Теоремы Джексона в пространствах L P и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайнов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Московский, Александр Владимирович

• Московский, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Московский, Александр Владимирович

Содержание

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Шп) и

£р,а(К+)

§ 1. Элементы гармонического анализа в евклидовом пространстве

30 36 41

§ 2. Модули непрерывности в пространствах 1/р(Ми)

§ 3. Элементы гармонического анализа на полупрямой

§ 4. Теорема Джексона в пространствах £2(Мп), //2,л(Ж+)

§ 5. Теорема Джексона в пространстве £Р(ЕП), 1 ^ р <

§ 6. Теорема Джексона в пространстве ЬР>\(Ш+), 1 ^ р < 2

Глава 2. Экстремальные свойства дифференцируемых

функций, полиномов и сплайнов

§ 1. Сравнение перестановок дифференцируемых периодических функций и сплайнов на произвольных отрезках , 67 § 2. Сравнение перестановок тригонометрических полиномов на произвольных отрезках

§ 3. Равномерные оценки интегральных норм алгебраических многочленов

Литература

и

Основные обозначения

N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, К — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;

Ж'

п

| X = (хи ■ • • ,хп) XI е Ж,г = 1,...,п| —

действительное п-мерное пространство,

п \ Х/2 „

а=1

г=1

<>п 1— 1 — единичная евклидова сфера в Ж1г,

ее площадь; Тп=[0, 27г)п — п-мерный тор;

С

п

| 2Г = (гг,

комплексное п-мерное пространство;

ЬР(ЖП) = I / :ЖП

11/11? = / \№\р*х

< оо, 1 ^ р < с»;

Ц/Цоо =8ируга1|/(ж)| < оо,р = 00 >;

{1,9) = 11(х)д(х)(Ь

скалярное произведение в пространстве ¿2(ЖП);

ВпЕ — множество целых функций в Жп сферического типа Я>0;

Ел(/)р = т£{\\Г-д\\р \ д е ВпК П Ьр(Шп) } -

величина наилучшего приближения функции / Е Ьр(Шп) целыми функциями сферического типа Щ

Кх) = / /Ые-

-г(х,у)

¿у

преобразование Фурье функции /£Ь2(КП);

= sup IIf(x + h)-f{x)\\p (5 >0)

модуль непрерывности функции /eLp(Rn);

Мrf(x) = — [ f(x + r£)dt, r> 0-wn-1 J

Sn-

оператор среднего значения по сферам в lRn:

ui(SJ)p= sup I [Mry\f(y)-f(xW О^г^б \ J

\En

1/p

dx

y=x

l/p

= sup I — I I \f(x + rt)-f(x)\pdxdi

O^r^S \ 1 J

Sn-1

усредненный модуль непрерывности функции /Gbp(Mn);

^(u) = (1 -u)K Arf(x) = (1-Мг)2/(ж) = ¿®(Mr)fc/W

fc=0

разностный оператор,

W2(5,f)p= sup ||Дг/(ж)||р—

модуль непрерывности функции /eLp(En);

D(S,R,n)p= sup

/еь

pv

ErU)p

) f)P'

Di(S,R,n)p= sup ^^f- (¿ = 1,2)-

/GLP(E") J)p

константы Джексона в пространстве

Г(ж) — гамма-функция, Ja(^) — функция Бесселя первого рода порядка Л,

тлс-тл т2л + 1

= + ф.лМ = 2ЛГ(Л + 1} dx,

п-2

С1 2 (х) — ультрасферические многочлены Гегенбауэра, Т^х), [//(ж) — многочлены Чебышева 1-го и 2-го родов;

= < / К+ С

оо

р

р, а

< оо

2'

оо

(/,р) а = j 1(г)д(г)й^х(г) — о

скалярное произведение в пространстве 1/2,а(М+);

оо

7{р) = / ¡(г)зЛрг)^\(г) —

й преобразование Фурье-Ганкеля (Бесселя) функции /е!/2,а(К+);

Яд (Яр,а = м ||/ -дя\\Р)х,

где нижняя грань берется по функциям дкЕЬР1\(Ж+), для которых Бирр С [0,Д];

2

\ _ _1 Л -

г()+1> . ] /(^/гЧ^-гНсой^) ят2Л ^

А>-|

оператор обобщенного сдвига на полупрямой К+;

оо

«Л№/)р>а= вир [ т;| Яз)-/(Р)\*

0<г<6 \

1 р

Фа (р)

