Теоретические исследования кинетики диффузионных фазовых превращений в сплавах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Строев, Андрей Юрьевич

• Строев, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Строев, Андрей Юрьевич

Введение

1 Стохастическое статистическое исследование кинетики начальных стадий распада сплавов

1.1 Введение.

1.2 Квазиравновесное кинетическое уравнение.

1.2.1 Квазиравновесное кинетическое уравнение для дискретной решетки.

1.2.2 Квазиравновесное кинетическое уравнение в непрерывном приближении.

1.3 Флуктуации и стохастические уравнения.

1.4 Фильтрация шумов.

1.5 Стохастическое кинетическое уравнение в непрерывном приближении

1.6 Морфологический переход между N0 и ЭБ.

1.6.1 Теоретические и экспериментальные подходы для изучения перехода N0-80.

1.6.2 Фазовый распад в квази-двумерных системах вблизи критической точки. Эксперименты и моделирование

1.6.3 Зависимость типа эволюции от радиуса взаимодействия

1.6.4 Морфологический переход N0-80 при средних температурах .,

1.7 Морфология преципитатов и кинетические особенности их образования при низких температурах.

1.8 Выводы.

2 Теория зарождения и эволюции нано-размерных преципитатов в сплавах с применением к сплавам железо-медь

2.1 Введение.

2.2 Квазиравновесные кинетические уравнения при вакансионном механизме атомного обмена.

2.2.1 Общие уравнения для средних заполнений узлов кристаллической решетки.

2.2.2 Выражения для химических потенциалов узла А? и корреляторов

2.2.3 Эквивалентность кинетики распада сплавов с вакан-сионным механизмом атомного обмена аналогичной кинетике для моделей с прямым атомным обменом

2.3 Основные уравнения стохастического статистического подхода

2.3.1 Общие представления классической теории нуклеации

2.3.2 Стохастическое кинетическое уравнение и фильтрация шумов.

2.4 Модели и методы, использованные при моделировании

2.4.1 Модели и состояния сплавов, использованные для моделирования

2.4.2 Оценка длины локального равновесия в стохастическом статистическом подходе.

2.4.3 Методы моделирования в КМСА.

2.4.4 Методы моделирования в ЭБА

2.5 Эволюция структуры, наблюдаемая при моделировании методами КМСА и ЭЭА.

2.5.1 Эволюция плотности и размеров преципитатов

2.5.2 Микроструктура сплава на различных стадиях эволюции

2.5.3 Кинетика нуклеации.

2.5.4 Изменения эволюции микроструктуры при изменениях температуры и концентрации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретические исследования кинетики диффузионных фазовых превращений в сплавах»

3.2 Термодинамическая модель и кинетические уравнения . . . 130

3.3 Моделирование процессов роста эвтектоидных колоний . . . 136

3.4 Кинетические и структурные характеристики стационарного роста колоний.141

3.5 Структура межфазных границ и эффекты их "смачивания" вблизи эвтектической точки.148

3.6 Эволюция колоний при различной скорости диффузии в разных фазах.156

3.7 Выводы.158

4 Моделирование роста и зарождения перлитных колоний для простой микроскопической модели сплава железо-углерод 160

4.1 Введение.160

4.2 Термодинамическая модель.161

4.3 Кинетическая модель .164

4.4 Моделирование роста перлитных колоний.166

4.4.1 Методы моделирования.166

4.4.2 Рост колоний при объемной диффузии .167

4.4.3 Рост колоний при поверхностной диффузии.169

4.5 Моделирование зарождения перлитных колоний.170

4.6 Выводы.178

Заключение 181

Список литературы 185

Введение.

