Развитие схем на основе квазиодномерного подхода для решения задач аэроакустики на неструктурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Бахвалов, Павел Алексеевич

• Бахвалов, Павел Алексеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бахвалов, Павел Алексеевич

Содержание

Введение

1 Базовое семейство схем для решения одномерной гиперболической системы уравнений на неравномерной сетке

1.1 Схемы для одномерного уравнения переноса на равномерной сетке

1.2 Случай нелинейного уравнения и нелинейной системы уравнений

1.2.1 Различные типы реконструкции

1.2.2 Анализ ошибки аппроксимации в конечно-разностном смысле

1.2.3 Анализ ошибки аппроксимации в конечно-объёмном смысле

1.2.4 Гибридный подход к реконструкции

1.2.5 Объёмно-центрированная схема на прямоугольниках

1.3 Схемы для одномерного уравнения переноса на неравномерной сетке

1.3.1 Метод перехода к разделённым разностям

1.3.2 Экспериментальное исследование точности построенных схем

1.4 Аналитическое исследование сходимости

1.4.1 История вопроса

1.4.2 Доказательство 2-го порядка точности для схемы с 3-точечной реконструкцией

2 Многомерные схемы с одномерной реконструкцией на равномерной сетке

2.1 Равномерная сетка

2.2 Точность схемы с одномерной реконструкцией переменных

2.2.1 Схемы с одномерной реконструкцией переменных

2.2.2 Доказательство произвольного высокого порядка аппроксимации

2.2.3 Проблема анизотропии на одинаковых многогранниках

2.3 Метод контрольных объёмов для построения консервативных вершинно-центрированных схем

2.3.1 Двумерный случай

2.3.2 Трёхмерный случай

2.3.3 Различные виды контрольных объёмов

2.3.4 Огрублённые контрольные объёмы

2.3.5 Точность на линейной функции для барицентрических ячеек

2.4 Вершинно-центрированные схемы с одномерной реконструкцией

3 Схемы с квазиодномерной реконструкцией переменных на неструктурированной сетке

3.1 Определение схемы с квазиодномерной реконструкцией

3.2 Вершинно-центрированные схемы ЕВИ,

3.3 Экономичная формулировка схемы ЕВИ

3.4 Объёмно-центрированная схема с квазиодномерной реконструкцией переменных

3.5 Сравнение вершинно- и объёмно-центрированных схем

3.6 Обобщение схемы на уравнения, содержащие вторые производные

4 Конечно-разностная полиномиальная схема

4.1 Построение схемы

4.2 Ресурсоёмкость схемы

4.3 Экспериментальное сравнение схем ЕВ11 и полиномиальных схем

4.4 Численное исследование линейного резонанса резонатора Гельмгольца

5 Численное моделирование акустического рупора

5.1 Программный код ГЮГЗЕ^е для решения задач аэродинамики и аэроакустики

5.2 Постановка задачи

5.3 Решение в двумерной постановке

5.3.1 Аналитическое решение для бесконечно узкого рупора

5.3.2 Двухволновое приближение (высокочастотная асимптитока)

5.3.3 Исследование коэффициента усиления рупора

5.4 Решение в аксиально-симметрической постановке

5.4.1 Анализ сигнала во временном представлении для тестовой постановки

5.4.2 Исследование коэффициента усиления рупора

5.5 Решение в трёхмерной постановке

Заключение

Список рисунков

Список таблиц

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие схем на основе квазиодномерного подхода для решения задач аэроакустики на неструктурированных сетках»

Введение

Актуальность и мотивация работы.

Высокая точность численных методов для задач аэродинамики и, в особенности, аэроакустики является необходимой для применения численного моделирования в промышленных целях. Задачи аэроакустики подразумевают необходимость адекватного воспроизведения течений в пограничных слоях (в том числе, нестационарных), высокоточного моделирования генерации и распространения акустического возмущения, а также, в некоторых задачах, воспроизведения ударных волн.

Современные суперкомпьютеры позволяют проводить численное моделирование трёхмерных течений в сложных геометрических конфигурациях. Рост их мощности позволяет решать задачи во всё более сложной геометрии, приближая её к геометрии реального объекта. Во многих задачах сложность геометрии делает практически неосуществимым построение единой структурированной сетки, хорошо разрешающей пограничный слой вокруг всех поверхностей и при этом не содержащей избыточное число узлов вдали от него. Чтобы преодолеть возникающие трудности с построением сетки, для численного моделирования течений вокруг тел сложной формы используются два основных типа сеток: неструктурированные сетки и многоблочные перекрывающиеся сетки.

Использование перекрывающихся многоблочных сеток было впервые предложено в 1977 году в работе Gören Starius [1] для решения задачи Дирихле для оператора Лапласа в криволинейной области. Рассматривались две сетки, причём искусственная граница каждой из сеток была погружена в другую сетку. Алгоритм решения задачи представлял собой итерационный процесс, на каждой итерации которого выполнялась интерполяция в узлы, лежащие на искусственной границе расчётных сеток, после чего на каждой из сеток выполнялась задача с полученными искусственными граничными условиями.

Основным достоинством использования перекрывающихся сеток по сравнению с использованием декартовой сетки во всей области является возможность сгущения сетки по

нормали к границе. Вторым достоинством этого метода является простота аппроксимации граничных условий, в особенности если их формулировка содержит производные по нормали или касательной.

Чуть позже перекрывающиеся многоблочные сетки были применены к гиперболической системе уравнений на примере уравнений мелкой воды [2]. Далее, в работах [3], [4] они были применены для решения аэродинамических задач в рамках стационарных уравнений Эйлера, в работе [5] — в рамках стационарных уравнений Навье-Стокса и в работе [6] — для нестационарых задач с использованием неявной схемы интегрирования по времени. Программная реализация метода перекрывающихся сеток подробно описана в работе [7].

Дальнейшее развитие многоблочного подхода заключалось в обобщении его на движущиеся сетки (см., например, [8]), применении более эффективных технологий для решения систем алгебраических уравнений, возникающих при неявном интегрировании по времени (см., например, [9], [10]). Отметим также работу [11], посвящённую вопросу переинтерполяции между сетками на сшивке блоков. Значительная доля исследований в этой области посвящена автоматизации процесса построения многоблочных сеток и определения множества точек, участвующих в процессе переинтерполяции данными между блоками ( [12], [13] и др.) Несмотря на значительный прогресс в этом направлении, проблема построения мпогоблочной структурированной сетки в трёхмерном случае остаётся до конца не решённой.

