Алгоритмы прямого адаптивного управления с финитной сходимостью параметрически неопределенными объектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Подошкин Дмитрий Леонидович

• Подошкин Дмитрий Леонидович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Подошкин Дмитрий Леонидович

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Постановка задачи и синтез новых алгоритмов

адаптации

1.1 Постановка задачи

1.2 Алгоритмы адаптации с финитной сходимостью

Глава 2. Задача адаптивного управления с эталонной моделью

2.1 Постановка задачи

2.2 Синтез алгоритма адаптации и анализ свойств

2.3 Моделирование

2.4 Синтез дискретного алгоритма адаптации

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Задача адаптивной компенсации внешних возмущений

3.1 Постановка задачи

3.2 Синтез алгоритма адаптации и анализ свойств

3.3 Моделирование

3.4 Выводы по главе

Глава 4. Задача адаптивного управления нелинейными

объектами при нарушении условий согласования

4.1 Постановка задачи

4.2 Синтез алгоритма адаптации и анализ свойств

4.3 Моделирование

4.4 Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Стр.

Список рисунков

Список литературы

Приложение А. Основные публикации автора по теме

диссертации

Реферат

Общая характеристика диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы прямого адаптивного управления с финитной сходимостью параметрически неопределенными объектами»

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Достижение финитной сходимости в алгоритмах прямого адаптивного управления параметрически неопределенными обектами является одним из основных направлений современной теории адаптивного управления. За последние десятилетия в области теории адаптивного управления было проведено множество исследований и синтезировано большое количество различных алгоритмов, которые не только нашли различное теоретическое применение, но и использовались в ряде практических задач.

Тем не менее, на текущий момент существует ряд открытых вопросов, связанных в первую очередь с практической реализацией алгоритмов. В частности, эти вопросы затрагивают такие свойства алгоритмов, как их быстродействие и робастность, традиционным гарантом которых принято считать условие неис-чезающего возбуждения (см. работы П. Иоанну, Д. Сун, К. Нарендра, А. Аннасвами), которое на практике зачастую не выполняется и является сильно ограничивающим условием. Несмотря на это, в широко распространенном градиентном алгоритме адаптации, рассмотренном в работах П. Иоанну и К. На-рендры, при выполнении условия неисчезающего возбуждения гарантируется робастность, но не ускоренная сходимость алгоритма, которая даже при выборе оптимального в рассматриваемом случае коэффициента адаптации может быть произвольно низкой. Таким образом, возникла потребность в построении алгоритмов адаптации с ускоренной сходимостью.

Данная проблема была успешно решена алгоритмом наименьших квадратов П. Иоанну, алгоритмами с динамическим расширением регрессора П. Лайона и алгоритмами с расширением памяти регрессора Г. Крейссельмейера, а также их модификациями в работах Р. Ортеги, В.О. Никифорова и Д.Н. Герасимова. Впоследствии в работах Р. Ортеги, В.О. Никифорова, Д.Н. Герасимова, С.В. Арановского и А.А. Бобцова были предложены модификации алгоритмов Лайона и Крейссельмейера, которые обладают свойством поэлементной монотонной сходимости и получили название алгоритма с динамическим расширением регрессора и смешиванием и алгоритма с расширением памяти

регрессора и смешиванием. При этом алгоритмы П. Лайона и Г. Крейссель-мейера и обеспечивают при выполнении условия неисчезающего возбуждения возможность ускорения параметрической настройки регулятора путем увеличения коэффициента адаптации. Однако данные алгоритмы могут гарантировать только неэкспоненциальную (асимптотическую) сходимость, если условие неисчезающего возбуждения не выполняется.

Для решения этой проблемы в работах Г. Чоудари, Й. Пана, С.В. Ара-новского, Р. Ортеги, В.О. Никифорова, Д.Н. Герасимова были разработаны алгоритмы, работающие при условии интервального возбуждения, использующие информацию о регрессоре на указанном интервале. Однако у данных алгоритмов был недостаток в виде нечувствительности к вариациям вектора неизвестных параметров, связанный с недостаточным количеством информации на этом интервале. Схожие недостатки имеют алгоритмы в ранних публикациях В. Адетолы, М. Гуайя, Р. Ортеги, которые обладают свойством финитной сходимости, но теряют чувствительность к изменениям вектора неизвестных параметров при ее достижении.

В опубликованной позднее работе Е. Гузмана и Д. Морено предлагается финитный алгоритм адаптации, однако его недостатком является то, что финитное время сходимости достигается только при выполнении условия неисчезающего возбуждения. Кроме того, в недавних публикациях Р. Франко, Г. Риоса и А. де Лоза был предложен алгоритм адаптации линейной стационарной системой с финитной сходимостью и расширен авторами впоследствии на класс линейных стационарных систем произвольного порядка. Однако в этих публикациях сходимость алгоритмов за конечное время достигались авторами путем введения нелинейностей в используемый алгоритм адаптации. Кроме того, на текущий момент активно исследуемой является проблема построения алгоритма адаптации, который бы сохранял чувствительность к вариациям неизвестных параметров после своей настройки. Так, в недавно опубликованных работах Р. Ортеги, А.А. Бобцова., Н.А. Николаева авторы разработали алгоритм идентификации, который сохраняет чувствительность к изменениям неизвестных парараметров и при этом сходится за конечное время при условии интервального возбуждения. Однако применение такого алгоритма в задачах прямого адаптивного управления ограничено, так как он гарантирует сходимость только вектора параметрических ошибок, но не гарантирует сходимость ошибки управления к нулю.

Ключевым свойством предложенных в данной диссертационной работе алгоритмов является сведение ошибки управления к нулю независимо от свойств регрессора в алгоритмах адаптации при сохранении финитной настройки регулятора и чувствительности алгоритма к плавным и скачкообразным изменениям вектора неизвестных параметров, что и определяет актуальность данной работы.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является развитие методов прямого адаптивного управления параметрически неопределенными объектами путем синтеза алгоритмов адаптации с финитной сходимостью. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

Научные задачи.

1. Обзор существующих решений прямого адаптивного управления с финитной сходимостью и чувствительностью к изменениям вектора неизвестных параметров;

2. Постановка задачи и разработка ключевого инструментария для решения задач адаптивного управления для статической модели ошибки с финитной сходимостью и чувствительностью к изменениям вектора неизвестных параметров;

3. Синтез алгоритмов прямого адаптивного управления с финитной сходимостью и чувствительностью к изменениям вектора неизвестных параметров в задаче прямого адаптивного управления с эталонной моделью по выходу параметрически неопределенным объектом и анализ их свойств;

4. Синтез алгоритмов прямой адаптивной компенсации мультисинусои-дальных возмущений по выходу с финитной сходимостью и чувствительностью к изменениям вектора неизвестных параметров и анализ их свойств;

5. Синтез алгоритмов прямого адаптивного управления с финитной сходимостью и чувствительностью к изменениям вектора неизвестных параметров в задаче адаптивного управления по состоянию нелинейной системой при нарушении условий согласования и анализ их свойств.

Методы исследования. В диссертационной работе были использованы методы адаптивного управления, включая метод расширенной ошибки, метод динамического расширения регрессора (схема Лайона), метод расширения памяти регрессора (схема Крейссельмейера), метод внутренней модели и метод адаптивного бэкстеппинга. Для апробации разработанных алгоритмов использовалось компьютерное моделирование в среде разработки MATLAB 81шиИпк.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы прямой адаптации для статической модели ошибки замкнутых систем;

2. Алгоритм адаптации высокого порядка с финитной сходимостью, генерирующий как настраиваемые параметры, так и их производные по времени;

3. Алгоритмы адаптивного управления с финитной настройкой параметров:

— алгоритм адаптивного управления параметрически неопределенным линейным объектом по выходу;

— алгоритмы адаптивной компенсации мультисинусоидальных возмущений по выходу в линейных системах;

— алгоритм адаптивного управления по состоянию нелинейной системой с нарушением условий согласования.

Научная новизна. В диссертационной работе предлагается развитие методов адаптивного управления путем создания на базе известных алгоритмов адаптации, называемых в работе опорными, новых алгоритмов адаптации с финитной сходимостью. В работе предложены новые алгоритмы прямого адаптивного управления параметрически неопределенным линейным объектом по выходу, алгоритмы прямой адаптивной компенсации мультисинусоидальных возмущений по выходу и алгоритмы управления по состоянию нелинейной системой при нарушении условий согласования, обеспечивающие финитную сходимость и чувствительность к вариациям параметров. Новые алгоритмы адаптации синтезированы как на основе базовых алгоритмов адаптации, так и на основе алгоритмов адаптации с ускоренной сходимостью. Разработанные алгоритмы адаптации обладают свойством финитной сходимости и чувствительности к вариациям вектора неизвестных параметров как при условии

неисчезающего возбуждения, так и более слабом условии интервального возбуждения.

Теоретическая значимость. Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в развитии методов прямого адаптивного управления параметрически неопределенными объектами в направлении повышения качества параметрической настройки регуляторов.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы характеризуется применением разработанных алгоритмов в практических задачах при недостаточной степени возбуждения, требующих достижения финитной настройки регулятора при управлении объектами с параметрическими неопределенностями.

Достоверность. Достоверность результатов, полученых в данной диссертационной работе, обеспечивается

1. Строгостью постановок задач и математических доказательств предложенных утверждений;

2. Результатами математического моделирования в среде разработки MATLAB Simulink;

3. Опубликованными работами в индексируемых изданиях и докладами на международных и российских конференциях.

Апробация работы. Диссертационная работа поддержана грантом РНФ (проект № 25-11-00239). Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. The 22nd IFAC World Congress 2023. Japan, Yokohama. 09.07.2023-14.07.2023;

2. The 18th IFAC Workshop on Time Delay Systems TDS 2024. Italy, Udine. 24.09.2024-27.09.2024;

3. Пятьдесят четвертая (LIV) научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО. 27.01.2025-31.01.2025;

4. The 15th IFAC Workshop on Adaptive and Learning Control Systems ALCOS 2025. Mexico, Mexico City. 02.07.2025-04.07.2025.

