Анализ и управление многочастичной квантовой динамикой методами понижения размерности и оптимизации в задачах квантовых технологий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гавреев Максим Александрович

• Гавреев Максим Александрович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Гавреев Максим Александрович

Введение

Глава 1. Исследование немарковской квантовой динамики с

помощью анализа на основе данных

1.1 Мотивация и постановка задачи

1.2 Марковское вложение немарковской квантовой динамики

1.2.1 Квантовые траектории

1.2.2 Совместная динамика через динамику траекторий

1.2.3 Критерий достаточности

1.2.4 Эквивалентность между еовместной динамикой и динамикой траекторий

1.3 Обработка квантовых траекторий

1.3.1 Идентификация размерности среды и подавление шума

1.3.2 Идентификация марковского уравнения

1.4 Численные результаты

1.4.1 Исследование немарковской квантовой динамики с предопределенной эффективной средой

1.4.2 Исследование динамики диссипативной модели Джейнса-Каммингса

1.4.3 Исследование динамики спин-бозонной модели

1.5 Сравнение с существующими методами идентификации немарковской квантовой динамики

1.6 Заключение к первой главе

Глава 2. Управление квантовыми многочастичными системами

с использованием моделирования пониженного порядка

2.1 Мотивация и постановка задачи

2.2 Введение в тензорные сети

2.2.1 Тензорные диаграммы и разложение Шмидта

2.2.2 Состояния матричного произведения

2.3 Модель пониженного порядка

2.3.1 Представление совместной динамики в виде тензорной сети

2.3.2 Алгоритм построения модели пониженного порядка

2.4 Многочастичное оптимальное управление: методология

2.4.1 Моделирование пониженного порядка квантовой

спиновой цепочки

2.4.2 Оптимальное управление на основе моделирования пониженного порядка

2.4.3 Вычисление и визуализация информационных потоков

2.5 Численные эксперименты

2.5.1 Управляемое распространение информации в квантовой спиновой цепочке

2.5.2 Инверсия динамики через оптимальное управление

2.6 Заключение ко второй главе

Глава 3. Анализ сублинейного алгоритма факторизации на

основе приближенной квантовой оптимизации

3.1 Мотивация и постановка задачи

3.2 Ускорение факторизации Шнорра на основе QAOA

3.2.1 Классическая предварительная и последующая обработка

3.2.2 Алгоритм Бабаи

3.2.3 Ускорение на основе QAOA

3.2.4 Алгоритм факторизации на основе QAOA

3.3 Анализ алгоритма

3.4 Заключение к третьей главе

Заключение

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А

А.1 Нотации для выделения подматриц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и управление многочастичной квантовой динамикой методами понижения размерности и оптимизации в задачах квантовых технологий»

Введение

Квантовые технологии переживают эпоху стремительного развития, обещая прорывы в вычислениях, коммуникациях и криптографии [1—4]. Однако, несмотря на впечатляющие достижения, переход от теоретических моделей к практическому применению сталкивается с рядом фундаментальных и инженерных вызовов. Среди них доминируют проблемы декогеренции, ограниченной масштабируемости квантовых устройств и сложности управления многочастичными системами. Эти проблемы требуют разработки новых подходов к управлению квантовыми системами, подавлению и коррекции ошибок, а также оптимизации вычислительных процессов.

Построение эффективного описания динамики открытых квантовых систем, где эффекты памяти играют важную роль [5—8], требует новых подходов, позволяющих на основе экспериментальных данных строить предсказательные модели без знания полной микроскопической картины взаимодействия системы и среды [9—12]. Похожая проблема возникает при рассмотрении задачи оптимального управления многочастичными квантовыми системами, где экспоненциальное увеличение размерности гильбертова пространства затрудняет моделирование и оптимизацию управляющих сигналов. В таком случае методы снижения размерности, в частности построение моделей пониженного порядка с использованием тензорно-сетевых алгоритмов [13—19], позволяют выделить степени свободы, влияющие на динамику системы и значительно упростить задачу оптимизации за счёт применения градиентных методов и автоматического дифференцирования [20]. Такой подход открывает возможности для автоматического поиска протоколов управления, необходимых для восстановления и передачи квантовой информации в сложных системах, реализуемых на современных NISQ-устройствах [21—23]. Стоит также отметить, что взаимодействие квантовых вычислительных устройств и методов классической симуляции представляет отдельный интерес как в контексте исправления ошибок, так и улучшения сходимости вариационных квантовых алгоритмов [24—26].

Задача управления многочастичными квантовыми системами возникает не только в контексте защиты от влияния окружающей среды, но имеет также алгоритмические приложения [27—30]. В частности, вариационный подход к решению задач на квантовом компьютере полагается на сходимость клас-

сических алгоритмов оптимизации при варьировании параметров квантового анзаца. Несмотря на многообещающие результаты на малых масштабах масштабируемость такого подхода является предметом исследований [30—32]. Особое внимание уделяется и проблеме квантовой факторизации [33], которая с одной стороны демонстрирует потенциал квантовых алгоритмов, таких как алгоритм Шора [34; 35], ас другой - ставит вопросы о реальных ресурсных затратах для практического применения в криптографии. Несмотря на успешные экспериментальные демонстрации факторизации малых чисел [36—40], оценка ресурсов для решения задач, например, восстановления 2048-битного ключа RSA, остается за пределами текущих возможностей [41—43]. Недавние предложения по снижению квантовых затрат с использованием алгоритмов, таких как QAOA [44—49], требуют дополнительного анализа вычислительной сложности, в том числе классической обработки.