в=р

( Г(Л + 1)

" — йир i г~тл(л-гт i

О^г^б \ \/7гГ(Л + 2) У

оо

1 р

!|Р1 + Г2 - 2ргс08(р) - f (р)\Р (1р,\(р) Бт2Х (р(1(р

усредненный модуль непрерывности функции f^LPi\{R+);

оо

д,/(г) = (I-T'j'/'/W = -

fc=0

разностный оператор,

w2№/)p,A= suP "

модуль непрерывности функции д(М+);

sup (¿ = 1,2)-

константы Джексона в пространстве ЬР;д(М+);

Хм (ж) — характеристическая функция множества Mel supp f(x) — носитель функции /(ж);

для zE С: Im z - мнимая часть г, Rez - действительная часть г,

ьп.

z kl

sgnz = <

1 О, Z = 0;

Wr(T), r G N — множество 27Г-периодических функций /(ж), у которых (г—1)-я производная абсолютно непрерывная, a ||/^||оо^;1;

£>2п,г ~~ множество 27г-периодических сплайнов порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению U — ^ (i = 0,1,...,2п), (Р2п,г^^2п,г — идеальный сплайн Эйлера;

Тп — множество 27Г-периодических тригонометрических полиномов порядка п;

Рп — множество алгебраических многочленов степени п; mese — мера Лебега множества е,

А а (ж,/) = mes {у е А | \f(y)\ > х) —

функция распределения, а

гА(х, /) = inf { г е [о, IД|] I Лд(г, /) ^ ® } -

невозрастающая перестановка функции |/(ж)| на отрезке Д=[а,/?]сК

длины |Д| = ß—OL\

(а,/?,

ф\(а, ¡3,

ф2{а,(3,...) < ф\(а,(3,...) < Ф2(<*,/3,...).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы Джексона в пространствах L P и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайнов»

Введение

Диссертация посвящена решению некоторых экстремальных задач теории приближений. Доказываются точные неравенства Джексона в пространствах Ьр(Жп), и Ьр^\(Ж+) — ЬР(Ш+,х2Х+1(1х), А^ — \ при Устанавливаются теоремы о сравнении перестановок дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов на произвольных отрезках. Интегральные нормы алгебраических многочленов на большем отрезке равномерно по параметрам оцениваются через интегральные нормы на меньшем отрезке.

Нахождение точных констант в неравенствах Джексона в пространствах Ьр на торе Тп, евклидовом пространстве Мп, евклидовой сфере 5'п_1 является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено много работ.

Точные результаты в Ьр{Тп) получены Н.П. Корнейчуком [28] (п=1, р=оо, случай непрерывных функций), Н.И. Черныхом [59, 60] (п=1, В.А. Юдиным [62] (п> 1, р=2), В.И. Ивановым [24]

(п>1,

В пространстве (б'"-1), п^З точные неравенства Джексона установлены В.В. Арестовым и В.Ю. Поповым [2] (п=3,4) и А.А. Ба-бенко [4] (п^5). Д.В. Горбачевым [16] анонсировано точное неравенство Джексона в Ьр{8п~1) при 1^.р<2, п^З.

Наконец, в пространствах Ьр (Жп) точные неравенства Джексона доказаны И.И. Ибрагимовым и Ф.Г. Насибовым [20] (р=2, п—1), В.Ю. Поповым [45, 46] (р=2, п=1,2,3) и О.Л. Виноградовым [14] (1^р<2, п=1, оценка сверху). В.Ю. Поповым [46, 48, 47] найдены точные константы в неравенствах Джексона в ШТ = Тп, Жп, 5П_1 при малых значениях аргумента модуля непрерывности.

Точное неравенство Джексона в пространстве Ь2 на гиперболоиде анонсировано в [17].

Пусть Жп — п-мерное действительное евклидово пространство - со скалярным произведением

п

(х,у) = ( X = (хХ, . . . , Хп), у — (г/1, ... , уп) 6 1" )

г=1

и нормой

/ п X1/2

|ж| - уДх^ху = ( XX ) ;

Lp(Rn)

f : Жп —» С ||/||J = J \f(x)\pdx < oo

(1 ^ p < oo);

BnR — множество целых функций в Кп сферического типа R;

величина наилучшего приближения функции / Е Lp(Mn) целыми функциями сферического типа Л.

