. и др. Цифровые аналоги для систем автоматического управления. М.: Л.: АН СССР, 1960. - 196 с.

12. И.С. Березин, Н.П. Жидков Методы вычислений, М.: Издательство физико-математической литературы, 1962, 2т.

13. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова Вычислительные методы для инженеров, М: Высшая шк., 1994.

14. Шауман A.M. Основы машинной арифметики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979,312 с.

15. Чекушкин В.В. Методы построения цифровых интеграторов в генераторах радиально-круговой развертки // Вопросы радиоэлектроники, сер. ОТ 1977, вып. 11, с. 96-99.

16. Чекушкин В.В. Анализ ошибок цифрового интегратора с параллельным переносом // Известия ВУЗов СССР. Приборостроение. 1989, №10, с. 39-43.

17. Чекушкин В.В. Реализация вычислительных процессов в системах управления и контроля. Учебное пособие. Муром.: 2001. - 44 с.

18. Байков В.Д., Вашкевич С.Н. Решение траекторных задач в микропроцессорных системах ЧПУ. Под ред. В.Б. Смолова. JL: Машиностроение, 1986.106 с.

19. Ратмиров В.А. Основы программного управления станками.- М.: Машиностроение, 1978. 240 с.

20. Сосонкин В.Л. Программное управление технологическим оборудованием: Учебник для ВУЗов по специальности "Автоматизация технологических процессов и производств". М.: Машиностроение, 1991. - 512 с.

21. Каштальян И.А., Клевзович В.И. Обработка на станках с числовым программным управлением: Справ, пособие. Мн.: Выш. шк., 1989. - 271с.

22. Бугаевский JI.M. Математическая картография: Учебник для вузов. М.: 1998.-400 е.: ил. 65

23. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1956.

24. Задачи и упражнения по математическому анализу, под ред. Б. П. Демидо-вича, М.: Наука, 1978,480 е., ил.

25. Абель П. Язык Ассемблера для IBM PC и программирования / Пер. с англ. Ю.В. Сальникова. -М.:Высш. Шк., 1992.-447 е.: ил.

26. В. Б. Бродин, И. И. Шагурин, «Микропроцессор i486. Архитектура, программирование, интерфейс», -М.: Диалог МИФИ, 1993.

27. М. С. Whitton Memory design for raster graphics displays // IEEE Computer Graphics and Applications, Vol. 4, No. 3,1984, pp. 48-65.

28. J.H. Clark and M. Hannah Distributed Processing in a High Performance Smart Image Memory // Lambda, Vol.1, No.3,4-th quarter 1980, pp. 40-45.

29. H. Fuchs and J. Poulton Pixel Planes: A VLSI-Oriented Design for a Raster Graphic Engine // A VLSI Design, Vol. 2, No. 3, 3-d quarter 1981, pp. 20-28.

30. Danielson P.-E. Comments on circle generation for display devices // Computer Graphics and Image Processing, 1978, Vol. 7 №2, pp. 300-301.

31. J.E. Bresenham Algorithm for Computer Controle of Digital Plotter // IBM System Journal, 4(1), July 1965, pp. 25-30.

32. P.L. Gardner Modification of Bresenham's Algorithms for Displays // IBM Tech. Disclosure Bull., Oct. 1975, pp. 1595-1596.

33. J. Boothroyd and P.A. Hamilton Exactly Reversible Plotter Paths // Australian Computer J., Vol 2, No. 1,1970, pp. 20-21.

34. J.E. Bresenham Ambiguities in Incremental Line Rastering // IEEE CGA, May, 1987, pp. 31-43.

35. Y. Suenaga, T. Kamae, T. Kobayashi A High-Speed Algorithm for the Generation of Straight Lines and Circular Arcs // IEEE Transactions on Computers, Vol. TC-28, Oct, 1979, pp. 728-736.

36. R. Brons Linguistic methods for the description of a straight line upon a grid // Computer Graphics and Image Processing, No. 3,1974, pp. 48-62.

37. M.L.V. Pitteway and A. Green Bresenham's algorithm with run-line coding shortcut // The Computer Journal, Vol. 25, No. 1. 1982, pp. 114-115.

38. C.M.A. Castle and M.L.V. Pitteway An Efficient Structural Technique for Encoding 'Best-fit' Straight Lines // The Computer Journal, Vol. 30, No. 2. 1987.

39. A. Rosenfeld Digital Straight Line Segments // IEEE Transactions on Computers, Vol. C-23, No. 12, Dec. 1974, pp. 1264-1269.

