Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чаплыгина, Елена Викторовна

• Чаплыгина, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чаплыгина, Елена Викторовна

Содержание

Введение

Глава I. Уравнение Лаврентьева-Бицадзе с кратным запаздыванием в искомой функции и запаздывающим аргументом в производной

§1. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с разностным оператором в ограниченной области

1.1. Постановка задачи в0

1.2. Единственность решения задачи во

1.3. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа

1.4. Задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного эллиптического уравнения

1.5. Существование решения задачи в0

§2. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с

дифференциально-разностным оператором в неограниченной области

2.1. Постановка задачи

2.2. Единственность решения задачи С1

2.3. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения

2.4. Задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с дифференциально-разностным оператором

2.5. Существование решения задачи в!

Глава II. Уравнение Лаврентьева-Бицадзе с опережающе-

запаздывающим аргументом

§ 3. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со

смешанным отклонением аргумента

3.1. Постановка задачи вг. Единственность решения

3.2. Существование решения задачи

§4. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с

опережающе-запаздывающим аргументом

4.1. Постановка задачи вз. Теорема единственности

4.2. Существование решения задачи вз

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом»

Введение

Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа, возникшая в 20-50 годы прошлого столетия благодаря работам С.А. Чаплыгина [102], Ф. Трикоми [82], С. Геллерстедта [103], Ф.И. Франкля [84], К.И. Бабенко [2], A.B. Бицадзе [5], И.Н. Векуа [16], М.А. Лаврентьева [51], получила значительное развитие в силу многочисленных приложений в трансзвуковой газовой динамике, гидродинамике, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, теории плазмы, при моделировании биологических процессов.

В работах Е.И. Моисеева [53]—[54], A.M. Нахушева [56]—[57], А.П. Солдатова [79], С.П. Пулькина [61]-[62], В.И. Жегалова [22], Т.Д. Джураева [20], Л.С. Пулькиной [63]-[64], К.Б. Сабитова [69]-[70], А.Н. Зарубина [23]- [45], O.A. Репина [65]-[68], A.A. Килбаса [48]-[49], A.B. Псху [60], М.С. Салахитдинова [71]-[72], М.М. Смирнова [77]-[78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

На рубеже 60-90 годов XX века возросший интерес к задачам управления системами с последействием, исследованиям упругих деформаций многослойных пластин и оболочек, управления плазмой, потребовал развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, в том числе уравнений смешанного типа, с отклоняющимся аргументом.

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, содержащих преобразования аргумента искомой функции, относятся к нелокальным.

Теория нелокальных задач Трикоми для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с операторами Лаврентьева-Бицадзе и Геллерстедта в главной части и сосредоточенными отклонениями некарлеманов-ского типа была построена А.Н. Зарубиным [23]-[46].

Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной исследовал М.В. Бурцев [6]-[15]. В работах A.A. Андреева и И.Н. Саушкина [74]-[76] рассматривались аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции, вычисленной в инволю-тивных (карлемановских) точках.

В данной диссертации впервые рассматриваются в различных областях задачи Геллерстедта («внутренние» и «внешние») для нелокальных уравнений смешанного типа с разностными и дифференциально-разностными операторами, имеющими некарлемановские сдвиги запаздывающего и опере-жающе-запаздывающего типа

L(u(x, у)) = ихх (х, у) + sgnyuyy (х, у) = Аки(х, у) (к = ОД,2,3), (I/O где А0 = Rx1+H^rH(%), A1 = r;h(x

A2 = (R*xH(x) + R~TH(2t -x)-1)(£ +

д д Л3 = (Я* Я(*) + R?H (Зт - x) - 1) (—+

0 < г = const, H(£) — функция Хевисайда; Rx — оператор некарлемановско-го сдвига, действующий по переменной х: Rxp(x) = р(х — в).

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых и начально-финально-краевых задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом соответственно.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Фредгольма, сингулярных интегральных уравне-

ний, аппарата специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций («метод abc»).

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом.