Общей чертой всех рассмотренных направлений является интеграция теоретических, численных и экспериментальных подходов для решения ключевых проблем квантовой обработки информации. Изучение немарковской квантовой динамики, оптимизация управляющих сигналов, построение низкоразмерных моделей и анализ ресурсных требований квантовых алгоритмов вместе формируют целостную картину, направленную на создание устойчивых и масштабируемых квантовых устройств. Современные исследования, подтверждённые как классическими работами [1—4; 49—53], так и недавними публикациями в области квантового контроля и криптографии [54—58], демонстрируют, что синтез этих подходов является необходимым шагом для достижения прикладного квантового преимущества, что обуславливает актуальность работы.

Целью данной работы является разработка методов описания немарковской квантовой динамики и построения низкоразмерных моделей, предназначенных для оптимизации управляющих сигналов, а также проведение анализа ресурсных требований квантовых алгоритмов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать метод описания и предсказания немарковской квантовой динамики на основе экспериментально наблюдаемых данных.

2. Разработать метод сжатия квантовой динамики подсистемы многочастичной системы для повышения эффективности градиентных методов оптимизации управляющих сигналов.

3. Исследовать возможности квантово-классического метода факторизации на основе классического метода Шнорра и квантового алгоритма QAOA.

Научная новизна:

1. Впервые предложен основанный на данных, интерпретируемый, численно эффективный алгоритм предсказания немарковской динамики, позволяющий предсказывать динамику двухуровневой системы, взаимодействующей как с конечномерной, так и бесконечномерной средой.

2. Впервые продемонстрирован подход к поиску управляющих сигналов на основе построения цифровых двойников многочастичных квантовых систем и Римановой оптимизации.

3. Впервые проведен прикладной ресурсный анализ квантово-классиче-ского метода факторизации на основе классического метода Шнорра и алгоритма приближенной квантовой оптимизации.

Практическая значимость. Результаты диссертации обладают большой практической значимостью и потенциалом внедрения. Результаты главы 1 могут быть использованы для построения эффективной модели немарковской динамики на основе экспериментальных данных [11; 12]. Такая модель может использоваться для предсказания динамики целевой системы, оценки степени влияния окружения на динамику целевой системы, частичной спектроскопии окружения. Также рассмотренная модель немарковской динамики принципиально может быть расширена на случай присутствия внешнего управления, что открывает перспективу постановки и решения задач управления квантовыми системами на основе эффективных моделей, получаемых из экспериментальных данных. Результаты главы 2 имеют потенциал применения в прикладных задачах квантовых технологий, связанных с управлением многочастичными квантовыми системами. Сюда относятся методы подавления ошибок в квантовых вычислительных устройствах, поиск квантовых материалов, фаз материи, коллективных квантовых эффектов. Описанный метод может быть применен в экспериментах с текущим поколением квантовых вычислительных платформ, включая программируемые Ридберговские симуляторы, захваченные ионы, изолированные спиновые примеси в твердых телах и массивы сверхпроводящих

кубитов [59—66]. Результаты главы 3 имеют практическую значимость в контексте риска, связанного с получением потенциальным злоумышленником доступа к зашифрованным данным в результате проведения кибератаки с применением квантового компьютера [2; 67; 68]. Произведенная оценка возможности факторизации целых чисел при помощи гибридного квантово-классического метода на основе алгоритма приближенной квантовой оптимизации [69] указывает на имеющиеся сложности в масштабировании описанного подхода, а также ставит под сомнение утверждение авторов [69] о возможности взлома RSA 2048 при помощи 372-кубитного квантового компьютера. Что, однако, не отменяет критической важности исследования гибридных квантово-классических алгоритмов факторизации, которые имеют потенциал к ускорению решения задачи факторизации [70]. В связи с чем следует отметить актуальность превентивного внедрения в техническую инфраструктуру квантовой и пост-квантовой криптографии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Немарковская динамика открытой квантовой системы представляется в виде Тк(tk+i) = M[Тк(tk)], где оператор M связан с эффективным квантовым каналом линейным соотношением

M = дк Ф {гг)9+к, (1)

и может быть эффективно найден из набора траекторий при помощи алгоритма динамического разложения мод. Такой метод построения модели немарковской динамики основан на эмпирических данных и позволяет построить эффективную модель немарковской динамики, оценить размерность эффективной среды, оценить спектр собственных частот совместной эволюции системы и эффективной среды, а также, реконструировать наблюдаемые траектории со сниженным уровнем шума.

2. Динамика подсистемы многочастичной квантовой системы в дискретном времени может быть представлена как тензорная сеть, состоящая из сети окружения и сети системы

№(*к)> = Е \Siu...,iK> ® I^WK>. (2)

Обе сети имеют форму, почти идентичную состоянию матричного произведения. Понижение размерности сети среды дает эффективное

описание динамики системы. Полученная модель может служить «цифровым двойником» исходной подсистемы. Такой двойник позволяет эффективнее моделировать динамику, что дает возможность использовать алгоритмы оптимизации на основе градиента в пространстве управляющих параметров.

3. Квантово-классический метод факторизации на основе классического метода Шнорра и алгоритма приближенной квантовой оптимизации не имеет обоснованных оценок сложности как классической части, так и квантовой. Алгоритм приближенной квантовой оптимизации имеет сложности в масштабировании.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях и форумах:

— PLMCN-2024 International Conference on Physics of Light-Matter Coupling in Nanostructures 25th Anniversary (г. Тбилиси, Грузия, 9 -13 апреля 2024 г.).

— XL Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка" (ГЛК «Абзаково», 2-9 февраля 2024 г.).

— Российский форум "Микроэлектроника 2023 (г. Сочи, 9-14 октября 2023 г.).

— ICMNE-2023 International Conference on Micro- and Nanoelectronics 2023 (г. Звенигород, 2-6 октября 2023 г.).

— Saratov Fall Meeting 2023 (Москва, 25 - 29 сентября 2023 г.).

— IQCT-2023 VII International Conference on Quantum Technologies (г. Москва, 9 - 12 июля, 2023 г.).

