Динамические эффекты во внешнем магнитном поле для квантово-полевых моделей с фоновым аксиально-векторным взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Фролов, Игорь Евгеньевич

• Фролов, Игорь Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фролов, Игорь Евгеньевич

1 Введение

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Расширенная стандартная модель.

1.3 Волны плотности кварковой материи.

1.4 Цели и структура диссертации.

2 Точные решения уравнения Дирака в магнитном поле в моделях с фоновым аксиально-векторным взаимодействием

2.1 Введение и постановка задачи

2.2 Решения в случае 6м = (6°, 0).

2.2.1 Отыскание энергетического спектра.

2.2.2 Устранение аксиально-векторного взаимодействия

2.2.3 Волновые функции.

2.3 Решения в случае Ь11 — (0,Ь).

2.3.1 Устранение аксиально-векторного взаимодействия

2.3.2 Энергетический спектр и волновые функции.

2.3.3 Учет отклонения Ь от направления Н.

2.4 Случай положительного заряда фермиона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические эффекты во внешнем магнитном поле для квантово-полевых моделей с фоновым аксиально-векторным взаимодействием»

3.2 Общая теория синхротронного излучения.55

3.3 Излучение в случае п> 1 и пределе р,Н —»О.57

3.4 Явный вид спектрально-углового распределения.60

3.5 Заключение.65

4 Волны плотности кварковой материи в модели Намбу— о

Иона-Лазинио в магнитном поле 70

4.1 Введение и физическая модель.70

4.2 Эффективное действие .73

4.2.1 Общее выражение.73

4.2.2 Регуляризация.77

4.3 Фазовые диаграммы.82

4.4 Заключение.94

5 Заключение 98

Используемые обозначения 102

Благодарности автора 103

Литература 104

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Фролов, Игорь Евгеньевич

4.4. Заключение

Проведенное в настоящей Главе исследование показало, что при низких температурах внешнее магнитное поле катализирует образование пространственно-неоднородных конфигураций конденсатов (в форме дуальной волны киральной плотности) в плотной кварковой среде в рамках модели Намбу-Йона-Лазинио. Это означает, что существует критическое значение напряженности магнитного поля Нс, такое, что при Н > Нс в системе образуется одна из пространственно-неоднородных фаз (В, С или И).

Это происходит в случае ненулевого химпотенциала ¡1 при значениях константы связи как меньших, так и больших критического. К примеру, если С? > Сс, то, как легко видеть, Нс > 0 для диапазона изменения д, соответствующего симметричной фазе Л, в то время как Нс = 0 для других значений /л, см. Рис. 4.3. В случе (7 < Сс, напротив, величина Нс отлична от нуля для всех ц > 0, см. Рис. 4.6. Нетрудно установить, что явление образования волн плотности конденсатов в магнитном поле обязано своим существованием главным образом специфической асимметрии между спектрами фермионов и антифермионов, возникающей на ДВКП-фоне в приближении среднего поля. Так, если при вычислении термодинамического потенциала системы отбросить вклад состояний с п — 0, которым присуща указанная асимметрия, то эффект нарастания величины Ь (связанной с волновым числом конденсатов) с ростом напряженности магнитного поля Н в массивных фазах В, С будет утерян, а новая фаза И окажется значительно менее стабильной и будет занимать небольшую площадь на диаграммах.

Как отмечено в работе [89] (см. также результаты из [86]), линейный рост параметра порядка Ъ с увеличением химпотенциала /х, обнаруженный в массивной фазе В при Н > 0, в целом характерен для одномерных систем, и это согласуется с тем фактом, что, как известно, движение фермионов в сильном внешнем магнитном поле носит эффективно одномерный характер [104-106]. Фактически, ведущую роль играет в этом случае именно основное (п = 0) состояние фермионов. Особая роль основного состояния в магнитном поле и его влияние на физические свойства системы отмечалась во многих работах, посвященных нарушению симметрии в кварковой материи, см., например, [134], а также недавнее обсуждение кирального магнитного эффекта в [163].

В настоящей диссертации мы рассмотрели случай холодной (Т —> 0) кварковой среды, оставляя детальное исследование поведения фаз системы с ростом температуры для будущего исследования7. Имеется также ряд

7Это, однако, представляет в основном лишь технический интерес, так как настоящее исследование показывает, что наличие волн плотности конденсатов в целом присуще массивным фазам системы в магнитном поле, если таковые возникают. Этот факт связан с наличием асимметрии между энергетическими спектрами частиц и античастиц и не зависит от температуры. других интересных вопросов, не затронутых в настоящей работе. Поскольку кварковая материя может, предположительно, проявлять ферромагнитные свойства (см., например, работы [164-167], а также [132,133]), то, учитывая это, мы получаем сложную самосогласованную задачу, в которой магнитное поле генерируется динамически. В общем случае следует также рассматривать развитие цветовой сверхпроводимости, возможное наряду с формированием волн киральной плотности в кварковой среде при достаточно больших значениях химпотенциала; есть основания полагать, что результаты, получаемые в моделях, учитывающих оба феномена, оказываются менее подверженными зависимости от выбранной схемы регуляризации [91]. Эффекты ненулевых токовых масс кварков также должны быть учтены в модели.

