Практические методы повышения точности вычислений на шумных квантовых процессорах в задачах симуляции и обработки информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бабухин Данила Валерьевич

• Бабухин Данила Валерьевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Бабухин Данила Валерьевич

1.4.1 Квантовая схема

1.4.2 Сырые данные

1.4.3 Постселекция

1.4.4 Устранение шума на изображении

1.5 Выводы и перспективы

2 Цифро-аналоговое моделирование многочастичной динамики с помощью сверхпроводящих кубитов

2.1 Введение

2.2 Предпосылки и контекст

2.2.1 Сверхпроводящие фиксированные частотные кубиты и происхождение их остаточного взаимодействия

2.2.2 Тротеризованная эволюция в рамках цифро-аналогового подхода

2.3 Результаты для спиновых систем

2.3.1 Симуляция динамики системы из двух спинов

2.3.2 Динамика 5-спинового и 14-спинового кластеров

2.3.3 Имитация эффекта беспорядка

2.4 Меры качества

2.5 Квантовое преобразование Фурье

2.6 Оценка оптимальной величины межкубитных связей

2.7 Немарковская динамика кубитов

2.8 Выводы и перспективы

3 Влияние квантового шума на алгоритмическую передачу квантового состояния на шумных квантовых процессорах

3.1 Введение

3.2 Идеальная передача состояния по цепочке кубитов

3.3 Модели квантового шума

3.3.1 Шум от ошибок квантовых вентилей

3.3.2 Шум от физических связей кубитов

3.3.3 Энергетическая релаксация и дефазировка

3.4 Смягчение ошибок

3.4.1 Перемасштабирование динамики наблюдаемых

3.4.2 Модель сдвига времени

3.5 Результаты и обсуждение

3.5.1 Влияние однородных и неоднородных ошибок квантовых вентилей на результат переноса квантового состояния по цепи кубитов

3.5.2 Постобработка результатов для динамики переноса квантового состояния

3.6 Выводы и перспективы

4 Алгоритм Харроу-Хассидима-Ллойда без постселекции вспомогательного кубита

4.1 Введение

4.2 Вывод условия отсутствия постселекции

4.2.1 Алгоритм Харроу-Хассидима-Ллойда

4.2.2 Наблюдаемые значения для разных исходов измерения вспомогательного кубита

4.2.3 Связь наблюдаемых значений для разных исходов измерения вспомогательного кубита

4.3 Пример матрицы 2 на

4.3.1 Симуляция вектора состояния

4.3.2 Симуляция с набором статистики

4.4 Более общий пример

4.5 Выводы и перспективы

5 Генерация данных посредством эхо-эволюции для смягчения

квантовых ошибок с помощью нейронных сетей

5.1 Введение

5.2 Динамика модели Изинга в поперечном поле

5.3 Обучение с учителем полносвязных нейронных сетей прямого распространения

5.4 Генерация данных с помощью эхо-эволюции

5.5 Методы

5.5.1 Эволюция спиновой системы

5.5.2 Генерация данных

5.5.3 Модель шума

5.5.4 Нейронная сеть: обучение и применение

5.5.5 Метрика качества

5.6 Результаты

5.6.1 Квантовое смягчение ошибок в данных из эхо-эволюции

5.6.2 Смягчение квантовой ошибки в эволюции вперед во времени

5.6.3 Анализ размера нейронной сети

5.7 Выводы и перспективы

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Практические методы повышения точности вычислений на шумных квантовых процессорах в задачах симуляции и обработки информации»

Актуальность работы

Идея квантового компьютера, предложенная в 80х годах Бениоффом [1], Ма-ниным [2] и Фейнманом [3], предлагает использовать управляемые квантовые системы для решения вычислительных задач. В случае идеального квантового устройства, такой подход даёт для ряда задач преимущество перед классическими вычислениями за счёт большого вычислительного пространства и квантового параллелизма. Перспективность приложений этого подхода к решению научно-прикладных задач высока - квантовые процессоры естественно подходят для изучения стационарных свойств [4-6] и динамики [7-10] многочастичных квантовых систем, фигурирующих в квантовой химии и физике конденсированного состояния. Помимо научных задач, квантовые вычисления в перспективе могут быть полезны для прикладных задач - уже построены алгоритмы квантового машинного обучения [11-13], вычислений в финансовых задачах [14-18], решения дифференциальных уравнений [19,20] и метода конечных разностей [21]. Помимо полезных приложений, квантовые компьютеры имеют и значительные вредоносные возможности - алгоритм факторизации на простые множители [22] представляет угрозу для протоколов асимметричного шифрования, широко применяемых сегодня в обмене информацией.

Краеугольным камнем квантовых вычислений являются квантовые коды коррекции ошибок. Такие коды применяются и в классических вычислениях, и представляют собой способ кодирования информационных битов в физических носителях таким образом, чтобы ошибки, неизбежно возникающие в процессе вычислений из-за ошибок аппаратуры, можно было исправить. Суть кодов коррекции ошибок заключается во введении избыточности - информационные биты записываются в состояния из пространства большей размерности так, чтобы кодовые слова были различимы даже после изменения кодового слова вследствие аппаратных ошибок. В классике, избыточность легко достижима, поскольку нет запрета на копирование состояния одной физической системы на другую. Однако, в квантовой теории такой запрет есть - теорема о запрете клонирования [23],

согласно которой не существует квантовой операции, которая может скопировать произвольное квантовое состояние с одной физической квантовой системы на другую. Поэтому, решение вопроса о существовании кодов коррекции ошибок для квантовых компьютеров было одним из наиболее значимых прорывов в этой области. В конце прошлого века Шор продемонстрировал [24] способ введения избыточности, который позволяет обнаружить и исправить одиночную квантовую ошибку в процессе вычисления, тем самым уменьшая вероятность ошибочного результата на выходе. Если такой код использовать каскадно - применить в несколько уровней, последовательно создавая логические единицы с меньшим уровнем ошибки - то можно достигнуть любой желаемой точности вычисления на квантовом устройстве. В совокупности с построением отказоустойчивых квантовых вентилей, коды коррекции ошибок позволяют добиться отказоустойчивых вычислений [25].

Для построения отказоустойчивых вычислений необходимо, чтобы кубиты квантового процессора удовлетворяли условиям теоремы об отказоустойчивости - средняя ошибка на вентиль в процессе любого вычисления должна быть меньше некоторого порогового значения (которое зависит от выбранного кода коррекции ошибок). В таком случае, процесс кодирования позволит сделать ошибку вычисления сколь угодно малой [26], если доступно много ку-битов. Однако сегодняшние квантовые процессоры содержат порядка 10-100 кубитов [27-29], чего недостаточно для построения практически-полезных отказоустойчивых квантовых вычислений. В перспективе ближайших лет, пока не будут отлажены технологии создания и управления достаточным количеством кубитов надлежащего качества, квантовые вычисления на существующих процессорах, называемых шумными квантовыми устройствами промежуточного масштаба (Noisy Intermediate-Scale Quantum devices, NISQ) [30], будут проводиться без использования полноценных квантовых кодов коррекции ошибок.

Несмотря на отсутствие коррекции ошибок на основе кодирования, шумные процессоры без кодов коррекции ошибок возможно использовать для достижения результатов, интересных для науки и приложений. Одним из значимых достижений последних лет является выполнение эксперимента по сэмплированию случайных битовых строк на грани вычислительных возможностей классических процессоров [31], в котором демонстрировалось достижение квантового превосходства - выполнение квантовым процессором вычислительной задачи, решение которой на классическом компьютере заняло бы значительно больше времени и на практике считается невозможным. Успех этого достижения со-

стоял в построении специальной вычислительной задачи, которая достаточно толерантна к квантовому шуму, возникающему в процессе вычислений на шумных квантовых процессорах, а также правильная постобработка полученных результатов.

Идейно, результат [31] содержит основные черты сегодняшнего развития подходов к квантовым вычислениям, не требующим кодов коррекции ошибок. Во-первых, существуют относительно устойчивые к влиянию квантовых шумов алгоритмы - например, вариационные алгоритмы [32], которые сводятся к построению конечного квантового состояния при помощи параметризованного квантового вентиля. Параметры такого вентиля оптимизируются путем минимизации некоторой функции ошибок, вид которой зависит от решаемой задачи. Из-за того, что ответ на задачу в таком подходе ищется в виде среднего значения некоторой наблюдаемой, полученной на конечном оптимизированном состоянии, такой подход может работать даже при текущих уровнях шума.

Во-вторых, существуют методы, позволяющие использовать несколько повторений квантового алгоритма для выделения правильной части полученного ответа. Такие методы носят общее название методы смягчения квантовых ошибок [33]. Суть методов смягчения квантовых ошибок заключается в уменьшении влияния квантового шума путем многократной выборки результатов с зашум-ленных устройств и классической постобработки результатов измерений. Такие методы обычно характеризуются резко сниженными технические требования, что обеспечивает их высокий потенциал применения в алгоритмах, рассчитанных для запуска на шумных квантовых устройствах (например, вариационных алгоритмах для оценки энергии основного состояния в задачах квантовой химии).