— 66-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Москва, 1-6 апреля 2023 г.).

— Международная конференция-конкурс молодых физиков (г. Москва, 28 марта 2023 г.).

— 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Москва, 3-8 апреля 2022 г.).

— Saratov Fall Meeting 2021 (Москва, 27 сентября - 1 октября 2021 г.).

— 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Москва, 8 сентября - 25 октября 2021 г.).

— ICQT-2021VI International Conference on Quantum Technologies (Москва, 12 - 16 июля 2021 г.).

Личный вклад. Автор принимал активное участие в получении основных теоретических и экспериментальных (численных) результатов диссертации. Основная часть программного кода первой и второй глав реализована при активном участии автора. Программный код третьей главы диссертации реализован автором самостоятельно. Все численные эксперименты первой, второй и третьей глав диссертации реализованы автором самостоятельно. Постановка задачи осуществлялась научным руководителем.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 печатных изданиях [227—229] квартиля Q1, из которых 3 изданы в периодических научных журналах, рекомендованных ВАК и индексируемых Web of Science и Scopus.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 147 страниц, включая 37 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 271 наименование

Глава 1. Исследование немарковской квантовой динамики с помощью анализа на основе данных

Описание влияния окружения на эволюцию квантовых систем представляет собой ключевой аспект теории открытых квантовых систем и является важным шагом на пути к созданию масштабируемых управляемых квантовых систем. Тем не менее, существующие методы учета сложного взаимодействия с внешней средой, особенно в условиях наличия памяти, либо полагаются на эвристические принципы, либо предъявляют серьезные требования к вычислительным ресурсам. На практике, однако, возможно обойтись без детального моделирования на основе первых принципов, используя вместо этого анализ, опирающийся на экспериментальные данные, что зачастую оказывается существенно проще. В настоящей главе рассматривается метод, позволяющий исследовать немарковскую эволюцию открытых квантовых систем, опираясь исключительно на информацию, получаемую в ходе экспериментов. Такой подход дает возможность, с одной стороны, извлечь ключевые характеристики взаимодействия системы и окружения — например, структуру спектра их совместной динамики и размерность эффективной среды — а с другой стороны, построить модель поведения системы в условиях немарковских эффектов и одновременно снизить уровень шумов в экспериментальных данных. Эффективность данного подхода демонстрируется на примере различных теоретических моделей открытых квантовых систем, включая взаимодействие кубита с конечным резервуаром, спин-бозонную модель и модель Джейнса-Каммингса с затуханием. Результаты настоящей главы опубликованы в работе [227].

1.1 Мотивация и постановка задачи

Одной из ключевых задач на пути к разработке квантовых вычислительных устройств является диагностика состояния многочастичных квантовых систем [71]. В последнее время достигнут значительный прогресс в разработке и экспериментальной реализации квантовых вычислений и протоколов квантовой симуляции с использованием многочастичных квантовых систем промежуточно-

го масштаба [61; 72—78]. Тем не менее, несмотря на существенные достижения в управлении такими системами, на практике остаётся невозможным полное устранение взаимодействия квантовых объектов с внешней средой [78]. Это обстоятельство существенно ограничивает потенциал практического применения таких систем в задачах квантовой обработки информации [59], исследованиях неравновесной квантовой динамики [79; 80]. Теоретический аппарат, разработанный для описания открытых квантовых систем [5—8], направлен на всестороннее исследование неравновесной квантовой динамики. Одним из его фундаментальных положений является разбиение полной квантовой системы на подсистемы, каждая из которых трактуется как открытая квантовая система, взаимодействующая с внешней средой. Такой подход предоставляет эффективный инструмент для анализа квантовых ансамблей, позволяя свести задачу к изучению динамики меньших подсистем, например, отдельного кубита в составе большого числа взаимодействующих между собой и с окружающей средой квантовых объектов. На первый взгляд, подобная редукция существенно снижает вычислительную сложность, поскольку устраняет необходимость прямого анализа экспоненциально большого гильбертова пространства состояний полной системы. В частности, динамика матрицы плотности подсистемы может быть строго описана уравнением Накажимы-Цванцига [81; 82], включающим временную свертку. Такая свертка обеспечивает корректный учет немарковских эффектов, обусловленных наличием квантовой корреляции между системой и ее окружением, т.е. эффектов памяти. Однако строгое аналитическое получение уравнения Накажимы-Цванцига требует вычислений, по сложности эквивалентных моделированию динамики системы и среды в совокупности [5]. Это ограничивает практическое применение данного подхода и подчеркивает необходимость разработки эффективных приближенных или альтернативных методов описания таких процессов.

Одним из возможных путей решения задачи описания открытой квантовой динамики является использование приближённых аналитических схем, таких как приближение Борна-Маркова [8; 83], либо использование упрощённых моделей, допускающих точное решение [84—87]. Однако область применимости подобных подходов ограничивается специфическими случаями и не охватывает весь спектр реалистичных физических сценариев. Альтернативный путь связан с использованием численных методов, позволяющих учитывать нелокальные по времени взаимодействия между системой и её

окружением. К таким методам относятся: немарковская стохастическая эволюция квантовых состояний [88—91], иерархические уравнения движения [92; 93], численные алгоритмы, использующие эволюцию состояний матричного произведения [94], методы, основанные на вспомогательных осцилляторах с оптимизированными параметрами [95], подход одетых квантовых траекторий [96], вариационные методы, реализованные через анзац Давыдова в рамках подхода Дирака-Френкеля [97], а также численные алгоритмы, использующие ортогональные полиномы при эволюции плотности квантовых состояний во времени [98; 99]. Тем не менее, применение вышеуказанных методов ограничено, поскольку большинство из них разрабатывались для простых моделей взаимодействия системы со средой, чаще всего в виде ансамблей невзаимодействующих квантовых осцилляторов [6] или фермионов [100; 101]. Такие предпосылки существенно затрудняют моделирование более сложных типов окружений, например, состоящих из спинов [102—106]. Дополнительную сложность представляет тот факт, что в реальных экспериментальных системах гамильтониан, описывающий совместную эволюцию исследуемой подсистемы и её окружения, как правило, неизвестен. Его восстановление требует проведения спектроскопических экспериментов высокой точности [107; 108], что делает подобный путь трудоёмким на практике.