Кроме этого, при рассмотрении пространственной структуры основного состояния модели Намбу-Йона-Лазинио недавно было показано, что доменные стенки могут быть более предпочтительными конфигурациями, чем волны киральной плотности, по крайней мере, в отсутствии внешних калибровочных полей [98]. В то же время, как следует из проведенных в настоящей работе расчетов, следует ожидать, что сильное магнитное поле способствует формированию неоднородности типа ДВКП. Таким образом, в области промежуточных и малых значений напряженности внешнего магнитного поля может реализовываться некоторая конфигурация конденсатов, гладко интерполирующая между двумя предельными случаями, возможно, сходная с решениями, обсуждавшимися в работе [168]. С другой стороны, в литературе рассматривался также конкурирующий механизм формирования киральных доменных стенок в сильном магнитном поле [132]. Таким образом, проблема наиболее выгодной конфигурации конденсатов остается открытой и требует дальнейшего теоретического исследования; в настоящей диссертации, однако, показано, что внешнее магнитное поле индуцирует пространственную неоднородность в системе, по крайней мере, в виде волн. Другим направлением дальнейших теоретических исследований является получение приближенных аналитических выражений для параметров порядка т и Ь как функций внешних условий в слабом магнитном поле.

В заключение следует отметить, что реальное существование пространственно-неоднородных конденсатов в природе является на сегодняшний день открытым вопросом, поскольку теоретические результаты в этой области зависят от конкретной модели и используемого приближения. К сожалению, точный расчет и анализ проблемы в рамках существующей квантовой хромодинамики невозможен, так как феномен развивается в инфракрасной области. Тем не менее, мы считаем, что теоретическое исследование непертурбативных эффектов такого типа будет способствовать дальнейшему углублению нашего понимания свойств сильно взаимодействующей материи.

Глава 5. Заключение

В настоящей диссертации проведено исследование теоретико-полевых моделей при наличии у фундаментальных фермионов дополнительного взаимодействия с постоянным аксиально-векторным фоном в присутствии внешнего магнитного поля; рассмотрены возникающие в рамках таких моделей динамические эффекты. Получены следующие результаты:

1. Найдена полная система точных решений модифицированного уравнения Дирака (волновые функции и энергетический спектр) для электрона в постоянном однородном магнитном поле с напряженностью Н при наличии в лагранжиане теории дополнительного взаимодействия вида ^757^Ь^ф. Рассмотрены два варианта: 6м = (6°, О) и = (О, Ь), при этом Ь и Н параллельны. В первом случае в модели учтено также наличие у частицы аномального магнитного момента. Во втором случае энергетические поправки, соответствующие малым возможным отклонениям вектора Ь от выделенного направления, найдены по теории возмущений.

2. Показано, что задачи на собственные значения для моделей такого типа могут быть на определенном этапе формально сведены к задаче о движении дираковского фермиона с модифицированным аномальным магнитным моментом и другими характеристиками, но без наличия фонового аксиально-векторного взаимодействия. Такой переход возможен не для исходной, но для редуцированной задачи, формулируемой на пространстве столбцов спиновых коэффициентов волновой функции частицы. Соответствующие преобразования гамильтониана выписаны в явном виде.

3. Проведен расчет характеристик синхротронного излучения электрона в рамках расширенной электродинамики с нарушением лоренц-инвариантности в фермионном секторе в минимальной изотропной

СРТ-нечетной форме. Выполнено последовательное рассмотрение явления методами квантовой теории поля. Для случая ультрарелятивистской частицы в слабом поле (Н <С Нс 4.41 • 1013 Гс) получены асимптотические аналитические выражения для спектрально-углового распределения мощности излучения, построены соответствующие диаграммы для характерных лабораторных значений напряженности магнитного поля и энергии частицы. Показано, что основную роль при рассмотрении синхротронного излучения играет специфическое взаимное влияние эффектов наличия у электрона аномального магнитного момента и фонового аксиально-векторного взаимодействия.

4. Предсказан эффект модификации состояния поляризации электрона (смешивания "поперечной" и "продольной" поляризации в магнитном поле), а также связанное с этим эффектом явление асимметрии углового распределения мощности излучения, обусловленное предполагаемым нарушением лоренц-инвариантности. Дана оценка для параметра, контролирующего это нарушение в изучаемой модели (исходя из факта наблюдения преимущественно "поперечной" поляризации электронов); эта оценка (|6°| <С 10-6эВ) является лучшей, чем большинство оценок, имеющихся на данный момент в литературе.

5. Рассмотрена возможность образования статичных согласованных волн плотности кирального скалярного и псевдоскалярного конденсатов в плотной холодной кварковой среде при наличии внешнего магнитного поля в рамках модели Намбу-Йона-Лазинио, которая в киральном пределе и приближении среднего поля для выбранной конфигурации конденсатов сводится к модели с наличием фонового аксиально-векторного взаимодействия фермионов. Найдено регуля-ризованное выражение для термодинамического потенциала теории, проведено его исследование на экстремум численными методами. Построены фазовые диаграммы системы для случаев большой и малой константы связи (относительно критического значения). Показано, что (при (7 > Сс) между "стандартной" массивной фазой С модели Намбу-Йона-Лазинио и новой фазой И (с выраженной пространственной неоднородностью конденсатов в пределе нулевого поля) в сильном магнитном поле существует кроссоверная область.