Более существенной трудностью использования многоблочных сеток для решения широкого класса аэродинамических задач является проблема консервативности на сшивке различных блоков. Решение этой проблемы впервые было предложено в работе [14], однако, следуя [15], можно сказать, что вычисления по этой схеме никогда не были опубликованы. В работе [15] для обеспечения консервативности предлагается отказаться от наложения сеток и использовать стыкующиеся (patched) сетки, получаемые из перекрывающихся сеток на этапе предварительной обработки. Однако без дополнительной геометрической коррекции такой подход может приводить к появлению ячеек сколь угодно малого размера, и поэтому его универсальность до конца не ясна. Во многих работах (см., например, [16]) для задач с разрывными решениями продолжают использоваться неконсервативные схемы. Таким образом, задача построения оператора интерполяции для сжимаемых уравнений, обеспечивающего консервативность, остаётся до конца не решённой, см. также обзор в [17]. Это существенно ограничивает применение схем для решения сжимаемых уравнений Эйлера и Навье-Стокса при наличии разрывов и высоких градиентов решения на перекрывающихся многоблочных сетках, в особенности

при необходимости моделирования течения с высокой точностью.

Альтернативой схемам на многоблочных сетках являются схемы на неструктурированных сетках. Среди схем высокого порядка точности на неструктурированных сетках, пригодных для решения аэроакустических задач, активно развиваются два главных направления: конечно-элементные схемы, главным образом — метод Галёркина с разрывными базисными функциями (DG), и конечно-объёмные схемы, основанные на полиномиальной реконструкции неременных.

В отличие от схем на перекрывающихся многоблочных сетках, разработка методов счёта на неструктурированных сетках изначально велась для задач с разрывными решениями. Повышение порядка аппроксимации за счёт линейной реконструкции переменных, предложенное в одномерном случае в работе В. П. Колганом [18] и независимо от него Ван Лиром [19] (см. также [20], [21], [22]), было применено к неструктурированной треугольной сетке в работе F. Angrand и A. Dervieux [23] и к тетраэдральной сетке в [24]. Однако для задач, требующих высокой точности, использование лишь линейной реконструкции переменных было явно недостаточным.

Метод полиномиальной реконструкции переменных на неструктурированной сетке, точной на полиномах произвольно высокого порядка, был впервые описан в работе Barth [25], будучи на тот момент уже хорошо известным. В работе Abgrall [26] была построена схема методом ENO [27] [28], совмещающая высокую точность полиномиальной реконструкции с возможностью счёта разрывных задач. Первые применения к неструктурированным сеткам взвешивания полиномов по аналогии с WENO были опубликованы в работах [29] и [30], однако полноценная WENO-схема на неструктурированных сетках была предложена в работе Ни и Shu [31]. Для эффективного применения WENO-схем на неструктурированных сетках понадобились дополнительные исследования конечно-объёмных схем на многомерной декартовой сетке [32] [33] [34]. Дальнейшее развитие и применение ENO и WENO схем на неструктурированных сетках связано с работами [35], [36], [37] и др.

Метод Галёркина с разрывными базисными функциями (Discontinious Galerkin method, DG) был впервые применён в 1973 году для уравнения переноса нейтронов [38]. В отличие от конечно-объёмных схем, в которых для повышения порядка точности используются значения функции на широком шаблоне, конечно-элементные схемы подразумевают повышение порядка точности за счёт задания нескольких значений на одной ячейке. Первые применения метода DG к задачам газовой динамики связаны с работами В. Cockburn и

C.-W. Shu [39], [40], [41], [42]. За последние 20 лет он претерпел существенное развитие как минимум в трёх направлениях: выбор оптимального набора базисных функций [43], уточнение оценок точности и исследование супер- и сверхсходимости [44] [45] [46] [47] [48] и построение лимитеров [49] [50]. Отметим также работы [51] и [52], в которых используется анализатор разрыва, и при обнаружении последего производится переключение с DG на конечно-объёмную WENO-схему.

Схемы, построенные методом Галёркина с разрывными базисными функциями, и конечно-объёмные схемы с полиномиальной реконструкцией переменных близки по своим свойствам [53]. Они характеризуются возможностью построения схем, точных на полиномах сколь угодно высокого порядка, и низкой чувствительностью к качеству сетки. Недостатком обоих методов является их большая вычислительная стоимость для нелинейных задач, особенно при необходимости воспроизведения разрывов.

История работ по теме диссертации.

В 1998 году A. Dervieux и С. Debiez предложили группу разностных схем под названием «Mixed-element-volume MUSCL methods with weak viscosity» (смешанные конечно-элементные-конечно-объёмные низкодиссипативные методы типа MUSCL) [54] [55]. Их идея заключалась в построении консервативной схемы 2-го порядка на произвольной неструктурированной сетке, которая в случае декартовой сетки вырождалась бы в схему 5-го порядка на основе 6-точечных разностей для дискретизации пространственной производной. В той же работе были предложены TVD-модификации данной схемы. Методика была применена к 2-мерному уравнению переноса. Детальный анализ одномерной схемы для линейных задач был проведён в работе С. Debiez [56]. К системе линеаризованных уравнений Эйлера эта методика была применена в работе [57] для 2-мерных задач и в работе [58] для 3-мерных.

Отметим также более раннюю работу [59] тех же авторов, в которой описывается схема на неструктурированной сетке, вырождающаяся в схему 3-го порядка точности на равномерной сетке в линейном случае и 2-го — в нелинейном. В этой же работе предлагается модификация данной схемы, сохраняющая положительность плотности и давления.

Обобщение данной методики на нелинейные задачи было предложено в работе А. Dervieux, И. А. Абалакина и Т. К. Козубской в 2006 году в работе «High Accuracy Finite Volume Method for Solving Nonlinear Aeroacoustics Problems on Unstructured Meshes» (высокоточный конечно-объёмный метод для решения нелинейных аэроакустических задач на неструктурированных сетках) [60]. Как и для линейных задач, на декартовой сетке разра-

батываемая схема должна была вырождаться в схему 5-го порядка. Поскольку известно в рамках конечно-объёмного подхода (построения схем относительно средних значений по ячейке) таких методов не существует [61] (см. также главу 1 диссертационной работы), то было предложено строить конечно-разностную схему (т. е. записываемую относительно точечных значений). Таким образом, можно сказать, что эта работа открыла новый класс разностных схем, а именно, консервативных конечно-разностных схем повышенной точности на неструктурированных сетках. Эта схема также была опубликована в книгах [62].

Среди применений этого класса схем для расчёта промышленных задач (и тестовых задач, позволяющих показать применимость схем для промышленных задач) можно отметить зарубежные [63] и российские работы [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75].