Первая глава посвящена доказательству в пространствах Lp (Мп), ri^l, точных неравенств Джексона, в которых величина наи-

лучшего приближения целыми функциями сферического типа оценивается через некоторые модули непрерывности. С неравенствами Джексона в пространствах Ьр(Шп) тесно связаны аналогичные неравенства в пространствах LPf\(HH+).

В § 1 излагаются элементы гармонического анализа в связанные с представлением группы движений Жп.

Пространство Еп является локально компактным метрическим пространством с метрикой d(x,y) = \x—y\, на котором действует транзитивная группа движений Cr=ISO(n) [13]. Квазирегулярное представление группы ISO(n) в пространстве ¿2(КП), задаваемое формулой L(g)f(x)=f(g~1x), разлагается в прямой интеграл попарно неэквивалентных неприводимых представлений Lp(g), действующих на пространствах Dnp, р>0. Пространство Dnp состоит из функций вида

—- функция Бесселя первого рода порядка А, Г(£) — гамма-функция, шп-1 — площадь единичной евклидовой сферы 5Т1~1. Оно является гильбертовым с нормой

ER(f)p = inf { ||/ - д\\р | д Е BnR П Lp(Rn) }

где

М*) = ^ф^гг/2-lipt)

(/

1/2

Ш =

fp{x)f{x)dx

f(y)f{x)^PP(\x -y\)dxdy

и скалярным произведением

[Л»5р] = J ! Кх)9(у)1Рр{\х - у\)д,х<1у.

мп еп

Разложение функции /££,2(Шп) в прямой интеграл и равенство Парсеваля записываются так

со оо

/(*) = 11Р(х)рп-1 ¿Р, ||/||2 =' I Ш\ V"1 (в.1)

о о

При этом справедливо равенство

00

Е%иъ = ¡\\!,Грп-'<1р. (в.2)

я

Разложение (В.1) при п=2 приведено в [13, с.218].

В § 2 в пространствах 1/р(Жп) определяются три модуля непрерывности.

Для функции /£-£р(Кп) "классический" модуль непрерывности и(6, /)р определяется равенством

и>(6,/)р= 8ПР ||/(® + Л)-/(х)||р (¿>0). Если для /Е£2(МП)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Московский, Александр Владимирович, 1998 год

Литература

1. Arestov V.V., Chernykh N.J. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polinomials // Proc. Inter. Conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25-43.

2. Арестов B.B., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере L2 // Изв. вузов. Матем. 1995. № 8. С. 13-20.

3. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Математические заметки. 1986. Т. 39. № 5. С. 651-664.

4. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Математические заметки. 1996. Т. 60. № 3. С. 333-355.

5. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в ^(К71) со сферическим модулем непрерывности // Тезисы докладов международной конференции по теории приближений и гармоническому анализу. Тула: ТулГУ, 1998. С. 26-28.

6. Бари Н.К. Обобщение неравенств С.Н. Бернштейна и A.A. Маркова // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1954. Т. 18. С. 159-176.

7. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

8. Benedeck A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm //Duke Math. J. 1961. V. 28. P. 301-324.

9. Berdysheva E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East. J. Approx. 1997. V. 3. N 4. P. 393-402.

10. Бердышева E.E. Взаимосвязь двух экстремальных задач для целых функций многих переменных // Тезисы докладов международной конференции по теории приближений и гармоническому анализу. Тула: ТулГУ, 1998. С. 42-44.

11. БернштеЙИ С.Н. Экстремальные свойства полиномов. М.: JL: ГТТИ, 1937.

12. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949.

13. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

14. Виноградов O.JI. О константе в неравенстве Джексона для пространств Lp(—оо,оо) // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 3 (№ 15). С. 15-22.

15. Горбачев Д.В. Теорема Джексона в £(Sn_1) // Тезисы докладов Воронежской зимней математич. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики". Воронеж: ВГУ, 1997. С. 56.

16. Горбачев Д.В. Точные константы Джексона на группе SU(2^ // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 14-27.

17. Горбачев Д.В. Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в Z/2 на гиперболоиде // Тезисы докладов международной конфе-

?енции по теории приближений и гармоническому анализу. Тула: УлГУ, 1998. С. 83.

18. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.:Изд-во ЛГУ, 1977.

19. Jackson D. Bernstein's theorem and trigonometric approximation // Trans. Amer. Math. Soc. 1936. V. 40. P. 225-251.

20. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего среднеквадратичного приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени //Докл. АН СССР. 1970. Т. 194. № 5. С. 1013-1016.

21. Иванов В.И. Локальное приближение периодических функций линейными полиномиальными методами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 224. № 3. С. 25-27.

22. Иванов В.И. Приближение функций из Сг сплайнами минимального дефекта // Математические заметки. 1988. Т. 43. № 6. С. 746-756.

23. Иванов В.И. Об оценке снизу константы в неравенстве Джексона в разных Lp-нормах // Математические заметки. 1992. Т. 52. m 3. С. 48-62.

24. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Математические заметки. 1994. Т. 56. № 2. С. 15-40.

25. Иванов В.И., Московский A.B. Одна экстремальная задача для алгебраических многочленов // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 86-96.

26. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале // Уч. зап. МГУ. Математика. 1939. Т. 60. С. 3-16.

27. Конягин C.B. О модулях непрерывности функций // Тезисы докладов Всесоюзной школы по теории функций. Кемерово: КГУ, 1983. С. 59.

28. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145. № 3. С. 514-515.

29. корнейчук Н.П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1971. Т. 35. № 1. С. 93-124.

30. корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

31. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

32. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова Думка, 1992.

33. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Гостехиздат, 1950.

34. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

35. Лигун А.А. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Математические заметки. 1976. Т .19. № 6. С. 913-926.

36. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite baudlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral / / SI AM J. MATH. ANAL. 1983. V. 14. N 2. P. 249-252.

37. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite baudlimited functions. II. Eventually negative functions // SIAM J. MATH. ANAL. 1983. V. 14. N 2. P. 253-257.

38. Маршалл А, Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.

39. Московский А.В. Некоторые экстремальные задачи для полиномов в интегральных метриках // Математические заметки. 1995. Т. 58. № 6. С. 940-941.

40. Московский А.В. Некоторые экстремальные свойства диффе-

1 fj U

ренцируемых периодических функции, полиномов и сплайнов на отрезках меньших периода // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 1996. Т. 2. Вып. 1. С. 169-175.

41. московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Mn) и Lp a(R+) // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: Т^лГУ. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 44-70.

42. наймарк M.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

43. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

44. Платонов С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений // Тезисы докладов международной конференции по теории приближений и гармоническому анализу. Тула: ТулГУ, 1998. С. 210-211.

45. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа. // Изв. вузов. Матем. 1972. № 6. С. 65-73.

46. Попов В.Ю. О точных константах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений. // Изв. вузов. Матем. 1981. № 12. С. 67-78.

47. Попов В.Ю. Приближение на сфере в Ь2 // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301. № 4. С. 793-797.

48. Попов В.Ю. Многомерные приближения в Ь2{Тт) // Теория функций и приближений. Труды 3-й Саратовской зимней школы. Межвузовский научн. сб. Ч. 3. Саратов: СГУ, 1988. С. 22-25.

49. Потапов М.К. 0 приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., Мех. 1983. № 4. С. 43-52.

50. potapov M.K. The operators of generalized translation in the approximation theory // Proceedings of the II Mathematical Conference in Pristina. Pristina, 1997. P. 27-36.

51. рустамов Х.П. О приближении функций на сфере // Изв. РАН. Сер. Матем. 1993. Т. 57. № 5. С. 127-148.

52. Справочник по специальным функциям // Под. ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.:Наука, 1979.

53. СтеЙН И., ВейС Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

54. ТайкОВ Л.В. Одно обобщение неравенства С.Н. Бернштейна // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 43-47.

55. ТИХОМИРОВ В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15. № 3. С. 81-120.

56. Tomitc M Theoreme de Gauss relatif au centre de gravité et son application // Bull. Soc. Math. Phis. Serbie. 1949. V. 1. P. 31-40.

57. Чебышев П.Л. О функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной. Полное собр. соч., Т. III. М.-Л., 1948. С. 108-127.

58. Черных Н.И. О некоторых экстремальных задачах для полиномов // Труды МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 49-89.

59. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

60. Черных Н.И. Неравенство Джексона в £-р(0,27г) с точной константой // Труды МИР АН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

61. Schoenberg I.J. On best approximation of linear operators" // Indagationes Mathematicae. 1964. V. 26. N 2. P. 155-163.

62. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 // Математические заметки. 1981. Т. 29 № 2. С. 309-315.

и