6. Показано, что магнитное поле катализирует образование пространственно-неоднородных конфигураций конденсатов (волновой вектор которых оказывается ориентирован по направлению поля) при всех значениях химпотенциала, отличных от нуля. Такое поведение системы связано со специфической модификацией энергетического спектра фермионов в магнитном поле при наличии фона в виде дуальных волн киральной плотности, а именно потерей симметрии между частицами и античастицами на нижнем уровне Ландау; формирование указанных волн становится энергетически выгодным в основном состоянии системы.

В заключение следует сказать, что в настоящей диссертации исследовались достаточно простые модельные конструкции для рассматриваемых теоретических направлений. Для более точного описания возможных в природе физических ситуаций и предсказания наблюдаемых эффектов необходимо еще проделать большую работу. В частности, это касается вопроса о том, как влияет нарушение лоренц-инвариантности и СРТ-четности на величину и динамику аномального магнитного момента электрона в рамках расширенной стандартной модели. Кроме того, при исследовании излучения релятивистских заряженных частиц предстоит учесть вклад от форм и типов нарушения лоренц-инвариантности, отличных от рассмотренного в настоящей работе, в частности, связанных с кинетическими членами в фермионной части лагранжиана расширенной электродинамики, а также относящихся к фотонному сектору. В рамках модели Намбу-Йона-Лазинио предстоит выяснить, например, какое значение имеет для поведения системы ненулевой собственный магнитный момент квар-ковой материи в фазах с наличием волн плотности конденсатов. Кроме того, представляет большой интерес изучение более сложных конфигурации конденсатов, в частности, киральных доменных стенок в магнитном поле. Наконец, стоит проблема учета других возможных типов нарушения симметрии, в первую очередь, образования дикваркового конденсата при наличии пространственной неоднородности. Обобщение рассмотренной модели на случай наличия хромомагнитных полей также представляется актуальным. Автор надеется, что настоящая работа послужит основой для дальнейших исследований в обозначенных направлениях.

Используемые обозначения

В настоящей работе используются стандартные обозначения и представления для основных математических объектов. Метрический тензор четырехмерного пространства Минковского = diag(l, —1, —1, —1); матрицы 7/х, удовлетворяющие антикоммутационному соотношению {7^, 7^} = Ъ]^, выбраны в представлении Дирака: где о 1 — матрицы Паули, / - единичная матрица 2x2: 1 = ( ~ 0 1 » = ( 0 ! ) > а2 = [ 0 „ I , =

Другие важнейшие объекты: матрицы щ = 7°7\ 75 = —■¿7°717273, матрица зарядового сопряжения С = ¿727°, коммутатор 7-матриц а^ = ^[7^,7^], при этом сг*-7 = Ецк^к, что дает в явном виде: он

Используемые антисимметричные символы: £арц1/, где е0123 = +1, и Е^к, где £123 = +1. Различие между верхними и нижними индексами делается для четырехмерных тензорных объектов, в этом случае для обозначения индексов применяются греческие буквы, в остальных случаях — латинские; для обозначения трехмерных векторов используется жирный шрифт. Ковариантная производная в электромагнитном поле Иц = дц — геАгде е > 0 (так что заряд электрона де = —е). В Главе 4 вид ковариантной производной для кварковых полей указывается явно. В работе используется система единиц, в которой К — с — 1.

Благодарности автора

Я выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям А. А. Славнову и В. Ч. Жуковскому за постановку интересных задач и руководство работой. Участие в работе возглавляемой В. Ч. Жуковским научной группы и посещение руководимого им научного семинара позволило мне изучить многие вопросы современной квантовой теории поля.

Я выражаю также благодарность А. В. Борисову и А. Е. Лобанову за ценные замечания и участие в плодотворных научных дискуссиях, затрагивающих тематику моей работы.

Я выражаю глубокую признательность сотрудникам и преподавателям кафедры теоретической физики физического факультета МГУ за неоценимые знания, полученные на лекциях и семинарах, а также за создание благоприятных условий для работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фролов, Игорь Евгеньевич, 2010 год

1. Славнов А. А., Фаддеев J1. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных нолей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1988.

2. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

3. Kostelecky V. A., Samuel S. Spontaneous breaking of Lorentz symmetry in string theory. — Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 39. - P. 683.

4. Kostelecky V. A., Samuel S. Gravitational Phenomenology in Higher Dimensional Theories and Strings. — Phys. Rev. D. — 1989. — Vol. 40. — Pp. 1886-1903.

5. Kostelecky V. A., Potting R. CPT and strings. Nucl. Phys. B. - 1991. -Vol. 359.-P. 545.

6. Kostelecky V. A., Potting R. Analytical construction of a nonperturbative vacuum for the open bosonic string. — Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — P. 046007.

7. Colladay D., Kostelecky V. A. CPT violation and the standard model. — Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55. - Pp. 6760-6774.

8. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981.

9. Colladay D., Kostelecky V. A. Lorentz-violating extension of the standard model. Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 58. - P. 116002.

10. Bluhm R. Overview of the SME: Implications and Phenomenology of Lorentz Violation. — Lect. Notes Phys. 2006. — Vol. 702. — Pp. 191226.

11. Kostelecky V. A. Gravity, Lorentz violation, and the standard model.— Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 69. - P. 105009.