Основные результаты выносимые на защиту:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с кратным запаздыванием в искомой функции в ограниченной области.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения «внешней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом в производной первого порядка искомой функции в неограниченной области.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренних» и «внешних» задач Геллерстедта для уравнения Лаврентьева- Бицадзе с опережающе-запаздывающим аргументом искомой функции и её производных первого порядка в ограниченных областях.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с запаздывающими и опере-жающе-запаздывающими аргументами в областях изменения типа уравнения.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в изучении колебания кристаллической решетки, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака, задач управления и др.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на 6-й Международной конференции «АМАДЕ-2011» (г. Минск, 2011г.); на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011», г. Самара); на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложение в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 2011г.); на Международной научно-практической конференции «Математика и её приложение» (г. Орел, 2011г.); на XIV Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (г. Киев, 2012г.); на 7-й Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2012, г. Минск); на XI Белорусской математической конференции (г. Минск, 2012г.); на Третьей Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2012г.); на Четвертой Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я.Б. Лопатинского (г. Донецк, 2012г); на II Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2012г.); на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2013гг., г. Орел, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет» (руководитель доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [85]-[101]. Публикации [87], [89], [99] выполнены в изданиях, рекомендованных ВАК. В статьях [96]—[101] научному руководителю принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографического списка литературы, содержащего 103 наименования. Объем работы - 141 страница.

Содержание диссертационной работы.

Во введении дан краткий обзор важных публикаций по теме и анализ основных результатов диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чаплыгина, Елена Викторовна, 2013 год

Список литературы

1. Агранович, М.С. Обобщенные функции / М.С. Агранович - М., МЦНМО, 2008. - 128 с.

2. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи мат. наук. - 1953. - Т.8, №2. - 160 с.

3. Бейтмен, Г.Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- Т. 1-2. - М.: Наука, 1969.-344 с.

4. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук.- М.: Мир, 1967. - 548 с.

5. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах смешанного типа / A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР -1950. - Т.70, №4. - С.561-564.

6. Бурцев, М.В. Задача Трикоми для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом / М.В. Бурцев // Труды Всероссийской заочной научно-практической конференции" Актуальные проблемы обучения математике'(к 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)". Орел: ОГУ, 2007. - С.399-402.

7. Бурцев, М.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробного порядка / М.В. Бурцев // Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2004, В.З. - С.32-34.

8. Бурцев, М.В. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе / М. В. Бурцев // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: Материалы Третьей Международной конференции. Нальчик, 2006. -С.70-71.

9. Бурцев, М.В. Задача Коши для составного уравнения дробной диффузии с некарлемановским сдвигом / М.В. Бурцев, А.Н. Зарубин // Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2007, В.6. - С.38-40.

10. Бурцев, М.В.Теорема единственности смешанной задачи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по обеим переменным / А.Н. Зарубин, М.В. Бурцев // Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара: СамГТУ, 2007. - С.42-45.

11. Бурцев, М.В. Начально-краевая задача для смешанного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом / М.В. Бурцев // Труды Математического центра Н.И. Лобачевского. Казань, 2004, Т.25. — С.55-56.

12. Бурцев, М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения опережающе-запаздывающего типа / М.В. Бурцев // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды Международной научной конференции. Стерлитамак, 2008, Т. 3. - С.74-85.

13. Бурцев, М.В. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате / М.В. Бурцев // Материалы конференции "СамДиф-2007". - Самара: Издательство "Универс групп", 2007. -С.35-36.

14. Бурцев, М.В. Начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом / А.Н. Зарубин, М.В. Бурцев // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Новосибирск: НГУ, 2007 — С.105-106.

15. Бурцев, М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом / А.Н. Зарубин, М.В. Бурцев // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, №3,-с. 373-383.

16. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. - М. ГИФМЛД959. — 628 с.

17. Гахо,в Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. - М.: Наука, 1978.- 295 с.

18. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

19. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука, 1971.- 1108 с.

20. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: Фан., 1979. - 238 с.

21. Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. -М.: Высшая школа, 1975. - 408 с.