Личный вклад автора. Личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии во всех этапах диссертационного исследования:

1. Разработка алгоритмов адаптивного управления и их модификаций;

2. Анализ и доказательство свойств разработанных алгоритмов;

3. Проведение компьютерного моделирования в среде разработки МА^АВ БтиПпк и сравнение результатов с существующими алгоритмами.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 182 страницы, включая 36 рисунков. Список литературы содержит 48 наименований.

Основное содержание работы

Во Введении приводится актуальность диссертационной работы и проводится обзор существующих решений прямого адаптивного управления с финитной сходимостью.

В Первой главе выполняется постановка задачи диссертационной работы, рассматриваются базовые алгоритмы адаптации и описываются разработанные алгоритмы для решения поставленной задачи применительно к различным задачам теории управления, рассмотренных в последующих главах. В первой части главы В целях определения основной задачи диссертационной работы, вводятся следующие определения [1—3].

Определение 1. Ограниченная вектор-функция ш(£) удовлетворяет условию неисчезающего возбуждения (ш € РЕ), если существуют константы а > 0,£0 > 0 и Т > 0 такие, что выполняется неравенство

г г+т

^ ш(т)шт(т)^т ^ а! (1)

для любого t ^ Ь0

Определение 2. Ограниченная вектор-функция ш(Ъ) удовлетворяет условию интервального возбуждения (ш € 1Е), если существуют константы а > 0 и

> 0 такие, что выполняется неравенство

/ ш(т)шт(т)^т ^ а1 (2)

Ло

Затем в рассмотрение вводится модель ошибки

е(£) = ётш, (3)

где £ - выход модели, часто ассоциируемый с ошибкой управления, 6 = 6 — 6 - вектор параметрических ошибок, 6 - вектор настраиваемых параметров, 6 -вектор неизвестных параметров и ш € Я - вектор измеряемых функций (регрес-сор). Модель ошибки такого вида часто используется в задачах идентификации [1; 2; 4—8] и адаптивного управления по выходу [1; 2; 4; 5; 9—11].

Совместно с (3) вводится в рассмотрение опорная модель ошибки

£* = 6*тш, (4)

где 6* = 6 — 6* и опорная оценка вектора неизвестных параметров 6*, генерируемая базовым алгоритмом адаптации без финитной модификации, который в диссертации назван опорным. При этом выход модели £* может быть посчитан как

£* = £ + (6 — 6*)тш. (5)

Данная модель позволяет синтезировать широкий класс опорных алгоритмов адаптации [12; 13], сводящихся к модели

66 *(*)= у^ ё*, (6)

где у € Я+ - коэффициент адаптации, ^(£*,6*,^) ^ 0 - положительная полуопределенная матричная функция, которая задает структуру алгоритма адаптации. Далее формулируется основная задача диссертационной работы. Задача диссертационной работы сводится к синтезу алгоритма адаптации, генерирующего 6(£), который сохраняет свойства опорных алгоритмов адаптации (6) и обладает следующими свойствами: 1. Для любого ш

ОД = р(^)ё*(^) V > 0 (7)

£(/-) = р(г)£*(¿) Vt> о (8)

где 6*(1), £*(£) - вектор параметрических ошибок и ошибка управления опорного алгоритма адаптации, 0(1), е(£) - вектор параметрических ошибок и ошибка управления финитного алгоритма адаптации и р € [0,1] - функция, зависящая от параметров моделирования и степени возбуждения а;

2. Для любого ш € РЕ или ш € 1Е алгоритм должен обеспечивать сходимость за конечное время, следовательно р(£) = 0 для £ ^ £/ и некоторого I/ > 0;

3. Алгоритм со сходимостью за конечное время должен обладать чувствительностью к скачкообразным или медленным вариациям вектора неизвестных параметров 6;

4. Если ш € РЕ, то конечная сходимость должна обеспечиваться при любом I > 0.

Затем рассматривается базовый и один из наиболее распространенных в литературе градиентный алгоритм адаптации вида

9 * = уше*, (9)

где у € Я+ - коэффициент адаптации. Модель параметрических ошибок в таком случае принимает форму

9 * = -ушшт9* (10)

и может быть показано, что в этом случае функция Е в (6) будет равна Е = шшт.

Далее рассматривается базовый алгоритм с ускоренной сходимостью с динамическим расширением регрессора (ДРР) [14], в соответствии с которым вводится в рассмотрение п — 1 различных асимптотически устойчивых минимально-фазовых передаточных функций Hi(s), г € [1,п — 1]. Применяя передаточные функции Hi(s) к модели (3) можно получить

Е*н = Ун — Wтe*, (11)

где

¥Н = [у*,Н1(з)[у*],...,Нп—1(з)[у*]]т, Ж =[ш,Н1(з)[ш],...,Нп—1(з)[ш]]

(12)

Используя (11), можно сформировать алгоритм адаптации вида

66 * = Е*н, (13)

где у € Я+ - коэффициент адаптации. Модель параметрических ошибок в таком случае принимает форму

6 * = —уЖЖ т6* (14)

и может быть показано, что в этом случае функция Г в (6) будет равна ^ =

Далее рассматривается еще один базовый алгоритм с ускоренной сходимостью, который носит название алгоритма с расширением памяти регрессора (РПР) [15]. Согласно предложенному методу, вводится в рассмотрение устойчивый минимально-фазовый фильтр

4 1 1

ОД = П = ад. (15)

¿=1

где ¿(з) = зч + ¿д—1зч 1 + ... + <Л1з + (10 - полином гурвица степени д. Применяя фильтр к модели (3), можно получить

= Уь — Ш*, (16)

где

Уь = Ь(8)[шу], П = Ь(й)[шшт]

Используя (16), можно сформировать алгоритм адаптации вида

(17)

6 = УК, (18)

где у € Я+ - коэффициент адаптации. Модель параметрических ошибок в таком случае принимает форму

66 * = —уШ* (19)

и может быть показано, что в этом случае функция Г в (6) будет равна Г = П.

Затем отмечается, что важным свойством алгоритма адптации вида (18) является возможность его использования для получения старших производных

6*, что может быть использовано в ряде задач адаптивного управления. Прямое дифференцирование выражения (18) позволяет получить [16]:

6*(9+1) = у(у(я) — ^ с?^е*^ ) , (20)

\ г=0 )

где д € [0,р] и

^ = ш].

П(1-г) = Ь(зч-Г) [шшт] .

Выражение (20) позволяет получить старшие производные вектора е* до 6*(р+1). Для демонстрации свойств базовых алгоритмов адаптации (9), (13) и (18) для статической модели ошибки было проведено моделирование в МЛТЬЛБ БтиПпк.

Затем рассматриваются разработанные финитные алгоритмы, обладающими свойствами из основной задачи диссертационной работы. Для демонстрации разработанных алгоритмов для статической модели ошибки, выражение (6) переписывается в форме параметрической ошибки

9 * = —у^ 9* (21)

Решая это дифференциальное уравнение, можно получить

6*(г) = Ф(г)6*(0), (22)

где Ф € Ядхд - переходная матрица, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

Ф = —У^ Ф, Ф(0) = I (23)

Таким образом, из (23) можно получить

6 = 6*й + Р *(ф(г)(е*(г) — 6*(0)), (24)

где Р*(1) = (I — Ф^))—1, а 6* генерируется алгоритмом адаптации, допускающем форму (6).

Во избежание появления неопределенностей при инверсии Рпроизво-дится модификация выражения (24) в виде

6(г) = е*(1) + р (ф(г)(е*(г) — 6*(0)), (25)

где Р(£) - невырожденная матрица, представляющая собой модифицированную замену матрицы Р*(£), которая используется в разработанных модификациях.

В диссертации доказано, что векторы параметрических ошибок ё* и 6 связаны соотношением

ё= (I — Р (I — Ф))ё* (26)

Первый подход, обеспечивающий свойства из сформулированной задачи диссертационной работы, назван алгоритмом с непрерывной гладкой коррекцией (НГК) и основан на непрерывном плавном обновлении матрицы Р(£) с помощью сброса ее детерминанта в определенные моменты времени. Совместно с (25) рассматривается матрица

= «ф и — фад}, (27)

где функция ((£) рассчитывается как

,А(г) , дт ^ б

((*) = < () \\ (28) б , А(£) < б

где б € (0,1) - некоторая константа. Тогда функция р^) в (7) и (8) рассчитывается как

р^1—а (29)

В диссертации доказано, что все компоненты вектора параметрической ошибки ё, а также ошибка управления £ меньше, чем соответствующие им исходные вектор параметрических ошибок 6* и ошибка £*.

Для демонстрации свойств алгоритма адаптации с НГК для статической модели ошибки было проведено моделирование в МЛТЬЛБ БтиПпк.

Второй подход, обеспечивающий свойства из сформулированной задачи диссертационной работы, назван алгоритмом с обновлением начальных условий (ОНУ). Его суть заключается в постоянной настройке вектора 0(£) алгоритмом вида (6), при котором проверяется условие А^) ^ б для некоторого предварительно заданного порога б € (0,1) и вычисляется модель (23). При выполнении данного условия истинные значения параметров 6 считаются с помощью (24) и заменяются в алгоритме адаптации в качестве обновленных начальных условий

6^ в моменты времени (Ът : А(£—) < б, А(^+) ^ б). Для обеспечения чувствительности алгоритма к медленным или скачкообразным изменениям вектора 6, начальные условия Фто модели переходной матрицы (23) сбрасываются на единичную матрицу в моменты времени 1то.