Учитывая перечисленные ограничения аналитических и численных подходов, становится актуальной разработка методов, опирающихся на экспериментальные данные напрямую. Подходы такого рода позволяют строить модели поведения квантовых систем без необходимости полного знания микроскопической картины взаимодействия с окружением. За последнее время в научной литературе был предложен ряд таких методов. Например, метод трансфер-тензора (transfer tensor method, TTM), позволяющий реконструировать дискретную версию уравнения Накажимы-Цванцига [9; 109—117]. Также был предложен подход [10], использующий рекуррентные нейронные сети [118] для идентификации квантовой динамики непосредственно на основе данных, полученных в эксперименте. Несмотря на высокую эффективность этих методов, важным их ограничением остаётся неинтерпретируемость. Такие подходы служат «чёрными ящиками», не предоставляющими физически интерпретируемых моделей процессов, лежащих в основе наблюдаемых явлений [119—121]. Это обстоятельство стимулирует необходимость разработки новых подходов,

сочетающих преимущества методов, основанных на данных, с возможностью получения интерпретируемых и физически обоснованных результатов.

Рисунок 1.1 — Иллюстрация марковского вложения для немарковской динамики. Окружение системы можно разделить на две части: конечномерную эффективную среду, которая отвечает за эффекты памяти в динамике системы, и дальнюю среду, отвечающую за диссипацию.

Одним из способов описания немарковской динамики в открытых квантовых системах является её вложение в марковский процесс, принадлежащий расширенному пространству состояний, которое включает как исследуемую систему, так и специально сконструированное эффективное окружение конечной размерности [122]. Идея такого подхода заключается в том, что сложное, обладающее памятью поведение системы может быть воспроизведено за счёт взаимодействия с ограниченной средой, которая сохраняет информацию о прошлых состояниях и возвращает её обратно в систему, тем самым реализуя немарковский эффект. В предлагаемой концептуальной модели окружающая среда разбивается на две различные части: эффективную и дальнюю среду (рисунок 1.1). Эффективная (ближняя) среда играет ключевую роль в генерации эффектов памяти: она аккумулирует информацию о системе и оказывает на неё влияние. Именно размерность эффективной среды определяет степень сложности немарковской динамики. В то же время дальняя среда выступает как фоновая диссипативная среда — такое взаимодействие не влечёт за собой эффекта памяти. Таким образом, в расширенном пространстве состояний система и эффективная среда реализуют марковскую динамику, а немарковская эволюция исследуемой системы воспроизводится за счёт их взаимодействия. Важно

Унитарная эволюция

Марковская эволюция

Немарковская эволюция

отметить, что построение такого расширенного марковского описания не является методом типа «чёрного ящика». Напротив, оно обеспечивает физическую интерпретируемость полученной модели, позволяя получить информацию о системе и характеристиках эффективного окружения. Более того, показано [11; 12], что структура такого марковского вложения может быть полностью реконструирована по экспериментальным данным, доступным для немарковских квантовых процессов в лабораторных условиях.

В данной главе рассматривается метод восстановления структуры марковского вложения, основанный на эмпирических данных, полученных в результате наблюдения за эволюцией открытой квантовой системы. Предлагаемый подход сочетает в себе методологию анализа немарковской динамики на основе экспериментальных данных и инструменты линейного машинного обучения [123—126]. В качестве входной информации используются измеренные квантовые траектории системы, априорное предположение о временной глубине памяти системы, а также оценка уровня шумов, сопровождающих измерения. Алгоритм возвращает несколько характеристик: эффективную модель немарковской динамики; размерность эффективной среды [12; 127; 128]; спектр собственных частот совместной эволюции системы и эффективной среды; а также реконструированные траектории с пониженным уровнем шума. Существенным преимуществом данного метода является его опора на линейные алгоритмы машинного обучения, которые демонстрируют хорошую масштабируемость, высокую вычислительную эффективность и малую чувствительность к размеру обучающей выборки, сохраняя при этом точность. Практическая реализуемость и эффективность подхода подтверждаются его применением к различным физическим моделям, включая эволюцию кубита в конечномерной среде, спин-бозонную модель и вариант модели Джейнса-Каммингса с затуханием.

1.2 Марковское вложение немарковской квантовой динамики

1.2.1 Квантовые траектории

В данном разделе обсуждается подход к описанию открытых квантовых систем, на котором базируется алгоритм построения марковского вложения. Рассматривается представление, опирающееся на квантовые траектории. Под квантовой траекторией в рамках данного подхода понимается последовательность квантовых состояний, зафиксированных в дискретные моменты времени. Данная трактовка предоставляет гибкий и удобный инструментарий для реализации методов анализа, ориентированных на данные. Подобное представление позволяет рассматривать эволюционные процессы в форме, более подходящей для алгоритмической обработки и численного моделирования, особенно в условиях, когда динамика обусловлена влиянием внешней среды и сопровождается эффектами памяти.