Проблема теоретического описания процесса образования зародышей новой фазы в метастабильных сплавах впервые была поставлена Гиббсом, который указал на ключевую роль флуктуаций в этом процессе. С тех пор, несмотря на множество обсуждений этой проблемы в литературе, последовательной статистической теории этих явлений так и не появилось [1]-[4]. В последние десятилетия для исследования процесса образования зародышей новой фазы при распаде сплава эффективно используется кинетический метод Мойте Карло, который позволил получить достаточно надежную информацию о процессе нуклеации для некоторых простых моделей. Однако, этот метод является "прямым" моделированием рассматриваемого процесса и не позволяет получить общую физическую информацию о кинетике превращения. В работах, вошедших в настоящую диссертацию, впервые был разработан микроскопический статистический подход к проблеме нуклеации, который позволяет исследовать кинетику фазового распада сплава. Кроме того данная теория была применена и для решения ряда конкретных задач, в частности, для исследования процессов образования и роста зародышей новых фаз в тройных сплавах Fe-Cu-Mn, привлекающих большой интерес в связи с проблемой медного охрупчивания корпусов ядерных реакторов [5]-[8].

В ряде работ в последнее время кинетика распада сплавов описывается также феноменологическим методом "фазовых полей" (phase-field method - PFM) [9]-[14]. Однако, моделирование нуклеации и эволюции нано-размерных преципитатов на основе PFM может быть неадекватным, по меньшей мере, по трем причинам. Во-первых, "непрерывное" приближение, используемое в PFM, не учитывает эффектов дискретности кристаллической решетки, которые на стадии нуклеации, когда размеры преципитатов составляют 2-3 постоянных решетки, должны быть важными. Во вторых, в настоящей работе показано, что при значениях температуры Т и концентрации с, типичных для приложений, CALPHAD-выражения для термодинамических потенциалов, используемые в PFM [9]—[13], сильно искажают положение спинодалей в плоскости (Т, с), так что использование этих выражений ведет к резкому искажению типа микроструктурной эволюции. В третьих, трактовка флуктуационных членов (которые определяют процесс нуклеации) в вариантах "стохастического PFM", используемых в приложениях [9, 10], является произвольной и непоследовательной [15], в то время как адекватное описание этих членов определяет все основные характеристики микроструктуры.

Более последовательные аналитические подходы базируются на основном кинетическом уравнении (master equation) для вероятностей различных распределений атомов в неравновесном сплаве [16, 17]. Статистическое развитие этой идеи, основанное на обобщенном распределении Гиббса (generalized Gibbs distribution approach - GGDA) и на квази-равновесном кинетическом уравнении (quasi-equilibrium kinetic equation - QKE), позволяет адекватно описать множество особенностей кинетики фазового перехода в сплаве (см. обзор [18]). Однако, QKE не учитывает флуктуации атомных потоков, которые нарушают второй закон термодинамики [19, 20], в то время как присутствие таких флуктуаций является ключевым на начальных стадиях фазового распада сплава вблизи спинодали. Поэтому, чтобы описать подобные процессы, необходимо обобщить QKE, учитывая флуктуации.

Как уже отмечалось, самым надежным источником теоретической информации о начальных стадиях распада сплава пока является моделирование Монте-Карло, прежде всего кинетический метод Монте-Карло (kinetic Monte-Carlo approach - КМСА)[4], [21]-[24]. С помощью этого метода было обнаружено множество микроструктурных особенностей процесса нуклеации, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными [21, 24]. Однако при исследовании фазового распада на основе КМСА возникает ряд затруднений. Прежде всего, имеющиеся варианты КМСА требуют довольно больших объемов вычислений, что может объяснять редкость применений этого метода к конкретным системам [23, 24]. Кроме того, эффекты несоответствия решеток и связанного с этим упругого дальнодействия преципитатов в КМСА учесть трудно, в то время как это просто делается в статистических подходах [18]. Наконец, в КМСА часто трудно понять без детальных расчетов влияние на кинетику фазовых превращений различных термодинамических и микроскопических параметров, таких как концентрация, температура, состав сплава, и это обычно намного проще в статистических походах, основанных на явных аналитических уравнениях. Поэтому развитие последовательной статистической теории, учитывающей все достижения КМСА, кажется важным для более глубокого понимания кинетики распада сплавов.