В начальный момент времени £0 = 0 устанавливается т = 1, Ф0 = I и произвольное 60. Алгоритм адаптации вида (6) непрерывно рассчитывает оценки параметров и модель переходной матрицы (23) и на каждом шаге расчета проверяет выполнение условия А(£) ^ б. В момент времени 1то начальные условия 9ТО,Фто сбрасываются и на каждом шаге рассчитываются по следующему

правилу

ето = Р (*то)(ё*(*то) — ф(^то)0ТО—1)

Фто = I т = т + 1

(30)

и настраиваемые параметры приравниваются к генерируемым опорным алгоритмом адаптации вида (6)

6(£) = ё*(¿) V ^ 0

(31)

Для демонстрации свойств алгоритма адаптации с ОНУ для статической модели ошибки было проведено моделирование в МЛТЬЛБ БтиПпк.

Затем описываются разработанные финитные модификации для алгоритма высокого порядка (20), полученного путем прямого дифференцирования (18) алгоритма Крейссельмейера (РПР). Учитывая выражение (20), для синтеза финитной модификации для алгоритма (р +1) порядка рассматривается дифференциальное уравнение

§?(() = ФИё*(0),

(32)

где 6* = [6*; (3*;...; 6*(р+1)] и Ф € R2qx2q - переходная матрица, удовлетворяющая дифференциальному уравнению

Ф = А6Ф, Ф(0) = I

где

А* =

Ог,

1п

—ушшт — (I + уП)

Таким образом, из (32) можно получить

6, = од+р*тт* (г) — 6* (0)) (34)

где Р*(г) = (1 — Ф(г))—1, 61 = [6; 6;6^+1)], а е* = [е*; 9*;6*(^+1)] генерируется алгоритмом адаптации, допускающем форму (20).

Во избежание появления неопределенностей при инверсии Р*(£), производится модификация выражения (34) в виде

61 (I) = 6?(*) + Р (ФШ6№ — 6*(0)), (35)

где Р(^ - невырожденная матрица, представляющая собой модифицированную замену матрицы Р*(£), которая используется в разработанных модификациях. В диссертации доказано, что векторы параметрических ошибок 6* и 6 связаны соотношением

61 = (1 — Р (I — Ф))6* (36)

Из (36) следует, что улучшение сходимости может быть достигнуто путем выбора Р, при котором выражение — Р(I — Ф)| ^ 1 будет справедливо. Далее рассматривается алгоритм высокого порядка с НГК, который обеспечивает свойства из сформулированной задачи диссертационной работы. Совместно с (25) рассматривается матрица

= 04} {I— ту

где функция ц.(£) рассчитывается как

= ^ 6 (38)

[б , А(г) < 6

где 6 € (0,1) - некоторая константа. Тогда функция р^) в (1.7) и (1.8) рассчитывается как

р^1—Ш (39)

В диссертации доказано, что все компоненты вектора параметрической ошибки 6/, а также ошибка управления е меньше, чем соответствующие им исходные вектор параметрических ошибок 6* и ошибка е*. Для демонстрации

свойств алгоритма адаптации высокого порядка с НГК было проведено моделирование в MATLAB Simulink.

В соответствии с предложенным подходом, в начальный момент времени t0 = 0 устанавливается m = 1, Ф0 = I и произвольное 00. Алгоритм адаптации вида (20) непрерывно рассчитывает оценки параметров и модель переходной матрицы (33) и на каждом шаге расчета проверяет выполнение условия Д(£) ^ Ô. В момент времени tm начальные условия 0* ,ФТО сбрасываются и на каждом шаге рассчитываются по следующему правилу

0*m = Р (im)(9f (tm ) - Ф(^т)0т-1 ) < Фт = I (40)

m = m + 1

При этом настраиваемые параметры приравниваются к генерируемым опорным алгоритмом адаптации вида (20):

0l(t) = 0(t) yt ^ 0 (41)

Для демонстрации свойств алгоритма адаптации высокого порядка с ОНУ было проведено моделирование в MATLAB Simulink.

Вторая глава посвящена решению задачи адаптивного управления с эталонной моделью [12; 13; 17—19] с использованием финитных алгоритмов c НГК и ОНУ [20], предложенных в Главе 1. Рассматривается объект

ОД г п Ьт8т + bm-lSm-1 + ... + &Q f , ^

У = —ттМ =-;-Ô-\и\, (42)

a(s) sn + an-1sn-1 + an-2Sn-2 + ... + o-o v y

где y G R - регулируемая переменная, и G R - сигнал управления, ai,bj : i G

[0;n — 1],j G [0;m] - неизвестные постоянные коэффициенты полиномов a(s) и

b(s) соответственно. Вводятся следующие допущения:

Допущение 1. Объект (42) ограничен следующими условиями:

1. Полиномы a (s) и b(s) не имеют общих корней;

2. Значения порядков полиномов п и m известны;

3. Полином b(s) - полином Гурвица;

4. Знак коэффициента bm известен.

Задача решается с помощью леммы о параметризации объекта, описанной в [1; 2; 12], и позволяет записать модель ошибки в виде

£ = Ко g + 0 - bmu] + о (43)

С помощью выражения (43) синтезируется настраиваемый закон управления

и = i(e*T ш + ато д), (44)

b*

где 6* Е Я2п-1 и Ь*т Е Л - настраиваемые параметры, соответствующие вектору 6 и постоянной 6ТО Подставляя (44) в (43) после преобразований можно получить модель ошибки управления вида

£ = -4-т[0*Тш - (45)

—т(&)

Затем в рассмотрение вводится расширенная ошибка [1; 2; 12] вида

-1— [6*ТШ - кти] = £ - ф*Тф + )

£* = £ - ё*тш + &ти + ^^[ё*тш -ь*ти] = £ --ф*тф + —ф], (46)

где ф* = [6*Т,Ьт]Т - агрегированный 2п - мерный вектор настраиваемых параметров, соответствующих вектору ф = [6Т,Ьт]Т, ф = [Ш, — и] - расширенный регрессор, состоящий из элементов

Ш = —17-^[ш},и=

При подстановке (44) в (45) с учетом (46) можно получить статическую модель ошибки

£* = ф *Тф, (47)

где ф* = ф — ф* - вектор параметрических ошибок. Таким образом, модель (47) позволяет синтезировать физически реализуемые алгоритмы адаптации формы (6) в виде

ф * = у ^ (£,ф*,г )ф (48)

Модель параметрических ошибок в данном случае выглядит как

ф * = -У т-ф^ф * (49)

1 + ф 1 ср

Затем, используя алгоритмы с НГК и ОНУ для статической модели ошибки, выполняется модификация базового алгоритма, обеспечивающая настройку параметров регулятора за конечное время и чувствительность к вариациям неизвестных параметров. Модификация производилась в соответствии

Рисунок 1 — Переходные процессы в замкнутой системе с опорным алгоритмом

адаптации

с (25) и (27)-(31) с точностью до замены ш на Ф и 0* на "* с учетом нормирования.

Для демонстрации полученных результатов была рассмотрена задача адаптивного управления объектом второго порядка

Ьо

У =

-М

й2 + а1в + а0

с неизвестными параметрами Ь0,а0,а1 и эталонной моделью

12

Уто ^2

«2 + 7« + 12

[9]

и сигналом задания

д(Ъ) = йт(£) + 3

В целях моделирования объекта были использованы параметры Ь0 = 6, а0 = 0,а1 = 3. Результаты моделирования замкнутой системы адаптивного управления представлены на Рисунках 1 — 3. Из графиков видно, что разработанная модификация, в отличии от базового алгоритма адаптации, обеспечивает быструю и точную настройку параметров регулятора и сведение ошибки управления к нулю.

Для использования алгоритмов в реальных системах, основанных на цифровых контроллерах, требуется переход к дискретной форме. Далее во второй

Рисунок 2 — Переходные процессы в замкнутой системе с опорным алгоритмом адаптации и модификацией с финитной настройкой регулятора

Рисунок 3 — Сравнение сходимости вектора ||ф*|| = ф — ф* опорного алгоритма адаптации и вектора ||ф|| = ф — ф финитного алгоритма адаптации

главе рассматривается дискретная версия алгоритма с финитной сходимостью, сохраняющая его ключевые свойства. Рассматривается дискретный объект

у (к) = D(z)[u(k)], (50)

где у G ñ - выходная переменная, и G ñ - сигнал управления, к - дискретное время и

D(z) =Ь^1= bmZm + frm—1*т—1 + ... + bo

(Z) a(z) zn + an—izn—1 + ... + ao

передаточная функция с полиномами Ь(z) и a(z). ai,bj(i = l,2...,n — l;j = l,2,...,m) - неизвестные коэффициенты.