Рассмотрим п-мерную квантовую систему, подверженную немарковской динамике [129] из-за взаимодействия с п^-мерной средой. Здесь и далее пред-ополагается, что гамильтониан, отвечающий за динамику системы и среды не зависит от времени. Размерности п и пе будем считать конечными в дальнейшем рассмотрении, хотя среда может состоять из большого числа подсистем, т.е. пе может быть экспоненциально большим по числу подсистем. Предположим, что у нас есть доступ к матрицам плотности системы р(£) € С"2 в последовательные и эквидистантные моменты времени {^}, к = 0,1, 2,..., разделенные временным разрешением т, и мы можем реконструировать р(£) с помощью томографии квантовых состояний. Проводя томографический эксперимент несколько раз, получим последовательность состояний системы:

ТК(*о) := (р(*о), р(*х),..., Р(^)) € С^2, (1.1)

такие последовательности будем называть траекториями системы. Предположим, что наблюдаемая немарковская динамика характеризуется конечной глубиной памяти. В этом случае, при достаточно большом значении параметра К, существует линейное отображение М, которое связывает две последователь-

ные траектории через марковское основное уравнение:

Тк (tk+i) = М [Тк (tk)]. (1.2)

Строгие критерии достаточности К (т.е. существования М) приведены в подразделе 1.2.3. Минимальное достаточное значение параметра К можно рассматривать как минимальное число матриц плотности в дискретном времени, которые необходимо учесть чтобы определить следующее состояние системы с заданной точностью. В подразделе 1.2.3 показано, что для конечного пЕ всегда имеется конечное достаточное К, которое не превышает п2пЕ. Следует подчеркнуть, что в наихудшем случае минимальное достаточное значение К может масштабироваться экспоненциально с увеличением числа частиц окружения, что приводит к экспоненциальному росту сложности предсказания динамики. В таком случае, уравнение (1.2) становится неразрешимым с численной точки зрения, что делает невозможным эффективное долгосрочное прогнозирование эволюции системы. В дальнейшем, если не указано иное, предполагается, что значение К выбрано достаточным, и этот параметр будем также называть глубиной памяти.

Переход от описания квантовой эволюции в терминах состояний p(t) к представлению на основе траекторий Тк(t), включающих несколько временных шагов, можно интерпретировать как реализацию временного вложения (time-delay embedding). Такой подход широко применяется в различных областях, включая анализ нелинейной динамики с использованием операторов Купмана [130—133], моделирование временных рядов [134; 135], а также в контексте алгоритмов обучения с подкреплением [136]. С точки зрения квантовой теории, временное вложение может рассматриваться как специфическая форма марковского представления немарковских процессов [11; 122; 127; 137—140]. Следует отметить, что развиваемый в настоящей работе формализм близок к методу трансфер-тензора (transfer tensor method, TTM), но имеет принципиальное отличие в постановке задачи. В то время как TTM предполагает отображение траектории в матрицы плотности, в нашем случае вводится отображение внутри самого пространства траекторий. Такой подход предоставляет дополнительные преимущества: он не только сохраняет информацию о временной структуре эволюции, но и даёт возможность выявлять характеристики окружающей среды, с которой взаимодействует система. Динамика квантовых траекторий, формализованная в рамках предложенной модели, воспроизводит

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гавреев Максим Александрович, 2026 год

висимо от использованных при обучении траекторий ...

Чтобы воспроизвести реалистичные условия эксперимента, моделируется шум измерений: к каждой комплексной компоненте всех траекторий, как обучающих, так и тестовых, добавляется независимый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2. Предполагается, что параметр а заранее известен, как обсуждалось в подразделе 1.3.2. Для численного анализа метода данные каждого эксперимента содержат как зашумленные, так и исходные (бесшумные) версии всех траекторий.

п е

Рисунок 1.5 — Результаты применения предлагаемого метода к немарковской динамике с предопределенной эффективной средой (1.43). Сравнение точной размерности подпространства траекторий с его реконструкцией г для различных длин траекторий N и уровней шума о\

пЕ а = 10-1 а= Ю-2 а= 10-3

N =150 N = 200 N =150 N = 200 N = 150 N = 200

2 2 2 2 2 2 2

3 2 2 3 3 3 3

4 2 2 4 4 4 4

5 2 2 4 5 5 5

6 1 1 5 5 5 6

Таблица 1 — Сравнение точной размерности эффективной среды пе с восстановленной по данным для разных уровней шума а и длин траекторий N. Жирным шрифтом выделены случаи, когда оценка совпадает с истинным значением.

В первую очередь исследуется корректность реконструкции размерности подпространства г , связанного с динамикой. Результаты оценки г, полученные для глубины памяти К = 75, различных уровней шума а и N = 200, представлены на рисунке 1.5. Наблюдается, что восстановленное значение г стремится занижать точное значение ппе, однако приближается к нему при уменьшении. При ненулевом шуме метод не различает слабые следы памяти и шум, что приводит к систематическому занижению оценки размерности. Особенно выраженное снижение наблюдается при а = 0.1, где шум доминирует над сигналом и делает распознавание структуры динамики практически невозможным. Сопоставление реальных и оценённых значений эффективной размерности среды, вычисленных по формуле \\[г/п2~\ приведено в таблице 1. На следующем этапе оценивается прогностическая способность разработанного подхода в отношении временной эволюции квантовой системы. Для этого из зашумленного обучающего множества траекторий восстанавливается оператор М, аппроксимирующий марковский механизм переходов в пространстве траекторий. Полученный оператор затем используется для предсказания поведения новой, ранее не использованной, тестовой траектории. В частности, начальный фрагмент Тк (0) тестовой траектории рассматривается как начальное условие в уравнении (1.2), отражающее память немарковского процесса, после чего осуществляется предсказание дальнейшей траектории на основе реконструированного М. Рисунок 1.6 а) иллюстрирует степень согласования между прогнозируемой динамикой и фактической тестовой траекторией при параметрах N = 200, ¿е = 3, фиксированной глубине памяти К = 75 и различных уровнях шума а. Результаты показывают, что предложенный метод

а) б) в)

О 10 20 30 40 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 150 200

Время Время Время

Рисунок 1.6 — Временная эволюция наблюдаемой (их) = Тг(стжр), рассчитанной для трёх различных сценариев: бесшумной динамики тестовой траектории (синяя линия), её зашумленной версии (серая линия) и прогноза (красная пунктирная линия). Данные для моделей: а) система с заданной эффективной средой (1.43), при пе = 3; б) модель Джейнса-Каммингса, с диссипацией (см. подраздел 1.4.2), при у = 0.05, Ь = 2.5, ос = 1.1; в) спин-бозонная модель (см. подраздел 1.4.3) с параметрами у = 0.05, g = 0.5, А = 0.5.