22. Жегалов, В.И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллер-стедта / В.И. Жегалов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. - Новосибирск: 1981. - С.58-61.

23. Зарубин, А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т34, №1. - С.88-94.

24. Зарубин, А.Н. Задачи Коши и Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений». - Орел: ОГУ. - 12-14 ноября, 1996. - С.99-103.

25. Зарубин, А.Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1997. ТЗЗ, №1 - С.128-130.

26. Зарубин, А.Н. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // 2-ая Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. С.-Петербург, 15-20 июня, 1998 г.

27. Зарубин, А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32, №3. - С.350-356.

28. Зарубин, А.Н. Задача Коши и Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений», материалы Международной конференции. - Орел: ОГУ . — 14-21 ноября, 1996. - С.99 - 103.

29. Зарубин, А.Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35 , №8 . - С. 1135-1136.

30. Зарубин, А.Н. Интегро-дифференциально-разностные уравнения Воль-терра и интегральные преобразования / А. Н. Зарубин // Современная математика и проблемы математического образования: Труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. - Орел: ОГУ, 2009. - С.48-52.

31. Зарубин, А.Н. Краевые задачи для дифференциальных и дифференциально- разностных уравнений: учебное пособие / А. Н. Зарубин. - Орел: ОГУ, 2002.-220 с.

32. Зарубин, А.Н. Метод решения задачи Геллерстедта для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе в неограниченной области / А. Н. Зарубин // Вторая Международная конференция по математической физике и ее приложениям. Самара, 29 августа - 4сентября, 2010 г.

33. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с некарлемановским сдвигом / А. Н. Зарубин // Материалы III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математичкой биологии, информатики и физики». -Нальчик, 5-8 декабря, 2006 г. - С. 122-125.

34. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с распределенным запаздыванием / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, №10. -С.1353—1356.

35. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т34., №1. - С.121—127.

36. Зарубин, А.Н. Некоторые краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа / А. Н. Зарубин. - Орел, 1987 — 7с. - Деп. в ВИНИТИ, № 5398. - В 87. - С.79-80.

37. Зарубин, А.Н. О некоторых начально-краевых задачах для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А. Н. Зарубин // Докл. РАН. - 1996. - Т.346, №6. - С. 735-737.

38. Зарубин, А.Н. О функциональном уравнении задач математической физики / А. Н. Зарубин // Вестник науки - Орел: ФГБОУ ВПО «ОГУ», 2012, В.11. -С.24-27.

39. Зарубин, А.Н. Об алгоритме решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34, №1. - С. 121-127.

40. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом: учебное пособие / А. Н. Зарубин. - Орел: ОГУ, 1997. - 255 с.

41. Зарубин, А.Н. Теорема единственности решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием /

A. Н. Зарубин // Вторая Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. С. -Петербург. - 1998. - С. 152.

42. Зарубин, А.Н. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с отражением и смешанным запаздыванием / А. Н. Зарубин // Ученые записки Орловского государственного университета. Научный журнал. — Орел: ОГУ, 2011, №5 (43). - С.144-159.

43. Зарубин, А.Н.Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа в неограниченной области / А.Н. Зарубин // Вестник науки,- Орел: ОГУ, 2011,

B. 10-С.15-20.

44. Зарубин, А.Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом в производной / А. Н. Зарубин // Материалы Между-

народной Российско-Болгарского симп. «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», г. Нальчик, 25-30 июня, 2010. -С.92-95.

45. Зарубин, А.Н. Решение задачи Трикоми для дифференциально - разностного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в неограниченной области / А.Н. Зарубин // «Дифференциальные уравнения и их приложения». Международная научная конференция. Сборник трудов. Самара, 26-31 мая, 2002. - С.129-135.

46. Зарубин, Е.А. Метод интегральных преобразований решения дифференциально-разностных уравнений математической физики. Методическая разработка / Е.А. Зарубин. - Орел, ОГУ, 2003. - 34 с.

47. Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э.Г. По-зняк. - ч.1. - М.: Наука, 1982. - 616 с.