Хотя в ранее упомянутых работах [59], [54] и др. монотонизация рассматриваемого класса схем проводилась путём построения TVD схем, для этой цели также возможно использование WENO подхода, см. [76] [77]. В этих работах рассматриваемые схемы были названы схемами с реконструкцией переменных вдоль направления ребра (Edge-Based Reconstruction, EBR).

Во многих перечисленных выше работах было замечено, что рассматриваемые численные схемы на гладких решениях обладают лучшими характеристиками, чем предсказывают известные аналитические оценки. Диссертационная работа содержит результаты дополнительных исследований свойств схем с квазиодномерной реконструкцией переменных, как экспериментальных, так и аналитических. Также демонстрируются дополнительные возможности для применения схем, построенных на основе квазиодномерного подхода. Вопросы, касающиеся счёта задач с разрывными решениями, не включены в диссертационную работу.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Первая глава содержит описание базовой схемы для решения одномерной гиперболической системы уравнений на неравномерной сетке. Проводится сравнение различных схем в нелинейном случае, использующих солвер типа CIR с реконструкцией консервативных переменных или солвер Хуанг [78] с реконструкцией потоковых переменных. Предлагается гибридный подход, заключающийся в одновременной реконструкции и консервативных, и потоковых переменных.

Основное внимание уделяется методу перехода к разделённым разностям для построения схем на неравномерной сетке, позволяющий сохранить консервативность, обеспечить точность на линейной функции и при этом вырождение в схему произвольного высокого

порядка точности на равномерной сетке. Исследуется влияние ширины шаблона на точность схемы. Для схемы с 3-точечной реконструкцией доказывается ожидаемый результат, что её точность имеет порядок Ь?шах.

Вторая глава посвящена схемам с одномерной реконструкцией переменных на аппроксимации производной на равномерной сетке в ¿¿-мерном случае. Вводится определение равномерной сетки как сетки, переходящей в себя при пространственной трансляции на любой вектор, соединяющий центры масс сеточных ячеек. Доказывается, что на равномерной сетке схема с одномерной реконструкцией переменных обладает (2М + 1)-ым порядком аппроксимации, где М — полуширина шаблона реконструкции. Таким образом расширяется класс сеток, на которых схемы с квазиодномерной реконструкцией переменных достигают максимально возможного порядка аппроксимации на заданном шаблоне.

Третья глава посвящена конечно-разностным схемам с квазиодномерной реконструкцией переменных для решения многомерной гиперболической системы уравнений. Для схем с определением переменных в узлах приводится новая формулировка, позволяющая сократить время счёта без изменения его качества. Квазиодномерный подход применяется для построения схем с определением переменных в центрах ячеек. Также рассматривается вопрос обобщения квазиодномерного подхода на уравнения, содержащие вторые производные.

Четвёртая глава посвящена построению неконсервативной конечно-разностной квазиодномерной полиномиальной схемы и экспериментальному исследованию квазиодномерных схем на линейных задачах. В качестве демонстрации применимости схем к задачам в области со сложной геометрией приводится расчёт линейного резонатора Гельмгольца.

Пятая глава посвящена численному моделированию акустического рупора. Целью численного исследования является оценки коэффициента усиления сигнала акустическим рупором в зависимости от угла раскрыва рупора и угла падения волны относительно оси рупора. Показывается, что качественное поведение кривой коэффициента усиления объясняется исходя из двух асимптотических решений — асимптотического решения при без-конечно узком рупоре и высокочастотной асимптотики, получаемой путём пренебрежения многократным перерассеянием волн на кромках рупора.

Также приводится описание программного кода МОКЕМе, в котором проводились расчёты и были реализованы описанные в предыдущих главах численные методики.

В заключении приведены основные результаты работы.

Диссертация завершается списком рисунков, списком таблиц и списком использованных источников.

Глава 1

Базовое семейство схем для решения одномерной гиперболической системы уравнений на неравномерной сетке

1.1 Схемы для одномерного уравнения переноса на равномерной сетке

Рассмотрим аппроксимацию пространственной производной д/дх на равномерной сетке. Пусть требуется аппроксимировать производную в точке г = 0 на несимметричном шаблоне г е Т, Т - ~(М + 1 )..М с порядком 2М + 1.

Будем искать разностную схему методом неопределённых коэффициентов в виде

Легко выписать линейную систему уравнений, выполнение которой обеспечивает требуемое свойство аппроксимации. В результате её решения получим следующие значения коэффициентов. Для М=0 (схема "уголок")

-1 т

(1.1)

0_1 = -1 00 = 1

(1.2)

Для М=1

в-2 = \ в-1 = -1

(1.3)

Для М~2

Для М=3

0_з = 0-2 = - 0-1 =-1 0О = - 01 = - 02 = (1.4)

3 30 4 3 2 20 ^ ;

(1.5)

и так далее. В дальнейшем, как правило, будем пользоваться случаем М = 2, то есть схемой на шеститочечном шаблоне.

Для получения возможности обобщения на нелинейный случай с сохранением консервативности, переформулируем схему в виде

ди

дх

(0)

^1/2 = —1/2 = XI агиг-\

г=-М М г=-М М

Это возможно в силу выполнения условия ^ в% = 0.

Подставляя (1.7) в (1.6), получаем условия для нахождения коэффициентов а:

(1.6)

(1.7)

аг - а1+1 = вг

причём при |г| > М полагается аг = 0.

Или, переписывая это соотношение по-другому,

г—1

ОСг = ~ вг

3=-м-1

Подставляя выписанные выше значения для коэффициентов 0, получим для М=0

а0 = 1

для М=1

Для М=2

СИ-2

30

а-1 = -- «о 6

6 а1 = з

47 60

"1 = 20 °а

2_ 20

(1.8)

(1.9)

Для М=3

а-з = -

140

а_ 2 =

84

a_i =

101 420

«о =

319 420

a i =

107 210

«2 = —

19 210

а3 =

105 (1.10)

Период волны

10-

08-

ÍN

К 1 06- Q. О

2 04-

е

0) « 02-

X

00-

—i-.-

20

Период волны

а) амплитуда волны б) набег фазы

Рисунок 1.1: Амплитудная и фазовая характеристика схем на равномерной сетке

Протестируем эти схемы на примере линейного уравнения переноса

du ди _ dt дх

(1.11)

На рисунке 1.1а приведена амплитудная характеристика схем различного порядка точности на равномерной сетке. По горизонтальной оси отложено отношение периода волны к шагу сетки; по вертикальной оси - а(и>) (отношение амплитуды волны на частоте и к начальной амплитуде через время Т = 2000).