В третьих, существуют альтернативные подходы к самому процессу вычислений с использованием квантового устройства. В стандартном ("цифровом") подходе к квантовым вычислениям процесс вычисления - унитарное преобразование системы из начального состояния в конечное - обычно представляется в виде последовательности однокубитных и двухкубитных вентилей, что возможно ввиду теоремы универсальности [34]. На сегодняшний день двухкубит-ные вентили являются одним из основных источников ошибок в вычислениях, устранение которого позволит добиться значительного улучшения качества результатов. Для таких целей был придуман и активно развивается цифро-аналоговый подход к вычислениям [35], где двухкубитные вентили заменяются естественной эволюцией состояния кубитов под действием физического взаимодействия.

В четвертых, возможно улучшение известных алгоритмов путем поиска и исследования частных задач, в которых такие алгоритмы работают более ре-сурсоэффективно.

Данная работа посвящена применению перечисленных идей для решения различных задач квантовой информатики с использованием шумных квантовых процессоров. Хотя понятие "квантовая информатика" включает в себя решение любых информационных задач посредством квантовых технологий - в том числе и передачу секретного ключа посредством системы квантового распределения ключа - в этой работе речь пойдёт только о решении задач посредством квантовых вычислений.

В главе 1 рассматривается алгоритм классификации входных состояний, который является неразрушающим и детерминированным для определенных состояний, и вероятностным, в общем случае. Этот алгоритм строится на основе алгоритма оценки квантовой фазы и гибридной квантово-классической схемы вычислений для обучения параметров алгоритма с использованием классического процессора. Проводится доказательство принципиальной реализации этого алгоритма с использованием сверхпроводящего квантового процессора IBM Quantum Experience. Другой изучаемый в главе аспект - это смягчение ошибок, возникающих из-за квантовых шумов процессора. Рассматривается ряд эвристических приемов на этапе классической постобработки, позволяющих улучшить необработанные экспериментальные данные и распознать заключенные в них закономерности ("паттерны"). Рассмотренные в главе результаты применимы в других реализациях гибридных квантово-классических вычислений с шумными квантовыми вычислениями.

В главе 2 цифро-аналоговый подход к квантовым вычислениям применяется для решения двух задач: симуляции динамики спиновой системы и выполнения выполнения квантового преобразования Фурье на регистре кубитов. Демонстрируется, что цифро-аналоговый подход приводит к более точному результату, чем реализация названных алгоритмов на сопоставимом цифровом квантовом процессоре. В качестве квантового устройства используется процессор из сверхпроводниковых кубитов с фиксированной частотой, которые имеют остаточные физические связи друг с другом. Выводится оценка оптимальных величин межкубитных связей для цифро-аналогового подхода. В качестве отдельного результата данной главы, рассматривается влияние остаточных межкубитных связей на цифровой подход к квантовым вычислениям. Демонстрируется, что такие связи в существующих квантовых процессорах приводят к паразитной динамике состояний кубитов, которая накладывает более строгие

(по сравнению с временами когерентности Т и Т2) ограничения на точность результата вычисления.

В главе 3 исследуется куммулятивное влияние квантового шума на точность цифровой квантовой симуляции на примере задачи переноса квантового состояния по цепочке кубитов. Моделируется динамика процесса перемещения одиночного возбуждения по цепочке кубитов в присутствии типичных шумов квантового процессора (однородный и неоднородный шум Паули, шум от физического паразитного взаимодействия между кубитами, тепловая релаксация и шум дефазировки). Демонстрируются основные особенности влияния квантовых шумов на процесс переноса состояния, а именно, что шум Паули, в основном, сглаживает пик в точности передачи состояния, в то время как динамика от физического взаимодействия между кубитами, в основном, влияет на время переноса состояния. Знания о характере влияния этих шумов на процесс переноса квантового состояния по регистру позволяет предложить процедуры смягчения ошибок. Предложенные процедуры демонстрируются с помощью классической симуляции переноса квантового состояния по цепи кубитов.

В главе 4 изучается возможность улучшения алгоритма Харроу-Хассидима-Ллойда (Наггош-На881^т-Ь1оу^ ННЬ), который позволяет экспоненциально ускорить решение системы линейных уравнений с использованием квантового процессора. Для получения решения этот алгоритм требует постселекции состояния вспомогательного кубита, что делает результат алгоритма вероятностным. В главе получены условия, при выполнении которых алгоритм ННЬ может работать без постселекции вспомогательного кубита. А именно, получены выражения для результирующей наблюдаемой величины в состоянии на выходе алгоритма ННЬ, когда вспомогательный кубит измеряется в |0) и |1). Когда некоторая функция от входной матрицы и наблюдаемой матрицы равна нулю, алгоритм ННЬ возвращает правильные значения наблюдаемой величины для любого результата измерения вспомогательного кубита. Этот результат явно демонстрируется на примере матрицы размера 2 на 2. Далее приводятся более общие примеры матриц и наблюдаемых, которые позволяют запустить алгоритм без постселекции. Избавление от необходимости отбрасывать часть запусков позволяет получить более точный результат и делает алгоритм более устойчивым к влиянию квантового шума.

В главе 5 исследуется применение классических нейронных сетей для смягчения ошибок в результатах квантовых вычислений. В частности, рассматривается проблема генерации данных, необходимых для того, чтобы обучить нейронную сеть смягчению квантовых ошибок в результатах вычислений на

шумном квантовом процессоре. В главе демонстрируется метод, позволяющий генерировать обучающие данные посредством использования лишь шумного квантового процессора и не требующий классической симуляции (точной или приближенной) целевого квантового алгоритма. Идея метода основывается на эхо-эволюции физических систем - эволюции вперед и назад во времени под действием гамильтониана системы. При отсутствии шума в процессе такой эволюции система возвращается в первоначальное состояния, свойства которого известны. Однако при наличии шума в процессе эволюции конечное состояние будет отличаться от начального. Можно измерить целевую квантовую наблюдаемую на состоянии системы до эволюции и получить таким образом бесшумный результат. Также можно провести измерение целевой наблюдаемой после эволюции системы, и получить таким образом зашумлённый результат. В таком случае задачей нейронной сети является выполнение преобразования шумного значения наблюдаемой в бесшумное. Возможность применения такого метода для смягчения ошибок в квантовых вычислениях демонстрируется на примере симуляции динамики спиновой системы.

Цели и задачи диссертационной работы Цели

1. Исследование возможностей применения параметризованных квантовых схем для классификации квантовых входных данных;

2. Исследование возможностей применения классических методов обработки изображений для коррекции влияния квантовых шумов на результаты запуска квантовых алгоритмов;

3. Исследование перспектив применения цифро-аналогового подхода к квантовым вычислениям для решения задач симуляции многочастичных систем и решения математических задач;

4. Исследование влияния постоянных остаточных межкубитных связей сверхпроводниковых квантовых процессоров на процесс квантового вычисления;

5. Исследование возможностей применения знаний о характере квантового шума для коррекции влияния шумов на результаты вычислений;

6. Исследование возможностей улучшения квантовых алгоритмов решения систем линейных уравнений для применения на квантовых процессорах с

ограниченными ресурсами.

7. Исследование возможностей применения классических нейронных сетей для смягчения ошибок вычислений на шумных квантовых процессорах.

Задачи

1. Изучение применения управляемых квантовых схем со свободными параметрами для неразрушающей классификации квантовых состояний, построение и описание гибридной процедуры обучения таких параметризованных схем;

2. Изучение применения классических методов коррекции данных - перемасштабирования с помощью различных функций и применения фильтров - для уменьшения влияния шумов квантового процессора на результаты вычислений, а также постселекции результатов по какому-либо априори известному признаку;

3. Развитие цифро-аналогового подхода к квантовым вычислениям на примере симуляции динамики спиновых кластеров и квантового преобразования Фурье и сравнение эффективности цифрового и цифро-аналогового подходов к квантовым вычисления;

4. Изучение немарковской динамики, возникающей из-за влияния постоянных остаточных физических связей между кубитами, на процесс управляемой эволюции состояния квантового регистра;

5. Изучение влияния стандартных ошибок квантовых вентилей, процессов де-когеренции и динамики от физических межкубитных связей на цифровую квантовую симуляцию динамики квантовых систем;

6. Изучение возможности улучшения производительности алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений на квантовом процессоре.

7. Изучение возможности генерации данных для обучения нейронных сетей с целью смягчения ошибок квантовых вычислений без использования классической симуляции.

Научная новизна

1. Впервые исследовано применение параметризованного алгоритма оценки квантовой фазы в качестве управляемой квантовой схемы со свободными

параметрами и получены условия на параметры и управляемый оператор эволюции для недеструктивной и достоверной классификации ортогональных квантовых состояний на два класса;

2. Впервые применены операция сигмоидального перемасштабирования и фильтрация к данным с квантового процессора для улучшения качества конечного результата;

3. Впервые продемонстрирована эффективность использования цифро-аналоговог подхода для симуляции динамики спиновых кластеров с реалистичной моделью шума сверхпроводниковых кубитов;

4. Впервые изучена немарковская динамика, возникающая из-за наличия паразитных физических связей между сверхпроводниковыми кубитами с фиксированными частотами;

5. Впервые продемонстрирована процедура смягчения ошибок при переносе однокубитного квантового состояния по регистру кубитов, основанная на знании характера воздействия шума вентилей, декогеренции и влияния физических межкубитных связей на рассматриваемый процесс;

6. Впервые показано, что алгоритм Харроу-Хассидима-Ллойда может работать детерминистично, то есть без необходимости постселекции части запусков.