48. Килбас, A.A. Аналог задачи Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной / A.A. Килбас, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39, №5. - С.638-644.

49. Килбас, A.A. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения / A.A. Килбас, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 43, №6. - С.799-805.

50. Крикунов, Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям / Ю.М. Крикунов. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.-209 с.

51. Лаврентьев, М.А. К проблеме уравнений смешанного типа / М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе //ДАН СССР. - 1950. - Т.70,33. -С.373-376.

52. Маричев, О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций / О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника. - 1978. - 310с. -Деп. №2936-75

53. Моисеев, Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис... д-ра физ. - мат.наук / Е.И. Моисеев. - М.: МГУ, 1979.

54. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. - М: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

55. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968. - 512 с.

56. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применения / A.M. Нахушев. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 272 с.

57. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1969. Т.5, №1. -С.44-59.

58. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Наука, 1981. -800 с.

59. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - Дополнительные главы. 2-е издание, исправ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 688 с.

60. Псху, A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка / A.B. Псху. - НИИПМА КБНЦ РАН. - М.: Наука, 2005. - 199 с.

61. Пулькин, С.П. К вопросу о разрешении задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина / С.П. Пулькин // Изв. Вузов. Математика. - 1958. - №2(3). -С.219-226.

62. Пулькин, С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллер-стедта / С.П. Пулькин // Изв. Вузов. Математика. -1960. - №6(19). -С. 214-225.

63. Пулькина, Л.С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения. Неклассические уравнения математической физики / Л.С. Пулькина // ИМ СО АН Новосибирск 2002. - С. 176-184.

64. Пулысина, JI.C. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Математические заметки 2003. -Т. 73, В.З. — С.435-445.

65. Репин, O.A. Задача Нахушева-Сайго для уравнения влагопереноса / O.A. Репин // Материалы Международного Российско - Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик - Эльбрус, 2008. - С. 141 -143.

66. Репин, O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / O.A. Репин. - Саратов: Изд — во Саратов, ун — та. 1992-161 с.

67. Репин, O.A. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля // Сам Диф 2007: конференция « Дифференциальные уравнения и их приложения» / O.A. Репин. — Самара: Изд - во Универ групп 2007. - С.98-99.

68. Репин, O.A. О разрешимости одной нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной / O.A. Репин // Мат. Моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвузовской научной конференции. - Самара: Сам. ГТУ, 2004. - С. 161-164.

69. Сабитов, К.Б. О построении частных решений вырождающихся уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов, В.З. Ваганов // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопрос: Труды Международной научной конференции. Уфа, 1996. - С.99-106.

70. Сабитов, К.Б. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля / К.Б. Сабитов, В.В. Тихомиров // Математическое моделирование 1990. Т.2, № 10. - С. 100-109.

71. Салахитдинов, М.С. Задачи с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения / М.С. Салахитдинов, З.Х. Кадыров//Дифференциальные уравнения 1986. Т22, №1. - С. 103-114.

72. Салахитдинов, М.С. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения / М.С. Салахитдинов, А.Х. Ушаков // ДАН СССР 1982 . Т.262, №3 - С.539-542.

73. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987.- 688 с.

74. Саушкин, И.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения, порожденного оператором Лаврентьева-Бицадзе, содержащего инволютивный сдвиг / И.Н. Саушкин // Тез. докл. Шестого Всеросс. симп. по прикладной и про-мышл.мат. Обозрение прикладной и промышл.мат. Т. 12. Вып.2.Москва: ОПиПМ, 2005. - С.503.

75. Саушкин, И.Н. Аналог задачи Трикоми для возмущенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе / И.Н. Саушкин, A.A. Андреев // « Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики»: Материалы Международ. Росс. - Казах, симп. и шк. Молодых ученых. Нальчик-Эльбрус, 2004. - С.21-22.

76. Саушкин, И.Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонениям в бесконечной области / И.Н. Саушкин, A.A. Андреев // Вестн.Самар.техн.ун-та. Сер.: «Физ. -мат. науки». 2005. В.34. - С.10-16.

77. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1966. - 292 с.

78. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1985. -304 с.

79. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10, №1. -С.143-152.

80. Тер-Крикоров, A.M. Курс математического анализа / A.M. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. - М.: Наука, 1988. - 816 с.

81.Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980.-496 с.

82. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф.И. Франкля) / Ф. Трикоми. - М. -Л.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

83. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М.Фихтенгольц. - М.: Физматгиз, 1960 . - 656 с.

84. Франкль, Ф.И. К теории сопел Лаваля / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР -сер. матем. - 1945. Т.9, №5. - С.387-422.

85. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для опережающе-запаздывающего уравнения смешанного типа / Е.В. Чаплыгина // II Международная конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики», г. Нальчик, 28ноября - 1 декабря, 2012. - С.249-252.

86. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента / Е.В. Чаплыгина // XIV международная научная конференция им. акад. М. Кравчука, г. Киев (Украина), 19-21 апреля, 2012. - С.435-436.

87. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента в производных / Е.В. Чаплыгина // Научные ведомости БелГу. Серия: Математика. Физика.-2012.-№17(136). Вып.28.-С.119-131.

88. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с опережающе-запаздывающим аргументом / Е.В. Чаплыгина // Четвертая Международная конференция молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я.Б. Лопатинского. Донецк (Украина), 14-17 ноября, 2012. -С.89-90.

89. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического уравнения со смешанным отклонениям аргумента / Е.В. Чаплыгина //

Доклады Адыгейской Международной академии наук. 2012г. Т. 14, №1. — С.116-123.

90. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического опережающе-запаздывающего уравнения / Е.В. Чаплыгина // XI Белорусская математическая конференция. Минск, 5-9 ноября, 2012, - С.89-90.

91. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического опережающе-запаздывающего уравнения в ограниченной области / Е.В. Чаплыгина // Третья международная конференция по математической физике и ее приложением. Самара, 27 августа - 1 сентября, 2012.-С.305-306.

92. Чаплыгина, Е.В. Начально-краевая задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с опережающе-запаздывающим аргументом / Е.В. Чаплыгина // 7-й Международный семинар «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2012). Минск (Белоруссия), 11-14 сентября, 2012. - С.71-72.

93. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием / Е.В. Чаплыгина // Международная конференция «Комплексный анализ и его приложение в дифференциальных уравнениях и теории чисел». Белгород, 17-21 октября, 2011. - С.128-129.

94. Чаплыгина, Е.В. Задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с дифференциально-разностным оператором / Е.В. Чаплыгина // Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2011, В.10. - С.189-193.

95. Чаплыгина, Е.В. О задачах Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента / Е.В. Чаплыгина // Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2012, В. 11. - С.61-64.

96. Чаплыгина, Е.В. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина // Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011»). - С.45-46.

97. Чаплыгина, Е.В. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дифференциально-разностными операторами / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина // 6-я Международная конференция «АМАДЕ-2011». Минск (Белоруссия), 12-7 сентября, 2011. - С. 67-68.

98. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для опережающее-запаздывающего уравнения смешанного типа / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина // Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2012, В. 11. - С.13-23.

99. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с отражением и смешанным запаздыванием / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина // Ученые записки Орловского государственного университета. Научный журнал. - Орел, ОГУ, №5 (43), 2011, - С. 144-159.

100. Чаплыгина, Е.В. Краевая задача для уравнения смешанного типа с разностным и дифференциально-разностным оператором / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина // Десятая Казанская летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань, 2011. -С.144-147.

101. Чаплыгина, Е.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа в неограниченной пилообразной области / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина // Современная математика: образование и наука. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения».- Орел: ОГУ, 2011. - С. 121-123.

102. Чаплыгин, С.А. О газовых струях / С.А. Чаплыгин. - М. - Л.: ГИТА, 1949.-144 с.

103. Gellerstedt, S. Sur un problem aux limites pour une eauation lineaire aux derives partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat - Uppsala / S. Gellerstedt. - 1935. - 92p.