12. Deser S., Jackiw R., Templeton S. Topologically massive gauge theories. — Ann. Phys. 1982. - Vol. 140. - Pp. 372-411.

13. Klinkhamer F. R. Z-string global gauge anomaly and Lorentz non-invariance. Nucl. Phys. B. — 1998. - Vol. 535. — Pp. 233-241.

14. Shapiro I. L. Physical aspects of the space-time torsion. — Phys. Rept. — 2002,-Vol. 357,- P. 113.

15. Volovik G. E. On induced CPT-odd Chern-Simons terms in the 3+1 effective action. JETP Lett. - 1999. - Vol. 70. - Pp. 1-4.

16. Gomes M., Mariz T., Nascimento J. R., da Silva A. J. Dynamical Lorentz and CPT symmetry breaking in a 4D four-fermion model. — Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77. - P. 105002.

17. Carroll S. M., Harvey J. A., Kostelecky V. A., Lane C. D., Okamoto T. Noncommutative Field Theory and Lorentz Violation. — Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 141601.

18. Connes A., Douglas M., Schwarz A. S. Noncommutative geometry and Matrix theory. JHEP. - 1998. - Vol. 02. - P. 003.

19. Konechny A., Schwarz A. S. Introduction to M(atrix) theory and noncommutative geometry. — Phys. Rept. — 2002. — Vol. 360. — Pp. 353465.

20. Kostelecky V. A., Lehnert R. Stability, causality, and Lorentz and CPT violation. Phys. Rev. D. - 2001. - Vol. 63. - P. 065008.

21. Higashijima K., Yokoi N. Spontaneous Lorentz symmetry breaking by anti-symmetric tensor field.— Phys. Rev. D.— 2001.— Vol. 64.— P. 025004.

22. Andrianov A. A., Soldati R., Sorbo R. Dynamical Lorentz symmetry breaking from a (3+l)-dimensional axion-Wess-Zumino model. — Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 59. - P. 025002.

23. Kostelecky V. A., Pickering A. G. M. Vacuum photon splitting in Lorentz-violating quantum electrodynamics. — Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91.- P. 031801.

24. Kostelecky A., Mewes M. Electrodynamics with Lorentz-violating operators of arbitrary dimension. — Phys. Rev. D.— 2009.— Vol. 80.— P. 015020.

25. Greenberg O. W. CPT Violation Implies Violation of Lorentz Invariance. Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 89. - P. 231602.

26. Bluhm R. Lorentz and CPT tests in atomic systems. — AIP Conf. Proc. — 2000. Vol. 539. - Pp. 109-118.

27. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. Hydrogen and Antihydrogen Spectroscopy for Studies of CPT and Lorentz Symmetry. — AIP Conf. Proc. 1999. - Vol. 457. - Pp. 70-79.

28. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz Tests in Hydrogen and Antihydrogen. — Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82. — Pp. 2254-2257.

29. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz tests in Penning traps. Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 57. - P. 3932-3943.

30. Adam C., Klinkhamer F. R. Photon decay in a CPT-violating extension of quantum electrodynamics. — Nucl. Phys. B. — 2003. — Vol. 657. — Pp. 214-228.

31. Zhukovsky V. Ch., Lobanov A. E., Murchikova E. M. Radiative effects in the standard model extension. — Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. — P. 065016.

32. Andrianov A. A., Espriu D., Giacconi P., Soldati R. Anomalous positron excess from Lorentz-violating QED. JEEP. - 2009. - Vol. 09. - P. 057.

33. Lehnert R., Potting R. Vacuum Cherenkov Radiation. — Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 110402.

34. Altschul В. Vacuum Cerenkov radiation in Lorentz-violating theories without CPT violation. Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 98. - P. 041603.

35. Altschul B. Lorentz violation and synchrotron radiation. — Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 72. - P. 085003.

36. Altschul B. Synchrotron and inverse Compton constraints on Lorentz violations for electrons. Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 74. - P. 083003.

37. Altschul B. Limits on Lorentz violation from synchrotron and inverse Compton sources. Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96. - P. 201101.

38. Kharlanov O. G., Zhukovsky V. Ch. CPT and Lorentz violation effects in hydrogen-like atoms. J. Math. Phys. ~ 2007. — Vol. 48. — P. 092302.

39. Kharlanov O. G., Zhukovsky V. Ch. Casimir effect within D=3+l Maxwell-Chern-Simons electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81.-P. 025015.

40. Lehnert R. CPT and Lorentz-invariance violation. — Hyperfine Interact. — 2009. Vol. 193. - P. 275.

41. Денисов В. И., Денисова И. П., Жотиков. В. Г. Эффект оптической невзаимности в изотропной среде, обладающей магнитной активностью. — ЖЭТФ. 2005. - Т. 128. - С. 233-242.

42. Denisov V. I., Svertilov S. I. Nonlinear electrodynamic and gravitational actions of the neutron star fields on the propagation of the electromagnetic waves. Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71. - Pp. 063002-063002.

43. Kostelecky V. A., Russell N. Data Tables for Lorentz and CPT Violation. arXiv:0801.0287 hep-ph. - 2010. - Report number: IUHET 538, January 2010.

44. Andrianov A. A., Giacconi P., Soldati R. Lorentz and CPT violations from Chern-Simons modifications of QED. JHEP. — 2002. - Vol. 02. -P. 030.

