Численные методы решения обратных задач для некоторых моделей популяции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Макеев, Алексей Сергеевич

• Макеев, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макеев, Алексей Сергеевич

1 Введение

2 Глава 1. Обратные задачи определения одного из коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов.

2.1 Модель популяции с постоянной скоростью роста объектов.

2.2 Задача определения скорости смертности объектов ц{х) и итерационный метод ее решения.

2.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента fi(x).

2.4 Численные результаты решения задачи нахождения коэффициента ц(х).

2.5 Задача определения плотности начального распределения объектов ц>(х) и итерационный метод ее решения.

2.6 Метод регуляризации Тихонова для нахождения плотности <р(х).

2.7 Численные результаты решения задачи нахождения начальной плотности ip(x).

3 Глава 2. Обратная задача одновременного определения двух неизвестных коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов.

3.1 Задача одновременного определения скорости смертности объектов ц(х) и плотности их начального распределения Ф).

3.2 Итерационные методы для определения коэффициента ц(х).

3.3 Итерационные методы для определения плотности <р(х).

3.4 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента ц(х) и плотности ip(x).

3.5 Численные результаты решения задачи одновременного нахождения коэффициента ц(х) и плотности <р{х).

4 Глава 3. Обратная задача определения скорости роста объектов в модели популяции с переменной скоростью роста объектов.

4.1 Модель популяции с переменной скоростью роста объектов.

4.2 Задача определения скорости роста объектов д(х) и итерационный метод ее решения.

4.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента д(х).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения обратных задач для некоторых моделей популяции»

В настоящее время одной из наиболее важных сфер приложения математических методов является биология. Многообразие и сложность возникающих в биологии задач обуславливают необходимость использования численных методов и современных ЭВМ для их решения. Математическое моделирование используется при исследовании разнообразных биологических процессов. При этом, во многих случаях некоторые параметры математических моделей, являющиеся важными характеристиками изучаемого процесса, неизвестны и могут быть определены только на основе косвенных измерений. Это означает, что необходимо решать обратные задачи состоящие в определении параметров математических моделей по имеющейся дополнительной информации о решении соответствующих задач.

Теория обратных задач - одна из быстро развивающихся областей современной математики. Обратные задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов, ставящих своей целью исследование различных свойств физических объектов и процессов, вызывающих затруднение для непосредственного наблюдения. Одна из основных сложностей, возникающая при решении обратных задач, состоит в том. что по большей части такие задачи являются некорректно поставленными. Решение обратных задач может не существовать, быть не единственным и быть неустойчивым по отношению к изменениям исходных данных. Это создает существенные трудности при решении обратных задач поскольку дополнительная информация известна не точно, а лишь приближенно. Поэтому построение устойчивых численных методов решения обратных задач имеет большое значение. Развитие теории и методов решения некорректных задач началось с фундаментальной работы А.Н.Тихонова [24]. в которой был предложен принцип устойчивого решения обратных задач. В дальнейшем теория обратных задач и методы их решения были развиты в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева. В.К.Иванова и целого ряда других авторов [2], [3], [6]. [8], [12], [13], [15], [19], [20], [23], [25], [27], [28], [29].

Важным направлением в математическом моделировании биологических процессов являются популяционные модели, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных. Модели популяции биологических объектов описывают поведение совокупности объектов, которая задается функцией плотности объектов. Плотность объектов популяции характеризуется параметром, которым объекты отличаются друг от друга, это может быть размер или возраст объекта, и временем. Итак, функция плотности объектов популяции - это плотность объектов определенного размера (возраста) в момент времени. Также моделями популяции описываются биологические процессы, которым подвержены объекты популяции, например, смертность объектов, их рождаемость, рост объектов во времени и многие другие. Количество коэффициентов описывающих поведение объектов модели может варьироваться от двух-трех до десятков. В настоящее время в этой области поставлено и исследовано большое количество моделей популяций биологических объектов.

Рассмотрим некоторые модели популяций. В работе [50] изучена одна из моделей популяций, в которой учитываются только две характеристики объектов — смертность и рождаемость. п(а, t)а + п(а, t)t = —/i(a)n(a, t). Aq < a < a\. 0 < t, ai n(0.t) = J q(s)n(s,t)ds, 0 < t, a0 n(a, 0) = no (a), ao < a < a j, где n(a, t) — плотность объектов возраста а в момент времени t, ji(a) — коэффициент скорости смертности объектов, Lp(a) — начальное распределение плотности объектов и g(a) - относительный коэффициент скорости рождения объектов. Следует заметить, что переменную а можно трактовать и как возраст объектов популяции, и как размер объектов популяции, тогда при одинаковой математической записи можно получить две разные по смыслу описываемых физических процессов модели.

