Теоретическое изучение динамики нелинейных структур и нестандартного переноса в замагниченной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Попов, Павел Владимирович

• Попов, Павел Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Павел Владимирович

Введение

1 Динамика магнитного поля в пылевой плазме

1.1 Уравнения движения.

1.2 Граничная задача.

Отрицательно заряженная пыль.

Положительно заряженная пыль.

2 Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах

2.1 Транспорт в гребешковых структурах.

2.2 Разветвлённая гребешковая структура.

2.3 «Гирлянды».

2.4 Типичные задачи о контакте.

3 Динамика вихревой нити в слоистой среде

3.1 Уравнение движения.

3.2 Вихревая нить.

3.3 Керн конечного размера.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое изучение динамики нелинейных структур и нестандартного переноса в замагниченной плазме»

Рассмотренные в данной диссертации задачи посвящены изучению нестандартных явлений переноса и динамики магнитного поля в комплексных средах: в многокомпонентной плазме, слоистых и гетерогенных средах, имеющих сложные по геометрии включения. Транспортные процессы, а также динамика нелинейных (в том числе, вихревых) структур в указанного рода средах не описывается в рамках привычной классической теории, а потому их теоретическое описание является важной на сегодняшний день задачей, в том числе для адекватного описания лабораторной и космической плазмы.

Наличие нескольких сортов заряженных частиц в плазме может нетривиальным образом изменить характер её поведения. Присутствие третьего, пусть даже не заряженного, типа частиц означает появление сильной зависимости проводимости от магнитного поля [1] (эффект, известный в теории полупроводниковой плазмы под названием магнетосопротивление). Наличие заряда приводит к необходимости дополнительного учёта взаимного сноса компонентов, при этом взаимная динамика поля и вещества определяется законом вмороженности поля в один из компонентов. В результате процесс проникновения магнитного поля в глубь плазмы описывается системой нелинейных диффузионных уравнений, и это приводит к его существенному изменению и усложнению динамики по сравнению с классическими задачами о скин- или пинч-эффекте.

Рассмотрение процессов стохастического переноса в нестандартных условиях, как, например, перенос частиц в турбулентных потоках, перколяцион-ных системах и других средах с фрактальной геометрией [2-5], в том числе в космической плазме [6], а также, например, в стохастическом магнитном поле [7-9] или при переносе излучения в линиях в корональной плазме [10,11], приводит к законам, отличным от классических диффузионных (скейлинг для среднего смещения частиц есть (а:2) ос £а, где а ф 1), что вызвано наличием в рассматриваемых системах пространственных или временных нелокально-стей в микроскопическом поведении частиц: например, медленно спадающих по координате или времени корреляций в их движении. Если частицы могут подолгу задерживаться в каких-либо «ловушках»' (среднее время ожидания бесконечно), то это порождает временную нелокальность и замедляет макроскопическое движение (субдиффузия, а < 1). В качестве примера такого рода замедленного переноса можно привести задачу о диффузии частиц в конвективных вихревых ячейках, для описания которой была впервые предложена модель, соответствующая простейшей из рассматриваемых в данной диссертации гребешковых структур. С точки зрения практического приложения именно для физики плазмы, отметим, что одной главных проблем в реализации УТС в установках типа токамак часто называют аномальные потери энергии ввиду переноса частиц и энергии поперёк удерживающего магнитного поля, в связи с чем крайне важна разработка теории диффузии в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью с учётом эффектов памяти и нелокальной природы транспортных процессов, и, в частности, корректное описание участков с субдиффузионным режимом переноса (см. обзор [12]).

Что касается математического аппарата, одним из возможных способов описания такой эволюции оказываются линейные интегро-дифференциальные уравнения, представляющие из себя модификации классического уравнения диффузии, записанные терминах производных дробных порядков [13,14]. Рассматриваемые нами гребешковые структуры различных конфигураций представляют собой пример систем, для которых соответствующие макроскопические уравнения могут быть получены строго, а также являются удобным «полигоном» для анализа закономерностей и особенностей (в частности, в постановке начальных и граничных условий) для субдиффузионного транспорта, при том что предлагаемый в нашей работе подход и набор структур позволяют моделировать широкий класс такого рода явлений с показателем 0 ^ а < 1, а также рассчитывать взаимодействие находящихся в контакте между собой участков с различными а.

И наконец, в динамике замагниченной плазмы важную роль играют нелинейные вихревые структуры с сильно локализованной завихренностью, которые также могут наблюдаться в самых разных физических системах и представляют значительный интерес с точки зрения физики плазмы, теории сверхпроводимости и гидродинамики. Особое внимание в вихревой динамике привлекает, в частности, возможность получения универсальных ответов независимо от природы и внутренней структуры вихрей,- и одно из важнейших мест здесь занимает модель вихревых нитей. Динамика таких объектов хорошо изучена в обычной несжимаемой жидкости [15,16], а также'в ЭМГ (см. [17]) плазме и сверхпроводниках И-го рода [18], где существуют уравнения движения нити в терминах её кривизны и кручения (справедливые в приближении локальной индукции), которые сводятся к нелинейным уравнениям типа НУШ. Использование универсального уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса в течение среды позволяет распространить задачу о динамике вихревой нити на анизотропный случай, в результате чего изменяется тип уравнений, и появляются такие эффекты, как неустойчивость вихревой нити при сильном наклоне и при конечной толщине керна. Такой подход, по-видимому, имеет непосредственное отношение к физике ВТСП-керамик, которые как известно имеют слоистую структуру, и для их описания широко применяется модель двумерных точечных вихрей («pancake vortices»), движущихся в слоях образца (см. обзор [19]); при этом общность используемого подхода позволяет надеяться, что наши результаты могут найти применение и для более широкого класса сред, таких как гетероструктуры или стратифицированный разряд в низкотемпературной плазме.

Изложим кратко содержание работы. В первой главе рассмотрена задача о проникновении магнитного поля в комплексную (например, пылевую) плазму. Рассматривается модель трёхкомпонентной плазмы, основанная на двухжидкостиой МГД, в которой движение электронов и ионов происходит на неподвижном однородном фоне заряженных частиц, пренебрегается инерционными членами и газокинетическим давлением, а также учитывается взаимное трение только двух самых тяжёлых компонентов. Данная модель может быть адекватной для описания, например, пылевой плазмы, а также плазмы полупроводников. Обращается внимание на эффекты, возникающие из-за возможности независршого переноса заряженных компонентов без нарушения квазинейтральности, и необходимости в связи с этим решевшя задачи с подвижной границей. Получены как численные, так и некоторые аналитические решения соответствующей системы нелинейных диффузионных уравнений. Характер этих решений оказывается существенно зависящим от параметров плазмы, а также рода начальных и граничных условий. Установлено наличие быстрой трансляции поля внутрь плазмы-при отрицательном заряде пыли (в различных режимах), а также полная остановка проникновения при положительном.

Во второй главе с помощью единого строгого подхода выведены уравнения в дробных производных, описывающие субдиффузионный перенос в гре-бешковых структурах различной геометрической сложности. Обращается внимание на общую нетривиальность вклада начального распределения частиц на всю последующую эволюцию. Рассматривается транспорт в разветвлённых гребешковых структурах, и показывается, что он имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причём порядок дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвлённости как а = 1/2к. Предлагаются и исследуются структуры — «гирлянды», проявляющие ещё более медленную эволюцию (для них формально а = 0). Приводятся решения этих уравнений для находящихся в контакте структур с сильно отличающимися дробными показателями, имеющие качественные важные для практики особенности.

В третьей главе в рамках гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженности, даётся динамическое описание поведения вихревой нити в слоистой бесконечно проводящей среде. Выявлены, что наличие существенной анизотропии приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой - к появлению существенной нелинейности (и, по видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Рассматриваются эффекты, возникающие в связи с конечностью керна вихря, и выводятся дисперсионные соотношения для волн на вихревом столбе в линейном приближении. Обращается внимание на то, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся они в одной плоскости или в разных, в связи с чем рассматривается вопрос о возможной неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

Итак, автор выносит на защиту:

1. Численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в пылевую плазму для различных знаков заряда пыли.

2. Исследование субдиффузионного стохастического переноса в сложных гребешковых структурах и «гирляндах» в терминах уравнений в дробных производных.

3. Описание динамики вихревой нити, в том числе конечной толщины, в слоистой бесконечно проводящей среде.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Попов, Павел Владимирович

Заключение

Перечислим кратко основные результаты работы.

1. Полученные в первой главе решения описывают динамику проникновения магнитного поля внутрь замагниченной трёхкомпонентной плазмы при условии, что магнитное поле молено считать вмороженным в электроны, а диссипация происходит за счёт трения тяжёлых ионов о неподвижные частицы пыли. Помимо того, что проводимость плазмы зависит от величины поля, что делает уравнения сильно нелинейными, существенное различие в подвижности компонентов приводит к необходимости учёта их взаимного движения под действием VВ2, вплоть до ухода одного из них из приграничной области. В результате, режим проникновения определяется параметрами плазмы (которые могут изменяться в результате эволюции системы) и зависит от характера начальных и рода граничных условий. При этом изменение знака заряда пыли кардинальным образом меняет картину явления, так что при Z¿ > 0 оказывается возможной полная остановка проникновения.

2. Последовательное использование предложенного во второй главе метода позволило

• Получить асимптотические уравнения, описывающие макроскопическую эволюцию частиц вдоль гребешковых структур различной конфигурации и степени разветвлённости. Были получены уравнения в дробных производных, учитывающие наличие начальных данных. В частности, для простейшей структуры выписано выражение, учитывающее микроскопические особенности начального распределения полной концентрации (то есть, в данном случае, распределение при I = 0 частиц в отростках) — оно приводит к зависимости правой части от времени, что ещё раз доказывает необходимость его учёта при решении субдиффузионных уравнений любого вида.

• Показать, что транспорт в разветвлённых гребешковых структурах также имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причём показатель а при дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвлённости (а = 1/2к). Предельный переход к бесконечно разветвлённым отросткам показал, что диффузия в них эквивалентна уходу частиц с хребта с постоянной скоростью — это приводит к полному прекращению переноса вдоль структуры.

• Предложить структуры («гирлянды»), описывающие более медленную эволюцию (для которых формально а = 0). Случай, когда на хребет насажены диски является переходным — распространение частиц по оси не прекращается, но происходит медленнее, чем по степенному закону. В «гирлянде» шаров транспорт вдоль структуры прекращается за характерные времена диффузии частиц между её элементами, поскольку шары впитывают в себя частицы с экспоненциальной скоростью.

• Рассмотреть вопросы постановки и решения некоторых общих задач для субдиффузионных уравнений в дробных производных. Показано, что граничные и начальные условия для них приобретают нелокальный по времени вид. Для двух находящихся рядом участков с различными показателями а, более разветвлённая структура (с меньшим а) впитывает в себя почти все частицы из менее разветвлённой. Участок структуры, обладающий более разветвлёнными отростками, чем её основная часть (то есть когда показатель субдиффузрш на этом участке в два раза меньше) становится эффективным барьером на пути частиц, не пропуская через себя входящий поток.

3. В рамках использованного в третьей главе гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженности, удалось выявить важные детали динамики уединённой вихревой нити в слоистых бесконечнопроводящих средах. Наличие существенной анизотропии в рассмотренной задаче приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой — к появлению существенной нелинейности (и, по-видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Кроме того, оказывается, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся ли они в одной плоскости или в разных. Это необычное свойство, в частности, может приводить к неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

Результаты представленной диссертации опубликованы в работах [52-54] и докладывались на следующих российских и международных конференциях: III, IV и V Курчатовская молодёжная научная школа (Москва, 2005, 2006, 2007), XXXV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2008), 373 WE Heraeus Seminar Anomalous Transport: Experimental Results and Theoretical Challenges (Bad-Honnef, Germany, 2006), на XV и XVI научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2006, 2007) и на семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский институт».

Автор выражает благодарность коллективу Отделения прикладной физики, и в особенности своему научному руководителю К. В. Чукбаоу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Павел Владимирович, 2009 год

1. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. — М.: Госатомиздат, 1963. — Т. 1. — С. 183.

2. Montroll J. W., Schlesinger M. F. Random walks and their applications in the physical and biological sciences // Studies in Statistical Mechanics / Ed. by J. Leibowitz, E. W. Montroll. — North-Holland, Amsterdam, 1984. — Vol. 2. — P. 1.

3. Bouchand J.-P., Georges A. Anamalous diffusion in disordered media: statistical mechanics, modeles and physical applications // Phys. Rep. — 1990. Vol. 195. - P. 127.

4. Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. - Vol. 64. - P. 961.

5. Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. — 2000. — Vol. 339. — P. 1.

6. Зеленый JI. M., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. 2005. - Vol. 174. - Р. 809.

7. Kadomtsev В. В., Pogutse О. P. Electron thermal conductivity across "shaggy"magnetic field // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion. — Vol. 1. — Proceedings of the 7th International Conference, Innsbruck, 1979. — P. 649.

8. Rechester А. В., Rosenbluth M. N. Electron heat transport in a tokamak with destroyed magnetic surfaces // Phys. Rev. Lett — 1978. — Vol. 40. — P. 38.

9. Zaburdayev V. Y. Theory of heat transport in a magnetized high-temperature plasma // Plasma Physics Reports. — 2004. — Vol. 31. — P. 1091.

10. Биберман Л. M., Воробьев В. С., Якубов И. Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. — М.: Наука, 1982.

11. Коган В. И., Лисица В. С. Радиационные процессы в плазме // Итоги науки и техники «Физика плазмы» / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — ВИНИТИ, Москва, 1983. Т. 4. - С. 194.

12. Bakunin О. G. Correlations and anomalous transport models // Reviews of Plasma Physics / Ed. by V. D. Shafranov. — Springer-Verlag, Berlin, 2008. — Vol. 24. P. 53.

13. Чукбар К. В. Стохастический транспорт и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108. - С. 1875.

14. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск, Наука и техника, 1987.

15. Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000.

16. Hasimoto Н. A soliton on a vortex filament // </. Fluid Mech. — 1972. — Vol. 51.-P. 477.

17. Кингсеп А. С., Чукбар К. В., Янъков В. В. Электронная магнитная гидродинамика // Вопросы теории плазмы / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — Т. 16. — С. 209.

18. Uby L., Isichenko М. В., Yankov V. V. Vortex filament dynamics in plasmas and superconductors // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 52.- P. 932.

19. Vortices in high-temperature superconductors / G. Blatter, M. V. Feigel'man, V. Geshkenbein et al. // Rev. Mod. Phys. 1994. - Vol. 66. - P. 1496.

20. Пылевая плазма / В. E. Фортов, А. Г. Храпак, С. А. Храпак и др. // УФН. 2004. - Т. 174. - С. 495.

21. Владимиров В. В., Волков В. В., Мейлихов Е. 3. Плазма полупроводников. — М.: Атомиздат, 1979.

22. Коллюх А. Г., Малозовский Ю. М., Малютенко В. К. Пинч-эффект в электронно-дырочной плазме с несобственной проводимостью // ЖЭТФ. 1986. - Т. 89. - С. 1018.

23. Rudakov L. Magnetodynamics of multicomponent plasma // Physics of Plasmas. 1995. - Vol. 2. - P. 2940.

24. Smolyakov A. I., Khabibrakhmanov I. Nonlinear diffusion of the magnetic field in a weakly ionized plasma // Phys. Rev. Lett. — 1998.— Vol. 81, no. 22.— P. 4871.

25. Гордеев А. В. Об особенности динамики быстрого лайнера с несколькими сортами ионов // Физика плазмы. — 1987. — Т. 13. — С. 1235.

26. Гордеев А. В. Гидродинамическая модель проникновения магнитного поля в плазму с двумя сортами ионов // Физика плазмы. — 2001. — Т. 27. — С. 700.

27. Забурдаев В. Ю. Скиновые явления в пылевой плазме // Физика плазмы. 2001. - Т. 27, № 5. - С. 432.

28. Crank J. The Mathematics of Diffusion. — 2nd edition. — Oxford University Press, 1975. P. 286.

29. Zaslavsky G. M. Fractional kinetic equation for hamiltonian chaos // Physica D. 1994. - Vol. 76. - P. 110.

30. Sokolov I. M. Thermodynamics and fractional Fokker-Planck equations // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - P. 056111.

31. Lutz E. Fractional transport equations for Levy stable processes // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 2208.

32. Havlin S., Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media // Adv. Phys.— 1987,- Vol. 36.-P. 695.

33. Архинчеев В. Е., Баскин Э. М. Аномальная диффузия и дрейф в гребеш-ковой модели перколяционных кластеров // ЖЭТФ.— 1991.— Т. 100. — С. 292.

34. Baskin Е., Iomin A. Sup er diffusion on a comb structure / / Phys. Rev. Lett. — 2004,-Vol. 93.-P. 120603.

35. Baskin E., Iomin A. Negative superdiffusion due to inhomogeneous convection // Phys. Rev. E. 2005. - Vol. 71. — P. 061101.

36. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. - Т. 173. - С. 847.

37. Золотарев В. М., Учайкин В. В., Саенко В. В. Супердиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - С. 1411.

38. Забурдаев В. Ю., Чукбар К. В. Эффекты памяти в стохастическом транспорте // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 77. - С. 654.

39. Лубашевкий И. А., Земляное А. А. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре // ЖЭТФ. — 1998,— Т. 114. — С. 1284.

40. Кондратенко П. С., Матвеев А. В. Асимптотические режимы и структура «хвостов» концентрации в модели Дыхне // ЖЭТФ. — 2007. — Т. 131, № 3. С. 494.

41. Петвиашвили В. И., Янъков В. В. Солитоны и турбулентность // Вопросы теории плазмы / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — М.: Энергоатомиздат, 1985. Т. 14. - С. 3.

42. Данилов Ю. А., Петвиашвили В. И. Солитоны в плазме // Итоги науки и техники «Физика плазмы» / Под ред. Б. Б. Кадомцева. — ВИНИТИ, Москва, 1983.-Т. 4. С. 5.

43. Чукбар К. В., Янъков В. В. Нелокальность вихревых нитей в слоистых сверхпроводниках // Письма в ЖЭТФ. — 1995. — Т. 61. — С. 487.

44. Lawrence W. E., Doniach A. Proceddings of the 12th International Conference on Low Temperature Physcis, Kyoto / Ed. by E. Kanda. — 1971. — P. 361.

45. Artemeneko S. N., Kruglov A. N. Structure of 2d vortex in a layered high-Tc superconductor // Phys. Lett. A. — 1990. — Vol. 143, no. 9. — P. 485.

46. Clem J. R. Two-dimensional vortices in a stack of thin superconducting films: A model for high-temperature superconducting multilayers // Phys. Rev. B. — 1991.-Vol. 43.-P. 7837.

47. Clem J. R., Benkraouda M. Instability of a tilted vortex line in magnetically coupled layered superconductors // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 53. — P. 438.

48. Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. — С. 258.

49. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983.

50. Ламб Г. Гидродинамика, М.:ГИТТЛ, 1947. - С. 290.

51. Дикасов В. М., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д. // ЖЭТФ. 1965. - Т. 48.

52. Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах / В. Ю. Забурдаев, П. В. Попов, А. С. Романов, К. В. Чукбар // ЖЭТФ.-2008. Т. 133, № 5. - С. 1140.

53. Попов П. В., Романов А. С., Чукбар К. В. Динамика вихревой нити в слоистой среде // Физика плазмы. — 2009. — Т. 35, № 3. — С. 258.

54. Попов П. В. Динамика магнитного поля в пылевой плазме // Физика плазмы. 2009. — Т. 35, № 8. - С. 737.1. С. 913.