7. Впервые продемонстрирован способ генерации данных, основанный на идее эхо-эволюции, который позволяет создать обучающую выборку без классической симуляции целевого квантового алгоритма.

Практическая значимость

Результаты, представленные в данной работе, могут использоваться для приложений в вычислениях на шумных квантовых процессорах. В ближайшие годы качество и количество доступных кубитов будут недостаточны для полноценного применения кодов коррекции ошибок. Это значит, что универсальные отказоустойчивые квантовые вычисления не будут доступны в ближайшее время, и поэтому существует острая необходимость разработки методов смягчения влияния квантовых шумов на результаты вычислений, равно как и разработки иных подходов к процессу квантового вычисления. Решенные в данной работе задачи напрямую направлены на удовлетворение таких потребностей.

Положения, выносимые на защиту

1. Возможно построение параметризованной квантовой схемы, позволяющей недеструктивно и достоверно разделить ортогональные входные квантовые состояния на два класса, и продемонстрирована процедура обучения этой схемы для входных состояний из базиса Белла;

2. Применение классических методов обработки изображений для коррекции данных с квантового процессора может улучшить результаты вычислений в случае подходящей структуры выходных данных;

3. Цифро-аналоговый подход к квантовым вычислениям имеет преимущество в точности перед цифровым подходом в задаче симуляции динамики спиновых систем из-за отсутствия в цифро-аналоговом подходе управляющих импульсов, необходимых для реализации двухкубитных квантовых вентилей;

4. Остаточные связи между кубитами приводят к паразитной динамике состояний кубитов, которая может накладывать более строгие (по сравнению с временами когерентности Т и Т2) ограничения на точность результата вычисления;

5. Знание характера влияния квантовых шумов на алгоритм переноса квантового состояния по регистру кубитов позволяет построить процедуры смягчения влияния квантовых шумов на результаты работы алгоритма;

6. Существуют условия, при которых алгоритм Харроу-Хассидима-Ллойда может работать без постселекции части результатов, которые в первоначальной версии алгоритма считались неудачными и отбрасывались. Продемонстрированы конкретные примеры входных матриц систем линейных уравнений и наблюдаемых величин, удовлетворяющих необходимому условию.

7. Данные, необходимые для обучения нейронной сети смягчению ошибок квантовых вычислений в симуляции динамики, можно генерировать без использования классической симуляции целевого алгоритма с помощью метода эхо-эволюции. Продемонстрирована работа этого метода на примере симуляции динамики спиновой системы под действием гамильтониана модели Изинга в поперечном поле.

Аппробация результатов работы

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на конференциях: Научно-техническая конференция ВНИИА (2019, 2020, 2021, 2022, 2023), 2nd Russian School on Quantum Technologies (QTS'19) (Горки Город, Россия, 2019 г.), 5th International Conference of Quantum Technologies (ICQT'19) (Москва, Россия, 2019 г.), 3rd International School on Quantnum Technologies (QTS'20) (Красная Поляна, Россия, 2020 г.), 14-я Международная конференция "Микро- и наноэлектроника - 2021" (ICMNE-2021) (Звенигород, Россия, 2021 г.), 5th International School on Quantum Technologies (QTS'22) (Хоста, Россия, 2022 г.), 23th Asian Quantum Information Science Conference (Южная Корея, Сеул, 2023 г.), 40-я международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка" (Абзаково, Россия, 2024 г.), 7th International School on Quantum Technologies (QTS'24) (Миасс, Россия, 2024 г.), 24th Asian Quantum Information Science Conference (Япония, Саппоро, 2024 г.). Результаты обсуждались на семинаре лаборатории искусственных квантовых систем (МФТИ, Долгопрудный) и семинаре ВНИИА им. Духова.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 5 статьях в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Nondestructive classification of quantum states using an algorithmic quantum computer, D.V. Babukhin, A.A. Zhukov, W.V. Pogosov, Quantum Machine Intelligence 1 (3), 87-96, 2019

2. Hybrid digital-analog simulation of many-body dynamics with superconducting qubits, D.V. Babukhin, A.A. Zhukov, W.V. Pogosov, Physical Review A 101 (5), 052337, 2020

3. The effect of quantum noise on algorithmic perfect quantum state transfer on NISQ processors, D.V. Babukhin, W.V. Pogosov, Quantum Information Processing 21 (1), 1-18, 2022

4. Harrow-Hassidim-Lloyd algorithm without ancilla postselection, D.V. Babukhin, Phys. Rev. A 107 (4), 042408, 2023

5. Echo-evolution data generation for quantum error mitigation via neural networks, D.V. Babukhin, Quantum Inf Process 23, 405 2024

Личный вклад автора

Все основные результаты были получены автором самостоятельно. Постановка задач выполнена научным руководителем, а также в ряде случаев самостоятельно.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 158 страниц с 48 рисунками и 8 таблицами. Список литературы содержит 216 наименований.

Глава 1

Неразрушающая классификация квантовых состояний с помощью алгоритмического квантового компьютера

1.1 Введение

Машинное обучение - это вычислительная парадигма, в которой центральную роль играет распознавание закономерностей в имеющихся данных без явного программирования алгоритма распознавания этих закономерностей. Многочисленные примеры приложений машинного обучения демонстрируют успех этого подхода к решению реальных задач. Квантовое машинное обучение - это новое направление квантовой информатики, изучающее возможность использования квантовых ресурсов для анализа закономерностей в данных [30,36-40].

Квантовые алгоритмы машинного обучения могут использоваться как часть более крупной вычислительной схемы, включающей в себя классические блоки - в так называемом квантово-классическом подходе к квантовым вычислениям. Существует два основных подхода к построению квантового блока в гибридных квантово-классических алгоритмах - он может быть представлен либо квантовым отжигателем, либо алгоритмическим квантовым компьютером [38]. Большинство предложений характеризуются узкими местами на входе/выходе, возникающими на этапах кодирования классических данных в квантовые состояния и декодирования их обратно [41,42]. Однако, эти узкие места, по-видимому, не являются серьезной проблемой в случае, когда входные состояния являются квантовыми [43,44]. Роль алгоритма квантового машинного обучения состоит в том, чтобы распознать и выделить закономерности, лежащие в данных. В слу-

чае квантовых данных, такие закономерности могут не иметь классического аналога (например, характеристики квантовой запутанности).

Одной из частных задач в квантовом машинном обучении является классификация входных данных. Классификация квантовых состояний важна в квантовой метрологии и зондировании [45]. Например, в проблеме квантового освещения (quantum illumination) приходится оперировать запутанными фотонными состояниями и выявлять их характеристики [46,47]. Другим возможным источником квантовых данных может быть квантовый симулятор или другой квантовый компьютер (например, более шумный и/или большего размера) [38].

В данной главе рассматривается квантово-классический подход к проблеме классификации входных квантовых состояний. Предлагается алгоритм на основе алгоритма оценки фазы с параметризованным оператором эволюции. Демонстрируется как, используя вспомогательные кубиты, можно извлекать информацию о квантовом состоянии без прямого измерения кубитов, кодирующих это состояние. На примере алгоритма с одним вспомогательным кубитом, исследуется возможность использования параметризованного алгоритма оценки фазы для классификации ортогонального набора входных состояний. Демонстрируются условия недеструктивного и достоверного разделения входных состояний на два класса и демонстрируется явный вид как самих классов, так и управляемого оператора эволюции, реализующего различение этих классов с помощью параметризованного алгоритма оценки фазы. Работа предложенного алгоритма демонстрируется с использованием сверхпроводящего квантового процессора IBM Quantum Experience. Этот процессор обладает общими для существующих квантовых процессоров недостатками - конечным временем когерентности квантового состояния кубитов и неидеальной реализацией квантовых вентилей. По этой причине, реализация квантовых схем с осмысленными результатами вычислений возможна лишь для задач малой размерности [48,49]. Поэтому в качестве демонстрации предложенного алгоритма рассматривается классификация максимально запутанных двухкубитных состояний. Для того чтобы получить ценную информацию из необработанных экспериментальных данных, подверженных влиянию шума, применяется ряд приемов, основанных на методах классической обработки изображений. Идеи коррекции ошибок, представленные в работе, интересны в общем контексте квантово-классических вычислений. [4,30,50-53].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бабухин Данила Валерьевич, 2026 год

Литература

[1] Paul Benioff. The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical hamiltonian model of computers as represented by turing machines. Journal of Statistical Physics, 22(5):563-591, May 1980.

[2] Yu. Manin. Computable and noncomputable. Russian: Sov. Radio, 128:8, 1980.

[3] Richard P. Feynman. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics, 21(6-7):467-488, June 1982.

[4] Abhinav Kandala, Antonio Mezzacapo, Kristan Temme, Maika Takita, Markus Brink, Jerry M. Chow, and Jay M. Gambetta. Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets. Nature, 549(7671):242-246, September 2017.

[5] Pauline J. Ollitrault, Alberto Baiardi, Markus Reiher, and Ivano Tavernelli. Hardware efficient quantum algorithms for vibrational structure calculations. Chem. Sci., 11:6842-6855, 2020.

[6] Panagiotis Kl. Barkoutsos, Jerome F. Gonthier, Igor Sokolov, Nikolaj Moll, Gian Salis, Andreas Fuhrer, Marc Ganzhorn, Daniel J. Egger, Matthias Troyer, Antonio Mezzacapo, Stefan Filipp, and Ivano Tavernelli. Quantum algorithms for electronic structure calculations: Particle-hole hamiltonian and optimized wave-function expansions. Physical Review A, 98(2), aug 2018.