40. G.B. Reggiory Digital Computer Transformations for Irregular Line Drawings // Tech. Report 403-22, New York University, New York, Apr. 1972.

41. J.E. Bresenham Run Length Slice Algorithm for Incremental Lines // Fundamental Algorithms for Computer Graphics, Series F, Vol. 17, NATO Advanced Study Instr., R.A. Earnshaw, ed., Springer-Verlag, Berlin, 1985, pp. 59-104.

42. V. Boyer and J.J. Baurdin Auto-Adaptive Step Straight-Line Algorithm // IEEE Computer Graphics and Applications, Sept./Oct. 2000, pp. 67-69.

43. P. Stephenson and B. Litow Why step when you can run? // IEEE Computer Graphics and Applications, Nov./Dec. 2000, pp. 76-84.

44. J.Rokne and Y.Rao Double-Step Incremental Linear Interpolation // ACM Trans. Graphics, Vol. 11, No. 2, Apr. 1992, pp. 183-192.

45. X. Wu and J. Rokne Double-Step Incremental Generation of Lines and Circles // Computer Vision, Graphics, and Image Processing, Vol. 37, No. 3, Mar. 1987, pp. 331-344.

46. X. Wu and J.G. Rokne Double-Step Generation of Ellipses // IEEE Computer Graphics and Applications, Vol. 9(3), May 1989, pp. 56-69.

47. P.Graham and S.Sitharama Iyengar Double- and Triple-Step Incremental Linear Interpolation // IEEE Computer Graphics and Applications, May 1994, pp. 49-53.

48. P. Bao and L.Rokne Quadruple-Step Line Generation // Computers&Graphics, Vol. 13, No. 4, 1989, pp. 461-469.

49. G.W. Gill N-Step Incremental Straight-Line Algorithms // IEEE Computer Graphics and Applications, May 1994, pp. 66-72.

50. J. Bresenham A Linear Algorithm for Incremental Digital Display of Circular Arcs // Communications of the ACM, Vol. 20., No. 2, Feb. 1977, pp. 100-106.

51. B.K.P. Horn Circle Generators for Display Devices // Computer Graphics and Image Processing, No. 5 (1976). pp. 280-288.

52. M. Doros Algorithm for Generation of Discrete Circles, Rings and Disks // Computer Graphics and Image Processing, No. 10 (1979). pp. 366-371.

53. N. Badler Disk Generators for a Raster Display Device // Computer Graphics and Image Processing, Vol. 6, 1977, pp. 589-593.

54. Galton An Efficient Three-Point Arc Algorithm // IEEE Computer Graphics and Applications, Nov., 1989, pp. 44-49.

55. Jordan B.W., Lennon W.J., Holm B.C., An Improved Algorithm for the Generation of Non-parametric Curves // IEEE Transactions on Computers, C-22(12), Dec. 1973, pp. 1052-1060.

56. M. Pitteway Algorithm for Drawing Ellipses or Hyperbolae with Digital Plotter // Computer Journal, 10(3), Nov. 1967, pp. 282-289.

57. M.D. Mcllroy Best Approximate Circles on Integer Grids // ACM Transactions on Graphics, Vol. 2, No. 4. October 1983, pp 273-263.

58. Z. Kulpa On the Properties of Discrete Circles, Rings, and Disks // Computer Graphics and Image Processing, No. 10 (1979). pp. 348-365.

59. M.D. Ercegovac, T. Lang, J.M. Muller, A. Tisserand Reciprocation, Square Root, Inverse Square Root, and Some Elementary Functions Using Small Multipliers // IEEE Transactions on Computers, Vol. 49, July 2000, No. 7, pp. 628637.

60. W.F. Wong, E. Goto Fast Evaluation of the Elementary Functions in Single Precision // IEEE Transactions on Computers, Vol. 44, March 1995, No. 3, pp. 453457.

61. P. M. Farmwald High bandwidth evaluation of elementary functions // Proc. Fifth Symp. Computer Arithmetics, 1981, pp. 139-142.

62. P.T.P. Tang Table-lookup algorithms for elementary functions and their error analysis // Proc. 10th IEEE Symp. Computer Arithmetics, June 1991, pp. 232236.

63. ICOS Индустриальные компьютерные системы. Каталог продукции. Выпуск 5.0.

64. Third-Generation TMS320C30 User's Guide. Texas Instruments.

65. А. В.В. Чекушкин, О.В. Юрин Прецизионный синусно-косинусный таблично-алгоритмический преобразователь // Информационный листок, Владимир, ЦНТИ, 1998, 4 с.