45. Jackiw R., Kostelecky V. A. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics. — Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82. — Pp. 3572-3575.

46. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Razumovsky A. S. Chern-Simons like term generation in an extended model of QED under external conditions. — Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70. - P. 025003.

47. Altschul B. Gauge invariance and the Pauli-Villars regulator in Lorentz-and CPT-violating electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 70. — P. 101701.

48. Alfaro J., Andrianov A. A., Cambiaso M., Giacconi P., Soldati R. Bare and Induced Lorentz and CPT Invariance Violations in QED. — Int. J. Mod. Phys. A. 2010. - Vol. 25. - Pp. 3271-3306.

49. Jacobson Т., Liberati S., Mattingly D. Lorentz violation and Crab synchrotron emission: A new constraint far beyond the Planck scale. — Nature. 2003. - Vol. 424. - P. 1019.

50. Ellis J. R., Mavromatos N. E., Sakharov A. S. Synchrotron radiation from the Crab Nebula discriminates between models of space-time foam. — Astropart. Phys. 2004. - Vol. 20. - Pp. 669-682.

51. Montemayor R., Urrutia L. F. Synchrotron radiation in Lorentz-violating electrodynamics: The Myers-Pospelov model. — Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 72. P. 045018.

52. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. I. — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 122. Pp. 345-358.

53. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. II.— Phys. Rev.— 1961.— Vol. 124. Pp. 246-254.

54. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. Theory of superconductivity. — Phys. Rev. — 1957. — Vol. 108. Pp. 1175-1204.

55. Вшивцев А. С., Клименко К. Г. Новая фаза в модели Намбу-Йона-Лазинио при ненулевых значениях химического потенциала. — Письма в ЖЭТФ. 1996. - Т. 64. - С. 313-318.

56. Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Клименко К. Г. Новые критические свойства модели Намбу-Йона-Лазинио при ненулевых значениях химического потенциала. ЖЭТФ. - 1997. — Т. 111. — С. 1921-1934.

57. Ebert D., Volkov М. К. Composite-meson model with vector dominance based on U(2) invariant four-quark interactions. — Z. Phys. C. — 1983. — Vol. 16. P. 205.

58. Ebert D., Reinhardt H. Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavour dynamics. — Nucl. Phys. B. — 1986. Vol. 271. - Pp. 188-226.

59. Ebert D., Reinhardt H., Volkov M. K. Effective hadron theory of QCD. — Prog. Part. Nucl. Phys. 1994. - Vol. 33. - Pp. 1-120.

60. Hatsuda Т., Kunihiro T. QCD phenomenology based on a chiral effective Lagrangian. Phys. Rept. — 1994. - Vol. 247. — Pp. 221-367.

61. Hufner J., Klevansky S. P., Zhuang P., Voss H. Thermodynamics of a quark plasma beyond the mean field: A generalized Beth-Uhlenbeck approach. — Ann. Phys. 1994. - Vol. 234. - Pp. 225-244.

62. Mishustin I. N., Satarov L. M., Stoecker H., Greiner W. Unusual bound states of quark matter within the NJL model. — Phys. Rev. C. — 2000. — Vol. 62.- P. 034901.

63. Hanauske M., Satarov L. M., Mishustin I. N., Stoecker H., Greiner W. Strange quark stars within the Nambu-Jona-Lasinio model. — Phys. Rev. D. 2001. - Vol. 64. - P. 043005.

64. Weinberg S. Implications of dynamical symmetry breaking. — Phys. Rev. D. 1976. - Vol. 13. - Pp. 974-996.

65. Bardeen W. A., Hill Ch. T., Lindner M. Minimal dynamical symmetry breaking of the standard model. — Phys. Rev. D.— 1990.— Vol. 41.— Pp. 1647-1660.

66. Hill Ch. T. Topcolor: top quark condensation in a gauge extension of the standard model. Phys. Lett. B. - 1991. - Vol. 266. — Pp. 419-424.

67. Hill Ch. T. Topcolor assisted technicolor. Phys. Lett. B. - 1995. - Vol. 345. - Pp. 483-489.

68. Barrois B. C. Superconducting quark matter. — Nucl. Phys. B. — 1977. — Vol. 129. P. 390.

69. Frautschi S. C. Asymptotic freedom and color superconductivity in dense quark matter // Hadronic Matter at Extreme Energy Density / Ed. by Cabibbo N., Sertorio L.— Erice, Italy: Plenum, New York, 1980, Oct. 13-21 1978.- Pp. 19-27.

70. Bailin D., Love A. Superfluidity and superconductivity in relativistic fermion systems. Phys. Rept. - 1984. - Vol. 107. - P. 325.

71. Alford M. G., Schmitt A., Rajagopal K., Schafer T. Color superconductivity in dense quark matter. — Rev. Mod. Phys. — 2008. — Vol. 80. Pp. 1455-1515.

72. Deryagin D. V., Grigoriev D. Y., Rubakov V. A. Standing wave ground state in high density, zero temperature QCD at large Nc. — Int. J. Mod. Phys. A. 1992. - Vol. 7. - Pp. 659-681.

73. Shuster E., Son D. T. On finite-density QCD at large Nc. — Nucl. Phys. B. 2000. - Vol. 573. - Pp. 434-446.

74. Park B.-Y., Rho M., Wirzba A., Zahed I. Dense QCD: Overhauser or BCS pairing? Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 62. - P. 034015.