[7] Kai Xu, Jin-Jun Chen, Yu Zeng, Yu-Ran Zhang, Chao Song, Wuxin Liu, Qiujiang Guo, Pengfei Zhang, Da Xu, Hui Deng, Keqiang Huang, H. Wang, Xiaobo Zhu, Dongning Zheng, and Heng Fan. Emulating many-body localization with a superconducting quantum processor. Phys. Rev. Lett., 120:050507, Feb 2018.

[8] P. Jurcevic, B. P. Lanyon, P. Hauke, C. Hempel, P. Zoller, R. Blatt, and C. F. Roos. Quasiparticle engineering and entanglement propagation in a quantum many-body system. Nature, 511(7508):202-205, 2014.

[9] A. Smith, M. S. Kim, F. Pollmann, and J. Knolle. Simulating quantum many-body dynamics on a current digital quantum computer. npj Quantum Inf., 5:106, 2019.

[10] J. Smith, A. Lee, P. Richerme, B. Neyenhuis, P. W. Hess, P. Hauke, M. Heyl, D. A. Huse, and C. Monroe. Many-body localization in a quantum simulator with programmable random disorder. Nat. Phys., 12(10):907-911, 2016.

[11] Patrick Rebentrost, Masoud Mohseni, and Seth Lloyd. Quantum support vector machine for big data classification. Phys. Rev. Lett., 113:130503, sep 2014.

[12] Iordanis Kerenidis and Anupam Prakash. Quantum recommendation systems. 2016.

[13] Nathan Wiebe, Ashish Kapoor, and Krysta M Svore. Quantum perceptron models. 2016.

[14] Panagiotis Kl. Barkoutsos, Giacomo Nannicini, Anton Robert, Ivano Tavernelli, and Stefan Woerner. Improving variational quantum optimization using CVaR. Quantum, 4:256, apr 2020.

[15] Stefan Woerner and Daniel J. Egger. Quantum risk analysis. npj Quantum Information, 5(1), feb 2019.

[16] Nikitas Stamatopoulos, Daniel J. Egger, Yue Sun, Christa Zoufal, Raban Iten, Ning Shen, and Stefan Woerner. Option pricing using quantum computers. Quantum, 4:291, jul 2020.

[17] Román Orús, Samuel Mugel, and Enrique Lizaso. Quantum computing for finance: Overview and prospects. Reviews in Physics, 4:100028, 2019.

[18] Dylan Herman, Cody Googin, Xiaoyuan Liu, Alexey Galda, Ilya Safro, Yue Sun, Marco Pistoia, and Yuri Alexeev. A survey of quantum computing for finance, 2022.

[19] Yudong Cao, Anargyros Papageorgiou, Iasonas Petras, Joseph Traub, and Sabre Kais. Quantum algorithm and circuit design solving the poisson equation. New Journal of Physics, 15(1):013021, jan 2013.

[20] Dominic W Berry. High-order quantum algorithm for solving linear differential equations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 47(10):105301, feb 2014.

[21] Ashley Montanaro and Sam Pallister. Quantum algorithms and the finite element method. Physical Review A, 93(3), mar 2016.

[22] P.W. Shor. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring. In Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. IEEE Comput. Soc. Press.

[23] W.Wooters and W. Zurek. A single quantum cannot be cloned. Nature, 299:802-803, 1982.

[24] Peter W. Shor. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Phys. Rev. A, 52:R2493-R2496, Oct 1995.

[25] Peter W. Shor. Fault-tolerant quantum computation, 1996.

[26] E. Knill. Quantum computing with realistically noisy devices. Nature, 434(7029):39-44, mar 2005.

[27] https://github.com/qiskit/ibmq-device-information/tree/master/backends, 2019.

[28] https://www.rigetti.com/, 2019.

[29] https://ionq.co/, 2019.

[30] John Preskill. Quantum Computing in the NISQ era and beyond. Quantum, 2:79, August 2018.

[31] F. Arute, K. Arya, R. Babbush, D. Bacon, J. C. Bardin, R. Biswas R. Barends, S. Boixo, F. G. S. L. Brandao, D. A. Buell, B. Burkett, Y. Chen, Z. Chen, B. Chiaro, R. Collins, W. Courtney, A. Dunsworth, E. Farhi, B. Foxen, A. Fowler, C. Gidney, M. Giustina, R. Graff, K. Guerin, S. Habegger, M. P. Harrigan, M. J. Hartmann, A. Ho, M. Hoffmann, T. Huang, T. S. Humble, S. V. Isakov, E. Jeffrey, Z. Jiang, D. Kafri, K. Kechedzhi, J. Kelly, P. V. Klimov, S. Knysh, A. Korotkov, F. Kostritsa, D. Landhuis, M. Lindmark, E. Lucero, D. Lyakh, S. Mandra, J.R. McClean, M. McEwen, A. Megrant, X. Mi, K. Michielsen, M. Mohseni, J. Mutus, O. Naaman, M. Neeley, C. Neill, M. Y. Niu, E. Ostby, A. Petukhov, J. C. Platt, C. Quintana, E. G. Rieffel, P. Roushan, N. C. Rubin, D. Sank, K. J. Satzinger, V. Smelyanskiy, K. J. Sung, M. D. Trevithick, A. Vainsencher, B. Villalonga, T. White, Z. J. Yao, P. Yeh, A. Zalcman, H. Neven, and J. M. Martinis. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. Nature, 574(7779):505-510, 2019.

[32] Marco Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon Benjamin, Suguro Endo, Keisuke Fujii, Jarrod Ryan McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, and Patrick Coles. Variational quantum algorithms. Nature Reviews Physics, 2021.

[33] Zhenyu Cai, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, William J. Huggins, Ying Li, Jarrod R. McClean, and Thomas E. O'Brien. Quantum error mitigation, 2022.

[34] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, USA, 10th edition, 2011.

[35] A. Parra-Rodriguez, P. Lougovski, L. Lamata, E. Solano, and M. Sanz. Digitalanalog quantum computation. arXiv: 1812.03637, 2018.

[36] Nathan Wiebe, Daniel Braun, and Seth Lloyd. Quantum algorithm for data fitting. Phys. Rev. Lett, 109:050505, Aug 2012.

[37] Maria Schuld, Ilya Sinayskiy, and Francesco Petruccione. An introduction to quantum machine learning. Contemporary Physics, 56(2):172-185, oct 2014.

[38] Jacob Biamonte, Peter Wittek, Nicola Pancotti, Patrick Rebentrost, Nathan Wiebe, and Seth Lloyd. Quantum machine learning. Nature, 549(7671):195-202, September 2017.

[39] Mohammad H. Amin, Evgeny Andriyash, Jason Rolfe, Bohdan Kulchytskyy, and Roger Melko. Quantum boltzmann machine. Phys. Rev. X, 8:021050, May 2018.

[40] Jeremy Adcock, Euan Allen, Matthew Day, Stefan Frick, Janna Hinchliff, Mack Johnson, Sam Morley-Short, Sam Pallister, Alasdair Price, and Stasja Stanisic. Advances in quantum machine learning, 2015.

[41] Scott Aaronson. Read the fine print. Nature Physics, 11(4):291-293, April 2015.

[42] Srinivasan Arunachalam, Vlad Gheorghiu, Tomas Jochym-O'Connor, Michele Mosca, and Priyaa Varshinee Srinivasan. On the robustness of bucket brigade quantum RAM. New Journal of Physics, 17(12):123010, dec 2015.

[43] Christopher E Granade, Christopher Ferrie, Nathan Wiebe, and D G Cory. Robust online hamiltonian learning. New Journal of Physics, 14(10):103013, oct 2012.

[44] Nathan Wiebe, Christopher Granade, Christopher Ferrie, and D. G. Cory. Hamiltonian learning and certification using quantum resources. Phys. Rev. Lett., 112:190501, May 2014.

[45] C. L. Degen, F. Reinhard, and P. Cappellaro. Quantum sensing. Rev. Mod. Phys., 89:035002, Jul 2017.

[46] Seth Lloyd. Enhanced sensitivity of photodetection via quantum illumination. Science, 321(5895):1463-1465, September 2008.

[47] Si-Hui Tan, Baris I. Erkmen, Vittorio Giovannetti, Saikat Guha, Seth Lloyd, Lorenzo Maccone, Stefano Pirandola, and Jeffrey H. Shapiro. Quantum illumination with gaussian states. Phys. Rev. Lett., 101:253601, Dec 2008.

[48] X.-D. Cai, D. Wu, Z.-E. Su, M.-C. Chen, X.-L. Wang, Li Li, N.-L. Liu, C.Y. Lu, and J.-W. Pan. Entanglement-based machine learning on a quantum computer. Phys. Rev. Lett., 114:110504, Mar 2015.

[49] Zhaokai Li, Xiaomei Liu, Nanyang Xu, and Jiangfeng Du. Experimental realization of a quantum support vector machine. Phys. Rev. Lett., 114:140504, Apr 2015.

[50] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, and Sam Gutmann. A quantum approximate optimization algorithm, 2014.

[51] Jarrod R McClean, Jonathan Romero, Ryan Babbush, and Ala n Aspuru-Guzik. The theory of variational hybrid quantum-classical algorithms. New Journal of Physics, 18(2):023023, feb 2016.