В работе [43] в вышеописанную модель добавляется характеристика д(х). описывающая скорость роста объектов популяции. и(х, t)f, + (д(х)и(х. t))x = -fi(x)u(x, t). О < х < 1, t > О, 1 p(0)u(0, t) = J q(s)u(s. t)ds, t > 0, о u{x,0)=(p{x), 0<x<l.

В данном случае переменная х описывает размер объекта популяции.

В ряде математических моделей популяций учитывается вероятностный характер популяционных процессов, например, таких как вероятность соединения двух объектов популяции в один или вероятность разделения одного объекта на два меньших по размеру [32].[36]. Некоторые другие модели популяций биологических объектов можно найти в [33], [34], [35], [40], [41], [42], [44].

Для моделей популяции биологических объектов ставятся обратные задачи, состоящие в определении неизвестных коэффициентов модели по дополнительной информации о решении краевой задачи. Не смотря на то, что широко применяются различные математические подходы и методы к решению популяционных задач, обратные задачи определения неизвестных коэффициентов для этих моделей исследованы в меньшей степени. Поэтому постановка и исследование таких обратных задач, а так же построение численных методов решения обратных задач для моделей популяций видятся актуальными для развития математических методов анализа биологических процессов.

В работе [32] и некоторых других ставятся обратные задачи определения неизвестных коэффициентов моделей популяции. Так в [32] обосновывается применение метода наименьших квадратов для определения скорости роста объектов, относительной скорости рождения объектов, вероятностей соединения и разделения объектов по дополнительной информации о структуре популяции в некоторые моменты времени.

Диссертационная работа посвящена исследованию и численному решению некоторых обратных задач для двух моделей популяции биологических объектов. Такие модели популяций возникают при исследовании свойств популяций фитопланктонов, являющихся одними из важных участников производственного процесса в мировом океане [35],[43].[44],[50],[51]. Из-за увеличения содержания углекислого газа в земной атмосфере и его влияния на глобальное изменение климата, важно понимать поведение популяций фитопланктонов, участвующих в процессе переработки углерода в мировом океане, Поэтому изучение задач такого типа представляет несомненный интерес как с практической так и с теоретической точки зрения. Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава посвящена обратным задачам для модели популяции биологических объектов с постоянной скоростью роста и разработке численных методов их решения.

В первом параграфе рассмотрена модель популяции биологических описываемая уравнением щ + их = -ф)и, 0<х<1, 0 < t < 1, (1) краевым условием 1 u(0,t) = J q{s)u{s,t)d.s., 0 <t <1. (2) о и начальным условием ф,0) = ф), 0<х<1, (3) где u(x,t) — плотность объектов размера х в момент времени t, fi(x) — коэффициент скорости смертности объектов. <р(х) — начальное распределение плотности объектов и q(x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Для модели (1)-(3) рассмотрены две обратные задачи. Обратные задачи состоят в определении коэффициента скорости смертности объектов ц(х) или плотности начального распределения объектов (р(х) по дополнительной информации о плотности популяции; являющейся функцией времени и имеющей вид u{x0.t) = c(t), 0<х0<1, 0<£<1, (4) где c(t) известная положительная функция и xq фиксированная точка.

Во втором параграфе строится итерационный метод для численного определения коэффициента /л(х) по дополнительной информации (4). Для этого задача (Г)-(4) сводится к нелинейному интегральному уравнению для функции ji{x). На основании полученного уравнения строится итерационный метод и доказывается теорема о его сходимости при некоторых ограничениях на известные функции q(x) и (р(х) на классе непрерывных функций ц{х).

В третьем параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции fi(x) для обратной задачи (1)-(4). Для этого получена оценка устойчивости решения и(х, t) задачи (1)-(3) по коэффициенту fi(x).

В четвертом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи нахождения коэффициента ц{х).

В пятом параграфе строится итерационный метод для численного определения коэффициента ip(x) по дополнительной информации (4). Для этого задача (1)-(4) сводится к интегральному уравнению Вольтер-ра 2-го рода для функции (р(х).

В шестом параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции ip(x) для обратной задачи

1)-(4).

В седьмом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи нахождения коэффициента ip(x).

Во второй главе изложены, методы численного решения обратной задачи одновременного определения двух коэффициентов для модели популяции с постоянной скоростью роста.

В первом параграфе поставлена обратная задача, состоящая в одновременном определении коэффициента скорости смертности объектов jj,{x) и плотности начального распределения объектов ip(x) по дополнительной информации о плотности популяции, имеющей вид и(0, t) = a{t), 0<t<l, и{ 1, t) = bit), 0 < t < 1, (5) где a(t) и b(t) известные положительные функции.