В работах, вошедших в настоящую диссертацию, была разработана статистическая микроскопическая теория, основанная на GGDA и QKE, в которой последовательно зачтены флуктуационные эффекты, которые, как указывалось выше, ключевым образом влияют на кинетику распадающихся сплавов вблизи спинодали. В разделах 1 и 2 настоящей диссертации данная теория последовательно изложена применительно к двум фундаментальным и важным для приложений задачам. В разделе 1 исследована кинетика начальных стадий распада сплавов, в частности, рассмотрены два кинетических режима распада: нуклеация и рост и спинодальный распад, а также морфологический переход между этими двумя режимами. В разделе 2 изложена теория зарождения и эволюции нано-размерных преципитатов в сплавах с применением к сплавам железо-медь.

В разделах 3 и 4 предложенная в настоящей диссертации микроскопическая теория применяется для описания другого типа распада сплава: распада, сопровождающегося формированием и ростом пластинчатых эв-тектоидных колоний. Рассмотрен очень важный для приложений случай эвтектоидных превращений - перлитное превращение в сталях. Зарождение и рост перлитных колоний в сталях, уже много лет обсуждаются в литературе [25]—[28]. Развитые в имеющихся феноменологических моделях представления позволяют качественно понять ряд наблюдаемых особенностей роста перлитных колоний. Однако, попытки сколько-нибудь количественных расчетов или моделирования процессов роста и зарождения перлитных колоний в литературе отсутствуют. Вследствие этого понимание многих свойств и характеристик перлитного превращения, важных для приложений, остается недостаточным. Так, отсутствуют не только теории, но даже сколько-нибудь определенные представления о механизме зарождения и формирования перлитных колоний; нет теоретических подходов к определению периодов структур 5 и скоростей роста V; не ясно определяется ли кинетика роста колоний объемной или поверхностной диффузией углерода, и т. д.

Как отмечено рядом авторов [26, 28], процессы роста перлитных колоний кажутся во многом аналогичными процессам образования пластинчатых эвтектических колоний при направленной кристаллизации, теории которых в последнее время интенсивно развиваются [29, 30]. В этих теориях обычно используются только самые общие уравнения массо- и тепло-переноса и простые термодинамические модели, но в ряде случаев этого оказывается достаточным для описания довольно сложных кинетических процессов. В то же время описание роста перлитных колоний требует развитая теории диффузионных фазовых превращений с изменехшем типа кристаллической решетки. Вследствие отсутствия в литературе таких теорий, задачу теоретического описания перлитного превращения принято считать "более сложной" [26], чем для аналогичных превращений при кристаллизации жидких расплавов.

В в настоящей диссертации для описания кинетики перлитных превращений и исследования указанных и многих других проблем предложена простая модель сплава железо-углерод, основанная на излагаемой в настоящей работе микроскопической теории. Эта модель отражает все основные черты фазовых равновесий между аустенитом, ферритом и цементитом, и она легко может быть обобщена на случай более реалистических рассмотрений. В разделе 3 общие вопросы кинетики стационарного роста перлитных колоний обсуждаются на основе простой модели, симметричной относительно замены феррита на цементит, с объемным механизмом диффузии углерода, обычно предполагаемым в литературе. Исследованы, в частности, различные кинетические и структурные характеристики стационарного роста колонии. Полученные зависимости этих характеристик от температуры Т и периода колоний 5 качественно верно описываются в феноменологических подходах, но для количественных выводов эти подходы недостаточны. Рассмотрен также ряд проблем, которые не могут изучаться в феноменологических подходах, включая явление "смачивания" межфазных границ вблизи эвтектической температуры.

В разделе 4 перлитное превращение в сплаве железо-углерод рассмотрено на основе более реалистических моделей, чем в разделе 3, учитывающих существенную асимметрию фазовой диаграммы феррит-цементит. Найдено, что для всех рассмотренных моделей рост колоний по механизму объемной диффузии оказывается неустойчивым, а стационарный рост возможен только по механизму поверхностной диффузии углерода по межфазным границам. Кроме того, впервые моделировался процесс зарождения перлитной колонии. Предложенная модель зарождения перлитной колонии основана на предположении резкого убыстрения объемной диффузии атомов углерода вблизи границы зерен аустенита, на которое указывают имеющиеся экспериментальные данные. Результаты моделирований качественно согласуются с имеющимися данными о формировании перлита в сильно деформированных сталях и могут быть полезны для понимания более сложных многоступенчатых процессов формирования перлита в неде-формированных сталях, наблюдаемых на опыте.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Строев, Андрей Юрьевич

4.6 Выводы

1. В настоящем разделе предложена простая микроскопическая модель для изучения превращений перлитного типа. Несмотря на свою простоту, данная модель, по-видимому, отражает все главные особенности фазовых превращений между аустепитом, ферритом и цементитом.