Допущение 2. Объект (50) ограничен следующими условиями:

1. Значения порядков полиномов п и т известны;

2. Корни полинома Ь^) лежат внутри единичной окружности;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Подошкин Дмитрий Леонидович, 2025 год

Литература

1. Ioannou P. A., Sun J. Robust Adaptive Control. NJ: Prentice-Hall, 1996. 825 p.

2. Narendra K.S., Annaswamy A.M. Stable Adaptive Systems. NJ: Prentice Hall, 1989. 494 p.

3. Lion P. M. Rapid identification of linear and nonlinear systems // AIAA Journal. 1967. V. 5. N 10. P. 1835-1842. https://doi. org/10.2514/3.4313

4. Kreisselmeier G. Adaptive observers with exponential rate of convergence // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977. V. 22. N 1. P. 2-8. https://doi.org/10.1109/TAC.1977.1101401

References

1. Ioannou P.A., Sun J. Robust Adaptive Control. NJ: Prentice-Hall, 1996. 825 p.

2. Narendra K.S., Annaswamy A.M. Stable Adaptive Systems. NJ: Prentice Hall, 1989. 494 p.

3. Lion P. M. Rapid identification of linear and nonlinear systems. AIAA Journal, 1967, vol. 5, no. 10, pp. 1835-1842. https://doi. org/10.2514/3.4313

4. Kreisselmeier G. Adaptive observers with exponential rate of convergence. IEEE Transactions on Automatic Control, 1977, vol. 22. no. 1. pp. 2-8. https://doi.org/10.1109/TAC.1977.1101401

Алгоритмы прямого адаптивного управления линейной системой по выходу с конечным временем настройки

5. Andrievsky B.R., Fradkov A.L., Stotsky A.A. Shunt Compensation for Indirect Sliding-Mode Adaptive Control // IFAC Proceedings Volumes. 1996. V. 29. N 1. P. 5132-5137. https://doi.org/10.1016/ S1474-6670(17)58495-5

6. Fradkov A., Andrievsky B., Combined adaptive controller for UAV guidance // European Journal of Control. 2005. V. 11. N 1. P. 71-79. https://doi.org/10.3166/ejc.11.71-79

7. de Mathelin M., Lozano R. Robust adaptive identification of slowly time-varying parameters with bounded disturbances // Automatica. 1999. V 35. N 7. P. 1291-1305. https://doi.org/10.1016/ S0005-1098(99)00026-6

8. Narendra K.S., Han Z. A new approach to adaptive control using multiple models // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2012. V. 26. N 8. P. 778-799. https://doi. org/10.1002/acs.2269

9. Герасимов Д.Н., Кошелев К.П., Беляев М.Е., Никифоров В.О. Алгоритм адаптивного управления по выходу линейной системой с улучшенной параметрической сходимостью // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2018. Т. 18. № 5. С. 771-779. https://doi.oig/10.17586/2226-1494-2018-18-5-771-779

10. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing // IEEE Transactions on Automatic Control. 2017. V 62. N 7. P. 3546-3550. https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2614889

11. Krause J., Khargonekar P. Parameter information content of measurable signals in direct adaptive control // IEEE Transactions on Automatic Control. 1987. V. 32. N 9. P. 802-810. https://doi. org/10.1109/TAC.1987.1104722

12. Ortega R. An on-line least-squares parameter estimator with finite convergence time // Proceedings of the IEEE. 1988. V. 76. N 7. P. 847-848. https://doi.org/10.1109/5.7153

13. Adetola V., Guay M. Finite-time parameter estimation in adaptive control of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2008. V. 53. N 3. P. 807-811. https://doi.org/10.1109/ TAC.2008.919568

14. Rios H., Efimov D., Moreno J. A., Perruquetti W., Rueda-Escobedo J. G. Time-Varying Parameter Identification Algorithms: Finite and Fixed-Time Convergence // IEEE Transactions on Automatic Control. 2017. V. 62. N 7. P. 3671-3678. https://doi. org/10.1109/TAC.2017.2673413

15. Wang J., Efimov D., Aranovskiy S., Bobtsov A. Fixed-time estimation of parameters for non-persistent excitation // European Journal of Control. 2020. V. 55. P. 24-32. https://doi.org/10.1016/j. ejcon.2019.07.005

16. Holloway J., Krstic M. Prescribed-time output feedback for linear systems in controllable canonical form // Automatica. 2019. V. 107. P. 77-85. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.05.027

17. Ortega R., Gerasimov D.N., Barabanov N.E., Nikiforov V.O. Adaptive control of linear multivariable systems using dynamic regressor extension and mixing estimators: removing the high-frequency gain assumptions // Automatica. 2019. V. 110. P. 108589. https://doi. org/10.1016/j.automatica.2019.108589

18. Gerasimov D.N., Ortega R., Nikiforov V.O. Adaptive control of multivariable systems with reduced knowledge of high frequency gain: application of dynamic regressor extension and mixing estimators // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. N 15. P. 886-890. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.09.108

19. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. M.: Наука, 1981. 447 c.

20. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an augmented error signal // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. V. 19. N 5. P. 474-484. https://doi.org/10.1109/TAC.1974.1100670

21. Nikiforov V.O., Gerasimov D.N. Adaptive Regulation: Reference Tracking and Disturbance Rejection. Springer-Verlag, 2022. 358 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-96091-9

22. Ortega R., Nikiforov V., Gerasimov D. On modified parameter estimators for identification and adaptive control. A unified framework and some new schemes // Annual Reviews in Control. 2020. V. 50. P. 278-293. https://doi.org/10.1016/j. arcontrol.2020.06.002

5. Andrievsky B.R., Fradkov A.L., Stotsky A.A. Shunt Compensation for Indirect Sliding-Mode Adaptive Control. IFAC Proceedings Volumes, 1996, vol. 29, no. 1, pp. 5132-5137. https://doi.org/10.1016/ S1474-6670(17)58495-5

6. Fradkov A., Andrievsky B., Combined adaptive controller for UAV guidance. European Journal of Control, 2005, vol. 11, no. 1, pp. 7179. https://doi.org/10.3166/ejc.11.71-79

7. de Mathelin M., Lozano R. Robust adaptive identification of slowly time-varying parameters with bounded disturbances. Automatica, 1999, vol. 35, no. 7, pp. 1291-1305. https://doi. org/10.1016/S0005-1098(99)00026-6

8. Narendra K.S., Han Z. A new approach to adaptive control using multiple models. International Journal oof Adaptive Control and Signal Processing, 2012, vol. 26, no. 8, pp. 778-799. https://doi. org/10.1002/acs.2269

9. Gerasimov D.N., Koshelev K.P., Belyaev M.E., Nikiforov V.O. Algorithm of adaptive output control of linear system with improved parametric convergence. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2018, vol. 18, no. 5, pp. 771-779 (in Russian). https://doi.org/10.17586/2226-1494-2018-18-5-771-779

10. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing. IEEE Transactions on Automatic Control, 2017, vol. 62, no. 7, pp. 3546-3550. https://doi.org/10.1109/TAC.2016.2614889

11. Krause J., Khargonekar P. Parameter information content of measurable signals in direct adaptive control. IEEE Transactions on Automatic Control, 1987, vol. 32, no. 9, pp. 802-810. https://doi. org/10.1109/TAC.1987.1104722

12. Ortega R. An on-line least-squares parameter estimator with finite convergence time. Proceedings oof the IEEE, 1988, vol. 76, no. 7, pp. 847-848. https://doi.org/10.1109/5.7153

13. Adetola V., Guay M. Finite-time parameter estimation in adaptive control of nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control 2008, vol. 53, no. 3, pp. 807-811. https://doi.org/10.1109/ TAC.2008.919568

14. Rios H., Efimov D., Moreno J. A., Perruquetti W., Rueda-Escobedo J. G. Time-Varying Parameter Identification Algorithms: Finite and Fixed-Time Convergence. IEEE Transactions on Automatic Control, 2017, vol. 62, no. 7, pp. 3671-3678. https://doi.org/10.1109/ TAC.2017.2673413

15. Wang J., Efimov D., Aranovskiy S., Bobtsov A. Fixed-time estimation of parameters for non-persistent excitation. European Journal oof Control 2020, vol. 55, pp. 24-32. https://doi.org/10.1016/j. ejcon.2019.07.005

16. Holloway J., Krstic M. Prescribed-time output feedback for linear systems in controllable canonical form. Automatica, 2019, vol. 107, pp. 77-85. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.05.027

17. Ortega R., Gerasimov D.N., Barabanov N.E., Nikiforov VO. Adaptive control of linear multivariable systems using dynamic regressor extension and mixing estimators: removing the high-frequency gain assumptions. Automatica, 2019, vol. 110, pp. 108589. https://doi. org/10.1016/j.automatica.2019.108589

18. Gerasimov D.N., Ortega R., Nikiforov V.O. Adaptive control of multivariable systems with reduced knowledge of high frequency gain: application of dynamic regressor extension and mixing estimators. IFAC-PapersOnLine, 2018, vol. 51, no. 15, pp. 886-890. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.09.108

19. Fomin V.N., Fradkov A.L., Iakubovich V.A. Adaptive control oof dynamic objects. Moscow, Nauka Publ., 1981, 447 p.

20. Monopoli R. V Model reference adaptive control with an augmented error signal. IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, vol. 19, no. 5, pp. 474-484. https://doi.org/10.1109/TAC.1974.1100670

21. Nikiforov V.O., Gerasimov D.N. Adaptive Regulation: Reference Tracking and Disturbance Rejection. Springer-Verlag, 2022, 358 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-96091-9

22. Ortega R., Nikiforov V., Gerasimov D. On modified parameter estimators for identification and adaptive control. A unified framework and some new schemes. Annual Reviews in Control, 2020, vol. 50, pp. 278-293. https://doi.org/10.1016/j.arcontrol.2020.06.002

Д.Н. Герасимов, Д.Л. Подошкин, В.О. Никифоров

Авторы

Dmitry N. Gerasimov — PhD, Associate Professor, Associate Professor, Senior Researcher, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 36637147000, https://orcid.org/0000-0001-8306-4138, [e-mail]

Dmitry L. Podoshkin — PhD Student, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 58853949900, https://orcid. org/0009-0000-5189-7696, [e-mail]

Vladimir O. Nikiforov — D.Sc., Professor, Vice-Rector for Scientific Affairs, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 7103218872, https://orcid.org/0000-0003-4860-5407, nikiforov_vo@ itmo.ru

Authors

Герасимов Дмитрий Николаевич — кандидат технических наук, доцент, доцент, старший научный сотрудник, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, sc 36637147000, https://orcid.org/0000-0001-8306-4138, [e-mail] Подошкин Дмитрий Леонидович — аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, sc 58853949900, https://orcid.org/0009-0000-5189-7696, [e-mail] Никифоров Владимир Олегович — доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, sc 7103218872, https:// orcid.org/0000-0003-4860-5407, [e-mail]