способен достоверно воспроизводить немарковскую динамику даже в условиях выраженного зашумления данных (например, при с = 0.1), по крайней мере на малых временных интервалах. Сопоставим спектральные характеристики M и ф(''г). На рисунке 1.7 представлены результаты анализа спектра реконструированного оператора М, полученного на основе обучающего набора данных с параметрами пе = 4, = 75, N = 200, как в условиях наличия (с = 0.01) так и отсутствия шума (с = 0). Анализ показывает, что в безшумном режиме наблюдается полное соответствие между численно полученными собственными значениями и теоретически ожидаемыми (см. раздел 1.2). При добавлении шума отмечаются незначительные отклонения спектра реконструированного оператора M от точных значений. Это расхождение можно

8рес[ехр(г£)] □ Бг,а = 0 О Бг,а = 0.01

Рисунок 1.7 — Результаты применения предлагаемого метода к немарковской динамике с предопределенной эффективной средой (1.43). Сравнение спектра квантового канала ф(гг) с собственными значениями М.

интерпретировать как следствие невозможности достоверно отличить некоторые собственные моды от флуктуаций, вызванных шумом. Несмотря на это, даже в условиях искажений метод демонстрирует устойчивость и способен восстанавливать значимые спектральные признаки динамики системы. Проведём анализ влияния гиперпараметра К, характеризующего глубину памяти модели, а также числа траекторий Ь в обучающем наборе данных на качество предсказания квантовой динамики. В качестве количественной меры расхождения между траекториями введём следующую метрику

м-1

к=0

(1.44)

где о) и о) — квантовые траектории длины ЛГ, а || • Ц1 обозначает

следовую норму, которая служит стандартной метрикой в квантовой теории информации для оценки различия квантовых состояний [144]. Обозначим через Т>1Ю[8е расстояние между предсказанной траекторией и зашумленной тестовой

КГ1:

1(Г2:

Рисунок 1.8 — Результаты применения предлагаемого метода к немарковской динамике с предопределенной эффективной средой (1.43). Зависимость расстояния между прогнозом И бесшумной (Inexact), а также шумной (Т>noise) тестовой траекторией от глубины памяти К для различных уровней шума с.

траекторией, а через Т>ехact — расстояние между предсказанием и бесшумной тестовой траекторией. На рисунке 1.8 проиллюстрировано поведение ошибки предсказания в зависимости от значения К. Наблюдается область насыщения: при достижении определённой глубины памяти дальнейшее увеличение К не приводит к существенному улучшению качества прогноза. Это указывает на отсутствие переобучения — модель остаётся устойчивой даже при избыточном числе параметров. Для изучения зависимости точности предсказания от размера, обучающей выборки L были сгенерированы дополнительные наборы данных с числом траекторий L G [1,20], при фиксированных параметрах пЕ = 4 и N = 200, а, также при различных уровнях шума, с. Построенные на, основе этих данных прогнозы позволили исследовать изменение метрики Dexact в зависимости от L и с, как показано на, рисунке 1.9. Результаты демонстрируют быстрое снижение ошибки на, начальных этапах роста, L, с последующим выходом на, плато. Такое поведение объясняется тем, что ограничивающим фактором становится начальный фрагмент траектории фиксированной длины, содержащий шум, который не может быть устранён даже при увеличении объёма, обучающих данных. В заключение рассмотрим, способен ли предложенный

Ь

Рисунок 1.9 — Расстояние между прогнозом и бесшумной тестовой траекторией в зависимости от Ь для различных значений а для модели с предопределенной эффективной средой (1.43) при К = 75.

ю-1:

1(Г2:

Рисунок 1.10 — Результаты применения предлагаемого метода к немарковской динамике с предопределенной эффективной средой (1.43). Сравнение расстояния между зашумленными и бесшумными наборами данных (Т>п0[ве): а также расстояния между зашумленными и восстановленными наборами данных

(Акшпаес!) Для различных а и ПЕ.

подход эффективно снижать уровень шума в исходных данных. Для этого введем расстояние между наборами данных как усредненное по всем траекториям расстояние, введенное в уравнении (1.44). Обозначим его как (Р), где усреднение проводится по всем парам соответствующих траекторий в сравниваемых выборках. Для количественной оценки эффекта шумоподавления рассмотрим два типа расстояний: (Рп018е) — среднее расстояние между зашумлёнными и точными (идеальными) траекториями, и (^епшэеа) — аналогичная метрика между восстановленной (очищенной) версией данных и точными траекториями. Если значение (^епшэеа) оказывается существенно ниже, чем (Рп018е), это указывает на успешное подавление шума моделью. На рисунке 1.10 представлена зависимость обеих метрик от величины шума а при фиксированных параметрах N = 200, К = 75 и различных значениях размерности эффективной среды пе. Из графиков ясно следует, что во всём диапазоне исследуемых значений шума восстановленная версия демонстрирует значительно меньшее отклонение от идеальных данных, чем исходные зашумленные траектории. Таким образом, можно заключить, что метод демонстрирует устойчивое восстановление квантовых траекторий, и успешно справляется с задачей шумоподавления, завершая тем самым верификацию его основных возможностей.