Во втором параграфе выводятся два итерационных метода для численного нахождения функции ц(х) для случая непрерывности решения задачи (1)-(3) и случая его разрыва на диагонали х = t Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции. Показано, что неизвестная функция (р(х) может быть найдена из некоторого уравнения при подстановке в него полученной с помощью итерационных методов функции /л(х).

В третьем параграфе, таким же как и во втором параграфе образом, строятся два итерационных метода для численного нахождения функции <р(х). Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции.

В четвертом параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для решения обратной задачи (1)-(3),(5). Для этого получена оценка устойчивости решения u(x,t) задачи (1)-(3) по коэффициентам ji{x) и <р(х).

В пятом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи одновременного нахождения коэффициента <р(х) и плотности <р(х).

Третья глава посвящена обратной задаче для модели популяции биологических объектов с переменной скоростью роста.

В первом параграфе рассмотрена модель популяции биологических описываемая уравнением

Щ + (ди)х = -/ли, 0 < х- < 1, t> 0, (6) краевым условием 1

0)u(0, t) = f q{s)u{s, t)ds, t > 0. (7) о и начальным условием и{х, 0) = ф), 0 <х < 1, (8) где u(x.t) — плотность объектов размера' х в момент времени t, д(х) — коэффициент скорости роста объектов, ф) — коэффициент скорости смертности объектов. <р(х) — начальное распределение плотности объектов и q(x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Обратная задача состоит в определении коэффициента скорости роста объектов д(х) по дополнительной информации о плотности популяции. являющейся функцией времени и имеющей вид и{х о, t) = c(t), 0 < х0 < 1, 0<t<l, (9) где c(t) известная положительная функция и xq фиксированная точка.

Во втором параграфе строятся итерационные метода для численного определения коэффициента д(х) по дополнительной информации (9). Метод решения основан на выводе нелинейного интегрального уравнения для функции д(х) сначала на отрезке [О.жо], а затем построении другого нелинейного интегрального уравнения для определения этой функции па отрезке [xq. 1]. На основе обоих нелинейных интегральных уравнений построены итерационные методы и доказаны теоремы устанавливающие условия сходимости итерационных методов при некоторых ограничениях наложенных на известные функции.

В третьем параграфе главы для определения неизвестной функции д(х) применяется метод регуляризации Тихонова.

Для всех рассмотренных численных методов решения обратных задач приведены результаты вычислительных экспериментов, показавшие эффективность разработанных численных методов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], [11], [16], [17], [18].

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Макеев, Алексей Сергеевич

5 Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Поставлены и исследованы обратные задачи для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов, состоящие в определении скорости смертности объектов или плотности их начального распределения. Получены интегральные уравнения для неизвестных функций. Предложены, обоснованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного определения неизвестных коэффициентов.

2. Изучена обратная задача одновременного определения скорости смертности объектов и плотности их начального распределения для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. Исследованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного решения обратной задачи.

3. Поставлена и исследована обратная задача для математической модели популяции с переменной неизвестной скоростью роста биологических объектов, Выведены нелинейные интегральные уравнения для функции скорости роста, предложены, обоснованы и реализованы численные методы для решения обратной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макеев, Алексей Сергеевич, 2006 год

1. Агошков В,И, Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М: ИВМ РАН, 2003.

2. Бакушинский А.Б. Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М: Наука. 1989.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский АВ. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

4. Братусъ А. С., Новожилов А.С., Мещсрин АВ. Математические модели взаимодействия загрязнений с окружающей средой // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и киберн. 2001. 1. С.23-28.

5. Братусъ А. С. О свойствах решений одного класса изоперимет-рических задач оптимизации устойчивости // Прикл. Матем. и Мех. 1994. 54. 28. С. 86-95.

6. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1983.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1988.

8. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М: Изд-во Моск. ун-та, 1994.

9. Денисов A.M. Макеев А.С. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМиМФ. 2004. 44. №8. С.1480-1489.

10. Денисов A.M. Макеев А.С. Обратная задача для модели популяции // Тез. докл. VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва. МГУ, ф-т ВМиК. М: МАКС Пресс, 2003. С.20.

11. Денисов A.M., Макеев А. С. Численный метод решения обратной задачи для модели популяции // ЖВМиМФ. 2006. 46. .№3. С.490-500.

12. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. // Матем. сб. 1963. 61. 2. С. 211-223.

13. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М: Наука, 1978.

14. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968.

15. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

16. Макеев А. С. Методы решения обратных задач для модели популяции // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и киберн. 2005. .№3. С.3-16.