Статья поступила в редакцию 03.11.2024 Одобрена после рецензирования 09.12.2024 Принята к печати 22.01.2025

Received 03.11.2024

Approved after reviewing 09.12.2024

Accepted22.01.2025

Работа доступна по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial»

Available online at www.sciencedirect.com

ScienceDirect

IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 6865-6870

aiFAC »

CONFERENCE PAPER ARCHIVE

Transtents Improvement m the Output-Feedback Adaptive IBi^ccliSsli^i^pD^ngt Control of Nonlinear Systtems with Input Constraints

k

D. Gerasimov * O. Suzdalev* A. Pashenko * V. Nikiforov * D. Podoshkin *

* ITMO University, Kronverkskiy a,v. 49, Saint Petersburg^, 197101, Russia (corretyondrng author e-mati: dngerasimovQitmo.ru)

Abstract: The paper addresses the problem of transient performance improvement in the output-feedback adaptive backstepping control of parametrically uncertain nonlinear system represented in the corcacied output-perdback Sosm. The system state is inaccessible for meysure-mpny the system input is constrain«:!, and Ithtiei contiol g^^in is assumed unknown (ite uign known). y^ltte probtam is solved ley applying specially modffied K-filters wrth fdS(.;j"u.s^tгs.^lgltt narameter, using the backsteppins procedure baking into account the input constraints, and involvine the Kreisselmeier-like adaptation algorithm wrth c modified swapping scheme. The a1Uorithm enables us to improke the closed-loop transient performance withopp increasing isTist "^w^r^gr^1" in the control error transients. The tatter property is acMened by including the Sugh-osner timederivaУives of the adlustebta parameters, calculated by the adaptation algotithm) :si:l the contro1 law. propeyties or the c1osedПoop system are illustrated )si^ simulation.

CCopyrrrig^l^t © s023 Tins Aotpori. This is an ojjen ¿access article nn(les tine CC BY-NC-ND licenses (hatys:/^ryativnsummyer.orgeiinerleyt/by-cctncS4.C)/)

Keywords: Adaptation with improved convergence, adaptive backstepping, constrained control.

1. INTRODUCTION

Despite great progress achieved in adaptive control of nonlmear cascaded rystems, there are stin ojfjen questions retated to the trnnstant performance and practical im-^emcntation o. essentially sophisticated contio1 taws m tilepresence of natural bounitaries of system varinbtas, the mfluence of d^urbances. and poss1011 uпmeasurab1e stsates. TMs L^arler te itanoted Uto the tianstant improvement performance o:f adapSive contoo1 h nonlinear systems with pnmeasuralile stete m ttat psesence oS input cunstraiпts.

To the lies1; of our knowtadge, rfe history o0 adaptine control of cascades' systems s^'tii^r't^ci in the beginning of 90^ when based on bscksteppmg proceciure rfe sotation wirf onerparameterization was proposed m Kanonakopou-los e1; ae (l^91) and tlsen simphfied in festic et nl. (1u95). ][n 'to simphfied aerstans, rfe aurfors proposed liiao )(l^ít:Lc; sohitions using tun1ng Cu'elCsiont and moMcr ■identifiers. The ^nin0 Unction approach impdns a ste]>by-seep Lya. TTju^nov cti^^ii"":)^ of s^cia1 functions oriented to aompensation ou nonhncar dynamicr op rfe system as 1:11 os of ti^п^i(i:J of acljustebta ^rameteru. T]se sesulting ecCaa( аd^]t1;:^11iolt generating estimates for oh prmiary suning Unctions ansi rfc ac);ual i^nn11^o^, ^s s,^ she fina^

oi- im^e iteratine ](^Oiiedur^. T^lie m^^r:) is1^a of mocfiilar ^n step-by-ste]" o^ ^.s^i:)^]^^:1))!)^

^uniition^ reCerresito as virtual and ac"ual contra. laws thas en^ur^ """^OO^h^ ^n()u11-t)^^:^'ta1l"S stdl>i1ity ((JES!:!)' ]эl•op"i:r11uh o^ islie dosecHoop sui^1L^m ^nd ^nite]pendiiit1; deti^^o]эmen1' of

o Tli^^ w^^o^lk weii3 supported by the Mmmtry of Science and ffigher Iiduc;^tti(^n o^ Russmn jo^de^ab^o^n ((I^rojecils (^os:^adalni^, l^O^LiJ-O^^iJ^h)).

adaptive identifiers Sop parameters tuning of the control laws. Due to the indppendent design ef the controls and She identifiers. risis apprench a^loer^ u^s ^o appi^a difi^^senl; ^lSa]D11a1;::on a],rr)^:^^i;ltml^ inc1!^!^::)!""] algorittaos w^l;1! ^a^1; pt^ri^^ me1;^^^ CLcnnereencin Holi^^v^r, ^s eras shown lay- analyse f,nd si^u1atic^r^ isee (^Sa^pt^r 6 in f^rstii^ rC al. ((19!95l ^i^d IN^il^^iffo^ ^^ aL (202^)), t^e ^irifnEs^^nt performance of the tsackmg ^r^or^ provMed I^1^ 1llilis ]Jíi!íilCOl^1'r)^^ii^^ ii^ sensitive To 1;ll^1)Ul^in)" ^ki1'^ of rfeacljustable c^l^11l'o])1e1L di^l^e to accelerate lie po^^^fn^ln^^^ .suni^gi; caused

mappropriote initicl 'irwisos" of the control error.

To overcome this problem, in ttikiforov an/C ¥01011)^ (T2001) ic fva^ (s^opo^i^d to include the high-order time derivatives lHCLTn)) /el 1ilie ífdj1usi;^]:^^e parameters in Use cr^rliua^ ^nc^ actuo1 ;;^on11ro^ ^a1]^^ coni)e^n^a1;^ rfe ^^le influence oi^ the rate oS jua^am^l;^^^ tuning" on the error Suansients iiПo calculate the HCTD, the Morm's high-order toner (see Morse (19921) wes appMed. ^s fe i^at^^r of fact, 1ili^ l^outse's sclt^m^ sloes not psonide a ssistematic

t^clm^/^ue ^nr ac]i1^^:^rí/^^Oin oii the L^ara,m^1ie^^ 'un^n"; and may have arbitrarily slow convergence.

In order to increase the rate of parameters tuning, recently in Nlkiforcw et 90 1.20(2(!); GerEl^:lSп(^j1i et i1^. f^ii^iiii,!:))' ^^ isa^ jDK^psos^d to conr((in^ the ISES^cont^o^ler flom ^^kii^oi^o^ ^^s^ ^ifo^on/rv ("S^OtH))mm with the Krпisse1meier-1ike a1)"ori^li(^ (.^e^ o^i"".)]^^ ^^°;;::^ri1;:bm ^n KKri^^^se^fne^^^ ()l!^i()'i7)) and its modification ^n (^l^rasitпoti anil NikiSoron ((20(2^ D) ivith rapid convergence allowing to calcutate the HCTD iiu islciE' ac.jit^li^Ool^ contioller (Г]:Lis ^l]sor:L1)l:^tc is

suitab1y iro ^cce^^r^1;^ perSormance o^

2405-8963 Copyrigiit © 2023 The Authors. This is an open access article under the CC BY-NC-ND license. Peer review under responsibility of International Federation of Automatic Control. 10.1016/j.ifacol.2023.10.481

6866 D. Gerasimov et al. /IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 6865-6870

the closed-loop system and avoid the deteriorating effect of initial "swings" of the control error.

Recently, in Gerasimov et al. (2022) this approach was developed for nonlinear systems with input (control) constraints, however accessible for measurement state.

The contribution of this paper is to extend the results of Gerasimov et al. (2022) to the case of output-feedback control. The main tool of the extension consists in a new modified scheme of plant parameterization, backstepping procedure, and the swapping scheme used for design of adaptation algorithm with improved convergence.

The paper is organized as follows. In Section 2, the problem statement is formulated. In Section 3, the plant is represented in a parameterized form. In Section 4, an output-feedback ISS-controller is designed, and the properties of the closed-loop system are analyzed. In Section 5, the augmented error based adaptation algorithm is designed. In Section 6, simulation results illustrating the properties of the proposed solution are demonstrated.

Notations: |x|, ||x||TO are the Euclidean and infinity norm of the vector x, respectively; I is the identity i x i matrix; OiXj- is the zero i x j matrix; L1, L2, are the spaces of integrally bounded functions, quadrat-ically integrable functions, and bounded functions, respectively; Cj = is the binomial coefficient, =

[0,..., 0,1,0, ...,0]T is n-th dimensional the coordinate

í

vector; s = d/dt is the time derivative operator.

2. PROBLEM STATEMENT

Let us consider an uncertain nonlinear system represented in the -parametric output-feedback canonical form 1

¿i = Xi+i + <^T(y)9, i = 1, 2,..., n — 1, (1) Xn = <^T(y)9 + M«), (2)

y = ¿i, (3)

where

{umin if u(t) — umin,

«max if «(t) > Umax, (4)

u(t) otherwise is the constrained control with the saturation limits umin, Umax (Umin < «max), y £ R is the regulated variable, Xj (j = 1, 2,..., n) are the elements of the state vector x £ Rn, 9 £ Rq is a constant vector of unknown parameters, @ is an unknown constant, <&(y) £ Rq are the smooth functions. The vector x is not accessible for measurement.

The following assumption regarding the plant is made. Assumption 1. The sign of @ is known. Without loss of generality, we assume ^ > 0. ■

Assumption 1 is often accepted to know the control direction or the direction of gradient search in adaptation algorithms (see Chapter 9 in Krstic et al. (1995); Ioannou and Sun (1996)).

The plant (1)-(4) is representable in the compact form

X = Ax + $(y)9 + ^bu(u), y = cTx, (5)

1 For the sake of simplicity, the argument t in time functions will be omitted except when it is necessary.

where $ =

A =

On

0

L In

O1

b = Çn, c = Ç1.