1.4.2 Исследование динамики диссипативной модели

Джейнса-Каммингса

В качестве альтернативного примера немарковской квантовой динамики рассмотрим динамику двухуровневой системы (атома), связанной с диссипативной бозонной модой, моделируемой посредством взаимодействия Джейнса-Каммингса (ЛаупеБ-Ситт^Б, ЛС) [154; 155]. В отличие от предыдущего случая, где окружение имело конечную размерность, здесь среда представлена бесконечномерной. Тем не менее, при условии слабого возбуждения моды, её эффективная размерность может быть ограничена, позволяя аппроксимировать динамику в конечномерном подпространстве. Основной вопрос, рассматриваемый в этом разделе, заключается в том, способен ли разрабатываемый алгоритм выявлять низкоразмерную структуру окружающей среды, опираясь исключительно на наблюдаемые траектории системы. Для этого метод тестируется на

модели Джейнса-Каммингса с целью извлечения характеристик эффективной среды. Математически совместная динамика системы и моды описывается уравнением Линдблада:

= -Í[Hjc, Pse] + У ^bpsEь] - 2b]bpsE - 2PSEb]b^ , Hjc = b^b + 1Z + 2(b + h.c.) , (1.45)

где Hjc — гамильтониан взаимодействия, b, b^ — операторы уничтожения и рождения бозоной моды, X, Y, Z — стандартные матрицы Паули, 6 — константа связи, а у характеризует скорость затухания.

Получение квантовой траектории системы осуществляется посредством взятия частичного следа по степеням свободы среды: p(t) = TrE(pse(t)). Для моделирования были выбраны параметры у = 0.05, 6 = 2.5, а также различные уровни шумов а. С использованием уравнения (1.45) были сгенерированы зашумленные траектории ... и соответствующие тестовые

траектории Ttfst(í0), как в шумной, так и в идеальной версии. Динамика моделировалось с шагом т = 0.03. Начальное совместное состояние атома и моды принято в факторизованной форме

pSE(0) = №)(^|®|а)(а|, (1.46)

где |а) — когерентное состояние бозонной моды, а |"ф) выбирается случайно из равномерного распределения на сфере Блоха. Для всех наборов данных фиксируется а = 1,1. Для численного моделирования уравнения Линдбла-да бесконечномерное гильбертово пространство бозонной моды было усечено до подпространства, в котором сохраняется > 95% исходной плотности вероятности начального состояния среды. Это техническое упрощение служит исключительно для генерации данных и не влияет на применимость алгоритма, который не зависит от размерности среды, а лишь от конечности её памяти. Во всех численных экспериментах использовались фиксированные параметры: L = 2, К = 100, N = 1000.

Разработанный метод был применён к сгенерированным данным, в результате чего были получены значения ранга г и оператора перехода М. Как и в предыдущем случае, матрица М использовалась для предсказания эволюции тестовой траектории. Результаты сравнения между восстановленной динамикой

и реальной тестовой траекторией для различных значений шумовой амплитуды представлены на рисунке 1.6 б). Метод демонстрирует высокую точность предсказаний даже при существенном уровне шума в данных. Дополнительно стоит отметить, что во всех численных экспериментах ранг г не превышает 39, в то время как размерность пространства матриц плотности полной системы после усечения бозонной моды равна п2п2Е = 100. Это означает, что извлекаемая эффективная размерность среды существенно ниже, чем априорно допустимая размерность полной квантовой системы. Таким образом, численные результаты подтверждают корректность усечения гильбертова пространства окружающей среды и указывают на наличие конечной эффективной размерности пе, несмотря на бесконечномерный характер исходной среды. Ключевым выводом из данного численного анализа является способность предлагаемого алгоритма идентифицировать компактное представление окружающей среды, обладающее конечной размерностью, даже в условиях, когда физическая среда имеет бесконечномерную структуру.

1.4.3 Исследование динамики спин-бозонной модели

В качестве третьего эксперимента для оценки эффективности предлагаемого подхода рассматривается немарковская эволюция двухуровневой квантовой системы, взаимодействующей с континуумом независимых бозонных мод — спин-бозонная модель[6]. Особенность этой модели заключается в том, что в пределе непрерывного спектра мод становится практически невозможно напрямую построить конечномерную эффективную среду средствами традиционного численного моделирования. Настоящий раздел посвящён оценке того, способен ли предложенный алгоритм реконструировать такую эффективную среду исключительно на основании наблюдаемых данных, а также адекватно воспроизводить немарковскую динамику рассматриваемой двухуровневой системы. Кроме того, проводится анализ зависимости эффективной размерности г от параметров модели, что позволяет проследить влияние физических характеристик среды на сложность динамики.

Гамильтониан спин-бозонной модели имеет вид

Нвб = + АХ) + ^ шкЬ{Ьк + 2В, В = ^ + ьк) , (1.47)

к к

где А характеризует амплитуду туннелирования между уровнями двухуровневой системы, Шк — частоты независимых бозонных мод, Ьк, &к — операторы уничтожения и рождения соответствующих мод, а кк — сила взаимодействия системы с к-й модой. В рамках данной модели двухуровневая система (атом) играет роль открытой квантовой системы, тогда как совокупность бозонных мод представляет среду, с которой она взаимодействует. Это взаимодействие приводит немарковской динамике системы, анализируемой в настоящей работе с использованием разработанного алгоритма. Предполагается, что начальное состояние среды является вакуумом и не содержит корреляций с системой. В этих условиях полное влияние среды на динамику системы полностью описывается корреляционной функцией:

I I 1 /*

С(¿) = (уае| е^* Ве-^ В |уае> = - J(ш)ехр(—шй), (1.48)

п } о

где |уае> - основное состояние бозонных мод, а J(ш) — спектральная плотность, определяемая как

-1 (ш) = пЕ 6(Ш - Шк). (1.49)

к к

В непрерывном пределе спектра мод, соответствующем случаю бесконечно малых зазоров между частотами (шк+1 — Шк) ^ 0, в качестве спектральной плотности используется функция Лоренца:

>](Ш) = , 2 уЬ\Ш 2 2, (1.50)

v ' (ш2 — Ш0)2 + у2Ш2 у у

где ш0 — резонансная частота, у — ширина спектральной функции, к — агрегированная сила взаимодействия.