17. Макеев А. С. О численном решении двух обратных задач для модели популяции // Материал Международ, конф. студ. и ас-пиран. по фундамент, наукам "Ломоносов 2005", секция "Вычислительная математика и кибернетика". Москва, МГУ. М: МАКС Пресс, 2005. С.36.

18. Макеев А. С. Применение метода регуляризации Тихонова для решения обратных задач для двух моделей популяции // Прикл. матем. и информ. 2006. №23. С.5-14.

19. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М: Наука, 1987.

20. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М: Наука, 1984.

21. Самарский А.А. Теория разностных схем. М: Наука, 1989.

22. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М; Наука,1989.

23. Тихонов А.Н.О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. 153. 1. С.49-52.

24. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. 39. т.5. С.195-198.

25. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1974.

26. Тихонов А.Н. Васильева А.В. Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М: Наука, 1980.

27. Тихонов А.Н. Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгортмы и априорная информация. М: Наука, 1983.

28. Тихонов А.Н., Гончарский А.В. Степанов В.В. Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М: Наука,1990.

29. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М: Наука, 1995.

30. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, 1977.

31. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М: Наука. 2001.

32. Ackleh A.S. Parameter estimation in size-structured coagulation-fragmentation phytoplankton population model // Nonlinear Anal. 1997. 28. P.837-854.

33. Ackleh A.S. Parameter estimation in the nonlinear size-structured population model // Advances in Systems Science and Applications. Special Issue. 1997. P. 315-320.

34. Ackleh A.S. Parameter identification in size-structured population models with nonlinear individual rates // Math. Comput. Modelling. 1999. 30. P.81-92.

35. Ackleh A.S.} Deng K. Monotone method for first order nonlocal hyperbolic initial-boundary value problems // Applic. Analys. 1997. 67. P.283-293.

36. Ackleh A.S., Fitzpatrick B.G. Modeling aggregation and growth processes in ail algal population model: analysis and computation // J. Math. Biol. 1997. 35. P.480-502.

37. Agoshkov V. Quarteroni A. Rozza G. Shape design in aorto-coronaric bypass anastomoses using perturbation theory // SIAM J. Numer. Anal. 2006. 44. 1. P.367-384.

38. Agoshkov V.I. Optimal control methods in inverse problems and computational processes // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. 9. 3. P.205-218.

39. Agoshkov V.I. Dubovski P.B. Solution of the reconstruction problem of a source function in the coagulation-fragmentationequation // Russ. J. Numer. Anal. Math Modelling. 2002. 17. 4. P.319-330.

40. Banks H.T. Some remarks on estimation for size-structured population models // Springer-Verlag. Berlin. Lecture Notes in Biomathematics. 1994. 100. P.609-623.

41. Banks H.T. Botsford L.W., Kappel F., Wang C. Estimation of growth and survival in size-structured cohort data: An application to larval striped bass (Morone Saxatilis) // J. Math. Biol. 1991. 30. P.125-150.

42. Banks H.T,, Fitzpatrick B.G. Estimation of growth rate distributions in size structured population models // Quart. Appl. Math. 1991. 49. P.215-235.

43. Banks H.T., Kappel F. Transformation semigroups and Ll~ approximation for size structured population models / / Semigroup Forum. 1989. 38. P.141-155.

44. Banks H.T., Kappel F. Wang C. Weak solutions and differentiability for size structured population models // Internat. Ser. Numer. Math. 1991. 100. P.35-50.

45. Bratus A. Condition of Extremum for Eigenvalue of Elliptic Boundary value Problem // IJour. Optimization Theory and Appl. 1991. 3. P. 413-441.

46. Bratus A. On Static Stability of Elastic Nonconservative Mechanical Systems with Small Damping // Dynamical Problems of Rigid-Elastic Systems and Structure Spriger-Verlag. '1991. P. 37-42.

47. Bratus A. On Various Cases of Instability for Elastic

48. Nonconservative Systems with Damping // Intern. Journ. Solids and Structures. 1993. 30. 24. P. 3431-3441.

49. Kochikov I. V., Kuramshina G.M. Yagola A.G. Inverse problems of vibrational spectroscopy as nonlinear ill-posed problems j j Surveys on Mathematics in Industry. 1998. 8. P. 63-94.

50. Leonov A.S. Yagola A.G. Special regularizing methods for ill-posed problems with sourcewise represented solutions // Inverse Problems. 1998. 14. P. 1-12.

51. Murray J.D. Biology. New York: Springer, 1993.

52. Sinko J.W. Streifer W. A new model for age-sized structure for a population // Ecology. 1967. 48. P.910-918.