The control objective is twofold: 1) to design an outputfeedback control ensuring the boundedness of all the closed-loop signals and driving the tracking error £ to zero according to the equality

lim e(i) = lim (y(t) - (t))=0,

t—^^O t—^^O

(6)

where yr is a bounded piece-wise continuous reference signal with measured and bounded first n time derivatives; 2) to provide a systematic technique for the acceleration of controller parameters tuning.

To achieve the objective under input constraints, we make the following assumptions.

Assumption 2. The plant is bounded-input bounded-output (BIBO). ■

Assumption 3. Let u*(t) = u(0ss, x(t),yr(t), t) be a tuned control obtained from the proposed (in the paper) control

u = u(0, 0, 0,..., 0(n-1), x(t), yr(t), t) by replacement of the adjustable parameters 0 by their steady-state (tuned) value 0ss and by replacement of the HOTD of the adjustable parameters 0, 0,..., 0(n-1) by zeroes. Then

Umin < U*(t) < Umax, Vt > To, (7)

where T0 is some positive constant. ■

Assumptions 2 and 3 are required to meet the reachability property for the system with input saturation. As it is discussed in the end of the paper (discussions D3 and D4), development of the proposed solution to unstable or even Lyapunov stable systems is a nontrivial extension and is a matter of future investigations.

3. PLANT PARAMETERIZATION

To overcome the problem of inaccessible state, we involve the Kreisselmeier filters (K-filters) for parameterization of the plant equations (1), (2), (3) (Krstic et al., 1995, Section 8.1). Since the control coefficient / is unknown, we use a special extension of these filters.

Lemma 1. Together with (5), we consider the K-filters

£ = A £ + ky + /3bu(u)+ ^/3, (8)

H = A?H + $(y), (9)

= A£ + bu(u), (10)

where k = [ki, k2,..., kn]T is the vector with the elements kj, j = 1, 2,..., n selected so that the matrix A^ = A —kcT is Hurwitz, /3 is the adjustable parameter generated by an

adaptation algorithm together with its time derivative /3 to compensate the influence of unknown /. Then the vector x and the output y can be represented as

x = £ + H0 + ^/3 + e, (11)

y = 6 + "'0 + + €1,

(12)

where /3 = / — /3 is the parametric error; e is the exponentially decaying term satisfying the differential equation e = A^e with the initial condition e(0) = x(0) — £(0) — 5(0)0 — (0)/(0); and ej are the i-th elements of

D. Gerasimov et al. /IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 6865-6870 6867

the vectors £, , and e, respectively; HT is the i-th row of the matrix H (i = 1, 2,... ,n). ■

The lemma is proved by evaluating of the time derivative of e = x - £ - H0 - / in view of (5), (8), (9), (10), and the equality A - A% = kcT.

Remark 1. Since the term e can affect the stability of nonlinear system causing, it must be taken into account in controller design. ■

For the output-feedback controller design, we will also need parameterization of the time derivative y. Corollary 1. The first time derivative of y can be represented in the form

y = £2 + (HT + ¿T(y)) 0 + ^2/ + e2. (13)

Now, instead of the plant equation (5) with inaccessible state x we will use (13) with the filter (8) backstepping on the variables to design an output-feedback control. The design procedure will be started from (13).

4. ADAPTIVE CONTROLLER

Before presenting the backstepping design of modular output-feedback adaptive controller, we highlight the main properties of this controller comparing with the basic one from Krstic et al. (1995) (Chapter 9):

• the proposed controller compensates excessively large transient "swings" of the tracking error caused by increased rate of the controller parameters tuning. 2 The compensation is achieved by involving the HOTD of the controller parameters into the virtual control laws. As shown in Nikiforov et al. (2022), in this case, acceleration of the tuning process does not cause increase of transient "swings".

To calculate the HOTD and, at the same time, provide fast parametric convergence, it is proposed to apply the Kreisselmeier-like adaptation algorithm (see Gerasimov and Nikiforov (2021, 2022); Nikiforov et al. (2022); Gerasimov et al. (2020b,a)).

• to compensate the influence of the unknown parameter в, we use the controller modification free from division by the corresponding adjustable parameter /3 and without a projection mechanism (see Sections 9.1, 9.2 in Krstic et al. (1995)). For this modification, we construct a special swapping scheme oriented to design of an adaptation algorithm.

• the obstacle of the input constraints is overcome by introduction of the auxiliary filter.

Unfortunately, the payment for the obstacles with unknown / and the input constraints consists in the restriction defined by Assumption 3.

The design procedure consists in step-by-step defining the stabilizing functions or virtual controls

ai = - (ci + si)zi - (=2 + Ф1) 0, "2 = - Zi - (C2 + S2)zi + £2(6 - y)

(14)

(15)

2 For details about this degrading effect, see the errors bounds analysis presented in Sections 6.5 and 9.6.2 of Krstic et al. (1995).

dai / _ , .j A dai .

+ ^ + 2 + Д + ^

dai , , „ „ , . dai 3 3 + ^ (-k2=i + =3 + Ф2) + 0 - Ши2/3, «=2 <90

ai = - Zj_i - (c, + si)zi + - y) (16)

i

daj_ dy

($2 + (=2 + фОт 3 + E

da°_i 3(j) j=2 di3(j_i)P

+

j=i

da,

kj(y - $i) + + z3

+

da,-.

d0(j_i)

+—^-(-kj + ^uj+i)

+ dai_i (j) я (j_i) Уг

dyr

■A dai_i, „

+£ -dj (-kj=i j=i J

j+i

+ Ф ),

where i = 3, 4,..., n -1; = £ = y -yr - and Zj = -- y(j i) - Aj are the state errors; j = 2,3,..., n - 1;

aj-i

si

Mi,i |=2 + ^i|2 + Mi,2 |^u2|2 + Mi,3, 2

(17)

da

j-i

dy

|=2 + + Mj,2 |^u21 + Mj,3

are the damping terms; c1, Cj, and are some

positive constants; A1, Aj are the states of the filter

Ai = — (ci + si)Ai + A2, (18)

Aj = -Aj-i - (cj + sj)Aj + Aj+l, (19) A„ = -An-i - (c„ + s„)A„ + /Au(u); (20)

Au(u) = u(u) -u; 0 G Rq, /3 are the adjustable parameters corresponding to the plant parameters 0 and /. 3 Remark 2. Damping terms are not necessary but used to define the boundaries in Lemma 3. ■

The procedure is finished by design of the actual control

u = K (an + y(n)) , (21)

where 3 is the additional adjustable parameter corresponding to k = 1//.

Lemma 2. The control law (14)-(21) when applied to the plant (1)-(3) results in the closed-loop error model

z = Az(t)z + Bz(t)3 + cz (t)/3 - /?„a„3 + dz(t)e2, (22)

£ = cTz + A1, (23)

where z = [z1,z2, ...,zn]T; 0 = 0 - 0 is the vector of adjustable parameters; /3 = / - / and 3 = k - 3 are the additional parametric errors,

|--(ci + si) 1 0 ••• 0

-1 -(C2 + S2) 1 ••• 0

0 -1 ...... .

1

0

0

Bz = dz ® I

dz =

1,

■■ ■ -1 -(cn + sn)_

2 + <£i) , Cz = Ш„2dz - ÇnU

ôai ôa2 ôan_ i

dy ' dy

dy

3 Here and hereafter, all the indexed variables are assumed zero if the index is below one or exceeds the maximum value.

+

s

j

6868 D. Gerasimov et al. /IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 6865-6870

,y(n-1)]T

In (22), (23), we use the notations Az (t) = Az (z,i?,ro), Bz (t) = Bz (z,i?, ro), cz (t) = cz (z,i?, ro,u), and dz(t) =

dz (z,1,ro), = [0,0, ...,0(n-1),/3,/3 ,...,/3(n-1)]T ro =

[£1,... ,£„, H^. . . ,"T, ... ^r

are the sets of functions.

The model (22) is derived by calculation of the time derivatives z, in view of the plant equations (1), (2), (3), the control law (14)-(21), the parameterization (13), the filters (8), (9), (10), and the filters (18), (19), (20). Lemma 3. The upper boundaries for |z(t)| and |e(t)| are given by the inequalities

|z(t)| < e-^4|z(0)| + ||0||to ' ^

l£2|

+

a/2como,1

|1 - /33||ra||a

+

a/2como,;

(24)

Ml - (n)

n | | TO + 1 | 3 yr 1

|/|

\/2coMo. |e(t)| < |z(t)| + e

|A(0)| +

c0

|/3Au(u)| co n1

(25)

where co = min{ci}, = , i = 1,2, ...,n,

j = 1, 2,3.

If 6>, 6>,... 6>(n), /3,/3,... /3(n), and k are bounded, then under Assumption 2, the norms |z(t)| and |e(t)| are bounded. ■

Proof. Due to lack of space, we present a sketch of proof. First, to prove the inequality (24), we calculate the time derivative of 121z(t)|2 in view of (22) and (17):

2dt|z(t)|2 =2zT (AT + A

- [«nKz + d^z =

zl z + 0TBTz + cT/z

£ciN2 Si|zi|2 i=1 i=1 n n n

+ 0(H2 + dzizi + /^2^ dzizi + £2^ dz

i = 1 i=1

«/y(n)CTz <-co|z|2 + A

i=1

- k - /3 3J «nC^z

+ (j|1 - /33||ro||c

(||1 - /3 + A + ^-

I + Il3y(n)l

n | 1 M yr | |

|z| < ■

^co|z|-

(n)

+ | | 3yr | | TO |

2co

where A =

+

jim

Solving the latter

4co^o,i 4co^o,2 4co^o,3

differential inequality, we get (24).