75. Rapp R., Shuryak E., Zahed I. Chiral crystal in cold QCD matter at intermediate densities? — Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — P. 034008.

76. Kojo T., Hidaka Y., McLerran L., Pisarski R. D. Quarkyonic Chiral Spirals. Nucl. Phys. A. - 2010. - Vol. 843. - Pp. 37-58.

77. Dautry F., Nyman E. M. Pion condensation and the sigma-model in liquid neutron matter. — Nucl. Phys. A. — 1979. — Vol. 319. — Pp. 323-348.

78. Tatsumi T. Alternating-Layer-Spin Structure Realized in the cr-Model. — Prog. Teor. Phys.- 1980.- Vol. 63,- Pp. 1252-1267.

79. Broniowski W., Kutschera M. One-loop effective action in the sigma model for a periodic-chiral-field ansatz. — Phys. Rev. D.— 1990.— Vol. 41.— P. 3800.

80. Kutschera M., Broniowski W., Kotlorz A. Quark Matter with Pion Condensate in an Effective Chiral Model. — Nucl. Phys. A. — 1990. — Vol. 516. Pp. 566-588.

81. Takahashi K., Tatsumi T. <T7r° condensation at finite density in the linear cr model. Phys. Rev. C. - 2000. - Vol. 63. - P. 015205.

82. Takahashi K., Tatsumi T. Solution of the Dirac Equation with an Axial Vector Current in the Chiral SU(2) x SU{2) Model. Prog. Teor. Phys. -2001. - Vol. 105. - Pp. 437-448.

83. Ohwa K. Crystalline ground state in chiral Gross-Neveu and Cooper pair models at finite densities. Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — P. 085040.

84. Thies M. From relativistic quantum fields to condensed matter and back again: updating the Gross-Neveu phase diagram. — J. Phys. A. — 2006. — Vol. 39. P. 12707.

85. Sadzikowski M., Broniowski W. Non-uniform chiral phase in effective chiral quark models. — Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 488. Pp. 63-67.

86. Nakano E., Tatsumi T. Chiral symmetry and density wave in quark matter. Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71. - P. 114006.

87. Sadzikowski M. Comparison of the non-uniform chiral and 2SC phases at finite temperatures and densities. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 642. — Pp. 238-243.

88. Partyka Т., Sadzikowski M. Phase diagram of the non-uniform chiral condensate in different regularization schemes at T = 0. — J. Phys. G. — 2009. Vol. 36. - P. 025004.

89. Sedrakian A., Rischke D. H. Phase diagram of chiral quark matter: Fulde-Ferrell pairing from weak to strong coupling. — Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 80. P. 074022.

90. Boehmer C., Fritsch U., Kraus S., Thies M. Phase structure of the massive chiral Gross-Neveu model from Hartree-Fock. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 78. P. 065043.

91. Maedan S. Influence of current mass on the spatially inhomogeneous chiral condensate. Prog. Theor. Phys. — 2010. — Vol. 123. - Pp. 285-302.

92. Partyka T. Non-uniform chiral and 2SC color superconducting phases, taking into account the non-zero current quark mass. — arXiv: 1005.2667 hep-ph. — 2010.

93. Carignano S., Nickel D., Buballa M. Influence of vector interaction and Polyakov loop dynamics on inhomogeneous chiral symmetry breaking phases. Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 82. - P. 054009.

94. Broniowski W., Kutschera M. Ambiguities in effective chiral models with cut-off. Phys. Lett. B. - 1990. - Vol. 242. - Pp. 133-138.

95. Nickel D. Inhomogeneous phases in the Nambu-Jona-Lasino and quarkmeson model. Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80. - P. 074025.

96. Борисов А. В., Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Эмииов П. А. Фотоны и лептоны во внешних полях при конечных температуре и плотности. УФН. - 1997. - Т. 167. - С. 241-267.

97. Клименко К. Г. Трехмерная модель Гросса-Невье во внешнем магнитном поле. I.- ТМФ. 1991. - Т. 89. - С. 211-221.

98. Клименко К. Г. Трехмерная модель Гросса-Невье при ненулевой температуре и во внешнем магнитном поле. — ТМФ. — 1992. — Т. 90. — С. 3-11.

99. Klimenko К. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in an external magnetic field. — Z. Phys. C.~ 1992. — Vol. 54. Pp. 323-330.

100. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Catalysis of dynamical flavor symmetry breaking by a magnetic field in 2 +1 dimensions. — Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - Pp. 3499-3502.

101. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional Reduction and Dynamical Chiral Symmetry Breaking by a Magnetic Field in 3 + 1 Dimensions. Phys. Lett B. - 1995. — Vol. 349. — Pp. 477-483.

102. Gusynin V. P., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in QED. — Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52. — Pp. 4747-4751.

103. Gorbar E. V. On chiral symmetry breaking in a constant magnetic field in higher dimension. — Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 491. Pp. 305-310.

104. Semenoff G. W., Shovkovy I. A., Wijewardhana L. C. R. Universality and the magnetic catalysis of chiral symmetry breaking. — Phys. Rev. D. —1999. Vol. 60. - P. 105024.