Эволюция двухуровневого атома, подготовленного в произвольном чистом состоянии |"ф), численно моделируется с использованием алгоритма, предложенного в работе [156]. В соответствии с ранее описанным протоколом, для различных значений параметров спин-бозонной модели и уровней шума формируются обучающие выборки в виде множеств траекторий (т|г1)(^0),..., Т^(£0)), а так-

же соответствующие тестовые траектории Тде(£0). При генерации каждого

а)

60

б)

40

20

. -о

7

: : ;

] >

0 100 200 300 400 500 К

100 200 300 400 500 К

7 = 0.02

7 = 0.05

7 = 0.1

7 = 0.2

7 = 0.5

7= 1.0

Рисунок 1.11 — Анализ спин-бозонной модели (1.47). а) Точность предсказания для разных значений К и у. б) Зависимость размерности подпространства

траекторий от у для К = 500.

60-

40-

20-

10 -1 10°

Рисунок 1.12

7

Анализ спин-бозонной модели (1.47). Размерность подпространства, траекторий для разных значений у.

экземпляра начальное состояние атома, |"ф) выбирается случайным образом с равномерным распределением по сфере Блоха,. Во всех численных экспериментах параметры фиксированы следующим образом: Ь = 2, т = 0.15, К = 100 и N = 1000. Из данных восстанавливается линейный оператор М, описывающий эффективную динамику системы, который затем используется для прогнозирования тестовых траекторий. На, рисунке 1.6 в) представлено визуальное сравнение между вычисленным прогнозом и реальной тестовой динамикой. Как

видно, предложенный подход сохраняет высокую точность предсказаний даже при значительном уровне шума. Исследуется также зависимость размерности г от параметра у через поведение модели при различных значениях гиперпараметра К. Для этого генерируются безшумные выборки с параметрами Ь = 4, Т = 1000, т = 0.15 и различными значениями у. Для каждой конфигурации проводится обработка данных предлагаемым методом при фиксированном значении а = 10—6, минимизирующем численные ошибки. На рисунке 1.11 а) показана зависимость минимальной размерности марковского вложения г от параметров К и у. Наблюдается насыщение г при достижении определённого порогового значения К, при этом для меньших у этот порог выше, что указывает на возрастание глубины памяти среды. На рисунке 1.11 б) представлена зависимость точности предсказания Реха^ от К и у. Характерный переход от резкого роста точности к режиму насыщения при увеличении К свидетельствует о конечной глубине памяти динамики. При этом видно, что для меньших значений у точность достигается медленнее, что согласуется с усилением немарковских эффектов. Для иллюстрации того, как размерность восстановленного пространства траекторий г может служить индикатором степени немарковско-сти и сложности квантовой динамики, была проведена серия экспериментов с варьированием параметра у, определяющего ширину двухвременной корреляционной функции С(£). При уменьшении у ширина корреляции возрастает, что приводит к более выраженным эффектам памяти и, следовательно, усложнению моделируемой динамики (рисунок 1.12).

1.5 Сравнение с существующими методами идентификации немарковской квантовой динамики

В данном разделе проводится сравнительный анализ разработанного подхода к идентификации немарковской квантовой динамики с существующими методами, с особым акцентом на методы класса «черного ящика», в частности, ТТМ [9; 109—114; 117]. Сравнение проводится по ключевым критериям: способность метода извлекать информацию о квантовом окружении, требуемый объем данных и устойчивость к шумовым искажениям.

Наиболее значимым отличием предлагаемого подхода является его способность реконструировать характеристики окружающей среды на основе исключительно траекторий открытой квантовой системы. Метод позволяет оценить эффективную размерность среды, а также извлечь спектр совместной эволюции системы и окружающей среды. В отличие от этого, существующие методы, включая ТТМ и его вариации, не предусматривают прямой реконструкции параметров среды. В некоторых случаях предпринимаются попытки косвенного определения эффективной размерности через анализ кривой вали-дации и поиск характерной точки излома [11; 12], однако такой подход требует повторной оптимизации модели и наличия дополнительного тестового набора данных. Предложенный алгоритм лишён этих ограничений и осуществляет оценку размерности среды напрямую. Кроме того, метод демонстрирует высокую эффективность в использовании экспериментальных данных и обладает повышенной устойчивостью к шуму. Это обеспечивается за счёт внутреннего механизма выбора модели, основанного на выявлении подпространства траекторий. Переход к описанию динамики в этом подпространстве позволяет существенно сократить число параметров модели, что, в свою очередь, ведет к снижению требований к объему данных и повышает точность.

В целях количественной оценки устойчивости к шуму и эффективности использования данных, заложенных в предлагаемом методе, была проведена серия численных экспериментов, направленных на сравнение его предсказательной способности ТТМ. Всего выполнено около 300000 симуляций, в рамках которых производилось сопоставление точности прогноза динамики, построенного двумя подходами. Для обучения модели ТТМ на основе данных использовалась регуляризация Тихонова [126] для решения следующей задачи оптимизации:

ь N—к—1 2

£ Е Р(°(^+к+1) — ж[тК^к)] + А уж|||, (1.51)

Ш1П

ш

/=1 к=0

где W обозначает ядро дискретного уравнения Накажимы-Цванцига, восстанавливаемое по данным, а параметр регуляризации А выбран равным а для компенсации шума. Каждый эксперимент включал три этапа: (г) генерацию обучающих и тестовых данных в рамках заданной м