Second, to prove (25), we evaluate the time derivative of 1 |A(t)|2 in view of (18)-(20), and (17) using similar technique as for the proof of the inequality (24).

Third, due to Assumption 2 (BIBO property of the plant

with saturated input) and the boundedness of yr, if 0 is

bounded then the first virtual control a1 and its partial

derivatives dF, da, , and are bounded. There-dy ' dyr ' 0=2 ' de

fore, if 0, 0, / are bounded, then due to the boundedness of yr ,yr, the second virtual control a2 and all its partial derivatives necessary for calculation of the virtual control a3 are bounded. Proceeding the proof in the iterative manner, we prove that all the virtual control laws up to an are bounded. Therefore, if 3 is bounded, then u is bounded

and if /3 is bounded due to the inequalities (24) and (25), z(t) and e(t) are bounded. This completes the proof. ■

5. SWAPPING SCHEME

In this section, based on extension of the nonlinear swapping technique (see Krstic et al. (1995), Appendix F) and the results recently obtained in Gerasimov and Nikiforov (2022), we derive a static parametric model of the closed-loop system oriented to design of adaptation algorithms. Lemma 4. Let us introduce the filters

Z1 = Az C1 + en«n, (26)

Z2 = Az C2 + Bz 0 + /cz, (27)

ZZ3 = Az Z3 + Bz, (28)

Z4 = AzC4 + cz - (29)

and define the augmented state error as

? ^ z + C2. (30)

Then, in view of (22), the following equality holds:

? = Z30 + /(C4 + Z1-) - Z1 + £z, (31)

where £z is the exponentially decaying term satisfying the equation £z = Az£z with the initial condition £z (0) = z(0) + Z2(0) - Z3(0)0 -/(Z4(0) + Z1 (0)3(0)) + Z1(0). ■

The lemma is proved by evaluating the time derivative of £z = ?-Z30-Z4/ + /Z1 k in view of (22), (26)-(31). Due to the special structure of the matrix Az, the function £z (t) tends to zero exponentially fast.

Remark 3. Due to the structure of the matrix Az, the state Z3 in the filter (28) is bounded irrespectively of the boundedness of Bz. Unfortunately, we can say nothing about the boundedness of Z1 and Z4 in the filters (26) and (29). Therefore, the normalization of the adaptation laws using the regression model (31) is necessary and must involve the functions Z1 and Z4. H

The linear regression (31) is a typical start point for design of different adaptation algorithms. For example, under Assumption 1 it could be used for design of the gradient algorithm

0 = yZjZ, / = YpZ4z, 3 = YpZ1z, where 7 > 0 is the adaptation gain, k = ? - Z30 - /3^4,

P-

1

1

(32)

is the normalizing factor. Unfortunately, this algorithm cannot be applied for controller parameters tuning since it does not generate the HOTD of 03, /3 required for implementation of the control laws (15)-(21). Therefore, in the next section, we propose an adaptation algorithm with improved convergence that will be able to generate the HOTD 0(i) and /3« (see Gerasimov and Nikiforov (2022)).

6. THE ADAPTATION ALGORITHM

Let us introduce the transfer function

n-1 1 1 L(s) = TT —^ = , (33)

v ' 1=1 s + / d(s)' v '

where d(s) = sp + dn-2sn-2 + ... + d0 is a Hurwitz polynomial with real roots s, = -It can be shown

30

CO

z

1

DO

2

a

CO

2

D. Gerasimov et al. /IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 6865-6870 6869

that the operator L(s) is such that L(s)[f (t)] > 0 for any continuous f (t) > 0 for all t > 0 (see Section 3.2.3 in Nikiforov and Gerasimov (2022)).

Then, taking into account that k/ = 1 we represent (31) as

z=qTr— + ez, (34)

where — = [#T, k, /]t is the aggregated vector of unknown parameters,

Iq Oqxl Oqxl

r zT 1

Qo = —zT , R =

C4T + zT/

Olxq Olxq

Regression (34) enables us to construct a new static error model necessary for design of the adaptation algorithm. Lemma 5. Introduce the signals

Y = L(s) [pQ0z] , Q = L(s) [pQ0QT] (35) and new error

E = Y - QR—, (36)

where — = [#T,/3, /3]T is the aggregated vector of adjustable parameters,

R =

Iq Oqxl Oqxl 0 1

Olxq /3

Olxq 0

Then the error can be represented as the output of the static error model

E = QK R— + en, (37)

where — = — —

en = L(s) [pQoez] , K = Iq+2 + 3?q+i?T+2, p is defined by (32), ?q+1, ?q+2 G Rq+2 are the coordinate vectors. ■

The lemma is proved by replacement of (35) in (36) and by simple algebraic transformations in view of (34) and properties of the linear operator L(s). Remark 4- It is important to stress the following properties of the matrices Q and R:

• due to the properties of the linear operator L(s) given by (33) and in view of Remark 3, the matrix Q = QT is bounded and positive semi-definite;

• the matrix R = RT is positive definite due to Assumption 1.

These properties allow us to simplify the structure of the adaptation algorithm based on the model (37) with unknown R. ■

The algorithm takes the form

- = 7K tE, (38)

where 7 > 0 is the adaptation gain.

To calculate the HOTD of the adjustable parameters / /3, we take the time derivatives of (38) and get k-1

= ^^Ck-1iK(k-j-1)E(j), k = 1, 2,...,n, (39) j=0

j \ E(j) = Y(j) — Cj ¡J2 Ci-'Q(j-i-k)R(kn

i=0 \k=0 /

Y(j) = siL(s) [pQ0z] , Q(i) = siL(s) [pQ0QT] ,

K(j) = 3 (j)?q+1?q+2, -R(j) = /3(j)?q+1?qT+1.

Substituting (37) into (38) and keeping in mind that — = ——, we obtain the parametric error model

- = —7K tqKR— — YKTen (40)

used for analysis of the closed-loop system properties.

Now, we are in position to formulate the main result of our paper. To this end, we denote by A(t) the minimum eigenvalue of the matrix KT(t)Q(t)K(t). Proposition 1. The closed-loop system consisting of the plant (1)-(3), the K-filters (8)-(10), the ISS-controller (14)-(21), the filters (18)-(20), the swapping filters (26)-(29) with the augmented signal (30), and the adaptation algorithm (38), (32), (35), (36) with the HOTD (39) under Assumptions 1-3 has the following properties:

i global uniform boundedness of all the closed-loop signals and global asymptotic tracking (6);

ii if A(t) G L, then | — (t)| converges to zero asymptotically. The rate of convergence can be increased by increasing the adaptation gain 7.

iii if for some positive constant A0, A(t) > A0 Vt > 0, then |0| converges to zero exponentially fast. The rate of convergence can be increased by increasing the adaptation gain 7. □□□

Outline of proof. For the sake of brevity of paper presentation, we present only the outline of proof making references for an interested reader to detailed proof.

To prove Properties (ii) and (iii), we select the Lyapunov function candidate V = t^"i/^— and, following the proof of Proposition 3.4 in Nikiforov and Gerasimov (2022) (given for the model (3.50) instead of (40)), evaluate its time derivative along the solution of (40) in view of Remark 4.

The boundedness of the closed-loop signals are followed from Lemma 3.

To prove zeroing of the tracking error e(t), we need to prove that the term

Bz (z, t)0 + cz (z,t)/3 — /?„a„(z, t)/ in the error model (22) (defined as the input of this model) approaches zero as time tends to infinity.

To this end, we demonstrate that the extended error E(t) — 0 as t —to (see Proposition 3.4 in Nikiforov and Gerasimov (2022) with corresponding change of notations). Then, applying twice Lemma F4 in Krstic et al. (1995) (with corresponding change of notations), we show that from the convergence E(t) — 0 it follows that

z(t) — Z3(t)(9(t) — /3(t)(C4(t) + Ci(t)/(t)) + / /(t)Zi(t)) — 0 as t — to and then

Bz (z, t)(9(t) + cz (z,t)/(t) — /?„a„(z,t)/(t) — 0 as t — to. Therefore, due to the ISS property of the model (22), z(t) — 0 as t — to. Therefore, taking into account Assumption 3, we obtain g(t) — 0 as t — to. This completes the proof of Property (i). □□□

Let us discuss the result.

6870 D. Gerasimov et al. /IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 6865-6870

Fig. 1. Simulation results of the closed-loop adaptive system for different adaptation gains 7

D1 Besides the proof of closed-loop signals boundedness, it is quite important to calculate the upper boundary for L^-norm (or L2-norm) of signals z(t) and g(t) based on results of Lemma 3. However, due to the lack space, we omit this result keeping in mind it in future magazine paper.

D2 Property iii or its weakened version ii (see discussion for the algorithm with MRE in Chapter 3 of Nikiforov and Gerasimov (2022)) allows one to accelerate the transient performance for the errors z(t) and g(t) and to make a step toward practical implementations of the controller proposed.

D3 As it can be seen at the first glance, Assumption 2 is very restrictive, hence the solution proposed is not applicable, for example, to angular position control of motors in mechanical systems under motor voltage constraints. However, the extension of the solution to unstable or Lyapunov stable plant models is nontrivial and requires (if possible) calculation of proper initial conditions in the adaptive control.

D4 If Assumption 3 is not satisfied, then the proposed solution ensures only the boundedness of the tracking error. In this case, zeroing of the error is guaranteed if the control does not exceed the predefined saturation limits what can be verified via experiments.

7. SIMULATION

Consider the third order BIBO plant (1)-(3) with the vector of unknown parameters в = [-4, — 5]T, в =1, the functions Ф1 (y) = [cos(y),y]T, Ф2Ы = [0,y]T, фз(у) = [y, 0]T, control boundaries umin = —15, umax = 15, and the initial condition x(0) = [1, 0,0]T. The reference signal is given by yr(t) = sint. The extended K-filters (8)-(10) are designed with the use of the vector k = [3, 3,1]T. For the control law (14), (15), and (21), we define the following parameters: c = 2; ^¿j = 10-3 (i = 1,2,3, j = 1,2). Initial conditions in filters (18)-(20) and (26)-(29) are set to zero. To design the adaptation algorithm (38), we select

the filter L(s) = spx. The second order time derivative -¡/> required for a2 and u is calculated via (39).