2. Результаты моделирований роста перлитных колоний, основанных на этой модели, показали, что объемная диффузия атомов углерода приводит к блокированию роста пластин цементита ферритом и прекращению роста колонии. В связи с этим была развита модель поверхностной диффузии, на основе которой моделировался рост перлитной колонии. Получен

Фдаад 34 Роль субграннц аустенита я зарождении субколоний перлита (прерванное перлитное превращение) г. .».- граним »ери* «усгекнг». с, г <гу&ф*ниа» «еря» »устеикт»

Рис. 71: Роль субграниц аустенита в формировании субколоний перлита (прерванное перлитное превращение) [57]. "г. з." обозначает границу зерна аустенита; "с. г." обозначает субграницу зерна аустенита. ные в рамках этой модели кинетические характеристики роста значительно отличаются от полученных в феноменологических подходах, но они лучше согласуются с экспериментальными наблюдениями.

3. Предложена модель формирования перлитных колоний, основанная на предположении резкого усиления объемной диффузии атомов углерода вблизи границы зерен аустенита. Результаты моделирований качественно согласуются с имеющимися данными о формировании перлита в сильно деформированных сталях, также эти результаты могут быть полезны для понимания более сложных многоступенчатых процессов формирования перлита в недеформированных сталях.

Заключение

В настоящей диссертации были получены следующие основные результаты.

• Для стохастического описания эволюции микроструктуры при распаде сплава предложен подход, основанный на обобщенном распределении Гиббса и квази-равновесном кинетическом уравнении. Влияние флуктуаций на диффузионные потоки (которое не учитывается в квази-равновесном кинетическом уравнении) моделируется с помощью метода Ланжевена, схожего с тем, который используется для механических систем. Однако, в данном случае такой метод должен быть дополнен процедурой "фильтрации шумов", которая физически соответствует статистическому усреднению чисел заполнения пг- по некоторой области локального равновесия с определенной характерной длиной lie ~ 1с- Таким образом, в данной теории содержится важный кинетический параметр 1С, который приблизительно равен характерной длине локального равновесия.

• Для каждого набора с, Т и констант межатомного взаимодействия Уц длина 1С оценивается на основе предложенного в настоящей диссертации принципа "максимального термодинамического выигрыша".

• Полученное значение 1С резко зависит от значения приведенного параметра пересыщения метастабильного сплава и резко возрастает при приближении концентрации и температуры к критической точке.

• Развитый в данной задаче подход использован для изучения некоторых общих проблем кинетики фазового распада сплава. Во-первых, исследованы микроструктурные особенности процессов нуклеации и роста (nucleation and growth - NG) и спинодального распада (spinodal decomposition - SD), а также морфологического перехода NG-SD при изменении значений с и Т, соответствующем переходу через спинодаль на диаграмме (с,Г). Полученные результаты хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными наблюдениями при исследовании перехода N0-80 [39, 40]. Как вблизи критической точки, так и при средних температурах 0.7 < Т/Тс < 0.9 микроструктурная эволюция главным образом определяется приведенным параметром пересыщения 5, определенным в (97). Во-вторых, исследовано влияние величины поверхностной энергии межфазной границы на кинетику выделения преципитатов при температурах Т < 0.5ТС. Когда поверхностная энергия уменьшается, размер только что рождающихся преципитатов становится меньше, а скорость нуклеации возрастает, что качественно согласуется с классической теорией нуклеации, кроме того, резко усиливается анизотропия в морфологии преципитатов, что наблюдается на эксперименте [43]. Исследованы также кинетические особенности образования преципитатов при низких Т для модели сплава Ре-Си, которая ранее подробно изучалась на основе кинетического подхода Монте-Карло [21]. Результаты моделирования на основе статистического стохастического подхода хорошо согласуются с результатами моделирования на основе кинетического подхода Монте-Карло. Сравнение также показывает, что эти два подхода при описании эволюции могут дополнять друг друга в некоторых отношениях.