[52] Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alan Aspuru-Guzik, and Jeremy L. O'Brien. A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor. Nature Communications, 5(1), jul 2014.

[53] Diego Riste, Marcus P. da Silva, Colm A. Ryan, Andrew W. Cross, Antonio D. Corcoles, John A. Smolin, Jay M. Gambetta, Jerry M. Chow, and Blake R. Johnson. Demonstration of quantum advantage in machine learning. npj Quantum Information, 3(1), April 2017.

[54] Kristan Temme, Sergey Bravyi, and Jay M. Gambetta. Error mitigation for short-depth quantum circuits. Phys. Rev. Lett., 119:180509, Nov 2017.

[55] Ying Li and Simon C. Benjamin. Efficient variational quantum simulator incorporating active error minimization. Phys. Rev. X, 7:021050, Jun 2017.

[56] Jarrod R. McClean, Mollie E. Kimchi-Schwartz, Jonathan Carter, and Wibe A. de Jong. Hybrid quantum-classical hierarchy for mitigation of decoherence and determination of excited states. Phys. Rev. A, 95:042308, Apr 2017.

[57] Suguru Endo, Simon C. Benjamin, and Ying Li. Practical quantum error mitigation for near-future applications. Phys. Rev. X, 8:031027, Jul 2018.

[58] A. A. Zhukov, S. V. Remizov, W. V. Pogosov, and Yu. E. Lozovik. Algorithmic simulation of far-from-equilibrium dynamics using quantum computer. Quantum Information Processing, 17(9), jul 2018.

[59] Seth Lloyd. Universal quantum simulators. Science, 273(5278):1073-1078, August 1996.

[60] Rapid solution of problems by quantum computation. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences, 439(1907):553-558, December 1992.

[61] Lov K. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for database search. In Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing - STOC '96. ACM Press, 1996.

[62] A. W. Harrow, A. Hassidim, and S. Lloyd. Quantum algorithm for linear systems of equations. Phys. Rev. Lett., 103:150502, 2009.

[63] S. Lloyd, M. Mohseni, and P. Rebentrost. Quantum principal component analysis. Nat. Phys., 10(9):631-633, 2014.

[64] C. Neill, P. Roushan, K. Kechedzhi, S. Boixo, S. V. Isakov, V. Smelyanskiy, R. Barends, B. Burkett, Y. Chen, Z. Chen, B. Chiaro, A. Dunsworth, A. Fowler, B. Foxen, R. Graff, E. Jeffrey, J. Kelly, E. Lucero, A. Megrant, J. Mutus, M. Neeley, C. Quintana, D. Sank, A. Vainsencher, J. Wenner, T. C. White, H. Neven, and J. M. Martinis. A blueprint for demonstrating quantum supremacy with superconducting qubits. Science, 360(6385):195-199, 2018.

[65] https://www.research.ibm.com/ibm-q/, 2019.

[66] S. J Devitt, W. J Munro, and K. Nemoto. Quantum error correction for beginners. Rep. Prog. Phys., 76(7):076001, 2013.

[67] E. F. Dumitrescu, A. J. McCaskey, G. Hagen, G. R. Jansen, T. D. Morris, T. Papenbrock, R. C. Pooser, D. J. Dean, and P. Lougovski. Cloud quantum computing of an atomic nucleus. Phys. Rev. Lett., 120:210501, May 2018.

[68] B.K. Behera, A. Banerjee, and P. K. Panigrahi. Experimental realization of quantum cheque using a five-qubit quantum computer. Quantum Inf. Proc, 16(12), November 2017.

[69] E. Huffman and A. Mizel. Violation of noninvasive macrorealism by a superconducting qubit: Implementation of a leggett-garg test that addresses the clumsiness loophole. Phys. Rev. A, 95:032131, Mar 2017.

[70] H.-Y. Ku, N. Lambert, F.-R. Jhan, C. Emary, Y.-N. Chen, and F. Nori. Experimental test of non-macrorealistic cat-states in the cloud. arXiv:1905.13454, 2019.

[71] O. M. Sotnikov and V. V. Mazurenko. Neural network agent playing spin hamiltonian games on a quantum computer. arXiv: 1904.024 67, 2019.

[72] S. Gangopadhyay, Manabputra, B. K. Behera, and P. K. Panigrahi. Generalization and demonstration of an entanglement-based deutsch-jozsa-like algorithm using a 5-qubit quantum computer. Quantum Inf. Proc., 17(7):160, May 2018.

[73] S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, and A. I. Zenchuk. Solving systems of linear algebraic equations via unitary transformations on quantum processor of IBM quantum experience. Quantum Inf. Proc., 19(2):68, January 2020.

[74] B. Foxen, C. Neill, A. Dunsworth, P. Roushan, B. Chiaro, A. Megrant, J. Kelly, Zijun Chen, K. Satzinger, R. Barends, F. Arute, K. Arya, R. Babbush,

D. Bacon, J. C. Bardin, S. Boixo, D. Buell, B. Burkett, Yu Chen, R. Collins,

E. Farhi, A. Fowler, C. Gidney, M. Giustina, R. Graff, M. Harrigan, T. Huang, S. V. Isakov, E. Jeffrey, Z. Jiang, D. Kafri, K. Kechedzhi, P. Klimov, A. Korotkov, F. Kostritsa, D. Landhuis, E. Lucero, J. McClean, M. McEwen, X. Mi, M. Mohseni, J. Y. Mutus, O. Naaman, M. Neeley, M. Niu, A. Petukhov, C. Quintana, N. Rubin, D. Sank, V. Smelyanskiy, A. Vainsencher, T. C. White, Z. Yao, P. Yeh, A. Zalcman, H. Neven, and J. M. Martinis. Demonstrating a continuous set of two-qubit gates for near-term quantum algorithms. arXiv: 2001.08343, 2020.

[75] T. D. Ladd, F. Jelezko, R. Laflamme, Y. Nakamura, C. Monroe, and J. L. O'Brien. Quantum computers. Nature, 464(7285):45-53, 2010.

[76] I. Georgescu, S. Ashhab, and F. Nori. Natural and artificial atoms for quantum computation. Rep. Prog. Phys., 74, 02 2010.

[77] I. Buluta and F. Nori. Quantum simulators. Science, 326(5949):108-111, 2009.

[78] I. M. Georgescu, S. Ashhab, and Franco Nori. Quantum simulation. Rev. Mod. Phys, 86:153-185, Mar 2014.

[79] R. Harris, M. W. Johnson, T. Lanting, A. J. Berkley, J. Johansson, P. Bunyk, E. Tolkacheva, E. Ladizinsky, N. Ladizinsky, T. Oh, F. Cioata, I. Perminov, P. Spear, C. Enderud, C. Rich, S. Uchaikin, M. C. Thom, E. M. Chapple, J. Wang, B. Wilson, M. H. S. Amin, N. Dickson, K. Karimi, B. Macready, C. J. S. Truncik, and G. Rose. Experimental investigation of an eight-qubit unit cell in a superconducting optimization processor. Phys. Rev. B, 82:024511, Jul 2010.

[80] Steven J. Weber, Gabriel O. Samach, David Hover, Simon Gustavsson, David K. Kim, Alexander Melville, Danna Rosenberg, Adam P. Sears, Fei Yan, Jonilyn L. Yoder, William D. Oliver, and Andrew J. Kerman. Coherent coupled qubits for quantum annealing. Phys. Rev. Applied, 8:014004, Jul 2017.

[81] Ю. Ожигов. Реализация квантового преобразования Фурье и моделирование волновой функции на квантовом компьютере с фиксированным непрерывным взаимодействием. Письма в ЖЭТФ, 76:746, 2002.

[82] Y. Ozhigov and L. Fedichkin. Quantum computer with fixed interaction is universal. Письма в ЖЭТФ, 77:380, 2003.

[83] S.C. Benjamin and S. Bose. Quantum computing with an always-on heisenberg interaction. Phys. Rev. Lett., 90:247901, Jun 2003.

[84] Y. Hu, Z.-W. Zhou, and G.-C. Guo. Always on non-nearest-neighbour coupling in scalable quantum computing. New J. Phys., 9(2):27-27, feb 2007.

[85] A. Martin, L. Lamata, E. Solano, and M. Sanz. Digital-analog quantum algorithm for the quantum fourier transform. arXiv: 1906.07635v1, 2019.

[86] J. M. Gambetta. Control of superconducting qubits. 44th IFF Spring School lecture notes, 86:153-185, 2013.

[87] E. Magesan and J. M. Gambetta. Effective hamiltonian models of the cross-resonance gate. arXiv:1804.04073, 2018.

[88] https://github.com/qiskit/ibmq-device-information/tree/master/backends, 2019.

[89] J. Z. Imbrie. On many-body localization for quantum spin chains. J. Stat. Phys, 163(5):998-1048, Jun 2016.

[90] D. V. Babukhin, A. A. Zhukov, and W. V. Pogosov. Nondestructive classification of quantum states using an algorithmic quantum computer. Quantum Mach. Intel, 1(3-4):87-96, 2019.

[91] X. Yin, J. Ma, X. Wang, and F. Nori. Spin squeezing under non-markovian channels by the hierarchy equation method. Phys. Rev. A, 86:012308, 2012.