Simulation results of the adaptive systems closed by the ISS adaptive controllers presented for different adaptation

gains 7 are depicted in Fig.1. It is seen from the results that despite the uncertainties including unknown control coefficient and the influence of input saturation, the tracking error approaches zero. In contrast to control law from Krstic et al. (1995) designed together with the Kreisselmeier-like adaptation algorithm (see Nikiforov et al. (2022) and simulation results therein), the proposed control law allows to remove large initial "swings" of the tracking error £(t) due to the HOTD of the adjustable parameters included in the control law proposed. The results from Fig.1 show that the transients in the closed-loop system can be accelerated by increasing the adaptation gain 7.

REFERENCES

Gerasimov, D. and Nikiforov, V. (2021). On key properties of the Lion's and Kreisselmeier's adaptation algorithms. Int. J. on Adaptive Control and Signal, Processing, 36(6), 1285-1304. doi:https://doi.org/10.1002/acs.3311. Gerasimov, D. and Nikiforov, V. (2022). Augmented error based adaptive control with improved parametric convergence. IFAC-PapersOnLine, 55(12), 67-78. Gerasimov, D., Pashenko, A., and Nikiforov, V. (2020a). Improved adaptive compensation of unmatched multi-sinusoidal disturbances in uncertain nonlinear plants. 2020 American Control Conf. (ACC), 626-632. Gerasimov, D., Pashenko, A., and Nikiforov, V. (2020b). Improved adaptive servotracking for a class of nonlinear plants with unmatched uncertainties. IFAC-PapersOnLine, 53(2), 3835-3840. Gerasimov, D., Pashenko, A., Suzdalev, O., and Nikiforov, V. (2022). Modular backstepping design with improved parametric convergence for nonlinear plants with input constraints. 2022 Conf. on Decision and Control (CDC), 697-702. Ioannou, P. and Sun, J. (1996). Robust Adaptive Control.

Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. Kanellakopoulos, I., Kokotovic, P., and Morse, A. (1991). Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems. IEEE Trans. Automatic Control, 1241-1253.

Kreisselmeier, G. (1977). Adaptive observers with exponential rate of convergence. IEEE Trans. Automatic Control, 22(1), 2-8. Krstic, M., Kanellakopoulos, I., and Kokotovic, P. (1995). Nonlinear and Adaptive Control Design. John Wiley & Sons, Inc., NY. Morse, A. (1992). High-order parameter tuners for the adaptive control of linear and nonlinear systems. Systems, Models and Feedback: Theory and Applications: Proc. of a US-Italy Workshop in honor of Professor A. Ruberti, Basel: BirkhaKuser, 339-364. Nikiforov, V. and Gerasimov, D. (2022). Adaptive Regulation: Reference Tracking and Disturbance Rejection. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer Nature. doi:10.1007/978-3-030-96091-9. Nikiforov, V., Gerasimov, D., and Pashenko, A. (2022). Modular adaptive backstepping design with a high-order tuner. IEEE Trans. Automatic Control, 67(5), 26632668.

Nikiforov, V. and Voronov, K. (2001). Adaptive backstepping with high-order tuner. Automatica, 37(12), 19531960.

УДК 519.71

ПРЯМАЯ АДАПТИВНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ МУЛЬТИСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НАСТРОЙКОЙ РЕГУЛЯТОРА ЗА КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ

Д.Н. Герасимов, Д.Л. Подошкин, А.В. Парамонов, В.О. Никифоров

Университет ИТМО, 197101, г. Санкт-Петербург, Россия E-mail: [e-mail]

Рассматривается задача адаптивной компенсации мультисинусоидального возмущения в линейной системе с известными параметрами, но недоступным измерению вектором состояния. Предполагается, что амплитуды, частоты и фазы компонент возмущения неизвестны, но при этом известно максимальное число гармоник. Решение задачи сводится к динамической модели ошибки, на базе которой с применением модифицированной расширенной ошибки синтезируется алгоритм адаптации, обеспечивающий автонастройку параметров регулятора за конечное время. Предложенный алгоритм основан на предсказании динамики стандартного градиентного алгоритма адаптации и: сохраняет все свойства градиентного алгоритма, в т.ч. гарантию сходимости ошибки управления к нулю независимо от частотных свойств регрессора; обеспечивает сходимость параметрических ошибок к нулю за конечное время при выполнении условия неисчезающего возбуждения или более слабого условия конечного возбуждения; обладает чувствительностью по отношению к вариациям (медленным или скачкообразным) неизвестных параметров.

Ключевые слова: алгоритмы адаптации со сходимостью за конечное время, адаптивная компенсация мультисинусоидальных возмущений, метод внутренней модели.

Введение

В статье рассматривается задача адаптивной компенсации неизвестного мультисинусоидального возмущения в линейной стационарной системе с недоступным измерению вектором состояния. В целях настройки регулятора предлагается новый алгоритм прямой адаптации с расширенной ошибкой, обладающий свойством сходимости за конечное время.

В основе построения компенсатора лежит принцип внутренней модели (ПВМ) [1, 2], который заключается в том, что возмущение представляется вы-

2

ходом автономной динамической системы (экзосистемы), параметры и переменные которой встраиваются в закон управления с целью сведения к нулю ошибки управления. Наиболее широкое распространение этот принцип получил при решении задач компенсации возмущений, представляющих собой муль-тисинусоидальные функции времени. Изначально задача компенсации была решена при допущении, что частоты гармоник возмущения известны [1, 2]. В последствии решения были расширены на случай неизвестных частот за счет применения методов адаптивного управления и различные классы линейных и нелинейных объектов с известными и неизвестными параметрами (см., например, книгу [3] и обзор в ее первой главе).

Несмотря на большое количество результатов, полученных при решении представленного класса задач, остается ряд открытых вопросов, связанных с практической реализацией законов управления. В частности, остаются открытыми вопросы обеспечения высокого быстродействия и робастности замкнутых систем, которые с одной стороны разрешаются при выполнении условия неис-чезающего возбуждения (НВ) — условия экспоненциальной параметрической сходимости оценок неизвестных параметров или управляющего воздействия. С другой стороны, данное условие далеко не всегда выполняется на практике, например, если только часть экзосистемы генерирует сигнал возмущения. Более того, для градиентного алгоритма адаптации [4, 5, 6] выполнение условия НВ гарантирует робастность, но не быстродействие замкнутой системы (которое может быть произвольно низким [4]). В связи с этим особый интерес стали представлять алгоритмы адаптации с улучшенной сходимостью такие как алгоритм наименьших квадратов (НК) [5, 7], алгоритмы Лайона [8], Крейссельмейе-ра [9] и их модификации [10, 11] (см. также ссылки в [11]). В алгоритмах Лайо-на и Крейссельмейера при выполнении условия НВ скорость сходимости может быть произвольно увеличена за счет увеличения коэффициента адаптации. В [3, 12] алгоритмы Лайона и Крейссельмейера использованы при решении различных задач компенсации мультисинусоидальных возмущений и показали свою эффективность по сравнению с градиентным алгоритмом.

С помощью введения специальных коэффициентов адаптации, нелинейно зависящих от регрессора, алгоритмы Лайона и Крейссельмейера позволяют получить поэлементную монотонную сходимость [10, 11]1. Более того, как было показано в [10, 13, 14], при условии не принадлежности регрессора пространству С\ ("не в С\" условии) — условии более слабом, чем условие НВ алгоритмы НК, Лайона и Крейссельмейера гарантируют асимптотическую (неэкспоненциальную) сходимость. Однако, в этом случае не обеспечивается свойство робастности по отношению к внешним возмущениям.

1 Алгоритмы Лайона и Крейссельмейера со свойством монотонной поэлементной сходимости были предложены в [14], [15] и [11] и получили название алгоритм с динамическим расширением регрессора и смешиванием (АДРРС) и алгоритм с расширением памяти регрессора и смешиванием соответственно.

3

Важным шагом к разрешению данной проблемы стала разработка алгоритмов адаптации, сходящихся при условии интервального возбуждения (ИВ) [16, 17, 18] (см. также обзор [11]) за счет накопления и использования значений ре-грессора на указанном интервале. Однако, в силу ограниченности информации на интервале, характерным недостатком таких алгоритмов является их нечувствительность по отношению к вариациям идентифицируемых параметров. Данная проблема может быть преодолена за счет сброса начальных условий в алгоритме с его последующей инициализацией (см., например, [19]).

Другим направлением развития стала разработка алгоритмов адаптации, сходящихся за конечное или предписанное время, что обеспечивается за счет физически реализуемой с помощью SVD-разложения инверсии грамиана ре-грессора [20-22]

г

|ф(х)ф^ (х)й х,

0

использования в алгоритмах дробных степеней и функций переключения [23, 24], неограниченно растущих коэффициентов адаптации [25], идентификации параметров на основе решения дифференциального уравнения модели параметрической ошибки АДРРС [26] при выполнении условия ИВ. Представленные решения имеют ограниченную практическую применимость в задачах прямого адаптивного управления, так как не позволяют провести идентификацию параметров регулятора в условиях ограничений на сигналы системы управления и при невыполнении условия ИВ.

Таким образом, в работе в рамках решения задачи адаптивной компенсации неизвестного мультисинусоидального возмущения по выходной переменной линейной системой с известными параметрами предлагается новый алгоритм адаптации, позволяющий преодолеть вышеуказанные проблемы. Алгоритм основан на предсказании динамики градиентного алгоритма адаптации и: