Вопросы построения программной траектории выведения ракеты-носителя с космическим аппаратом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мазгалин, Дмитрий Вениаминович

• Мазгалин, Дмитрий Вениаминович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мазгалин, Дмитрий Вениаминович

Содержание

Введение

Глава 1. Исследования по построению целевой орбиты РН

1.1 Способ задания орбиты на которую должен быть выведен РН

1.2 Эллиптическая орбита с отсчетом высот от поверхности Земли сфера

1.3 Эллиптическая орбита с отсчетом высот от поверхности Земли общеземной эллипсоид

1.4 Орбита в нормальном гравитационном поле

Глава 2. Построение программного движения РН на атмосферном участке полета

2.1 Анализ литературных данных

2.2 Структура программного управления на атмосферном участке полета

2.3 Определение параметров программной функции угла атаки и азимута пуска

2.4 Определение параметров управления методом последовательной линеаризации

2.5 Результаты численного моделирования

Глава 3. Построение управления движением РН на участке выведения третьей ступени на орбиту

3.1 Модель движения. Математическая постановка задачи

3.2 Анализ методов решения задачи по опубликованным данным

3.3 Декомпозиция задачи построения управления движением РН

3.4 Структура оптимального управления боковым движением

3.5 Структура управления для движения в плоскости орбиты

3.6 Построение программного движения в варианте приближенного оценивания потерь по кажущейся скорости

Глава 4. Алгоритм определения параметров управления для

участка полета третьей ступени РН

4.1 Система уравнений для определения параметров управления

4.2 Преобразование уравнений для определения параметров управления

4.3 Вычисление коэффициентов Ъц,Удг, гд{

4.4 Определение параметров управления

4.5 Уточнение параметров управления по траектории полета

4.6 Оценка эффективности разработанного метода построения программного движения

4.7 Описание комплекса программ для решения задач построения управления

Заключение

Приложение 1. Построение программного движения на участке

полета второй ступени РН

Приложение 2. Системы координат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы построения программной траектории выведения ракеты-носителя с космическим аппаратом»

Введение

Одной из важных задач баллистического навигационного обеспечения запуска ракеты-носителя (РН) с космическим аппаратом (КА) является расчет программной номинальной траектории движения РН на активном участке полета. Построение программной траектории полета проводится перед запуском РН и осуществляется в целях:

- оценки возможности выведения полезной нагрузки РН на орбиту с заданными характеристиками при выделенных затратах по топливу, то есть проведения проверки возможности реализации задачи пуска;

- получения исходной информации для расчета параметров бортового полетного задания: программ по углам тангажа, рыскания, кажущейся скорости, коэффициентов и установочных значений функционалов управления и т.д.;

- получения исходной информации по траектории полета для систем слежения и внешних траекторных измерений;

- определения исходной информации для построения аварийных трасс полета.

Приведенный неполный перечень вопросов, для решения которых требуется знание траекторных параметров программного движения РН на активном участке, подтверждает важность правильного и оптимального решения задачи построения программного движения.

К построению программной траектории на активном участке полета ракеты-носителя, согласно составу задач баллистико-навигационного обеспечения подготовки к полетам и в период выполнения полета орбитального комплекса «Салют-6» - «Союз» - «Прогресс» [1],технического задания на разработку системы управления (СУ) РН по теме Союз-2 [2], ограничений на динамические параметры движения РН [13] предъявляются следующие требования:

- при непрерывной работе двигательных установок (ДУ) должно обеспечиваться выведение РН на эллиптические околоземные орбиты;

- программное движение должно быть оптимальным по критерию максимизации веса выводимого РН на заданную орбиту при выполнении краевых условий;

- отделяемые элементы конструкции РН (корпуса первой, второй ступеней) должны после отделения от РН и последующего полета по баллистической траектории попадать в центры разрешенных районов падения;

- задание орбиты, на которую должно обеспечиваться выведение РН по программной траектории, осуществляется следующими параметрами: углом наклона (гп), долготой восходящего узла (Г2), аргументом перигея (си), максимальной высотой (/12), минимальной высотой (/¿1). В качестве высот задаются их оскулирующие значения. За поверхность Земли для определения значений высот принимается поверхность общеземного эллипсоида или поверхность сферы радиуса Язг;

- ограничения по значениям программных угловых скоростей по углам тангажа и рыскания не более 1 град/сек по всей траектории; по углам атаки и скольжения не более 10-20 угловых минут в районе скоростей полета близких к звуковым (0, 7 < М < 1,3, где М - число Маха);

- программные значения по углам тангажа $(£) и рыскания ф(£) продольной оси РН должны лежать в диапазоне от минус 90 до плюс 90 градусов;

- должны быть обеспечены жесткие требования по точности построения программной траектории выведения.