• На основе развитой недавно микроскопической теории диффузионных фазовых превращений в сплавах, в которой используются методы обобщенного распределения Гиббса и квазиравновесного кинетического уравнения, предложена простая микроскопическая модель для изучения превращений перлитного типа. Несмотря на свою простоту, данная модель, по-видимому, отражает все главные особенности фазовых превращений между аустенитом, ферритом и цементитом.

• Выполнено широкое компьютерное моделирование процессов стационарного роста эвтектоидных колоний для простого варианта предложенной модели с симметричной относительно замены феррита на цементит фазовой диаграммой и с объемным механизмом диффузии углерода, обычно предполагаемым в литературе. В частности, подробно исследованы различные кинетические и структурные характеристики: зависимость скорости роста V от периода структуры 5 и от величины переохлаждения относительно температуры эвтектики ДТ = (Те — Т); зависимость минимального периода структуры ¿о от ДТ; изменение формы фронта колонии с периодом <9, и другие характеристики. Результаты сравниваются с выводами имеющихся феноменологических подходов [25]—[28]. Найдено, что общий характер полученных зависимостей для используемой модели с объемным механизмом диффузии углерода качественно верно описывается в феноменологических подходах, но для количественных выводов эти подходы недостаточны.

Результаты моделирований в рамках реалистичной модели железо-углерод, учитывающей существенную асимметрию фазовой диаграммы феррит-цементит, показали, что в случае объемного механизма диффузии углерода, обычно предполагаемого в литературе, устойчивый рост перлитных колоний невозможен.

Развита модель роста перлита по механизму убыстренной диффузии углерода в процессе превращения по межфазным границам. Полученные в рамках этой модели характеристики роста перлитной колонии значительно отличаются от полученных в феноменологических подходах, но лучше согласуются с экспериментальными наблюдениями [25].

Предложена модель зарождения перлитных колоний, основанная на предположении резкого убыстрения объемной диффузии атомов углерода вблизи границы зерен аустенита, на которое указывают имеющиеся экспериментальные данные [60, 61]. Результаты моделирований процессов зарождения перлитной колонии на основе этой модели качественно согласуются с имеющимися экспериментами в сильно деформированных сталях и могут быть полезны для понимания более сложных, многоступенчатых процессов формирования перлита в неде-формированных сталях, наблюдаемых на опыте.

Эти и другие результаты проделанной автором работы опубликованы в цикле работ [15], [44], [62]-[66].

При развитии как стохастической теории образования зародышей в метастабильных сплавах (разделы 1 и 2), так и теории перлитных превращений (разделы 3 и 4) автор активно участвовал в развитии описанных выше новых подходов и разработке моделей для решения исследовавшихся проблем, включая, в частности, разработку стохастического метода моделирования образования и роста зародышей новых фаз в метастабильных сплавах, предложение простых методов моделирования фазовых равновесий при перлитном превращении, предложение "адиабатического'' метода решения уравнений эволюции перлитных колоний, использующего медленность "диффузионных" времен эволюции сравнительно с фононными, а также решение ряда других проблем описываемого исследования. Кроме того, автором выполнен основной объем необходимых для исследования компьютерных моделирований, включая написание и отладку соответствующих расчетных программ.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.Г. Ваксу, а также своим коллегам: К.Ю. Хромову и И.Р. Панкратову, в соавторстве с которыми был выполнен целый ряд работ, вошедших в настоящую диссертацию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Строев, Андрей Юрьевич, 2010 год

1. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Стаистпческая физика. — Наука. Москва. — 1995.

2. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Физическая Кинетика. — Наука. Москва. — 1979.

3. К. Binder. Spinodal Decomposition // Materials Science and Technology. — Vol. 5. — Phase Transformations in Materals. — Ed. by R. W. Cahn el al. VCIi. Weinheim. - 1991. - Chap. 7.

4. F. Soisson and G. Martin. Monte Carlo simulations of the decomposition of metastable solid solutions: Transient and steady-state nucleation kinetics. // Phys. Rev. B. — 2000. Vol. 62. - P. 203.

5. M. K. Miller, B. D. Wirth and G. R. Odette. Precipitation in neutron-irradiated Fe-Cu and Fe-Cu-Mn model alloys: a comparison of APT and SANS data. // Mater. Sci. Eng. 2003. - Vol. 353. - P. 133.

6. D. Isheim, R. P. Kolli, M. E. Fine and D. N. Seidman. An atom-probe tomographic study of the temporal evolution of the nanostructure of Fe-Cu based high-strength low-carbon steels. // Scripta Mater. — 2006. — Vol. 55. P. 35.

7. R. Rana, W. Bleck, S.B. Singh, O.N. Mohanti. Development of high strength interstitial free steel by copper precipitation hardening. // Mater. Lett. 2007. - Vol. 61. - P. 2919.

8. Y. Wang, D. Banerjee, С. C. Su and A. G. Khachaturyan. Field kinetic model and computer simulation of precipitation of LI2 orderedintermetallics from f.c.c. solid solution. // Acta Mater. — 1998. — Vol. 46.- P. 2983.

9. T. Koyama and H.Onodera. Computer simulation of phase decomposition in Fe-Cu-Mn-Ni quaternaiy alloy based on the phase-field method. // Mater. Trans. 2005. — Vol. 46. — P. 1187.

10. T. Nagano and M. Enomoto. Simulation of the growth of copper critical nucleus in dilute bcc Fe-Cu alloj's. // Scripta Mater. — 2006. — Vol. 55. — P. 223.

11. C. Zhang and M. Enomoto. Study of the influence of alloying elements on Cu precipitation in steel by non-classical nucleation theory. // Acta Mater.- 2006. — Vol. 54. P. 4183.

12. Q. Bronchart, Y. Le Bouar, and A. Finel. New Coarse-Grained Derivation of a Phase Field Model for Precipitation. // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol. 100. P. 015702.

13. G. Martin. Atomic mobility in Cahns diffusion model. // Phys. Rev. B. — 1990. Vol. 41. - P. 2279.

14. F. Haider, P. Bellon and G. Martin. Nonequilibrium transitions in driven AB3 compounds on the fee lattice: A multivariate master-equation approach // Phys. Rev. B. 1990. - Vol. 42 - P. 8274.

15. V. G. Vaks. Kinetics of phase separation and ordering in alloys. // Phys.

16. Reports. — 2004. — Vol. 391. — P. 157-242.

17. V. G. Vaks. Master equation approach to the configurational kinetics of nonequilibrium alloys: exact relations, H-theorem, and cluster approximations. // JETP Lett. — 1996. — Vol. 63. P. 471.

18. F. Soisson, A. Barbu and G. Martin. Monte Carlo simulations of copper precipitation in dilute iron-copper alloys during thermal ageing and under electron irradiation. // Acta Mater. — 1996. — Vol. 44. — P. 3789.

19. Y. Le Bouar and F. Soisson. Kinetic pathways from embedded-atom-method potentials: Influence of the activation barriers. // Phys. Rev. B. — 2002. Vol. 65. - P. 094103.

20. F. Soisson and C.-C. Fu. Cu-precipitation kinetics in a-Fe from atomistic simulations: Vacancy-trapping effects and Cu-cluster mobility. // Phys. Rev. B 2007. - Vo. 76. - P. 214102.

21. Р. Ф. Мейль, У. К. Хагель. Аустенитно-перлитное превращение. — Успехи физики металлов, Вып. 3. — Металлургиздат. Москва. 1960. С. 88-156.

22. М. Hillert. On theories of growth during discontinuous precipitation. // Met. Trans. — 1972. — Vol. 3. — P. 2729.

23. M. J. Whiting. A reappraisal of kinetic data for the growth of pearlite in high purity Fe-C eutectoid alloys. // Scripta Mater. — 2000. — Vol. 43. — P. 969.