105. Вшивцев А. С., Магницкий В. В., Жуковский В. Ч., Клименко К. Г. Динамические эффекты в (2+1)-мерных теориях с четырехфермион-ным взаимодействием. ЭЧАЯ. — 1998. — Т. 29. — С. 1259-1318.

106. Вдовиченко М. А., Вшивцев А. С., Клименко К. Г. Магнитный катализ и магнитные осцилляции в модели Намбу-Иона-Лазинио. — ЯФ. —2000.-Т. 63.-С. 542-551.

107. Вдовиченко М. А., Клименко К. Г., Эберт Д. Нестандартные магнитные осцилляции в модели Намбу-Иона-Лазинио. — ЯФ. — 2001. — Т. 64. С. 386-391.

108. Ebert D., Klimenko К. G., Vdovichenko М. A., Vshivtsev A. S. Magnetic oscillations in dense cold quark matter with four-fermion interactions. — Phys. Rev. D. 1999. - Vol. 61. - P. 025005.

109. Shovkovy I. A., Turkowski V. M. Dimensional reduction in Nambu-Jona-Lasinio model in external chromomagnetic field. — Phys. Lett. B. — 1996. Vol. 367. - Pp. 213-218.

110. Ebert D., Zhukovsky V. Ch. Chiral phase transitions in strong chromomagnetic fields at finite temperature and dimensional reduction. — Mod. Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 12. - Pp. 2567-2576.

111. Ebert D., Klimenko K. G., Toki H. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity in a (2+l)-dimensional NJL model. — Phys. Rev. D. — 2001,-Vol. 64.-P. 014038.

112. Ebert D., Khudyakov V. V., Zhukovsky V. Ch., Klimenko K. G. The Influence of an external chromomagnetic field on color superconductivity. — Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — P. 054024.

113. Ebert D., Klimenko K. G., Toki H., Zhukovsky V. Ch. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity and dimensional reduction. — Prog. Theor. Phys. 2001. - Vol. 106. - Pp. 835-849.

114. Ferrer E. J., de la Incera V., Manuel C. Color-Superconducting Gap in the Presence of a Magnetic Field. — Nucl. Phys. B. — 2006. — Vol. 747. — P. 88.

115. Ferrer E. J., de la Incera V. Magnetic phases in three-flavor color superconductivity. — Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76. — P. 045011.

116. Fraga E. S., Mizher A. J. Chiral transition in a strong magnetic background. Phys. Rev. D. - 2008. — Vol. 78. - P. 025016.

117. Mizher A. J., Fraga E. S. CP violation and chiral symmetry restoration in the hot linear sigma model in a strong magnetic background. — Nucl. Phys. A. 2009. - Vol. 831. - Pp. 91-105.

118. Ayala A., Bashir A., Raya A., Sánchez A. Chiral phase transition in relativistic heavy-ion collisions with weak magnetic fields: ring diagrams in the linear sigma model. Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80. - P. 036005.

119. Menezes D. P., Pinto M. B., Avancini S. S., Martinez A. P., Providencia C. Quark matter under strong magnetic fields in the Nambu-Jona-Lasinio model. Phys. Rev. C. - 2009. - Vol. 79. - P. 035807.

120. Fukushima K., Ruggieri M., Gatto R. Chiral magnetic effect in the PNJL model. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 81. - P. 114031.

121. Boomsma J. K., Boer D. The influence of strong magnetic fields and instantons on the phase structure of the two-flavor NJL model. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 81. - P. 074005.

122. Ayala A., Bashir A., Raya A., Sánchez A. Impact of a uniform magnetic field and nonzero temperature on explicit chiral symmetry breaking in QED: Arbitrary hierarchy of energy scales. — J. Phys. G. — 2010. — Vol. 37.-P. 015001.

123. Gatto R., Ruggieri M. Dressed Polyakov loop and phase diagram of hot quark matter under magnetic field. — arXiv:1007.0790 hep-ph. — 2010. — Report number: YITP-10-55.

124. Fayazbakhsh Sh., Sadooghi N. Color neutral two-flavor superconducting phase of cold and dense quark matter in the presence of constant magnetic fields. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 82. - P. 045010.

125. Mizher A. J., Chernodub M. N., Fraga E. S. Phase diagram of hot QCD in an external magnetic field: possible splitting of deconfinement and chiral transitions.— arXiv: 1004.2712 hep-ph.— 2010.— To appear in Phys. Rev. D.

126. D'Elia M., Mukherjee S., Sanfilippo F. QCD phase transition in a strong magnetic background. Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 82. - P. 051501.

127. Duncan R. C., Thompson C. Formation of Very Strongly Magnetized Neutron Stars: Implications for Gamma-Ray Bursts. — Astrophys. J. — 1992. Vol. 392. - P. L9-L13.

128. Skokov V., Illarionov A., Toneev V. Estimate of the magnetic field strength in heavy-ion collisions.— Int. J. Mod. Phys. A.— 2009.— Vol. 24.— Pp. 5925-5932.

129. Son D. Т., Stephanov M. A. Axial anomaly and magnetism of nuclear and quark matter. Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 77. - P. 014021.

130. Noronha J. L., Shovkovy I. A. Color-flavor locked superconductor in a magnetic field. Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76. - P. 105030.

131. Gorbar E. V., Miransky V. A., Shovkovy I. A. Chiral asymmetry of the Fermi surface in dense relativistic matter in a magnetic field. — Phys. Rev. C. 2009. - Vol. 80. - P. 032801.