Построение программной траектории с выполнением предъявляемых требований должно осуществляться с учетом следующих моделей описания внешних действующих факторов:

- описание нормального потенциала гравитационного поля и фигуры Земли берутся в соответствии с моделью "Параметры Земли 1990" [3]

- описание горизонтальной скорости ветра и термодинамических характе-

ристик атмосферы по ОСТ 92-5216-92 [4] при запуске с полигона Байконур, ОСТ 92-9704-95 [5] при запуске с полигона Плесецк и ГОСТ 4401-81 [6] в остальных случаях.

Существенно новым моментом в подготовке баллистических данных для пуска РН является обеспечение возможности оперативного уточнения, корректировки и изменения исходных данных на подготовку полетного задания. Это касается в первую очередь данных по массовым характеристикам РН, даты, времени пуска. Более точные данные по массовым характеристикам РН возможно получить по результатам определения плотности горючего с учетом результатов прогноза температуры внешней среды и анализа его сортности. Кроме того, потребность оперативного пересчета полетного задания возможна из-за переноса по тем или иным причинам времени, даты пуска, например, по метеоусловиям из-за сильного ветра, грозы и т.д.

Для выполнения этого условия подготовка полетного задания должна проводиться во время предстартовой подготовки на вычислительных средствах наземной автономной системы управления (НАСУ), вычислительные возможности которой по производительности существенно ниже цифровых вычислительных машин (ЦВМ) вычислительных центров. Время подготовки полетного задания, в которое входит время расчета программной траектории, не должно превышать 20 - 25 минут.

Алгоритмическое обеспечение построения программной траектории и подготовки полетного задания должно быть простым, полностью и надежно решать функциональные задачи, удовлетворять требованиям по точности решения и реализовываться на вычислительных средствах НАСУ.

Проведем анализ известных алгоритмических решений по построению программного движения РН на активном участке, опубликованных в литературе, и их соответствия ранее перечисленным условиям.

Базовыми монографиями по рассматриваемой тематике являются труды Д.Ф. Лоудена [7], Р.Ф. Аппазова, О.Г. Сытина [8], A.M. Летова [9], Ю.Г. Си-

харулидзе [10], Д.Е. Охоцимского [11]. Рассмотрение проблемы построения программного движения баллистической ракеты (БР) на активном участке с анализом и описанием существующих, применяемых методов содержится в монографиях Л.Н. Лысенко [12], О.М. Алифанова, А.Н. Андреева, В.Н. Тущина [13], Г.Н. Разоренова, А. Бахрамова, Ю.Ф. Титова [14].

В указанных работах содержится:

- описание уравнений движения РН и возможные способы их упрощения;

- общая математическая постановка задачи построения программного движения РН как вариационной задачи нахождения функции, доставляющей экстремум функционалу при наложенных связях в виде нелинейных дифференциальных уравнений;

- возможные способы задания программного движения на атмосферном и внеатмосферном активных участках в виде функций определенной структуры с параметрами;

- способы нахождения значений параметров структур на основе метода Ньютона посредством численного моделирования.

Исследования в монографиях проводились при выполнении следующих основных предположений:

- движение РН рассматривается как движение материальной точки под действием гравитационной, реактивной и аэродинамической сил;

- действие реактивной силы направлено по оси РН;

- при движении на атмосферном участке ветровые возмущения отсутствуют;

- программное движение по углу рыскания принимается равным нулю;

- рассматривается плоское движение и за управляющий параметр принимается угол ориентации вектора тяги по углу тангажа. На атмосферном участке в качестве управления принимается программное значение по углу атаки.

В монографиях А. Брайсона, Хо Ю-ши [15] методами классического вари-

ационеого исчисления и Дж. Лейтмана [16], [32] на основе метода принципа максимума Понтрягина определена структура оптимального программного управления на безатмосферном активном участке при выполнении следующих предположений:

- рассматривается плоское движение РН как материальной точки;

- реактивная тяга направлена по оси РН;

- аэродинамические силы отсутствуют;

- гравитационные силы описываются плоскопараллельным гравитацион-

ным полем;

- за управляющий параметр принято значение по углу тангажа. Получена структура управления по углу тангажа в виде «дробно-линейного» тангенса

гдд{г) = * +

Сз+С4(*-*о)

где $(£) - угол тангажа, ¿о ~ начало движения, с* - параметры управления.

Для определения параметров управления Сг необходимо проводить решение двухточечной краевой задачи.

В монографиях О.М. Алифанова, А.Н. Андреева, В.Н. Тущина [13], Л.Н. Лысенко [12], вышедших в начале 2000 годов, ставится задача определения программного движения на атмосферном участке с учетом ветровых возмущений. Задача рассматривается в рамках плоского движения. Значение угла рыскания полагается равным нулю. За управляющий параметр принимается коэффициент по углу атаки в заданной структуре. На безатмосферном участке предлагается программное движение по углу тангажа определять аналогично [10], в рамках модельной задачи движения в плоскопараллельном гравитационном поле. Ограничения по угловым скоростям разворотов РН не учитываются и конкретные решения по алгоритмическому обеспечению построения программного движения с учетом всего комплекса ограни-

чений на движение РН отсутствуют. В монографии под общей редакцией профессора Г.Н. Лебедева [17], трудах ИММ УрО РАН [26], [35] исследованы вопросы построения программного движения РН с использованием градиентных методов определения управления. Общие теоретические и практические вопросы построения оптимального программного движения с использованием градиентных методов рассмотрены в монографиях Р.П. Федоренко [20], Э.П. Сейдж, Ч.С. Уайт [21], Ф.Л. Черноусько, Н.В. Банничук [31]. В связи с большими сложностями и временными затратами градиентные методы, на настоящий момент времени, нельзя применить в случае оперативного расчета полетного задания РН.

На предприятии ФГУП НПО автоматики им. академика Н.А. Семихатова при создании системы управления РН Союз-2 проведена разработка системы подготовки полетного задания, включая расчет программной траектории движения. Вместе с тем, ряд вопросов по выбору и обоснованию структуры управления и способов определения параметров управления при построении программной траектории остаются открытыми.

Результаты проведенного анализа опубликованных материалов показывают, что задача построения программного движения РН типа Союз-2 на активном участке для условий и ограничений, приведенных выше, не имела известного полного решения и его поиск является актуальной проблемой.

Исследуемое движение носителя описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений восьмого порядка:

(1х/(И = V,

(IV/(11 = х, 0, <ф) + х, V, ф) + д{х), (1ф/(И =

к

где х £ В? - вектор координат, V €Е Я3 - вектор скоростей. Началь-

(1

ный момент ¿о и начальные условия для этой системы считаем известными: ж (¿о) — £о> о) — Ц): $(¿0) = Аь Ф^о) — ^о- Момент окончания активного участка £/ не фиксирован. Явные выражения для вычисления гравитационного ускорения д(х) £ Л3, реактивного ускорения х, ф) € Я3, аэродинамического ускорения е Я3 приведены в трудах Аппазова Р.Ф. [8].

В момент окончания движения tf должно обеспечиваться выведение РН на околоземные эллиптические орбиты. Уравнение орбиты имеет вид е, 1А,= 0 6 Д3, = 0 6 Я3, где р - фо-

кальный параметр орбиты, е - эксцентриситет орбиты, и - текущее значение приведенной широты. Значения р, е вычисляются через задаваемый набор параметров (гп,Г2,где гп ~ угол наклона плоскости орбиты к экватору, П - долгота восходящего узла в точке выведения, /¿2 - максимальная высота над поверхностью Земли, - минимальная высота над поверхностью Земли, щ - приведенная широта точки орбиты с минимальной высотой.

Угловые скорости £/$, 11ф изменения углов тр (углы тангажа и рыскания) рассматриваются как управляющие воздействия, ограниченные по величине неравенствами < идг, \Щ{1)\ < идг, п.в. £ £

На участке полета первой ступени имеются ограничения на возможные значения фазовых координат:

- вертикальный полет ($(£) = 7г/2, = 0) на начальном участке £ Е [¿о 5 ) где £пгг - момент окончания участка вертикального полета;

- полет с выполнением ограничений по величинам углов атаки и скольжения при прохождении участка повышенных скоростных напоров. При этом набранные параметры движения на момент окончания полета первой ступени должны обеспечивать попадание отделяемых элементов конструкции в заданный район.

Целью диссертационной работы является исследование для РН класса Союз-2 способов решения следующих задач.

1. Разработка метода построения целевой орбиты, на которую должен быть выведен РН, по задающим ее параметрам (углу наклона, долготе восходящего узла, максимальной и минимальной высотам).

2. Разработка способа управления движением центра масс РН для построения программной траектории на атмосферном участке полета с учетом:

- задания термодинамических характеристик атмосферы в соответствии с ОСТ [4], [5];

- выполнения ограничений по величинам углов атаки и скольжения по траектории программного движения;

- минимизации отклонения точки падения корпуса первой ступени (боковых блоков) после ее отделения от носителя и последующем движении по баллистической траектории от заданного центра района падения;

- выполнения ограничений на величины программных угловых скоростей, программных углов разворотов РН.

3. Разработка способа управления движением центра масс РН для построения программной траектории на безатмосферном участке полета третьей ступени с учетом:

- выведения максимальной массы РН на заданную орбиту;

- ограничений по программным значениям угловых скоростей, углов разворотов РН;

- выполнения условий по точности выведения.

Определение структуры оптимального управления при выполнении перечисленных условий, ее теоретическое обоснование и разработка численных методов нахождения значений ее параметров.

4. Проведение исследований по подтверждению правильности и эффективности предлагаемых решений методами математического моделирования.

Таким образом, исследуемые в диссертационной работе вопросы затрагивают построение оптимального программного движения РН на активном участке траектории при оперативном ее расчете в наземной аппаратуре систе-

мы управления в период подготовки к пуску и ограничениях на программные значения угловых скоростей и углов разворота РН.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мазгалин, Дмитрий Вениаминович

Выводы:

1. Разработан метод построения программного движения на участке полета второй ступени РН типа Союз-2.

2. Разработанный метод обеспечивает выполнение требований по точности построения программного движения и приемлемые временные затраты при его реализации на вычислительных средствах наземной аппаратуры системы управления.

3 Разработка метода проведена с учетом решений, предложенных по способу построения программного движения на третьей ступени, то есть имеет место унификация по основным моментам построения программного движения на второй и третьей ступеней РН.

Заключение

Целью диссертационной работы являлось исследование возможных способов решения задачи определения оптимального управления для построения программной траектории выведения РН типа Союз-2 на эллиптические орбиты.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Решена задача определения параметров оскулирующей орбиты при ее задании высотами, отсчитываемыми от поверхности общеземного эллипсоида. Получены в аналитическом виде условия на величины угла наклона, максимальной высоты, минимальной высоты, приведенной широты для минимальной высоты, выполнение которых достаточно для существования и построения соответствующей им оскулирующей орбиты, включая, околокруговые орбиты.

2. Разработан вычислительный метод расчета параметров оскулирующей целевой орбиты при ее задании через значения максимальной и минимальной высот на первом витке орбиты при движении в нормальном гравитационном поле. Определены значения начальных приближений для проведения итерационного вычислительного процесса. Методом численного моделирования найдена зависимость точности построения орбиты от числа итераций.

3. Определена структура управления на атмосферном активном участке полета первой ступени, позволяющая выполнить требования по учету систематической скорости ветра, ограничения по угловым скоростям разворотов РН, обеспечить малые значения углов атаки, скольжения на участке полета с числами Маха более 0.6-0.7.

4. Разработан вычислительный метод определения параметров управления на атмосферном участке полета (амплитуды угла атаки и азимута пуска) в условиях воздействия систематических составляющих скорости ветра и минимизации отклонения точки падения первой ступени от центра разрешенного района падения. Разработанный метод построения программного движения на участке первой ступени прошел проверку с положительными результатами при построении программных траекторий для запусков РН Союз-2.

5. Решена задача построения оптимального управления движением РН на участке полета третьей ступени (участке выведения РН на орбиту) с учетом предъявляемых требований по максимизации выводимого веса РН, ограничений по углам ориентации и по угловым скоростям разворотов РН. Определена структура оптимального управления, в том числе участки с особым управлением. Доказано, что управление с выбранной структурой для модельной задачи удовлетворяет необходимым условиям оптимальности.

6. Проведены исследования по построению оптимального управления на участке полета третьей ступенью с использованием приближенных функционалов для оценки энергетических потерь. Показано, что использование упрощенного функционала позволяет упростить вычислительный метод определения коэффициентов управления при незначительном увеличении энергетических потерь.

7. Разработан вычислительный метод определения параметров оптимального управления для построения программного движения на активном участке полета третьей ступени. Определены значения нулевых приближений искомых величин и достаточное число проводимых итераций.