24. В. M. Счастливцев, Д. А. Мирзаев, И. Л. Яковлева и др. Перлит в углеродистых сталях. — Екатеринбург: ИФМ УрО РАН. — 2006. — гл. 2.

25. М. Apel, В. Boettger, H.-J. Diepers, I Steinbach. 2D and 3D phase-field simulations of lamella and fibrous eufcectic growth. //J Cryst. Growth. — 2002. Vol. 237-239. P. 154.

26. M. Plapp and A. Karma. Eutectic colony formation: A phase-field study. // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66. - P. 061608.

27. R. Wagner and R. Kampmann. Homogeneous second phase precipitation // Materials Science and Technology. — Vol. 5. Phase Transformations in Materals. Ed. by R. W. Cahn et al. - VCH. Weinheim. - 1991. - Chap. 4.

28. J. W. Cahn. Theory of decomposition of unstable alloy near tht critical point.// Acta Met all. 1961. - Vol. 9. - P. 795.

29. I. R. Pankratov and V. G. Vaks. Generalized Ginzburg-Landau functionals for alloys: General equations and comparison to the phase-field method. // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 68. - P. 134208.

30. J. W. Cahn and J. E. Hilliard. Free energy of a nonuniform system. III. Nucleation in a two-component incompressible fluid. // J. Chem Phys. — 1959. Vol. 31. - P. 688.

31. V. G. Vaks, S. V. Beiden, and V. Yu. Dobretsov. Mean-field equations for configutational kinetics of alloys at arbitrary degiee of nonequilibrium. // JETP Lett. 1995. - Vol. 61. - P. 68.

32. N.G. Van Kampen. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. — Amsterdam. North Holland. — 1984.

33. V. Yu. Dobretsov, I. R. Pankratov, and V. G. Vaks. Stochastic description of phase separation near the spinodal curve in alloys. // JETP Lett. — 2004. Vol. 80. — P. 702.

34. K. Oki, H. Sagane and T. Eguchi. Studies of decomposition of iron-aluminium alloy near the triple point.// J. Physique Colloq. — 1977. — Vol. 38. — P. 7-414. K. Oki, S. Matsumura and T. Eguchi. // Phase Transitions.- 1987. Vol. 10. - P. 257.

35. H. Tanaka, T. Yokokawa, II. Abe, T. Hayashi and T. Nishi. Transition from metastability to instability in a binary-liquid mixture. // Phys. Rev. Left.- 1990. Vol. 65. - P. 3136.

36. H. Tanaka. New coarsening mechanisms for spinodal decomposition having droplet pattern in binary fluid mixture: Collision-induced collisions. // Phys. Rev. Lett. — 1994. Vol. 72. - P. 1702.

37. K.D. Belashchenko, G.D. Samolyuk and V.G. Vaks. Kinetic features of alloy ordering with many types of ordered domain: D03-type orderings. // J. Phys.: Condensed Matter. 1999. — Vol. 11. - P. 10567.

38. V. Yu. Dobretsov and V. G. Vaks. The microscopical theory of homogeneous nucleation in alloys. // Phys.: Condensed Matter — 1998.- Vol. 10. P. 2261 and 2275.

39. F. Ernst and P. Haasen. Studies of precipitation in Ag-Al alloy system. // Phys. Stat. Sol. (a) 1987. - V. 104. - P. 403.

40. A. Yu. Stroev, I. R. Pankratov and V. G. Vaks. Stochastic statistical approach to the kinetics of first stages of phase separation in alloys. // Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 77. - P. 134203.

41. В. Г. Вакс, К. Ю. Хромов. К теории взаимодействий и термодинамических свойств атомов углерода в ГПУ- и ГЦК-железе. // ЖЭТФ. — 2008. Т. 133. - С. 115.

42. В. Г. Вакс, К. Ю. Хромов. К теории фазовых равновесий аустенит-цементит в сталях. // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 133. — С. 313.

43. В. Г. Вакс, Г. Д. Самолюк. О точности различных кластерных методов при описании фазовых переходов упорядочения в ГЦК сплавах. // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - С. 158.