[92] H.-N. Xiong, P.-Y. Lo, W.-M. Zhang, D. H. Feng, and F. Nori. Non-markovian complexity in the quantum-to-classical transition. Sci. Rep., 5(1):13353, 2015.

[93] Y. Dong, Y. Zheng, S. Li, C.-C. Li, X.-D. Chen, G.-C. Guo, and F.-W. Sun. Non-markovianity-assisted high-fidelity deutsch-jozsa algorithm in diamond. npj Quantum Inf., 4(1):3, 2018.

[94] H.-B. Chen, N. Lambert, Y.-C. Cheng, Y.-N. Chen, and F. Nori. Using non-markovian measures to evaluate quantum master equations for photosynthesis. Sci. Rep., 5(1):12753, 2015.

[95] H.-P. Breuer and F. Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford University Press, 2007.

[96] H.-P. Breuer, E.-M. Laine, and J. Piilo. Measure for the degree of non-markovian behavior of quantum processes in open systems. Phys. Rev. Lett., 103:210401, 2009.

[97] S.-L. Chen, N. Lambert, C.-M. Li, A. Miranowicz, Y.-N. Chen, and F. Nori. Quantifying non-markovianity with temporal steering. Phys. Rev. Lett., 116:020503, 2016.

[98] Z. He, H.-S. Zeng, Y. Li, Q. Wang, and C. Yao. Non-markovianity measure based on the relative entropy of coherence in an extended space. Phys. Rev. A, 96:022106, 2017.

[99] F. Liu, X. Zhou, and Z.-W. Zhou. Memory effect and non-markovian dynamics in an open quantum system. Phys. Rev. A, 99:052119, 2019.

[100] E.-M. Laine, J. Piilo, and H.-P. Breuer. Measure for the non-markovianity of quantum processes. Phys. Rev. A, 81:062115, 2010.

[101] H.-P. Breuer, E.-M. Laine, J. Piilo, and B. Vacchini. Non-markovian dynamics in open quantum systems. Rev. Mod. Phys., 88:021002, 2016.

[102] A. Kandala, A. Mezzacapo, K. Temme, M. Takita, M. Brink, J. M. Chow, and J. M. Gambetta. Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets. Nature, 549(7671):242-246, 2017.

[103] Ian D. Kivlichan, Jarrod McClean, Nathan Wiebe, Craig Gidney, Alan Aspuru-Guzik, Garnet Kin-Lic Chan, and Ryan Babbush. Quantum simulation of electronic structure with linear depth and connectivity. Phys. Rev. Lett., 120:110501, Mar 2018.

[104] Martin Dyer, Alan Frieze, and Ravi Kannan. A random polynomial-time algorithm for approximating the volume of convex bodies. J. ACM, 38(1):1-17, jan 1991.

[105] Mark Jerrum, Alistair Sinclair, and Eric Vigoda. A polynomial-time approximation algorithm for the permanent of a matrix with nonnegative entries. J. ACM, 51(4):671-697, jul 2004.

[106] Uwe Schöning. A probabilistic algorithm for k-sat and constraint satisfaction problems. In Proceedings of the 40th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, FOCS '99, page 410, USA, 1999. IEEE Computer Society.

[107] Alistair Sinclair. Algorithms for Random Generation and Counting: A Markov Chain Approach. Birkhauser Verlag, CHE, 1993.

[108] Edward Farhi and Sam Gutmann. Quantum computation and decision trees. Phys. Rev. A, 58:915-928, Aug 1998.

[109] Andrew M. Childs, Edward Farhi, and Sam Gutmann. Quantum Information Processing, 1(1/2):35-43, 2002.

[110] Andrew M. Childs, Richard Cleve, Enrico Deotto, Edward Farhi, Sam Gutmann, and Daniel A. Spielman. Exponential algorithmic speedup by a quantum walk. In Proceedings of the Thirty-Fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing, STOC '03, page 59-68, New York, NY, USA, 2003. Association for Computing Machinery.

[111] Julia Kempe. Quantum random walks hit exponentially faster. 2002.

[112] Neil Shenvi, Julia Kempe, and K. Birgitta Whaley. Quantum random-walk search algorithm. Phys. Rev. A, 67:052307, May 2003.

[113] Andris Ambainis. Quantum walk algorithm for element distinctness. 2003.

114] Andris Ambainis, Julia Kempe, and Alexander Rivosh. Coins make quantum walks faster. 2004.

115] Andrew M. Childs. Universal computation by quantum walk. Phys. Rev. Lett., 102:180501, May 2009.

116] A. M. Childs, D. Gosset, and Z. Webb. Universal computation by multiparticle quantum walk. Science, 339(6121):791-794, feb 2013.

117] Masoud Mohseni, Patrick Rebentrost, Seth Lloyd, and Ala n Aspuru-Guzik. Environment-assisted quantum walks in photosynthetic energy transfer. The Journal of Chemical Physics, 129(17):174106, nov 2008.

118] G. D. Paparo and M. A. Martin-Delgado. Google in a quantum network. Scientific Reports, 2(1), jun 2012.

119] Giuseppe Davide Paparo, Markus Miller, Francesc Comellas, and Miguel Angel Martin-Delgado. Quantum google in a complex network. Scientific Reports, 3(1), oct 2013.

120] Leonid Fedichkin, Dmitry Solenov, and Christino Tamon. Mixing and decoherence in continuous-time quantum walks on cycles, 2005.

121] Dmitry Solenov and Leonid Fedichkin. Nonunitary quantum walks on hypercycles. Physical Review A, 73(1), January 2006.

122] Dmitry Solenov and Leonid Fedichkin. Continuous-time quantum walks on a cycle graph. Physical Review A, 73(1), January 2006.

123] Ming Gong, Shiyu Wang, Chen Zha, Ming-Cheng Chen, He-Liang Huang, Yulin Wu, Qingling Zhu, Youwei Zhao, Shaowei Li, Shaojun Guo, Haoran Qian, Yangsen Ye, Fusheng Chen, Chong Ying, Jiale Yu, Daojin Fan, Dachao Wu, Hong Su, Hui Deng, Hao Rong, Kaili Zhang, Sirui Cao, Jin Lin, Yu Xu, Lihua Sun, Cheng Guo, Na Li, Futian Liang, V. M. Bastidas, Kae Nemoto, W. J. Munro, Yong-Heng Huo, Chao-Yang Lu, Cheng-Zhi Peng, Xiaobo Zhu, and Jian-Wei Pan. Quantum walks on a programmable two-dimensional 62-qubit superconducting processor. Science, 372(6545):948-952, may 2021.

[124] Sougato Bose. Quantum communication through an unmodulated spin chain. Physical Review Letters, 91(20), nov 2003.

[125] Claudio Albanese, Matthias Christandl, Nilanjana Datta, and Artur Ekert. Mirror inversion of quantum states in linear registers. Physical Review Letters, 93(23), nov 2004.

[126] Matthias Christandl, Nilanjana Datta, Tony C. Dorlas, Artur Ekert, Alastair Kay, and Andrew J. Landahl. Perfect transfer of arbitrary states in quantum spin networks. Physical Review A, 71(3), mar 2005.

[127] Matthias Christandl, Nilanjana Datta, Artur Ekert, and Andrew J. Landahl. Perfect state transfer in quantum spin networks. Physical Review Letters, 92(18), may 2004.

[128] Peter Karbach and Joachim Stolze. Spin chains as perfect quantum state mirrors. Physical Review A, 72(3), sep 2005.

[129] Robert J. Chapman, Matteo Santandrea, Zixin Huang, Giacomo Corrielli, Andrea Crespi, Man-Hong Yung, Roberto Osellame, and Alberto Peruzzo. Experimental perfect state transfer of an entangled photonic qubit. Nature Communications, 7(1), apr 2016.

[130] Jingfu Zhang, Gui Lu Long, Wei Zhang, Zhiwei Deng, Wenzhang Liu, and Zhiheng Lu. Simulation of heisenberg xy interactions and realization of a perfect state transfer in spin chains using liquid nuclear magnetic resonance. Physical Review A, 72(1), jul 2005.

[131] Peng Xu, Xu-Chen Yang, Feng Mei, and Zheng-Yuan Xue. Controllable high-fidelity quantum state transfer and entanglement generation in circuit QED. Scientific Reports, 6(1), jan 2016.

[132] S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, and A. I. Zenchuk. Simulation of three-spin evolution under xx hamiltonian on quantum processor of ibm-quantum experience. 2021.

[133] Jian-Ming Cai, Zheng-Wei Zhou, and Guang-Can Guo. Decoherence effects on the quantum spin channels. Physical Review A, 74(2), aug 2006.

[134] Lan Zhou, Jing Lu, Tao Shi, and C. P. Sun. Decoherence problem in quantum state transfer via an engineered spin chain, 2006.

[135] Alastair Kay. Perfect efficient state transfer and its application as a constructive tool. International Journal of Quantum Information, 08(04):641-676, jun 2010.

[136] Rebekah Herrman and Travis S. Humble. Continuous-time quantum walks on dynamic graphs. Physical Review A, 100(1), jul 2019.

[137] J. Preskill. Quantum computing in the NISQ era and beyond. Quantum, 2:79, 2018.

[138] Adam Smith, M. S. Kim, Frank Pollmann, and Johannes Knolle. Simulating quantum many-body dynamics on a current digital quantum computer. npj Quantum Information, 5(1), November 2019.