8. Получены оценки методической погрешности разработанного метода построения программного движения на участке полета третьей ступени на траекториях запуска РН Союз-2.

9. Способы построения программного движения для первой и третьей ступеней внедрены в функционально-математическое обеспечение системы подготовки полетного задания изделия 14А14 темы Союз-2, разработанной предприятием ФГУП НПО автоматики им. академика Н.А. Семихатова(акт внедрения К0- НИИК/425 от 04.10.2010, ФГУП НПОА).

Полученные в диссертационной работе методы построения программного движения прошли проверку на трассах запуска РН Союз-2. По данным оценки, полученной ИММ УрО РАН, потери по выводимой массе РН на заданную орбиту, на участке полета третьей ступени при использовании разработанного метода построения программного движения составляют менее 0.2 %. Проведенные запуски РН Союз-2 подтвердили правильность и эффективность разработанных способов управления и построения программного движения.

На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:

1. Способ решения задачи определения параметров оскулирующей орбиты при ее задании высотами, отсчитываемыми от поверхности общеземного эллипсоида. Вычислительные методы определения параметров оскулирующей орбиты.

2. Структура управления и вычислительные методы определения параметров управления для построения программного движения на атмосферном участке полета РН в условиях учета систематики скорости ветра, обеспечения малых программных значений по углам атаки и скольжения с момента достижения числа Маха 0.6 -0.7, выполнения ограничений по угловым скоростям разворотов.

3. Способы управления для построения программного движения на участке полета третьей ступени РН, когда в качестве управления берутся значения угловых скоростей разворотов по углам тангажа и рыскания в орбитальной системе, имеются существенные ограничения по величинам программных угловых скоростей, углов ориентации и в качестве критерия оптимальности задается максимум выводимой массы РН на заданную орбиту. Полученная структура квазиоптимального управления включает участки особого управления.

4. Доказательство выполнения необходимых условий оптимальности построенного способа управления на участке полета третьей ступени РН.

5. Разработанный вычислительный метод определения параметров управления установленной структуры на участке полета третьей ступени РН.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мазгалин, Дмитрий Вениаминович, 2012 год

Список литературы

[1] И. К. Бажинов, В. П. Гаврилов Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса "Салют-6 "Союз "Прогресс". // Наука, Москва, 1985.

[2] Техническое задание на составную часть опытно конструкторской работы. Разработка системы управления изделия 14А14. // ФГУП ГНП РКЦ ЦСКБ-Прогресс, 2002.

[3] Параметры Земли 1990 года(ПЗ-90.02) // Военно-топографическое управление генерального штаба, Москва 2006.

[4] Отраслевой стандарт. Ракеты и ракеты-носители. Методика задания горизонтальной скорости ветра и термодинамических параметров атмосферы в районе полигона Байконур в диапазоне высот 0-120 км. ОСТ 92-5165-92. // 1994.

[5] Отраслевой стандарт. Ракеты и ракеты-носители. Модели определения горизонтальной скорости ветра и термодинамических параметров атмосферы в диапазоне высот 0-120 км в районе космодрома Плесецк. ОСТ 92-9704-95. // 1995.

[6] Атмосфера стандартная. ГОСТ 4401-81. // Государственный комитет СССР по стандартам, Москва, 1981.

[7] Д.Ф. Лоуден Оптимальные траектории для космической навигации. // Издательство МИР, Москва, 1966.

[8] Р.Ф. Аппазов, О. Г. Сытин Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли. // Наука, Москва, 1987.

[9] A.M. Летов Динамика полета и управление. // Наука, Москва, 1969.

[10] Ю.Г. Сихарулидзе Баллистика летательных аппаратов. // Наука, Москва, 1982.

[11] Д.Е. Охоцимский Динамика космических полетов. Баллистика летательных аппаратов. // МГУ, Москва, 1968.

[12] Л.Н. Лысенко Наведение и навигация баллистических ракет. // МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2007

[13] О.М. Алифанов,А.Н. Андреев, В.Н. Гущин Баллистические ракеты и ракеты-носители. // ООО Дрофа, Москва, 2004.

[14] Г.Н. Разоренов, Э.А. Бахрамов, Ю.Ф. Титов Системы управления летательными аппаратами. // Машиностроение, Москва, 2003.

[15] А. Брайсон, Хо Ю-ши Прикладная теория оптимального управления. // Издательство МИР, Москва, 1972.

[16] Дж. Лейтман Введение в теорию оптимального управления. // Издательство Наука, Москва, 1968.

[17] РН. Лебедев Системы управления летательными аппаратами. // Издательство МАИ, Москва, 2007.

[18] Г.Н. Дубошин Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. // Издательство Наука, Москва, 1976.

[19] А.Г. Курош Курс высшей алгебры. // Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1959.

[20] Р. П. Федоренко Прилиженное решение задач оптимального управления // Наука, Москва, 1978.

[21] Э.П. Сейдж, Ч.С. Уайт Оптимальное управление системами //Радио и связь, Москва, 1982.

[22] В. Г. Демин Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения Земли // Издательство Наука, Москва, 1968.

[23] A.A. Лебедев, Н.Ф. Герасюта Баллистика ракет // Издательство Машиностроение, Москва, 1970.

[24] Д. Химмельблау Прикладное нелинейное программирование / / Издательство МИР, Москва, 1975.

[25] Д. В. Мазгалин, В. И. Ионинский Метод определения азимута пуска и программы угла тангажа на атмосферном активном участке полета РН. Вестник ЮрГУ. // ЧПИ, Челябинск, 2010.

[26] Отчет по научно-исследовательской работе "Разработка оптимального способа построения программного движения на АУ без ограничений на районы падения элементов конструкции РН". // ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2008.

[27] Д. В. Мазгалин, В. И. Починский Определение оптимальной программной траектории тяги ракеты носителя на участке полета последней ступени при подготовке полетного задания.

Труды 6-х Тихонравовских чтений по военной космонавтике. //4 ЦНИИ МО РФ, Юбилейный, 2006.

[28] Описание и характеристика системы навигации, наведения и управления ракеты-носителя типа Сатурн.

Управление в космосе, том 2 // Издательство Наука, Москва, 1972.

[29] В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов Математическая теория конструирования систем управления. // Наука, Москва, 2003.

[30] В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина Справочная книга по численному интегрированию. // Наука, Москва, 1966.

[31] Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук Вариационные задачи механики и управления. // Наука, Москва, 1973.

[32] Д. Ж. Лейтман Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. // Наука, Москва, 1965.

[33] А. А. Первозванский Курс теории автоматического управления. // Наука, Москва, 1986.

[34] Отчет по научно-исследовательской работе "Построение оптимального программного управления выведения РН на активном участке". // ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2007.

[35] Т.Д. Думшева, В. Б. Костоусов, Е.К. Костоусова, В. И. Починский Исследование задачи оптимального выведения полезной нагрузки на заданную эллиптическую орбиту. // Труды ИММ УрО РАН, том 16, №5, Москва, 2010.

[36] В. П. Морозов Курс сферической геодезии. // Недра, Москва, 1969.

[37] А. П. Разыграев Основы управления полетом космических аппаратов // Машиностроение, Москва, 1990.

[38] Г. С. Нариманов Основы теории полета космических аппаратов // Машиностроение, Москва, 1972.

[39] Г. М. Фихтенголъц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. // Наука, Москва, 1969.

[40] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. // Наука, Москва, 1970.

[41] Мазгалин Д. В. Построение способа управления ракетой-носителем при использовании в качестве управления программных угловых скоростей

разворотов.// Информационно-управляющие системы. 2010. № 3(46). -

[42] Кукушкин А.П., Мазгалин Д.В. Структура оптимального управления при выведении полезной нагрузки на орбиту// Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2006. - С. 335-340.

[43] Мазгалин Д. В. Построение программного управления боковым движением ракеты-носителя на участке полета последней ступени//Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2007. - С. 301-306.

[44] Мазгалин Д. В. Построение программного движения РН на атмосферном участке полета. //Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург:

[45] Мазгалин Д. В. Построение эллиптической орбиты КА с заданными значениями высот относительно поверхности общеземного эллипсоида. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2009. - С. 241-246.

[46] Мазгалин Д. В. Способ построения программной траектории полета ракеты-носителя. // Наука и технологии: Материалы 32-й Всероссийской конференции. - Миасс: МСНТ. 2012. - С. 181-183.

[47] Кукушкин А.П. Исследование структуры оптимальных по быстродействию траекторий в плоском поле тяготения. Сб. статей. Вопросы оптимизации нелинейных систем автоматического управления. // УНЦ АН СССР, Свердловск, 1975.

С. 21-29.

УрО РАН. 2008. - С. 275-281.