44. F. Soisson, С. Becquart, N. Castin, С. Domain, L. Malerba, E. Vincent. Atomistic Kinetic Monte Carlo studies of microchemical evolutions driven by diffusion processes under irradiation. // J. Nucl. Mater. — 2010. — Vol. 406. P. 55.

45. K. D. Belashchenko, I. R. Pankratov, G. D. Samolyuk and V.G. Vaks. Kinetics of formation of twinned structures under Llo-type orderings in alloys. // J. Phys.: Condensed Matter. 2002. Vol. 14. P. 565.

46. P. Glansdorff and I. Prigogine. Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations. — Wiley. — 1971.

47. T. Miyazaki, T. Kozakai and C. G. Schoen. Precipitate nucleation near the edge of miscibility gap. Solid—>Solid Phase Transformations in Inorganic Materials 2005, ed. by J. M. Howe et al. (TMS, Warrendale, 2005). — Vol. 2. — P. 271-290.

48. В. Г. Вакс, С. П. Кравчук и А. В. Трефилов. Ангармоническая динамика решетки щелочных металлов. // J. Phys.: Metal Phys. — 1980. — Т. 10. С. 2105.

49. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. — Наука. Москва. — 1978. — Таблица 6.1.

50. М. Е. Блантер. Фазовые превращения при термической обработке стали. // М. ГНТИ Чер. Цвет. Мст. 1962. - гл. I.

51. К. Yu. Khromov, I. R. Pankratov and V. G. Vaks. Generalized Ginzburg-Landau theory of antiphase and interphase boundaries in alloys ordered with a single order parameter: B2- and Llo-type ordering. // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. — 094207.

52. M. Hillert. The formation of pearlite. // Decomposition of austenite by diffusional processes, ed. bj' V. F. Zackay and H. I. Aaronson (Wiley, N.-Y.-London, 1962). C. 197-247.

53. JI. И. Тушинский, А. А. Батаев, Л. Б. Тихомирова. Структура перлита и конструктивная прочность стали. — Наука. Новосибирск. — 1993.

54. В. Г. Вакс, К. Ю. Хромов. Обобщенные функционалы Гинзбурга-Ландау для изучения фазовых переходов между ГЦК-, ОЦК- и ГПУ-структурами в металлах и сплавах. // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 136. — С. 722.

55. М. Hillert. The role of interfacial energy during solid state phase transformation. // Jernkont. Ann. Vol. — 1957. — Vol. 141. P.757. Metall. Trans. Vol. 3. 1972. - P. 2729.

56. S. Z. Bokshtein et al. Peculiarities of the diffusion of carbon in iron.// Metal Science and Heat Treatment. — 1961. — Vol. 3. — P. 6.

57. А. Г. Кесарев, В. В. Кондратьев. Некоторые вопросы теории диффузии в наноструктурных материалах. // Материаловедение, 4. — 2010. — С. 60-64.

58. I. R. Pancratov, A. Yu. Stroev and V. G. Vaks. Studies of phase separation in alloys using the stochastic statistical approach. // Mathematical Modeling and Computer Simulation of Material Technologies 2006. — Vol. 1. P. 1-85.

59. В. Г. Вакс, А. Ю. Строев. Исследование кинетики роста эвтектоидных колоний в твердом расстворе для простых моделей сплавов. // ЖЭТФ.- 2008. Т. 134. - С. 113.

60. В.Г. Вакс, А.Ю. Строев, F. Soisson и К.Ю. Хромов. Стохастическая статистическая теория зарождения и эволюции нано-размерных преципитатов в сплавах с применением к сплавам железо-медь. // ЖЭТФ.1. Принята к печати.

61. К. Yu. Khromov, F. Soisson, A. Yu. Stroev, V. G. Vaks. Stochastic statistical theory of precipitation in metastable alloys with application to Fc-Cu and Fe-Cu-Mn alloy systems. // Solid State Phenomena. — Accepted for publication.

62. K. Yu. Khromov, F. Soisson, A. Yu. Stroev, V. G. Vaks. Modeling of growth and formation of pearlite colonies for simple models of alloys iron-carbon. // Solid State Phenomena. — Accepted for publication.