[139] Easwar Magesan and Jay M. Gambetta. Effective hamiltonian models of the cross-resonance gate. Physical Review A, 101(5), may 2020.

[140] Bradley K. Mitchell, Ravi K. Naik, Alexis Morvan, Akel Hashim, John Mark Kreikebaum, Brian Marinelli, Wim Lavrijsen, Kasra Nowrouzi, David I. Santiago, and Irfan Siddiqi. Hardware-efficient microwave-activated tunable coupling between superconducting qubits. Physical Review Letters, 127(20), nov 2021.

[141] K. X. Wei, E. Magesan, I. Lauer, S. Srinivasan, D. F. Bogorin, S. Carnevale, G. A. Keefe, Y. Kim, D. Klaus, W. Landers, N. Sundaresan, C. Wang, E. J. Zhang, M. Steffen, O. E. Dial, D. C. McKay, and A. Kandala. Quantum crosstalk cancellation for fast entangling gates and improved multi-qubit performance, 2021.

[142] M. Mohseni, A. T. Rezakhani, and D. A. Lidar. Quantum-process tomography: Resource analysis of different strategies. Physical Review A, 77(3), mar 2008.

[143] George C. Knee, Eliot Bolduc, Jonathan Leach, and Erik M. Gauger. Quantum process tomography via completely positive and trace-preserving projection. Physical Review A, 98(6), dec 2018.

[144] Y. S. Teo, G. I. Struchalin, E. V. Kovlakov, D. Ahn, H. Jeong, S. S. Straupe, S. P. Kulik, G. Leuchs, and L. L. Sanchez-Soto. Objective compressive quantum process tomography. Phys. Rev. A, 101:022334, Feb 2020.

[145] D. V. Babukhin, A. A. Zhukov, and W. V. Pogosov. Nondestructive classification of quantum states using an algorithmic quantum computer. Quantum Machine Intelligence, 1(3-4):87-96, nov 2019.

[146] Vojtech Havlicek, Antonio D. Corcoles, Kristan Temme, Aram W. Harrow, Abhinav Kandala, Jerry M. Chow, and Jay M. Gambetta. Supervised learning with quantum-enhanced feature spaces. Nature, 567(7747):209-212, mar 2019.

[147] Christa Zoufal, Aurelien Lucchi, and Stefan Woerner. Quantum generative adversarial networks for learning and loading random distributions. npj Quantum Information, 5(1), nov 2019.

[148] Pauline J. Ollitrault, Abhinav Kandala, Chun-Fu Chen, Panagiotis Kl. Barkoutsos, Antonio Mezzacapo, Marco Pistoia, Sarah Sheldon, Stefan Woerner, Jay M. Gambetta, and Ivano Tavernelli. Quantum equation of motion for computing molecular excitation energies on a noisy quantum processor. Physical Review Research, 2(4), oct 2020.

[149] Adriano Macarone Palmieri, Egor Kovlakov, Federico Bianchi, Dmitry Yudin, Stanislav Straupe, Jacob D. Biamonte, and Sergei Kulik. Experimental neural network enhanced quantum tomography. npj Quantum Information, 6(1), feb 2020.

[150] Andrey Zhukov and Walter Pogosov. Quantum error reduction with deep neural network applied at the post-processing stage. Quantum Information Processing, 21(3), feb 2022.

[151] Aram W. Harrow, Avinatan Hassidim, and Seth Lloyd. Quantum algorithm for linear systems of equations. Physical Review Letters, 103(15), October 2009.

[152] B. D. Clader, B. C. Jacobs, and C. R. Sprouse. Preconditioned quantum linear system algorithm. Phys. Rev. Lett., 110:250504, Jun 2013.

[153] Yu-Ao Chen and Xiao-Shan Gao. Quantum algorithms for boolean equation solving and quantum algebraic attack on cryptosystems, 2017.

[154] Yu-Ao Chen, Xiao-Shan Gao, and Chun-Ming Yuan. Quantum algorithm for optimization and polynomial system solving over finite field and application to cryptanalysis, 2018.

[155] Weijie Liu and Juntao Gao. Quantum security of grain-128/grain-128a stream cipher against hhl algorithm. Quantum Information Processing, 20(10), oct 2021.

[156] Ana Martin, Ruben Ibarrondo, and Mikel Sanz. Digital-analog co-design of the harrow-hassidim-lloyd algorithm, 2022.

[157] Stefanie Barz, Ivan Kassal, Martin Ringbauer, Yannick Ole Lipp, Borivoje Dakic, Alan Aspuru-Guzik, and Philip Walther. A two-qubit photonic quantum processor and its application to solving systems of linear equations. Scientific Reports, 4(1):6115, aug 2014.

[158] Jian Pan, Yudong Cao, Xiwei Yao, Zhaokai Li, Chenyong Ju, Hongwei Chen, Xinhua Peng, Sabre Kais, and Jiangfeng Du. Experimental realization of

quantum algorithm for solving linear systems of equations. Phys. Rev. A, 89:022313, feb 2014.

[159] X.-D. Cai, C. Weedbrook, Z.-E. Su, M.-C. Chen, Mile Gu, M.-J. Zhu, Li Li, Nai-Le Liu, Chao-Yang Lu, and Jian-Wei Pan. Experimental quantum computing to solve systems of linear equations. Phys. Rev. Lett., 110:230501, jun 2013.

[160] Gilles Brassard, Peter Hoyer, Michele Mosca, and Alain Tapp. Quantum amplitude amplification and estimation, 2002.

[161] Andris Ambainis. Variable time amplitude amplification and a faster quantum algorithm for solving systems of linear equations, 2010.

[162] Andrew M. Childs, Robin Kothari, and Rolando D. Somma. Quantum algorithm for systems of linear equations with exponentially improved dependence on precision. SIAM Journal on Computing, 46(6):1920-1950, jan

2017.

[163] Leonard Wossnig, Zhikuan Zhao, and Anupam Prakash. Quantum linear system algorithm for dense matrices. Physical Review Letters, 120(5), jan

2018.

[164] Pedro C.S. Costa, Dong An, Yuval R. Sanders, Yuan Su, Ryan Babbush, and Dominic W. Berry. Optimal scaling quantum linear-systems solver via discrete adiabatic theorem. PRX Quantum, 3:040303, Oct 2022.

[165] Andrew M. Childs, Jin-Peng Liu, and Aaron Ostrander. High-precision quantum algorithms for partial differential equations. Quantum, 5:574, nov 2021.

[166] Bojia Duan, Jiabin Yuan, Chao-Hua Yu, Jianbang Huang, and Chang-Yu Hsieh. A survey on hhl algorithm: From theory to application in quantum machine learning. Physics Letters A, 384(24):126595, aug 2020.

[167] Dominic W. Berry, Andrew M. Childs, and Robin Kothari. Hamiltonian simulation with nearly optimal dependence on all parameters. In 2015 IEEE 56th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. IEEE, oct 2015.

[168] Youngseok Kim, Andrew Eddins, Sajant Anand, Ken Xuan Wei, Ewout van den Berg, Sami Rosenblatt, Hasan Nayfeh, Yantao Wu, Michael Zaletel,

Kristan Temme, and Abhinav Kandala. Evidence for the utility of quantum computing before fault tolerance. Nature, 618(7965):500-505, June 2023.

[169] Zhenyu Cai, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, William J. Huggins, Ying Li, Jarrod R. McClean, and Thomas E. O'Brien. Quantum error mitigation. 2023.

[170] Kristan Temme, Sergey Bravyi, and Jay M. Gambetta. Error mitigation for short-depth quantum circuits. Physical Review Letters, 119(18), November 2017.

[171] Zhenyu Cai. Quantum error mitigation using symmetry expansion. Quantum, 5:548, September 2021.

[172] William J. Huggins, Sam McArdle, Thomas E. O'Brien, Joonho Lee, Nicholas C. Rubin, Sergio Boixo, K. Birgitta Whaley, Ryan Babbush, and Jarrod R. McClean. Virtual distillation for quantum error mitigation. Physical Review X, 11(4), November 2021.

[173] Zhenyu Cai. A practical framework for quantum error mitigation. 2023.

[174] Piotr Czarnik, Andrew Arrasmith, Patrick J. Coles, and Lukasz Cincio. Error mitigation with clifford quantum-circuit data. Quantum, 5:592, November 2021.

[175] Piotr Czarnik, Michael McKerns, Andrew T. Sornborger, and Lukasz Cincio. Improving the efficiency of learning-based error mitigation. 2022.

[176] Angus Lowe, Max Hunter Gordon, Piotr Czarnik, Andrew Arrasmith, Patrick J. Coles, and Lukasz Cincio. Unified approach to data-driven quantum error mitigation. Physical Review Research, 3(3), July 2021.

[177] Andrey Zhukov and Walter Pogosov. Quantum error reduction with deep neural network applied at the post-processing stage. Quantum Information Processing, 21(3), February 2022.

[178] ChangWon Lee and Daniel K. Park. Scalable quantum measurement error mitigation via conditional independence and transfer learning. 2023.

[179] Daniel Bultrini, Max Hunter Gordon, Piotr Czarnik, Andrew Arrasmith, M. Cerezo, Patrick J. Coles, and Lukasz Cincio. Unifying and benchmarking state-of-the-art quantum error mitigation techniques. Quantum, 7:1034, June 2023.