Этот график оказывается полезен при выборе шага сетки исходя из условия разрешения волн заданных частот. Так, если задаться критерием, что за 2000 шагов волна должна затухать не больше чем на 20%, то для схемы Зго порядка требуется 33 точки, для схемы 5го порядка - 15, для схемы 7го порядка - 9.5, для схемы 9го порядка - 7.5. Результат для схем более высокого порядка точности не приводится, так как требует специальных усилий для обеспечения устойчивого счёта (как правило, это достигается другим выбором базисных функций).

На рисунке 1.16 приведена фазовая характеристика схем. По вертикальной оси отложена <р(и) - разность фаз между численным и точным решением, набежавшая за время Т = 2000.

Рассмотрим для примера волну, разрешённую по сетке достаточно хорошо (33 точки на волну для схемы Зго порядка и т.д.). Из графика видно, что для такой волны набег фазы за единицу времени имеет порядок 2-10-5. Таким образом, фазовая ошибка для используемых схем с 5 = 1 может считаться пренебрежимо малой по сравнению с амплитудной.

1.2 Случай нелинейного уравнения и нелинейной системы уравнений

1.2.1 Различные типы реконструкции

Рассмотрим нелинейую систему уравнений гиперболического типа

дя | _ 0

дЬ дх

Для его решения будем можно пользоваться схемой с реконструкцией консервативных переменных и солвером типа КИР [79] (см. также монографии [80] и [81]), которую перепишем в более удобных обозначениях:

л* = + - - <э1/2_„) (1Л2)

где

2 2

Я1/2-0 = X $1/2+0 = а,(1.13)

г=—2 ¿=-2

а_2 = 1/30, а-1 = -13/60, а0 = 47/60, ^ = 9/20, а2 = -1/20 (1.14)

Способ вычисления матрицы |Л| = \дР/дС}\ с точки зрения порядка аппроксимации значения не имеет; например, она может считаться по значению (фуг-о + $1/г+о)/2 или методом Роу [82].

В отличие от линейного случая с постоянными коэффициентами, в нелинейном случае различаются схемы с реконструкцией консервативных, примитивных, характеристических и потоковых переменных.

В схемах с реконструкцией примитивных или характеристических переменных обозначим реконструируемые переменные за U(Q). Схема примет вид

Qi/2-o = U~1(Y, <*iV(Qi)] ; Qi/2+o = aiU(Qi~i)

\i=-2 J \i=-2

Выражение (1.12) остаётся в силе. При использовании примитивных переменных функция U(Q) фиксированная, при использовании характеристических переменных она различается для каждого сегмента.

Схема с реконструкцией потоковых переменных имеет вид

2 2

-^1/2+0 = J2 aiF{Qi-i) (1-15)

i=-2 i=-2

Функция F(Q) вообще говоря необратима, поэтому использование функции F-1 невозможно. Вместо этого используется схема Хуанг [78]:

F1/2 = Fl/2~° \ Fl/2+Q - 6-sign{A){Fl/2+о - F1/2_0) (1.16)

Рассмотрим точность этих схем в конечно-объёмной и конечно-разностной интерпретациях.

1.2.2 Анализ ошибки аппроксимации в конечно-разностном смысле

Далее в квадратные скобки будем заключать разностное выражение. Для простоты будем предполагать, что функция однокомпонентна; обобщение на многокомпонентную функцию проводится очевидным образом.

Вначале рассмотрим дифференциальное приближение для реконструированного значения Fj_!/2, полученных с использованием коэффициентов, например, ??, относительно центра ячейки г.

Вначале докажем, что реконструированное значение переменной аппроксимирует значение функции на сегменте со вторым порядком. Действительно, сеточные переменные в конечно-разностном и конечно-объёмном случаях отличаются на О (h2). При этом в конечно-объёмном смысле точность реконструкции составляет О (h5). Следовательно, ре-

конструированное значение функции (в конечно-разностном смысле) аппроксимирует значение функции на сегменте с точностью 0(Н2)+0(№) = 0(Ь?), что и требовалось доказать.

Используя полученный факт, выпишем дифференциальное приближение для реконструированных значений в следующем виде:

, 5

Я±1/2 = Р{хг) ± + + 0(/16)

(1.17)

к=2

Тогда разностная аппроксимация производной будет иметь следующее дифференциальное приближение:

№ дх

(Хг)

= *"(*,) + ¿(а£ - а-к)}1к-^^{хг) + 0(/г5) (1.18)

/г

к=2

Так как аппроксимация производной имеет 5й порядок точности, то = ак при к = 2,3,4,5. Таким образом,

Я±1/2 = F(xl) ± |р'(хг) + ^ акЬкР{-к\х1) + 0(Н6)

(1.19)

к=2

Приведём значения коэффициентов. Для схемы Зго порядка (М—1) йг = а>з — 1/12. Для схемы 5го порядка (М=2) а2 = 1/12; аз = 0; а^ = —1/720; а5 = —1/60.

Пусть Ф - некоторая функция, Фг есть её значение в узле Тогда из свойств реконструкции для линейной задачи следует, что

Фг+1/2 ~ Ф»-1/2

<ЭФ

(1.20)

Рассмотрим вначале схему с реконструкцией консервативных переменных (1.12-1.13), то есть Ф = Я-

дР

-а1"

- ^

дх

Яг+1/2 + Яг-1/2 2

Яг+1/2 + Яг-1/2 2

/г + 2

Яг+1/2 ~ Яг-1/2 к

Ь Яг+1/2 ~ Яг-1/2

2 Ъ,

Введём обозначения

а =

Яг+1/2 + Яг-1/2

Ь =

Я г+1/2 — Яг-1/2

(1.21)

Разложим выражение для производной в ряд Тейлора по И:

т

дх

Г(а + /16/2) - Р(а - кЪ/2) к

\£=0 4 ' к=0 4 7 /

Из соотношения (1.20) для Ф = Я напрямую следует, что

Ъ =

Яг+1/2 ~ Яг-1/2 к

= ^(х1) + 0(к*)

Для аппроксимации а воспользуемся выражением (1.19): Яг+\/2 + Яг-1/2

а =

к2

= Я(Хг) + £ а^кЯ(к\хг) + 0(/16) = Я(Хг) + + 0(Д3)

к—2

Отсюда

Па) = + §Г"(Я(хг))Я"(х1) + 0(Л3)

Используя полученное выражение и соотношение (1.20) для Ф = <5, получаем

ар;

дя\ з

12 ^д3 \ у дЯ2 дх2 дх] { '

д^ <9ж

(г,) + 0(к2)

Таким образом, схема с реконструкцией консервативных переменных имеет второй порядок точности в конечно-разностной интерпретации. Для схемы с реконструкцией физических или характеристических переменых результат получается аналогичным.