132. Пайерлс P. Квантовая теория твердых тел. — М.: Изд-во иностр. литры, 1956.

133. Grüner G. The dynamics of charge-density waves. — Rev. Mod. Phys. — 1988. Vol. 60. - P. 1129-1181.

134. Overhauser A. W. Giant Spin Density Waves. — Phys. Rev. Lett. — 1960. Vol. 4. - P. 462-465.

135. Overhauser A. W. Spin Density Waves in an Electron Gas. — Phys. Rev. — 1962. Vol. 128. - P. 1437-1452.

136. Grüner G. The dynamics of spin-density waves.— Rev. Mod. Phys.— 1994. Vol. 66. - P. 1-24.

137. Fuchs J.-N., Lederer P. Charge density wave in graphene: magnetic-field-induced Peierls instability. — The European Physical Journal Special Topics. 2007. - Vol. 148. - Pp. 151-158.

138. Furry W. H. On Bound States and Scattering in Positron Theory. — Phys. Rev. 1951. - Vol. 81. - Pp. 115-124.

139. Schwinger J. S. On quantum electrodynamics and the magnetic moment of the electron. — Phys. Rev. 1948. — Vol. 73. - Pp. 416-417.

140. Тернов И. M., Багров В. Г., Бордовицын В. А., Дорофеев О. Ф. К вопросу об аномальном магнитном моменте электрона.— ЖЭТФ.— 1968. Т. 55. - С. 2273-2280.

141. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. — М.: Наука, 1983.

142. Багров В. Г., Бисноватый-Коган Г. С., Бордовицын В. А., Борисов А. В., Дорофеев О. Ф., Жуковский В. Ч., Пивоваров Ю. JL, Шорохов О. В., Эпп В. Я. Теория излучения релятивистских частиц / Под ред. Бордовицына В. А. — М.: Физматлит, 2002.

143. Pauli W. Relativistic Field Theories of Elementary Particles. — Rev. Mod. Phys. 1941. - Vol. 13. - Pp. 203-232.

144. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — 2-е изд. М.: Наука, 1974. - Т. 2.

145. Тернов И. М., Багров В. Г., Жуковский В. Ч. Синхротронное излучение электрона, обладающего вакуумным магнитным моментом. — Вестник МГУ. Сер. физ., астрон. — 1966. — Т. 7, № 1. — С. 30-36.

146. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Физматлит, 2004.

147. Соколов А. А., Тернов И. М Синхротронное излучение. — М.: Наука, 1966.

148. Ахиезер Г. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981.

149. Боголюбов Н. Н. Приближение Хартри-Фока-Боголюбова в моделях с четырехфермионным взаимодействием. — Тр. МИАН. — 2000. — Т. 228.- С. 264-285.

150. Fujikawa К., Suzuki H. Path Integrals and Quantum Anomalies. — Clarendon Press, 2004.

151. Fujikawa K. Path Integral for Gauge Theories with Fermions. — Phys. Rev. D. 1980. - Vol. 21. - Pp. 2848-2858.

152. Trotter H. F. On the product of semi-groups of operators. — Proc. Amer. Math. Soc. 1959. - Vol. 10. - Pp. 545-551.

153. Matsubara T. A New Approach to Quantum-Statistical Mechanics. — Prog. Theor. Phys.— 1955. Vol. 14. - Pp. 351-378.

154. Meissner Th., Ruiz Arriola E., Goeke K. Regularization scheme dependence of vacuum observables in the Nambu-Jona-Lasinio model. — Z. Phys. A. 1990. - Vol. 336. - Pp. 91-96.

155. Schwinger J. S. On gauge invariance and vacuum polarization. — Phys. Rev. 1951. - Vol. 82. - Pp. 664-679.

156. Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1951.

157. Piessens R., de Doncker-Kapenga Е., Uberhuber С. W., К. Kahaner D. QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration. — Springer Verlag, 1983.

158. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. — 2nd edition. — Wiley, 1987.

159. Landau L. D. Diamagnetismus der Metalle. — Z. Phys. — 1930. — Vol. 64. P. 629.

160. Ba§ar G., Dunne G. V., Kharzeev D. E. Chiral Magnetic Spirals. — Phys. Rev. Lett. 2010. - Vol. 104. - P. 232301.

161. Tatsumi T. Ferromagnetism of quark liquid. — Phys. Lett. B. — 2000. — Vol. 489. Pp. 280-286.

162. Nakano E., Maruyama Т., Tatsumi T. Spin polarization and color superconductivity in quark matter. — Phys. Rev. D. — 2003. — Vol. 68. — P. 105001.

163. Niegawa A. Ferromagnetism in quark matter. — Prog. Theor. Phys. 2005. Vol. 113. - Pp. 581-601.

164. Tatsumi T., Maruyama T., Nakano E., Nawa K. Ferromagnetism in quark matter and origin of the magnetic field in compact stars. — Nucl. Phys. A. 2006. - Vol. 774. - Pp. 827-830.

165. Ba§ar G., Dunne G. V., Thies M. Inhomogeneous Condensates in the Thermodynamics of the Chiral NJL2 Model. — Phys. Rev. D. 2009. — Vol. 79. - P. 105012.