[180] Haoran Liao, Derek S. Wang, Iskandar Sitdikov, Ciro Salcedo, Alireza Seif, and Zlatko K. Minev. Machine learning for practical quantum error mitigation, 2023.

[181] R. Feynmann. Simulating physics with computers. Int. J. Theor. Phys., 21:467, 1982.

[182] Adam Smith, M. S. Kim, Frank Pollmann, and Johannes Knolle. Simulating quantum many-body dynamics on a current digital quantum computer. npj Quantum Information, 5(1), November 2019.

[183] Glen Bigan Mbeng, Angelo Russomanno, and Giuseppe E. Santoro. The quantum ising chain for beginners. 2020.

[184] Xiao Mi, Matteo Ippoliti, Chris Quintana, Ami Greene, Zijun Chen, Jonathan Gross, Frank Arute, Kunal Arya, Juan Atalaya, Ryan Babbush, Joseph C. Bardin, Joao Basso, Andreas Bengtsson, Alexander Bilmes, Alexandre Bourassa, Leon Brill, Michael Broughton, Bob B. Buckley, David A. Buell, Brian Burkett, Nicholas Bushnell, Benjamin Chiaro, Roberto Collins, William Courtney, Dripto Debroy, Sean Demura, Alan R. Derk, Andrew Dunsworth, Daniel Eppens, Catherine Erickson, Edward Farhi, Austin G. Fowler, Brooks Foxen, Craig Gidney, Marissa Giustina, Matthew P. Harrigan, Sean D. Harrington, Jeremy Hilton, Alan Ho, Sabrina Hong, Trent Huang, Ashley Huff, William J. Huggins, L. B. Ioffe, Sergei V. Isakov, Justin Iveland, Evan Jeffrey, Zhang Jiang, Cody Jones, Dvir Kafri, Tanuj Khattar, Seon Kim, Alexei Kitaev, Paul V. Klimov, Alexander N. Korotkov, Fedor Kostritsa, David Landhuis, Pavel Laptev, Joonho Lee, Kenny Lee, Aditya Locharla, Erik Lucero, Orion Martin, Jarrod R. McClean, Trevor McCourt, Matt McEwen, Kevin C. Miao, Masoud Mohseni, Shirin Montazeri, Wojciech Mruczkiewicz, Ofer Naaman, Matthew Neeley, Charles Neill, Michael Newman, Murphy Yuezhen Niu, Thomas E. O'Brien, Alex Opremcak, Eric Ostby, Balint Pato, Andre Petukhov, Nicholas C. Rubin, Daniel Sank, Kevin J. Satzinger, Vladimir Shvarts, Yuan Su, Doug Strain, Marco Szalay, Matthew D. Trevithick, Benjamin Villalonga, Theodore White, Z. Jamie Yao, Ping Yeh, Juhwan Yoo, Adam Zalcman, Hartmut Neven, Sergio Boixo, Vadim Smelyanskiy, Anthony Megrant, Julian Kelly, Yu Chen, S. L. Sondhi, Roderich Moessner, Kostyantyn Kechedzhi, Vedika Khemani, and Pedram Roushan. Time-crystalline eigenstate order on a quantum processor. Nature, 601(7894):531-536, November 2021.

[185] I-Chi Chen, Benjamin Burdick, Yongxin Yao, Peter P. Orth, and Thomas Iadecola. Error-mitigated simulation of quantum many-body scars on quantum computers with pulse-level control. Physical Review Research, 4(4), October 2022.

[186] Naomichi Hatano and Masuo Suzuki. Finding Exponential Product Formulas of Higher Orders, pages 37-68. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2005.

[187] Pankaj Mehta, Marin Bukov, Ching-Hao Wang, Alexandre G.R. Day, Clint Richardson, Charles K. Fisher, and David J. Schwab. A high-bias, low-variance introduction to machine learning for physicists. Physics Reports, 810:1-124, May 2019.

[188] Adriano Macarone Palmieri, Egor Kovlakov, Federico Bianchi, Dmitry Yudin, Stanislav Straupe, Jacob D. Biamonte, and Sergei Kulik. Experimental neural network enhanced quantum tomography. npj Quantum Information, 6(1), February 2020.

[189] Marcel Neugebauer, Laurin Fischer, Alexander Jager, Stefanie Czischek, Selim Jochim, Matthias Weidemuller, and Martin Garttner. Neural-network quantum state tomography in a two-qubit experiment. Physical Review A, 102(4), October 2020.

[190] Marin Bukov, Alexandre G. R. Day, Dries Sels, Phillip Weinberg, Anatoli Polkovnikov, and Pankaj Mehta. Reinforcement learning in different phases of quantum control. Physical Review X, 8(3), September 2018.

[191] Changjun Kim, Kyungdeock Daniel Park, and June-Koo Rhee. Quantum error mitigation with artificial neural network. IEEE Access, 8:188853-188860, 2020.

[192] Jihye Kim, Byungdu Oh, Yonuk Chong, Euyheon Hwang, and Daniel K Park. Quantum readout error mitigation via deep learning. New Journal of Physics, 24(7):073009, July 2022.

[193] Michael A. Nielsen. Neural networks and deep learning, 2018.

[194] L. Allen and J.H. Eberly. Optical Resonance and Two-level Atoms. Ballard CREOL collection. Wiley, 1975.

[195] E. L. Hahn. Spin echoes. Phys. Rev., 80:580-594, Nov 1950.

[196] I. D. Abella, N. A. Kurnit, and S. R. Hartmann. Photon echoes. Phys. Rev., 141:391-406, Jan 1966.

[197] Asher Peres. Stability of quantum motion in chaotic and regular systems. Phys. Rev. A, 30:1610-1615, Oct 1984.

[198] Arseni Wisniacki. Loschmidt echo. Scholarpedia, 7(8):11687, 2012.

[199] Maksym Serbyn and Dmitry A. Abanin. Loschmidt echo in many-body localized phases. Physical Review B, 96(1), July 2017.

[200] Joseph Emerson, Robert Alicki, and Karol Zyczkowski. Scalable noise estimation with random unitary operators. Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 7(10):S347-S352, September 2005.

[201] E. Knill, D. Leibfried, R. Reichle, J. Britton, R. B. Blakestad, J. D. Jost, C. Langer, R. Ozeri, S. Seidelin, and D. J. Wineland. Randomized benchmarking of quantum gates. Physical Review A, 77(1), January 2008.

[202] Easwar Magesan, J. M. Gambetta, and Joseph Emerson. Scalable and robust randomized benchmarking of quantum processes. Physical Review Letters, 106(18), May 2011.

[203] Stefano Barison, Filippo Vicentini, and Giuseppe Carleo. An efficient quantum algorithm for the time evolution of parameterized circuits. Quantum, 5:512, July 2021.

[204] Daniel Bultrini and Oriol Vendrell. Mixed quantum-classical dynamics for near term quantum computers, 2023.

[205] Diederik P. Kingma and Jimmy Ba. Adam: A method for stochastic optimization. 2017.

[206] D. V. Babukhin and W. V. Pogosov. The effect of quantum noise on algorithmic perfect quantum state transfer on NISQ processors. Quantum Information Processing, 21(1), December 2021.

[207] Kento Tsubouchi, Takahiro Sagawa, and Nobuyuki Yoshioka. Universal cost bound of quantum error mitigation based on quantum estimation theory. 2023.

[208] Alexander M. Dalzell, Nicholas Hunter-Jones, and Fernando G. S. L. Brandao. Random quantum circuits transform local noise into global white noise. 2021.

[209] Andrey Zhukov and Walter Pogosov. Quantum error mitigation in the regime of high noise using deep neural network: Trotterized dynamics. Quantum Information Processing, 23(3), February 2024.

[210] Bichen Zhang, Swarnadeep Majumder, Pak Hong Leung, Stephen Crain, Ye Wang, Chao Fang, Dripto M. Debroy, Jungsang Kim, and Kenneth R. Brown. Hidden inverses: Coherent error cancellation at the circuit level. Physical Review Applied, 17(3), March 2022.

[211] Noah Kaufmann, Ivan Rojkov, and Florentin Reiter. Characterization of coherent errors in noisy quantum devices, 2023.

[212] Swarnadeep Majumder, Christopher G. Yale, Titus D. Morris, Daniel S. Lobser, Ashlyn D. Burch, Matthew N. H. Chow, Melissa C. Revelle, Susan M. Clark, and Raphael C. Pooser. Characterizing and mitigating coherent errors in a trapped ion quantum processor using hidden inverses. Quantum, 7:1006, May 2023.

[213] Joel J. Wallman and Joseph Emerson. Noise tailoring for scalable quantum computation via randomized compiling. Physical Review A, 94(5), November 2016.

[214] Hugo Perrin, Thibault Scoquart, Alexander Shnirman, Jorg Schmalian, and Kyrylo Snizhko. Mitigating crosstalk errors by randomized compiling: Simulation of the bcs model on a superconducting quantum computer. Physical Review Research, 6(1), February 2024.

[215] Siyuan Niu, Aida Todri-Sanial, and Nicholas T. Bronn. Multi-qubit dynamical decoupling for enhanced crosstalk suppression, 2024.

[216] Bram Evert, Zoe Gonzalez Izquierdo, James Sud, Hong-Ye Hu, Shon Grabbe, Eleanor G. Rieffel, Matthew J. Reagor, and Zhihui Wang. Syncopated dynamical decoupling for suppressing crosstalk in quantum circuits, 2024.