Рассмотрим теперь схему с реконструкцией потоковых переменных. Используем соотношение (1.20) для Ф = F:

№1 ^Н-1/2 ~ -^1-1/2

. дх к

Ё1. дх

+ 0(115)

Таким образом, схема с реконструкцией потоковых переменных имеет высокий порядок точности в конечно-разностной интерпретации.

1.2.3 Анализ ошибки аппроксимации в конечно-объёмном смысле

Пусть Ф - некоторая функция, Фг есть её интегральное среднее по ячейке [г—1/2..г+1/2]. Тогда из свойств реконструкции для линейной задачи следует, что

[Ф,+1/2] = Ф.+1/2 + СзФ^/аЛ5 + 0(Л6) (1.22)

Приведённый вид остаточного члена будет использован в дальнейшем. Здесь существенно, что С5 не зависит от г.

Рассмотрим вначале схему с реконструкцией консервативных переменных. По построению, (Зг±1/2 реконструируется с 5м порядком аппроксимации. Поэтому ^г=ы/2 также аппроксимируется с 5м порядком. Таким образом, очевидно, что

= ± (П[дг+1/2]) -

аппроксимируется с 4м порядком точности. Докажем, что в действительности имеется аппроксимация с 5м порядком.

= \ И[<5,+1/2]) - ^([д.-1/а])) = = ^(т+1/2 + + 0(1г&)) - т_1/2 + С^1/2И5 + 0(Л6)))

Теперь разложим Р(Я) в ряд по Л. в окрестности ф,±1/2-

= 1 ((^(д,+1/2) + )сь<э[%/2н* + о(/г6)) -- т+1/2) - тг~1/2) + I ((т+1/2)е/2 - ПЯг-гМ^) а-Л5 + 0(/г6))

и

дР_

дх

<1х

Очевидно, что выражение во внутренних скобках во втором слагаемом имеет порядок Ь. Поэтому всё второе слагаемое есть 0(1г5). Таким образом,

IS

dF дх

dx

F(Q 1+1/2) - F(Q,_1/2)

h

К

Таким образом, схема с реконструкцией консервативных переменных имеет 5й порядок аппроксимации производной в конечно-объёмном смысле.

Реконструкция каких-либо других переменных (примитивных, характеристических или потоковых) приводит к потере точности. Это можно объяснить как незаконную перестановку взятия нелинейной функции 11(0) (или Р(Я)) с взятием интегрального среднего по ячейке.

Рассмотрим для простоты центрально-разностную схему для некоторых переменных и. Тогда

т 1 [^+1/2+о] + [Ц-и/2-о] ^ „ Ц{дз) + Ц(Ях-,) [У 1+1/2] = --- = а3-о- =

]=-2

( jh+h/2

3 = - 2 / (X—j)h+h/2

-h J Q(x)dx + I J Q{x)dx

\ jh-h/2

\ (l-j)h-h/2

Ax + A2

/

Рассмотрим первую сумму, вторая рассматривается аналогично. Воспользуемся формулой

hi 2

К2______ hA

I (ЛтЛЛг. = (JID) -+

h

h/2

l J Q(x)dx = Q(0)+If4Q"(0) + ^Q^(0) + 0(he)

-Л/2

Тогда

Аг = Y, aiU (QW + YAQ"bk) + °{h4))

Раскладывая в ряд no h,

Аг=±«3 (u(Q(jh)) + ^U'(Q(jh))Q"(jh)) + 0(h4)

Добавим и вычтем выражение таким образом, чтобы оставшееся в скобках выражение аппроксимировало с 4м порядком интегральное среднее от И:

Ах = (итн)) + ^ичяиьшт + ^{яттш2)) -

- ¿а> (!&(яшть))2))+0^) =

3 = ~2 ^ '

2 / \ 2 / ]И+Ь/2 \

= Т,а> I I £ / и'\Я{х)){Я'{х))2)йх + 0(/>4)

■?=~2 \ ^л-л/г / •;=_2 \ зН-к/г )

Последнее слагаемое преобразовано исходя из того, что среднее значение совпадает с точечным с точностью до 0(к2).

Вспоминая, что суммирование по з с весом а3 даёт значение на грани, получаем

Ах = £/((г + 1/2)К) - + 1/2)Л)) + 1/ЭД)2 + 0(/г4)

Такое же выражение можно получить для А2, а поэтому и для [[Д+х/г], которое равно полусумме А\ и А2. Таким образом, [^г+1/2] аппроксимирует значение на сегменте лишь со 2м порядком.

Обозначая для краткости х± = (г ± 1/2)/г, запишем разность потоков через сегменты г ±1/2:

F([Ц+1/2]) - ^([^Л—1/2]) ^ Г(С/(х+)) - Г(Ц(х-)) к к к2 пи(х+)) [/"№+)) (Я'(х+))2 - р{и{х-)) и"(Я(х-)) №"))2 ,

24 к

+ 0(Л4)

Легко видеть, что если II не является линейной функцией ф, то большая дробь имеет лишь порядок 0(1), и поэтому вся схема имеет порядок О (к2). Таким образом, использование каких-либо переменных кроме консервативных для реконструкции приводит к реконструкции второго порядка точности. При и = С} (случай использования реконструкции консервативных переменных) член при к2 зануляется, что согласуется с доказанным выше свойством аппроксимации высокого порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бахвалов, Павел Алексеевич, 2013 год

Список использованных источников

1. Starius G. Composite mesh difference methods for elliptic boundary value problems // Numerische Mathematik. - 1977. — Vol. 28. — P. 243-258.

2. Starius G. On composite mesh difference methods for hyperbolic differential equations // Numerische Mathematik. - 1980. - Vol. 35. — P. 241-255.

3. Benek J., Steger J., Dougherty F. C. A flexible grid embedding technique with application to the euler equations // AIAA Paper No. 83-1944. - 1983.

4. Benek J. A., Buning P. G., Steger J. L. A 3-d chimera grid embedding technique // AIAA Paper No. 85-1523. - 1985.

5. Benek J. A., Donegan T. L., Suhs N. E. Extended chimera grid embedding scheme with application to viscous flows // AIAA Paper No. 87-1126.- 1987.

6. Belk D. M., Whitfield D. L. Three-dimensional euler solutions on blocked grids using an implicit two-pass algorithm // AIAA Paper No. 87-0450.— 1987.

7. Chesshire G., Henshaw W. D. Composite overlapping meshes for the solution of partial differential equations // Journal of computational physics. — 1990. — Vol. 90. — P. 1-64.

8. Tu J. Y., Fuchs L. Overlapping grids and multigrid methods for three-dimensional unsteady flow calculations in ic engines // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 1992. - Vol. 15. - P. 693-714.

9. Nichols R. H., Tramel R. W. A highly efficient numerical method for overset-mesh moving-body problems // AIAA Paper No. 97-2040. - 1997.

10. Nichols R. H., Tramel R. W. Applications of a highly efficient numerical method for overset-mesh moving body problems // AIAA Paper No. 97-2255. — 1997.

11. Oliver-Gooch, С. F. On mesh-to-mesh transfer operators for unstructured multigrid solvers, aiaa 97-2026 // 13th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, June 29-July 2, 1997, Snowmass Village, CO. - 1997.

12. Suhs N. E., Stuart R. E., Dietz W. E. PEGASUS 5: An automatic pre-processor for overset-grid CFD // AIAA Paper No. 2002-3186.- 2002.

13. Wang Z. J., Parthasarathy V. A fully automated chimera methodology for multiple moving body problems // International journal for numerical methods in fluids. — 2000. — Vol. 33. - P. 919-938.

14. Berger M. J. On conservation at grid interfaces // SIAM journal of Numerical Analisys. — 1987. - Vol. 24. - P. 967-984.

15. Wang Z. J. A fully conservative interface algorithm for overlapped grids // Journal of computational physics. — 1995. — Vol. 122. — P. 96-106.

16. Burton Т. M., Eaton J. K. Analysis of a fractional-step method on overset grids // Journal of computational physics. - 2002. - Vol. 177. - P. 336-364.

17. Tang H. S., Casey Jones S., Sotiropoulos F. An overset-grid method for 3d unsteady incompressible flows // Journal of computational physics. — 1994. — Vol. 113. — P. 13-25.

18. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчёта разрывных течений газовой динамики // Учёные записки ЦАГИ. - 1972. - Т. 3(6). - С. 68-77.

19. Van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme, v. a second-order sequel to Godunov's method // Journal of Computational Physics. — 1979.— Vol. 32.— P. 101-136.

20. Kolgan V. P. Application of the principle of minimizing the derivative to the construction of finite-difference schemes for computing discontinious solutions of gas dynamics // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230, no. 7. - P. 2384-2390.

21. Rodionov A. V. Complement to the Kolgan project // Journal of Computational Physics. - 2012. - Vol. 231. - P. 4465-4468.

22. Van Leer B. A historical oversight: Vladimir P. Kolgan and his high-resolution scheme // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230, no. 7. - P. 2378-2383.

23. Angrand F., Dervieux A. Transsonic Euler simulations by means of finite element explicit schemes // AIAA Paper No. 83-1924,- 1983.

24. Angrand F., Billey V., Dervieux A. et al. 2-D and 3-D Euler flow calculations with a second-order accurate Galerkin finite element method // AIAA Paper No. 85-1706. —

1985.

25. Barth T. J., Frederickson P. 0. High order solution of the Euler equations on unstructured grids using quadratic reconstruction // AIAA Paper No. 90-0013.— 1990.

26. Abgrall R. On essentially non-oscillatory schemes on unstructured meshes: Analysis and implementation // Journal of Computational Physics. —■ 1993. — Vol. 114. — P. 45-58.

27. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes, III // Journal of Computational Physics. — 1987. — Vol. 71, no. 2. - P. 231-303.

28. Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S. Some results on uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes // Applied Numerical Mathematics. —

1986. - Vol. 2. - P. 347-377.

29. Oliver-Gooch, C. F. Quasi-ENO schemes for unstructured meshes based on unlimited data-dependent least-squares reconstruction // journal of computational physics. — 1997. — Vol. 133. - P. 6-17.

30. O. F. Weighted essentially non-oscillatory schemes for the interpolation of mean values on unstructured grids // Journal of Computational Physics. — 1998. — Vol. 144. — P. 194212.

31. Hu C., Shu C.-W. Weighted essentially non-oscillatory schemes on triangular meshes // Journal of Computational Physics. — 1999. — Vol. 150. - P. 97-127.

32. Shi J., Hu Ch., Shu C.-w. A technique of treating negative weights in WENO schemes // Journal of computational physics. — 2002. — Vol. 175. — P. 108-127.

33. Titarev V. A., Toro E. F. Finite-volume WENO schemes for three-dimensional conservation laws // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 201. - P. 238-260.

34. Titarev V. A., Toro E. F. WENO schemes based on upwind and centred TVD fluxes // Computers and fluids. - 2005. - Vol. 34, no. 6. - P. 705-720.

35. Dumbser M., Kaeser M., Titarev V. A., Toro E. F. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. - 2007. — Vol. 226. — P. 204-243.

36. Wolf W. R., Azevedo J. L. F. High-order eno and weno schemes for unstructured grids // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2007. — Vol. 55, no. 10. — P. 917-943.

37. Liu Y., Zhang Y.-T. A robust reconstruction for unstructured weno schemes // Journal of Scientific Computing. - 2013. — Vol. 54. — P. 603 621.

38. Triangular mesh methods for the neutron transport equation : Rep. : 479 / Los Alamos Scientific Laboratory ; Executor: Reed W. H., Hill T.-R. : 1973.

39. The Runge-Kutta local projection Pl-discontinuous-Galerkin finite element method for scalar conservation laws : Rep. : 388 / IMA Preprint Series ; Executor: Cockburn B., Shu C.-W. — University of Minnesota : 1988. — January.

40. Cockburn B., Shu C.-W. TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws II: General framework // Mathematihcs of Computations. - 1989. - Vol. 52. - P. 411-435.

41. Cockburn B., Lin S., Shu C. TVB Runge-Kutta local projection discontinuous galerkin finite element method for conservation laws III: One-dimensional systems //J- Comput. Phys. - 1989. - Vol. 84, no. 1. - P. 90-113.

42. Cockburn B., Shu C.-W., Hou S. The Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws IV: the multidimensional case // Mathematihcs of Computations. — 1990. — Vol. 54. — P. 545-581.

43. Atkins H. L., Shu C.-W. Quadrature-free implementation of discontinuous Galerkin method for hyperbolic equations // AIAA Journal. — 1988.— May. — Vol. 36.— P. 775782.

44. Johnson C., Pitkaranta J. An analysis of the discontinuous Galerkin method for a scalar hyperbolic equation // Mathematics of computations. — 1986. — Vol. 46. — P. 1-26.

45. Peterson T. E. A note on the convergence of the discontinious Galerkin method for a scaler hyperbolic equation // SIAM journal of numerical analisys. — 1991.— Vol. 28. — P. 133-140.

46. Adjerid S., Massey T. Superconvergence of discontinuous Galerkin solutions for a nonlinear scalar hyperbolic problem // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 2006. - Vol. 195. - P. 3331-3346.

47. Cheng Y., Shu C.-W. Superconvergence and time evolution of discontinuous Galerkin finite element solutions // Journal of Computational Physics.— 2008.— Vol. 227.— P. 9612 9627.

48. Cockburn B., Luskin M., Suli E., Shu C.-W. Enhanced accuracy by post-processing for finite element methods for hyperbolic equations // Mathematics of Computation. — 2003. — Vol. 72. - P. 557-606.

49. New two-dimensional slope limiters for discontinuous Galerkin methods on arbitrary meshes : Paper : 4491 / INRIA ; Executor: Hoteit H., Ackerer P., Moze R. et al. : 2002.

50. Krivodonova L. Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods // Journal of Computational Physics. — 2007. - Vol. 226. - P. 879-896.

51. Qiu J. X., Dumbser M., Shu C.-W. The discontinuous Galerkin method with Lax-Wendroff type time discretizations // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 2005. - Vol. 194. - P. 4528-4543.

52. Qiu J. X., Shu C.-W. A comparison of troubled-cell indicators for runge-kutta discontinuous Galerkin methods using weighted essentially nonoscillatory limiters // SIAM journal of scientific computing. — 2005. — Vol. 27. — P. 995-1013.

53. Zhou T., Li Y., Shu C.-w. Numerical comparison of WENO finite volume and runge-kutta discontinuous galerkin methods // Journal of Scientific Computing. — 2001. — Vol. 16. — P. 145-171.

54. Debiez C., Dervieux A., Mer K., NKonga B. Computation of unsteady flows with mixed finite volume/ finite element upwind methods // International journal for numerical method in fluids. - 1998. - Vol. 27. - P. 193-206.

55. Debiez C., Dervieux A. Mixed-element-volume MUSCL methods with weak viscosity for steady and unsteady flow calculations // Computers and Fluids.— 2000.— Vol. 29, no. 1.- P. 89 - 118.

56. Approximations de'centre'es a' faible dissipation pour des proble'mes hyperboliques (in french) : Paper : 2811 / INRIA Report ; Executor: Debiez C. : 1996.

57. A vertex centered high order muscl scheme applying to linearised euler acoustics : Paper : 4459 / INRIA Report ; Executor: Abalakin I., Dervieux A., Kozubskaya T. : 2002.

58. A tetrahedral-based super convergent scheme for aeroacoustics : Paper : 5212 / INRIA Report ; Executor: Gourvitch N., Roge G., Abalakin I. et al. : 2004, —May.

59. A positive muscl scheme for triangulations : Rep. : 3465 / INRIA Report ; Executor: Cournede P.-H., Debiez Ch., Dervieux A. : 1998.

60. Abalakin I., Dervieux A., Kozubskaya T. High accuracy finite volume method for solving nonlinear aeroacoustics problems on unstructured meshes // Chinese Journal of Aeronautics. - 2006. - Vol. 19. - P. 97-104.

61. Wu H., Wang L. Non-existence of third order accurate semi-discrete MUSCL-type schemes for nonlinear conservation laws and unified construction of high accurate ENO schemes // Proceedings of the 6th International Symposium on CFD, Lake Tahoe, USA, September 4-8, 1995. - 1995.

62. Koobus В., Alauzet F., Dervieux A. Computational Fluid Dynamics / Ed. by Magoules F. - CRC Press, 2011. — P. 131-204.

63. Dervieux A., Koobus В., Schakk E. et al. Application of unsteady fluid-structure methods to problems in aeronautics and space // Coupling of Fluids, Structures and Waves in Aeronautics: Proceedings of a French-Australian Workshop in Melbourne, Australia 3-6 December 2001.- 2001.

64. Дубень А. П., Козубская Т. К., Миронов М. А. Численное исследование резонаторов в волноводе // Механика жидкости и газа. — 2012. — Т. 47, № 1. — С. 146-156.

65. Duben А. P., Kozubskaya Т. К., Mironov М. A. Numerical investigation of resonators in the waveguide // Fluid Dynamics. — 2012. — Vol. 47, no. 1. — P. 129-138.

66. Дубень А. П., Козубская Т. К., Королёв С. И. и др. Исследование акустического течения в горле резонатора // Акустический журнал. — 2012.— Т. 58, № 1.— С. 8092.

67. Duben А. P., Kozubskaya Т. К., Korolev S. I. et al. Investigation of acoustic flow in the resonator throat: experiment and computational modeling // Acoustical Physics.— 2012. - Vol. 58, no. 1. — P. 69-80.

68. Kozubskaya Т., Duben A., Knacke T. et al. Joint experimantal and numerical study of gap-turbulence interaction // 19th AIAA/CEAS Aeroacoustics conference, Berlin, Germany, May 2013, AIAA paper 2013-2214. - 2013.

69. Бахвалов П. А., Козубская Т. К., Корнилина Е. Д. и др. Технология расчетов акустических пульсаций в дальнем поле течения // Математическое моделирование.—

2011.-Т. И.-С. 33-47.

70. Bakhvalov P. A., Kozubskaya Т. К., Kornilina Е. D. et al. Technology of predicting acoustic disturbances in flow far field // Mathematical Models and Computer Simulations. —

2012. - Vol. 4, no. 3. - P. 363-373.

71. Бахвалов П. А., Козубская Т. К., Павловский В. Е. Численное моделирование приема акустических сигналов в робототехнике // Тезисы докладов всероссийской открытой конференции по авиационной акустике (октябрь 2009 г.). — Москва, 2009. — С. 66-67.

72. Бахвалов П. А., Козубская Т. К., Корнилина Е. Д. и др. Технология расчетов акустических пульсаций в дальнем поле течения //В сборнике тезисов Третьей открытой всероссийской конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике". — М.: МАКС Пресс, 2010,- С. 19-20.

73. Козубская Т. К., Павловский В. Е., Бахвалов П. А. Численное моделирование слухового сенсора робота //В Трудах 53-ей научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VII, Управление и прикладная математика, Том 3. — 2010. — С. 100-101.

74. Абалакин И. В., Горобец А. В., Дубень А. П., Козубская Т. К. Исследование аэродинамического шума на модельных задачах проекта FP7 VALIANT // Сборник тезисов Четвертой всероссийской конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике".- Москва : МАКС Пресс, 2012,- С. 7-9.

75. Абалакин И. В., Бобков В. Г., Жданова Н. С. и др. Численное моделирование аэроди-намикии и аэроакустики фенестрона в модельной конфигурации / / Тезисы докладов Третьей всероссийской открытой конференции по авиационной акустике (сентябрь 2013г.).— Москва : Центральный Аэрогидродинамический институт имени проф. Н.Е.Жуковского (ЦАГИ), 2013. - С. 211-212.

76. Abalakin I. V., Bakhvalov P. A., Kozubskaya Т. К. Edge-based reconstruction scheme and its WENO implementation for solving aerodynamics and aeroacoustics problems on

unstructured tetrahedral meshes // Book of Abstracts of International Workshop " Computational Experiment in AeroAcoustics", Svetlogorsk. — Moscow : MAKS Press, 2012. — P. 22-23.

77. Абалакин И. В., Бахвалов П. А., Козубская Т. К. Схема на основе реберно-ориентнрованной реконструкции переменных и ее WENO-версия для решения задач аэродинамики и аэроакустики на неструктурированных тетраэдральных сетках // Сборник тезисов Четвертой всероссийской конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике". — Москва : МАКС Пресс, 2012.— С. 5-6.

78. Huang, L.C. Pseudo-unsteady difference schemes for discontinuous solution of steady-state. One-dimensional fluid dynamics problems // Journal of Computational Physics. — 1981. - Vol. 42, no. 1. - P. 195-211.

79. Courant, R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1952. - Vol. 5. - P. 243-255.

80. Куликовский А. Г., Погорелов H. В., Семёнов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — Физматлит, 2001.

81. Того Е. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction. — Springer, 2009. — P. 748.

82. Roe, P.L. Approximate riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // Journal of Computational Physics. - 1981. - Vol. 43, no. 2. — P. 357-372.

83. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws : Rep. / ICASE Report 97-65 ; Executor: Shu, C.-W. : 1997.

84. Тихонов A. H., Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1962. — Т. 2. - С. 812-832.

85. Kreiss Н.-О., Manteuffel Т. A., Swartz В. et al. Supra-convergent schemes on irregular grid // Mathematics of computation. — 1986. — Vol. 47, no. 176. — P. 537-554.

86. Самарский А. А., Вабищевич П. H. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. - Эдиториал УРСС, 2009. - С. 248.

87. Douglas J., Dupont Т., Wahlbin L. Optimal Loo error estimates for galerkin approximations to solutions of two-point boundary value problems // Mathematics of computations. - 1975. - Vol. 29, no. 130.

88. Bouche D., Ghidaglia J.-M., Pascal F. Error estimate and the geometric corrector for the upwind finite volume method applied to the linear advection equation // SIAM journal of numerical analysis. - 2005. — Vol. 43, no. 2. — P. 578-603.

89. Pascal F. On SUPRA-convergence of the finite volume method for the linear advection equation // ESAIM: proceedings. - 2007. — Vol. 18. — P. 38-47.

90. Бахвалов П. А. Схема с квазиодномерной реконструкцией переменных на сетках из выпуклых многоугольников для решения задач аэроакустики // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 9. — С. 95-108.

91. Бахвалов П. А. Объемно-центрированная схема с квазиодномерной реконструкцией переменных для решения задач газовой динамики на сетках из выпуклых многоугольников // Сборник тезисов Четвертой всероссийской конференции "Вычислительный эксперимент в аэроакустике". — Москва : МАКС Пресс, 2012. — С. 27.

92. Абалакин И. В., Бахвалов П. А., Горобец А. В. и др. Параллельный программный комплекс NOISEtte для крупномасштабных расчетов задач аэродинамики и аэроаку-стикп // Вычислительные методы и программирование. — 2012. — Т. 13. — С. 110-125.

93. Абалакин И. В., Бахвалов П. А., Горобец А. В. и др. Программный комплекс NOISEtte для расчетов задач газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках //В Тезисах докладов Второй всероссийской открытой конференции по авиационной акустике (сентябрь 2011г.).— Москва : Центральный Аэрогидродинамический институт имени проф. Н.Е.Жуковского (ЦАГИ), 2011.— С. 100-101.

94. Абалакин И. В., Бахвалов П. А., Горобец А. В. и др. Комплекс программ NOISEtte для супервычислений в области аэродинамики и аэроакустики // Труды XIII международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование", 3-7 октября 2011 года, г. Саров. — г. Саров Нижегородской обл. : ИПК ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011.

95. Gorobets А. V., Kozubskaya Т. К. Technology of parallelization of the explicit high-accuracy algorithms for cfd and caa on non-structured meshes // Mathematical modeling. - 2007. - Vol. 19, no. 2.

96. Gorobets A. V., Abalakin I. V., Kozubskaya Т. K. Technology of parallelization for 2d and 3d cfd/caa codes based on high-accuracy explicit methods on unstructured meshes // 19th AIAA/CEAS Aeroacoustics conference, Berlin, Germany, May 2013, AIAA paper 2013-2214. - Parallel CFD 2007, Antalya (Turkey), May 2007.

97. Duben A. P., Abalakin I. V., Bakhvalov P. A. et al. Exploiting modern supercomputers in a research towards quieter aircrafts // Parallel CFD 2011 Books of abstracts. — Barcelona, Spain, 2011,- P. 30.

98. Pavlovsky V. E., Myagkov A. S., Khashan T. S., Pavlovsky V. V. Concept, simulation and elaboration of audition sensors for robots. / / Proc. of The IARP Workshop "Adaptive and Intelligent Robots: Present and Future". Moscow, IPMech RAS, RAS, vol.1. — 2005.— P. 90-100.

99. Павловский В. E., Мягков А. С., Хашан Т. С., Павловский В. В. Концепция, моделирование и разработка слуховых сенсоров для роботов // Информационно-измерительные и управляющие системы. — 2005-2006. — Т. 4, № 1-3. — С. 186-194.

100. Павловский В. Е., Бахвалов П. А., Козубская Т. К., Павловский В. В. Слуховой сенсор робота: численная оптимизация и экспериментальное исследование // Тр. Межд. научно-технической конф. "Мехатроника, автоматизация, управление - 2009" (МАУ-2009). - Изд-во ЮФУ, 2009. - С. 261-264.

101. Вайслейб Ю. В. Рассеяние звуковых волн на конечном конусе // Акустический журнал. - 1971. - Т. XVII, № 1. - С. 33-42.

102. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — Мир, 1964.

103. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. — Москва, 1966.

104. Авдеев И. С. Рассеяние звука телами неканонической формы : Дисс... кандидата наук / Авдеев И. С. ; Тульский государственный университет. — г. Тула, пр. Ленина, 92 9-101, 2011.